Tài liệu Cơ kỹ thuật

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

GIÁO TRÌNH CƠ KỸ THUẬT 2
BỘ MÔN CƠ HỌC

Thái Nguyên 2014


Chƣơng 1. Giới thiệu về động lực học

Sir Isaac Newton (1643-1727) trong luận án của ông về nguyên lý toán học trong tự
nhiên và triết học đã thiết lập nền tảng cho động lực học với ba định luật chuyển
động và vạn vật hấp dẫn, sẽ được thảo luận trong chương này. (Ảnh thời gian và
cuộc sống/Ảnh Getty).
1.1.

Giới thiệu

Động lực học cổ điển nghiên cứu chuyển động của các vật thể sử dụng các nguyên lý được
thiết lập bởi Newton và Euler. Đối tượng của quyển sách này được dựa trên những phần nhỏ
của động lực học cổ điển được thể hiện trong Hình 1.1.
Phần đầu tiên của quyển sách này liên quan đến động lực học chất điểm. Một chất điểm là
một điểm có khối lượng, nó có khối lượng nhưng không có kích thước. Chất điểm là mô
hình xấp xỉ của vật thể mà kích thước của nó được bỏ qua khi so sánh với các kích thước
xuất hiện trong công thức của bài toán. Ví dụ, trong nghiên cứu chuyển động của trái đất
quanh mặt trời, ta có thể coi trái đất như một chất điểm, bởi vì bán kính của nó nhỏ hơn rất
nhiều so với quĩ đạo của nó.


Chuyển động tuyệt đối

Chất điểm

Động học
Chuyển động tƣơng đối

Động lực học

Phƣơng pháp lực- lƣợng-gia tốc

Vật rắn

Động lực học

Phƣơng pháp công – năng lƣợng

Phƣơng pháp xung lực-động lƣợng

Hình 1.1

Phần thứ hai của quyển sách này được đề cập chủ yếu tới động lực học vật rắn. Một vật thể
được nói là rắn nếu khoảng cách giữa hai điểm vật chất bất kỳ của vật thể là không đổi,
nghĩa là nếu vật thể không biến dạng. Bởi vì vật thể bất kỳ sẽ bị một vài biến dạng khi tải
trọng tác dụng lên nó, một vật thể hoàn toàn rắn là không tồn tại. Tuy nhiên, trong rất nhiều
ứng dụng biến dạng là quá nhỏ (so với kích thước của vật thể) nên sự lý tưởng hóa vật rắn là
một xấp xỉ tốt.
Như thấy trong Hình 1.1, những nhánh chính của động lực học là động học và động lực học.
Động học nghiên cứu chuyển động hình học. Nó không quan tâm tới nguyên nhân của
chuyển động. Động lực học, lại khác, liên quan đến những quan hệ giữa lực tác dụng lên vật
thể và kết quả chuyển động. Động học không chỉ là một chủ đề quan trọng theo tính đúng
đắn của nó mà còn là vấn đề tiên quyết cho động lực học. Do đó, nghiên cứu động lực học

luôn bắt đầu với những vấn đề cơ bản của động học.
Động học có thể được chia thành hai phần như trong Hình 1.1: chuyển động tuyệt đối và
chuyển động tương đối. Thuật ngữ chuyển động tuyệt đối được sử dụng khi chuyển động
được mô tả tương ứng với một khung tham chiếu cố định (hệ tọa độ). Chuyển động tương
đối, mặt khác, mô tả chuyển động tương ứng với một hệ tọa độ chuyển động.
Hình 1.1, cũng liệt kê ba phương pháp chính của phân tích động lực học. Phương pháp lựckhối lượng-gia tốc (FMA) được ứng dụng trực tiếp từ các định luật chuyển động của
Newton, nó thể hiện quan hệ giữa các lực tác dụng lên vật thể với khối lượng và gia tốc của
nó. Những quan hệ này, được gọi là các phương trình chuyển động, phải được tích phân hai
lần để thu được vận tốc và vị trí như là hàm của thời gian.


Phương pháp công-năng lượng và xung lượng-động lượng là các dạng tích phân của các
định luật của Newton về chuyển động (các phương trình chuyển động được tích phân theo
vị trí và thời gian). Trong cả hai phương pháp gia tốc được tính toán bởi tích phân. Các
phương pháp này có thể rất hữu ích trong việc giải các bài toán liên quan đến các quan hệ
vận tốc-vị trí hay vận tốc-thời gian.
Mục đích của chương này được thể hiện thông qua các khái niệm cơ bản của cơ học
Newton: dịch chuyển, vận tốc, gia tốc, các định luật của Newton, và các đơn vị đo lường.

1.2.

Đạo hàm của các hàm véc tơ

Một sự hiểu biết về tính toán véc tơ là một yêu cầu thiết yếu để nghiên cứu động lực học. Ở
đây chúng ta thảo luận về đạo hàm của các véc tơ; tích phân được giới thiệu trong quyển
sách là cần thiết.
Véc tơ A được nói là một hàm véc tơ của một đại lượng vô hướng u nếu độ lớn và chiều của
A phụ thuộc vào u. (Trong động lực học, thời gian thường được chọn là đại lượng vô
hướng). Mối quan hệ hàm này được ký hiệu bởi A(u). Nếu biến vô hướng thay đổi từ giá trị
u đến (u+∆𝑢), véc tơ A sẽ thay đổi từ A(u) đến A(u+∆𝑢). Do đó, thay đổi trong véc tơ A có

thể được viết như sau

(1.1)
Như trong hình 1.2, ∆𝑨 đúng với sự thay đổi cả về độ lớn và chiều của A.
Đạo hàm của A theo đại lượng vô hướng u được định nghĩa như sau:

(1.2)
giả sử rằng giới hạn tồn tại. Định nghĩa này giống với đạo hàm của hàm vô hướng y(u),
được định nghĩa như sau:

(1.3)


Chú ý: liên quan đến một hàm véc tơ, độ lớn của đạo hàm 𝑑𝑨/𝑑𝑢 không được nhầm với
đạo hàm của độ lớn 𝑑 𝑨 /𝑑𝑢. Tổng quát, hai đạo hàm này sẽ không bằng nhau. Ví dụ, nếu
độ lớn của véc tơ A là hằng số, thì 𝑑𝑨/𝑑𝑢 = 0. Tuy nhiên, 𝑑𝑨/𝑑𝑢 sẽ không bằng không
ngoại trừ chiều của A cũng là hằng số.

Các đồng nhất thức sau đây có thể suy ra từ định nghĩa đạo hàm (A và B được giả thiết là
các hàm véc tơ của đại lượng vô hướng u, và m cũng là một vô hướng):
(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

1.3.

Vị trí, vận tốc và gia tốc của một chất điểm
a. Vị trí


Xét chuyển động của một chất điểm dọc một quĩ đạo trơn như trong Hình 1.3. Vị trí
của chất điểm tại thời điểm t được chỉ ra bởi véc tơ vị trí r(t), đó là véc tơ được vẽ từ điểm
cố định O đến chất điểm. Gọi vị trí của chất điểm là A tại thời điểm t, và B tại thời điểm
t+Δt, với Δt là khoảng thời gian có hạn. Sự thay đổi tương ứng trong véc tơ vị trí của chất
điểm,
(1.8)
được gọi là véc tơ dịch chuyển của chất điểm.

Như được chỉ ra trong Hình 1.3, vị trí của chất điểm tại thời điểm t cũng có thể được
chỉ ra bởi tọa độ quĩ đạo s(t), đó là chiều dài của quãng đường giữa một điểm cố định E và
chất điểm. Sự thay đổi chiều dài quĩ đạo trong khoảng thời gian Δt là
(1.9)
Chú ý: Sự thay đổi chiều dài quĩ đạo không được nhầm lẫn với khoảng di chuyển được của
chất điểm. Hai đại lượng này chỉ bằng nhau nếu chiều chuyển động của chất điểm không
thay đổi trong khoảng thời gian. Nếu chiều của chuyển động thay đổi trong thời gian Δt, thì
khoảng di chuyển được sẽ lớn hơn Δs.
b. Vận tốc
Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t được định nghĩa là


(1.10)
Với dấu chấm ở trên chỉ đạo hàm theo thời gian. Bởi vì vận tốc là đạo hàm của hàm véc tơ
r(t), nên nó cũng là véc tơ. Từ Hình 1.3, chúng ta thấy rằng Δr trở thành tiếp tuyến với quĩ
đạo tại A khi ∆𝑡 → 0. Do đó, véc tơ vận tốc là tiếp tuyến với quĩ đạo của chất điểm.
Chúng ta cũng rút ra từ Hình 1.3 rằng ∆𝒓 → ∆𝑠 khi ∆𝑡 → 0. Do đó, độ lớn của vận
tốc, cũng được biết như là tốc độ của chất điểm, là

(1.11)
Thứ nguyên của vận tốc là [chiều dài/thời gian], vì vậy đơn vị của vận tốc là m/s hoặc ft/s.
c. Gia tốc
Các véc tơ vận tốc của chất điểm tại A (thời điểm t) và B (thời điểm t+Δt) được thể hiện
trong Hình 1.4(a). Chú ý rằng cả hai véc tơ đều tiếp tuyến với quĩ đạo. Sự thay đổi vận tốc
trong khoảng thời gian Δt, thể hiện trong Hình 1.4(b), là

(1.12)
Gia tốc của chất điểm tại thời điểm t được định nghĩa là

(1.13)
Gia tốc là một véc tơ có thứ nguyên [chiều dài/thời gian2]; do đó đơn vị của nó là m/s2 hoặc
ft/s2.
Chú ý: véc tơ gia tốc thường không tiếp tuyến với quĩ đạo của chất điểm. Chiều của gia tốc
trùng với Δv khi ∆𝑡 → 0, như thể hiện trong Hình 1.4(b), nó không cần thiết giống chiều của
v.


1.4.

Cơ học Newton
a. Phạm vi của cơ học Newton

Năm 1687, Issac Newton (1642-1727) đã xuất bản những qui luật đột phá của ông về
chuyển động trong Những nguyên lý cơ bản (Những nguyên lý toán học của vật lý tự nhiên).
Không nghi ngờ, công trình này được xếp vào số những quyển sách khoa học có tầm ảnh
hưởng lớn nhất đã từng được xuất bản. Chúng ta không nên nghĩ là sự xuất bản đó ngay lập
tức thiết lập nên cơ học cổ điển. Công trình của Newton về cơ học liên quan mật thiết với cơ
học vũ trụ và do đó được giới hạn cho chuyển động chất điểm. Hai trăm năm nữa hoặc

nhiều năm trôi qua trước khi động lực học vật rắn, cơ học chất lỏng, và cơ học vật thể biến
dạng được phát triển. Mỗi một lĩnh vực đòi hỏi những tiên đề mới trước khi nó có thể giả
thiết thành một dạng thích hợp.
Tuy nhiên, công trình của Newton là nền tảng của cơ học cổ điển, hay cơ học
Newton. Những nỗ lực của ông đã ảnh hưởng tới hai nhánh khác nhau của cơ học được sinh
ra ở thế kỷ thứ hai mươi: cơ học tương đối và cơ học lượng tử. Cơ học tương đối đặt các
hiện tượng xảy ra trên một thang chia vũ trụ (vận tốc xấp xỉ với tốc độ của ánh sáng, những
trường hấp dẫn mạnh,…) . Nó thủ tiêu hai tiên đề không đúng nhất của cơ học Newton: sự
tồn tại của khung tham chiều cố định hoặc quán tính và giả thiết rẳng thời gian là một biến
tuyệt đối, “chuyển động” với cùng tỉ lệ trong tất cả các phần của vũ trụ. (Có bằng chứng
rằng tự mình Newton đã băn khoăn bởi hai tiên đề này). Cơ học lượng tử tập trung với chất
điểm trên thang chia nguyên tử hoặc thang chia dưới nguyên tử. Nó cũng thủ tiêu hai khái
niệm yêu mến của cơ học cổ điển: Sự xác định và liên tục. Cơ học lượng tử cần thiết một lý
thuyết xác suất, thay vì chỉ ra một sự kiện, nó xác định khả năng mà một sự kiện sẽ xảy ra.


Hơn nữa, theo lý thuyết đó, các sự kiện xảy ra từng bước phân rã (được gọi là định lượng)
hơn là theo một cách liên tục.
Cơ học tương đối và cơ học lượng tử không có hiệu lực đối với các nguyên lý của cơ
học Newton. Trong phân tích chuyển động của các vật thể bắt gặp trong đời sống hàng
ngày, cả hai lý thuyết hội tụ đến các phương trình của cơ học Newton. Do đó, các lý thuyết
bí truyền hơn thường củng cố sự đúng đắn của các luật chuyển động của Newton.
b. Các định luật của Newton về chuyển động của chất điểm
Sử dụng kỹ thuật hiện đại, các định luật của Newton về chuyển động của chất điểm
có thể được phát biểu như sau:
1.

Nếu một chất điểm đang đứng yên (hoặc chuyển động với vận tốc không đổi), nó
sẽ mãi đứng yên (hoặc tiếp tục chuyển động với vận tốc không đổi) trừ khi nó
chịu tác dụng bởi một lực.

2.

Một chất điểm chịu tác dụng bởi một lực sẽ chuyển động với gia tốc cùng chiều
với lực. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối
lượng của chất điểm.

3.

Với mọi tác động, sẽ có một phản lực cân bằng và ngược chiều; nghĩa là, các lực
tương tác giữa hai chất điểm là bằng nhau về độ lớn và ngược chiều.

Mặc dù định luật thứ nhất đơn giản là trường hợp đặc biệt của định luật thứ hai, nhưng
người ta thường phát biểu định luật thứ nhất riêng rẽ bởi tầm quan trọng của nó đối với phần
tĩnh học.
c. Các khung tham chiếu quán tính
Khi áp dụng định luật thứ hai của Newton, cần tập trung xây dựng một hệ tọa độ mà
trong đó gia tốc có thể đo được. Một khung tham chiếu quán tính (cũng được biết như là
khung tham chiếu Newton hoặc Gallile) được định nghĩa là một hệ tọa độ rắn bất kỳ mà
trong đó các định luật của Newton về chuyển động của chất điểm tương đối so khung tham
chiếu đo là có hiệu lực với một độ chính xác chấp nhận được. Trong hầu hết các ứng dụng
thiết kế đã sử dụng bề mặt trái đất, một khung quán tính có thể được xấp xỉ với đủ sự chính
xác bằng cách gắn hệ tọa độ vào trái đất. Trong nghiên cứu về vệ tinh trái đất, một hệ tọa độ
gắn vào mặt trời thường được sử dụng. Đối với chuyển động hành tinh, cần thiết sử dụng
các hệ tọa độ gắn vào các ngôi sao cố định đã được đặt tên.


Có thể thấy rằng khung tham chiếu bất kỳ mà đang tịnh tiến với vận tốc không đổi
tương đối so với khung tham chiếu quán tính thì tự nó cũng là khung tham chiếu quán tính.
Thông thường để bỏ qua từ quán tính khi thể hiện các khung tham chiếu đối với các định

luật Newton rõ ràng nghiệm đúng.
d. Các đơn vị và các thứ nguyên
Các chuẩn của việc đo đạc được gọi là các đơn vị. Thuật ngữ thứ nguyên thể hiện cách đo
đạc, bất chấp đơn vị được sử dụng. Ví dụ, kilogam và mét/giây là các đơn vị, trong khi đó
khối lượng và chiều dài/thời gian là các thứ nguyên. Các thứ nguyên cơ bản trong hệ SI (từ
System international unit) là khối lượng [M], chiều dài [L], và thời gian [T], và các đơn vị
cơ bản là kilogam (kg), mét (m), và giây (s). Tất cả các thứ nguyên hay đơn vị khác đều là
các tổ hợp của các đại lượng cơ bản đó. Ví dụ, thứ nguyên của vận tốc là [L/T], đơn vị vận
tốc là km/h, m/s, và vân vân.
Một hệ với các thứ nguyên cơ bản [FLT] (chẳng hạn hệ đo lường US), được gọi là
một hệ hấp dẫn. Nếu các thứ nguyên cơ bản là [MLT] (như hệ SI), hệ được gọi là hệ tuyệt
đối. Trong mỗi hệ đo đạc, các đơn vị cơ bản được định nghĩa bởi hiện tượng sinh sản vật lý,
hoặc các đối tượng vật lý. Ví dụ, giây được định nghĩa bởi khoảng thời gian của một số xác
định chu kỳ bức xạ trong một đồng vị xác định, và kilogam được định nghĩa là khối lượng
của một khối sắt xác định được giữ gần Paris, Pháp.
Tất cả các phương trình thể hiện các hiện tượng vật lý phải đồng nhất về thứ nguyên;
nghĩa là, mỗi số hạng của phương trình phải cùng thứ nguyên. Ngược lại, phương trình sẽ
không có ý nghĩa vật lý (nó không có nghĩa, ví dụ, để cộng một lực với một chiều dài).
Kiểm tra các phương trình để đồng nhất thứ nguyên là một thói quen tốt để học, bởi vì nó có
thể kiểm tra lỗi sinh ra trong khi thao tác các phép toán đại số.
e. Khối lƣợng, lực, và trọng lƣợng
Nếu một lực F tác dụng lên một chất điểm khối lượng m, định luật thứ hai của Newton chỉ
ra rằng

(1.14)


với a là véc tơ gia tốc của chất điểm. Với hệ hấp dẫn [FLT], đồng nhất thứ nguyên của
phương trình (1.14) đòi hỏi thứ nguyên của khối lượng là

(1.15a)
Với hệ tuyệt đối [MLT], đồng nhất thứ nguyên của phương trình (1.14) dẫn đến thứ nguyên
của lực là

(1.15b)
Đơn vị thu được của lực trong hệ SI là một newton (N), được định nghĩa như là một lực mà
gia tốc một vật khối lượng 1.0-kg với tỉ lệ 1.0m/s2. Từ phương trình (1.15b), chúng ta thu
được

Trọng lực là lực hấp dẫn tác dụng lên một vật. Nếu ký hiệu gia tốc trọng trường (gia
tốc rơi tự do của vật) là g, trọng lượng W của vật có khối lượng m được tính từ định luật thứ
hai của Newton là

(1.16)
Chú ý rằng khối lượng là một đại lượng bất biến của một vật, trong khi trọng lượng là một
biến phụ thuộc vào giá trị địa phương của g. Gia tốc trọng trường danh nghĩa tại mực nước
biển, được gọi là sự hấp dẫn chuẩn, được định nghĩa là g=9.80665m/s2. Giá trị thực của g
biến đổi từ 9.78 đến 9.84, phụ thuộc vào vĩ độ và sự xấp xỉ khối lượng đất lớn. Trong quyển
sách này, chúng ta hầu hết sử dụng giá trị trung bình


trong tính toán. Tuy nhiên, trong một số trường hợp tính toán ta sử dụng giá trí làm tròn là
9.8m/s2. Do đó nếu khối lượng của một vật là 1.0kg, trọng lượng của nó trên trái đất là
(9.81m/s2)(1.0kg)=9.81N.
f. Sự chuyển đổi các đơn vị
Một phương pháp thuận tiện để chuyển đổi một sự đo đạc từ một tập đơn vị này sang một
tập khác là nhân đại lượng đo đạc với các thừa số chuyển đổi thích hợp. Ví dụ, để chuyển
đổi 180km/h sang m/s, chúng ta thực hiện như sau:

Chúng ta thấy rằng mỗi thừa số chuyển đổi là không thứ nguyên và độ lớn bằng 1. Do đó,

một sự đo đạc là không thay đổi khi nó được nhân với các thừa số chuyển đổi – chỉ khi đơn
vị của nó được sửa lại. Chú ý rằng cho phép không dùng đơn vị trong quá trình chuyển đổi
nếu chúng là các đại lượng đại số.
Các thừa số chuyển đổi thích hợp cho cơ học được liệt kê ở bảng trước của quyển
sách.
g. Định luật hấp dẫn
Ngoài rất nhiều thành tích, Newton cũng công bố định luật vạn vật hấp dẫn. Xét hai chất
điểm có khối lượng mA và mB mà cách nhau một khoảng cách R, như trong Hình 1.5. Định
luật hấp dẫn phát biểu rằng hai chất điểm hấp dẫn nhau bởi các lực có độ lớn F mà tác dụng
dọc đường thẳng nối hai chất điểm, với

(1.17)
Hằng số hấp dẫn G xấp xỉ bằng 6.67 × 10−11 𝑚3 /(𝑘𝑔 ∙ 𝑠 2 ). Mặc dù định luật này có hiệu
lực đối với chất điểm, Newton đã chỉ ra rằng nó cũng có hiệu lực cho các vật hình cầu miễn
là khối lượng của chúng là phân bố đồng nhất. (Khi tập trung đưa ra kết quả, Newton đã
phát triển phương pháp tính toán).


Nếu chúng ta đặt mA=Me (khối lượng của trái đất), mB=m (khối lượng của vật thể),
và R=Re (bán kính trung bình của trái đất), thì F trong phương trình (1.17) sẽ là trọng lượng
W của vật thể. So sánh 𝑊 = 𝐺𝑀𝑒 𝑚/𝑅𝑒2 , với W=mg, chúng ta thấy rằng 𝑔 = 𝐺𝑀𝑒 /𝑅𝑒2 . Tất
nhiên, sự điều chỉnh có thể là cần thiết trong giá trị của g cho một số ứng dụng để tính toán
biến địa phương của hấp dẫn.

Ví dụ 1.1: Chuyển đổi 1.5km/h sang mm/s.
Lời giải:
Sử dụng các thừa số chuyển đổi chuẩn của hệ đơn vị SI, chúng ta thu được

Ví dụ 1.2: Gia tốc a của một chất điểm liên quan đến vận tốc v, vị trí của nó x và thời gian t
bởi phương trình:

𝑎 = 𝐴𝑥 3 𝑡 + 𝐵𝑣𝑡 2
(a)
Với A và B là các hằng số. Thứ nguyên của gia tốc là chiều dài chia đơn vị thời gian bình
phương, nghĩa là [a]=[L/T2]. Thứ nguyên của các biến khác là [v]=[L/T], [x]=[L], và
[t]=[T]. Hãy suy ra thứ nguyên của A và B nếu phương trình trên đồng nhất về thứ nguyên.
Biểu diễn đơn vị của A và B trong hệ SI.
Lời giải:
Với phương trình (a), để đồng nhất thứ nguyên, thứ nguyên của mỗi số hạng bên vế phải của
phương trình phải là [L/T2], giống với thứ nguyên của a. Do đó, thứ nguyên của số hạng thứ
nhất bên vế phải của phương trình (a) trở thành


Giải phương trình (b), chúng ta được thứ nguyên của A

Trong hệ SI, đơn vị của A là m-2s-3.
Thực hiện phân tích thứ nhguyen tương tự đối với số hạng thứ hai bên vế phải của
phương trình (a), chúng ta được

Giải phương trình (c), chúng ta được thứ nguyên của B

Trong hệ SI, đơn vị của B là s-3.
Ví dụ 1.3: Tính lực hấp dẫn gây ra bởi trái đất lên một người đàn ông nặng 70kg ở độ cao
trên bề mặt của trái đất bằng bán kính của trái đất. Khối lượng và bán kính của trái đất là
𝑀𝑒 = 5.9742 × 1024 kg và 𝑅𝑒 = 6378 𝑘𝑚.
Lời giải:
Xét vật thể khối lượng m đặt tại một khoảng cách 2Re từ tâm của trái đất khối lượng Me.
Định luật vạn vật hấp dẫn, từ phương trình (1.17), chỉ ra rằng vật thể bị hấp dẫn bởi trái đất
với một lực F được tính bởi

với 𝐺 = 6.67 × 10−11 𝑚3 /(𝑘𝑔 ∙ 𝑠 2 ) là hằng số hấp dẫn. Thay giá trị của G và các thông số

đã cho, lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên người đàn ông nặng 70kg là


Chƣơng 2. Động lực học chất điểm: tọa độ vuông góc

2.1

Giới thiệu

Trong chương này chúng ta nghiên cứu động lực học (cả động học và động lực) của
chất điểm trong hệ tọa độ vuông góc. Vấn đề thảo luận được giới hạn một chất điểm trong
hệ trục tọa độ được giả thiết là cố định; nghĩa là không di chuyển. Động lực học của hai
hoặc nhiều chất điểm và động học của chuyển động tương đối ( hệ tọa độ di chuyển) được
nhắc đến trong Chương 5.
Định nghĩa của các thông số động học (vị trí, vận tốc, và gia tốc) , những đại lượng đã xuất
hiện trong các chương trước, không liên quan đến một hệ tọa độ. Do đó các định nghĩa này
có thể áp dụng trong bất kỳ hệ tọa độ cố định khác nhau nào. Hệ tọa độ cụ thể là thiết yếu
khi chúng ta muốn mô tả chuyển động. Ở đây chúng ta sử dụng hệ tọa độ đơn giản nhất
trong các hệ: hệ tọa độ vuông góc- Hệ tọa độ Đềcác. Mặc dù hệ tọa độ vuông góc có thể
được sử dụng trong lời giải của bài toán bất kỳ, tuy nhiên nó không hoàn toàn thuận lợi.
Thường thấy, các hệ tọa độ cong được mô tả trong chương tới dễ phân tích hơn.
Hệ tọa độ vuông góc thuận lợi trong việc phân tích các chuyển động thẳng (chuyển động
dọc theo đường thẳng) hoặc chuyển động cong mà có thể được mô tả bằng các chuyển
động thẳng chồng chất, như chuyển động bay của một vật được phóng. Hai ứng dụng này là
phần chủ yếu của chương này.
Một vấn đề quan trọng của động học được giới thiệu trong phân tích chuyển động thẳng:
cho gia tốc của chất điểm, xác định vận tốc và vị trí của nó. Việc này tương đương với tích
phân hai lớp phương trình x  f ( x,x,t ) được nhắc lại xuyên suốt phần động lực học. Tất cả
các phương trình vi phân bắt gặp trong cuốn sách này là đơn giản đủ để giải. Tuy nhiên

chúng ta cũng giải một vài bài toán mà phải tích phân số. Mặc dù các bài toán này là tùy
chọn, chúng là một chú ý quan trọng rằng hầu hết các bài toán thực tế không có lời giải giải
tích.

2.2

Động học

Hình 12.1(a) chỉ ra quỹ đạo của chất điểm A, chất điểm này chuyển động trong hệ tọa độ
vuông góc cố định. Đặt i, j, k là các véctơ đơn vị chỉ phương, vị trí của chất điểm có thể
được viết như sau:
𝒓 𝑡 = 𝑥. 𝒊 + 𝑦. 𝒋 + 𝑧. 𝒌

(2.1)

trong đó x, y, z là các tọa độ vuông góc phụ thuộc thời gian của chất điểm.

Hình 2.1
Áp dụng định nghĩa vận tốc, phương trình (1.10) và hàng loạt các quy tắc vi phân,
phương trình (1.4) chúng ta có được:
v=

dr d( x.i  y. j  z.k )
di
dj
dk

 x.  x.i  y.  y. j  z.  z.k
dt

dt
dt
dt
dt

Do các trục tọa độ là cố định, véctơ đơn vị là hằng số, nên

di dj d k
, ,
bằng 0, do đó vận
dt dt dt

tốc trở thành:
v  x.i  y. j  z.k

trong đó các thành phần vuông góc , được chỉ ra trong hình 2.1(a) là

(2.2)


 ; vy =y
 ; vz =z
vx=x

(2.3)

Tương tự định nghĩa gia tốc, phương trình (1.13) có được
a

dv d( vx .i  v y .j  vz .k )


 vx i .  v y . j  vz .k
dt
dt

do đó gia tốc là

a  ax i  ay j + az k

(2.4)

với các thành phần tương ứng trong hình 2.1(b)

 x=x
 ay =v
 y=y
 az=v z=z

ax=v

(2.5)

a. Chuyển động phẳng.
Chuyển động phẳng xuất hiện trong các ứng dụng kỹ thuật nên được đặc biệt chú ý. Trong
hình 2.2(a) chỉ ra quỹ đạo của chất điểm A chuyển động trong mặt phẳng xy, để có được
các thành phần theo hai trục của r, v, a chúng ta đặt z=0 trong công thức (2.1) tới (2.5) kết
quả là
r = x.i  y. j , v  x.i  y. j , a x.i y. j  ax i  ay j

(2.6)

trong đó

 vy =y
 ax=v x=x
 ay =v
 y =y

vx =x

(2.7)

Hình 2.2(b) chỉ ra các thành phần vuông góc của vận tốc. Góc  xác định hướng của v có
được từ công thức sau:

tan =

vy
vx

=

dy/dt dy
=
dx/dt dx

Do độ dốc của quỹ đạo bằng với dy/dx, chúng ta thấy rằng v tiếp tuyến với quỹ đạo, kết quả
đã được nhấn mạnh trong chương trước.
Các thành phần vuông góc của a được chỉ ra trong hình 2.2(c) góc  mà xác định hướng
của a được tính toán từ phương trình:

tanß =

ay
ax

=

d 2 y/dt 2
d 2 x/dt 2


Do  thông thường không bằng  nên gia tốc không tiếp tuyến với quỹ đạo.
b. Chuyển động thẳng.
Nếu quỹ đạo của chất điểm là đường thẳng, chuyển động được gọi là chuyển động thẳng:
Một ví dụ của chuyển động thẳng, trong đó chất điểm chuyển động dọc theo trục x, được
mô tả trong hình 12.3. Trong trường hợp này, chúng ta đặt y=0 trong phương trình (2.6) và
(2.7) có được r  x.i . v  vx .i , a  a x .i , các véctơ được định hướng dọc theo quỹ đạo. Do
đó chỉ số dưới không còn cần thiết, phương trình đối với chuyển động thẳng dọc theo trục x
thường được viết dưới dạng:

r = x.i ., v  x.i , a  x.i  ax .i

(2.8)

v  x , a  v x

(2.9)

trong đó

Trong nhiều bài toán, biểu diễn gia tốc theo các đại lượng vận tốc và vị trí thuận lợi hơn là
vận tốc và thời gian. Sự thay đổi của biến số có thể được thực hiện bằng chuỗi các quy tắc
vi phân: a 

dv dv dx
 .
chú ý rằng dx/dt=v nên ta có
dt dx dt
a =v

dv
dx

(2.10)

Bài tập mẫu 2.1
Vị trí của một chất điểm chuyển động dọc theo trục x được xác định bằng phương trình

x  3t 2  12t36( m ) , trong đó t tính bằng giây. Trong khoảng thời gian từ t=0 tới t=3s,
(1) Vẽ biểu đồ vị trí, vận tốc, gia tốc theo thời gian; (2) tính quãng đường đi được; và (3)
xác định dịch chuyển của chất điểm.
Giải
Phần 1
Do chuyển động là thẳng, véc tơ vận tốc và gia tốc có thể được tính toán như sau:


Các hàm này được biểu diễn trong các hình (a) – (c) trong khoảng thời gian t=0 tới t=3s.
Chú ý đồ thị của x là paraboll, nên có đạo hàm là hàm bậc nhất đối với vận tốc và hằng số
đối với gia tốc. Thời gian để giá trị của x lớn nhất có thể được xác định bằng cách cho
dx/dt=0, hoặc ứng dụng phương trình v=-6t+12=0, ta có kết quả t=2s thay t=2s vào

phương trình (a) ta tìm được

xmax  6m
Phần 2

Biểu đồ (d) chỉ ra chất điểm chuyển động như thế nào trong khoảng thời gian t=0 tới t=3s
khi t=0, chất điểm dời điểm A (x=-6m) chuyển động sang phải . Sau đó nó chuyển động
sang trái, tới C (x=3m) khi t=3s. Do đó quãng đường đi được bằng khoảng cách mà điểm
dịch chuyển sang phải ( AB ) cộng với khoảng nó di chuyển sang trái ( BC ), ta có

d  AB  BC  12  3  15m


Phần 3
Dịch chuyển trong suốt khoảng thời gian t=0 đến t=3s là véc tơ được vẽ từ vị trí ban đầu
tới vị trí cuối cùng của nó. Véc tơ này được minh họa như là ∆r trong biểu đồ (d) là

r = 9i
Quan sát rằng tổng quãng đường đã di chuyển được (15m) là lớn hơn so với giá trị của
véctơ dịch chuyển (9m) do hướng chuyển động thay đổi trong khoảng thời gian đã cho.
Bài tập mẫu 2.2
Chốt P tại điểm cuối của ống lồng nhau trong sơ đồ (a) trượt dọc theo rãnh cố định dạng
parabol có phương trình là y  40x trong đó x và y được đo bằng mm. Tọa độ y của P
2

thay đổi theo thời gian t (được đo bằng giây) với phương trình y  4t  6t . Khi y=30mm,
2

tính toán (1) véctơ vận tốc của P; và (2) véctơ gia tốc của điểm P.

Giải
Phần 1
Thay thế
vào phương trình quỹ đạo và giải với x ta có:

Do đó các thành phần vuông góc của véctơ vận tốc là:


Đặt y=30mm trong phương trình (a) và giải tìm ra t=2.090s. Thay giá trị này vào
trong các phương trình (c) và (d) ta có:

Vì vậy , véctơ vận tốc tại y=30mm là

Mô tả bằng hình ảnh của kết quả này được thể hiện dưới đây cũng như trong hình (b)

Bằng việc đánh giá độ dốc của quỹ đạo, dy/dx tại y=30mm dễ dàng chỉ ra rằng véctơ vận tốc
được xác định ở trên thực sự tiếp tuyến với quỹ đạo.

Phần 2
Từ các phương trìn (c) và (d) chúng ta có thể xác định các thành phần của gia tốc bằng
phép tính vi phân:

Thay t=2.090s , ta có:


Do đó , véctơ gia tốc tại y=30mm là:

Biểu diễn véctơ a là:

Từ hình vẽ của véctơ gia tốc trong hình (b) chúng ta thấy phương của véctơ a không tiếp

tuyến với quỹ đạo.
Bài tập mẫu 2.3
Một cánh tay cứng OA có chiều dài R quay quanh khớp cầu O.
Tọa độ x và y mô tả chuyển động không gian của điểm A có
phương trình:

trong đó

 là hằng số. Tìm biểu diễn tọa độ z của A.

Giải
Do cánh tay OA là tuyệt đối cứng, tọa độ vị trí của A có phương trình là

Thay x và y ở trên vào phương trình ta có:

Sử dụng phân tích lượng giác

Do đó , biểu diễn tọa độ z là

và ( 1  cos t  sin t ) Ta có:
2

2


Bài tập mẫu 2.4
Cam tròn có bán kính R=16mm được xoay quanh trục tại O, do đó
tạo ra độ lệch tâm R/2. Sử dụng lượng giác, nó có thể chỉ ra rằng
mối quan hệ giữa x, tọa độ vị trí của con đội A và góc  là

Nếu Cam quay thuận chiều kim đồng hồ xung quanh O với vận
tốc góc không đổi   2000vg / phút , xác định tốc độ của con
đội khi   45

0

Giải

Thay R=0.016m ,   45 và   2000.( 2 / 60 )rad / s ta có
0

Dấu âm chỉ ra rằng con đội chuyển động xuống.

2.3. Động lực học: phƣơng pháp lực - khối lƣợng - gia tốc
a. Các phƣơng trình chuyển động.
Khi nhiều lực tác dụng lên một chất điểm có khối lượng m, định luật II của Newton có dạng

 F  m.a trong đó  F

là tổng véctơ của các lực (hợp lực) và a là gia tốc của chất điểm.

Các biểu diễn vô hướng của phương trình véctơ trong hệ tọa độ vuông góc là:

F

x

 m.ax

F

y

 m.ay

F

z

 m.az

(2.11)


Các phương trình (2.11) được biết như là phương trình chuyển động của chất điểm.
Nếu gia tốc của chất điểm đã biết, chúng ta có thể sử dụng các phương trình chuyển động để
tìm ra các lực. Nếu các lực đã biết, các phương trình chuyển động có thể được giải để tìm
gia tốc. Hầu hết các bài tập là các dạng hỗn hợp, trong đó chỉ có vai lực và vài thành phần
gia tốc được biết.
Chúng ta gọi phương pháp liên quan tới lực và tốc của chất điểm nhờ vào phương trình
(2.11) là phương pháp lực - khối lượng - gia tốc. Sau đó chúng ta sẽ học các phương pháp
khác, như là phương pháp công - năng lượng và phương pháp xung lượng – động lượng
(impulse-momentum). Các phương pháp đó cũng có thể được sử dụng để tìm ra mối quan hệ
giữa lực và chuyển động.
b. Các sơ đồ vật thể tự do và khối lƣơng – gia tốc.
Một thực hành chuẩn để bắt đầu phương pháp FMA là vẽ hai sơ đồ, mỗi một sơ đồ
biểu diễn một vế của định luật II Newton

 F  m.a . Đầu tiên là sơ đồ vật thể tự do (FBD)

để chỉ ra tất cả các lực tác dụng lên chất điểm. Sơ đồ thứ hai, ở sơ đồ này chúng ta đề cập
đến sơ đồ khối lượng - gia tốc (MAD), biểu diễn véctơ quán tính của chất điểm. Định luật
II Newton bây giờ có thể được thỏa mãn do yêu cầu hai sơ đồ phải tương đương, đó là hai
kết quả phải giống nhau.
FBD và MAD của chất điểm được chỉ ra trong hình 2.4(a). Dấu bằng giữa hai sơ đồ
chỉ ta sự tương đương tĩnh. Nếu các tọa độ vuông góc được sử dụng, véctơ quán tính
thường được biểu diễn bằng các thành phần vuông góc của nó. như đã minh họa trong hình
2.4(b). Một khi các sơ đồ được vẽ, khá là thuận lợi để viết ra các phương trình cân bằng
tĩnh, đó là các phương trình chuyển động.
Sơ đồ vật thể tự do trong động lực học quan trọng như trong tĩnh học. Nó thể hiện tất
cả các lực tác dụng lên chất điểm trong một dạng rõ ràng và ngắn gọn, nó định ra các chú ý
được sử dụng cho các đại lượng chưa biết, và nó thể hiện các đại lượng chưa biết. Sơ đồ
khối lượng - gia tốc phục vụ cho mục đích tương tự. Nó cũng định rõ các chú ý về các đại
lượng chưa biết, và nó chỉ ra giá trị chưa biết và hướng. Nhưng có lẽ lợi ích lớn nhất của sơ
đồ MAD là nó tập trung sự chú ý của chúng ta vào động học được yêu cầu để mô tả véctơ
quán tính. Sau tất cả, nó là động học mà giúp chúng ta quyết định thành phần nào của véctơ
gia tốc đã biết trước và thành phần nào chưa biết.


Hình 2.4
Tóm lại, phương pháp FMA bao gồm các bước sau:
Bƣớc 1: Vẽ sơ đồ vật thể tự do FBD của chất điểm mà chỉ ra tất cả các lực tác dụng lên nó.
Bƣớc 2: Sử dụng động lực học phân tích gia tốc của chất điểm
Bƣớc 3: Vẽ sơ đồ khối lượng – gia tốc cho chất điểm mà thể hiện véctơ quán tính, ứng dụng
kết quả của bước 2.
Bƣớc 4: Tiếp theo sơ đồ FBD và MAD, quan hệ lực với gia tốc sử dụng cân bằng tĩnh của
hai sơ đồ.

2.4. Động lực học chuyển động thẳng.
a. Các phƣơng trình chuyển động.

Hình 2.5
Hình 2.5 chỉ ra FBD và MAD của chất điểm mà chuyển động thẳng dọc theo trục x. Các
phương trình tương ứng là:

F

x

 m.a

(2.12)

 F  F
y

z

0

(2.13)