Dai so chuong 2 toán cao cấp

Chƣơng 2.
HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
NỘI DUNG CHÍNH

2.1 – Hệ phƣơng trình tuyến tính
2.1.1. Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát.
2.1.2. Nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính.

2.2 – Phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính.
2.2.1. Phƣơng pháp Cramer
2.2.2. Phƣơng pháp Gauss.


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

2.1. Hệ phƣơng trình tuyến tính
2.1.1. Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát
Định nghĩa 2.1.1. Hệ phương trình gồm m phương trình đại số
bậc nhất với n ẩn số, có dạng
a11x1

a12x 2

...

a1n x n

b1

a21x1

a22x 2

...

a2n x n

b2

am 2x 2

...

amn xn

bm

...
am1x1

(2.1)

được gọi là hệ phương trình tuyến tính với x1, x 2,..., xn là các ẩn số,
aij là hệ số ở phương trình thứ i của ẩn x j và bi là hệ số ở vế phải

của phương trình thứ i.


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Ta kí hiệu A

a11

a12

... a1n

b1

x1

a21

a22

... a2n

b2

x2

am1 am 2 ... amn

, B

bm

,

X

xn

A được gọi là ma trận hệ số, B được gọi là ma trận cột hệ số tự do

và X được gọi là ma trận cột ẩn số của hệ phương trình tuyến tính
(2.1).Kí hiệu

(A | B )

a11
a21

a12
a22

... a1n b1
... a2n b2

am1 am 2 ... amn bm

được gọi là ma trận bổ sung (mở rộng) của hệ phương trình tuyến tính
(2.1).


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Với các kí hiệu như trên, hệ phương trình tuyến tính (2.1) được
viết lại dưới dạng ma trận như sau
AX

Khi B

B.

0, hệ (2.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần

nhất. Ngược lại, ta gọi là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất.
2.1.2. Nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính
Định nghĩa 2.1.2. Bộ số (c1, c2,..., cn ) được gọi là một nghiệm của
hệ phương trình tuyến tính (2.1) nếu x1
(2.1).

c1, x 2

c2,..., xn

cn thỏa


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Dễ dàng thấy rằng, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ít
nhất một nghiệm là (0, 0,..., 0) và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm
thường.
Quá trình đi tìm tập các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gọi
là giải hệ phương trình tuyến tính ấy.
Định lí 2.1.1. Với một hệ phương trình tuyến tính cho trước. Khi
đó, có một và chỉ có một trong ba khả năng sau đây xảy ra:
1) hệ có nghiệm duy nhất;

2) hệ có vô số nghiệm;
3) hệ vô nghiệm.


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Từ Định lí 2.1.1, suy ra rằng hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
có duy nhất nghiệm tầm thường hoặc có vô số nghiệm (trong đó có
nghiệm tầm thường).
Giả sử
c1
X

c2
cn

là một (ma trận cột) nghiệm không tầm thường của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất
AX

0.

(2.2)


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Khi đó, bằng cách thay trực tiếp vào hệ (2.2) ta thấy
c1
c2

X

,

cn

cũng là một nghiệm của (2.2).
Giả sử
d1
Y

d2
dn


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

là một nghiệm khác X của (2.2). Lập luận tương tự như trên thì
cũng là một nghiệm của (2.2). Do đó,
Y,

X

Y

c1

d1

c2

d2

cn

dn

cũng là một nghiệm của (2.2).
Nghiệm X
nghiệm X ,Y .

Y được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hai


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Định nghĩa 2.1.3. Hai hệ phương trình tuyến tính có cùng số ẩn
(số phương trình có thể khác nhau) được gọi là tương đương nếu
chúng có cùng tập hợp nghiệm.
Định lí 2.1.2. Cho hai hệ phương trình tuyến tính có cùng m
phương trình (m 2) và n ẩn số với các ma trận mở rộng lần lượt là
(A | B) và (A | B ) . Khi đó, nếu (A | B ) nhận được từ (A | B) bởi một

số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng thì hai hệ phương trình
tuyến tính đã cho là tương đương.


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

2.2. Phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính
2.2.1. Phƣơng pháp Cramer giải hệ phƣơng trình tuyến tính
Định nghĩa 2.2.1. Hệ phương trình tuyến tính (2.1) được gọi là hệ
Cramer nếu m n và det A 0.
Như vậy, hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính có dạng
a11x1

a12x 2

... a1nxn

b1

a21x1

a22x 2

... a2nxn

b2

an 2x 2

... annxn

bn

...
an1x1

với

det A

0.

(2.3)


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Định lí 2.2.1 Mỗi hệ Cramer dạng (2.3) đều có một nghiệm duy
nhất. Đặt

det(A),

j

(j

1, n ) là định thức có được bằng cách

thay cột j của A bởi cột hệ số tự do. Khi đó, hệ phương trình Cramer
(2.3) có nghiệm duy nhất được xác định theo công thức
x1
x2

X

A 1B,

xn

hay
x1

1,

x2

2,

..., xn

n

.


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 2.2.1. Giải hệ phương trình tuyến tính
x1
x1

3x 2
4x 2

2x 3
2x 3

1
2

x1

3x 2

3x 3

3

Giải. Ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính là
1 3 2
A

1 4 2 .
1 3 3

Ma trận nghịch đảo của A là (xem 1.3.2)
A

1

6
1

3
1

2
0 .

1

0

1


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Hệ đã cho được viết lại AX
X

A 1B

B. Suy ra

6
1

3
1

2 1
0 2

6
1 .

1

0

1

2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là
x1

6,

x2

1,

x3

2.

3


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 2.2.2. Giải hệ phương trình tuyến tính
x1
3x1

x2
4x 2

x3
3x 3

1
3

2x1

2x 2

3x 3

m

1 1 1
Giải. Ma trận hệ số của hệ phương trình là 3 4 3

AT .

2 2 3

Hệ phương trình đã cho được viết lại AT X
X

T

A

1

C

A

1

T

C

C , suy ra

6
3

1
1

1 1
0 3

2

0

1

m

3 m
0
.
2

m


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

x1

x2

Ví dụ 2.2.3. Giải hệ phương trình 2x1 6x 2
3x1

4x 2

x3

1

x3

0

2x 3

0

Giải. Ta có ma trận hệ số
A

1
1

0
0

1
2

1
6

1
1 ,

3

4

2

1

1

6
4

det(A)

1 1

1

8,

2

2

3 0
1

3

2 0

2
3

1

1

6 0
4

0

26.

11

0.

1
1
2

7,


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là
x1

8
, x2
11

7
, x3

11

Ví dụ 2.2.4. Giải hệ phương trình
mx1

x2

x3

1

x1

mx 2

x3

m

x1

x2

m2

mx 3

Giải. Ta có ma trận hệ số
A

m 1
1 m
1

1
1 ,

1 m

26
.
11


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

A

i) Nếu A

m

m 1

1 1

1 m

1 m

1 m

1 1

0

 Với m 1,
x1

(m 1)2(m 2) 0

(m 1)2(m 2).

m

1 m

2.

hệ trở thành x1 x2 x 3 1, suy ra

1 x2 x 3. Điều này có nghĩa là x1 phụ thuộc vào hai tham số

x 2, x 3. Do đó, nếu cho x 2, x 3 tùy ý thì ta sẽ có được x1. Vậy hệ có vô

số nghiệm, có dạng
(x1, x2, x 3 ) (1 a b, a, b), a, b

.

 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

 Với m

2, hệ đã cho trở thành
2x1

Lấy (2) 2

x2

x1

2x 2

x3

x1

x2

2x 3

1, (1)
2, (2)
4.

(3)

(1), ta được
0x1

Lấy (3) 2

x3

3x 2

3x 3

3. (4)

3x 3

9. (5)

(1), ta được

0x1

3x 2

Lấy (4) (5), ta được
0x1

0x 2

Điều trên vô lí. Vậy hệ vô nghiệm.

0x 3

6.


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

ii) Nếu A

0

m

1 hoặc m

2. Theo Định lí 2.2.1, hệ đã

cho có nghiệm duy nhất. Ta có
1
1

1 1

m m 1;

2

m2 1 m

m

1

1

1

m

1;

m 1

1

1 m m

3

1 m2 m

1 1 m2

Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là
x1

1

A

m 1
; x2
m 2

2

A

1
m 2

; x3

3

A

m2

2m 1
.
m 2


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

2.2.2. Phƣơng pháp Gauss để giải hệ phƣơng trình tuyến tính
Định lí 2.2.2. (Kronecker – Capelli) Cho hệ phương trình tuyến
tính (2.1). Khi đó, hệ (2.1) có nghiệm khi và chỉ khi r(A) r(A | B).
Hơn nữa,

1) Nếu r(A) r(A | B) n thì hệ (2.1) có nghiệm duy nhất.
2) Nếu r(A) r(A | B) r n thì hệ (2.1) có vô số nghiệm phụ
thuộc (n r ) tham số.
Từ hai Định lí 2.1.2 và 2.2.2 ở trên ta đi đến phương pháp giải hệ
(2.1) như sau:


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Bƣớc 1: Lập ma trận mở rộng của A

(A | B )

a11
a21

a12 ... a1n b1
a22 ... a2n b2

am1 am 2 ... amn bm

Bƣớc 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận (A | B)
về ma trận (A | B ), trong đó A là ma trận bậc thang (rút gọn).
Bƣớc 3: Nếu r(A) r(A | B) n thì hệ có nghiệm duy nhất. Nếu
r(A) r(A | B) r n thì hệ (2.1) có vô số nghiệm. Khi đó, ta chọn
(n r ) ẩn là tùy ý, sau đó giải các ẩn còn lại theo các ẩn đã chọn. Nếu
r(A) r(A | B) thì hệ vô nghiệm.


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 2.2.5. Giải hệ phương trình
x1

2x 2

x3

1

2x1

5x 2

x3

6

x1

4x 2

2x 3

2

Giải. Thực hiện phép biến đổi sơ cấp dòng
1

2

11

2

5

16

1
d1
d3

d2
d3

d2 2d1
d3 d1

4 22
d1 2d2
d3 2d2

1

2

1 1

0

1

14

0
1

0

0 1
0

0

3

7

1 4

2
d1
d2

3 3

d1 3d3
d2 d3

1 11

1

0

0 1
0

0

0 15 .

0 1 11

Từ ma trận cuối cùng, suy ra hệ có nghiệm duy nhất là
x1

40, x 2

15, x 3

11.

40


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 2.2.6. Giải hệ phương trình
x1

2x 2

3x 3

x4

1

3x1

x2

5x 3

3x 4

1

4x1

3x 2

8x 3

4x 4

0

Giải. Ta có

(A | B )

1
3

2 3
1 5

11
31

4

3 8

40

Suy ra r(A | B)
Mà r(A)

2

3.
r(A | B).

Vậy hệ vô nghiệm.

d2
d3

d2 3d1
d3 d2 d1

1
0

2
5

3
4

1 1
0 2 .

0

0

0

0

2


 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ 2.2.7. Giải hệ phương trình

Giải. (A | B )

x1

x2

x3

1

2x1

x2

3x 3

2

1 1
2 1

11
3 2

d2

Như vậy r(A) r(A | B) 2
phương trình trên được viết lại
x1

x2

x2

Chọn x 3

x3

1

5x 3

0

1
0

d2 2d1

n

1
1

11
.
5 0

3 nên hệ có vô số nghiệm. Hệ

hay

x1

1

4x 3,

x2

5x 3.

t tùy ý. Khi đó, tập các nghiệm của hệ có dạng
x1

1

x2

5t,

x3

t,

4t,
t

.