BÀI GIẢNG MÔN LOGIC HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM TP. HCM

BỘ MÔN SƯ PHẠM KỸ THUẬT NÔNG NGHIỆP
------

BÀI GIẢNG MÔN HỌC

LOGIC HỌC

Giáo viên biên soạn

Đinh Quang Đức

Tp. HCM - 01/2008


MỤC LỤC
-----Chương 0: Đối tượng nghiên cứu và ý nghĩa
Bài 1: Nhận Thức và tư duy..............................................................................1
Bài 2: Khái niệm hình thức logic và quy luật logic..........................................4
Bài 3: Logic học và ngôn ngữ...........................................................................6
Bài 4: Ý nghĩa Logic học..................................................................................8
Chương 1: Phán đoán và các phép Logic
Bài 1: Phán đoán...............................................................................................10
Bài 2: Phép phủ định.........................................................................................11
Bài 3: Phép hội..................................................................................................12
Bài 4: Phép tuyển..............................................................................................14
Bài 5: Phép đoán hằng đúng và luật Logic.......................................................16
Bài 6: Tính chất của phép hội và phép tuyển...................................................17
Bài 7: Phép kéo theo.........................................................................................18
Bài 8: Hàm phán đoán, phán đoán tồn tại và phán đoán phổ biến...................22

Chương 2: Suy luận diễn dịch và quy nạp
Bài 1: Suy luận..................................................................................................25
Bài 2: Phép suy diễn từ một tiên đề và nhiều tiên đề.......................................26
Bài 3: Những quy tắc suy diễn quan trọng từ nhiều tiên đề.............................29
Bài 4: Phép tam đoạn luận với các tiên đề có dạng A, E. I, O.........................31
Bài 5: Những suy luận không hợp Logic thường gặp......................................33
Bài 6: Phân tích tính hợp Logic của một suy luận...........................................34
Bài 7: Suy luận hợp Logic và chứng minh.......................................................36
Bài 8: Quy nạp...................................................................................................38
Phụ lục 1: Một số vấn đề về định nghĩa và phân chia khái niệm................................40
Phụ lục 2: Sơ lược về ứng dụng của đại số phán đoán................................................45


Chương 0:

Đối tượng nghiên cứu và ý nghĩa
Sinh viên sau khi học xong chương 0 cần đạt được:
- Nắm được nguồn gốc thuật ngữ logic, quan niệm về logic học
- Hiểu được quan hệ giữa nhận thức, ngôn ngữ và logic
- Ý niệm rõ ràng các vấn đề về logic và tư duy
- Nắm vững được ý nghĩa của logic học

§1 Nhận Thức và tư duy
1. Quan niệm về logic học
Thuật ngữ “Logic” bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp “Logos”. “Logos” có nghĩa là
“tư tưởng”, “từ”, “trí tuệ”. Thuật ngữ này dùng biểu thị tập hợp các quy luật mà tư
duy của chúng ta phải tuân theo nhằm phản ánh đúng đắn thế giới khách quan, cũng
như sẽ biểu thị các quy tắc lập luận và những hình thức trong đó chúng ta thực hiện
lập luận
Logic còn sử dụng biểu thị tính quy luật của thế giớ khách quan, chẳng hạn,

“logic của sự vật”, “logic của sự kiện”, “logic sự phát triển của xã hội”…Ở đây,
chúng ta sẽ không xem xét những nghĩa đó của thuật ngữ “logic”.
Logic học nghiên cứu về tư duy với tư cách là một khoa học. Các khoa học
khác cúng nghiên cứu về tư duy, chẳng hạn như tâm lý học, sư phạm học, điều
khiển học,… Mỗi khoa học nghiên cứu về tư duy ở một khía cạnh xác định. Điều
khiển học nghiên cứu về cơ chế của tư duy nhằm chế tạo ra những máy móc thay thế
con người ở một hoạt động nhất định nào đó.
Logic học là khoa học nghiên cứu về các quy luật và hình thức của tư duy
nhằm nhận thức đúng đắn thế giới khách quan. Nhiệm vụ cơ bản của logic học là
làm sáng tỏ những điều kiện nhằm đạt tới những tri thức chân thực, phân tích kết
cấu của quá trình tư duy, vạch ra thao tác của tư duy và phương pháp luận nhận thức
chuẩn xác.
2. Quá trình nhận thức
Nhận thức được chủ nghĩa duy vật biện chứng xem xét như là quá trình ý
thức của con người phản ánh thế giới xung quanh tồn tại khách quan bên ngoài và
không phụ thuộc vào ý thức. Thừa nhận thế giới hiện thực và phản ánh thế giới
đóvào đầu óc con người là cơ sở lí luận của nhận thức theo quan điểm triết học duy
vật biện chứng, Quá trình đó hình thành và phát triển trên cơ sở hoạt động của con
người và thực tiễn lịch sử xã hội.
Nhận thức bắt đầu từ sự phản ánh thế giới xung quanh bằng các cơ quan thụ
cảm do tác động trực tiếp của thế giới đó vào các cơ quan ấy. Nhờ sự cảm thụ trực
tiếp mà con người có tri thức về hiện thực khách quan và chính sự thụ cảm là nguồn
gốc của mọi tri thức. Nhận thức được tiến hành qua hai giai đoạn: Nhận thức cảm
tính và nhận thức lý tính.
Nhận thức cảm tính là sự phản ánh thế giới khách quan vào đầu óc con người
do tác động trực tiếp của thế giới đó tới các cơ quan thụ cảm, và được thực hiện
dưới các hình thức cơ bản: Cảm giác, tri giác, biểu tượng.
Cảm giác là sự phản ánh trực tiếp các thuộc tính riêng lẻ của các sự vật và
hiện tượng của thế giới khách quan tác động tới các cơ quan thụ cảm. Chẳng hạn,

con người phản ánh các thuộc tính cay, đắng, ngọt, bùi, mặn, nhạt, nóng, lạnh, trắng,
đen,…
Tri giác là sự phản ánh hoàn chỉnh sự vật và hiện tượng của thế giới bên
ngoài một cách trực tiếp. Chẳng hạn, hình ảnh của một ngôi trường, một danh lam
thắng cảnh, hình ảnh của một người nào đó,…
Hình thức cao nhất của nhận thức cảm tính là biểu tượng. Biểu tượng là hình
ảnh hoàn chỉnh về sự vật được giữ lại trong ý thức đã được cảm thụ từ trước và có
thể tái hiện khi có tác động nào đó. Nếu tri giác chỉ xuất hiện do tác động trực tiếp
của sự vật đến các cơ quan thụ cảm thì biểu tượng chỉ diễn ra sau khi tác động đó
không còn nữa. Chẳng hạn, hình ảnh quê hương, hình ảnh của nơi ta đã từng sống
và làm việc,… Những hình ảnh đó hiện thời chúng ta không còn nhìn thấy nữa,
nhưng vẫn lưu giữ trong đầu óc chúng ta và có thể tái hiện. Biểu tượng không chỉ
còn là hình ảnh tái hiện, mà còn là hình ảnh hoang tưởng do chúng ta kết hợp một số
thuộc tính của các sự vật khác nhau để tạo nên. Điều đó cho thấy, biểu tượng đã thể
hiện sự sáng tạo của con người và được con người mô tả bằng ngôn ngữ.
Nhờ nhận thức cảm tính, con người thu được tri thức về các sự vật riêng lẻ và
các thuộc tính của chúng. Nhưng con người lại không giới hạn tri thức của mình
trong khuôn khổ đó. Con người luôn luôn muốn khám phá, đi sâu vào bản chất của
sự vật và hiện tượng, nhận thức các quy luật của tự nhiên, xã hội. Để thực hiện được
những điều đó, con người phải dựa vào tư duy. Chỉ có tư duy mới phản ánh sâu sắc,
đầy đủ, chính xác hơn thế giới khách quan luôn vận động và biến đổi.
Tư duy là thuộc tính đặc biệt của vật chất có tổ chức cao nhất – bộ não con
người. Tư duy phản ánh thế giới khách quan dưới dạng các hình ảnh đã được trừu
tượng hóa và khái quát hóa. Tư duy vừa là sản phẩm của sự tiến hóa sinh vật, vừa là
sản phẩm của sự phát triển xã hội. Tư duy xuất hiện và phát triển trong quá trình
hoạt động lao động và ngôn ngữ của con người. Hai hoạt động đó gắn bó chặt chẽ
với nhau, vừa là tiền đề, vừa là điều kiện tồn tại và phát triển của nhau. Những hoạt
động này chỉ có trong xã hội loài người.
Tư duy có những đặc điểm sau:

a) Tư duy phản ánh hiện thực dưới dạng khái quát.
Khác với nhận thức cảm tính, con người tư duy về các sự vật, hiện tượng
riêng lẻ, tách ra cái chung, cái cơ bản được lặp đi lặp lại trong các sự vật, hiện tượng
đó. Trong quá trình tư duy con người tước bỏ những cái không bản chất, cái bên
ngoài, cái không cơ bản, mà chỉ giữ lại những cái bản chất, bên trong, cơ bản và từ
đó khái quát dưới hình thức khái niệm. Chẳng hạn, chúng ta quan sát nhiều người
thuộc các lứa tuổi khác nhau, giới tính khác nhau, dân tộc khác nhau, nghề nghiệp
khác nhau, năng lực về mọi mặt khác nhau,… Tách ra cái chung, cái bản chất, vốn
có ở mọi người: Khả năng lao động, khả năng chế tạo và sử dụng công cụ lao động,
khả năng tư duy, trao đổi tư tưởng với nhau nhờ ngôn ngữ, chúng ta khái quát các
thuộc tính này và tạo ra khái niệm “con người”. Như vậy, chúng ta đã chuyển từ
nhận thức những con người riêng lẻ sang nhận thức con người nói chung dưới hình
thức khái niệm khoa học về con người. Tương tự như vậy, các khái niệm khoa học
như vật chất, vận động, xã hội, nhà nước, hình hình học, động vật, học sinh, sinh
viên, nhà trường, gia đình,…được tạo ra. Nhờ khái quát, tư duy trừu tượng đi sâu
vào hiện thực khách quan, vạch ra các quy luật vốn có của nó.
b) Tư duy là quá trình phản ánh trung gian hiện thực


Nhờ trực quan sinh động chúng ta chỉ nhận thức được những gì tác động trực
tiếp tới cơ quan thụ cảm. Chúng ta nhìn thấy lũy tre xanh, nghe thấy chim hót, ngửi
thấy hương thơm của hoa, cảm nhận vị ngọt của đường, vị cay của ớt. Tư duy trừu
tượng giúp chúng ta thu nhận tri thức mới không phải bằng con đường trực tiếp mà
trên cơ sở của những tri thức đã biết từ trước, nghĩa là bằng con đường trung gian.
Trong tư duy, chúng ta thoát khỏi những kinh nghiệm cảm tính và nhờ suy luận hiểu
được cái không thể tri giác và biểu tượng. Chẳng hạn, không cần nhìn thấy hành
động phạm tội của tội phạm, nhưng bằng những chứng cớ trực tiếp và gián tiếp có
thể tìm ra thủ phạm gây ra tội ác.
c) Tư duy liên hệ mật thiết với ngôn ngữ
Mỗi tư tưởng chỉ có thể xuất hiện và tồn tại trên cơ sở của các chất liệu ngôn

ngữ biểu thị trong các từ và câu. Ngôn ngữ, Như C. Mác đã khẳng định, là hiện thực
trực tiếp của tư tưởng. Nhờ ngôn ngữ chúng ta mới có thể giữ gìn, bảo tồn, trao đổi,
chuyển giáo tư tưởng của mình với người khác, bổ sung sự hiểu biết lẫn nhau giữa
con người với con người, kế thừa tri thức của thế hệ trước để lại. Những tri thức
hiện nay của nhân loại là sự kế thừa có chọn lọc, bổ sung liên tục từ thế hệ này sang
thế hệ khác, được lưu giữ để thế hệ sau phát triển. Những tri thức đó được con người
bảo tồn thông qua ngôn ngữ. Ngôn ngữ phát triển góp phần không nhỏ vào sự phát
triển của tư duy, và ngược lại, tư duy càng phát triển sẽ làm cho ngôn ngữ càng đa
dạng và phong phú hơn.
d) Tư duy tham gia tích cực vào việc phản ánh và cải biến sáng tạo thế giới
khách quan
Trong hoạt động thực tiễn biến đổi thế giới bên ngoài, con người nhận thức
và phản ánh các quy luật, vận dụng chúng vào hoạt động vì lợi ích của chính mình.
Tính tích cực của tư duy biểu hiện ở chỗ con người thực hiện khái quát về mặt lý
luận, tạo ra các khái niệm và phán đoán, xây dựng các khái niệm và phán đoán, xây
dựng các suy luận và giả thiết, chứng minh và bác bỏ những tư tưởng đúng và
không đúng. Dựa trên cơ sở của những tri thức đã biếtcon người có khả năng tiên
đoán, con người có thể vạch ra kế hoạch phát triển kinh tế, xã hội, khoa học, giáo
dục,…Tính tích cực của tư duy còn biểu hiện ở các hoạt động sáng tạo của con
người, ở khả năng tưởng tượng. Trước hành động, bao giờ con người cũng suy nghĩ.
Suy nghĩ sẽ định hướng, xác định, điều hòa, bổ sung, hoàn chỉnh mục đích, phương
pháp và đặc trưng hoạt động thực tiễn của con người. Tư duy giúp con người cải
biến tri thức vốn có dưới dưới dạng các các phương tiện của ngôn ngữ tự nhiên và
bằng các kí hiệu của ngôn ngữ nhân tạo. Ngôn ngữ này giữ vài trò rất quan trọng
trong khoa học hiện đại.
Tư duy có các hình thức cơ bản là: khái niệm, phán đoán và suy luận
Khái niệm là hình thức của tư duy phản ánh các dấu hiệu bản chất, khác biệt
của sự vật riêng lẻ hay lớp các sự vật đồng nhất. Trong ngôn ngữ, khái niệm được
biểu thị bằng từ, hay cụm từ. Thí dụ, các khái niệm “hình hình học”, “sinh vật”,
“nhà trường”, “điện”, “thành phố hoa phượng đỏ”,…

Phán đoán là hình thức của tư duy trong đó nêu lên sự khẳng định hay phủ
định về sự vật, các thuộc tính hoặc các quan hệ giữa chúng. Phán đoán được biểu thị
bằng câu. Chúng có thể là phán đoán đơn hay phán đoán phức. Chẳng hạn “chúng
tôi là sinh viên trường ĐH Nông Lâm”, “Học tập là quyền lợi và nghĩa vụ của mọi
người”. Đó là phán đoán đơn và phán đoán phức. Phán đoán phức nêu trên bao gồm
hai phán đoán đơn “Học tập là quyền lợi của mọi người” và “Học tập là nghĩa vụ


của mọi người”. Hai phán đơn đó liên kết với nhau nhờ liên từ logic “và” để tạo
thành phán đoán phức.
Phán đoán có thể chân thực hoặc giả dối, tùy theo sự phản ánh đúng đắn hay
không đúng đắn thế giới khách quan của chúng. Chẳng hạn, “Tất cả kim loại là chất
rắn” là phán đoán giả dối, còn phán đoán “Nguyễn Trãi là nhà thơ lớn của Việt
Nam” là phán đoán chân thực.
Suy luận là hình thức của tư duy nhờ đó từ một hay nhiều phán đoán đã biết
rút ra phán đoán mới theo các quy tắc logic xác định. Các phán đoán đã biết gọi là
các tiên đề; phán đoán mới gọi là kết luận. Có nhiều loại suy luận khác nhau, chúng
ta sẽ nghiên cứu kỹ ở các chương sau. Thí dụ:
Tất cả sinh viên là học sinh
(1)
Nên một số học sinh là sinh viên (2)
Mọi số chẵn là số chia hết cho 2
(3)
Số 324 là số chẵn
(4)
Do đó, số 324 là số chia hết cho 2 (5)
Trong hai thí dụ trên, các phán đoán (1) , (3), (4) là các tiền đề; (2), (5) là các
kết luận.
Quá trình nhận thức bao gồm cả nhận thức cả tính và nhận thức lý tính (hay
tư duy). Nếu xem xét tư duy trừu tượng tách khỏi nhận thức cảm tính thì nhận thức

đó sẽ là không đúng đắn. Nhận thức cảm tính và tư duy trừu tượng nằm trong sự
thống nhất biện chứng không tách rời nhau. Không có nhận thức cảm tính tách rời
nhận thức lý tính, và ngược lại không có nhận thức lý tính tách khỏi nhận thức cảm
tinh. Chúng là tiền đề, điều kiện cho sự tồn tại và phát triển của nhau.
Trong quá trình nhận thức, thực tiễn đóng vai trò đặc biệt quan trọng. Nó là
cơ sở, động lực và mục đích của nhận thức và tiêu chẩn xác định tính chân thực của
các tri thức mà con người thu nhận được về thế giới xung quanh. Thực tiễn xuyên
suốt toàn bộ quá trình nhận thức từ bước khởi đầu cho tới chỗ kết thúc.

§ 2 Khái niệm hình thức logic và quy luật logic
1. Khái niệm về hình thức logic của tư duy
Trong thực tế tư duy, các tư tưởng khác nhau về nội dung, song có thể có
hình thức kết cấu lại như nhau. Chẳng hạn, “Logic học là khoa học nghiên cứu về tư
duy”, “Một số tri thức là giáo viên”, “Tất cả sinh viên là học sinh”. Nội dung các tư
tưởng trên là khác nhau, nhưng hình thức biểu thị là như nhau.
Hình thức logic của một tư tưởng cụ thể là cấu trúc của tư tưởng đó, tứca là
phương thức liên kết giữa các thành phần của tư tưởng với nhau. Hình thức logic
của một tư tưởng xác định là sự phản ánh cấu trúc của các mối quan hệ, các quan hệ
giữa các sự vật hay giữa các sự vật với thuộc tính của chúng. Chẳng hạn, “Nước
nguyên chất là chất lỏng”, “Ớt nào là ớt chẳng cay”, “Cô ấy là người thông minh”,
…Tuy vậy những hình thức đó không phản ánh toàn bộ nội dung của thế giới bên
ngoài chúng ta mà chỉ phản ánh các mối liên hệ và quan hệ nhất định nào đó.
Cấu trúc của tư tưởng, hay hình thức logic có thể biểu thị bằng kí hiệu.
Những thí dụ nêu trên có thể biểu thị như sau:
“Tất cả S là P”, “Một số S là P”


S – Khái niệm về đối tượng tư tưởng được phản ánh.
P – Khái niệm về dấu hiệu của đối tượng tư tưởng được phản ánh.
“Là” – Từ nối, thể hiện sự liên kết giữa đối tượng tư tưởng và dấu hiệu của

nó.
“Tất cả”, “một số” – Nêu lên số lượng đối tượng mà tư tưởng cần nói tới.
Hai phán đoán sau có cùng hình thức logic
“Nếu lịch sử chọn ta làm điểm tựa
Vui gì hơn là người lính đi đầu”
(Tố Hữu)
“Nếu hai tam giác có ba cạnh bằng nhau thì chúng bằng nhau”.
Hình thức logic của chúng: “Nếu S là P thì S là P1”
Trong qua trình tư duy, nội dung và hình thức của tư tưởng liên kết chặt chẽ
với nhau. Với mục đích nghiên cứu riêng biệt, chúng ta có thể tách nội dung cụ thể
ra khỏi hình thức biểu thị nội dung đó. Nghiên cứu hình thức logic của tư tưởng là
nhiệm vụ quan trọng của khoa học logic hình thức.
2. Khái niệm về quy luật logic của tư duy
Quy luật logic của tư duy là mối liên hệ bản chất, tất yếu, bên trong của các
tư tưởng trong quá trình tư duy. Tuân theo các quy luật logic là điều kiện tất yếu để
đạt tới chân lý.
Các quy luật logic phản ánh các mối liên hệ và quan hệ qua lại giữa các sự
vật, hiện tượng của thế giới khách quan. Chúng tác động độc lập với ý chí của con
người. Vì vậy chúng mang tính nhân loại chứ không mang tính dân tộc và giai cấp.
Ngoài các quy luật của logic hình thức tư duy đúng đắn còn phụ thuộc vào
các nguyên lý, các quy luật của phép biên chứng duy vật: nguyên lý về mối liên hệ
phổ biến, nguyên lý về sự phát triển, quy luật về sự thống nhất và đấu tranh giữa các
mặt đối lập, quy luật về sự chuyển hóa từ những thay đổi về lượng thành những thay
đổi về chất và ngược lại, quy luật phủ định của phủ định,…
3. Tính chân thực của tư tưởng và tính đúng đắn về hình thức của tư duy
Tư tưởng của con người về hiện thực biểu thị dưới dạng khái niệm, phán
đoán có thể chân thực hoặc giả dối. Tính chân thực và giả dối của khái niệm, của
phán đoán có liên quan trực tiếp với nội dung cụ thể được phản ánh trong khái niệm,
phán đoán. Nếu khái niệm, phán đoán phản ánh chính xác hiện thực thì chúng là
chân thực. Nếu khái niệm, phán đoán phản ánh không đúng hiện thực thì chúng là

giả dối. Thí dụ: “mặt trời” – khái niệm chân thực; “Một số tri thức là nhà văn” –
phán đoán chân thực; “quỷ” – Khái niệm giả dối; “Nước nguyên chất là chất dẫn
điên” – phán đoán giả dối.
Tính chân thực của nội dung tư tưởng là điều kiện cần thiết để đạt tới các kết
quả chân thực trong quá trình lập luận. Song, nếu lập luận chỉ tuân theo điều kiện đó
thì chưa đủ. Lập luận phải tuân theo tính đúng đắn về hình thức hay tính đúng đắn
logic.
Tính đúng đắn logic của lập luận do các quy luật và các quy tắc của tư duy.
Trong quá trình lập luận để rút ra kết luận đúng đắn, chúng ta cần phải tuân theo hai
điều kiện:
3.1. Các tư tưởng dùng làm tiền đề để xây dựng lập luận phải chân thực
3.2. Sử dụng chính xác các quy luật (và các quy tắc của tư duy)


Nếu chúng ta chỉ vi phạm một trong những điều kiện của chúng thì sẽ dẫn
đến những sai lầm logic và kết quả thu được sẽ không phù hợp với hiện thực, nghĩa
là sẽ rút ra kết luận không đúng (giả dối).
Ví dụ:
1) Mọi chất lỏng là chất dẫn điện
Nước nguyên chất là chất lỏng
Nên, nước nguyên chất là chất dẫn điện
Rõ ràng, kết luận là giả dối vì tư tưởng nêu ra ở tiên đề thứ nhất không
chân thực.
2) Hoa hồng có mùi thơm
Hoa nhài có mùi thơm
Do đó, hoa hồng là hoa nhài
Kết luận không chân thực mặc dù cả hai tiên đề đều có nội dung tư
tưởng chân thực. Trong lập luận đã vi phạm quy luật logic.
3) Mọi số chẵn đều là số chia hết cho 2
Số 714 là số chẵn

Cho nên, số 714 là số chia hết cho 2
Kết luận là chân thực, vì cả hai tiên đề đều có nội dung tư tưởng chân thực và
kết luận được rút ra theo đúng quy luật logic.
Như vậy, về mặt nội dung, tư duy có thể phản ánh chân thực hoặc giả dối thế
giới khách quan; về mặt hình thức nó có thể đúng đắn hoặc không đúng đắn. Tính
chân thực của tư tưởng là sự phù hợp của nó với hiện thực, còn tính đúng đắn của tư
duy là sự tuân theo các quy luật và các quy tắc của logic học. Chúng ta không được
lẫn lộn các khái niệm “tính chân thực” và “tính đúng đắn”, cúng như các khái niệm
“tính giả dối” với “tính không đúng đắn”

§ 3 Logic học và ngôn ngữ
Dưới tác dụng của lao động, con người tách khỏi động vật hình thành ý thức
(Trong đó có tư duy) và ngôn ngữ. Logic học nghiên cứu các quy luật và hình thức
của tư duy, còn ngôn ngữ lại do ngôn ngữ học nghiên cứu. Tuy vậy, tư duy và ngôn
ngữ có quan hệ mật thiết với nhau. Chúng là tiền đề và điều kiện ra đời, tồn tại và
phát triển của nhau.
Ngôn ngữ là phương tiện hình thành, giữ gìn và chuyển giao thông tin từ thế
hệ này sang thế hệ khác, là phương tiện giao tiếp giữa mọi người, là hiện tượng xã
hội đặc biệt. Ngôn ngữ là cầu nối cho sự hiểu biết lẫn nhau giữa mọi người và giữa
các dân tộc khác nhau trên thế giới. Nó còn là bộ phận quan trọng tạo nên nền văn
hóa của mỗi dân tộc. Dân tộc càng văn minh ngôn ngữ càng phong phú, nhất là
ngôn ngữ khoa học. Ngôn ngữ logic học cũng dựa vào ngôn ngữ để hỉnh thành,
củng cố và phát triển. Ngôn ngữ là hình thức vật chất của các quy luật và hình thức
tư duy.
Người ta gọi ngôn ngữ là hệ thống thông tin kí hiệu đặc biệt đảm bảo chức
năng hình thành, giữ gìn và chuyển giao thông tin, là phương tiện giao tiếp giữa mọi
người. Ngôn ngữ được chia thành ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ nhân tạo.


Ngôn ngữ tự nhiên là hệ thống thông tin ký hiệu âm thanh đặc biệt và sau đó

là chữ viết được hình thành trong lịch sử xã hội. Nó xuất hiện do nhu cầu xã hội của
con người nhằm củng cố, chuyển giao thông tin tích lũy được trong quá trình hoạt
động thực tiễn và do nhu cầu giao tiếp giữa mọi người. Nó có khả năng biểu thị
phong phú, đa dạng và rộng rãi các lĩnh vực khác nhau của đời sống xã hội.
Ngôn ngữ nhân tạo là hệ thống ký hiệu hỗ trợ được tạo ra bằng cách riêng
trên cơ sở của ngôn ngữ tự nhiên nhằm chuyển giao chính xác và kinh tế các thông
tin khoa học và các thông tin khác. Nó được sử dụng rộng rãi trong khoa học và kỹ
thuật hiện đại như toán học, hóa học, vật lý lý thuyết, kỹ thuật tính toán, máy tính
điện tử,…logic học sử dụng ngôn ngữ thông tin nhân tạo để phân tích về mặt lý
thuyết kết cấu của tư tưởng.
Trong logic học hiện đại, người ta sử dụng phổ
biến ngôn ngữ logic vị từ.
Đặc trưng ngữ nghĩa của biểu thức ngôn ngữ có ý nghĩa quan trọng trong
việc làm sáng tỏ hình thức logic của tư tưởng, khi phân tích ngôn ngữ tự nhiên.
Tên gọi đối tượng là từ hay tổ hợp từ (cum từ) biểu thị đối tượng xác định
nào đó. Đối tượng được hiểu là các sự vật, hiện tượng, thuộc tính, các quá trình, các
mối liên hệ, các quan hệ,… của tự nhiên, đời sống xã hội, hoạt động tâm lý của con
người, sản phẩm của trí tưởng tượng và kết quả của tư duy. Tuy các sự vật luôn luôn
biến đổi, nhưng chúng vẫn giữ được tính xác định chất lượng, bản chất bền vững
tương đối.
Mỗi tên gọi bao giờ cũng có nghĩa thực và ngữ nghĩa. Đối tượng hay tập hợp
đối tượng biểu thị bằng tên gọi nào đó tạo thành nghĩa thực của tên gọi đó. Ngữ
nghĩa của tên gọi là thông tin về những cái vốn có của đối tượng biểu thị bằng tên
gọi. Thí dụ: Các biểu thức ngôn ngữ “nhà thơ lớn Nguyễn Du”, “tác giả Truyện
Kiều”, “Nhà thơ lớn Việt Nam cuối thế kỉ XVIII đầu thế kỉ XIX”, “Nhà thơ làng
Tiên Điền, huyện Nghi Xuân, tỉnh Hà Tĩnh”, có cùng một nghĩa thực (Biểu thị nhà
thơ Nguyễn Du) nhưng có ngữ nghĩa khác nhau (Nêu lên những thuộc tính khác
nhau của nhà thơ)
Tên gọi được chia thành tên đơn – biểu thị bằng một từ, như Hà Nội, khoa
học, thực vật; và tên phức – biểu thị bằng cụm từ, như nữ thanh niên, nhà giáo nhân

dân, nghệ sĩ ưu tú.
Tên gọi còn có tên riêng – biểu thị một đối tượng của tư tưởng, như sông
Hồng, Lê Lợi, Huế; và tên chung – biểu thị tập hợp các đối tượng, tư tưởng như
“cá”, “sinh viên”, “trường học”. Tên riêng và tên chung có thể là tên mô tả - biểu thị
bằng thuộc tính nào đó của đối tượng tư tưởng, như “con sông dài nhất thế giới”
(sông A – ma – dôn), “ngon núi cao nhất Việt Nam” (Phan – xi – păng), “thành phố
ngã ba sông” (Việt Trì), “Thành phố Hoa phượng đỏ” (Hải phòng).
Vị từ là biểu thức ngôn ngữ nêu lên thuộc tính hay quan hệ vốn có của đối
tượng tư tưởng. Trong câu, chúng giữ vai trò vị ngữ. Trong phán đoán, các thuộc
tính và quan hệ được khẳng định hay bị phủ định tương ứng với đối tượng tư tưởng.
Vị từ thường có vị từ một ngôi và vị từ nhiều ngôi. Vị từ một ngôi biểu thị quan hệ
giữa đối tượng tư tưởng và thuộc tính của nó, như “gừng cay”, “muối mặn”, “biệt
thự đẹp”,…Vị từ nhiều ngôi biểu thị quan hệ giữa các đối tượng tư tưởng thông qua
các quan hệ cụ thể như “nhỏ hơn”, “lớn hơn”, “bằng nhau”, “yêu”, “ghét”, “nhớ”,…
Số ngôi của vị từ được biểu thị thông qua các đối tượng tư tưởng. Thí dụ: “Tam giác
ABC bằng tam giác MNQ”, “số 147 nhỏ hơn số 205”, “chị Khánh luôn nhớ đến
người yêu của mình”, “sông Hồng dài hơn sông Đà” đều biểu thị quan hệ hai ngôi;
“Huế nằm giữa Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh” biểu thị quan hệ ba ngôi.


Mệnh đề là biểu thức ngôn ngữ trong đó khẳng định hay phủ định một cái gì
đó của hiện thực. Mệnh đề thường được biểu thị bằng câu tường thuật. Về ý nghĩa
logic, câu tường thuật biểu thị chân lý hoặc sai lầm. Nếu nội dung tư tưởng phản ánh
không đúng hiện thực thì đó là sai lầm.
Trong logic học, Người ta sử dụng các thuật ngữ được gọi là các hằng logic.
Chúng bao gồm các từ và cụm từ như “và”, “không những…mà còn”, “hay”,
“hoặc”, “nếu…thì”, “tương đương”, “không”, “không phải”, “mỗi”, “mọi”, “tất cả”,
“một số”, “có những”, “phần lớn”, “đa số”, “nếu và chỉ nếu”, “khi và chỉ khi”,…
Trong logic kí hiệu (logic toán), các hằng logic biểu thị như sau:
1) Các liên từ logic:

∧ : Phép hội, tương ứng với liên từ “và”,…
∨ : Phép tuyển, tương ứng với liên từ “hay”, “hoặc”,…
→, ⇒, ⊃ : Phép kéo theo, phép tất suy, tương ứng với liên từ “nếu…
thì”,...
=, ≡, ↔, ⇔ : Phép tương đương, tương ứng với liên từ “khi và chỉ khi”,
“nếu và chỉ nếu”,…
¬, : Phép phủ định, tương ứng với từ “không”, “không phải”,…
2) Các lượng từ:
∀ : Lượng từ phổ dụng, tương ứng với “tất cả”, “mọi”,…
∃ : Lượng từ tồn tại, tương ứng với “một số”, “phần lớn”, có những”,
…
3) Các dấu kỹ thuật:
(,) : Mở và đóng ngoặc
Ví dụ: “Học tập là nghĩa vụ và quyền lợi của mọi người”: a ∧ b
“Ngày mai tôi sẽ ở Hà Nội hoặc Hải Phòng”: a ∨ b
“Nếu một số chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 2 và 3”: a → (b ∧ c)

§ 4 Ý nghĩa Logic học
Tư duy của con người phụ thuộc vào quy luật logic và diễn ra dưới các hình
thức logic của tư duy. Nhưng tư duy là không phụ thuộc vào khoa học logic. Con
người suy nghĩ một cách logic ngay cả khi không biết rằng tư duy của mình phụ
thuộc vào các quy luật logic. Sở dĩ con người có được tư duy logic là do con người
đã thu nhận được tri thức đó từ hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn của bản
thân trong quá trình tồn tại và phát triển. Điều đó không có nghĩa là nghiên cứu
logic học không có lợi gì. Tri thức logic học nâng cao trình độ tư duy, tạo thói quen
suy nghĩ “thông minh” hơn, góp phần vào việc nâng cao tính xác định, tính không
mâu thuẫn, tính chính xác, tính liên tục và triệt để, tính chứng minh được của lập
luận, tăng cường hiệu quả và niềm tin của suy nghĩ, lời nói, định hướng và chỉ đạo
đúng đắn hoạt động của mỗi con người.
Tri thức cơ bản của logic học đặc biệt quan trọng trong quá trình nắm vững

tri thức mới, trong nghiên cứu khoa học, trong học tập, giảng dạy, trong trao đổi
thông tin về mọi mặt giữa con người với con người. Nó giúp cho việc phát hiện sai
lầm logic của bản thân và của người khác. Nó giúp cho việc tìm ra con đường ngắn


nhất, đúng đắn nhất và hiệu quả nhất trong việc nâng cao trình độ tư duy, nhất là tư
duy lý luận cũng như để tránh khỏi sai lầm logic do vô tình hay hữu ý phạm phải.
Tư duy logic là tư duy chính xác theo các quy luật và hình thức, không phạm
phải sai lầm trong lập luận, biết phát hiện ra những mâu thuẫn. Phẩm chất đó của tư
duy có giá trị to lớn trong bất kì hoạt động khoa học và thực tiễn nào trong toàn bộ
quá trình sống của con người. Nhưng tư duy logic của con người không phải là bẩm
sinh. Nó phải được hình thành, rèn luyện, củng cố và phát triển thường xuyên thông
qua những tri thức mà con người thu nhận và xử lí, thông qua kinh nghiệm hoạt
động của bản thân. Trong điều kiện của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ,
thông tin khoa học nói riêng và thông tin nói chung bùng nổ mạnh mẽ, những biến
động lớn lao và đầy phức tạp đang diễn ra trên thế giới, tư duy logic lại càng cần
thiết hơn bao giờ hết nhằm nhận thức đúng đắn hiện thực khách quan và xác định
đúng đắn con đường đi của bản thân, của đất nước.
Khoa học logic rất cần thiết và có lợi cho mọi người. Nhưng tùy theo nghề
nghiệp chuyên của mỗi người, logic học có giá trị đặc biệt nhất định. Chẳng hạn, đối
với giáo viên, một trong những nhiệm vụ của mình là phát triển tư duy logic, độc
lập, sáng tạo cho học sinh, thì tri thức logic học càng cần thiết và đi liền với tri thức
khoa học khác. Nếu thông qua giáo dục và giáo dưỡng, giáo viên phải dạy phương
pháp tư duy khoa học cho học sinh, nhưng bản thân giáo viên lại không hiểu gì về
các quy luật và hình thức của tư duy thì rõ ràng không thể đạt được hiệu quả cao
trong công tác của mình, không thể đạt tới mục tiêu giáo dục và đào tạo. Mặt khác,
nghề nghiệp của giáo viên đòi hỏi phải đạt tới “nghệ thuật sư phạm”, phải sáng tạo,
phải tự hoàn thiện, nâng cao trình độ về mọi mặt của bản thân.
Cùng với sự phát triển của xã hội, trình độ nhận thức của mọi người đã được
nâng lên thì nhiệm vụ xây dựng quá trình giảng dạy hợp lý trong nhà trường đang là

đòi hỏi cấp thiết. Những phương pháp giảng dạy cổ truyền, thông dụng nhằm mở
rộng thông tin buộc học sinh tiếp thu một cách thụ động, không kích thích tư duy
độc lập, sáng tạo của học sinh đã trở nên không phù hợp nữa. Chúng phải nhường
lại vị trí cho những phương pháp giảng dạy mới có hiệu quả hơn. Sự phát triển trình
độ tư duy logic của giáo viên và của học sinh – những người xây dựng đất nước
trong tương lai; việc nắm vững phương pháp luận và phương pháp tư duy khoa học,
nắm vững phương pháp và thủ thuật lập luận, chứng minh hợp lý, hình thành tư duy
sáng tạo ở họ là điều kiện rất cần thiết để đi sâu vào phương pháp học tập, giảng
dạy, nghiên cứu đạt hiệu quả cao nhất.
Nghiên cứu logic học và nắm vững các tri thức của nó giúp cho con người có
khả năng sử dụng tự tri giác các tri thức đó vào cuộc sống hàng ngày, vào hoạt động
thực tiễn, rút ngắn con đường nhận thức chân lý và là yếu tố quan trọng để nâng cao
trình độ tư duy logic của mỗi cá nhân.
Chương 1:

Phán đoán và các phép logic
Sinh viên khi học chương này cần đạt được:
- Liên hệ được với các vấn đề trình bày ở chương 0
- Nắm vững các phép Logic và tính chất của chúng. Diễn đạt lại các phán đoán
phát biểu bằng ngôn ngữ tự nhiên bằng ngôn ngữ kí hiệu.
- Chứng minh được các phán đoán tương đương logic
- Vận dụng được các phép logic vào suy luận.


§1 Phán đoán
Vấn đề này người đọc có thể xem lại thêm ở §1 chương 0(trang 3) và §3 chương
0(trang 8). Ở mục này chỉ trình bày cụ thể bổ sung cho phần đã được đề cập trước đó.

1. Phán đoán và câu
Phán đoán là khái niệm cơ bản của logic học.

Phán đoán được biểu đạt dưới dạng ngôn ngữ thành một câu (hay mệnh đề)
phản ánh đúng hay sai thực tế khách quan.
Mỗi phán đoán có giá trị chân lý đúng (gọi là phán đoán đúng) hoặc giá trị
chân lý sai (phán đoán sai) và không thể có giá trị chân lý vừa đúng vừa sai.
Ví dụ về phán đoán đúng:
Dây đồng dẫn điện
Quả đất quay quanh mặt trời
2 cộng 3 bằng 5 (2 + 3 = 5)
Ví dụ về phán đoán sai:
Paris là thủ đô nước Anh
14 cộng 7 bằng 84 (14 + 7 = 84)
Tháng hai có 14 ngày
Có những phán đoán mà giá trị chân lý đúng, sai phụ thuộc vào những điều
kiện nhất định (địa điểm, thời gian, …). Chẳng hạn, những câu sau đây:
Hôm nay là ngày chủ nhật
Trời mưa
Đó là phán đoán có thể đúng ở nơi này, vào lúc này, có thể sai ở nơi khác,
vào lúc khác; nhưng ở bất cứ nơi đâu, vào lúc nào nó cũng có giá trị chân lý đúng
hoặc sai.
Mỗi phán đoán được biểu đạt thành một câu, nhưng không phải câu nào cũng
biểu đạt thành một phán đoán. Những câu không biểu đạt thành một phán đoán
thông thường là những câu nghi vấn, cảm thán, mệnh lệnh. Xét các câu sau đây:
Anh có về không?
Trời đẹp quá!
Cấm anh hút thuốc!
2. Các phép logic
Các phép logic cơ bản là:
Phép phủ định, ứng với phụ từ (liên từ) không
Phép hội, ứng với liên từ và
Phép tuyển, ứng với liên từ hoặc

Phép kéo theo, ứng với liên từ nếu…thì
Phán đoán không chứa liên từ logic nào được gọi là phán đoán đơn
Phán đoán phức hợp là phán đoán tạo thành từ một hay nhiều phán đoán
khác nhờ các liên từ logic.
Vấn đề quan trọng đầu tiên của logic học là xác định giá trị chân lý của các
phán đoán phức hợp thông qua giá trị chân lý của các phán đoán thành phần
Ta sẽ dùng các chữ cái P, Q, R,… để chỉ các phán đoán.
Nếu phán đoán P là đúng, ta nói (viết):
P có giá trị chân lí là 1 hay g(P) = 1
Nếu phán đoán Q là sai, ta nói (viết):
Q có giá trị chân lí là 0 hay g(Q) = 0


§2 Phép phủ định
1. Phép phủ định và liên từ logic “không”
Xét phán đoán:
P: Dây đồng dẫn điện ( g(P) = 1)
Có thể lập phán đoán mới, phủ định phán đoán trên:
Q ( ¬ P): Không phải dây đồng dẫn điện ( g(Q) = 0)
Lại xét phán đoán:
K: Paris là thủ đô nước Anh ( g(K) = 0)
Phủ định phán đoán, ta được:
R ( ¬ K): Không phải Paris là thủ đô nước Anh (g(R) = 1)
Với mọi phán đoán P ta có thể lập phán đoán phủ định ¬ P dạng: không phải
P. Giá trị chân lí của phán đoán ¬ P xác định như sau:
Nếu P đúng thì ¬ P sai
Nếu P sai thì ¬ P đúng
Định nghĩa này được cho trong bảng 2.1
g( ¬ P
)

1
0
0
1
Bảng 2.1
Ngưới ta phát biểu phủ định của một phán đoán theo nhiều cách khác nhau,
thí dụ như:
Không phải dây đồng dẫn điện
Dây đồng không dẫn điện
Nói rằng dây đông dẫn điện là sai.
…
g(P)

2. Phủ định hai lần (Phủ định kép)
Phủ định phán đoán ¬ P, ta được phán đoán ¬ ( ¬ P).
Ví dụ:
P: dây đồng dẫn điện (g(P) = 1)
¬ P: dây đồng không dẫn điện (g( ¬ P) = 0)
¬ ( ¬ P): Không phải dây đồng không dẫn điện [g( ¬ ( ¬ P)) = 1]
K: Tháng hai có 31 ngày (g(K) = 0).
¬ K: Không phải tháng hai có 31 ngày (g( ¬ K) = 1)
¬ ( ¬ K): Nói rằng không phải tháng hai có 31 ngày là sai [g( ¬ ( ¬
K))=0 ]
P và ¬ ( ¬ P) luôn luôn có cùng giá trị chân lý (cùng đúng hoặc cung sai); Ta
nói rằng P và ¬ ( ¬ P) tương đương logic với nhau và viết:
P = ¬ ( ¬ P)


Đọc là: “Không phải không P” tương đương logic với P
Đây là một hệ thức tương đương (Tương tự hằng đẳng thức trong đại số

học). Hệ thức tương đương P = ¬ ( ¬ P) tương tự hằng đẳng thức a = -(-a)
Trong ngôn ngữ tự nhiên, P và “không phải không P” được dùng trong
những tình huống khác nhau và có ý nghĩa khác khau. Ví dụ khi nói:
Chúng ta yêu hòa bình
Đó là muốn khẳng định một chân lí; còn khi nói:
Không phải chúng ta không yêu hòa bình
Thì ta muốn bác bỏ ý kiến sai lầm nói rằng chúng ta không yêu hòa bình.
Nhưng về mặt logic, chỉ xét giá trị chân lý của phán đoán thì hai phán đoán này
cùng là đúng, chúng tương đương logic với nhau. Tương tự như vậy, hai phán đoán
sau đây là tương đương logic:
Khánh biết điều đó
Nói rằng Khánh không biết điều đó là không đúng
(Không phải Khánh không biết điều đó)
Cả hai phán đoán đều là đúng hoặc sai.
Hệ thức tương đương P = ¬ ( ¬ P) có thể chứng minh bằng cách lập bảng
chân trị 2.2 như sau:
¬P
¬ (¬ P
P
)
1
0
1
0
1
0
Bảng 2.2
¬
¬
Ta thấy P và ( P) luôn cùng đúng hoặc cùng sai

§3 Phép hội
1. Phép hội và liên từ logic “và”
Xét hai phán đoán
P: Dây đồng dẫn điện.
Q: Dây chì dẫn điện
Từ hai phán đoán đó, có thể lập phán đoán mới:
Dây đồng dẫn điện và dây chì dẫn điện.
Phán đoán mới này được gọi là hội của hai phán đoán P, Q và được kí hiệu:
P∧Q
( đọc là: P và Q; hội của P và Q )
P và Q là các phán đoán thành phần của P ∧ Q.
Giá trị chân lí của P ∧ Q được xác định thông qua giá trị chân lí của các phán
đoán thành phần của nó như sau:
Phán đoán P ∧ Q( P và Q)
đúng khi cả P và Q cùng đúng,
sai trong mọi trường hợp khác.
(sai khi ít nhất một phán đoán thành phần P,Q là phán đoán sai)
Định nghĩa này thường được ghi thành bảng 3, được gọi là bảng chân lí của
phép hội( ∧ ).


P
1
1
0
0

Q
1

0
1
0
Bảng 3

P∧Q
1
0
0
0

Hay:

g(P) = 1 và g(Q) = 1 thì g(P ∧ Q) = 1
g(P) = 1 và g(Q) = 0 thì g(P ∧ Q) = 0
g(P) = 0 và g(Q) = 1 thì g(P ∧ Q) = 0
g(P) = 0 và g(Q) = 0 thì g(P ∧ Q) = 0
Ví dụ: Dây đồng dẫn điện và dây chì dẫn điện là phản đoán đúng vì cả hai
phán đoán thành phần của nó đều đúng
2. Những liên từ khác có ý nghĩa của phép hội
Trong những điều kiện nhất định, phép hội còn được diễn đạt bởi những liên
từ khác như: đồng thời, nhưng, mà, song, vẫn, cũng,... hoặc chỉ bằng một dấu phẩy.
Ví dụ:
Kháng chiến trường kì gian khổ đồng thời lại phải tự lực cánh sinh
(Hồ Chí Minh)
Cuộc kháng chiến của chúng ta trường kì gian khổ nhưng nhất định
thắng lợi (Hồ Chí Minh)
Trời nổi gió rồi mưa to
Không những trời mưa to mà còn gió lớn
Mưa to, gió lớn

Chồng cày, vợ cấy, con trâu đi bừa (Ca dao)
Ta nói rằng các phán đoán trên đều có cùng cấu trúc logic (phán đoán
hội)
Mặt khác, không phải bao giờ từ “và” cũng có ý nghĩa của phép hội
Ví dụ:
Nói và làm đi đôi với nhau
Em An có 15 hòn bi màu đỏ và màu xanh
Đó là những phán đoán đơn, chứ không phải là phán đoán phức hợp được tạo
thành từ hai phán đoán khác nối với nhau bởi từ và.

§4 Phép tuyển
1. Phép tuyển và liên từ “hoặc”
Xét hai phán đoán:
P: Hôm nay là ngày chủ nhật
Q: Hôm nay là ngày lễ
Có thể nối hai phán đoán này với nhau bởi từ hoặc (hay là) để được phán
đoán mới:
Hôm nay là ngày chủ nhật hoặc là ngày lễ
Phán đoán mới được gọi là tuyển của hai phán đoán P và Q, và được kí hiệu
là:


P∨ Q
(Đọc là P hoặc Q; P hay Q; Tuyển của P và Q)
P, Q là các phán đoán thành phần của P ∨ Q.
Giá trị chân lí của P ∨ Q được xác định như sau:
Phán đoán P ∨ Q
Sai khi cả P và Q cùng sai,
Đúng trong mọi trường hợp khác
(Đúng khi ít nhất một phán đoán thành phần P, Q là đúng)

Định nghĩa này thường được ghi thành bảng 4.1, được gọi là bảng chân trị
của phép tuyển ( ∨ )
P
Q
P∨ Q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Bảng 4.1
Hay:
g(P) = 1 và g(Q) = 1 thì g(P ∨ Q) = 1
g(P) = 1 và g(Q) = 0 thì g(P ∨ Q) = 1
g(P) = 0 và g(Q) = 1 thì g(P ∨ Q) = 1
g(P) = 0 và g(Q) = 0 thì g(P ∨ Q) = 0
Ví dụ:
Hôm nay là ngày chủ nhật hoặc là ngày lễ (P ∨ Q)
Phán đoán này là sai nếu hôm nay không phải là ngày chủ nhật (P sai) và
hôm nay cũng không phải là ngày lễ (Q sai)
Trong mọi trường hợp khác, phán đoán này là đúng, nghĩa là đúng trong các
trường hợp sau đây:
- Hôm nay đúng là ngày chủ nhật (P đúng) đồng thời cũng đúng là

ngày lễ (Q đúng).
- Hôm nay đúng là ngày chủ nhật (P đúng) nhưng không phải là ngày
lễ (Q sai).
- Hôm nay không phải là chủ nhật (P sai) nhưng đúng là ngày lễ (Q
đúng)
2. Hai nghĩa khác nhau của liên từ “hoặc” (“hay là”)
Trong ngôn ngữ tự nhiên, liên từ “hoặc” thường được dùng theo hai nghĩa.
Ví dụ:
Hôm nay là ngày chủ nhật hoặc ngày lễ (Có thể vừa là ngày chủ nhật
vừa là ngày lễ)
Hôm nay là ngay chủ nhật hoặc là ngày thứ bảy (Không thể vừ là
ngày chủ nhật, vừa là ngày thứ bảy được)
Giữa hai các phán đoán thành phần của hai phán đoán trên có quan hệ với
nhau về nội dung, nên người đọc (nghe) có thể hiểu được ngay từ hoặc dùng theo
nghĩa nào, mà không cần giải thích thêm. Nhưng với phán đoán:
Để chính xác, khi cần thiết, người ta dùng:
P và / hoặc Q; P và / hay là Q để chỉ P hoặc Q và có thể cả P lẫn Q
Hoặc Q hoặc Q để chỉ P hoặc Q nhưng không thể cả P và Q
Ví dụ:


-

Anh ta đi đến Cần Thơ và / hoặc Bến Tre
Anh ấy đi đến hoặc Cần Thơ hoặc Bến Tre
Trong ngôn ngữ tự nhiên, liên từ và / hoặc được sử dụng ngày càng nhiều. Ví
dụ:
Hàng hóa được bốc dỡ ở cảng A và / hoặc cảng B
Nó có thể bị phạt tù và / hoặc phạt tiền
Thuốc này có thể gây phản ứng sốt và / hoặc nhức đầu

Buổi sáng đi tham quan A và / hoặc B; Buổi chiều đi tham quan
hoặc C hoặc D.
Người ta cùng thường dùng một là…, hai là…theo nghĩa liên từ hoặc…
hoăc…Ví dụ:
Một là cứ phép gia hình
Hai là lại cứ lầu xanh phó về. (Nguyễn Du)
-

3. Phép tuyển chặt và phép tuyển không chặt
Trong logic, bên cạnh phép ∨ (Tương ứng với từ nối hoặc theo nghĩa và /
hoặc), người ta còn dùng phép + (Tương ứng với từ nối hoặc theo nghĩa hoặc…
hoặc)
Giá trị chân lí của phán đoán P + Q (Đọc là hoặc P hoặc Q) được xác định
bởi bảng chân trị 4.2
P
1
1
0
0

Q
P+Q
1
0
0
1
1
1
0
0

Bảng 4.2
Trong bài giảng này, khi nói đến phép tuyển thì ta hiểu đó là phép ∨ , được
định nghĩa bởi bảng 4.1. Phép ∨ được gọi là phép tuyển không chặt, phép + được
gọi là phép tuyển không chặt

§5 Phán đoán hằng đúng. Luật logic
Có những phán đoán luôn đúng , bất kể các phán đoán thành phần của nó đúng
hay sai. Ta gọi đó những phán đoán hằng đúng. Các phán đoán hằng đúng biểu thị các
luật logic. Sau đây là hai phán đoán hằng đúng đặc biệt quan trọng.

1. ¬ (P ∧ ¬ P)
Đây là luật cấm mâu thuẫn (cũng được gọi là luật mâu thuẫn): Hai phán đoán
phủ định lần nhau P và ¬ P không thể đồng thời cùng đúng, hội của P và ¬ P luôn
luôn sai (hằng sai), và phủ định của hội này luôn luôn đúng (hằng đúng).
Bán mộc, bán giáo
Có người nước Sở làm nghề vừa bán mộc, vừa bán giáo.
Ai hỏi mua mộc thì anh ta khoe rằng:
“Mộc này thật chắc, không gì đâm thủng”
Ai nói mua giáo thì anh ta khoe rằng:
“Giáo này thật sắc, gì đâm cũng thủng”.
Có người nghe nói, hỏi rằng:
“Thế bây giờ lấy giáo của bác đâm vào mộc của bác thì thế nào?”


Anh ta không làm sao đáp lại được
(Cổ học tinh hoa)
Người bán mộc, bán giáo đã nói hai phán đoán phủ định lẫn nhau:
P: Không có gì đâm thủng được mộc này
¬ P: Coa cái (giáo) đâm thủng được mộc này.
Hai phán đoán này không thể cùng đúng, anh ta đã phạm phải luật cấm mâu

thuẫn (Từ “mâu thuẫn” xuất phát từ sự tích này; mâu là vật để đâm, thuẫn là vật để
chống đỡ).
Một ví dụ khác về phạm luật mâu thuẫn:
Theo ông có tồn tại lòng tin hay không?
Không, không hề có.
Ông tin chắc như vậy chứ?
Nhất định rồi!
Ông vừa nói là con người ta không có lòng tin, nhưng chính ông
tin chắc rằng không có lòng tin. Vậy chính ông đã cho một thí dụ
đầu tiên về sự tồn tại lòng tin.
Nhân vật trong câu chuyện đã phạm luật mâu thuẫn vì cùng một lúc đã thừa
nhận hai phán đoán phủ định lẫn nhau:
P: Có lòng tin
¬ P: Không hề có lòng tin
Chú ý: Mâu thuẫn mà ta nói ở đây là mâu thuẫn logic khác với mâu thuẫn
được xét trong triết học (mâu thuấn “bên trong” của sự vật), trong sinh hoạt,
trong tâm lí con người (“mâu thuẫn giữa hai người bạn”, “giận thì giận mà
thương thì thương”).
2. P ∨ ¬ P
Đây là luật bài trùng (luật gạt bỏ cái thứ ba): hai phán đoán phủ định
lẫn nhau P và ¬ P không thể đồng thời cùng sai, tuyển của P và ¬ P luôn
đúng.
Luật bài trùng là một luật đặc trưng của logic lưỡng trị. Trong Toán
học, sử dụng luật bài trùng khi chứng minh phản chứng:
Ví dụ: Xét quan hệ giữa hai đường thẳng a và b trong mặt phẳng, ta có
hai phán đoán phủ định nhau:
P: a cắt b
¬ P: a không cắt b (a và b song song)
Để chứng minh a và b song song ( ¬ P là đúng), ta có thể chứng minh
a cắt b là sai (P sai). P đã sai thì theo luật bài trùng ¬ P phải đúng.

Câu ca dao sau đây phản ánh một mong muốn “luật bài trùng được
tôn trọng”:
Có thương thì nói rằng thương
Không thương thì nói một đường cho xong”

§6 Tính chất của các phép hội và phép tuyển
1. Phép nhân logic và phép cộng logic


Ta có thể chứng minh được phép hội và phép tuyển có tính chất giống phép
nhân và phép cộng trong đại số học.
Tính chất giao hoán
Xét về giá trị chân lí thì hai phán đoán:
Trời mưa và trời lạnh
Trời lạnh và trời mưa
Không có gì khác nhau. Một cách tổng quát, hai phán đoán “P và Q”, “Q và
P” luôn luôn có cùng giá trị chân lý, bất kể P, Q là đúng hay sai. P ∧ Q và Q ∧ P
tương đương logic:
P∧Q = Q∧P
Tương tự
P∨ Q = Q∨ P
Các hệ thức này chứng tỏ phép hội và phép giao có tình chất giao hoán
Tính chất kết hợp
(P ∨ Q) ∨ K = P ∨ (Q ∨ K)
(P ∧ Q) ∧ K = P ∧ (Q ∧ K)
Tính chất phân phối của phép hội đối với phép tuyển
(P ∨ Q) ∧ K = (P ∧ K) ∧ (Q ∨ K)
Vì các tính chất trên nên phép tuyển và phép hội còn được gọi là phép cộng logic
và phép nhân logic (Đôi khi người ta có thể dùng P + Q thay cho P ∨ Q và P.Q thay
cho P ∧ Q). Quy ước thứ tự thực hiện các phép toán logic là ¬,∧,∨

Lưu ý:
P ∧ P = P và P ∨ P = P
Phép tuyển cũng có tính chất phân phối đối với phép hội, và do đó có khi
người ta cũng gọi phép tuyển là phép nhân logic và phép hội là phép cộng logic.
Trong ngôn ngữ tự nhiên, phán đoán “P và Q” có thể có ý nghĩa khác với
phán đoán “Q và P”. Ví dụ:
Nó đi đến và mọi người cười ồ lên
Mọi người cười ồ lên và nó đi đến
Hai phán đoán này có ý nghĩa khác nhau do thứ tự diễn ra các sự kiện.
Nhưng về logic, theo định nghĩa của phép hội, thứ tự ấy không ảnh hưởng đến giá
trị đúng sai của chúng, hai phán đoán này cùng đúng hoặc cùng sai, chúng tương
đương logic với nhau.
2. Hệ thức De Morgan
Xét phán đoán
(1) An giỏi toán và An giỏi văn
P ∧ Q
Tức là: An vừ giỏi toán, vừa giỏi văn, giỏi cả hai môn toán và văn. Nếu ta
phủ định điều này, ta được: “An không giỏi ít nhất một trong hai môn”, tức là “An
không giỏi toán hoặc An không giỏi văn”. Như vậy:
Phủ định phán đoán (1) ta được phán đoán
Không phải (An giỏi toán và An giỏi văn)
¬ ( P ∧ Q)
Không phải An giỏi toán hoặc không phải An giỏi văn
¬P∨ ¬Q
Ta có hệ thức tương đương sau đây, gọi là các hệ thức De Morgan
¬ ( P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬ Q
Tương tự:


¬ ( P ∨ Q) = ¬ P ∧ ¬ Q

Ví dụ:
Không phải (An giỏi toán hoặc An giỏi văn)
Tương đương logic với:
Không phải An giỏi toán và không phải An giỏi văn
Các hệ thức De Morgan có thể dễ dàng chứng minh bằng cách lập bảng chân
trị

§7 Phép kéo theo
1. Phép kéo theo và liên từ logic “nếu…thì…”
Cho hai phán đoán:
P: Khánh học giỏi
Q: Khánh được thưởng
Có thể lập phán đoán:
Nếu Khánh học giỏi thì Khánh được
Nếu P thì Q
Kí hiệu: P → Q (Đọc là P kéo theo Q; Nếu P thì Q; Nếu có P thì có Q)
Trong phán đoán P → Q thì P được gọi là tiền đề còn Q được gọi là hậu đề.
Phép kéo theo ( → ) được định nghĩa như sau:
Phán đoán P → Q (Nếu có P thì có Q)
Sai khi P đúng mà Q sai, đúng trong mọi trường hợp khác
Bảng 7 là bảng chân trị của phép kéo theo:
P
1
1
0
0

Q
1

0
1
0

P→Q
1
0
1
1

Hay:

g(P) = 1 và g(Q) = 1 thì g(P ∨ Q) = 1
g(P) = 1 và g(Q) = 0 thì g(P ∨ Q) = 0
g(P) = 0 và g(Q) = 1 thì g(P ∨ Q) = 1
g(P) = 0 và g(Q) = 0 thì g(P ∨ Q) = 1
Có thể minh họa định nghĩa trên qua thì dụ: xét phán đoán:
Nếu Khánh học giỏi thì Khánh được thưởng
→
P
Q
Phán đoán này sai nếu: Khánh học giỏi (P đúng) mà Khánh không
được thưởng (Q sai). Phán đoán này đúng trong các trường hợp còn lại.
2. Phán đoán đảo. Phép kéo theo không có tính giao hoán
Trong phán đoán P → Q, nếu ta hoán vị tiền đề với hậu đề, ta được phán đoán
→
Q P. Hai phán đoán P → Q và Q → P được gọi là hai phán đoán đảo (ngược) của
nhau.

Khác với phép hội và phép tuyển, phép kéo theo không có tính chất giao
hoán. Tức là P → Q không tương đương logic với Q → P. Khi đó ta viết: P → Q ≠ Q
→P
P → Q và Q → P không phải bao giờ cũng có cùng giá trị chân lý, chẳng hạn
trường hợp P sai mà Q đúng thì P → Q là đúng còn Q → P là sai [g(P) = 0 và g(Q) =
1 thì g(P → Q) = 1 và g(Q → P) = 0]
Ví dụ: xét phán đoán
Nếu trời mưa (P) thì đường phố ướt (Q)
Phán đoán này đúng vì khi P đúng (trời mưa) thì Q cũng đúng (đường phố
ướt). Xét phán đoán đảo của nó: Nếu đường phố ướt (Q) thì trời mưa. Phán đoán
này có thể sai, vì khi Q đúng (đường phố ướt) thì P có thể sai (trời không mưa mà
do xe phun nước hay người ta đổ nước ra đường).
3. Phán đoán phản đảo
Vẫn xét phán đoán: Nếu trời mưa thì đường phố ướt (P → Q)
Phán đoán này đúng; vì vậy khi thấy đường phố không ướt (không Q) thì ta
hiểu nghĩa là trời không mưa (không P) (Vì nếu trời mưa thì đường phố đã ướt rồi!).
Như vậy, ta cũng có phán đoán đúng:
Nếu đường phố không ướt thì trời không mưa
¬Q
¬P
→
Một cách tổng quát, từ định nghĩa của phép kéo theo và phép phủ định, có
thể chứng minh dễ dàng rằnghai phán đoán P → Q và ¬ Q → ¬ P luôn luôn có cùng
chân trị (cùng đúng hoặc cùng sai).
P→Q = ¬ Q→ ¬ P
Hai phán đoán P → Q và ¬ Q → ¬ P được gọi là hai phán đoán phản đảo của
nhau; tiền đề của phán đoán này là phủ định hậu đề của phán đoán kia và ngược lại.
Hai phán đoán phản đảo của nhau thì tương đương lo gic với nhau.
4. Điều kiện đủ, điều kiện cần, điều kiện cần và đủ
a) Phán đoán P → Q

Nếu có P thì có Q
Đôi khi được diễn đạt dưới dạng
Có P là đủ để có Q
Muốn có Q thì có Q là đủ (muốn có Q chỉ cần có Q)
Có Q khi có P
Ví dụ: Xét phán đoán
Nếu anh có sáng chế thì anh được thưởng
→
P
Q
Có thể diễn đạt cách khác:
Anh có sáng chế là đủ (điều kiện đủ) để anh được thưởng
Muốn được thưởng thì chỉ cần anh có sáng chế
Anh được thưởng khi anh có sáng chế
¬
→
b) P ¬ Q
Nếu không có P thì không có Q
Nhiều khi được diễn đạt dưới dạng:
Có P là cần để có Q
Muốn có Q thì cần có P
Có Q chỉ khi có P (Chỉ có Q khi có P)


Ví dụ: Phán đoán
Nếu em không khỏe mạnh thì em không học giỏi được
Có thể diễn đạt cách khác:
Khỏe mạnh là điều kiện cần để em học giỏi
Muốn học giỏi thì em cần khỏe mạnh
Em học giỏi khi em khỏe mạnh

Em chỉ học giỏi khi em khỏe mạnh
c) Chú ý rằng hai phán đoán phản đảo của nhau là tương đương logic
P→Q = ¬ Q→ ¬ P
Vì vậy ta có:
Khi P là điều kiện đủ để có Q thì Q là điều kiện cần để có P
d) Trở lại hai ví dụ vừa xét
Khỏe mạnh là điều kiện cần để học giỏi
Nhưng ai cúng biết rằng phán đoán sau đây cũng đúng:
Không phải hễ khỏe mạnh thì học giỏi
Nghĩa là:
Khỏe mạnh không phải là đủ để học giỏi
Như vậy ta có phán đoán đúng sau đây:
Khỏe mạnh là điều kiện cần nhưng không đủ để học giỏi
Ta lại thấy:
Có sáng chế là điều kiện đủ để được thưởng
Nhưng là sai lầm nếu nói rằng:
Nếu anh không có sáng chế thì anh không được thưởng.
Nghĩa là:
Có sáng chế là điều kiện đủ nhưng không cần để được thưởng
e) Phán đoán Nếu có P thì có Q và ngược lại nếu có Q thì có P
Có thể diễn đạt dưới dạng:
P là điều kiện cần và đủ để có Q
Có Q khi chỉ khi có P
Lúc đó ta viết P ↔ Q hay Q ↔ P
Ví dụ: hai phán đoán sau đây đều đúng
Nếu một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3
Nếu một số chia hết cho 3 thì số đó có tổng các chữ số chia hết cho 3
Vì vậy ta có phán đoán sau đây:
Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3
5. Một số cách diễn đạt khác nhau của phán đoán kéo theo trong ngôn ngữ tự nhiên

Trong ngôn ngữ tự nhiên, có nhiều liên từ có ý nghĩa logic của phép kéo
theo; chẳng hạn các phán đoán sau đây đều có dạng P → Q
Từ P suy ra Q
Khi có P thì có Q
Một khi có P thì có Q
Vì có P nên có Q
Do có P mà có Q
Hễ có P thì có Q
Giá có P thì có Q
…
Sau đây là một số ví dụ


Các cháu đoàn kết thì thế giới hòa bình. (Hồ Chí Minh)
Khi một dân tộc đã đoàn kết nhất trí, đấu tranh giành độc lập tự do, thì
nhất định họ sẽ thắng lợi (Hồ Chí Minh).
Hễ còn một tên giặc xâm lược trên đất nước ta thì ta còn phải tiếp tục
chiến đấu, quét sạch nó đi (Hồ Chí Minh)
Người em đen vì than, vì nắng
Nhưng bụng em trắng vì uống nước giếng trong (Ca dao)
Bao giờ cho gạo bén sàng
Cho trăng bén giớ thì nàng lấy anh. (Ca dao)
Chồng giận thì vợ làm lành,
Miệng cười hớn hở rằng: Anh giận gì? (Ca dao)
Bông hồng kia, giá gọi bằng một tên khác thì hương thơm cũng vẫn
ngọt ngào. (Sêcxpia)
Phải chi ngoài biển có cầu
Để anh ra đó giải đoạn sầu cho em. (Ca dao)
Ước gì gần gũi tấc gang
Giải niềm cay đắng để chàng tỏ hay. (Chinh phụ ngâm)

Trong ngôn ngữ tự nhiên, ta không gặp những câu như:
Nếu quả đất đứng yên thì 2 + 2 = 4
Nếu quả đất quay thì 2 + 2 = 4
Xét theo logic thì đó đều là những phán đoán đúng vì có hậu đề đúng.

§ 8 Hàm phán đoán, phán đoán tồn tại và phán đoán phổ biến
1. Hàm phán đoán
Xét tập S gồm tất cả những người Việt Nam; gọi x là một người Việt Nam
nào đó (x là một phần tử thuộc S). Xét câu: x là nhà thơ (x thuộc S)
Ta kí hiệu câu này là P(x)
P(x) không phải là phán đoán, vì không thể nói được nó là đúng hay sai.
Ta thay biến x bằng một đối tượng xác định trong S, tức là bằng một người
Việt Nam cụ thể (ta gọi đây là một hằng); thay x bằng Nguyễn Du chẳng hạn thì ta
được:
Nguyễn Du là nhà Thơ
Đây là một phán đoán đúng. Nếu thay x bằng Bà Trưng Trắc, ta được:
Bà Trưng Trắc là nhà thơ
Phán đoán này sai: Bà Trưng Trắc là nhà yêu nước vĩ đại nhưng chúng ta
chưa ai biết bài thơ nào của bà.
Ta gọi P(x) là một hàm phán đoán.
Hàm phán đoán được biểu đạt thành một câu có chứa biến và trở thành phán
đoán khi ta thay biến đó bằng một hằng trong một tập hợp xác định.
Trong đại số học, phương trình, bất phương trình là những hàm phán đoán.
Thí dụ xét phương trình trong tập hợp số nguyên:
x+2=5
Thay x = 1; x = 2 ta được các phán đoán sai (đẳng thức sai)
Thay x = 3 ta được phán đoán đúng (đẳng thức đúng).


2. Phán đoán phổ biến

Từ hàm phán đoán
P(x): x là nhà thơ (x thuộc tập S tất cả người Việt Nam) có thể lập phán đoán
(1) Với mọi x, x là nhà thơ (x thuộc S)
Phán đoán (1) là sai, vì trong S có người không phải là nhà thơ.
Ta gọi (1) là một phán đoán phổ biến và kí hiệu là: ( ∀ x)P(x), đọc là với mọi
x, P(x). Dấu ∀ x được gọi là lượng từ phổ biến.
Phán đoán phổ biến được phát triển dưới nhiều dạng khác nhau trong ngôn
ngữ tự nhiên, chẳng hạn như:
Người Việt Nam nào cũng là nhà thơ
Người Việt Nam nào chẳng là nhà thơ
Ai chẳng có lòng tự trọng
Ớt nào là ớt chẳng cay.
Cảnh nào cảnh chẳng đeo sầu
3. Phán đoán tồn tại
Từ hàm phán đoán “x là nhà thơ” trên đây, còn có thể lập phán đoán:
(2) Có x, x là nhà thơ (x thuộc S)
Phán đoán này là đúng, ai cũng biết có Nguyễn Du là nhà thơ.
Ta gọi đây là một phán đoán tồn tại và kí hiệu:
( ∃ x) P(x)
Đọc là có x, P(x) hay là có x sao cho P(x).
“Có x” phải được hiểu là “có ít nhất một x”. Dấu ∃ x được gọi là lượng từ
tồn tại
Phán đoán tồn tại (2) thường được phát biểu dưới dạng:
Một số người Việt Nam là nhà thơ
Chú ý rằng trong ngôn ngữ tự nhiên, các câu sau đây có thể có ý nghĩa khác
nhau:
Có người Việt Nam là nhà thơ
Có một người Việt Nam là nhà thơ
Một số người Việt Nam là nhà thơ
Nhiều người Việt Nam là nhà thơ

Hầu hết người Việt Nam là nhà thơ
Trong logic lưỡng trị, ta coi các câu đó đều là cách diễn đạt khác nhau của
cùng một phán đoán tồn tại là:
Có x, x là nhà thơ
Hay Một số người Việt Nam là nhà thơ
4. Phủ định của phán đoán tồn tại và phán đoán phổ biến
Xét phán đoán tồn tại:
(2) Có x, x là nhà thơ ( ∃ x) P(x) (Một số người Việt Nam là nhà thơ)
Có phủ định là: Không phải một số người Việt Nam là nhà thơ. Tức là:
(3) Mọi người Việt Nam không phải là nhà thơ
Với mọi x, x không là nhà thơ, ( ∀ x) ¬ P(x)
Như vậy, phủ định ( ∃ x) P(x) ta được ( ∀ x) ¬ P(x). Hai phán đoán ( ∃ x) P(x)
và ( ∀ x) ¬ P(x) là phủ định lẫn nhau.


Tương tự, phủ định ( ∀ x) P(x) ta được ( ∃ x) ¬ P(x). Hai phán đoán ( ∀ x)
P(x) và ( ∃ x) ¬ P(x) là phủ định lẫn nhau.
Ta có các hệ thức tương đương sau đây, được gọi là các hệ thức De Morgan
mở rộng:
¬ ( ∀ x) P(x) = ( ∃ x) ¬ P(x)
¬ ( ∃ x) P(x) = ( ∀ x) ¬ P(x)
Trong ngôn ngữ tự nhiên, nhiều phán đoán được hiểu theo hệ thức De
Morgan mở rộng, chẳng hạn:
Không phải ai cũng… = Có người không…
Không phải bao giờ cũng… = Có lúc không…
Không phải luôn luôn… = Có khi không
Ví dụ: Lời nói không phải bao giờ cũng bộc lộ được hết nỗi lòng ta = Lời nói
có khi không bộc lộ được hết nỗi lòng ta.
5. Phán đoán khẳng định, phủ định chung và riêng
Trở lại phán đoán:

(1) Mọi người Việt Nam đều là nhà thơ
Gọi tập hợp tất cả những người Việt Nam là S, tập hợp tất cả những nhà thơ
là M
Mỗi người Việt Nam là một phần tử thộc S và mỗi nhà thơ là một phần tử
thuộc M. Vì vậy có thể viết phán đoán như sau:
(1’) Mọi phần tử thuộc S đều thuộc M
Phán đoán này còn được viết tắt là Mọi S đều là M
Tương tự như vậy, đối với các phán đoán:
(2) Một số người việt Nam là nhà thơ
(3) Mọi người Việt Nam đều không phải là nhà thơ
(4) Một số người Việt Nam không phải là nhà thơ
Ta có thể lần lượt viết lại: Một số S là M, mọi S đều không là M và một số S
không là M.
Tóm lại, nhiều phán đoán tồn tại và phổ biến có thể đưa về một trong 4 dạng:
Mọi S đều là M, ký hiệu SaM (Hay A)
Một số S là M, ký hiệu là SiM (Hay I)
Mọi S đều không là M, ký hiệu là SeM (Hay E)
một số S không là M, ký hiệu SoM (Hay O)
6. Quan hệ giữa các phán đoán A, E, I, O
Theo điều đã trinh bày ở mục 4 thì: phủ định của A là O, phủ định của I là E.
Hai phán đoán A và I (E và O) được gọi là có quan hệ lệ thuộc, do A → I (E
→ O) Hai phán đoán A và E có thể cùng sai, nhưng không thể đồng thời cùng đúng
(A ∧ E là phán đoán hằng sai). Người ta gọi A và E là hai phán đoán đối chọi trên.
Hai phán đoán I và O có thể cùng đúng nhưng không thể đồng thời sai (I ∨ O
là phán đoán hằng đúng). Người ta gọi I và O là hai phán đoán đối chọi dưới.
7. Hàm phán đoán của nhiều biến
P(x) là hàm phán đoán của một biến x. ta còn gặp các hàm phán đoán của hai
biến P(x,y); hàm phán đoán của ba biến P(x,y,z),…