Đề thi Đại số tuyến tính

Đại học Đà Nẵng
Khoa Toán

ĐỀ THI GIỮA KỲ
Duyệt đề
Môn thi: Đại số
Thời gian: 60 phút
Đề 1.

--------------------------------------------------------------------------------------Câu 1. Giải và biện luận theo m nghiệm hệ phương trình sau:
 x1 + x2 − 2 x3 + x4 = −1
2 x − x + x + 2 x = 1
 1 2 3
4

 x1 − x2 + x3 + x4 = −3
 x1 − 4 x2 + 6 x3 + mx4 = 0
Câu 2. Cho các ma trận vuông A, B cấp n sao cho
ma trận B khả nghịch và
B ( A2 B − B 2 ) = 0
Chứng minh rằng ma trận A khả nghịch.
Câu 3. Tính định thức sau:
a1 x
x a2
x x
x x
x x

x
x
a3

x
x

x
x
x
a4
x

x
x
x
x
a5

Câu 4. Tìm hạng của ma trận sau
 −1 2 1 −1 4 

÷
1 1 3 −2 −1÷
A=
 −3 1 2 −4 5 ÷

÷
 −3 4 6 −7 8 
--------------------------------------------------------------------------------------Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu.


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
KHOA TOÁN

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

HỌC PHẦN: ĐẠI SỐ
DÀNH CHO LỚP:
THỜI GIAN: 75 phút.

Câu 1. Cho {e1 , e 2 ,e3} là cơ sở của ¡ -không gian vectơ V và {v1 , v 2 ,v3 } ⊂ V sao cho
e1 =v1 + 2v2 − 3v3 ; e2 =2v1 + v2 − 5v3 ; v3 =3v1 + 4v2 − v3
a) Chứng minh rằng {v1 , v 2 ,v3 } cũng là cơ sở của V.
T
b) Cho v ∈ V và [v]/(ei ) = ( 1 0 1) . Tìm [v]/(vi ) ?

Câu 2. Cho ánh xạ f : ¡ 3 → ¡ 3 xác định bởi
f ( x1 , x2 , x3 ) = (2 x1 − 3 x2 + 1x3 , x1 + 3x2 + 2 x3 ,3 x1 + 6 x2 + 7 x3 )
a) Chứng minh rằng f là phép biến đổi tuyến tính.
b) Gọi A là matrận của f đối với cơ sở chính tắc của ¡ 3 . Hãy tìm A.
c) Tìm Im(f), Ker(f).
d) Tìm một cơ sở của ¡ 3 để đối với cơ sở đó matrận của f là matrận chéo. Từ đó
tính An .
Câu 3. Hãy đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
ω (x)=x12 + 4 x22 + 16 x32 + 4 x1 x2 + 8 x1 x3 − 5 x2 x3
Ghi chú: Sinh viên không được sử dụng tài liệu.