PHÉP NGHỊCH đảo và một số ỨNG DỤNG

Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

PHẫP NGHCH O V MT S NG DNG
I. M u:
Phộp di hỡnh l phộp bin hỡnh bo ton khong cỏch gia hai im bt kỡ, phộp
v t v ng dng l cỏc phộp bin hỡnh bo ton t s khong cỏch gia hai im bt
kỡ. Chỳng u bin ng thng thnh ng thng, ng trũn thnh ng trũn.
Ngoi cỏc phộp di hỡnh, phộp v t v ng dng, cũn mt phộp bin hỡnh khỏc
vi nhng tớnh cht rt thỳ v. ú l phộp nghch o. Phộp nghch o cng cú th
bin ng thng thnh ng thng, ng trũn thnh ng trũn, nhng cú th bin
mt ng thng thnh mt ng trũn, cũn 1 ng trũn thnh mt ng thng. c
bit hn l nú bo ton gúc gia hai hỡnh.
Phộp nghch o cng cú mt s ng dng rt quan trng trong vic gii cỏc bi
toỏn hỡnh hc phng.
II. Ni dung chuyờn :
A. Cỏc khỏi nim:
1. nh ngha:
a) Cho trc mt im O v mt s thc k 0 , vi mi im M khỏc O ta dng
mt im M trờn ng thng OM sao cho OM .OM ' = k (1)
Khi ú ta núi M l nh ca im M qua phộp nghch o tõm O phng tớch k
(hoc h s k )


O

M

M

Khi M O thỡ M l im vụ cc v kớ hiu v khi M l im vụ cc thỡ
M trựng vi O

Kớ hiu phộp nghch o tõm O, h s k bin im M thnh im M l:
f ( O, k ) : M M '
b) Cho mt hỡnh H. Tp hp nh ca mi im thuc H trong phộp nghch o
f ( O, k ) lp thnh hỡnh H c gi l nh ca hỡnh H (hỡnh nghch o ca H) v
c kớ hiu: f ( O, k ) : H H
2. Cỏc khỏi nim khỏc liờn quan:

1


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

a) Xét phép nghịch đảo f ( O, k ) với k > 0. Đường tròn tâm O, bán kính R = k

được gọi là đường tròn nghịch đảo thực. Nếu k < 0, thì đường tròn tâm O bán kính

R=

k được gọi là đường tròn nghịch đảo ảo
Khi đó, mọi điểm trên đường tròn nghịch đảo là các điểm bất động đối với phép

nghịch đảo đó.
b) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B. Gọi d1 và d2 lần
lượt là các tiếp tuyến của hai đường tròn tại A. Góc tạo bởi d1 và d2 được gọi là góc tạo
bởi hai đường tròn (O1) và (O2). Nếu góc đó vuông thì ta nói hai đường tròn (O1) và
(O2) trực giao (hoặc hai đường tròn vuông góc với nhau) tại điểm A.
Ta nhận thấy góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường tròn tại B bằng góc đó tại A.
Góc tạo bởi một đường thẳng và một đường tròn là góc tạo bởi đường thẳng đó
với tiếp tuyến của đường tròn tại điểm chung của chúng.
B. Các tính chất:

Cho phép nghịch đảo f ( O, k ) với k ≠ 0
1. Tính chất 1: Phép nghịch đảo f ( O, k ) là phép biến đổi 1 - 1
2. Tính chất 2: Phép biến đổi f = f ( O, k )  f ( O, k ) là phép đồng nhất.
3. Tính chất 3: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua phép f ( O, k ) thì A' B' =

k
OA.OB

AB

4. Tính chất 4: Ảnh của một đường thẳng d đi qua tâm nghịch đảo là đường thẳng d.
5. Tính chất 5: Ảnh của một đường thẳng d không đi qua tâm nghịch đảo O là một
đường tròn đi qua tâm nghịch đảo O.
6. Tính chất 6: Ảnh của một đường tròn (C) đi qua tâm nghịch đảo O là một đường
thẳng d không đi qua tâm nghịch đảo O và song song với tiếp tuyến của đường tròn (C)
tại O.
7. Tính chất 7: Ảnh của đường tròn ( γ ) không đi qua tâm nghịch đảo O là một đường
tròn ( γ ') . Đường tròn ( γ ') cũng là ảnh của đường tròn ( γ ) qua phép vị tự V( O , λ ) với

λ=

k
, p là phương tích của O đối với đường tròn ( γ ) .
p
2


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

8. Tớnh cht 8: Gúc to bi ng thng d v ng trũn ( ) cựng i qua tõm nghch

o O cú s o bng gúc to bi nh ca chỳng qua phộp nghch o ú.
9. Tớnh cht 9: Gúc to bi hai ng trũn ( ) v ( ') cựng i qua tõm nghch o O
cú s o bng gúc to bi nh ca chỳng qua phộp nghch o ú.
10. Tớnh cht 10: Nu ng thng d v ng trũn ( ) khụng i qua tõm nghch o
O, thỡ gúc to bi d v ( ) cú s o bng gúc to bi nh ca chỳng qua phộp nghch
o ú.
11. Tớnh cht 11: Gúc to bi hai ng trũn ( ) v ( ') khụng cựng i qua tõm nghch
o O cú s o bng gúc to bi nh ca chỳng qua phộp nghch o ú.
C. Cỏc bi toỏn ỏp dng:
I. Dng toỏn: Chng minh cỏc tớnh cht hỡnh hc
Bi 1: Cho a giỏc A1 A2 ... An ni tip ng trũn (C). M l mt im bt kỡ trờn cung
A1 An (cung khụng cha nh no ca a giỏc). Gi d1 , d 2 , ..., d n ln lt l khong cỏch
t M n cỏc ng thng A1 A2 , A2 A3 , ..., An A1 . Chng minh rng:
an n 1 ai
= vi ai l di cỏc cnh Ai Ai +1
d n i =1 d i

(A

n +1

A1 )

Gii:
d1

Gi R l bỏn kớnh ca ng

M
an

trũn (C).

A1
a1

Xột phộp nghch o tõm M

O

A2
A4

phng tớch k
A3

Khi ú phộp nghch o f ( M , k )
bin ng trũn (C) thnh ng

An

d

A'1

A'2

A'3

A'4

thng d khụng i qua M
'
'
'
'
'
'
'
'
'
Trờn ng thng d ta gi Ai = f ( Ai ) thỡ ta cú: A1 An = A1 A2 + A2 A3 + ... + An 1 An (*)

3


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng
'
'
Do ú ta cú i = 1, n Ai Ai +1 = k

=k

2 S MA A .sin Ai MAi +1
i i +1

2 S MA A .d i
i i +1

Thay vo (*) ta cú: k

=k

Ai Ai +1
Ai Ai +1 .d i .sin Ai MAi +1
=k
MAi .MAi +1
MAi .MAi +1 .d i .sin Ai MAi +1

sin Ai MAi +1
sin Ai MAi +1
ai
=k
=k
di
di
2 Rd i

n 1
an
ai
a
a
=k
n = i (pcm)
2 Rd n
2 Rd i
d n i =1 d i

Bi 2: Cho tam giỏc ABC khụng cõn. ng trũn tõm I ni tip tam giỏc ABC tip xỳc

vi cỏc cnh BC, CA, AB ln lt ti A, B, C. Gi M, N, E ln lt l giao im ca
cỏc cp ng thng: BC v BC; CA v CA; AB v AB. Chng minh rng 3 im
M, N, E thng hng.
Gii:

Gi (C1), (C2) ln lt l ng trũn

A

ng kớnh AI v A1I
Khi ú: B1C1 l trc ng phng ca hai
ng trũn (I) v (C1) v; BC l trc ng
phng ca hai ng trũn (I) v (C2)

B'

C'
P

M

M BC B1C1 = M

I

B

A'

C

nờn PM / ( C ) = PM / ( C )
1

2

Gi M l giao im th hai (khỏc I) ca

E

hai ng trũn (C1) v (C2) thỡ M IM
Ta cú: IM AM v IM A1M nờn 3
im A, A1, M thng hng.
N

Theo nh lý Ceva ta cú 3 ng thng
AA1, BB1, CC1 ng quy ti P
ã ' P = 900 hay M thuc ng trũn (C) ng kớnh IP
Suy ra IM

Tng t nu gi
N l giao im th hai ca ng trũn (C1) v ng trũn ng kớnh B1I
E l giao im th hai ca ng trũn (C1) v ng trũn ng kớnh C1I
thỡ N v E cng thuc ng trũn (C) ng kớnh IP
IM.IM = IN.IN = IE.IE = R (vi R l bỏn kớnh ng trũn ng kớnh IP)

4


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

2
Xột phộp nghch o cc I, phng trỡnh R2 : f ( I , R ) ta cú:

f ( I , R 2 ) bin cỏc im M, N, E thnh cỏc im tng ng l M, N, E
f ( I , R 2 ) bin ng trũn (C) ng kớnh IP thnh ng thng d khụng qua I

Do cỏc im M, N, E thuc ng trũn (C) nờn cỏc im M, N, E thuc ng thng
d hay M, N, E thng hng.
Bi 3: Cho hai ng trũn (O) v (O) tip xỳc ngoi nhau ti A. Mt tip tuyn ca
(O) ti im M bt kỡ trờn ng trũn ct (O) ti B v C. Chng minh rng AM l
ng phõn giỏc ca gúc to bi hai ng thng AB v AC.
Gii:

d'

d

A

O'

O
M'

C
I

B'
H

B

M
2
H AH BC. Xột phộp nghch o cc A, phng tớch k = AH2 : f ( A, AH )

f ( A, AH 2 ) bin tip tuyn ti M vi ng (O) thnh tip tuyn vi ng trũn (I)

ng kớnh AH
f ( A, AH 2 ) : M M; B B; C C sao cho M, B, C thuc (I)
f ( A, AH 2 ) : (O) d l tip tuyn vi (I) ti M; d OA

(O) d qua B, C v d OA
5


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

ẳ'B' = M
ẳ 'C '
Vỡ d // d v M l tip im ca tip tuyn d vi (I) M
ẳ ' = NC
ẳ '
Gi N l im i xng vi M qua I N (I) NB

AN l phõn giỏc ca gúc BAC AM l phõn giỏc ca gúc BAC
Vy AM l phõn giỏc ca gúc to bi AB v AC.
Bi 4: (Thi Olympic Bungari - vũng 4 - 1995)
Cho tam giỏc ABC cú chu vi 2p cho trc. Cỏc im E, F nm trờn ng thng AB sao

cho CE = CF = p. Chng minh rng ng trũn bng tip (k1) ng vi cnh AB ca tam
giỏc ABC tip xỳc vi ng trũn (k2) ngoi tip tam giỏc EFC.
Gii:
C

Vỡ CP = CQ = CE = CF = p nờn suy ra 4 im P, Q,
E, F cựng thuc ng trũn (C, p)
Xột phộp nghch o cc C phng tớch p2 ta cú:
f (C, p2 ) : P P ;

Q

Q Q
P

Do ú: f ( ( k1 ) ) = ( k1 )
Mt khỏc:

f ( E) = E
f (F) = F

F

B

A

E

O

O'


f ( ( k 2 ) ) = EF


M ( k1 ) tip xỳc vi EF nờn ( k1 ) tip xỳc vi ( k 2 )

k2

k1

Bi 5: Cho hai ng trũn (C1) cú tõm O1 v bỏn kớnh
R1, ng trũn (C2) cú tõm O2 v bỏn kớnh R2. im I khụng nm trờn c hai ng trũn.
Gi f l phộp nghch o cc I phng tớch k 0 , f ( C1 ) ; f ( C2 ) l cỏc ng trũn nh
d 2 R12 R22
ca ( C1 ) ; ( C2 ) . t: ( ( C1 ) , ( C2 ) ) =
vi d = O1O2 . Chng minh rng:
2 R1 R2
1. Nu I ng thi nm trong hoc nm ngoi c hai ng trũn ( C1 ) ; ( C2 ) thỡ:

( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) )
2. Nu I nm trong mt ng trũn v nm ngoi mt ng trũn thỡ

( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) )
6


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

Giải: Gọi f ( C1 ) = ( I1 , r1 ) ;

f ( C2 ) = ( I 2 , r2 )

I1 I 2 − r12 − r22
Khi đó: ϕ ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) =
2r1r2
2

Vì f ( C1 ) = ( I1 , r1 ) ;
⇒ II1 =

k
IO1
p1

f ( C2 ) = ( I 2 , r2 ) nên: I = V p ( O ) và I = V p ( O )
1
I
1
2
I
2
k

k

1

II 2 =

và

2

k
IO2 (với p1 = PI / ( C ) = IO12 − R12 và p2 = PI / ( C ) = IO2 2 − R22 )
p2
1

2

Khi đó ta có:

(

2

I1 I 2 = I1 I 2 = II 2 − II1
2

)

2

2

2

IO22

2
k

k
2  IO1


k
+
−
IO
.
IO
=  IO1 − IO2  =  2
1
2
2
p
p
p
p
p
p
2
1 2
 1

 1

2

 p1 + R12 p2 + R22 IO12 + IO22 − O1O2 2 

+
−
= k 
2
2
p
p
p
p
1
2
1 2


2

2
1
1 R12 R22 p1 + p2 + R12 + R22 − O1O2 

+ 2+ 2−
= k  +
p
p
p
p
p

p
2
1
2
1 2
 1

2

 R12 R22 R12 + R22 − O1O2 2 

= k  2 + 2 −
p
p
p
p
2
1 2
 1

2

k

k

Vì I = V p ( O ) và I = V p ( O ) ;
1
I
1

2
I
2
1

2

nên ta có: r1 =

f ( C1 ) = ( I1 , r1 ) ;

f ( C2 ) = ( I 2 , r2 )

k
k
R1 và r2 =
R2
p1
p2

Do đó:
2
2
2
 r12 r22 R12 + R22 − O1O2 2 
2
2
2
2 O1O2 − R1 − R2
 ⇒ I1 I 2 − r1 − r2 = k

I1 I 2 = k  2 + 2 −
k
k
p
p
p1 p2
1 2


2

2

I1 I 2 − r12 − r22
k 2 O1O2 − R12 − R22
⇒ ϕ ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) =
=
.
r1r2
2r1r2
p1 p2
2

1
=
2r1r2

2

(

)

2
kk
1  r1 p1 .r2 p2 O1O2 − R12 − R22 
2
2
2 
O1O2 − R1 − R2  =



p
p
p1 p2
 1 2
 2r1r2  R1 R2


(

)

p1 p2 O1O2 2 − R12 − R22
p1 p2
.
.ϕ ( ( C1 ) , ( C2 ) )
=
=

p1 p2
p1 p2
R1 R2

7


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

Do ú:
1. Nu I nm ng thi trong hoc ngoi c hai ng trũn ( C1 ) ; ( C2 ) thỡ
p1 p2 > 0 nờn ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) )
2. Nu I nm trong mt ng trũn v nm ngoi mt ng trũn thỡ p1 p2 < 0 nờn

( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) )
Bi 6: Cho hai ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tip xỳc vi nhau ti A . Mt ng thng l qua

A ct cỏc ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tng ng ti C1 , C2 khỏc A . Mt ng trũn ( C ) qua
C1 , C2 ct li hai ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) ti B1 , B2 tng ng. Gi ( x ) l ng trũn

ngoi tip tam giỏc AB1B2 . ng trũn ( k ) tip xỳc vi ng trũn ( x ) ti A , ct

( C1 ) , ( C2 )

ln lt ti D1 , D2 khỏc A . Chng minh rng:
1. Cỏc im C1 , C2 , D1 , D2 hoc cựng thuc mt ng trũn hoc cựng thuc mt
ng thng.
2. Cỏc im B1 , B2 , D1 , D2 cựng thuc mt ng trũn khi v ch khi AC1 , AC2
ln lt l ng kớnh ca ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tng ng.
Gii:

(c)

k'1

k2

(x')

l

(k)

k'2

B'1

D2

B'2

C'1
C2

D1
k1
A

C1

B1

C'2

B2
(x)

Hỡnh 1

D'2
(k')

D'1

Hỡnh 2

1. Xột phộp f l phộp nghch o cc A , phng tớch k 0 thỡ
+) f bin ng trũn ( k1 ) , ( k2 ) thnh cỏc ng thng k1' , k2' tng ng v k1' / / k2'
+) f bin ng trũn ( x ) , ( k ) thnh cỏc ng thng x '; k ' tng ng v x '/ / k '
+) f bin ng thng ( l ) thnh chớnh nú

8


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

Suy ra f bin cỏc im B1 , B2 , C1 , C2 , D1 , D2 tng ng thnh cỏc im
B1' = x ' k1' ; B2' = x ' k 2' ; C1' = l k1' ; C2' = l k 2' ; D1' = k ' k1' ; D2' = k ' k2'
Do ú t giỏc B1' B2' D2' D1' l hỡnh bỡnh hnh (Hỡnh 2)

ã ' B' D' + B

ã ' D ' D ' = 1800 (1)
B
2 1 1
1 1 2
Vỡ C1 , C2 , B1; B2 thuc ng trũn ( C ) v A khụng thuc ng trũn ( C )
C1' , C2' , B1' ; B2' thuc ng trũn ( C ') = f

( ( C ) ) Bã B D
'
2

'
1

'
1

ã 'C ' D ' (2)
=C
1 2 2

ã ' D' D' + C
ã 'C ' D ' = 1800
T (1) v (2) suy ra C
1 1 2
1 2 2
'
C1' , C2' , D1' , D2' cựng thuc mt ng trũn ( k3 )

C1 , C2 , D1 , D2 hoc cựng thuc ng thng, hoc cựng thuc 1 ng trũn l to nh ca

'
ng trũn ( k3 ) qua phộp nghch o f .

2. Ta cú: Cỏc im B1 , B2 , D1 , D2 cựng thuc mt ng trũn
Cỏc im B1' , B2' , D1' , D2' cựng thuc mt ng trũn B1' B2' D2' D1' l hỡnh ch nht

ã ' B ' B ' = 900 C
ã 'C ' D ' = 900 ng thng l v ng trũn ( C ' ) trc giao vi nhau
D
2
1 1 2
1 2 2
ng thng l v ng trũn ( C2 ) trc giao vi nhau
AC1 , AC2 ln lt l ng kớnh ca ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tng ng.

Bi 7: Cho ng trũn ( O ) cú ng kớnh AB v mt im C trờn ( O ) , ( C A, C B ) .
Tip tuyn vi ( O ) ti A ct ng thng BC ti M . Gi N l giao im ca cỏc tip
tuyn vi ( O ) ti B v ti C . ng thng AN ct li ng trũn ( O ) ti D khỏc A v
ct ng thng BC ti F . ng thng qua M , song song vi AB ct ng thng
OC ti I . ng thng qua N , song song vi AB ct ng thng OD ti J . Gi K l

giao im ca hai ng thng MD, NC v E l giao im ca hai ng thng MN , IJ .
1. Chng minh rng hai ng trũn ( MCE ) v ( NDE ) tip xỳc vi nhau.
2. Chng minh rng K l tõm ng trũn i qua cỏc im C , D, E , F .

9


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

Gii:
A

P

M

X

I
C

O
F

K
E

Y

D
J

B

N

1. Gi P l giao im ca AM
v NC thỡ PA = PM = PC .
Ta cú OPN vuụng ti O ,

ng cao OC nờn suy ra

OC 2 = CP.CN = AP.BN = OB 2
2OB.OC = BN .2 AP
OA. AB = BN . AM
AOM : BNA
ã
ãAMO = BAN
= ãADO
Suy ra t giỏc AMDO ni tip

ã
ã
ng trũn ng kớnh OM nờn ODM
= OAM
= 900
Do ú MD l tip tuyn ca ( O ) KC = KD

Vỡ OBC : ICM v OAD : JDN nờn suy ra IC = IM v JD = JN
Mt khỏc ta cú OM AN ti X v ON BM ti Y nờn F l trc tõm ca OMN .
Gi E ' l giao im ca OF v MN thỡ OE ' MN . Ta chng minh E ' E .
Ta cú MA2 = MD 2 = MX .MO = ME '.MN = MB.MC
Xột phộp nghch o f cc M , phng tớch k = MA2 ta cú: f bin cỏc im B, N
thnh cỏc im C , E ' tng ng
Suy ra f bin ng thng BN thnh ng trũn ( MCE ')
Vỡ BN tip xỳc vi ( O ) ti B v BN || AM nờn ng trũn ( MCE ') tip xỳc vi ( O )
ti C v tip xỳc vi AM ti M . Do ú I l tõm ng trũn ( MCE ')
Chng minh tng t ta cú J l tõm ng trũn ( NDE ') .
Khi ú ta suy ra hai ng trũn ( MCE ') v ( NDE ') tip xỳc nhau ti E ' .
E ' l giao im ca IJ v MN nờn E ' E

Vy hai ng trũn ( MCE ) v ( NDE ) tip xỳc vi nhau ti E.
2. Vỡ KC l tip tuyn chung ca ( O ) v ( I ) ; KD l tip tuyn chung ca ( O ) v ( J )
nờn ta suy ra PK /( I ) = PK / ( O ) = PK /( J ) , do ú K l tõm ng phng ca 3 ng trũn

( O) , ( I ) , ( J )

KC = KD = KE . Suy ra K l tõm ng trũn ngoi tip CDE (1).
10


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

Mặt khác ta có MA2 = MD 2 = MX .MO = ME.MN = MB.MC = MF .MY nên phép nghịch
đảo f cực M , phương tích k = MA2 biến các điểm F , C , D, E tương ứng thành các
điểm Y , B, D, N .
Mà 4 điểm Y , B, D, N cùng thuộc đường tròn đường kính BN nên 4 điểm F , C , D, E
cùng thuộc một đường tròn (2)
Từ (1) và (2) suy ra K là tâm đường tròn đi qua 4 điểm F , C , D, E .
Bài 8: Cho tam giác ABC có trực tâm H , ba đường cao là . Gọi M , N , P lần lượt là
trung điểm các cạnh BC , CA, AB . Gọi ( ω ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP . Kí
hiệu A ', B ', C ' lần lượt là các giao điểm thứ hai của MH , NH , PH và ( ω ) ,. Chứng
minh rằng A1 A ', B1 B ', C1C ' đồng quy tại một điểm X nằm trên đường thẳng Euler của
tam giác ABC .
Giải:

Ta kí hiệu đường tròn qua 3 điểm X , Y , Z là ( XYZ ) .
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP . Ta biết rằng ( ω ) đi qua 9 điểm:
M , N , P, A1 , B1 , C1 và trung điểm các đoạn AH , BH , CH .
Giả sử là điểm đối xứng với M , N , P qua O .
Xét phép nghịch đảo cực H phương tích k = HM .HA ' = HN .HB ' = HP.HC '

Phép nghịch đảo này biến các đường thẳng A1 A ', B1 B ', C1C ' tương ứng thành các
đường tròn ( HMM ') , ( HNN ' ) , ( HPP ') , biến đường tròn ( ω ) thành chính nó và biến
đường thẳng Euler của ∆ABC thành chính nó.
11


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

Ta sẽ chỉ ra rằng trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ' ) là đường thẳng Euler của
∆ABC . Thật vậy:
Trục đẳng phương của ( ω ) và ( HNN ') là NN ' ;
Trục đẳng phương của ( ω ) và ( HPP ' ) là PP ' ;
Suy ra trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ') đi qua H và giao của NN ' và PP '
hay trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ') là đường thẳng HO .
Do đó trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ') chính là đường thẳng Euler ∆ABC .
Tương tự, trục đẳng phương của ( HPP ' ) và ( HMM ') , trục đẳng phương của ( HMM ')
và ( HNN ') cũng là đường thẳng Euler của ∆ABC .
Do đó ba đường tròn cùng đi qua một điểm trên đường thẳng Euler của ∆ABC . Từ đó
suy ra A1 A ', B1 B ', C1C ' đồng quy tại một điểm X nằm trên đường thẳng Euler của tam
giác ABC .
Bài 9: Cho đường tròn ( O ) và dây cung UV . M là một điểm trên dây cung UV ; AC
và BD là hai dây cung khác của đường tròn ( O ) cùng đi qua M . Gọi X là giao điểm
của BC và UV ; Y là giao điểm của AD và UV . Chứng minh rằng:
1
1
1
1
+
=
+

.
MX MV MY MU
Giải:
Đặt k = MA.MC = MB.MD = MU .MV
Xét phép nghịch đảo f cực M , phương

B

tích k , ta có

A
E

U

X

M

I
O1

J

V
Y

thành các điểm C , B, V .

N

O

F

f biến các điểm A, D, U tương ứng

Suy ra

O2

f

biến các đường thẳng

BC , AD tương ứng thành các đường

C
D

tròn

( AMD ) , ( BMC )

và biến đường

thẳng UV thành chính nó.
12


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

Vì X là giao điểm của BC và UV và Y là giao điểm của AD và UV nên f
biến các điểm X ,Y tương ứng thành các điểm F , E với F là giao điểm khác M của
đường tròn ( AMD ) và UV ; E là giao điểm khác M của đường tròn ( BMC ) và UV
Khi đó ta có: k = MU .MV = MX .MF = MY .ME ⇒ MU .MV = MX .MF = MY .ME = k
Do đó

1
1
1
1
+
=
+
⇔ MF + MU = ME + MV ⇔ FU = EV ⇔ EU = FV
MX MV MY MU

Gọi O1 , O2 lần lượt là tâm của các đường tròn ( BMC ) , ( AMD ) thì OO1 ⊥ BC (1)
Mặt khác ta có góc giữa O2 M và BC bằng góc giữa O2 M và đường tròn ( AMD ) và
bằng 900 (vì phép nghịch đảo f biến O2 M thành chính nó) nên O2 M ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OO1 || O2 M
Chứng minh tương tự ta suy ra OO2 || O1M , do đó tứ giác MO2OO1 là hình bình hành
có tâm N .
Gọi I , J lần lượt là hình chiếu vuông góc của O1O2 xuống UV thì tứ giác O1O2 JI là
hình thanh vuông tại I , J
Mà N là trung điểm của O1O2 nên suy ra NI = NJ
Hai tam giác EMO, FMO có NI , NJ tương ứng là hai đường trung bình nên suy ra
OE = OF (3)

Mặt khác OU = OV (4)

Nên từ (3) và (4) suy ra EU = FV (đpcm)
Một số bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho hai đường tròn (C1), (C2) trực giao với nhau và cắt nhau ở A, B. Lấy các điểm
C, D trên hai đường tròn đó sao cho CD không đi qua A, B. Chứng minh rằng các đường
tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD trực giao với nhau.
Bài 2: Cho bốn đường tròn cùng đi qua một điểm P nhưng không có đường tròn nào chứa
trong đường tròn nào. Hai đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (d1) tại P, hai đường tròn
còn lại tiếp xúc với đường thẳng (d2) tại P. Các giao điểm khác P của 4 đường tròn là A,
B, C, D. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi
hai đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc với nhau.
13


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

Bi 3: Cho ba im A, B, C thng hng theo th t ú. Cỏc na ng trũn ng kớnh
AB, BC, CA nm v cỳng mt na mt phng b AC. Chng minh rng ng trũn (O)
cú ng kớnh bng khong cỏch t O n BC vi (O) l ng trũn tip xỳc vi c ba
na ng trũn trờn.
Bi 4: ( thi hc sinh gii tnh Nam nh nm hc 2004 - 2005)
Cho ng trũn (O, R). Gi s cú 6 ng trũn thay i nm bờn trong (O;R) l
(I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) tho món tớnh cht : chỳng ln lt tip xỳc trong vi (O,
R) ti A1, A2, A3, A4, A5, A6 ; ng thi ng trũn (I1) tip xỳc ngoi vi ng trũn
(I2), ng trũn (I2) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I3), ng trũn (I3) tip xỳc ngoi
vi ng trũn (I4), ng trũn (I4) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I5), ng trũn (I5)
tip xỳc ngoi vi ng trũn (I6), ng trũn (I6) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I1).
1. Chng minh rng: A1A2.A3A4.A5A6 = A2A3.A4A5.A6A1
2. Cho ng trũn (I , r) nm bờn trong (O; R) . Gi d = OI; chng minh rng: Tn ti
6 ng trũn (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) tho món tớnh cht ó nờu bi v ng thi 6
ng trũn ny li u tip xỳc ngoi vi ng trũn (I , r) khi v ch khi

( R r)

2

d2 =

4
Rr .
3

Bi 5: ( thi VMO - 2003)
Cho hai ng trũn c nh (k1), (k2) tip xỳc trong ti P cú tõm tng ng l K1, K2
v bỏn kớnh ln lt l R1, R2 (R1 < R2). Cho im K di ng trờn (k2) sao cho 3 im K,
K1, K2 khụng thng hng. T K k cỏc tip tuyn KB, KC ti (k1) (vi B, C l cỏc tip
im). Cỏc ng thng PB, PC ct ng trũn (k2) ti D, E tng ng. F l giao im
ca DE vi tip tuyn ca ng trũn (k2) ti K. Chng minh rng F di ng trờn mt
ng thng c nh.
II. Dng toỏn: Tỡm tp hp im
Bi 1: Cho ng trũn (C) tõm I, bỏn kớnh R v mt im O c nh sao cho OI = 2R. Gi
(C1), (C2) l hai ng trũn thay i qua O, tip xỳc vi ng trũn (C) v trc giao vi nhau.
Gi M l giao im th hai ca (C1) v (C2). Tỡm qu tớch im M.
14


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

Giải:
Phần thuận:
Xét

phép

nghịch

f ( O, k )

đảo

với

c1
P'

k = PO / ( C ) = 3R . Khi đó:
2

P

J
(C) →(C)
(C ) → d
M'
(C ) → d
Vì ( C ) ; ( C ) trực giao với nhau và cùng tiếp
xúc với ( C ) nên ta có d ⊥ d và lần lượt tiếp
xúc với ( C ) tại P ' ; Q' thỏa mãn: OP.OP ' = OQ.OQ' = 3R
( C ); ( C ) với ( C ) .

f ( O, k ) :

1

1

1

2

2

M

c2

Q

Q'

2

1

1

O

I

2

2

với P, Q là tiếp điểm của

2

Gọi M’ là giao điểm của hai đường thẳng d1 , d 2 thì khi đó M ' = f ( M ) vì M là giao
điểm của hai đường tròn ( C1 ) ; ( C2 )
Mặt khác tứ giác IP’M’Q’ là hình vuông cạnh R

(
)
( γ ') = ( I , R 2 ) = f ( ( γ ) )

(

⇒ IM ' = R 2 ⇒ M '∈ I , R 2 . Gọi ( γ ') là đường tròn I , R 2

⇒ M ∈( γ ) với

)

Vì M ' = f ( M ) ⇒ OM .OM ' = 3R 2 ⇒ M = f ( M ')

(

)

Ta có: PO / ( γ ' ) = OI 2 − R 2 = 2 R 2 = ON .OM ' với N ∈ ( γ )

2

3
3
3
3
⇒ OM .OM ' = ON .OM ' ⇒ OM = ON ⇒ M = VO2 ( N ) ⇒ M ∈ ( γ ) = V 2 ( ( γ ') )
O
2
2

3
3R 2
Gọi ( J , r ) là tâm của đường tròn ( γ ) ⇒ OJ = OI và r =
hay J là giao điểm
2
2
của đường tròn ( C ) và đường thẳng OI.

Phần đảo:

Lấy điểm M bất kì trên đường tròn ( γ ) = ( J , r ) . Gọi M ' = f ( M ) . Qua M’ kẻ các

tiếp tuyến M’P’, M’Q’ với đường tròn ( C ) . Khi đó
f ( O, k ) :

(C) →(C)

; M ' P ' → ( C1 ) ; M ' Q' → ( C2 )

Ta phải chứng minh hai đường tròn ( C1 ) ; ( C2 ) cùng đi qua M, cùng tiếp xúc với ( C ) và
trực giao với nhau.
15


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

Thật vậy: vì f ( O, k ) :

( C ) → ( C ) ; M ' P' → ( C ) ; M ' Q' → ( C ) và M ' = f ( M )
nên hai đường tròn ( C ) ; ( C ) cùng đi qua M, cùng tiếp xúc với ( C )
1

1

2

2

Ta có: M ' = f ( M ) nên M ' thuộc đường tròn ( C ) = V p ( ( γ ) )
0
O
k

2

 3R 2  9 R 2
 =
= OJ 2 − 
2

2



Với p = PO / ( γ )
⇒ OJ ' =

và k = 3R 2 , ( J ' , r ') là đường tròn ( C0 )

(

k
2
k
OJ = OJ và r ' = r = R 2 ⇒ J ' ≡ I ⇒ ( C0 ) ≡ I , R 2
p
3
p

)

⇒ IM ' = R 2 nên tứ giác IP’M’Q’ là hình vuông cạnh R ⇒ M ' P' ⊥ M ' Q'

Do đó hai đường tròn ( C1 ) ; ( C2 ) trực giao với nhau.

 3R 2 
 với J là giao điểm của
Kết luận: Vậy quỹ tích các điểm M là đường tròn  J ,
2



đường tròn ( C ) và đường thẳng OI.
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi d1 là tiếp tuyến của (O) tại B. Gọi
(C) là đường tròn thay đổi và luôn tiếp xúc với (O) và d1 tại hai điểm phân biệt. Gọi
(C1), (C2) là hai đường tròn bất kì của (C). Biết rằng (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau tại
M. Tìm quỹ tích điểm M.
Giải:
c1
(D)
(d)
d1
*) Phần thuận:
Gọi f ( B, k ) là phép nghịch đảo cực B, phương tích

k = −4R 2 .
Do B ∈ d1 và B ∈( O ) nên:
f ( B, k ) biến:

M c2

A
J

d1 → d1

( O ) → ( d ) với d ⊥ AB tại H = f ( A)
( C1 ) → ( C '1 ) ; ( C2 ) → ( C '2 )
Do ( C ) ; ( C ) tiếp xúc với (O ) và d ⇒ ( C ' ) , ( C ' )
tiếp xúc với d , ( d ) (1)
Mặt khác ( C ) ; ( C ) tiếp xúc nhau tại M

⇒ ( C ' ) , ( C ' ) tiếp xúc nhau tại M’
(2)
⇒ M '= f ( M )
1

2

1

1

2

B
O

H

I
c'1

M'

c'2

1

1

1

2

2

16


Chuyªn ®Ò: PhÐp nghÞch ®¶o vµ øng dông

Từ (1) và (2) suy ra M ' thuộc đường thẳng ( D ) vuông góc với AB tại trung điểm I của BH.

Do M ' = f ( M ) ⇒ M thuộc đường tròn ( C0 ) đi qua B là ảnh của đường thẳng ( D ) qua
phép f ( B, k ) trừ điểm B
Gọi J = f ( I ) thì ( C0 ) là đường tròn đường kính BJ
*) Phần đảo: Lấy điểm M bất kì trên đường tròn ( C0 ) .Gọi M ' = f ( M ) , ( d ) = f ( ( O ) )
Vẽ hai đường tròn ( C '1 ) , ( C '2 ) cùng tiếp xúc với d1 , ( d ) và tiếp xúc với nhau. Gọi

( C ) = f ( ( C ' ) ) ; ( C ) = f ( ( C ' ) ) . Ta phải chứng minh hai đường tròn ( C ); ( C )
1

1

2

2

1

2

tiếp xúc

với (O) , d1 và tiếp xúc với nhau tại M.
(Điều này dễ dàng chứng minh được)

*) Kết luận: Vậy quỹ tích các điểm M là đường tròn ( C0 ) đường kính BJ trừ điểm B.
Một số bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định khác O, A không thuộc đường tròn
(O). Xét các đường tròn tâm O’ đi qua A và trực giao với đường tròn (O)
1. Tìm quỹ tích các tâm O’
2. Gọi H là giao điểm của OO’ với dây cung chung của hai đường tròn.
Tìm quỹ tích điểm H.
Bài 2: Cho đường tròn (O, R) và hai đường thẳng ∆, ∆ ' song song với nhau, không có
điểm chung với đường tròn. ∆ ' và đường tròn (O) nằm về hai phía đối với đường thẳng

∆ . Dựng hai tiếp tuyến x, y của đường tròn (O) song song với nhau và cắt ∆, ∆ ' lần
lượt tại A, B, C, D. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD. Từ I kẻ các
tiếp tuyến IP, IQ với (O) (P, Q là các tiếp điểm). Gọi K là giao điểm của PQ và OI.
Tìm tập hợp điểm K khi các tiếp tuyến x, y thay đổi hướng.
Bài 3: Cho đường tròn (O, R) và dây AB cố định. Với mỗi điểm M trên đường tròn (O),
dựng đường tròn (O1) qua M và tiếp xúc với AB tại A, đường tròn (O2) qua M và tiếp
xúc với AB tại B. Gọi M’ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2). Tìm quỹ
tích điểm M’ khi M di động trên đường tròn (O).

17


Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng

Ti liu tham kho:
1. Cỏc phộp bin hỡnh trong mt phng - Nguyn Mng Hy
2. Cỏc phộp bin hỡnh trong mt phng - Thanh Sn
3. Cỏc bi toỏn v hỡnh hc phng Tp 2 V.V Praxolov.
4. INVERSION IN GEOMETRY ARTHUR BARAGAR.
5. Din n toỏn hc Mathscope.
6. Cỏc ti liu trờn Internet.

18