Giáo án điện tử bài giới hạn một bên lớp 11 nâng cao

Trường Đại học Phú Yên

Chào mừng quý thầy cô
về dự tiết học

Môn Hình học_Lớp 12


KIỂM TRA BÀI CŨ

A ( 0;1;1) , B ( 1; −2;0 ) , C ( 1;0;2 ) .

Trong kg Oxyz cho ba điểm
a) Tính

uuuuuuu
r uuuuuuur

n = AB, AC 
uur







b) Nhận xét về vectơ

uuuuuuu
r uuuuuuur

n = AB, AC
uur









uuuuuuu
r uuuuuuur

với hai vectơ

AB, AC

Giải:
a) Ta có:

uuu
r
AB = ( 1; −3; −1)
uuur
AC = ( 1; −1;1)

b) Ta có:


⇒


r
r uuu
n ⊥ AB
r uuur
n ⊥ AC

r uuu
r
r  uuu
n = AB, AC 


 −3 −1 −1 1 1 −3 
=
;
;
= ( −4; −2; 2 )
÷
 −1 1 1 1 1 −1 ÷





Hình ảnh của mặt hồ khi lặng gió

z

O
y
x


§

2

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Phương trình mặt phẳng
2. Các trường hợp riêng

z

x

O

y


§

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

2

1. Phương trình mặt phẳng

a. VÐct¬ ph¸p tuyÕn (vtpt) cña mÆt ph¼ng:
Vectơ
giá của

r
ngọi≠là0vectơ pháp tuyến của mặt phẳng rnếu
n
α )phẳng .
vuông góc với( mặt
(α)

z
r
n

*Chó ý:
Nếu

α)

r
n
là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng
thì
r
α

knmặt(phẳng
k ≠ 0)
cũng là vec tơ( pháp) tuyến của

(α) .

O
x

y


§

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

2

1. Phương trình mặt phẳng
b. Phương trình của mặt phẳng.
Trong không gian
cho mặtOxyz
phẳng
Mlà 0: ( x0 ; y0 ; z0 )
pháp tuyến
r
n ( A; Bvì; C ) nên nr ≠ 0
Điều kiện cần và đủ để

r uuuuur

n.MM 0 = 0

qua điểm

A2 + B 2 + C 2 > 0.
Mlà 0: ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ( α )

⇔ A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
Nhận xét. Nếu đặt:

z

( αcó) vectơ
và

( 1)

r
n
M0
•

α)

M
•

O

x

y
(1)

(1) trở+
thành:
D = −thì
By0 + Cz0 )
( Ax
0

Ax + By + Cz + D = 0,

trong đó

Phương trình (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

(α)

A2 + B 2 + C 2 > 0
hay nói gọn là phương trình mp

( 2)
(α)


§

(α)

Mặt phẳng
và
nhận

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

2

đi qua

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
r
n ( A; B; C ) ≠ 0

1. Phương trình mặt phẳng
Ví dụ 1.Viết phương trình mặt phẳng

M ( 0; −1;1) ; N ( 1; −2;0 )

làm vectơ pháp tuyến

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 )

+C ( z − z0 ) = 0

r
n
•

M•

(α)

P ( 1;0;2 ) .

và

Giải

có phương trình là

α)

đi qua 3 điểm

P
•

N

Ta có

uuur
uuur
MN ( 1; −3; −1) , MP ( 1; −1;1)

r  uuur uuur   −3 − 1 −1 1 1 − 3 
n =  MN , MP  = 
;
;

÷
−
1
1
1
1
1
−
1


= ( −4; −2;2 ) = −2 ( 2;1;1)
r
n vectơ pháp tuyến của mp
(α) .
Suy ra là một
r
α
) M và có vtpt nên có phương trình n
Vậy mp
đi (qua điểm
2 ( x − 0 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 0
⇔ 2 x + y − y = 0.


§

Mặt phẳng
và
nhận

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

2

(α)

đi qua

1. Phương trình mặt phẳng

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
r
n ( A; B; C ) ≠ 0

1

Oxyz và
Hãy viết
A(1; −trình
2;3)
(−5;0;1).
phương
mặt phẳngBtrung
trực (P) của đoạn thẳng AB.
Trong không gian

làm vectơ pháp tuyến
có phương trình là

cho hai điểm

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 )

+C ( z − z0 ) = 0

Giải

Gọi I là trung điểm của AB Suy ra

I ( −2; −1;2 )

uuu
r
AB = ( −6;2; −2 ) = −2 ( 3; −1;1)

(P) có vectơ pháp tuyến là

A•

I•
P)

•

B

Vậy phương trình (P) là

3( x + 2) − ( y + 1) + ( z − 2 ) = 0

⇔ 3 x − y + z + 3 = 0.


§

Mặt phẳng
và
nhận

2

(α)

đi qua

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
r
n ( A; B; C ) ≠ 0

làm vectơ pháp tuyến
có phương trình là

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 )

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Phương trình mặt phẳng
Định lí

Oxyz
Ax + By + Cz với

+D=0
A2 + B 2 + C 2 > 0
Trong không gian

mỗi phương trình

đều là phương trình của một mặt phẳng xác định

+C ( z − z0 ) = 0

2 (để chứng minh định lí)

Xem như bài tập
Ví dụ: Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng ở câu a,
b, d có gì đặc biệt?

a, 5 y − 2 z + 1 = 0
b, z − 1 = 0
c, 2 xy + z + 1 = 0
d , 2x − y + z = 0


§

Mặt phẳng
và
nhận

2

(α)

đi qua

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
r
n ( A; B; C ) ≠ 0

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
2. Các trường hợp riêng
3

Trong không gian

làm vectơ pháp tuyến
có phương trình là

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 )

+C ( z − z0 ) = 0

Mp (α) có VTPT
nên có pt

Ta có
Suy ra

Oxyz ,
(α)

Ax + By + Cz + D = 0.

xét mặt phẳng có phương trình

O ( 0;0;0 ) ∈ ( α )
A.0 + B.0 + C.0 + D = 0
⇔ D=0

r
điều kiện để mp
(α) :
n
A;Vậy
BTìm
;tọa
C
và đi
gốc
độ)
( qua
mp
đi( α
qua)
Ax
+
By
+ Cz + D = 0
O gốc tọa độ
O ⇔ D = 0.

A( x − 0) + B ( y − 0) + C ( z − 0) = 0
⇔ Ax + B y + C z = 0
D = 0.

đi qua gốc tọa độ O..

α)
x

z
O

y


§

Mặt phẳng
và
nhận

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

2

(α)

đi qua

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

r
n ( A; B; C ) ≠ 0

2. Các trường hợp riêng
3

Trong không gian

làm vectơ pháp tuyến
Trường hợp A=0

có phương trình là

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 )

+C ( z − z0 ) = 0

r
n ( 0; B; C )
α)
(
Ta có VTPT của mp
là
rr
r r
Mà n.i = 0.1 + B.0 + C .0 = 0 ⇒ n ⊥ i
Vậy

/ /Ox
( α ) hoặc

z
Mặt phẳng (α) khi
Tương tự với B=0 và
nàoNhận
chứa trục
xét vềkhi
mối
nào
quan hệ giữa
C=0, xem như bài tập
song song trục và
các em về nhà làm.

r
n

Oxyz ,
(α)
Ax + By + Cz + D = 0.

xét mặt phẳng có phương trình

Ox,

r
i.
Ox ?

r O

i

x
By + Cz = 0.

r
n

Ox ⊂ ( α )
z

r
n

Nếu A=0 xác định VTPT của

y

rO
mặt phẳng (α).
i

x

y

By + Cz + D = 0.

§

Mặt phẳng
và
nhận

2

(α)

đi qua

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
r
n ( A; B; C ) ≠ 0

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
2. Các trường hợp riêng
3

Trong không gian

Oxyz ,
(α)
Ax + By + Cz + D = 0.

xét mặt phẳng có phương trình

làm vectơ pháp tuyến
Trường hợp A=B=0

có phương trình là

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 )

Ta có

+C ( z − z0 ) = 0

Vậy

, ( α ) / / Oy
Ox, Oy ⊂ ( α )
( α ) / /Oxhoặc
/ /Oxy
Oxy ≡ ( α )
( α ) hoặc

z

z
Nếu A = B = 0 nhận xét ví
Khi nào
trí của mp (α) với các trục

( α ) / / Oxy,

khi nào

O

tọa độ.

Oxy ≡ ( α ) ?

O

y
x

x

Cz = 0.
Tương tự với B=C=0 hoặc C=A=0

Cz + D = 0.

y


§

Mặt phẳng

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

2

(α)

đi qua

M 0 ( x0 ;nhận
y0 ; làm
z0 )
r
( A; Btrình; Clà) ≠ 0
vtpt có n
phương

2. Các trường hợp riêng

và

Vị trí của mặt phẳng so với các yếu tố của hệ tọa độ
Dạng phương trình

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 )

+ C ( z − z0 ) = 0

Về nhà dựa vào cách cô và các
em vừa làm lúc nãy giải thích
Các em chú ý xem
vì sao chúng ta có kết quả ở
bảng sau

bảng

Ax + By + Cz = 0

Đi qua gốc tọa độ O

Ax + By + D = 0

Song song hoặc chứa trục

Oz

Ax + Cz + D = 0

Song song hoặc chứa trục

Oy

By + Cz + D = 0

Song song hoặc chứa trục

Ox

Ax + D = 0

Song song hoặc trùng với mp

Oyz

By + D = 0

Song song hoặc trùng với mp

Oxz

Cz + D = 0

Song song hoặc trùng với mp

Oxy


§

Mặt phẳng

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

2

(α)

đi qua

M 0 ( x0 ; nhận
y0 ; zlàm
0)
r
( A; Btrình; Clà) ≠ 0
vtpt có n
phương
và

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 )

+ C ( z − z0 ) = 0

Nêu vtpt của mp có

2. Các trường hợp riêng
Sau đây ta xét trường hợp mặt phẳng có phương trình

Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B 2 + C 2 + D 2 > 0
D
D
D
Ta đặt
a =− ,b=− ,c=−
A
B
C
Khi đó phương trình trên trở thành

x y z
+ + = 1.
a b c

z

( 3)

P ( 0;0; c )

phương trình (3).
Phương trình (3) được gọi là phương trình mặt

O

phẳng theo đoạn chắn.

x

M ( a;0;0 )

N ( 0; b;0 )
y


§
Mặt phẳng
và
có

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

2

(α)

đi qua

M 0 ( x0 ;nhận

y0 ;làm
z0 )vtpt
r
n ( AA;;BB; C
; C) )≠ ≠0 0

2. Các trường hợp riêng
Ví dụ 2. Trong không gian

cho điểm

M ( 30;15;6 ) .

a )Hãy viết phương trình mặt phẳng

phương trình là

Oxyz ,

(α)

đi qua các hình chiếu của M trên các

trục tọa độ.

bTìm
) tọa độ hình chiếu H của điểm O trên mp
(α) .

AA(( xx−− x00 ) + B ( yy −− yy00) )

++CC(( zz − z0 ) = 0

Phương trình mp (α) đi qua các
điểm
là:
Còn cách nào để viết pt mp

( a; 0; 0),
(α) nữa không?
(0; b;0), (0;0; c)
x y z
+ + = 1.
a b c

Giải

z

aCác
) hình chiếu của M
trên các trục tọa độ là các
điểm
và

O

( 30;0;0 ) , ( 0;15;0 )
( 0;0;6 ) .
x

( α ) cần tìm là
Pt mp
( 30;0;0 )

( 0;0;6 )
( 0;15;0 )

x
y z
+ + = 1 ⇔ x + 2 y + 5 z − 30 = 0.
30 15 6

y


§
Mặt phẳng
và
có

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

2

(α)

đi qua

M 0 ( x0 ;nhận
y0 ;làm

z0 )vtpt
r
n ( A; B; C ) ≠ 0

phương trình là

2. Các trường hợp riêng
Ví dụ 2. Trong không gian

cho điểm

M ( 30;15;6 ) .

Oxyz ,

bTìm
) tọa độ hình chiếu H của điểm O trên mp

(α) .

Giải

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 )

+ C ( z − z0 ) = 0

Phương trình mp (α) đi qua các
điểm
là:

( a; 0; 0),
(0; b;0), (0;0; c)
x y z
+ + = 1.
a b c

a)

Mp

b )Điểm
là

( α ) : x + 2 y + 5 z − 30 = 0.
uuur
Hvà∈
( α ) cùng phương vớiOH
vectơ
vec tơ pháp tuyến
r
(α)
Bởi vậy, nếu gọi n ( 1;2;5
là tọa độ) của H thì
( x; y; z )

uuurcủa rtức
OH = tn.

 x + 2 y + 5 z − 30 = 0
t = 1

x = t
x = 1


⇔
⇔ H = ( 1;2;5 ) .


 y = 2t
y = 2
 z = 5t.
 z = 5


Trò chơi lật ô hình

1

Các em có thể thấy các mặt ruộng bậc thang song song với

3

nhau. Như vậy, nếu cho 2 mp trong không gian thì chúng
có những vị trí tương đối nào?

2

4
Bài học hôm sau sẽ giúp chúng ta
trả lời câu hỏi ấy.

1, Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
là:

và có vtpt

r
n ( 2; −1;3)

M ( 1;2;3)

(A) x + 2y + 3z – 9 = 0.
(B) 2x – y + 3z – 9 = 0.
(C) 2x – y + 3z – 13 = 0.
(D) 2x – y – 3z – 9 = 0.
Chúc
mừng

Rất tiếc


2,Trong các vectơ sau, vectơ nào là vtpt của mặt phẳng

(α) :

2 x − y + 5 z = 0?

( A)

r
n (2; −1;5)

( B)

r
n ( 2;1)

( C)

r
n ( 2;1;5 )

( D)

r
n ( 1;2;0 )

Chúc
mừng

Rất tiếc


3,Phương trình của mp

( A)
( C)

z +1 = 0

( Oxy )

là

( B)
( D)

z=0
Chúc
mừng

x + z =1
y+z =0

Rất tiếc


4,Cho

M ( 0;0;1) , N ( 2;0;0 ) , P ( 0;3;0 ) .

Khi đó phương trình mp (MPN) là:

x y z
( A) + + = 1.
1 2 3

( B)

x y z
+ + = 0.
1 2 3

( C)

x y z
+ + = 1.
2 3 1

Chúc
mừng

Rất tiếc

( D)

x y z
+ + = 0.
2 3 1


Củng cố

Để viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta
cần:

1.
2.

Tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng.
Vectơ pháp tuyến


Dặn dò

Bài mới

Bài tập

Về nhà

●Làm bài tập đã giao
trong bài học.

●Xem lại
lý thuyết.

●Làm bài tập 15a, b
SGK/89.

●Làm lại
bài tập.

Xem trước mục 3 và 4
của bài 2: Phương
trình mặt phẳng.