ĐỀ THI HSG CẤP QUỐC GIA NĂM 2015-2016

ĐỀ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2015-2016
Đề thi chính thức

MÔN TOÁN 8
Thời gian làm bài: 200 phút

1
2
5 − 2 x  1 − 3x
+
−
: 2
2 
1− x x +1 1− x  x −1


Bài 1 Cho biểu thức: A = 

a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
c. Tìm x để A = A .
Bài 2: a) Giải phương trình sau:
(2x2 + x – 2015)2 + 4(x2 – 5x – 2016)2 = 4(2x2 + x – 2015)(x2 – 5x – 2016)
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x 3 + 2x 2 + 3x + 2 = y3 .
Bài 3: a) Tìm a, b sao cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + 10x – 4 chia hết cho đa thức g(x)= x2 + x – 2
b) Biết rằng x2 + y2 = x + y. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = x – y
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C).
Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C, kẻ CH ⊥ BN (H ∈ BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.

a −b b−c c−d a −d
+
+
≥
Bài 5: Cho a, b, c, d là các số dương . Chứng minh rằng :
.
b+c c+d d +a a+b
----------Hết---------Đáp án:
Bài 1: ĐKXĐ: x ≠ 1; x ≠ -1; x ≠
a) Ta có:
2
 1 + x + 2(1 − x ) − (5 − x)  x − 1
A=
.

1− x2

 1 − 3x
− 2 x2 −1
=
.
1 − x 2 1 − 3x
2
=
1 − 3x

b) A nguyên nên 2 1 – 3x
Ta có:

1

3


1 – 3x
x

1
0

-1

2

2
3

1
−
3

-2
1

KL
Bài 2:
a)

TM

Loại vi x∉Z

Loại vi x∉Z

Loại vì x KTMĐKXĐ

a = 2 x 2 + x − 2015
Đặt: 
b = x 2 − 4 x − 2016

Phương trình đã cho trở thành:
a 2 + 4b 2 = 4ab ⇔ ( a − 2b) 2 = 0 ⇔ a − 2b = 0 ⇔ a = 2b
Khi đó, ta có: 2 x 2 + x − 2015 = 2( x 2 − 5 x − 2016)
⇔ 11x = −2017
−2011
⇔ 11x = −2011 ⇔ x =
2017
.
11 ⇔ x = −
11
2017
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất. ⇔ x = −
11

b)
2

3 7

Ta có y − x = 2x + 3x + 2 = 2  x + ÷ + > 0
4 8


3

3

2

⇒x
(1)

⇒ y< x+2

(2)

2

9  15

(x + 2)3 − y3 = 4x 2 + 9x + 6 =  2x + ÷ + > 0
4  16


Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được
x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0) và (1;2)
Bài 3:
a) Đa thức chia g(x) = (x – 1)(x + 2)
⇒ g(x) có hai nghiệm là 1 và – 2
⇒

f(1) = a + b + 6 = 0

f(-2) = -8a + 4b – 24 = 0

Giải hệ phương trình ta tìm được: a = – 4; b = – 2
b) Ta có: x2 + y2 = x + y
⇒ x = x2 + y2 – y; y = x2 + y2 – x
⇒ P = x2 + y2 – y – y = x2 + y2 – 2y + 1 – 1 = x2 + (y – 1)2 – 1 ≥ – 1
⇒ Pmin = – 1
x = 0
Dấu “=” xảy ra khi:

y = 1

Lại có: P = x – x2 – y2 + x = – y2 – x2 + 2x – 1 + 1
= 1– y2 – (x – 1)2 ≤ 1
⇒ Pmax = 1
x = 1
Dấu “=” xảy ra khi:

y = 0


Bài 4:
Xét ∆OEB và ∆OMC
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC
µ =C
µ = 450
Và B
1

1
BE = CM ( gt )
Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)
µ =O
¶
⇒ OE = OM và O
1
3
¶ +O
¶ = BOC
·
Lại có O
= 900 vì tứ giác ABCD là hình vuông
2
3
¶ +O
µ = EOM
·
⇒O
= 900 kết hợp với OE = OM ⇒ ∆OEM vuông cân tại O
2
1
Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông ⇒ AB = CD và AB // CD
AM BM
=
( Theo ĐL Ta- lét) (*)
MN MC
Mà BE = CM (gt) và AB = CD ⇒ AE = BM thay vào (*)

+ AB // CD ⇒ AB // CN ⇒

Ta có :

AM AE
⇒ ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)
=
MN EB

Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
·
· ' B ( cặp góc đồng vị)
Từ ME // BN ⇒ OME
= OH
·
Mà OME
= 450 vì ∆OEM vuông cân tại O

· ' B = 450 = C
µ
⇒ MH
1
⇒ ∆OMC ∼ ∆BMH’ (g.g)
OM
MC
·
·
⇒
=
,kết hợp OMB
= CMH

' ( hai góc đối đỉnh)
BM MH '
·
· ' C = 450
⇒ ∆OMB ∼ ∆CMH’ (c.g.c) ⇒ OBM
= MH
· ' C = BH
· ' M + MH
· ' C = 900 ⇒ CH ' ⊥ BN
Vậy BH

Mà CH ⊥ BN ( H ∈ BN) ⇒ H ≡ H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng (đfcm)
Bài 5:
a −b b−c c −d a −d
a −b b−c c −d d −a
+
+
≥
⇔
+
+
+
≥0
b+c c+d d +a a+b
b+c c+d d +a a+b
Ta có:
a+c b+b c+a d +b
⇔
+
+

+
≥4
b+c c+d d +a a+b
Xét:
a +c b+d c+a d +b
+
+
+
−4
b+c c+d d +a a+b
1 
1 
 1
 1
= ( a + c) 
+
+
÷+ ( b + d ) 
÷− 4
b+c d +a
c+d a+b
4
4
≥ ( a + c) .
+(b+d).
−4=0
a+b+c+d
a+b+c+d

=> đpcm.

Dấu = xảy ra khi a = b = c = d
Lời giải: Hoàng Quốc Khánh – Học sinh THCS Đồng Lạng – Đức Thọ – Hà Tĩnh