Dai so chuong 3 toán cao cấp

Chương 3.
KHÔNG GIAN VECTƠ
NỘI DUNG CHÍNH

3.1 – Định nghĩa và các ví dụ.
3.2 – Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính.
3.3 – Không gian vectơ con.
3.4 – Không gian Euclide.


 Chương 3. Không gian vectơ

3.1. Định nghĩa và các ví dụ
3.1.1. Không gian vectơ
Định nghĩa 3.1.1. Cho tập hợp V
. V được gọi là một không
gian vectơ thực (hoặc trên ) nếu trên V có hai phép toán gọi là cộng
(+) và nhân vô hướng (.):
Phép cộng (+):

V V

(x, y )

Phép nhân vô hướng (.):

V

( , x)

V

x

y
V

x

thỏa mãn các tiên đề sau đây: u, v, w V ;

,

, ta có


 Chương 3. Không gian vectơ

i) u v

v

u;

ii) (u v) w

u

(v

iii) 0 V , u

0

0

w) ;

u

iv) u V , ( u) : u ( u)
v) ( u) (

)u
u

u;

vii) (u v)

u

v;

viii) 1u

0;

( u) ;

)u

vi) (

u;

u.

Khi đó, phần tử của V được gọi là vectơ và số
lượng vô hướng.

gọi là đại


 Chương 3. Không gian vectơ

3.1.2. Một số ví dụ về không gian vectơ
3

1)

với phép cộng vectơ và phép nhân một số với một vectơ

theo nghĩa thông thường, tức là u

(u1, u2, u3 ), v

(v1, v2, v3 )

3

;

:

u

v

(u1

v1, u2

v2, u3

v3 ) và u

( u1, u2, u3 ),

là không gian vectơ trên .
2) Tập hợp Mm n ( ) gồm tất cả các ma trận cấp m n trên
cùng với phép cộng các ma trận và phép nhân một số với một ma trận
tạo thành một không gian vectơ trên .

3) Tập hợp P2[x ] gồm các đa thức bậc không quá 2 cùng với phép

cộng hai đa thức và phép nhân một số với đa thức theo nghĩa thông
thường là một không gian vectơ trên .


 Chương 3. Không gian vectơ

3.1.3. Một số tính chất của không gian vectơ
Từ các tiên đề trên ta suy ra một số tính chất của không gian vectơ
như sau.
Định lí 3.1.1. Trong không gian vectơ V , ta có
1) Vectơ 0V tồn tại duy nhất.
2) Vectơ đối u của u tồn tại duy nhất.
3) u, v, w V : u w v w
4)

, u V: u

5)

, u V : ( u) (

u

v (luật giản ước).

0 u

0
)u

0V .

( u) .

 Chương 3. Không gian vectơ
V sao cho

Chứng minh. 1) Giả sử tồn tại
u

u

u, u

V.

Khi đó, ta có
0V

0V .

2) Nếu u là một vectơ đối khác của u thì
u

u

u

0

3) Từ đẳng thức u
(u

(u

w

w)

u)
v

( u

u)

u

0

w, suy ra

( w)

(v

w)

( w) ,

hay
u

Do đó u

[w

(-w)]

v

[w

( w)] (tiên đề ii).

v.

Chứng minh 4), 5) dành cho bạn đọc.

u

u.


 Chương 3. Không gian vectơ

3.2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
3.2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 3.2.1. Cho V là không gian vectơ trên
và các vectơ
u, u1, ..., uk V . Ta nói u là tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ
{u1,..., uk } nếu tồn tại các hệ số
u

,...,

1u1

sao cho

k

1

...

kuk .

Khi đó, ta cũng nói u biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ
{u1,..., uk }. Tổ hợp tuyến tính
u

1 1

...

u

k k

của hệ vectơ {u1,..., uk } được gọi là tầm thường nếu
1

...

k

0.


 Chương 3. Không gian vectơ

Ngược lại, nếu tồn tại
k
i 1

i

0(1 i

k ) thì tổ hợp tuyến tính

u được gọi là không tầm thường.

i i

Ví dụ 3.2.1. 1) Trong không gian vectơ

3

, cho các vectơ

u (2,3,1), u1 (2,1,3), u2 ( 2,0,0), u3 (1,1, 1).

Khi đó, ta có

u u1 u2 2u3

nên u là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1, u2, u3 .


 Chương 3. Không gian vectơ

2) Trong không gian vectơ

2

, cho các vectơ

u1 ( 1,0), u2 (0, 1), u3 (1,1).

Khi đó, vectơ 0 (0,0) có ít nhất hai cách biểu thị tuyến tính được
qua hệ vectơ {u1, u2, u3}
0 0u1 0u2 0u3; 0 1u1 1u2 1u3.


 Chương 3. Không gian vectơ

Định nghĩa 3.2.1. Cho V là không gian vectơ trên . Hệ vectơ
{u1,..., uk } V

được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại { i }i
k
i 1

2

i

1,k

, với

0 sao cho

u

1 1

...

u

k k

0.

Trong trường hợp tổng quát ta có định nghĩa sau.

Định nghĩa 3.2.3. Hệ vectơ
S V được gọi là phụ thuộc
tuyến tính nếu tồn tại một hệ hữu hạn các vectơ {u1,..., uk } S sao
cho hệ vectơ {u1,..., uk } phụ thuộc tuyến tính.


 Chương 3. Không gian vectơ

Ví dụ 3.2.2. Trong không gian vectơ
u1

(1,1, 2), u2

3

, cho các vectơ

( 2, 0,1), u3

(1, 1, 3).

Ta có
u1

u2

u3

0

nên hệ các vectơ {u1, u2, u3} là phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 3.2.3. Trong không gian vectơ
S

{u1

(1,1, 2), u2

( 2, 0,1), u3

3

, hệ vectơ

(1, 1, 3), u4

là phụ thuộc tuyến tính vì hệ vectơ {u1, u2, u3}
phụ thuộc tuyến tính.

(1, 5, 3)}

S và {u1, u2, u3}


 Chương 3. Không gian vectơ

Định nghĩa 3.2.4. Hệ vectơ {u1,..., uk } V được gọi là độc lập
tuyến tính nếu

1u1

...

k uk

0 thì

1

...

k

0.

Tổng quát ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 3.2.5. Hệ vectơ
S V được gọi là độc lập tuyến
tính nếu với mọi hệ gồm hữu hạn các vectơ {u1,..., uk } S đều độc
lập tuyến tính.
Quy ước: hệ

không chứa vectơ nào là độc lập tuyến tính.

Như vậy, theo các định nghĩa trên, hệ vectơ không độc lập tuyến
tính là phụ thuộc tuyến tính và ngược lại. Nói cách khác, hai khái
niệm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ là phủ
định với nhau.


 Chương 3. Không gian vectơ

Ví dụ 3.2.1. Xét tính chất độc lập tuyến tính của hệ vectơ
u1

(1,1, 2), u2

(1, 1, 1), u3

(2,1,1).

Giải. Giả sử
u

u

1 1

u

2 2

0.

3 3

Từ đó suy ra

2

2

1

2

1

2
1

2

Hệ này có nghiệm duy nhất là

1

3

0

3

0

3

0.
2

3

0 (vì ma trận các

hệ số có định thức khác không). Vậy {u1, u2, u3} độc lập tuyến tính.


 Chương 3. Không gian vectơ

3.2.2. Tính chất của hệ vectơ độc lập và phụ thuộc tuyến tính
Định lí 3.2.1. Trong không gian vectơ V , ta có
1) Hệ vectơ chỉ gồm một vectơ khác không là độc lập tuyến tính.
2) Mọi hệ con của một hệ vectơ độc lập tuyến tính đều độc lập tuyến tính.
Chứng minh. 1) Nếu u 0 thì u 0
2) Giả sử {ui }i

1,n

0, do đó u độc lập tuyến tính.

là hệ độc lập tuyến tính trong V và
{u j }j J , J I {1,2,...n}

là một hệ con bất kỳ của nó. Ta sẽ chứng minh {u j }j J là hệ độc lập tuyến tính.


 Chương 3. Không gian vectơ
Thật vậy, Giả sử ta có tổ hợp tuyến tính
u
0. Khi đó
j j
j J

u

j J

j j

i I \J

là tổ hợp tuyến tính bằng 0 của {ui }i

0ui
1,n

0

nên suy ra

j

0, j

J.

Điều này có nghĩa là {u j }j J độc lập tuyến tính.
Nhận xét 3.2.1. 1) Hệ vectơ chỉ gồm một vectơ 0 là phụ thuộc
tuyến tính.
2) Hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc
tuyến tính. Do đó, mọi hệ vectơ chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến
tính.
3) Hệ vectơ S

{u1,..., un } là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

tồn tại ít nhất một vectơ ui
vectơ còn lại trong S.

S sao cho ui là tổ hợp tuyến tính của các


 Chương 3. Không gian vectơ

Chứng minh. Ta chứng minh 3), các nội dung còn lại dành cho bạn
đọc.
Điều kiện cần: Giả sử {ui }i
ít nhất các vô hướng { i }i

1,n

1,n

n
i 1

iui

0. Giả sử

j

0(1

n

0
i 1

j

là phụ thuộc tuyến tính. Khi đó có

không đồng thời bằng 0 sao cho
n). Khi đó, ta có
n

u
i i

u
j j

j i 1

n

u
i i

uj

j i 1

i
j

ui .

Điều này có nghĩa là u j là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại
trong S .


 Chương 3. Không gian vectơ

Điều kiện đủ: Giả sử có một vectơ u j là tổ hợp tuyến tính của các
vectơ còn lại trong hệ S , tức là tồn tại các vô hướng

i

sao cho

...

n n

u . Khi đó

uj

i i

j i

u

0
j i

i i

u

1u j
u

1 1

2 2

...

u

j 1 j 1

( 1)u j

u

j 1 j 1

u .

Đây là một tổ hợp tuyến tính không tầm thường bằng 0 của hệ
{ui }

i 1,n

.

Vậy {ui }i

1,n

phụ thuộc tuyến tính.


 Chương 3. Không gian vectơ

Ví dụ 3.2.5. Cho các vectơ
u1 ( 2,1, 1), u2 (1, 1, 1), u3 ( 1,0, 2).

Ta có u1 u2 u3 nên hệ các vectơ {u1, u2, u3} phụ thuộc tuyến
tính.
Ví dụ 3.2.6. Trong không gian vectơ P3[x ] cho hệ vectơ
S

{u1, u2, u3, u4}, với

u1 x 3 x, . u2

x 2 1, u3

x 3 2x 1, u4

x 3 2x 2 x 2.

Tìm một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của hệ S .


 Chương 3. Không gian vectơ

Giải. Ta lần lượt xét các hệ con của S . Đặt
S1

{u1

x3

x, u2

x2

1}.

Dễ thấy tập S1 độc lập tuyến tính.
Xét tập
S2

x3

{u1

x2

x, u2

1, u3

x3

2x

1}.

Ta có
1u1
3
(
x
1

(

1
1

2u2

3u3
2

x)

(x
2

3
)
x
3
2

2
x
2
3

0.

Vậy S 2 độc lập tuyến tính.

0
1)
(

1

3
(
x
3

2x

)x

2

2

3

1)
3

0, x
0, x


 Chương 3. Không gian vectơ

Giả sử
u

u

1 1

u

2 2

u

3 3

0.

4 4

Điều trên tương đương với
3
(
x
1

x)

2
(
x
2

3
(
x
3

1)

2x

3
(
x
4

(

1

3

3
)
x
4

(

2

2

1)

2x 2

2
)
x
4

(

1

2

3

0,

4

2

2

4

0,

1

2

3

4

0,

4

0.

2

3

2

2
3

Từ đó ta có hệ phương trình
1

x

0, x

2)
3

2

4
4

)x
0, x .


 Chương 3. Không gian vectơ

Lập ma trận hệ số của hệ phương trình thuần nhất cuối cùng và
biến đổi sơ cấp dòng

A

d4

1

0

0

1

0

2

1

0

2

0

1

1

d 4 d2

Ta có r(A)

3

1 1

1

0

0

1

0

2

1

0

0

3

0

2

0

1

1

2

d3

1

0

0

1

0

2

0

0

3

0

0

1

d3 d1

1 1

1 1

1

0

0

1

0

2

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

d4

3d4 d3

1 1
.

4 nên hệ có vô số nghiệm hay S phụ thuộc

tuyến tính. Vậy S 2 là bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của hệ S theo
nghĩa nếu thêm bất kì vectơ nào vào S 2 thì hệ thu được phụ thuộc
tuyến tính.


 Chương 3. Không gian vectơ

3.2.3. Hạng của một hệ hữu hạn vectơ
Định nghĩa 3.2.6. Cho S {u1, u2,..., uk } là một hệ hữu hạn các
vectơ trong không gian vectơ V . Số phần tử của một hệ con độc lập
tuyến tính tối đại tùy ý của S được gọi là hạng của hệ vectơ
S {u1, u2,..., uk } và được kí hiệu là rank(S ) hay viết gọn là r(S ).
Ở Ví dụ 3.2.6, ta có rank(S ) 3.
Trong trường hợp V

n

ta có định lí sau.


 Chương 3. Không gian vectơ
Định lí 3.2.2. Trong không gian vectơ
S

{u1

(a11, a12,..., a1n ), u2

n

cho hệ gồm m vectơ

(a21, a22,..., a2n ),

..., um

(am1, am 2,..., amn )}.

Đặt

A

a11

a12

... a1n

a21

a22

... a2n

...

...

...

...

.

am1 am 2 ... amn

Khi đó, ta có
rank(S )

rank(A).

Từ Định lí 3.2.2 ta suy ra hệ quả sau rất tiện lợi để xét tính chất
độc lập hay phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ trong

n

.


 Chương 3. Không gian vectơ

Hệ quả 3.2.1. Trong không gian vectơ
u1

(a11, a12,..., a1n ), u2

n

cho hệ m vectơ

(a21, a22,..., a2n ),..., um

(am1, am2,..., amn ).

Đặt

A

a11

a12 ... a1n

a21

a22 ... a2n

...

...

...

...

.

am1 am 2 ... amn

Khi đó, ta có hệ {u1, u2,..., um } là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi
rank(A)

m. Đặc biệt, nếu m

tính khi và chỉ khi det A

0.

n thì {u1, u2,..., um } là độc lập tuyến


 Chương 3. Không gian vectơ
Ví dụ 3.2.7. Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
của hệ vectơ {u1 ( 2,1, 1,1); u2 (1, 1, 1,2); u3 ( 1, 0, 2,1)}.
Giải. Lập ma trận A

Ta có r(A)

2
1

1
1

1 1
1 2 .

1

0

2 1

3 nên hệ các vectơ {u1, u2, u3} là độc lập tuyến tính.

Ví dụ 3.2.8. Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
của hệ vectơ {u1

(2,1, 1); u2

Giải. Lập ma trận A
Ta có det A

(1,1, 1); u3

2 1
1 1

1
1 .

3 2

2

(3,2, 2)}.

0 nên hệ {u1, u2, u3} là phụ thuộc tuyến tính.