Chuyên đề giải bài Toán bằng cách lập phương trình ôn thi vào lớp 10

Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299
0GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG:

Bài 1: Một ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng, đường dài 100 km, lúc về vận tốc tăng thêm 10 km/h, do đó thời
gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Lúc đi
100
x, x > 0
100
x
Lúc về
100
x +10
100
x + 10
 x = 40
100 100
1
−
= ⇔ x 2 + 10 x − 2000 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x
x + 10 2
 x = −50

Vậy: vận tốc xe lúc đi là: 40km/h
Bài 2: Hai xe ôtô khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 60 km. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai
10 km/h nên đã đến nơi sớm hơn 18 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Xe thứ nhất
60
x, x > 10
60
x
Xe thứ hai
60
x - 10
60
x − 10
3
Đổi 18 phút =
h
10
 x = 50
60
60 3
−
=
⇔ x 2 − 10 x − 2000 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x − 10 x 10
 x = −40

Vậy: vận tốc xe thứ nhất là: 50km/h; xe thứ hai là: 40km/h.
Bài 3: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 90 km. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai là
5 km/h nên đến nơi sớm hơn 15 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Xe thứ nhất
90
x, x > 5
90
x
Xe thứ hai
90
x-5
90
x −5
1
Đổi 15 phút = h
4
 x = 45
90 90 1
−
= ⇔ x 2 − 5 x − 1800 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x −5 x 4
 x = −40
Vậy: vận tốc xe thứ nhất là: 45km/h; xe thứ hai là: 40km/h.

Gv Phạm Minh Tứ

Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299

Bài 4: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ Huế đến Đà Nẵng cách nhau 120km. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe
thứ hai là 10km/h, nên đến Đà Nẵng sớm hơn xe thức hai 1giờ. Tính vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Xe thứ nhất
120
x, x > 10
120
x
Xe thứ hai
120
x - 10
120
x − 10
 x = 40
120 120
−
= 1 ⇔ x 2 − 10 x − 1200 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x − 10
x
 x = −30

Vậy: vận tốc xe thứ nhất là: 40km/h; xe thứ hai là: 30km/h.
Bài 5: (TS – 10 – Hải Dương – 2009 – 2010)
Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai mỗi giờ 10 km nên đến B sớm
hơn ô tô thứ hai là 2 giờ. Tính vận tốc hai xe ô tô, biết quãng đường AB dài 300 km.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Xe thứ nhất
300
x + 10
300
x + 10
Xe thứ hai
300
x, x > 0
300
x
x
=
50

300 300
−
= 1 ⇔ x 2 + 10 x − 3000 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x
x + 10
 x = −60
Vậy: vận tốc xe thứ nhất là: 60km/h; xe thứ hai là: 50km/h.

Bài 6: (TS – 10 – Hải Dương 2007 – 2008)
Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ôtô cùng khởi hành một lúc từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất
chạy nhanh hơn xe thứ hai là 6 km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Xe thứ nhất
108
x, x > 6
108
x
Xe thứ hai
108
x-6
108
x−6
 x = 60
108 108 1
−
= ⇔ x 2 − 6 x − 3240 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x−6
x
5
 x = −54
Vậy: vận tốc xe thứ nhất là: 60km/h; xe thứ hai là: 54km/h.
Bài 7: Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy
nhanh hơn ôtô thứ hai 10 km, nên đến B trước ôtô thứ hai là 24 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn:

Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Xe thứ nhất
120
x, x > 10
120
x
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ
Xe thứ hai
120

0968.469.299
x - 10

120
x − 10

2
h
5
 x = 60
120 120 2
−
= ⇔ x 2 − 10 x − 3000 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x − 10

x
5
 x = −50
Vậy: vận tốc xe thứ nhất là: 60km/h; xe thứ hai là: 50km/h.
Đổi: 24phút =

Bài 8: Hai ôtô đi từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 560km. Ôtô thứ hai có vận tốc lớn hơn ôtô thứ nhất
10km/h nhưng khởi hành sau ôtô thứ nhất 1 giờ thì cả hai ôtô đến B cùng một lúc. Hỏi vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Xe thứ nhất
560
x, x > 0
560
x
Xe thứ hai
560
x + 10
560
x + 10
x
=
70

560 560
−
= 1 ⇔ x 2 + 10 x − 5600 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:

x
x + 10
 x = −80
Vậy: vận tốc xe thứ nhất là: 70km/h; xe thứ hai là: 80km/h.
Bài 9: Một người đi xe đạp từ A đến B dài 36km. Lúc về người đó tăng vận tốc thêm 3km/h, do đó thời gian về
ít hơn thời gian đi là 36phút. Tính vận tốc lúc đi và lúc về.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Lúc đi
36
x, x > 0
36
x
Lúc về
36
x +3
36
x+3
3
Đổi: 36phút = giờ
5
 x = 12
36 36
3
−
= ⇔ x 2 + 3 x − 180 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x x+3 5

 x = −15
Vậy: vận tốc xe đạp lúc đi là: 12km/h; lúc về là: 15km/h.
Bài 10: Một người đi xe đạp khởi hành từ tỉnh A lúc 12 giờ trưa để đi đến tỉnh B, hai tỉnh cách nhau 72km.
Một người thứ hai đi xe đạp khởi hành từ B lúc 13giờ để đi tới A. Biết rằng vận tốc xe đạp thứ nhất hơn vận tốc
xe đạp thứ hai là 4km/h và xe thứ nhất tới B trước xe thứ hai tới A là 2giờ 30phút. Tính vận tốc của mỗi xe đạp.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Xe thứ nhất
72
x, x > 4
72
x
Xe thứ hai
72
x-4
72
x−4
 x = 16( N )
72 72 3
−
= ⇔ x 2 − 4 x − 192 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x−4 x 2
 x = −12( L)
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ

Vậy: vận tốc xe thứ nhất là: 16km/h; xe thứ hai là 12km/h

0968.469.299

Bài 11: Một ôtô khởi hành từ A để đến B cách nhau 240 km. Sau 1giờ, một ôtô thứ hai cũng khổi hành từ A
đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc ôtô thứ nhất là 10km/h, nên đã đuổi kịp ôtô thứ nhất ở chính giữa quãng
đường AB. Tính vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn:
Xe thứ nhất

Quãng đường(km)
120

Vận tốc(km/h)
x, x > 0

Xe thứ hai

120

x + 10

 x = 30( N )
120 120
−
= 1 ⇔ x 2 + 10 x − 120 = 0 ⇔ 
x
x + 10
 x = −40( L)
Vậy: vận tốc xe thứ nhất là: 30km/h; xe thứ hai là 40km/h

Thời gian(h)
120
x
120
x + 10

Ta có Pt:

Bài 12: Hai tỉnh A và B cách nhau 120 km. Lúc 6 giờ 45 phút, một xe máy đi từ A đến B; 15 phút sau đó, một ô
tô cũng khởi hành từ A để đi đến B. Vì vận tốc Ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h, nên xe máy đến B
muộn hơn ô tô tới 45 phút. Hỏi ô tô đến B lúc mấy giờ.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Xe máy
120
x, x > 0
120
x
Xe Ô tô
120
x + 10
120
x + 10
 x = 30( N )
120 120
−
= 1 ⇔ x 2 + 10 x − 120 = 0 ⇔ 

Ta có Pt:
x
x + 10
 x = −40( L)
Vậy: vận tốc xe thứ nhất là: 30km/h; xe thứ hai là 40km/h
Ô tô tới B lúc: 10h
Bài 13: Hai thành phố A và B cách nhau 50km. Một người đi xe đạp từ A đến B. Sau đó 1giờ30 phút. Một
người đi xe máy cũng đi từ A đến B sớm hơn người đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng vận
tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 18km/h.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Xe đạp
50
x, x > 0
50
x
Xe máy
50
x +18
50
x + 18
5
Người đi xe đạp thời gian nhiều hơn xe máy là: 1h30’ + 1h = 2h30’ = h
2
 x = 12
50
50
5

−
= ⇔ x 2 + 18 x − 360 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x x + 18 2
 x = −30( L)
Vậy: vận tốc xe đạp là: 12km/h; xe thứ hai là: 30km/h.

Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ
0968.469.299
Bài 14: Một xe ô tô đi từ A đến B cách nhau 150 km và về hết tổng thời gian là 5 giờ, biết rằng vận tốc lúc về
lớn hơn vận tốc lúc đi là 25 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Lúc đi
150
x, x > 0
150
x
Lúc về
150
x +25
150
x + 25
 x = 50
150 150

+
= 5 ⇔ x 2 − 35 x − 750 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x
x + 25
 x = −15( L)
Vậy: vận tốc lúc đầu của ôtô là: 50km/h
Bài 15: Một ôtô đi trên quãng đường dài 520km. Khi đi được 240km thì ôtô tăng vận tốc thêm 10km/h và đi hết
quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ôtô biết rằng thời gian ôtô đi hết quãng đường là 8giờ.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Lúc đầu
240
x, x > 0
240
x
Lúc sau
280
x +10
280
x + 10
 x = 60
240 280
+
= 8 ⇔ x 2 − 55 x − 300 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x
x + 10

 x = −5( L)
Vậy: vận tốc lúc đầu của ôtô là: 60km/h
Bài 16: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với vận tốc định trước. Khi từ B về A, người đó đi
bằng đường khác dài hơn đường trước 29 km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 km/h. Tính vận tốc
lúc đi, biết thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Lúc đi
33
x, x > 0
33
x
Lúc về
29 + 33 = 62
x+3
62
x+3
3
Đổi: 1h 30 phút = h
2
x = 9
62 33 3
2
− = ⇔ 3 x − 49 x + 198 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
 x = 22
x+3 x 2
3


22
Vậy: vận tốc người đi xe máy là: 9km/h ; hoặc
km/h
3
Bài 17: Lúc 6giờ 30phút một người đi xe máy đi từ A đến B dài 75km với vận tốc định trước. Đến B người đó
nghỉ lại 20phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn 5km/h. Người đó về đến A lúc 12giờ 20phút. Tính vận tốc
dự định của người đó.
Hướng dẫn:
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299

Lúc đi

Quãng đường(km)
75

Vận tốc(km/h)
x, x > 0

Lúc về

75

x+5

Thời gian(h)
75
x
75
x+5

1
35
Đổi: 20phút = h;Thời gian đi và nghỉ tổng là:12giờ 20phút - 6giờ 30phút = 5giờ50phút =
h
3
6
 x = 25
75 75 1 35
2
+
+ =
⇔ 11x − 245 x − 750 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
 x = −30
x x+5 3 6

11
Vậy: vận tốc người đi xe máy là: 25km/h
Bài 18: Hai thành phố A và B cách nhau 120km. Lúc 7giờ sáng, một ô tô khởi hành từ A đi đến B. Sau khi đi
2
được
quãng đường thì xe dừng lại nghỉ 20 phút rồi lại tiếp tục đi, nhưng do đường xấu nên vận tốc chậm hơn
3
trước 8km/h và đến B lúc 10 giờ. Hỏi ôtô dừng lại nghỉ lúc mây giờ?

Hướng dẫn:
Quãng đường đầu
Quãng đường lúc
sau

Quãng đường(km)
80

Vận tốc(km/h)
x, x > 8

40

x-8

Thời gian(h)
80
x
40
x −8

1
h; Thời gian tổng đi và nghỉ là 10 – 7 = 3 h
3
 x = 48
80 1 40
+ +
= 3 ⇔ x 2 − 53 x + 240 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:

x 3 x −8
x = 5
80
5
h = h = 1h40’
Vậy vận tốc lúc đầu là: 48km/h; thời gian ô tô đã đi là:
48
3
Bài 19: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc định trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe tăng vận tốc thêm
10km/h và về đến nơi sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe, biết quãng đường AB dài
120 km.
Hướng dẫn
S(km)
V(km/h)
T(h)
Thời gian nghỉ: 20 phút =

Dự định
Thực tế

Gv Phạm Minh Tứ

120

x, x > 0

Lúc đầu

60

x

Lúc sau

60

x + 10

120
x
60
x
60
x + 10


Gv Phạm Minh Tứ
 x = 40
60
60
120 1
+
=
− ⇔ x 2 + 10 x − 1200 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x x + 10
x
2
 x = −30
Vậy: vận tốc dự định là: 40 km/h

0968.469.299

Bài 20: (TS – Hà Nội – 1996 – 1997)
1
quãng đường,
3
người đó tăng vận tốc lên 10km/h trren quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên
đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định là 24 phút.
Hướng dẫn
S(km)
V(km/h)
T(h)
Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trước. Sau khi đi được

Dự định
Thực tế

120

x, x > 0

Lúc đầu

40

x

Lúc sau

80

x + 10

120
x
40
x
80
x + 10

2
h
5
 x = 40
40
80
120 2
+
=
− ⇔ x 2 + 10 x − 2000 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x x + 10
x 5
 x = −50
Vậy: vận tốc dự định là: 40km/h
Đổi: 24phút =

Bài 21: Một ôtô đi quãng đường dài 150km với thời gian đã định. Sau khi đi được nửa quãng đường ôtô dừng
lại 10 phút, do đó để đến B đúng hẹn xe phải tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc

dự định của ôtô.
Hướng dẫn
S(km)
V(km/h)
T(h)
Dự định
Thực tế

150

x, x > 0

Lúc đầu

75

x

Lúc sau

75

x+5

1
h
6
 x = 45
75 1 75 150
+ +

=
⇔ x 2 + 5 x − 2250 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x 6 x+5
x
 x = −50
Vậy: vận tốc dự định là: 45km/h
Thời gian nghỉ: 10phút =

Gv Phạm Minh Tứ

150
x
75
x
75
x+5


Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299

Bài 22: Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 36km trong một thời gian đã định. Sau khi đi được nửa
quãng đường người đó nghỉ 18 phút, do đó để đến B đúng hẹn phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường
còn lại. Tính vận tốc ban đầu.
Hướng dẫn
S(km)
V(km/h)
T(h)

Dự định
Thực tế

36

x, x > 0

Lúc đầu

18

x

Lúc sau

18

x+2

36
x
18
x
18
x+2

3
h
10
 x = 10

18 3
18
36
+ +
=
⇔
Ta có Pt:
x 10 x + 2 x
 x = −12
Vậy vận tốc ban đầu là: 10km/h
Thời gian nghỉ: 18phút =

Bài 23: Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 30km với vận tốc không đổi. Sau khi đi được nửa
quãng đường do sự cố người đó phải dừng lại mất 30phút, do đó người ấy phải tăng vận tốc thêm 3km/h trên
quãng đường còn lại, tuy nhiên người ấy vẫn đến B trễ 20phút. Tính vận tốc dự định ban đầu.
Hướng dẫn
S(km)
V(km/h)
T(h)
Dự định
Thực tế

30

x, x > 0

Lúc đầu

15

x

Lúc sau

15

x+3

30
x
15
x
15
x+3

1
h
3
 x = 15
15 1 15
30
+ +
=
⇔ x 2 + 3 x − 270 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x 2 x+3 x
 x = −18
Vậy vận tốc ban đầu là: 15km/h
Thời gian nghỉ: 30phút =

Bài 24: Một người dự định đi mô tô từ A đến B cách nhau 60km với vận tốc không đổi. Sau khi đi được nửa
quãng đường do sự cố người đó phải dừng lại mất 30phút để sửa chữa, do đó người ấy phải tăng vận tốc thêm
10km/h trên quãng đường còn lại, tuy nhiên người ấy vẫn đến B chậm hơn 15 phút. Tính vận tốc dự định ban
đầu của xe mô tô.
Hướng dẫn
S(km)
V(km/h)
T(h)
Dự định
Gv Phạm Minh Tứ

60

x, x > 0

60
x


Gv Phạm Minh Tứ
Thực tế
Lúc đầu

0968.469.299
30

x

Lúc sau

30

x + 10

30
x
30
x + 10

1
h
4
 x = 30
30 1
30
60
+ +
=
⇔ x 2 + 10 x − 1200 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x 4 x + 10 x
 x = −40
Vậy vận tốc ban đầu là: 30km/h
Thời gian nghỉ: 15phút =

2
quãng
3
đường do sự cố người đó phải dừng lại mất 15 phút để sửa chữa, do đó người ấy phải tăng vận tốc thêm 10km/h
trên quãng đường còn lại, tuy nhiên người ấy vẫn đến B chậm hơn dự định 10phút. Tính vận tốc dự định ban

đầu của xe ô tô.
Hướng dẫn
S(km)
V(km/h)
T(h)
Bài 25: Một người dự định đi ô tô từ A đến B cách nhau 30km với vận tốc đã định. Sau khi đi được

Dự định
Thực tế

30

x, x > 0

Lúc đầu

20

x

Lúc sau

10

x + 10

30
x
20
x

10
x + 10

1
h
6
 x = 30
20 1
10
30
+ +
=
⇔ x 2 + 10 x − 1200 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x 6 x + 10 x
 x = −40
Vậy vận tốc ban đầu là: 30km/h
Thời gian nghỉ: 10phút =

Bài 26: (TS-Khánh Hòa – 2011-2012)
Quãng đường từ A đến B dài 50 km. Một người dự định đi xe đạp từ A đến B với vận tốc dự định. Khi đi được
2 giờ, người ấy dừng lại nghỉ 30 phút. Muốn đến B đúng thời gian đã định, người ấy phải tăng vận tốc thêm 2
km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định ban đầu của người đi xe đạp.
Hướng dẫn
Dự định
Thực tế

Lúc đầu
Lúc sau

Thời gian nghỉ: 30phút =
Gv Phạm Minh Tứ

1
h
2

S(km)

V(km/h)

T(h)

50

x, x > 0

2x
50 – 2x

x
x+2

50
x
2
50 − 2 x
x+2

Gv Phạm Minh Tứ
 x = 10
1 50 − 2 x 50
=
⇔ x 2 + 10 x − 200 = 0 ⇔ 
Ta có Pt: 2 + +
2
x+2
x
 x = −20
Vậy vận tốc ban đầu là: 10km/h

0968.469.299

Bài 27: (TS- Bình Thuận – 2011-2012)
Một xe ô tô đi từ A đến B cách nhau 180 km. Sau khi đi được 2 giờ, ô tô dừng lại đổ xăng và nghỉ ngơi mất 15
phút rồi tiếp tục đi với vận tốc tăng thêm 20 km/h và đến B đúng giờ đã địng. Tính vận tốc ban đầu của ôtô.
Hướng dẫn
S(km)
V(km/h)
T(h)
Dự định
Thực tế

Lúc đầu
Lúc sau

180

x, x > 0

2x
180 – 2x

x
x + 20

180
x
2
180 − 2 x
x + 20

1
h
4
 x = 60
1 180 − 2 x 180
=
⇔ x 2 + 180 x − 14400 = 0 ⇔ 
Ta có Pt: 2 + +
4
x + 20
x
 x = −240
Vậy vận tốc ban đầu là: 60km/h
Thời gian nghỉ: 15phút =

Bài 28: Một ôtô phải đi từ A đến B trong một thời gian đã định. Sau khi đi được 1 giờ, ôtô dừng lại 15 phút, do
đó để đến B đúng hẹn xe phải tăng tốc thêm 10 km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ôtô, biết quãng đường AB dài 90

km.
dẫn
S(km)
V(km/h)
T(h)
Dự định
Thực tế

Lúc đầu
Lúc sau

90

x, x > 0

2x
90 – x

x
x + 10

90
x
2
90 − x
x + 10

1
h
4

 x = 40
1 90 − x 90
=
⇔ x 2 + 50 x − 3600 = 0 ⇔ 
Ta có Pt: 1 + +
4 x + 10 x
 x = −90
Vậy vận tốc ban đầu là: 40km/h
Thời gian nghỉ: 15phút =

Baì 29: (TS-10-Huế - 2006 – 2007)
Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1giờ 40phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn
vận tốc của xe thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả
thiết rằng quãng đường sắt Huế - Hà Nội dài 645km.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Xe thứ nhất(H đến
346
x, x > 0
346
HN)
x
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ
Xe thứ hai(HN đến 300
Huế)

0968.469.299
x+5

Xe đi từ Huế có thời gian nhiều hơn xe đi từ Hà Nội là: 1h40’ =

300
x+5
5
h
3

 x = 45
300 346 5
−
= ⇔ x 2 − 22 x − 1035 = 0 ⇔ 
x+5
x
3
 x = −23
Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là: 45km/h
Ta có Pt:

Bài 30: (TS – BĐ- 2009 – 2010)
Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn. Sau đó 75phút, một ôtô khởi hành từ Quy Nhơn đi
Hoài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc xê máy là 20km/h. Hai xe gặp nhau tại Phù Cát. Tính vận tốc của mỗi xe,
giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hoài Ân 100km và Quy Nhơn cách Phù Cát 30km.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)

Thời gian(h)
Xe máy(Hoài Ân đi 70
x, x > 0
70
QN)
x
Xe ôtô(QN đi Hoài 30
x + 20
30
Ân )
x + 20
5
Thời gian xe Máy nhiều hơn ôtô là 75phút = h, nên
4
 x = 40
70
30
5
−
= ⇔ x 2 − 12 x − 1120 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x x + 20 4
 x = −60
Vậy vận tốc xe máy là: 40km/h; ôtô là 60km/h
Bài 31: Một người dự định đi từ A đến B dài 78 km. Sau đó 1 giờ, người thứ hai đi từ B về A và hai người gặp
nhau cách B là 36 km. Tính vận tốc của mỗi người, biết vận tốc người thứ hai lớn hơn vận tốc người thứ nhất là
4 km/h.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km)
Vận tốc(km/h)

Thời gian(h)
Người đi từ A
42
x, x > 0
42
x
Người đi từ B
36
x+4
36
x+4
 x = 14
42 36
−
= 1 ⇔ x 2 − 2 x − 168 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x x+4
 x = −12
Vậy vận tốc xe đi từ A là : 14 km/h; xe đi từ B là 18 km/h
Bài 32: Hai người đi xe đạp cùng khởi hành một lúc ở một chỗ. Người thứ nhất đi về phía bắc, người thứ hai đi
về phía đông. Sau 2 giờ họ cách nhau 60km theo đường chim bay. Biết vận tốc người thứ nhất lớn hơn vận tốc
người thứ hai là 6km/h. Tính vận tốc của mỗi người.
DẠNG TOÁN CA NÔ:
Lưu ý:
vx = vr + vnc ; vng = vr − vnc . Điều kiện: vr > vnc
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299

sx

t x = v

x
sx = vx .t x ⇒ 
; Trường hợp ngược dòng tương tự.
v = s x
 x t x
Bài 33: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ B về A mất tất cả 4 giờ. Tìm vận tốc
thực của ca nô, biết rằng quãng đường sông từ A đến B dài 30km và vận tốc của dòng nước là 4km/h
Hướng dẫn:
S(km)
T(h)
V(km/h)
V(thực)
Lúc xuôi
30
x+4
x, x > 4
30
x+4
Lúc ngược
30
x-4
30
x−4
 x = −1

30
30
+
= 4 ⇔ 2 x 2 − 30 x − 32 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x+4 x−4
 x = 16
Vận tốc thực của ca nô là: 16km/h
Bài 34: (TS-10-BĐ-2007-2008)
Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng 120km và ngược dòng 120km, thời gian cả đi và về hết 11giờ. Hãy tìm
vận tốc của ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h.
Hướng dẫn:
S(km)
T(h)
V(km/h)
V(thực)
Lúc xuôi
120
x+2
x, x >2
120
x+2
Lúc ngược
120
x-2
120
x−2
2

x=−

120 120
2

+
= 11 ⇔ 11x − 240 x − 44 = 0 ⇔
11
Ta có Pt:

x+2 x−2
x
=
22

Vận tốc thực của ca nô là: 22km/h
Bai 35: Một tàu thủy xuôi dòng sông từ A đến B dài 48km rồi ngược dòng sông từ B về A hết 5giờ. Tính vận
tốc của tàu thủy, biết vận tốc của dòng nước là 4km/h.
Hướng dẫn:
S(km)
T(h)
V(km/h)
V(thực)
Lúc xuôi
48
x+4
x, x > 4
48
x+4
Lúc ngược
48
x-4

48
x−4
 x = 20
48
48
+
= 5 ⇔ 5 x 2 − 96 x − 80 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x+4 x−4
 x = −4
Vậy vận tốc của tàu thủy là: 20km/h
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ
0968.469.299
Bài 36: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi và về mất 8giờ 20 phút. Tính vận tốc thực của
tàu thủy biết vận tốc dòng nước là 4km/h.
Hướng dẫn:
S(km)
T(h)
V(km/h)
V(thực)
Lúc xuôi
80
x+4
x, x > 4
80
x+4
Lúc ngược

80
x-4
80
x−4
25
Đổi: 8h20’ =
h
3
 x = 20
80
80
25
2
+
=
⇔ 5 x − 96 x − 80 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
 x = −4
x+4 x−4 3
5

Vận tốc thực của tàu thủy là: 20km/h
Bài 37: Một chiếc ca nô đi xuôi theo dòng sông 28,5 km, sau đó đi ngược dòng sông 22,5 km hết tất cả 8 giờ.
Hỏi vận tốc của ca nô khi nước đứng yên( vận tốc riêng của ca nô) là bao nhiêu? Biết rằng vận tốc của dòng
nước là 2,5 km.
Hướng dẫn:
S(km)
T(h)
V(km/h)
V(thực)

Lúc xuôi
28,5
x + 2,5
x, x > 2,5
28,5
x + 2,5
Lúc ngược
22,5
x – 2,5
22,5
x − 2,5
x = 7
28,5
22,5
+
=8⇔ 
Ta có Pt:
 x = −5
x + 2,5 x − 2,5
8

Vận tốc riêng của ca nô là: 7 km/h
Bài 38: Hai bến sông A và B cách nhau 12km, một ca nô đi từ A đến B, nghỉ 20phút ở B sau đó quay lại bến A.
Kể từ lúc khởi hành đến khi trở về bến A hết tất cả 2giờ 28phút. Tìm vận tốc của ca nô trong nước yên lặng,
biết rằng vận tốc của dòng chảy là 3km/h ( dòng chảy từ A đến B).
Hướng dẫn:
S(km)
T(h)
V(km/h)
V(thực)

Lúc xuôi
12
x+3
x, x > 3
12
x+3
Lúc ngược
12
x-3
12
x −3
1
37
Đổi: 20phút = h; 2h28’ =
h
3
15
 x = 12
12 1 12
37
2
+ +
=
⇔ 4 x − 45 x − 36 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
 x = −3
x + 3 3 x − 3 15

4
Vận tốc thực của ca nô là: 12km/h

Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ
0968.469.299
Bài 39: Hai bến sông A và B cách nhau 30 km. Một ca nô đi từ A đến B, nghỉ tại B là 40 phút rồi lại quay về A,
với thời gian tổng cộng là 6 giờ. Tìm vận tốc của ca nô khi nước đứng yên. Biết rằng vận tốc của dòng nước là 3
km/h.
Hướng dẫn:
S(km)
T(h)
V(km/h)
V(thực)
Lúc xuôi
30
x+3
x, x > 3
30
x+3
Lúc ngược
30
x-3
30
x −3
2
Đổi: 40phút = h;
3
 x = 12
30 2 30

+ +
=6⇔
Ta có Pt:
 x = −3
x +3 3 x −3

4
Vận tốc thực của ca nô là: 12km/h
Bài 40: (TS – Huế - 2007 – 2008)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, nhỉ 30 phút
tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25 km để đến bến C. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại bến C
hết tất cả là 8 giờ. Tính vận tốc xuồng máy khi nước yên lặng, biết vận tốc nước chảy là 1 km/h
Hướng dẫn:
S(km)
T(h)
V(km/h)
V(thực)
Lúc xuôi
60
x+1
x, x > 1
60
x +1
Lúc ngược
25
x-1
25
x −1
1
Đổi: 30’ = h

2
Vận tốc nước chính bằng vận tốc của bè: 50 : 10 = 5km/h
 x = 11
60 1 25
2
+ +
= 8 ⇔ 3 x − 34 x + 11 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x = 1
x +1 2 x −1
3

Vận tốc thực của ca nô là: 11 km/h
Bài 41: Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km. Tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng là 4 giờ 10
phút. Tính vận tốc thực của thuyền, biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mối xuôi hết dòng sông.
Hướng dẫn:
S(km)
T(h)
V(km/h)
V(thực)
Lúc xuôi
50
x+5
x, x > 5
50
x+5
Lúc ngược
50
x-5
50

x −5
25
Đổi: 4h10’ =
h
6
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ
Vận tốc nước chính bằng vận tốc của bè: 50 : 10 = 5km/h
 x = 25
50
50
25
+
=
⇔ x 2 − 24 x − 25 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x +5 x −5 6
 x = −1
Vận tốc thực của ca nô là: 25 km/h

0968.469.299

Bài 42: Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với ca nô đi xuôi từ A có một chiếc bè trôi từ A
với vận tốc 3km/h. Sau khi đến B ca nô trở về A ngay và gặp bè khi đã trôi được 8km. Tính vận tốc riêng của ca
nô.
Hướng dẫn:
S(km)
T(h)

V(km/h)
V(thực)
Lúc xuôi
40
x+3
x, x > 3
40
x+3
Lúc ngược
32
x-3
32
x −3
8
Thời gian ca nô đi bằng thời gian bè từ lúc xuất phát đến khi gặp ca nô là: h
3
x
=
27

40
32
8
+
= ⇔ 8 x 2 − 216 x = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x +3 x −3 3
x = 0
Vận tốc thực của ca nô là: 27km/h
Bài 43: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ A đến B, nghỉ 30phút

tại B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25km để đến bến C. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C
hết tất cả là 8 giờ. Tính vận tốc xuồng máy khi nước yên lặng, biết vận tốc nước chảy là 1km/h.
Hướng dẫn:
S(km)
T(h)
V(km/h)
V(thực)
Lúc xuôi
60
x+1
x, x > 1
60
x +1
Lúc ngược
25
x-1
25
x −1
1
Đổi: 20phút = h.
2
 x = 11
60 1 25
2
+ +
= 8 ⇔ 3x − 34 x − 11 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x = 1
x +1 2 x −1
3


Vận tốc thực của xuồng máy là: 11km/h
Bài 44: Hai bến sông A và B cách nhau 24 km. Cùng một lúc với ca nô đi xuôi từ A có một chiếc bè trôi từ A
với vận tốc 4 km/h. Sau khi đến B ca nô trở về A ngay và gặp bè khi đã trôi được 8 km. Tính vận tốc riêng của
ca nô.
Hướng dẫn:
S(km)
T(h)
V(km/h)
V(thực)
Lúc xuôi
24
x+4
x, x > 4
24
x+4
Lúc ngược
16
x-4
16
x−4
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299

Thời gian ca nô đi bằng thời gian bè từ lúc xuất phát đến khi gặp ca nô là:

8
h
3

 x = 22
24
16
+
= 2 ⇔ x 2 − 20 x = 0 ⇔ 
x+4 x−4
x = 0
Vận tốc thực của ca nô là: 22km/h
Ta có Pt:

Bài 45: Một ca nô xuôi một khúc sông dài 50km, rồi ngược khúc sông ấy 32km thì hết 4giờ 30phút. Tính vận
tốc của dòng nước, biết vận tốc của ca nô là 18km/h
Hướng dẫn:
S(km)
T(h)
V(km/h)
V(thực)
Vnc
Lúc xuôi
50
18
+
x
18
X
50

018 + x
<18
Lúc ngược
32
18 - x
32
18 − x
Đổi: 4h30’ = 4,5h
50
32
+
= 4,5 ⇔ x1 = x2 = 2
Ta có Pt:
18 + x 18 − x
Vận tốc thực của dòng nước là: 2km/h
Bài 46: Một ca nô xuôi dòng 44km, rồi ngược dòng 27km hết tất cả 3giờ 30phút. Biết vận tốc thực của ca nô là
20km/h. Tính vận tốc dòng nước.
Hướng dẫn:
S(km)
T(h)
V(km/h)
V(thực)
Vnc
Lúc xuôi
44
20 + x
20
x,
44

020 + x
< 20
Lúc ngược
27
20 - x
27
20 − x
7
Đổi: 3h30’ = h
2
x = 2
44
27
7
2
+
= ⇔ 7 x − 34 x + 40 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x = 2 6
20 + x 20 − x 2
7

6
Vận tốc thực của dòng nước là: 2km/h hoặc 2 km/h
7
DẠNG TOÁN THÊM BỚT:
Bài 47: Lớp 9A được phân công trồng 480 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số học sinh, nhưng khi lao động
có 8 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 3 cây mới xong. Tính số học sinh lớp 9A.
Hướng dẫn:

Số cây
Năng suất
Số Hs
Dự định
480
x, x ∈ Z,x > 8
480
x
Thực tế
480
x -8
480
x −8
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ
 x = 40( N )
480 480
−
= 3 ⇔ x 2 − 8 x − 1280 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x −8
x
 x = −32( L)
Vậy: Số Hs lớp 9A là 40 học sinh.

0968.469.299

Bài 48: Một nhóm học sinh tham gia lao động chuyển 90 bó sách lên thư viện của trường. Đến buổi lao động thì

3 bạn được cô giáo chủ nhiệm chuyển làm việc khác, vì vậy mỗi bạn còn lại phải chuyển thêm 5 bó nữa mới hết
số sách cần chuyển. Hỏi nhóm đó có bao nhiêu người.
Hướng dẫn:
Số cây
Năng suất
Số Hs
Dự định
90
x, x ∈ Z,x > 3
90
x
Thực tế
90
x -3
90
x −3
 x = 9( N )
90 90
−
= 5 ⇔ x 2 − 3 x − 54 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x −3 x
 x = −6( L)
Vậy: nhóm có 9 học sinh.
Bài 49: Dự tính phát đều 280 quyển vở cho số học sinh tiên tiến. Nhưng khi phát có 3 học sinh vắng mặt. Vì
vậy mỗi học sinh có mặt được phát nhiều hơn 12 quyển. Hỏi số học sinh lúc đầu dự tính phát vở.
Hướng dẫn:
Số cây
Năng suất
Số Hs

Dự định
280
x, x ∈ Z,x > 3
280
x
Thực tế
280
x -3
280
x −3
 x = 10( N )
280 280
−
= 12 ⇔ x 2 − 3x − 70 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x −3
x
 x = −7( L)
Vậy: Số học sinh dự tính ban đầu là: 10 học sinh.
Bài 50: Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực
hiện năng suất của tổ đã vượt năng suất dự định là 10 sản phẩm. Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự
kiến 1 ngày. Tính xem thực tế mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm.
Hướng dẫn:
Số sản phẩm
Năng suất
Thời gian(ngày)
Dự định
120
x, x > 0
120

x
Thực tế
120
x + 10
120
x + 10
 x = 30( N )
120 120
−
= 1 ⇔ x 2 + 10 x − 120 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x
x + 10
 x = −40( L)
Vậy: Thực tế tổ đã làm 40 sản phẩm trên một ngày.
Bài 51: Để vận chuyển 18 tấn hàng, người ta dự định điều động một số xe loại nhỏ. Nhưng khi vào việc do điều
động được các xe có trọng tải lớn hơn 1 tấn, nên số lượng xe ít hơn số dự định ban đầu là 3 xe. Hỏi trọng tải
mỗi xe loại nhỏ là bao nhiêu.
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ
Hướng dẫn:

0968.469.299

Dự định

Số tấn hàng
18

Trọng tải(tấn/xe)
x; x > 0

Thực tế

18

x+1

 x = −3
18 18
−
= 3 ⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔ 
x x +1
x = 2
Vậy: trọng tải xe loại nhỏ là: 2 tấn

Số lương xe
18
x
18
x +1

Ta có Pt:

Bài 52: Để vận chuyển 30 tấn hàng, người ta dự định điều động một số xe loại nhỏ. Nhưng khi vào việc do điều
động được các xe có trọng tải lớn hơn 3 tấn, nên số lượng xe ít hơn số dự định ban đầu là 5 xe. Hỏi trọng tải
mỗi xe loại nhỏ là bao nhiêu.
Hướng dẫn:

Số tấn hàng
Trọng tải(tấn/xe)
Số lương xe
Dự định
30
x; x > 0
30
x
Thực tế
30
x+3
30
x+3
 x = −6
30 30
−
= 5 ⇔ x 2 + 3x − 18 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x x+3
x = 3
Vậy: trọng tải xe loại nhỏ là: 3 tấn
Bài 53: Để vận chuyển 20 tấn hàng, người ta dự định điều động một số xe loại nhỏ. Nhưng khi vào việc do điều
động được các xe có trọng tải lớn hơn 3 tấn, nên số lượng xe ít hơn số dự định ban đầu là 6 xe. Tính trọng tải
mỗi loại xe là bao nhiêu.
Hướng dẫn:
Số tấn hàng
Trọng tải(tấn/xe)
Số lượng xe
Dự định
20

x; x > 0
20
x
Thực tế
20
x+3
20
x+3
 x = −5
20 20
−
= 6 ⇔ 3 x 2 + 9 x − 30 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x x+3
x = 2
Vậy: trọng tải xe loại nhỏ là: 2 tấn; loại lớn là 5 tấn.
Bài 54: Một đoàn xe ôtô cần chở 30 tấn hàng từ địa điểm A đến địa điểm B. Khi sắp bắt đầu khởi hành thì có
thêm 2 ôtô nữa, nên mỗi xe chở ít hơn 0,5 tấn so với dự định. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc.
Hướng dẫn:
Số tấn hàng
Trọng tải(tấn/xe)
Số lương xe
Dự định
30
x, x ∈ Z; x > 0
30
x
Thực tế
30
x+2

30
x+2
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ
 x = −12
30 30
1
−
= ⇔ x 2 + 2 x − 120 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x x+2 2
 x = 10
Vậy lúc đầu đoàn xe có 10 xe.

0968.469.299

Bài 55: Một đội xe cần chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc đội được bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít
hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu chiếc, Biết rằng số hàng chở trên mỗi xe là như nhau.
Hướng dẫn:
Số tấn hàng
Trọng tải(tấn/xe)
Số lương xe
Dự định
36
x, x ∈ Z; x > 0
36
x
Thực tế

36
x+3
36
x+3
 x = −12
36 36
−
= 1 ⇔ x 2 + 3 x − 108 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x x+3
x = 9
Vậy lúc đầu đoàn xe có 9 xe.
Bài 56: Theo kế hoạch, một đội xe phải chở 120 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì có hai xe bị hỏng nên mỗi xe
còn lại phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi đội xe có mấy chiếc xe.
Hướng dẫn:
Số tấn hàng
Trọng tải(tấn/xe)
Số lương xe
Dự định
120
x, x ∈ Z; x > 2
120
x
Thực tế
120
x-2
120
x−2
 x = −3
120 120

−
= 16 ⇔ x 2 − 2 x − 15 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x−2
x
x = 5
Vậy : đoàn xe có 5 xe.
Bài 57: Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành,
đoàn xe được giao thêm 14 tấn nữa. Do đó phải điều thêm 2 xe cùng loại và mỗi xe phải chở thêm 0,5 tấn nữa.
Tính số xe phải điều theo dự định.
Hướng dẫn:
Số tấn hàng
Trọng tải(tấn/xe)
Số lương xe
Dự định
40
x, x ∈ Z; x > 0
40
x
Thực tế
14 + 40 = 54
x+2
54
x+2
 x = 10
40 54
−
= 0,5 ⇔ x 2 − 26 x − 160 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x x+2

 x = 16
Vậy : đoàn xe lúc đầu có 10 xe hoặc 16 xe.
Bài 58: Một phòng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi
dãy ghế còn lại phải xếp thêm 2 người ngồi mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp
bao nhiêu người ngồi.
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ
Hướng dẫn:

0968.469.299
Số người
80

Số người/dãy
Lúc đầu
80
x
Lúc sau
80
80
x−2
 x = 10
80 80
−
= 2 ⇔ x 2 − 2 x − 80 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x−2 x
 x = −8

Vậy: Lúc đầu có 10 dãy ghế; mỗi dãy ghế có 8 người ngồi.

Số dãy ghế
x, x ∈ z; x > 2
x-2

Bài 59: Trong một phòng họp có 70 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi 2 dãy ghế
thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 4 người ngồi mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế
được xếp bao nhiêu người ngồi?
Hướng dẫn:
Số ghế
Số ghế/dãy
Số dãy ghế
Lúc đầu
70
x, x ∈ z; x > 2
70
x
Lúc sau
70
x-2
70
x−2
x = 7
70 70
−
= 4 ⇔ x 2 − 2 x − 35 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x−2 x
 x = −5

Vậy: Lúc đầu có 7 dãy ghế; mỗi dãy ghế có 10 người ngồi.
Bài 60: Một phòng họp có 100 người được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu có thêm 44 người thì phải kê
thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế thêm hai người. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế.
Hướng dẫn:
Số ghế
Số ghế/dãy
Số dãy ghế
Lúc đầu
100
x, x ∈ z; x > 0
100
x
Lúc sau
100 + 44 = 144
x+2
144
x+2
144 100
−
= 2 ⇔ x 2 − 20 x + 100 = 0 ⇔ x1 = x2 = 10
Ta có Pt:
x+2
x
Bài 61: Một hội trường có 300 ghế ngồi, chúng được xếp thành từng dãy đều nhau. Nếu mmõi dãy thêm hai ghế
và bớt 3 dãy thì hội trường sẽ giảm 11 ghế. Tính số dãy ghế trong hội trường lúc đầu.
Hướng dẫn:
Số ghế
Số ghế/dãy
Số dãy ghế
Lúc đầu

300
x, x ∈ z; x > 3
300
x
Lúc sau
300-11=289
x-3
289
x −3
 x = 20
289 300
2
−
= 2 ⇔ 2 x + 5 x − 900 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
 x = − 45
x −3
x

2
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ
Vậy: Lúc đầu phong họp có 20 dãy ghế.

0968.469.299

Bài 62: Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng như nhau. Nếu tăng
thêm một hàng và mỗi hàng tăng thêm 1 ghế thì số ghế tăng thêm 40 ghế. Hỏi phòng họp lúc đầu có bao nhiêu

hàng ghế .
Hướng dẫn:
Số ghế
Số ghế/hàng
Số hàng ghế
Lúc đầu
360
x, x ∈ z; x > 0
360
x
Lúc sau
360 + 40 = 400
x+1
400
x +1
 x = 24
400 360
−
= 1 ⇔ x 2 − 39 x + 360 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x +1 x
 x = 15
Vậy: Lúc đầu phong họp có 24 hàng ghế, hoặc 15 hàng ghế.
Bài 63: (TS – Ninh Thuận – 2011-2012)
Một phòng họp dự định 120 người họp. Nhưng khi họp có 160 người dự nên phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy
ghế phải kê thêm 1 ghế nữa thì vừa đủ. Tính số dãy ghế dự định lúc đầu. Biết rằng số dãy ghế trong phòng lúc
đầu nhiều hơn 20 dãy và số ghế trên mỗi dãy là bằng nhau.
Hướng dẫn:
Số người
Số người/dãy

Số dãy ghế
Dự định
120
x, x ∈ z; x > 20
120
x
Thực tế
160
x +2
160
x+2
 x = 30
160 120
−
= 1 ⇔ x 2 − 38 x − 240 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x+2
x
x = 8
Vậy: Lúc đầu phong họp có3 dãy ghế.
Bài 64: Trong hội trường người ta đặt một số dãy ghế với các dãy có số ghế bằng nhau thì được tất cả 320 chỗ
ngồi. Nếu mỗi dãy ghế tăng thêm 4 ghế và tăng thêm 1 dãy ghế thì được 420 chỗ ngồi. Hỏi trong hội trường có
bao nhiêu dãy ghế.
Hướng dẫn:
Số ghế
Số ghế/dãy
Số dãy ghế
Lúc đầu
320
x, x ∈ z; x > 0

320
x
Lúc sau
420
x+4
420
x+4
 x = 80
420 320
−
= 1 ⇔ x 2 − 96 x + 1280 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x+4
x
 x = 16
Vậy: Số dãy ghế là 5 hoặc 21
Bài 65: Một tổ may mặc dự định thực hiện 600 cái áo trong một thời gian nhất định, do cải tiến kĩ thuật mỗi
ngày tổ may thêm được 5 cái, do đó thời gian sản xuất rút ngắn được 6 ngày. Tính xem mỗi ngày tổ dự định
may bao nhiêu cái áo.
Hướng dẫn:
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299

Dự định

Số lượng áo

600

Năng suất(áo/ngày)
x, x ∈ Z; x > 0

Thực tế

600

x+5

 x = −25
600 600
−
= 6 ⇔ x 2 − 5 x − 500 = 0 ⇔ 
x
x+5
 x = 20
Vậy : Số áo dự định may mỗi ngày là 20 cái

Thời gian(ngày)
600
x
600
x+5

Ta có Pt:

Bài 66: Một tổ may mặc dự định thực hiện 600 cái áo trong một thời gian nhất định, do cải tiến kĩ thuật mỗi
ngày tổ may thêm được 4 cái, do đó thời gian sản xuất rút ngắn được 5 ngày. Tính xem mỗi ngày tổ dự định

may bao nhiêu cái áo.
Hướng dẫn:
Số lượng áo
Năng suất(áo/ngày) Thời gian(ngày)
Dự định
600
x, x ∈ Z; x > 0
600
x
Thực tế
600
x+4
600
x+4
 x = −24
600 600
−
= 5 ⇔ x 2 + 4 x − 480 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x
x+4
 x = 20
Vậy : Số áo dự định may mỗi ngày là 20 cái
Bài 67: (TS – 10 – Hà Nội 2011 – 2012)
Một đôi xe theo kế hoạch phải chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt
mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi
theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày.
Hướng dẫn:
Số hàng(tấn)
Năng suất(tấn/ngày) Thời gian(ngày)

Kế hoạch
140
x, x > 1
140
x
Thực tế
150
x-1
150
x −1
 x = −4
150 140
−
= 5 ⇔ x 2 − 3 x − 28 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x −1 x
x = 7
Vậy : Theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng phải hết 7 ngày.
Bài 68: Một tổ may mặc dự định thực hiện 3000 cái áo trong một thời gian nhất định, Để hoàn thành sớm kế
hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 6 áo so với kế hoạch. Vì thế 5 ngày trước khi hết thời hạn,
xưởng đã may được 2650 áo. Tính xem theo kế hoạch tổ dự định may bao nhiêu cái áo.
Hướng dẫn:
Số lượng áo
Năng suất(áo/ngày) Thời gian(ngày)
Dự định
3000
x, x ∈ Z; x > 0
3000
x
Thực tế

2650
x+6
2650
x+6
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ
 x = −36
3000 2650
−
= 5 ⇔ x 2 − 64 x − 3600 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x
x+6
 x = 100
Vậy : Theo kế hoạch mỗi ngày may được 100 cái

0968.469.299

Bài 69:Một lâm trường định trồng 75 ha rừng trong một số tuần lễ. Do mỗi tuần lễ trồng vượt mức 5 ha so với
kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và sớm hơn dự định 1 tuần. Hỏi theo kế hoạch lâm trường định trồng bao
nhiêu ha rừng trong một tuần.
Hướng dẫn:
Diên tích rừng(ha)
Năng suất(ha/tuần) Thời gian(tuần)
Dự định
75
x, x > 0
75

x
Thực tế
80
x+5
80
x+5
 x = −25
75 80
−
= 1 ⇔ x 2 + 10 x − 375 = 0 ⇔ 
Ta có Pt:
x x+5
 x = 15
Vậy : Theo kế hoạch mỗi tuần trồng :15 ha
TOÁN CÔNG VIỆC CHUNG CÔNG VIỆC RIÊNG
Lưu ý:
+ Gồm có ba đại lượng tham gia là: Khối lượng công việc(KLCV); Năng
suất(NS); Thời gian(t)
KLCV
KLCV
KLCV = NS.t ; NS =
; t=
t
NS
+ Khi làm xong công việc thì KLCV là bằng 1
+ Cơ sở lập phương trình là: NS I + NS II = NSchung

Bài 70: Hai lớp 9A và 9B cùng làm chung trong 6 giờ thì xong một công việc. Nêu làm riêng thì lớp 9A xong
trước lớp 9B là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng, mỗi lớp mất bao lâu thì xong công việc.
Hướng dẫn:

KLCV
NS
Thời gian(h)
Cả 2 lớp
1
6
1
6
Lớp 9A
1
x, x > 6
1
x
Lớp 9B
1
x+5
1
x+5
 x = −3
1
1
1
= ⇔ x 2 − 7 x − 30 = 0 ⇔ 
Ta có Pt: +
x x+5 6
 x = 10
Vậy: Lớp 9A làm một mình xong hết 10h; lớp 9B hết 15h.
Bài 71: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể thì 18giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi
I cần thời gian nhiều hơn vòi I là 27giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể
Hướng dẫn:

Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299
KLCV
1

NS
Cả 2 Vòi
1
18
Vòi I
1
1
x
Vòi II
1
1
x − 27
 x = 54
1
1
1
= ⇔ x 2 − 63x + 486 = 0 ⇔ 
Ta có Pt: +
x x − 27 18
x = 9
Vậy: Vòi I chảy mmột mình cho đầy bể hết 54h; vòi II hết 27h.

Thời gian(h)
18
x, x >27
x - 27

Bài 72:(TS- BĐ 2005 – 2006)
Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể thì 6giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi II cần
thời gian nhiều hơn vòi I là 5giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể.
Hướng dẫn:
NS
1
6
Vòi I
1
1
x
Vòi II
1
1
x+5
 x = 10
1
1
1
= ⇔ x 2 − 7 x − 30 = 0 ⇔ 
Ta có Pt: +
x x+5 6
 x = −3
Vậy: Vòi I chảy mmột mình cho đầy bể hết 10h; vòi II hết 15h.

Cả 2 Vòi

KLCV
1

Thời gian(h)
6
x, x > 6
x+5

Bài 73: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4 giờ đầy bể. Nếu từng vòi chảy một mình thì thời gian vòi I
chảy đầy bể nhanh hơn vòi II là 6 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì hết mấy giờ.
Hướng dẫn:
KLCV
NS
Thời gian(h)
Cả 2 Vòi
1
4
1
4
Vòi I
1
x, x > 4
1
x
Vòi II
1
x+6
1

x+6
x = 6
1
1
1
= ⇔ x 2 − 2 x − 24 = 0 ⇔ 
Ta có Pt: +
x x+6 4
 x = −4
Vậy: Vòi I chảy một mình cho đầy bể hết 6h; vòi II hết 12h.
Bài 74: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể thì đầy bể sau 1 giờ 12 phút. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi
thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai là 1 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy
bể.
Hướng dẫn:
Gv Phạm Minh Tứ


Gv Phạm Minh Tứ

0968.469.299

Cả 2 Vòi

KLCV
1

Vòi I

1

Vòi II

1

Đổi 1h12’ =

NS
6 5
1: =
5 6
1
x +1
1
x

Thời gian(h)
5
6
x+1
x, x >

6
5

6
h
5

x = 2
1

1
5
2
= ⇔ 5x − 7 x − 6 = 0 ⇔ 
Ta có Pt: +
x = − 3
x x +1 6
5

Vậy: Vòi I chảy một mình cho đầy bể hết 3h; vòi II hết 2h.
Bài 75: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể thì đầy bể sau 2giờ 24phút. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ
nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể.
Hướng dẫn:
KLCV
NS
Thời gian(h)
Cả 2 Vòi
1
12 5
12
1: =
5 12
5
Vòi I
1
1
12
x, x >
x
5

Vòi II
1
x+2
1
x+2
12
Đổi 2h24’ =
h
5
x = 4
1
1
5
2
=
⇔ 5 x − 14 x − 24 = 0 ⇔ 
Ta có Pt: +
x = − 6
x x + 2 12
5

Vậy: Vòi I chảy một mình cho đầy bể hết 4h; vòi II hết 6h.
Bài 76: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước, sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì
vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy mất bao lâu thì đầy
bể.
Hướng dẫn:
KLCV
NS
Thời gian(h)
Cả 2 Vòi

1
35 12
12
1:
=
12 35
5
Vòi I
1
1
35
x, x >
x
12
Vòi II
1
x+2
1
x+2
35
Đổi 2h25’ =
h
12
Gv Phạm Minh Tứ