Bài tập lớn xác xuất thống kế

MỤC LỤC

1


Phần I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Ước lượng (ƯL) các tham số của đại lượng ngẫu nhiên(ĐLNN)
Xét ĐLNN X thể hiện trên 1 đám đông nào đó, các tham số đặc trưng của
X được kí hiệu là θ , θ được gọi là tham số lí thuyết.
Vì θ thường chưa biết nên ta sẽ tiến hành ước lượng cho θ .
Có 2 phương pháp để ước lượng cho θ là: ƯL điểm và ƯL khoảng tin cậy.
1.1.1.

Ước lượng điểm

Để ƯL cho tham số θ bằng phương pháp ƯL điểm ta tiến hành:
+Bước 1: Chọn mẫu ngẫu nhiên kích thước n
W = (X1, X2, ...., Xn)
+Bước 2: Xây dựng thống kê θ * = f(x1, x2, ..., xn) phù hợp với tham số θ cần
tìm.
+ Bước 3: Với kích thước n khá lớn ta tiến hành lấy bộ số ngẫu nhiên cụ thể w
= (x1, x2,..., xn)
θ*

tn

= f(x1, x2, ...., xn).

Lấy θ = θ tn*
θ * được gọi là ƯL điểm của θ .

1.1.2. Các tiêu chuẩn phản ánh bản chất tốt của ƯL
- Tiêu chuẩn 1: ƯL không chệch
Thống kê θ * được gọi là ƯL KC của tham số θ nếu E( θ *)= θ .
ngược lại : E( θ *) ≠ θ thì θ * được gọi là ƯL chệch của θ .
- Tiêu chuẩn 2 : ƯL vững
Thống kê θ được gọi là ƯL vững của tham số θ nếu
€ tùy ý.
- Tiêu chuẩn 3: ƯL hiệu quả
θ * được gọi là ƯL hiệu quả của θ nếu nó là ƯL không chệch và có

phương sai nhỏ nhất trong các ƯL không chệch trên cũng mẫu đó.
1.1.3. Ước lượng khoảng tin cậy
2


- Bước 1: Chọn mẫu ngẫu nhiên W=(X1, X2, ...., Xn)
Từ mẫu ngẫu nhiên thu được ta xây dựng thống kê G=f(X 1,X2,....,Xn; θ ).
Sao cho quy luật phân phối của G hoàn toàn xác định và không phụ thuộc vào
tham số θ .
- Bước 2: Với độ tin cậy γ = 1 - α.(0,9->0,999)
Ta tìm được cặp giá trị α1, α2... sao cho α1, α2≥ 0 và α1 + α2= α.
Vì quy luật phân phối G xác định nên ta xác định được cặp giá trị phân vị :
g1-α1 và gα2 sao cho P(g1-α1< G < gα2) = γ.
Bằng phép biến đổi tương đương ta có:
• P( θ *1< θ < θ *2) = γ
• Khoảng tin cậy : γ = ( θ *1 ; θ *2).
• Độ dài khoảng tin cậy : I = θ *1 - θ *2.
1.1.4. ƯL kì vọng toán của ĐLNN.
* Bài toán: xét ĐLNN X có kì vọng toán : E(X) = μ.
Phương sai: Var(X)=σ2

Trong đó n là giá trị chưa biết cần ƯL
Ta xét 3 trường hợp:
- TH1: X tuân theo quy luật phân phối chuẩn
X ~ N(μ; σ2) với σ2 đã biết.
+Bước 1: Vì X~N( µ , σ 2 ) nên X ~N( µ ,

σ2
).
n

X −µ
 XDTK: U= σ ~N(0,1).
n

+Bước 2: Với độ tin cậy γ =1- α .
a. Khoảng tin cậy đối xứng( α 1 = α 2 =

α
).
2

Ta có: P( U
3


X −µ
P(-u < σ n
α

2

P(-u α2 .

σ
< X - µ n

σ
P( X − ε < µ < X + ε ) = γ ( ε = u α2 . : sai số của ƯL)
n

 Khoảng tin cậy của µ là ( X − ε , X + ε ).
b. Khoảng tin cậy phải ( α 1 = 0, α 2 = α ).
=> ƯL µ min ( giá trị tối thiểu cho µ ).
Ta có: P(UP(U> X − uα .

σ
)= γ.
n

σ
 Khoảng tin cậy phải của µ là ( X − uα .
,+ ∞ )
n

c. Khoảng tin cậy trái ( α 1 = α , α 2 = 0 ).
=> ƯL µ max ( giá trị tối đa cho µ ).
Ta có: P( U>-u α ) = γ

P( µ < X + uα .

σ
)= γ
n

σ
=> Khoảng tin cậy trái của µ là ( − ∞, X + uα . ).
n

- TH2: Chưa biết quy luật phân phối của X, n>30
+Bước 1: Vì n>30 nên X ≅ N ( µ,

σ

X −µ
XDTK:U= σ ≅ N(0,1).
n

+Bước 2, bước 3 tương tự TH1.
+Chú ý: Nếu σ chưa biết thì lấy σ ≈ S'
- TH3: X ~ N(μ; σ2) với σ chưa biết,n<30
4


+Bước 1: Vì X~N( µ , σ 2 ) nên X ~ N ( µ ,

σ2
)
n

X −µ
XDTK: T= S ' ~T ( n −1)
n

+Bước 2: Với độ tin cậy γ = 1 − α có:
a. Khoảng tin cậy đối xứng :
( n −1)

Ta có: P(|T|( n −1)
=> Khoảng tin cậy đối xứng của µ là ( X − ε , X + ε ) với ε = t α .
2

S'
n

b. Khoảng tin cậy phải:
Ta có: P(T( n −1) S '
=> Khoảng tin cậy phải của µ là ( X − tα . , + ∞ )

n

c. Khoảng tin cậy trái:
Ta có: P(T>-t α( n −1) ) = γ
( n −1) S '
=> Khoảng tin cậy trái của µ là: ( − ∞, X + tα . )

n

1.1.5. ƯL tỉ lệ đám đông
Bài toán:
Xét đám đông có tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A là P=
trong đó: M là số phần tử mang dấu hiệu a trên kích thước đám đông N.
Do N thường khá lớn nên P chưa biết cần ước lượng.
Để ƯL P từ đám đông ta chọn mẫu kích thước n khá lớn trên mẫu, ta
xác định tần số mẫu f =

-

Bước 1 : Vì n khá lớn nên f=(p;

)

5


XDTK: U=

~ N (0;1)

a. Khoảng tin cậy đối xứng:
P(|U|< u α2 ) = γ
P(|f-p|
pq
)= γ
n

pq
P(f- ε 2

n

→ Khoảng tin cậy đối xứng : ( f - ε ; f + ε ).
b. Khoảng tin cậy phải:
P ( U < uα) = γ
P(f-p
pq
)= γ
n

P(p>f- u α .

pq
)= γ
n

→ Khoảng tin cậy phải : ( f -u α2 .

pq
; 1)
n

c. Khoảng tin cậy trái:
P ( U > -uα) = γ
 P(f-p>-u α .

pq
)= γ
n

 P(p
pq
)= γ
n

→ Khoảng tin cậy trái : ( 0 ; f +u α2 .

pq
).
n

1.1.6.ƯL phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn
Bài toán: Xét ĐLNN X~N( µ ,
-

Bước 1:X~ N( µ ,

σ2
) với σ 2 chưa biết cần ước lượng.
n

σ2
) nên
n

6


XDTK: χ =

(n − 1).S ' 2
~ χ 2( n −1)
σ2

- Bước 2: Với độ tin cậy γ = 1 − α
a. Khoảng tin cậy hai phía( α 1 = α 2 =
Có: P( χ 1−α2

2 ( n −1)

< χ 2 < χ α2 ( n −1)
2

α
)
2

)= γ

( n − 1).S ' 2
(n − 1).S ' 2
2
<σ <
P( χ α2( n −1)
χ α2 ( n −1) )= γ

2

2

=> Khoảng tin cậy hai phía của σ

( n − 1).S ' 2 ( n − 1).S ' 2
là ( χ α2( n −1) , χ 2(αn −1) )

2

2

1−

2

b. Khoảng tin cậy phải( α 1 = 0, α 2 = α )
=> ƯL σ 2 min .
Có: P( χ 2 < χ α2( n −1) ) = γ
2
P( σ >

(n − 1).S ' 2
)= γ
χ α2 ( n −1)

 Khoảng tin cậy phải của σ 2 là (

( n − 1).S ' 2

, + ∞ ).
χ α2( n −1)

c.Khoảng tin cậy trái( α 1 = α , α 2 = 0 )
=> ƯL σ 2 max .
Có: P( χ 2 > χ12−(αn−1) ) = γ
2
P( σ <

(n − 1).S ' 2
)= γ
χ12−(αn −1)

 Khoảng tin cậy trái của σ

2

là ( − ∞,

(n − 1).S ' 2
).
χ 12−(αn −1)

Dựa vào cơ sở lý thuyết về ước lượng, đặc biệt là lý thuyết về ước lượng
kỳ vọng toán của ĐLNN và ước lượng tỷ lệ đám đông, nhóm 6 sẽ giải quyết
các vấn đề liên quan đến đề tài của nhóm.
1.2. Các câu hỏi cần giải quyết

7

Trong quá trình nghiên cứu về tình hình hiểu biết luật giao thông của
các bạn sinh viên trường Đại học Thương Mại, nhóm 6 đã đặt ra các vấn đề
cần giải quyết như sau:
Câu 1: Điều tra 100 sinh viên trường Đại học Thương Mại. Với độ tin
cậy là 95%. Hãy ước lượng tỷ lệ về trình độ hiểu biết luật Giao thông của s inh
viên Đại học Thương Mại.
Câu 2: Điều tra 100 sinh viên trường Đại học Thương Mại, thấy rằng
khoảng 60% sinh viên nắm rõ luật giao thông. Với mức ý nghĩa 0,05, điều này
có đúng hay không?
1.3. Phương pháp giải quyết
- Bước 1: Thực hiện điều tra thực tế
Điều tra ngẫu nhiên 100 sinh viên của trường Đại học Thương Mại.
- Bước 2: Tổng hợp số liệu điều tra vào bảng.
- Bước 3: Đọc kỹ câu hỏi, xác định dạng bài của câu hỏi.
Câu hỏi 1: Dạng bài ước lượng tỷ lệ, khoảng tin cậy đối xứng.
Câu hỏi 2: Dạng bài ước lượng kỳ vọng toán, khoảng ước tin cậy đối xứng.
- Bước 4: Giải bài toán theo mẫu dạng bài đã học.

8


Phần 2: GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ
2.1. Giải bài toán ước lượng
Điều tra 100 sinh viên trường Đại học Thương Mại. Với độ tin cậy là
95%. Hãy ước lượng tỷ lệ về trình độ hiểu biết luật Giao thông của s inh viên
Đại học Thương Mại.
Bài giải

9

Bài giải:
Chọn mẫu kích thước n=100, độ tin cậy γ=0,95. Ta có bảng thống kê
Mức độ hiểu
biết luật giao
thông

Chưa nắm rõ

Nắm rõ

Nắm rất rõ

Số sinh viên

27

67

6

Gọi f là tỷ lệ sinh viên trường Đại học Thương Mại chưa nắm rõ luật giao
thông trên mẫu.
p là tỷ lệ sinh viên trường Đại học Thương Mại chưa nắm rõ luật giao
thông trên đám đông.
Vì n=100 khá lớn =>f ≅ N(p,

pq
)

n

f −p

XDTK: U=
f=

pq ≅ N(0,1)
n

; γ=0,95 => α= 1- γ = 1-0,95=0,05

Vì n = 100 khá lớn =>p ≈ f = 0,27
q ≈ 1- f = 1-0,27 = 0,73


(f-

;f+

= (0,27 -1,96.

.

)

; 0,27+ 1.96.

)

= (0,183
; 0,357 )
 P(0,183 < p < 0,357 )
 Kết luận: Với độ tin cậy 95%, ta kết luận tỷ lệ sinh viên trường Đại học
Thương Mại chưa nắm rõ luật là từ 18,3% đến 35,7%.
Tương tự, sinh viên nắm rõ:

10


Gọi f là tỷ lệ sinh viên trường Đại học Thương Mại nắm rõ luật giao
thông trên mẫu.
p là tỷ lệ sinh viên trường đại học Thương Mại nắm rõ luật giao thông
trên đám đông.
Vì n=100 khá lớn => f ≅ N(p,

pq
)
n

f −p
XDTK: U= pq ≅ N(0,1)
n

Với độ tin cậy γ=0,95 ta có:
f=

= 0,67

γ = 0,95 => α = 1- 0,95 = 0,05

=> u α / 2 = u 0,025 = 1,96
Vì n = 100 khá lớn nên => p ≈ f = 0,67
q ≈ 1- f = 1- 0,67 = 0,33

=>
=> (0,578;0,762)
=> P( 0,578 Kết luận: Vậy với độ tin cậy 95% ta có thể nói rằng tỷ lệ sinh viên
trường Đại học Thương Mại nắm rõ luật giao thông nằm trong khoảng
từ 57,8% đến 76,2%.
Gọi f là tỷ lệ sinh viên trường Đại học Thương Mại nắm rất rõ luật giao
thông trên mẫu.
11


p là tỷ lệ sinh viên trường đại học Thương Mại nắm rất rõ luật giao thông
trên đám đông.
Vì n=100 khá lớn => f ≅ N(p,

pq
)
n

f −p
XDTK: U= pq ≅ N(0,1)
n

Với độ tin cậy γ=0,95 ta có:
f=

= 0,06

γ = 0,95 => α = 1- 0,95 = 0,05
=> u α / 2 = u 0,025 = 1,96
Vì n = 100 khá lớn nên => p ≈ f = 0,06
q ≈ 1- f = 1- 0,06 = 0,94


 (0,014;0,107)
 P( 0,014 Kết luận: Vậy với độ tin cậy 95% ta có thể nói rằng tỷ lệ sinh viên
trường Đại học Thương Mại nắm rõ luật giao thông nằm trong khoảng
từ 1,4% đến 10,7%.
2.2. Giải bài toán kiểm định:
Điều tra 100 sinh viên trường Đại học Thương Mại, thấy rằng khoảng 60%
sinh viên nắm rõ luật giao thông. Với mức ý nghĩa 0,05, điều này có đúng hay
không?

12


: Độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh =

: Phương sai mẫu điều chỉnh =

13


Theo dõi sự hiểu biết về luật giao thông của sinh viên, ta có bảng sau:
Mức độ hiểu

biết

Chưa rõ

Nắm rõ

Nắm rất rõ

Số sinh viên

37

57

6

Gọi f là tỷ lệ sinh viên nắm rõ luật giao thông trên mẫu.
P là tỷ lệ sinh viên nắm rõ luật giao thông trên đám đông.
Vì n = 100 khá lớn => f có phân phối chuẩn:

α= 0,05. Kiểm định giả thuyết:

Xây dựng tính chất kiểm định:
Giả thuyết nếu H0 đúng thì U N(0,1).
Với mức ý nghĩa α=0,005, ta tìm được phân vị chuẩn Uα sao cho:

Vì α khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ.
Wα =

;

Trong đó Utn =

14


Utn=





= -0,612
Utn Wα

Chưa có cơ sở để bác bỏ

.

 Kết luận: Với mức ý nghĩa α = 0,05, ta có thể nói rằng tỷ lệ người nắm
rõ luật giao thông của sinh viên trường Đại học Thương Mại là khoảng
60%.

Từ hai câu hỏi giải quyết trên cùng với bảng kết quả điều tra, ta rút ra
được những kết luận sau.

15


KẾT LUẬN

Khi nghiên cứu, nhóm 6 đã lựa chọn ngẫu nhiên ra mẫu 200 bạn sinh
viên của trường Đại học Thương Mại với độ tin cậy là 95% và mức ý nghĩa
5%. Đây là một nghiên cứu nhỏ nhưng nó cũng có tính ứng dụng cao.
Ngày nay, tình hình giao thông của nước ta đã trở nên vô cùng phức tạp.
Mỗi ngày xảy ra hàng chục, hàng trăm vụ tai nạn giao thông đáng tiếc mà
phần lớn nguyên nhân đều do ý thức của chính những người tham gia giao
thông. Vì vậy, nhóm 6 đã đề xuất một số giải pháp để cải thiện tình hình hiểu
biết luật giao thông của sinh viên trường Đại học Thương Mại nói riêng và
sinh viên nói chung:
- Cần tăng cường tìm hiểu luật giao thông, cũng như tích cực tham gia
các cuộc thi về luật giao thông để cải thiện và phát triển trình độ hiểu biết
luật giao thông của sinh viên.
- Các trường nên có những tiết học về môn luật giao thông để sinh viên
có điều kiện được hiểu biết nhiều hơn.
- Các bạn sinh viên luôn cần phải chủ động tìm hiểu luật giao thông để có
thể bảo vệ cho chính bản thân cũng như những người xung quanh.
- Tích cực tuyên truyền đến các trường đại học về vấn đề giao thông, về
thực trạng cũng như các ý kiến để sinh viên có thể hiểu thêm về luật giao
thông.
- Tổ chức các hoạt động về tìm hiểu luật giao thông, kêu gọi mọi người trong
và ngoài trường tham gia để tất cả mọi người đều được tăng tính hiểu biết.
- Đối với những sinh viên đã nắm rõ hay nắm rất rõ về luật giao thông
thì phải tuân thủ, thực hiện đúng các quy định pháp luật về an toàn giao
thông.
Chúng ta cần phải nắm rất rõ luật giao thông và cũng phải có ý thức khi
tham gia giao thông để có thể hạn chế xảy ra những vụ tai nạn giao thông
đáng tiếc và cũng là bảo vệ bản thân và bảo vệ những người xung quanh. Vì
vậy, mỗi sinh viên đều phải trang bị cho mình những kiến thức tốt nhất về
luật giao thông khi tham gia giao thông.

16


Tóm lại, sau một thời gian làm việc tích cực nhóm 6 đã thu thập được
số liệu và bằng phương pháp thống kê toán được học dưới sự giảng dạy của
giáo viên bộ môn, nhóm đã hoàn thành bài thảo luận của mình với độ tin cậy
là 95% với mức ý nghĩa 5% thì sau khi kiểm định ta có thể nói rằng tỷ lệ sinh
viên trường Đại học Thương Mại chưa nắm rõ luật giao thông là từ 18,3%
đến 35,7% và tỷ lệ sinh viên nắm rõ luật là khoảng 60%.

17