KHÓA LUẬN các ĐỊNH lý cơ bản của hàm KHẢ VI

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài khóa luận
Lớp hàm khả vi là một lớp hàm quan trọng của giải tích. Trong chương
trình toán tại bậc học phổ thông, khái niệm hàm số khả vi một biến thực được
đưa vào giảng dạy. Đến bậc học đại học, sinh viên lại tiếp tục được nghiên
cứu lại một cách hệ thống và đầy đủ hơn về khái niệm này trong nội dung giải
tích cổ điển (giải tích một biến thực) đối với sinh viên ngành toán hay trong
nội dung toán cao cấp đối với sinh viên các khối ngành y, kinh tế, kỹ thuật,
nông lâm,… Hơn thế nữa, khái niệm hàm khả vi còn được mở rộng và khái
quát thành một trong những đối tượng nghiên cứu chính của giải tích hiện đại
(hàm khả vi phức, hàm khả vi trong không gian Banach…), đồng thời nhiều
lĩnh vực và chuyên ngành toán học liên quan đến hàm khả vi cũng ra đời như:
phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, đa tạp khả vi…
Xuất phát từ ý nghĩa khoa học và vai trò quan trọng của hàm khả vi đối
với nhiều kì thi học sinh giỏi toán, người ta thường đề cập đến những bài toán
liên quan đến các kiến thức về hàm khả vi một biến thực. Số lượng và các thể
loại bài toán này rất phong phú, đa dạng và được nhiều người đánh giá là khó.
Chúng ta cũng có thể một phần thấy được để giải quyết những bài toán đó
người ta phải đồng thời kết hợp các phép toán đại số, các tính chất về giới
hạn, tính liên tục, tính khả vi…. Nhưng kết hợp vận dụng như thế nào để đạt
hiệu quả? Đây là một bài toán khó, chính vì vậy không ít sinh viên ngành
Toán nói chung và sinh viên Sư phạm Toán nói riêng còn lúng túng khi gặp
các bài toán áp dụng các định lý về hàm khả vi trong thực hành giải toán. Để
làm được điều này, yêu cầu người học phải có tư duy toán học phát triển,
đồng thời áp dụng các định lý này ở mức độ cao hơn, phải biết sử dụng và kết
hợp một cách khéo léo các kiến thức trong bộ môn giải tích để hỗ trợ và phát
triển ứng dụng đó. Đối với mỗi dạng bài, chúng ta sẽ xây dựng phương pháp

1

chung dựa vào các định lí hàm khả vi, trên cơ sở các phương pháp đó đưa ra
hệ thống bài tập nhằm cụ thể hóa các định lí trong nhiều trường hợp.
Với mong muốn tìm hiểu một cách hệ thống và cụ thể hơn về hàm khả vi,
cùng nhiều ứng dụng quan trọng của lớp hàm này, tôi chọn đề tài: “Các định
lí về hàm khả vi và một số ứng dụng” cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
- Trình bày chi tiết và hệ thống những định lí về hàm khả vi và một số
ứng dụng của chúng trong giải toán. Qua đó làm rõ hơn mối quan hệ
giữa tính khả vi của hàm thực một biến với hàm trong các không gian
tuyến tính định chuẩn, đưa ra những tính chất về tâm đối xứng, trục đối
xứng của đồ thị hàm đa thức, làm rõ hơn tính khả vi hàm trị tuyệt đối
của đa thức, đưa ra hệ thống phương pháp và bài tập ứng dụng các định
lí về hàm khả vi.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu khái niệm, các tính chất hàm khả vi.
- Nghiên cứu các định lí liên quan đến tính đơn điệu của hàm khả vi.
- Nghiên cứu các định lí liên quan đến cực trị của hàm khả vi.
- Nghiên cứu các định lí liên quan đến tính lồi, lõm của đồ thị hàm khả
vi.
- Nghiên cứu các định lí về giá trị trung bình.
- Nghiên cứu các định lí về khai triển hàm khả vi.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để hoàn thành khóa luận này chúng tôi chủ yếu sử dụng phương pháp
nghiên cứu lí luận, cụ thể là:
- Trên cơ sở định nghĩa đã có chúng tôi phân tích làm rõ hơn mối quan
hệ giữa tính khả vi của hàm thực một biến với tính khả vi của hàm
trong các không gian tuyến tính định chuẩn.

2

- Xuất phát từ định nghĩa và cách xác định tâm đối xứng, trục đối xứng
đã biết, chúng tôi sử dụng đạo hàm và công thức khai triển hàm khả vi
để làm rõ hơn những tính chất về tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ
thị hàm đa thức.
- Dựa trên tính khả vi của một số lớp hàm, chúng tôi áp dụng làm rõ hơn
tính khả vi của hàm trị tuyệt đối của đa thức.
- Từ nội dung và ý nghĩa của những định lý về hàm khả vi, chúng tôi
khai thác đưa ra một số ứng dụng của chúng trong giải toán và hệ thống
bài tập áp dụng.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Hàm khả vi.
- Phạm vi: Khóa luận tập trung nghiên cứu những định lý về hàm khả vi
một biến thực lấy giá trị trong tập số thực.
6. Ý nghĩa khoa học
- Từ việc nghiên cứu những định lý về hàm khả vi, khóa luận đã trình
bày một cách có hệ thống những định lý về hàm khả vi và một số ứng
dụng của chúng trong giải toán, trong đó chúng tôi làm rõ hơn: mối
quan hệ giữa tính khả vi của hàm thực một biến với tính khả vi của hàm
trong các không gian tuyến tính định chuẩn; những tính chất về tâm đối
xứng, trục đối xứng của đồ thị hàm đa thức được trình bày trong phần
1.2. Ý nghĩa đại số của đạo hàm; tính khả vi của một số lớp hàm tại một
số điểm đặc biệt, đặc biệt là hàm trị tuyệt đối của đa thức được nêu
trong phần 1.4. Điều kiện khả vi của một số lớp hàm. Trên cơ sở nội
dung và ý nghĩa của những định lý về hàm khả vi, chúng tôi khai thác
đưa ra một số ứng dụng của chúng trong giải toán và hệ thống bài tập
áp dụng.

3

7. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
thành ba chương:
Chương 1. Một số tính chất của đạo hàm
Chương 2. Những định lí về hàm khả vi
Chương 3. Một số ứng dụng của các định lí về hàm khả vi

4


CHƯƠNG 1: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM
Chương này bao gồm các kiến thức cơ bản về đạo hàm của hàm thực
một biến. Trong chương này chúng tôi làm rõ hơn: mối quan hệ giữa tính khả
vi của hàm thực một biến với tính khả vi của hàm trong các không gian tuyến
tính định chuẩn; những tính chất về tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị
hàm đa thức; tính khả vi của một số lớp hàm tại một số điểm đặc biệt, đặc biệt
là hàm trị tuyệt đối của đa thức.
1.1. Khái niệm đạo hàm
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1 [9, tr 185]. Giả sử f ( x) là hàm số xác định trên khoảng
(a, b) ⊂ ¡ , x0 là một điểm thuộc khoảng đó. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ
số

f ( x) − f ( x0 )
khi x dần đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại
x − x0

điểm x0 , kí hiệu là f '( x0 ) hoặc y '( x0 ) , nghĩa là: f '( x0 ) = xlim
→x

0

f ( x) − f ( x0 )
.
x − x0

Trong định nghĩa trên, nếu đặt ∆x = x − x0 và ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) thì ta
có ∆lim
x →0

∆y
f ( x ) − f ( x0 )
= lim
∆x x→ x0
x − x0

Chú ý 1.2.
1) Số ∆x = x − x0 , x ∈ (a, b) là số gia của biến số tại điểm x0 ; số
∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại
điểm x0 .
2) Số ∆x không nhất thiết chỉ mang dấu dương.
3) Số ∆x và ∆y là những kí hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: ∆x là tích
của ∆ với x, ∆y là tích của ∆ với y.

5


Khi đó ta nói rằng hàm f khả vi tại x0 .
Ví dụ 1.3 [7, tr 132]. Tìm đạo hàm của hàm y = ln x ( x > 0) .

Lời giải. Ta có:
• ∆y = ln( x + ∆x) − ln x = ln(

•

∆y
=
∆x

Vậy (lnx)’ =

x + ∆x
∆x
) = ln(1 + )
x
x

∆x
∆x
)
ln(1 + )
x =1
x
∆x
∆x
x
x

ln(1 +

∆x →0

→

1
x

1
( x > 0) .
x

Định nghĩa 1.4 [7, tr 133]. Cho U là một tập hợp mở trong ¡ , hàm số f : U
→ ¡ là một hàm xác định trên U. Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f
khả vi tại mọi điểm của U. Khi đó hàm số f ': U → ¡
x a f '( x )
được gọi là đạo hàm của hàm số f trên U.
Nếu f’ liên tục trên U thì ta nói rằng f khả vi liên tục trên U hay f thuộc lớp
C 1 (U ) .
Mở rộng khái niệm đạo hàm hàm một biến số thực cho hàm vectơ nhiều biến
số thực, ta được:
Định nghĩa 1.5 [4, tr 230]. Cho Ω là tập mở trong không gian định chuẩn E
= ¡ n , F là không gian Banach. Ánh xạ f : Ω → F gọi là khả vi tại x0 ∈ Ω
nếu tồn tại S ∈ L( E , F ) sao cho : f ( x0 + h) − f ( x0 ) − S (h) = 0( h )
Nghĩa là ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ h < δ :

f ( x0 + h) − f ( x0 ) − S (h) ≤ ε ( h )

(*) được viết dưới dạng quen thuộc

lim

h →0

f ( x0 + h) − f ( x0 ) − S (h)
=0
h

6

(*)


n
Trong đó h = (h1 , h2 ,...., hn ) ∈ ¡ .

Ánh xạ f khả vi tại mọi điểm của Ω được gọi là khả vi trên Ω .
Nhận xét 1.6. Xét trường hợp n = 1, ta có Ω = (a, b) ⊂ ¡ ; E = F = ¡ tức là
f : (a, b) → ¡ là hàm một biến số thực. Theo định nghĩa 1.4 hàm f khả vi tại
điểm x0 ∈ (a, b) nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính S : ¡ → ¡

lim
h →0

sao cho

f ( x0 + h) − f ( x0 ) − S (h)
= 0 . Khi đó S (h) = f '( x0 ).h với mọi h ∈ ¡ ,
h

trong đó f '( x0 ) = xlim
→x

0

với f '( x0 ) = xlim
→x

0

f ( x) − f ( x0 )
( đạo hàm theo định nghĩa 1.1 ). Tức là
x − x0

f ( x) − f ( x0 )
, ánh xạ tuyến tính S được xác định:
x − x0

S :¡ → ¡
( ∀h ∈ ¡ )
h a f '( x0 ).h
Như vậy S chính là vi phân của f tại x0 ∈ (a, b) .
Giả sử E = E1 × .... × En là không gian định chuẩn, F là không gian Banach và
f : Ω → F với Ω ⊂ E là mở. Với mỗi x 0 = ( x10 ,..., xn0 ) ∈ Ω và mỗi 1 ≤ i ≤ n ,
0
xét ánh xạ λi xác định trên một lân cận của xi trong Ei với giá trị trong F, và

λi ( xi ) = f ( x10 ,..., xi0−1 , xi , xi0+1 ,..., xn0 ) .
0
0
Định nghĩa 1.7 [4, tr 239]. Nếu λi khả vi tại xi thì đạo hàm của nó tại xi gọi

là đạo hàm riêng của f tại x 0 theo biến xi . Ký hiệu là

vậy

∂f 0
( x ) = λi' ( xi0 ) ∈ L( Ei , F ) .
∂xi

7

∂f 0
( x ); f x '( x0 ) . Như
∂xi
i


Định lí 1.8 [4, tr 239]. Nếu f khả vi tại x 0 thì nó có tất cả các đạo hàm riêng
∂f 0
( x )(hi ) ∀h = (h1 ,...., hn ) ∈ E .
i =1 ∂x
i
n

0
tại x và f '( x )(h) = ∑
0

Ma trận Jacobi của f tại x 0 [4, tr 240]:
Giả sử E = E1 × .... × En là không gian định chuẩn, F là không gian Banach và
f = ( f1 , f 2 ,..., f m ) : Ω → F1 × .... × Fm khả vi tại x0 ∈ Ω , ta có

f '( x0 )(h) = ( f1 '( x0 )(h),...., f m '( x0 )(h)) ∀h ∈ E
n

∂f j

i =1

∂xi

0
Mặt khác f j '( x )(h) = ∑

( x 0 )(hi ) ∀h = (h1 ,...., hn ) ∈ E , j = 1,...., m.

n ∂f
∂f1 0
( x )(hi ),...., ∑ m ( x 0 )(hi ))
i =1 ∂x
i =1 ∂x
i
i
n

0
Do đó : f '( x )(h) = ( ∑

 ∂f1 0
 ∂x ( x ) ....
 1
= .....

....

 ∂f m ( x 0 ) ....
 ∂x1
 ∂f1 0
 ∂x ( x ) ....
 1
....
Ma trận .....

 ∂f m ( x 0 ) ....
 ∂x1

∂f1 0 
(x ) 
∂xn

.....


∂f m 0 
(x )

∂xn

 h1 
... 
 
 hn 

∂f1 0 
(x ) 
∂xn

.....
 được gọi là ma trận Jacobi của f tại x 0 , kí

∂f m 0 
(x )

∂xn

0
hiệu là J f ( x ) .

Định lí 1.9 [4, tr 241]. Giả sử E = E1 × .... × En là không gian định chuẩn,
F = F1 × .... × Fm và G là các không gian Banach. Cho f : U → V , g : V → G
là hai ánh xạ với U, V là các tập mở trong E và F tương ứng. Giả sử f có đạo

8


0
0
hàm riêng theo xi tại x 0 ∈ U và g khả vi tại y = f ( x ) . Khi đó g 0 f có đạo

hàm riêng theo xi tại x 0 ∈ U và

m
∂

∂g 0 ∂f j 0
( gf )( x 0 ) = ∑
( y ). ( x ) .
j =1 ∂y
∂xi
∂xi
j

0
Chứng minh. Gọi γ là ánh xạ xác định trên một lân cận của xi trong Ei với

giá trị trong F:

γ ( xi ) = f ( x10 ,...., xi0−1 , xi , xi0+1 ,...., xn0 )

Ta có:
∂
( gf )( x 0 )( h) = ( gγ ) '( xi0 )(hi )
∂xi
= g '( y 0 )γ '( xi0 )(hi )
γ 1 '( xi0 )(hi ) 
∂g
∂g 0 

=[ ( y 0 ) ...
( y )]  .....

∂y1
∂ym
0

γ m '( xi )(hi ) 
 ∂f1 0

(
x
)(
h
)
i
 ∂x

i


∂g
∂g 0
= [ ( y 0 ) ...
( y )]  ............. 
∂y1
∂ym
 ∂f

 m ( x 0 )(hi ) 
 ∂xi

m
∂
∂g 0 ∂f j 0
0
(

gf
)(
x
)
=
( y ). ( x ) .
∑
Vậy
j =1 ∂y
∂xi
∂xi
j

1.1.2. Đạo hàm một phía.
Định nghĩa 1.10 [7, tr138]. Cho hàm số f : [ x0 , b ) → ¡ . Nếu tồn tại
giới hạn hữu hạn lim+
∆x →0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm
∆x

bên phải của hàm f ( x) tại x0 và được ký hiệu là f + '( x0 ) hoặc f p '( x0 ) .

9


Tương tự, xét hàm số : ( a, x0 ] → ¡ . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim−

∆x →0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của hàm
∆x

f ( x) tại x0 và được ký hiệu là f − '( x0 ) hoặc f t '( x0 ) . Các đạo hàm này gọi là
đạo hàm một phía của f tại x0 .
Nhận xét 1.11. Điều kiện cần và đủ để hàm số f ( x) có đạo hàm tại x0 là
các đạo hàm một phía của hàm số f ( x) tại x0 tồn tại và bằng nhau. Khi đó:
f '( x0 ) = f '− ( x0 ) = f '+ ( x0 )
Ví dụ 1.12 [7, tr 139]. Xét hàm số f ( x) = x .
Tại điểm x0 = 0 , tồn tại các đạo hàm một phía:
•
•

lim+

∆f
∆x
= lim+
= 1 hay f ' + (0) = 1
∆
x
→
0
∆x
∆x

lim−

∆f
∆x
= lim−
= −1 hay f − ' (0) = −1
∆
x
→
0
∆x
∆x

∆x →0

∆x →0

Vì đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải của hàm số f ( x) = x không bằng
nhau nên không tồn tại đạo hàm của hàm f ( x) = x tại x0 = 0 .
1.1.3. Đạo hàm cấp cao
Định nghĩa 1.13 [7, tr 144]. Cho U là một tập mở trong ¡ . Nếu tại x0 ∈U
hàm f ': U → ¡ khả vi thì ta gọi đạo hàm của f’ tại x0 là đạo hàm cấp hai của
hàm f tại x0 và kí hiệu là f ''( x0 ) : f ''( x0 ) = ( f ')'( x0 ) .
Hàm f có đạo hàm cấp hai tại x0 còn gọi là khả vi cấp hai tại x0 .
Một cách tổng quát, giả sử tồn tại đạo hàm cấp n-1 của f trên U, khi đó xác
định hàm f ( n−1) : U → ¡ , x a f ( n−1) ( x) . Nếu hàm f ( n−1) khả vi tại x0 ∈U thì
ta gọi đạo hàm của f ( n−1) tại x0 là đạo hàm cấp n của f tại x0 .
Kí hiệu là f ( n ) ( x0 ) : f ( n ) ( x0 ) = ( f ( n−1) )'( x0 ) .

10

Hàm f có đạo hàm cấp n tại x0 còn gọi là khả vi cấp n tại đó.
Ví dụ 1.14 [7, tr 144]. Cho hàm số f(x) = sinx. Ta có:

π
f '( x) = cos x = sin( x + )
2
π
π
f ''( x) = cos( x + ) = sin( x + 2 )
2
2
..........................................................

π
f ( n ) ( x ) = sin( x + n )
2
(Ta dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp).
1.1.4. Đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm ngược
Định lý 1.15 [7, tr 134]. Cho các tập mở U, V trong ¡ , các hàm f : U → V
và g : V → ¡ . Giả sử f khả vi tại x0 ∈U và g khả vi tại y0 = f ( x0 ) ∈V . Khi
đó hàm hợp g 0 f khả vi tại x0 và ( g 0 f )( x0 ) = g '[f(x 0 )] . f '( x0 ) .
Mở rộng ta có:
Định lí 1.16 [4, tr 236]. Giả sử E là không gian định chuẩn, F và G là các
không gian Banach và U ⊂ E , V ⊂ F là tập các tập mở. Giả sử x0 ∈ U và
f : U → V ; g : V → G là khả vi tại x0 và y0 = f ( x0 ) thì g 0 f : U → G khả vi
tại x0 và ( g 0 f )'( x0 ) = g '( f ( x0 )). f '( x0 ) .
Ví dụ 1.17. Tính đạo hàm của hàm số: y = (1 + x3 )100
Lời giải. Ta có thể khai triển hàm số này theo công thức Newton và tính được
đạo hàm của nó. Tuy nhiên ta có thể tính bằng cách đơn giản hơn. Trong

trường hợp này, nếu ta coi

y = (1 + x3 )100 như một hàm số hợp:

y = u100 ; u = 1 + x3 thì ta có: yu' = 100u 99 ; u x' = 3.x 2 .
Do đó theo công thức đạo hàm của hàm số hợp ta được :

y '( x) = 100.(1 + x3 )99 .3 x 2 = 300.(1 + x3 )99 .x 2

11


Định lí 1.18 [7, tr 135]. Nếu hàm số f thỏa mãn:
i) f : ( a, b) → ¡ liên tục và đơn điệu thực sự trong khoảng (a, b).
ii) f có đạo hàm f '( x0 ) ≠ 0 tại x0 ∈ (a, b) .
Khi đó hàm ngược g = f −1 của hàm f có đạo hàm tại điểm y0 = f ( x0 ) và
g '( y0 ) =

1
.
f '( x 0 )

Chứng minh. Với mọi y ∈ (c, d ) = f [(a, b)], y ≠ y0 . Do g là đơn điệu thực sự
nên x = g ( y ) ≠ g ( y0 ) = x0 .
g ( y ) − g ( y0 )
x − x0
1
=
=
y − y0

f ( x ) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 )
Khi đó:
x − x0
Khi y → y0 , do hàm ngược g = f −1 cũng là hàm liên tục nên x → x0 . Từ đó
g ( y ) − g ( y0 )
1
1
= lim
x → x0 f ( x ) − f ( x ) hay g '( y0 ) =
y − y0
ta có: y → y0
.
0
f '( x0 )
x − x0
lim

Ví dụ 1.19 [7, tr 135].
1) Xét hàm y = a x (a > 0).
Ta có: lny = xlna hay x =

1
ln y
. Do đó x ' y =
.
y ln a
ln a

Từ đó suy ra y 'x = y ln a = a x ln a , tức là (a x )' = a x ln a .
Đặc biệt (e x )' = e x .

2) Xét hàm y = arctanx.

π π
Hàm này là hàm ngược của hàm x = tany, y ∈ ( − , ) .
2 2
Ta có: x ' y =

1
= 1 + tan 2 y = 1 + x 2 .
2
cos y

12


Vậy y 'x =

1
1
1
=
.
2 , tức là (arctan x )' =
x 'y 1 + x
1 + x2

1.2. Ý nghĩa đại số của đạo hàm
1.2.1. Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số
1.2.1.1. Định nghĩa.

Định nghĩa 1.20 [8, tr 417]. Điểm I ( x0 ; y0 ) được gọi là tâm đối xứng của đồ
thị (C) của hàm số y = f ( x ) khi và chỉ khi với mọi điểm M ∈ (C) luôn tồn tại
 M , M ' ∈ (C )

M ' ∈ (C ) sao cho M, M’ đối xứng nhau qua I ( x0 ; y0 ) ⇔  M , I , M '
thẳng
 IM = IM '

hàng, tức là f ( x0 − x ) + f ( x0 + x) = 2 y0 ∀x .
• Nếu y0 = f ( x0 ) thì tâm đối xứng I ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị (C).
• Nếu y0 ≠ f ( x0 ) thì tâm đối xứng I ( x0 ; y0 ) không thuộc đồ thị (C).
Như vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số có thể nằm trên đồ thị hoặc nằm
ngoài đồ thị hàm số đó.
Định lí 1.21 [2, tr 37]. Điểm I (a; b) được gọi là tâm đối xứng của đồ thị hàm
X = x − a
x = X + a
⇔
số y = f ( x ) khi và chỉ khi với phép biến đổi tọa độ: 
Y = y − b
y = Y + b
thì hàm số Y = F ( X ) − b là hàm số lẻ.
Ví dụ 1.22 [2, tr 37]. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y =
I (1 ; 1) làm tâm đối xứng.

13

x +1
nhận điểm
x −1

X = x − 1 x = X + 1
⇔
Lời giải. Với phép biến đổi tọa độ: 
Y = y − 1
y = Y + 1
Khi đó : Y + 1 =

( X + 1) + 1
2
⇔Y =
( X + 1) − 1
X

(1)

Vì hàm số (1) là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số đã cho nhận điểm I (1 ; 1) làm
tâm đối xứng.
1.2.1.2. Tâm đối xứng của đồ thị hàm đa thức
Cho đa thức y = f ( x ) = a0 + a1x + a2 x 2 + ..... + an x n có đồ thị (C).
Với n > 1 ta có:
Theo khai triển Taylor tại lân cận x = α đối với đa thức f ( x) , ta được:
f '(α )
f ''(α )
f ( n ) (α )
2
f ( x) = f (α ) +
(x − α ) +
( x − α ) + ... +
( x − α )n

1!
2!
n!

(1)

X = x − α
x = X + α
⇔
Xét I (α , β ) , với phép biến đổi tọa độ: 
Y = y − β
y = Y + β
Khi đó (1) có dạng:
f '(α )
f ''(α ) 2
f ( n ) (α ) n
f ( x) = f ( X + α ) = y = Y + β = f (α ) +
X+
X + ... +
X
1!
2!
n!
⇔ Y = f (α ) − β +

f '(α )
f ''(α ) 2
f ( n ) (α ) n
X+
X + ... +

X
1!
2!
n!

(2)

Do đó điểm I (α , β ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) khi và chỉ
khi Y là một hàm lẻ .Từ khai triển (2) ta thấy Y là hàm lẻ khi và chỉ khi
f ( k ) (α ) = 0 với mọi k chẵn và f (α ) = β .
Nhận xét 1.23. Đồ thị hàm đa thức y = f ( x ) nhận I (α , β ) là tâm đối xứng
khi và chỉ khi f (α ) = β và f ( k ) (α ) = 0 với mọi k chẵn.
Mệnh đề 1.24.
i) Tâm đối xứng của đồ thị hàm đa thức thuộc đồ thị hàm số đó.

14


ii) Đồ thị hàm đa thức bậc chẵn không có tâm đối xứng.
1.2.1.3. Dấu hiệu nhận biết tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Cho y = f ( x ) là một hàm số lẻ khả vi mọi cấp trên khoảng (a, b) và 0 ∈ (a, b)
Khi đó f ( − x) = − f ( x) ∀x ∈ (a, b)
⇒ − f '( x) = − f '(− x) ⇒ − f "( x) = f "(− x) ⇒ f ''(0) = 0
Tổng quát: f ( k ) (0) = 0 với mọi k chẵn.
∞

n
Nếu f ( x) có khai triển thành chuỗi lũy thừa: f ( x) = ∑ Cn x ( bán kính hội
n =0

f ( n ) (0)
tụ R > 0 ) với Cn =
. Vì f ( k ) (0) = 0 với mọi k chẵn nên ta được
n!
Cn =

f ( n ) (0)
= 0 với mọi k chẵn.
n!
∞

Do đó: f ( x) = ∑ C2 n+1 x
n =0

2 n +1

 n

= lim  ∑ C2 k +1 x 2 k +1 ÷
n →∞
 k =0


Nhận xét 1.25. Hàm f ( x) là giới hạn của các hàm đa thức mà đồ thị của
chúng có gốc tọa độ là tâm đối xứng.
Tổng quát: Cho y = f ( x ) là hàm số xác định trên khoảng (a, b) có đồ thị (C),

α ∈ ( a, b) , giả sử f ( x) có đạo hàm mọi cấp. Khi đó (C) nhận (α , β ) làm tâm
X = x − α
x = X + α

⇔
đối xứng, với phép đổi trục : 
Y = y − β
y = Y + β
Thì y = f ( x ) ⇔ Y + β = f ( X + α )
⇔ Y = f ( X + α ) − β = f ( X ) là hàm số lẻ
Với X = 0, Y = 0 thì 0 = f (0 + α ) − β ⇔ f (α ) = β .

15


Nhận xét 1.26. Hoành độ tâm đối xứng của đồ thị thuộc tập xác định của
hàm số thì tâm đối xứng đó phải thuộc đồ thị hàm số ( hàm phân thức không
có tính chất đó).
Giả sử f ( x) có khai triển thành chuỗi lũy thừa tại lân cận α :
∞

∞

n =0

n =0

f ( x ) = ∑ Cn ( x − α ) n = ∑

f ( n ) (α )
( x − α )n
n!
∞

Hàm Y = f ( X + α ) − β = ∑
n =0

∞

Y =∑
n =0

f ( n ) (α ) n
X − β là hàm số lẻ nên
n!

f ( n ) (α ) n
X với n là số lẻ.
n!
∞

Khi đó y − β = ∑
n =0

∞

⇔ y = f ( x) = ∑
n =0

f (2 n+1) (α )
( x − α ) 2 n+1
n!

f (2 n+1) (α )

( x − α ) 2 n+1 + f (α )
n!

Nhận xét 1.27. Hàm f ( x) là giới hạn dãy hàm đa thức đi qua (α , f (α )) và
nhận (α , f (α )) làm tâm đối xứng.
Từ đó ta có các dấu hiệu nhận biết:
• Đồ thị hàm lẻ (C): y = f (x) nhận gốc tọa độ O(0; 0) làm tâm đối xứng.
3
2
• Đồ thị hàm bậc ba (C): f ( x ) = ax + bx + cx + d

(a ≠ 0) nhận điểm

uốn làm tâm đối xứng.
3
2
Chứng minh. Xét đa thức f ( x ) = ax + bx + cx + d

(a ≠ 0)

−b 
 −b
Dễ thấy đồ thị hàm bậc ba có điểm uốn là: I  ; f ( ) ÷
3a 
 3a
Mặt khác ta có: f '( x ) = 3ax 2 + 2 bx + c
f ''( x ) = 6ax + 2 b
f '''( x ) = 6 a

16

Điểm M ( α ; f (α ) ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số f ( x )
⇔ f ''(α ) = 0 ⇔ 6 aα + 2 b = 0 ⇔ α = −

b
3a

b 
 b
⇒ I ≡ M  − ; f (− ) ÷ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số f ( x ) .
3a 
 3a
Ví dụ 1.28. Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số:
f ( x ) = − x 3 + 3x 2 − 5 x + 2
Lời giải. Ta có: f '( x ) = −3 x 2 + 6 x − 5
f ''( x ) = −6 x + 6 ; f '''( x ) = −6
Điểm I ( α ; f (α ) ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho
⇔ f ''(α ) = 0 ⇔ − 6α + 6 = 0 ⇔ α = 1 . Với α = 1 ⇒ f (α ) = −1
Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận I (1 ; −1) làm tâm đối xứng.
• Đồ thị các hàm hypecbol (C): y =

y=

ax 2 + bx + c
dx + e

ax + b
( a, c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) và
cx + d

(ad ≠ 0) nhận giao của hai đường tiệm cận làm tâm

đối xứng.
Chứng minh.
Trường hợp 1: Hàm y =

ax + b
; ( a, c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) .
cx + d

Đồ thị hàm số này có: Tiệm cận đứng: x = −

d
a
, tiệm cận ngang: y =
c
c

ax + b
 d a
Ta chứng minh I  − ; ÷ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y =
.
cx + d
 c c
dc
d


X

=
x
+
x
=
X
−


c
c
⇒ 
Thật vậy, với phép đổi tọa độ: 
Y = y − a
y = Y + a

c
c


17


d

a  X − ÷+ b aX − ad + b
a
c

c

=
ta có Y + =
d
c
cX

c  X − ÷+ d
c

⇔Y =

ad
c =  b − ad  1

2 ÷
cX
c c X

b−

(1)

 d a
Hàm số (1) là hàm lẻ, vậy I  − ; ÷ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
 c c
Ví dụ 1.29 [2, tr 40]. Cho hàm số y =

x
, chứng minh rằng đồ thị này nhận
x +1

giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Lời giải. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận ⇒ I ( −1 ; 1) . Ta chứng
minh I là tâm đối xứng của đồ thị. Thật vậy, với phép đổi tọa độ:
X = x + 1 x = X − 1
X −1
1
⇔Y =−
⇔
ta được hàm số Y + 1 =

( X − 1) + 1
X
Y = y − 1
y = Y + 1
Đây là một hàm số lẻ. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I (−1 ; 1) làm tâm đối
xứng.
ax 2 + bx + c
Trường hợp 2: Hàm y =
dx + e
Ta viết lại hàm đã cho: y =
Tiệm cận đứng: x = −
Tiệm cận xiên: y =

(ad ≠ 0)

a
b
c
x+ +

d
d dx + e

e
lim y = ∞
vì x →− e
d
d


b 
a
b
a
y
−
x
+
x+
vì xlim

÷ =0

→∞
d ÷
d
d
d



b
 e a
Ta chứng minh I  − ; x + ÷là tâm đối xứng của đồ thị hàm số với phép
d
 d d
biến đổi tọa độ:

18


e
e


X
=
x
+
x
=
X
−


d
d
⇔




Y = y −  a x + b ÷  y = Y +  a x + b ÷
d  
d  ⇒ hàm số có dạng :
d
d

b a
b
c
a
Y +  x + ÷ =  x + ÷+
e
d d
d

d
d  X − ÷+ e
d

⇔Y =

c
c 1
= × . Đây là một hàm số lẻ. Vậy đồ thị nhận
d. X d X

b
 −e a
I ; x + ÷

d
 d d

là tâm đối xứng.
Ví dụ 1.30 [2, tr 40]. Cho hàm số y = x −

1
. Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số
x +1

này nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Lời giải. Hàm số y = x −

1
có :
x +1

y=∞
Tiệm cận đứng: x = −1 vì xlim
→−1
y − x) = 0
Tiệm cận xiên: y = x vì xlim(
→∞
⇒ I (−1; −1) là giao điểm của hai đường tiệm cận.
X = x + 1 x = X − 1
⇔
Với phép biến đổi tọa độ: 
Y
=
y

+
1

y = Y − 1
Khi đó: Y − 1 = X − 1 −

1
1
⇔Y = X −
là hàm số lẻ. Vậy đồ thị hàm
( X − 1) + 1
X

số nhận I (−1; −1) là tâm đối xứng.
Ví dụ 1.31. Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số: f ( x ) = x 4 − x 3 + 3 x 2 − 5
Lời giải. Ta có: f '( x ) = 4 x 3 − 3 x 2 + 6 x ; f ''( x ) = 12 x 2 − 6 x + 6
f '''( x ) = 24 x − 6 ; f ( 4) ( x ) = 24

19


Điểm I ( a; f (a) ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số khi và chỉ khi:
 f ''(a) = 0
12a 2 − 6a + 6 = 0
⇔ 
( vô lý )
 ( 4)
f
(
a

)
=
0

24 = 0
Vậy đồ thị hàm số đã cho không có tâm đối xứng.
1.2.2. Xác định trục đối xứng của đồ thị hàm số
1.2.2.1. Định nghĩa.
Định nghĩa 1.32 [8, tr 424]. Đường thẳng (d) là trục đối xứng của đồ thị (C):
y = f ( x ) khi và chỉ khi với mọi điểm M ∈ (C ) luôn tồn tại M ' ∈ (C ) sao cho
M và M’ đối xứng nhau qua (d).
Định lí 1.33 [2, tr 43]. Đường thẳng x = α là trục đối xứng của đồ thị hàm số
y = f ( x ) khi và chỉ khi với phép biến đổi tọa độ:
X = x − α
x = X + α
⇔
thì hàm số Y = F ( X ) là hàm số chẵn.

Y
=
y
y
=
Y


Ví dụ 1.34. Tìm trục đối xứng của đồ thị hàm số y = x 2 − 3 x + 1 .
Lời giải. Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x = a
X = x − a
x = X + a

⇔
Với phép biến đổi tọa độ: 
Y = y
y = Y
Hàm số: Y = ( X + a)2 − 3( X + a) + 1 = X 2 + 2aX + a 2 − 3 X − 3a + 1
= X 2 + (2 a − 3) X + a 2 − 3a + 1
là hàm số chẵn ⇔ 2 a − 3 = 0 ⇔ a =
là x =

3
. Vậy đồ thị hàm số có trục đối xứng
2

3
2

Định lý 1.35 [2, tr 44]. Đường thẳng y = ax + b là trục đối xứng của đồ thị
hàm số y = f ( x ) khi và chỉ khi các đường thẳng vuông góc với đường thẳng

20


y = ax + b ( có dạng y =

−1
x + m ) nếu cắt đồ thị tại A và B thì trung điểm I
a

của AB phải thuộc đường thẳng y = ax + b .
Ví dụ 1.36 [2, tr 45]. Cho hàm số y =

x −1
. Chứng minh rằng đường thẳng
x +1

y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số đó.
Lời giải. Đường thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số khi và chỉ
khi các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = x + 2 nếu cắt đồ thị tại
A và B thì trung điểm I của AB phải thuộc đường thẳng y = x + 2 . Ta có:
Hoành độ giao điểm A và B là các nghiệm của phương trình:
x −1
= − x + m ⇔ x 2 − (m − 2) x − 1 − m = 0
x +1
 xA + xB = m − 2
Giả sử x A , x B là các nghiệm của (1), ta có: 
 x A x B = −m − 1

m−2

xA + xB

x
=
I
 xI =

2
2 ⇔
Gọi I ( x I , yI ) là trung điểm của AB, ta có: 
 yI = − x I + m

y = m + 2

 I
2
Thay tọa độ của I vào phương trình đường thẳng y = x + 2 , ta được:
m+2 m−2
=
+ 2 ⇔ 0 = 0 ( luôn đúng ). Do đó I thuộc đường thẳng
2
2

y = x + 2 . Vậy đường thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số.
1.2.2.2. Trục đối xứng của đồ thị hàm đa thức
Cho đa thức f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ..... + an x n có đồ thị (C).
i) Với n = 0 hay deg(f) = 0 thì f ( x) có dạng : y = a0 nên đồ thị của f ( x) là
đường thẳng song song với trục hoành, do đó nhận mọi đường thẳng song

21


song với trục tung Oy làm trục đối xứng và chỉ có các đường này thỏa mãn
làm trục đối xứng.
ii) Với n = 1 hay deg(f) = 1 thì f ( x) có dạng : y = a0 + a1 x ( a1 ≠ 0 ) nên đồ
thị của nó nhận đường vuông góc (d) làm trục đối xứng, (d) có dạng

−x
+ m.
a1

iii) Với n > 1, (C) không có trục đối xứng theo phương xiên và không có trục

đối xứng theo phương ngang. Thật vậy:
 f ( x) − ( ax + b )  = ∞ và lim  f ( x) − b  = ∞ nên (C) nằm phía trên
Vì lim
x →∞ 
x→∞
∆1 : y = ax + b
hoặc phía dưới các đường thẳng: 
với x đủ lớn.
∆
:
y
=
b
 2
Nếu (C) nhận các đường này làm trục đối xứng thì cả hai phía ( hai nửa mặt
phẳng nhận ∆1 , ∆ 2 làm bờ) đều phải chứa phần đồ thị (C).
Nhận xét 1.37. Đồ thị hàm đa thức y = f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ..... + an x n
(n > 1) chỉ có trục đối xứng theo phương thẳng đứng dạng (d): x = α .
Ta xác định α :
Theo khai triển Taylor tại lân cận x = α , ta có:
f '(α )
f ''(α )
f ( n ) (α )
2
f ( x) = f (α ) +
(x − α ) +
( x − α ) + ... +
( x − α )n
1!
2!

n!

(1)

x = X + α
Với phép đổi biến số : 
thì (1) có dạng:
y = Y

Y = f ( X + α ) = f (α ) +

f '(α )
f k (α ) k
f ( n ) (α ) n
X + .... +
X + .... +
X
1!
k!
n!

(2)

f '(α )
f ''(α ) 2
f ( n ) (α ) n
X+
X + ... +
X . Đường
Khi đó: f ( X + α ) = f (α ) +

1!
2!
n!
thẳng (d): x = α là trục đối xứng của đồ thị hàm số y = f ( x) trong hệ tọa độ

22


mới IXY ( I (α ;0) ) khi và chỉ khi f ( x) là một hàm chẵn, tức là hàm
y = f ( X + α ) là hàm số chẵn.
Từ (2) ta thấy Y là hàm chẵn khi và chỉ khi f ( k ) (α ) = 0 với mọi k lẻ.
Nhận xét 1.38. Đồ thị hàm số y = f ( x) nhận x = α là trục đối xứng khi và
chỉ khi f ( k ) (α ) = 0 với mọi k lẻ. Hàm đa thức lẻ bậc lớn hơn hoặc bằng 3
f ( n ) (α )
không có trục đối xứng vì nếu n lẻ thì
≠ 0.
n!
Tổng quát: Cho y = f ( x) là hàm số chẵn, khả vi mọi cấp trên (a, b), giả sử
0 ∈ (a, b) . Vì y = f ( x) chẵn nên f ( x) = f (− x) ⇒ f ( k ) (0) = 0 ∀ k lẻ.
Nếu y = f ( x) có dạng khai triển thành chuỗi lũy thừa tại 0 ( chuỗi Maclorin)
∞

với bán kính hội tụ R ≥ 0 là: f ( x) = ∑
n =0

vì f

(k )

∞

(0) = 0 ∀ k lẻ nên f ( x) = ∑
n =0

f ( n) (0) n ∞ f (2 n) (0) 2 n
x =∑
x
n!
n=0 (2n)!

 n f (2 k ) (0) 2 k 
f (2 n ) (0) 2 n
lim
x ÷
x =
∑
n→∞
(2
k
)!
(2n)!
 k =0


Nhận xét 1.39. Hàm y = f ( x) là giới hạn của một dãy hàm đa thức bậc
chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng.
Ví dụ 1.40. Tìm trục đối xứng của đồ thị hàm số f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) .
Lời giải. Ta có: f '( x ) = 2 ax + b , f ''( x ) = 2 a . Đường thẳng x = α là trục đối
xứng của đồ thị hàm số khi và chỉ khi f '(α ) = 0 ⇔ α =
Vậy đường thẳng x =

−b
.
2a

−b
là trục đối xứng của đồ thị hàm đã cho.
2a

Ví dụ 1.41. Xét sự tồn tại trục đối xứng của đồ thị hàm đa thức :
f ( x ) = 2 x 3 + 3x 2 − 5
Lời giải. Ta có: f '( x ) = 6 x 2 + 6 x , f "( x ) = 12 x + 6 , f '''( x ) = 12

23


Đồ thị hàm đã cho nhận x = α là trục đối xứng khi và chỉ khi
f '(α ) = 6α 2 + 6α = 0 và f '''(α ) = 12 =0 ( vô lí ).
Vậy đồ thị hàm đã cho không có trục đối xứng.
1.2.2.3. Dấu hiệu nhận biết trục đối xứng [8, tr 424].
• Đồ thị (C) : y = f ( x) là hàm chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
4
2
• Đồ thị (C) : y = f ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) . Đây là một hàm số chẵn

nên đồ thị hàm này nhận trục tung là trục đối xứng.
•

Đồ thị (C) : y = f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) nhận x =

−b
làm trục đối
2a

xứng
am ≠ 0
ax 2 + bx + c
• Đồ thị (C) : y = f ( x ) =
vớ
i
nhận đường

mx 2 + nx + p
an − bm ≠ 0
thẳng (d ) : x =
•

−n
làm trục đối xứng
2m

Đồ thị (C) : y = f ( x ) =

ac ≠ 0
ax + b
với 
nhận hai đường phân
cx + d
ad − bc ≠ 0

giác của góc tạo bởi hai tiệm cận làm trục đối xứng
am ≠ 0

ax + bx + c
2
• Đồ thị (C) : y = f ( x ) =
với   −n  2
 −n 
mx + n
a  m ÷ + b  m ÷ + c ≠ 0
 
  
2

nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai tiệm cận làm trục đối
xứng.
Ví dụ 1.42. Xác định trục đối xứng của đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 .
Lời giải. Ta có: y ' = 4 x 3 − 4 x, y " = 12 x 2 − 4, y "' = 24 x .
Đồ thị hàm đã cho nhận x = α là trục đối xứng khi và chỉ khi

24


24 = 0
= 0.
3
4


4

=
0

Vy x = 0 l trc i xng ca th hm ó cho.
Kờt luõn: ụ thi ham sụ le nhõn gục toa ụ lam tõm ụi xng. ụ thi ham sụ
chn nhõn truc tung lam truc ụi xng.
1.3. ý nghĩa hình học của đạo hàm
nờu rừ ý ngha hỡnh hc ca o hm, ta xét bài toán: Cho hàm số

y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại điểm Mo(x0; f(x0)).
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C) , với điểm M M0 và M (C):
k
M(xM;yM), gọi kM là hệ số góc của cát tuyến M0M. Giả sử tồn tại k0 = xMlim
x0 M .
Khi đó ta coi đờng thẳng M0T đi qua M0 và có hệ số góc k 0 là vị trí giới hạn
của cát tuyến M0M khi M di chuyển dọc theo (C) dần đến M0.
Đờng thẳng M0T đợc gọi là tiếp tuyến của (C) tại M0 còn M0 đợc gọi là tiếp
điểm.
Vì f có đạo hàm tại điểm x0. Ta đã biết vi M (C) thì: kM =
Do đó: f '( x0 ) = lim
x x
M

0

f ( xM ) f ( x0 )
xM x0

f ( xM ) f ( x0 )
xM x0

= xlim
k = k0
x M
M

0

Vậy phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M 0 ( x0 , f ( x0 )) là:

y = k0 ( x x0 ) + f ( x0 )
= f '( x0 )( x x0 ) + f ( x0 )
Nhận xét 1.43 [9, tr 187].
- Đạo hàm của hm s y = f (x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của
đồ thị hm s đó tại điểm M0(x0;f (x0)).
- Nếu f nhận giá trị thực thì tính khả vi của f đợc biểu diễn với sự tồn tại 1
tiếp tuyến (d) không song song với Oy tại M0(x0;f (x0)) trên đồ thị (C).

25