Toán 10- Trại hè HV- Lai Châu

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI

ĐỀ THI MÔN TOÁN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN, TỈNH LAI CHÂU
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

LỚP 10
(Đề này gồm có 01 trang, gồm 05 câu)

 x + y + 2y − 1 + x − y = 5
Câu 1. (4 điểm) Giải hệ phương trình:  2
 y + 2 = xy + y
Câu 2. (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H (
E ∈ AC,F ∈ AB ). Trên các tia FB, EC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho FP = FC ,
EQ = EB . Các đường thẳng BQ, CP cắt nhau tại K. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm
của BQ, CP. Đường thẳng IJ cắt BC, PQ theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng:
a) HK ⊥ IJ
·
·
b) CAM
= BAN
Câu 3. (4 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
3
3
 a   b   c 
P=
÷ +
÷ +
÷

b+c c+a a+b
Câu 4. (4 điểm) Cho đường tròn (C) có bán kính bằng 1. Bên trong đường tròn (C)
người ta đặt một số hữu hạn các hình tròn nhỏ mà tổng độ dài các đường kính của
chúng bằng 4031. Chứng minh rằng có thể vẽ được một đường thẳng cắt ít nhất 2015
hình tròn nhỏ.
Câu 5. (4 điểm) Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu 8 p − 1 là số nguyên tố
thì 8 p + 1 là hợp số.
Lưu ý: thang điểm 20.
…………..…. HẾT …………..….

Người thẩm định

Người ra đề

Bùi Văn Hoàn
0916561438

Lê Thành Trung
(SĐT: 01642 222 400)

1


HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN, LỚP: 10

Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, nếu đúng cho điểm tối đa theo thang
điểm đã định.
Câu
Nội dung

Điểm
1
2
2
1,0
u = x − y
u + v + u + v = 4
(4 điểm) Đặt 
(u, v ≥ 0) . Khi đó hệ trở thành  2

2
2 2
u + v + u v = 3
 v = 2y − 1
1,0
u + v − u 2 v 2 = 1
⇔
2
( u + v ) + ( u + v ) − 2uv = 4
u + v = u 2 v 2 + 1
uv = 1

⇔
⇔
⇔ u = v =1

3
2
u
+

v
=
2
uv
−
1
uv
+
uv
+
4uv
+
2
=
0
(
)
(
)
(
)


1,0
x − y = 1
x = 2
⇔
Với u = v = 1, ta có 

2y − 1 = 1  y = 1

1,0
Vậy hệ có nghiệm ( x, y ) = ( 2,1)

(

)

2
(4 điểm)

a) (2,0 điểm)
Gọi ( C1 ) , ( C2 ) theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp các tam giác
FPC, EBQ.
·
·
⇒ tứ
Vì các tam giác FPC và EBQ vuông cân nên BPC
= CQB
giác BPQC nội tiếp ⇒ KP.KC = KB.KQ ⇒ PK/( C1 ) = PK/ ( C2 )

1,0

Mặt khác tứ giác EFBC nội tiếp, ta có
HF.HC = HE.HB ⇒ PH/ ( C1 ) = PH/ ( C2 ) . Suy ra HK là trục đẳng phương
của ( C1 ) và ( C2 ) (1)

Ta lại có IJ là đường nối tâm của ( C1 ) , ( C 2 ) (2)
Từ (1), (2) suy ra HK ⊥ IJ (đpcm).
b) (2,0 điểm)
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác KBC với cát tuyến MIJ và

tam giác KPQ với cát tuyến NJI ta có:
2

1,0

1,0


MB JC IK
NQ JP IK
MB NQ
. . =1=
. . ⇒
=
(3)
MC JK IB
NP JK IQ
MC NP
·
Gọi d là đường phân giác trong của góc BAC
, gọi B’, M’, C’ theo
thứ tự là ảnh của B, M, C qua phép đối xứng trục d. Ta có B’, M’,
C’ thẳng hàng và B’C’ // PQ (4).
M 'B' MB
Lại có
=
(5)
M 'C' MC
M 'B' NQ
Từ (3) và (5) ta có

=
(6)
M 'C' NP
·
·
Từ (4) và (6) suy ra A, M’, N thẳng hàng. Do đó BAM
' = BAN
·
·
Theo tính chất của phép đối xứng trục ta có CAM
= BAM
'
·
·
Từ đó suy ra CAM
(đpcm).
= BAN
3
Ta có :
3
(4 điểm)
3
c3
a 3 + b3  a + b  ⇔  c  ≥
≥

÷
3
3
÷

 a + b  4( a + b )
2
 2 

1,0

1,0

3

c3
 c 
Do đó 
(1). Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b .
÷ ≥
3
3
 a + b  4( a + b )
Tương tự ta có:
3
3
a3
b3
 a 
 b 
(2), 
(3).

÷ ≥
÷ ≥

3
3
3
3
 b + c  4( b + c )
 c + a  4( c + a )
a3
b3
c3
Từ (1), (2), (3) ta có 4P ≥ 3 3 + 3
+
b + c c + a 3 a 3 + b3
1
1
1 
 1
= ( a 3 + b 3 ) + ( b3 + c3 ) + ( c3 + a 3 )  3 3 + 3
+ 3
−3
3
3 ÷
2
b +c c +a a +b 
3
9
3
≥ −3= ⇒ P ≥
8
2
2

Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c
3
Vậy MinP =
8
4
Lấy một đường kính AB của (C) cố định. Chiếu vuông góc các
(4 điểm) hình tròn nhỏ lên AB ta được hình chiếu của mỗi hình tròn nhỏ là
một đoạn thẳng có độ dài bằng đường kính của hình tròn đó. (Ta
gọi các đoạn thẳng đó là đoạn thẳng ảnh).
Vì các hình tròn đều nằm trong (C) nên các đoạn thẳng ảnh này
đều bị chứa trong đoạn thẳng AB. Do số hình tròn nhỏ là hữu hạn
nên số đoạn thẳng ảnh là hữu hạn. Lần lượt, theo chiều từ A đến B,
kí hiệu các đầu mút của các đoạn thẳng ảnh là A1 ,A 2 ,...,A n (Mỗi
điểm Ai , i = 1, 2, .., n có thể là đầu mút chung của nhiều đoạn
thẳng ảnh).

(

)

3

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0


Gọi mi là số đoạn thẳng ảnh chứa đoạn thẳng AiAi+1 (i = 1,n − 1 ).
n −1

n −1

i =1

i =1

1,0

Ta có ∑ A i A i+1 ≤ AB = 2; ∑ mi .A i A i+1 = 4031 (1)
Nếu

mi ≤ 2014, ∀i = 1,n − 1

n −1

thì

∑ m .A A
i =1

i

i

n −1

i +1

≤ 2014∑ A i A i+1
i =1

≤ 2014x2 < 4031 (mâu thuẫn với (1)). Do đó phải tồn tại
j ∈ { 1,2,3,...,n − 1} sao cho m j ≥ 2015 .
Lấy một điểm K bất kì trên đoạn A jA j+1 , qua K kẻ đường thẳng d
vuông góc với AB thì d sẽ cắt ít nhất 2015 hình tròn nhỏ (đpcm).
5
Giả sử p, 8p - 1 nguyên tố. Ta có p >2. Vì nếu p = 2 thì 8p – 1 =15
(4 điểm) không là số nguyên tố.
Xét 2 trường hợp:
TH1: p = 3 thì 8p – 1 = 23 là số nguyên tố và 8p + 1 = 25 là hợp
số.
TH2: p > 3. Do p nguyên tố nên p không chia hết cho 3
⇒ p ≡ 1(mod3) (Vì trái lại, p ≡ 2(mod3) ⇒ 8 p − 1 ≡ 15(mod3)
⇒ 8 p − 1 chia hết cho 3. mặt khác 8p – 1 > 3 ⇒ 8p – 1 không là số
nguyên tố).
⇒ 8 p + 1 ≡ 0(mod3) ⇒ 8 p + 1 là hợp số.
Vậy nếu p và 8p – 1 là số nguyên tố thì 8 p + 1 là hợp số.

4

1,0
1,0
1,0
1,0

1,0