Mô phỏng dòng chảy lưu chất nhớt không nén được qua trụ tròn bằng phương pháp biên nhúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
VÕ TRUNG NAM

MÔ PHỎNG DÒNG CHẢY LƯU CHẤT NHỚT
KHÔNG NÉN ĐƯỢC QUA TRỤ TRÒN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG
S

K

C

0

0

3

9

5

9

NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY – 605204

S KC 0 0 3 9 8 7

Tp. Hồ Chí Minh, 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
VÕ TRUNG NAM

MÔ PHỎNG DÒNG CHẢY LƯU CHẤT NHỚT
KHÔNGNÉN ĐƯỢC QUA TRỤ TRÒN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG

NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY – 605204

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 04/2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
VÕ TRUNG NAM

MÔ PHỎNG DÒNG CHẢY LƯU CHẤT NHỚT
KHÔNGNÉN ĐƯỢC QUA TRỤ TRÒN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG

NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY – 605204
Hướng dẫn khoa học:
TS. PHAN ĐỨC HUYNH

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 04/2013


LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. LÝ LỊCH SƠ LƢỢC:
Họ & tên: Võ Trung Nam

Giới tính: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 25-10-1986

Nơi sinh: Đồng Nai

Quê quán: Quãng Nam

Dân tộc: Kinh

Chức vụ, đơn vị công tác trước khi học tập nghiên cứu:
Kỹ sư chất lượng tại Công ty TNHH Việt Nam Suzuki
Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc: 56/1/3, Đường số 6, KP2, P.Linh Trung, Thủ
Đức, Tp.HCM
Điện thoại : 0982.134.891

E-mail:

II. QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO:
1. Trung học chuyên nghiệp:
Hệ đào tạo: Thời gian đào tạo từ…/… đến…/
Nơi học (trường, thành phố)
Ngành học:
2. Đại học:
Hệ đào tạo: Chính quy

Thời gian đào tạo từ 09/2005 đến 01/2010

Nơi học: Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh
Ngành học: Thiết Kế Máy
Tên đồ án tốt nghiệp: Ứng dụng công nghệ CAD/CAM/CAE trong thiết kế, gia
công khuôn cho sản phẩm chuột máy tính
Ngày & nơi bảo vệ đồ án: 25/01/2010 tại Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp.HCM
Người hướng dẫn: Ths. Trần Chí Thiên
3. Thạc sĩ:
Hệ đào tạo: Chính quy

Thời gian đào tạo từ 05/2011 đến 05/2013

Nơi học: Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh

i


Ngành học: Công nghệ chế tạo máy
Tên luận văn: Mô phỏng dòng chảy lưu chất nhớt không nén được qua trụ
tròn bằng phương pháp biên nhúng
Ngày & nơi bảo vệ luận văn: Ngày 03/05/2013 tại Khoa Cơ Khí Chế Tạo Máy,

trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. Hồ Chí Minh
Người hướng dẫn: TS. Phan Đức Huynh
4. Tiến sĩ:
Hệ đào tạo: Thời gian đào tạo từ…/… đến…/
Tại (trường, viện, nước)
Tên luận án:
Người hướng dẫn:
Ngày & nơi bảo vệ:
Trình độ ngoại ngữ: Chuẩn B1 anh văn
Học vị, học hàm, chức vụ kỹ thuật được chính thức cấp; số bằng, ngày, nơi cấp:
III. QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC CHUYÊN MÔN KỂ TỪ KHI TỐT NGHIỆP
ĐẠI HỌC:
Thời gian

Nơi công tác

Công việc đảm nhiệm

03/2010

Cty TNHH Việt Nam Suzuki

Kỹ sư chất lượng

05/2011

Đại Học Sư phạm kỹ thuật Tp.HCM

Học viên cao học

IV. CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ:
XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN

Ngày… tháng 05 năm 2013

(ký tên, đóng dấu)

Người khai ký tên

Võ Trung Nam

ii


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 02 năm 2013
(Ký tên và ghi rõ họ tên)

iii


CẢM TẠ
Tác giả xin chân thành cảm ơn quí Thầy Cô trong khoa Cơ Khí Chế Tạo Máy, khoa
Xây Dựng và Cơ Học Ứng Dụng trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.Hồ Chí
Minh đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn
thành luận văn tốt nghiệp đúng tiến độ.
Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn TS. Phan Đức Huynh, dù rất bận rộn với

công việc giảng dạy nhưng Thầy vẫn luôn dành thời gian quan tâm, hướng dẫn, chỉ
bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu, thực hiện luận văn. Tác giả
cũng chân thành cám ơn NCS. Lê Quốc Cường, Ths. Nguyễn Hoàng Sơn đã nhiệt
tình góp ý, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 02 năm 2013
Võ Trung Nam

iv


TÓM TẮT
Sự tương tác giữa lưu chất – kết cấu hiện nay đang là một chủ đề nổi cộm và được
nghiên cứu rất nhiều. Sư tương tác này làm cho biên di chuyển dẫn đến sự khó khăn
trong việc chia lưới, tính toán, mô phỏng. Ngoài ra với những kết cấu có biên dạng
phức tạp cũng xảy ra khó khăn như trên. Phương pháp phần tử hữu hạn được xem là
giải pháp số toàn diện và thông dụng nhất tại thời điểm hiện nay để giải quyết
những khó khăn đó. Đứng ở góc độ, khía cạnh khác thì phương pháp biên nhúng
được đề nghị để giải quyết các bài toán này.
Đối với phương pháp biên nhúng thì việc chia lưới được thực hiện dễ dàng và không
phụ thuộc vào biên dạng hình học của vật thể cho dù vật thể đó có biên dạng hình
học phức tạp. Ngoài ra vấn đề biên di chuyển cũng được giải quyết, các phương
pháp số khác sẽ tái tạo lưới mỗi khi biên di chuyển ở mỗi bước thời gian và vấn đề
này không cần thiết khi ta sử dụng phương pháp biên nhúng.
Thông qua kết quả từ bài toán mô phỏng dòng chảy lưu chất nhớt không nén được
qua trụ tròn đã chứng minh tính hợp lý, tính chính xác, tính hiệu quả, độ ổn định của
lời giải so với các phương pháp số khác và so với phương pháp thực nghiệm.

v

ABSTRACT
Fluid – Structure interaction is the hot topic at the moment and a lot of research.
This interaction made the boundary move and lead to difficulties in meshing create,
calculation and simulation. In addition, with structure has complex – shaped also
occurs difficult above. Finite element method is considered a comprehensive
solution and the most common at the present time to solve these difficulties.The
other standpoint, immersed boundary method is recommended to solve this
problem.
For immersed boundary method, the mesh is made easy and does not depend on the
boundary geometry of the body even if the body boundary complex geometry.In
addition, moving boundary also well resolved, other methods of renewable mesh
whenever boundary moves in each time step, and this is unnecessary when using the
immersed boundary method.
Through the results from simulations of incompressible viscous fluid flow past a
circular cylinder has demonstrated the validity, accuracy, efficiency and stability of
the solution compared with other numerical methods and experiment results.

vi


MỤC LỤC
Trang tựa

Trang

Quyết định giao đề tài
Lý lịch khoa học ........................................................................................................... i
Lời cam đoan ............................................................................................................... ii
Cảm tạ ........................................................................................................................ iii
Tóm tắt ....................................................................................................................... iv

Mục lục....................................................................................................................... vi
Ký hiệu khoa học ..................................................................................................... viii
Danh sách các hình..................................................................................................... ix
Danh sách các bảng ..................................................................................................... x
Chƣơng 1 TỔNG QUAN ....................................................................................... 1
Chƣơng 2 PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO PHƢƠNG TRÌNH NAVIER
- STOKES VỚI BIÊN CỨNG ................................................................................. 4
2.1 Phương trình chuyển động ..................................................................... 4
2.2 Phương pháp số ...................................................................................... 5
2.2.1 Sự rời rạc hóa theo không gian và thời gian ....................................... 5
2.2.2Phương pháp giải................................................................................... 6
2.2.3 Giải phương trình Navier-Stokes ........................................................ 7
2.2.3.1 Xử lý các thành phần phi tuyến, độ nhớt và thành phần lực khối .... 8
2.2.3.2 Sự hiệu chỉnh áp suất ....................................................................... 8
2.2.3.3 Lưới xen kẽ ...................................................................................... 9

vii


2.2.3.3.1 Đạo hàm xấp xỉ .......................................................................... 10
2.2.3.3.2 Các điều kiện biên ....................................................................... 14
2.2.3.3.3 Phương trình Poisson .................................................................. 16
2.3Biên cứng ............................................................................................... 17
Chƣơng 3CẤU TRÚC HÀM DIRAC DELTA ..................................................... 20
Chƣơng 4KẾT QUẢ MÔ PHỎNG SỐ ................................................................. 25
4.1 Dòng chảy qua trụ tròn cố định ........................................................... 25
4.2 Dòng chảy qua trụ tròn dao động ........................................................ 39
Chƣơng 5

KẾT LUẬN ........................................................................................ 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 47

viii


KÝ HIỆU KHOA HỌC


Xs, t    X s, t , Y s, t    X k , Yk  là hàm vector được cho bởi tọa độ của các điểm

trên biên Γ(như là một hàm của độ dài cung s và thời gian t). k=0,1,2,…,m-1


F  Fx s, t , Fy s, t  là lực khối tác dụng trên biên



Us, t   U s, t ,V s, t   U k ,Vk  là vận tốc của điểm lưới Lagrangian



f   f x x, t , f y x, t là lực vật thể được lồng vào phương trình Navier-Stokes



x  x, y  là tọa độ theo lưới Eulerian



ux, t   ux, t , vx, t  là vận tốc của lưu chất ( theo 2 chiều x, y)



px, t  là áp suất của lưu chất.



 là khối lượng riêng của lưu chất



 là độ nhớt

 u* là vận tốc trung gian
 ∇p là gradient áp suất.
 

2 2

x 2 y 2

là toán tử Laplace

  
 grap     , 
 x y 

 (.) xem như là một ký hiệu và được dùng : (  .) thay vì

  
div  ∇.   
 x y 

(với grap, div là các hàm được sử dụng trong toán tử Laplace)
 Lb là chiều dài của đường cong khép kín Γ

ix


 𝛿 𝐱 − 𝐗 𝑠, 𝑡

= 𝛿 𝑥 − 𝑋 𝛿 y − Y là hàm Dirac delta.

DANH SÁCH CÁC HÌNH
HÌNH

TRANG

Hình 2.1 a) Hệ lưu chất-kết cấu đơn giản. b) Lưới rời rạc Euler (đánh dấu sáng) và
lưới Lagrange (đánh dấu tối) ....................................................................................... 6
Hình 2.1 c) Hình vẽ phác họa việc tính toán thành phần lực khối sử dụng hàm Dirac
delta ............................................................................................................................. 6
Hình 2.2 Lưới xen kẽ với các ô biên ........................................................................ 10
Hình 2.3 Sự dao động trong bài toán đối lưu-khuếch tán khi sử dụng sai phân trung
tâm ............................................................................................................................. 13
Hình 3.1 Hàm Dirac delta ......................................................................................... 24
Hình 4.1 Đường dòng cho hệ số Re=20 và Re=40 .................................................. 28
Hình 4.2 Trường áp suất cho hệ số Re=20 và Re=40 .............................................. 24
Hình 4.3 Đường bao xoáy tại Re=100 và Re=200 ................................................... 31

Hình 4.4 Hệ số cản tại Re=100 và Re=200 .............................................................. 32
Hình 4.5 Hệ số nâng tại Re=100 và Re=200 ............................................................ 33
Hình 4.6 Đường dòng tại Re=100 và Re=200 .......................................................... 34
Hình 4.7 Trường áp suất tại Re=100 và Re=200 ...................................................... 35
Hình 4.8 Đường bao xoáy và trường áp suất tại Re=300 ......................................... 36
Hình 4.9 Hệ số cản và hệ số nâng tại Re=300 .......................................................... 37
Hình 4.9 Đường bao xoáy của trụ tròn dao dộng sau 40 chu kỳ dao động tại
Re=200, (a: Zhang & Zheng; b: Hiện tại) ................................................................. 40
Hình 4.10 Hệ số cảnCDtại Re=200 đối với trụ tròn cố định và trụ tròn dao động ... 41
Hình 4.11 Hệ số nâng CLtại Re=200 đối với trụ tròn cố định và trụ tròn dao động 42

x


Hình 4.12 Trường áp suất và đường dòng tại Re=200 cho trường hợp trụ tròn dao
động ........................................................................................................................... 43

DANH SÁCH CÁC BẢNG
BẢNG

TRANG

Bảng 1.1 Kế hoạch thực hiện luận văn ....................................................................... 3
Bảng 4.1 Chiều dài vùng tuần hoàn (L/d), hệ số cản (CD) cho Re=20,Re=40 ......... 29
Bảng 4.2 Hệ số cản tại Re=100 và Re=200 .............................................................. 32
Bảng 4.3 Hệ số nâng tại Re=100 và Re=200 ............................................................ 33
Bảng 4.4 Hệ số Strouhal tại Re=80, 100, 200, 300 .................................................. 38

xi

Chƣơng 1

TỔNG QUAN
1.1

Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu

Trong tính toán động lực học lƣu chất, các vấn đề cần quan tâm nhất đó là sự chính
xác, hiệu suất tính toán, độ ổn định của lời giải và đặc biệt là xử lý đƣợc các dạng
hình học phức tạp. Có rất nhiều phƣơng pháp cho việc giải các bài toán dòng không
nén đƣợc trong miền hình học phức tạp. Trong một số ứng dụng, phƣơng pháp phần
tử hữu hạn (FEM) trên lƣới phi cấu trúc thì đƣợc sử dụng rộng rãi nhất hiện nay. Sự
chính xác của FEM có thể đƣợc cải thiện bằng cách sử dụng các hàm nội suy bậc
cao. Tuy nhiên, tạo ra lƣới phi cấu trúc theo yêu cầu bằng FEM đòi hỏi một kỹ thuật
cao và khá tốn kém. Hơn nữa, để giải các bài toán với một biên chuyển động mà đặc
biệt là trong lĩnh vực tƣơng tác giữa kết cấu và lƣu chất thật không dễ thực hiện,
trƣờng hợp này ta phải chia lƣới lại sau mỗi lần di chuyển của biên.
Đã có sự tiến bộ vuợt bậc đáng kể của các phƣơng pháp trong việc tính toán chính
xác và hiệu quả đối với những vật thể có hình dạng phức tạp bất kỳ. Phƣơng pháp
biên nhúng (Immersed Boundary Methods - IBM) đƣợc đề xuất bởi C.S. Peskin
[1,2] gần đây đã đƣợc đƣa ra để giải quyết đối với các bài toán có những dạng hình
học phức tạp trong khi yêu cầu tính toán ít hơn, tạo lƣới dễ hơn so với các phƣơng
pháp khác mà vẫn đảm bảo đƣợc sự chính xác. Phƣơng pháp này quy định một lực
khối để thay thế sự hiện diện của một bề mặt mà không làm thay đổi lƣới tính toán.
Đặc biệt đối với trƣờng hợp biên di chuyển, cụ thể hơn là trong sự tƣơng tác giữa
lƣu chất và kết cấu làm biên dịch chuyển. Lƣới bám theo vật thể phải đƣợc chia lại ở
mỗi bƣớc thời gian khi tính toán, việc chia lƣới ảnh hƣởng trực tiếp đến chi phí tính
toán, độ chính xác và sự ổn định của lời giải. Có thể nói đó là vấn đề cần xem xét
một cách nghiêm túc. Lƣới Đềcác đƣợc xây dựng dễ dàng, nhanh chóng mà không

1


cần giải thuật phức tạp và đặc biệt là không bị ảnh hƣởng đáng kể đến sự phức tạp
của hình dạng vật thể. Đây đƣợc xem là ƣu điểm nổi bật bậc nhất của phƣơng pháp
biên nhúng. Vì vậy trong bài toán tƣơng tác giữa lƣu chất và kết cấu thì có thể
nóiphƣơng pháp biên nhúng là phƣơng pháp số tốt nhất tại thời điểm hiện nay.
Các kết quả nghiên cứu trong nƣớc và ngoài nƣớc đã công bố
IBM lần đầu tiên đƣợc giới thiệu bởi C.S. Peskin (1972) với việc mô phỏng sự
tƣơng tác giữa các cơ và dòng máu chảy trong lúc tim đang đập và nhìn chung kết
quả phù hợp cho dòng lƣu chất với biên đàn hồi đƣợc nhúng. Trong phƣơng pháp
này dòng lƣu chất đƣợc điều khiển bởi phƣơng trình Navier-Stokes không nén đƣợc
và chúng đƣợc xử lý trên lƣới Đềcác cố định. Một số công trình nghiên cứu điển
hình về IBM đã công bố trên các tạp chí khoa học uy tín trên thế giới:
C.S. Peskin, The immersed boundary method, Acta Numerica. 11 (2) 479-517, 2002.
Bài báo này trình bày về nền tảng toán học của IBM, mà nó thì đƣợc dùng để mô
phỏng sự tƣơng tác giữa lƣu chất và kết cấu, đặc biệt là trong tính toán động lực học
lƣu chất, lĩnh vực cơ y sinh học.
C.S. Peskin, Numerical analysis of blood flow in the heart, J. Comput. Phys. 25
220–252 (1977). Bài báo này nghiên cứu về việc giải phƣơng trình Navier-Stokes
khi có sự hiện diện của biên nhúng di chuyển mà nó thì tƣơng tác với dòng lƣu chất
( tƣơng tác giữa cơ tim và dòng máu). Về phƣơng pháp này thì ở nƣớc ta vẫn đang
trong thời kỳ nghiên cứu sơ khai, và có rất ít công trình đƣợc đăng tải trên tạp chí
khoa học quốc tế.
Lĩnh vực ứng dụng của phƣơng pháp biên nhúng
-

Nghiên cứu dòng chảy lƣu chất qua vật thể bất kỳ nhằm khảo sát ứng suất,
biến dạng, chuyển vị của hệ thật: Turbine gió, van, ống dẫn dầu, cơ y sinh...

2


-

Khảo sát chuyển động của các robot trong môi trƣờngkhông khí và nƣớc
nhƣ: cá, chim, chuồn chuồn...

-

Tính toán, thiết kế các thiết bị vận chuyển nhƣ: Xe hơi, tàu thủy, máy bay,…

-

Tính toán, thiết kế các thiết bị thủy lực: Van thủy lực, máy bơm, tua bin, quạt
gió, máy nén,...

-

Y khoa: Mô phỏng tuần hoàn máu trong cơ thể, tính toán các thiết bị trơ tim
nhân tạo, …

-

Và rất nhiều lĩnh vực khác nhƣ trong khí tƣợng thủy văn, thiết kế cầu, nhà
cao tầng,…
Mục đích của đề tài

1.2

-

Thiết lập mô hình toán học của hệ kết cấu và lƣu chất.

-

Xây dựng phƣơng trình toán học.

-

Chia lƣới và giải bằng phƣơng pháp biên nhúng ( Immersed Boundary
Method) .

-

Giới hạn cho bài toán 2D.
Nhiệm vụ của đề tài và giới hạn của đề tài

1.3

Nội dung nghiên cứu cho phƣơng pháp biên nhúng có thể chia ra thành năm phần
chính với nhiệm vụ cụ thể nhƣ sau:
-

Phần 1: Tổng quan.

-

Phần 2: Phƣơng pháp biên nhúng cho biên cứng.

-

Phần 3: Cấu trúc hàm Dirac delta.

-

Phần 4: Kết quả mô phỏng số.

-

Phần 5: Kết luận và kiến nghị.

Giới hạn của đề tài

3


-

Phƣơng pháp biên nhúng chỉ áp dụng để giải cho những bài toán 1D, 2D.
Còn với bài toán 3D thì độ phức tạp cao hơn nên đòi hỏi nhiều thời gian
nghiên cứu hơn nữa.

-

Ngoài ra, vấn đề sai số của phƣơng pháp cũng nhƣ lời giải là điểm cần hoàn
thiện hơn cho luận văn trong tƣơng lai.
Phƣơng pháp nghiên cứu

1.4

-

Phƣơng pháp tham khảo tài liệu từ giảng viên hƣớng dẫn, thƣ viện, mạng
internet.

-

Phƣơng pháp trao đổi, thảo luận trực tiếp với giảng viên hƣớng dẫn.

-

Phƣơng pháp thu thập thông tin từ các buổi báo cáo chuyên đề của nhóm
Tính toán Cao cấp trong Khoa học và Kỹ thuật (GACES) thuộc Khoa Xây
dựng và Cơ học ứng dụng, trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật TP.HCM .

-

Phƣơng pháp lập trình, tính toán mô phỏng với công cụ hỗ trợ là phần mềm
Matlab của hãng MatWorks.
Kế hoạch thực hiện

1.5

Kế hoạch thực hiện luận văn đƣợc trình bày tóm tắt trong bảng 1.1
Nội dung công việc

Thời gian thực hiện

1

Tổng quan

09/2012

2

IBM cho biên cứng

10/2012

3

Cấu trúc hàm Dirac delta

11/2012

4

Kết quả mô phỏng số

12/2012 – 01/2013

5

Kết luận và kiến nghị

02/2013

Stt

Bảng 1.1 Kế hoạch thực hiện luận văn

4

Ghi chú


Chƣơng 2

PHƢƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO PHƢƠNG
TRÌNH NAVIER-STOKES VỚI BIÊN CỨNG
2.1

Phƣơng trình chuyển động

Ta xét mô hình bài toán cho dòng chảy lƣu chất nhớt không nén đƣợc trong miền
không gian hai chiều  f chứa biên nhúng dƣới dạng là một đƣờng cong khép kín
đơn giản b (Hình 2.1a), hình dạng đƣờng biên nhúng sẽ đƣợc cho dƣới dạng tham
số nhƣ sau: Xs,t , 0  s  Lb , X0, t   XLb , t  , trong đó Lb là chiều dài của đƣờng
cong kín b , và X  s, t  là hàm vector cho biết vị trí của các điểm trên biên nhúng tại
thời gian t và chiều dài cung là s. Biên đƣợc mô hình bởi một lực đơn mà nó thì
đƣợc kết hợp lại thành lực khối, f, trong phƣơng trình Navier-Stokes. Phƣơng trình
Navier-Stokes sau đó đƣợc giải để xác định vận tốc của dòng lƣu chất trên toàn bộ
miền lƣu chất  f . Kể từ khi biên nhúng tiếp xúc với dòng chất lƣu chất xung
quanh, vận tốc của nó phải phù hợp với điều kiện biên không trƣợt. Phƣơng trình
chuyển động của hệ nhƣ sau [1]:



u

  u   u  p  u  f
t

(2.1)

u  0

(2.2)

Với x  x, y  là điểm lƣới trên lƣới Euler và X   X , Y  là điểm biên trên lƣới
Lagrange ux, t   ux, t , vx, t  là vận tốc của lƣu chất và p x, t  là áp suất lƣu
chất. Các hệ số  và  lần lƣợt là khối lƣợng riêng và độ nhớt của lƣu chất. Thành
phần lực khối tác dụng lên lƣu chất là f x, t    f x x, t , f y x, t  mà dạng công thức
toán học là f x, t    Fs, t  x  Xs, t ds


5

(2.3)


Trong đó Fs, t   Fx s, t , Fy s, t  là lực khối tại điểm biên và  x    x   y  là
hàm Dirac delta. Chuyển động của biên nhúng là

Xs, t 
 Us, t   uXs, t , t    ux, t  x  Xs, t dx
t


(2.4)

Phƣơng trình (2.3) và (2.4) thể hiện sự tƣơng tác giữa biên nhúng và lƣu chất. Trong
phƣơng trình (2.3) thành phần lực khối tác dụng đến lƣu chất bởi biên nhúng, trong
khi đó phƣơng trình (2.4) biên nhúng đƣợc di chuyển cùng với lƣu chất.
2.2

Phƣơng pháp số

2.2.1 Sự rời rạc hóa theo không gian và thời gian
Phƣơng pháp biên nhúng là phƣơng pháp sai phân hữu hạn hỗn hợp Euler-Lagrange
cho việc tính toán dòng lƣu chất tƣơng tác với một biên nhúng. Hình 2.1b là ví dụ
về đƣờng biên nhúng đơn giản trong không gian 2D. Một cặp lƣới tính toán bao
gồm: một ô lƣới Đềcác trung tâm cho biến Euler và một tập các điểm rời rạc cho

biến Lagrange. Cho miền lƣu chất  f  0, l x   0, l y  và có N x  N y ô lƣới Euler,
với h  hx  h y  l x / N x  l y / N y là kích thƣớc lƣới Euler. Một cặp chỉ số trên biến
sẽ chỉ rõ vị trí mà tại đó biến Euler đang đƣợc xem xét, đánh giá, chẳng hạn nhƣ uij
chỉ rõ giá trị của biến u tại điểm lƣới thứ ij. Chúng ta sẽ sử dụng một tập các điểm
lƣới Lagrange N b (biên lƣới đƣợc chia với s  Lb / N b ) và các điểm lƣới Lagrange
này đƣợc định nghĩa bởi một chỉ số duy nhất, với các biến tại nhiều điểm lƣới thì
đƣợc định nghĩa bằng các chỉ số tƣơng ứng, do đó Fk biểu thị cho giá trị của biến F
tại điểm lƣới thứ k. Vị trí của điểm lƣới Lagrange thứ k thì đƣợc theo dõi một cách
rõ ràng trong Xk. Chúng ta sử dụng các chỉ số để biểu thị giá trị của biến tại một
bƣớc thời gian nhất định, do đó u n x   ux, nt  và X n s   Xs, nt  .

6


a)

b)

Hình 2.1 a) Hệ lƣu chất-kết cấu đơn giản. b) Lƣới rời rạc Euler (đánh dấu sáng) và
lƣới Lagrange (đánh dấu tối)
2.2.2 Phƣơng pháp giải
Thành phần lực khối sẽ sẽ đƣợc tính toán tại các điểm điều khiển và sau đó sẽ tính
toán lan rộng đến các điểm lƣới Đềcác xung quanh điểm điều khiển trên toàn miền
lƣu chất bằng một biểu diễn rời rạc của hàm Dirac delta,

Hình 2.1 c) Hình vẽ phác họa việc tính toán thành phần lực khối sử dụng hàm Dirac
delta

7