100 bài tập hình học lớp 9

Lời nói đầu:
Trong quá trình ôn thi tốt nghiệp cho học sinh lớp 9,chúng ta đều nhận
thấy học sinh rất ngại chứng minh hình học. Cũng do học sinh còn yếu
kiến thức bộ môn.Hơn nữa giáo viên thường rất bí bài tập nhằm rèn
luyện các kỹ năng, đặc biệt là luyện thi tốt nghiệp.Đồng thời do học
sinh chúng ta là học sinh có hoàn cảnh gia đình còn nghèo vì vậy học
sinh yếu kỹ năng vận dụng nếu chúng ta chỉ chữa một vài bài tập mà
thôi.
Do để học sinh có thể chủ động trong quá trình làm bài,các bài tập
trong tài liệu này chỉ có tính cất gợi ý phương án chứng minh chứ
chưa phải là bài giải hoàn hảo nhất.
Bên cạnh đó để có bài tập riêng của từng giáo viên,người giáo viên cần
biết biến đổi bài tập trong tài liệu này sao cho phù hợp với đối tượng
học sinh.
Tài liệu được sưu tầm trong các sách và đã được thống kê trong phần
phụ lục.Cấm việc in sao,sao chép dưới bất kỳ hình thức nào mà không
có sự nhất trí của tác giả.
Dù có nhiều cố gắng song tài liệu chắc chắn kông thể không có sai
soat.Mong được sự góp ý của bạn đọc.Thư về:

MỘT TRĂM BÀI TẬP
HÌNH HỌC LỚP 9.

Phần 1: 50 bài tập cơ bản.

0

1


Bài 1: Cho ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N.
1. Chứng minh:BEDC nội tiếp.
2. Chứng minh: góc DEA=ACB.
3. Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
4. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là
phân giác của góc MAN.
5. Chứng tỏ: AM2=AE.AB.
Giợi ý:

y
A
x
N
E

D
O

M
B

C
Hình 1

Ta phải c/m xy//DE.

1.C/m BEDC nội tiếp:
C/m góc BEC=BDE=1v. Hia
điểm D và E cùng làm với hai
đầu đoạn thẳng BC một góc

vuông.
2.C/m góc DEA=ACB.
Do BECD ntDMB+DCB=2v.
Mà DEB+AED=2v
AED=ACB
3.Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là
đường thẳng xy (Hình 1)

D
I
A

M

O

B

E
Hình 2

1
2

Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ góc xAB= sđ cung AB.
1
2

Mà sđ ACB= sđ AB. góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt)
xAB=AED hay xy//DE.

4.C/m OA là phân giác của góc MAN.
Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN.OA là đường trung trực của
MN.(Đường kính vuông góc với một dây)AMN cân ở A AO là phân
giác của góc MAN.
5.C/m :AM2=AE.AB.
Do AMN cân ở A AM=AN cung AM=cung AN.góc MBA=AMN(Góc
nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);góc MAB chung
MAE ∽ BAM

Bài 2:
Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’,
đường kính BC.Gọi M là trung điểm của đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vuông
góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I.
1.Tứ giác ADBE là hình gì?
2.C/m DMBI nội tiếp.
3.C/m B;I;C thẳng hàng và MI=MD.
4.C/m MC.DB=MI.DC
5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
Gợi ý:

MA AE
 MA2=AE.AB.

AB MA



2

O’

C

1.Do MA=MB và ABDE
tại M nên ta có DM=ME.
ADBE là hình bình hành.
Mà BD=BE(AB là đường
trung trực của DE) vậy
ADBE ;là hình thoi.
2.C/m DMBI nội tiếp.
BC là đường kính,I(O’) nên
Góc BID=1v.Mà góc
DMB=1v(gt)
BID+DMB=2vđpcm.

3.C/m B;I;E thẳng hàng.
Do AEBD là hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn)BEDC; CMDE(gt).Do góc BIC=1v BIDC.Qua 1 điểm B có hai
đường thẳng BI và BE cùng vuông góc với DC B;I;E thẳng hàng.
C/m MI=MD: Do M là trung điểm DE; EID vuông ở IMI là đường trung
tuyến của tam giác vuông DEI MI=MD.
4. C/m MC.DB=MI.DC.
hãy chứng minh MCI∽ DCB (góc C chung;BDI=IMB cùng chắn cung MI do
DMBI nội tiếp)
5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
-Ta có O’IC Cân góc O’IC=O’CI. MBID nội tiếp MIB=MDB (cùng chắn
cung MB) BDE cân ở B góc MDB=MEB .Do MECI nội tiếp góc
MEB=MCI (cùng chắn cung MI)
Từ đó suy ra góc O’IC=MIB MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v
Vậy MI O’I tại I nằm trên đường tròn (O’) MI là tiếp tuyến của (O’).

3


Bài 4:
Cho ABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM>MC.Dựng
đường tròn tâm O đường kính MC;đường tròn này cắt BC tại E.Đường thẳng BM
cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S.
1. C/m ADCB nội tiếp.
2. C/m ME là phân giác của góc AED.
3. C/m: Góc ASM=ACD.
4. Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED.
5. C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy.
Gợi ý:


Bài 3:
Cho ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M sao cho AMtròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại
S.
1. C/m BADC nội tiếp.
2. BC cắt (O) ở E.Cmr:MR là phân giác của góc AED.
3. C/m CA là phân giác của góc BCS.
Gợi ý:

D
A

S

M
O

B

E

C

Hình 3

1.C/m ABCD nội tiếp:
C/m A và D cùng làm
với hai đầu đoạn thẳng
BC một góc vuông..
2.C/m ME là phân giác
của góc AED.
Hãy c/m AMEB nội
tiếp.
Góc ABM=AEM( cùng
chắn cung AM)
Góc ABM=ACD( Cùng
chắn cung MD)
Góc ACD=DME( Cùng
chắn cung MD)

A

S

B



E

C

Hình 4

ABD=ACD (Cùng chắn cung AD)
Do MECD nội tiếp nên MCD=MED (Cùng chắn cung MD)
Do MC là đường kính;E(O)Góc MEC=1vMEB=1v ABEM nội
tiếpGóc MEA=ABD. Góc MEA=MEDđpcm
3.C/m góc ASM=ACD.
Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngoài tam giác SMD)
Mà góc SMD=SCD(Cùng chắn cung SD) và Góc SDM=SCM(Cùng chắn cung
SM)SMD+SDM=SCD+SCM=MCD.
Vậy Góc A SM=ACD.
4.C/m ME là phân giác của góc AED (Chứng minh như câu 2 bài 2)
5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy.
Gọi giao điểm AB;CD là K.Ta chứng minh 3 điểm K;M;E thẳng hàng.
Do CAAB(gt);BDDC(cmt) và AC cắt BD ở MM là trực tâm của tam giác
KBCKM là đường cao thứ 3 nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳng
hàng đpcm.

AEM=MED.
4.C/m CA là phân giác của góc BCS.
-Góc ACB=ADB (Cùng chắn cung AB)
-Góc ADB=DMS+DSM (góc ngoài tam giác MDS)

-Mà góc DSM=DCM(Cùng chắn cung MD)
DMS=DCS(Cùng chắn cung DS)
Góc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA.
Vậy góc ADB=SCAđpcm.



D

M

1.C/m ADCB nội tiếp:
Hãy chứng minh:
Góc MDC=BDC=1v
Từ đó suy ra A vad D
cùng làm với hai đầu
đoạn thẳng BC một góc
vuông…
2.C/m ME là phân giác
của góc AED.
Do ABCD nội tiếp
nên





4

5

Bài 5:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và ABO.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông
góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’.
1. C/m AEDB nội tiếp.
2. C/m DB.A’A=AD.A’C
3. C/m:DEAC.
4. Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF.
Gợi ý:
A

Bài 6:
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi M là một
điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc
kẻ từ M đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE.
1/C/m MFEC nội tiếp.
2/C/m BM.EF=BA.EM
3/C/M AMP∽FMQ.
4/C/m góc PQM=90o.
Giải:
A
M
1/C/m MFEC nội tiếp:
(Sử dụng hai điểm E;F cung
làm với hai đầu đoạn thẳng
CM…)
2/C/m BM.EF=BA.EM
C/m:EFM∽ABM:

F
N

E
O

P

I
Hình 5

B

D

M

B

C

E

C

Ta có góc ABM=ACM (Vì
cùng chắn cung AM)

F

Hình 6

A’
1/C/m AEDB nội tiếp.(Sử dụng hai điểm D;E cùng làm với hai đầu đoạn
AB…)
2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chứng minh được hai tam giác vuông DBA và
A’CA đồng dạng.
3/ C/m DEAC.
Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc
BAE=BCA’(cùng chắn cung BA’) suy ra góc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Mà
góc ACA’=1v nên DEAC.
4/C/m MD=ME=MF.
Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
ABDE. Do M;N là trung điểm BC và AB MN//AC(Tính chất đường trung bình)
Do DEAC MNDE (Đường kính đi qua trung điểm một dây…)MN là đường
trung trực của DE ME=MD.
 Gọi I là trung điểm AC.MI//AB(tính chất đường trung bình)
A’BC=A’AC (Cùng chắn cung A’C).
Do ADFC nội tiếp Góc FAC=FDC(Cùng chắn cung FC) Góc A’BC=FDC hay
DF//BA’ Mà ABA’=1vMIDF.Đường kính MIdây cung DFMI là đường
trung trực của DFMD=MF.
Vậy MD=ME=MF.

Do MFEC nội tiếp nên góc ACM=FEM(Cùng chắn cung FM).
Góc ABM=FEM.(1)
Ta lại có góc AMB=ACB(Cùng chắn cung AB).Do MFEC nội tiếp nên góc
FME=FCM(Cùng chắn cung FE).Góc AMB=FME.(2)
Từ (1)và(2) suy ra :EFM∽ABM đpcm.
3/C/m AMP∽FMQ.

Ta có EFM∽ABM (theo c/m trên)


AB AM
m AM=2AP;FE=2FQ (gt)

FE MF

2 AP AM
AP AM
và góc PAM=MFQ (suy ra từ EFM∽ABM)



2 FQ MF
FQ FM

Vậy: AMP∽FMQ.
4/C/m góc:PQM=90o.
Do góc AMP=FMQ PMQ=AMF PQM∽AFM góc MQP=AFM Mà góc
AFM=1vMQP=1v(đpcm).





6

7

Bài 7:
Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D
sao cho AB=AD.Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp
tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G.
1. C/m BGDC nội tiếp.Xác đònh tâm I của đường tròn này.
2. C/m BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD.
3. C/m GEFB nội tiếp.
4. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp
BCD.Có nhận xét gì về I và F

A

B

O

C

F I
D

G

E

Hình 7

Bài 8:
Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn

cắt nhau tại D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn
ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC).
1. C/m BDCO nội tiếp.
2. C/m: DC2=DE.DF.
3. C/m:DOIC nội tiếp.
4. Chứng tỏ I là trung điểm FE.

1/C/m BGEC nội tiếp:
-Sử dụng tổng hai góc đối…
-I là trung điểm GC.
2/C/mBFC vuông cân:
Góc BCF=FBA(Cùng chắn
cung BF) mà góc FBA=45o
(tính chất hình vuông)
Góc BCF=45o.
Góc BFC=1v(góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn)đpcm.
C/m F là tâm đường tròn
ngoại tiếp BDC.ta C/m F
cách đều các đỉnh B;C;D
Do BFC vuông cân nên
BC=FC.

A
F
O

Do BFC vuông cân ở F Cung BF=FC=90 .

C

1
2

SđgócECD= sđ cung EC(Góc giữa

E

tiếp tuyến và một dây)
1
2

Sđ góc E FC= sđ cung EC(Góc nội
D
Hình 8

tiếp)góc ECD=DFC.
DCE ∽DFCđpcm.
3/C/m DOIC nội tiếp:

1
2

Ta có: sđgóc BAC= sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)

Xét hai tam giác FEB và FED có:E F chung;
Góc BE F=FED =45o;BE=ED(hai cạnh của hình vuông ABED).BFE=E FD
BF=FDBF=FC=FD.đpcm.
3/C/m GE FB nội tiếp:
o

I

B

1/C/m:BDCO nội tiếp(Dùng tổng hai
góc đối)
2/C/m:DC2=DE.DF.
Xét hai tam giác:DEC và DCF có góc
D chung.

Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc ở tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt
nhau);OD chungBOD=CODGóc BOD=COD
1
2

2sđ gócDOC=sđ cung BC sđgóc DOC= sđcungBC (2)

1
sđgóc GBF= Sđ cung
2

Từ (1)và (2)Góc DOC=BAC.
Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đồng vò) Góc DOC=DIC Hai điểm O và I cùng
làm với hai đầu đoạn thẳng Dc những góc bằng nhau…đpcm
4/Chứng tỏ I là trung điểm EF:
Do DOIC nội tiếp  góc OID=OCD(cùng chắn cung OD)
Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)Góc OID=1v hay OIID OIFE.Bán
kính OI vuông góc với dây cung EFI là trung điểmEF.

1
BF= .90o=45o.(Góc giữa tiếp tuyến BG và dây BF)
2

Mà góc FED=45o(tính chất hình vuông)Góc FED=GBF=45o.ta lại có góc
FED+FEG=2vGóc GBF+FEG=2v GEFB nội tiếp.
4/ C/m C;F;G thẳng hàng:Do GEFB nội tiếp Góc BFG=BEG mà
BEG=1vBFG=1v.Do BFG vuông cân ở FGóc BFC=1v.Góc
BFG+CFB=2vG;F;C thẳng hàng.
C/m G cũng nằm trên… :Do
GBC=GDC=1vtâm đường tròn ngt tứ giác BGDC là FG nằn trên đường tròn
ngoại tiếp BCD. Dễ dàng c/m được I F.

8

9




Bài 9:
Cho (O),dây cung AB.Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(MA và MB),kẻ
dây cung MN vuông góc với AB tại H.Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN.
1. C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường tròn.
2. C/m:NQ.NA=NH.NM
3. C/m Mn là phân giác của góc BMQ.
4. Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác đònh vò trí của M trên cung
AB để MQ.AN+MP.BN có giác trò lớn nhất.
Giải:Có 2 hình vẽ,cách c/m tương tự.Sau đây chỉ C/m trên hình 9-a.
Hình 9a

Hình 9b

M
A

I
Q

H

P
B

O

N
1/ C/m:A,Q,H,M cùng nằm trên một đường tròn.(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng một
trong các phương pháp sau:-Cùng làm với hai đàu …một góc vuông.
-Tổng hai góc đối.
2/C/m: NQ.NA=NH.NM.
Xét hai vuông NQM và NAH đồng dạng.
3/C/m MN là phân giác của góc BMQ. Có hai cách:
 Cách 1:Gọi giao điểm MQ và AB là I.C/m tam giác MIB cân ở M
 Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụ với góc ANH)
Góc NAH=NMB(Cùng chắn cung NB)đpcm
4/ xác đònh vò trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trò lớn nhất.
Ta có
2SMAN=MQ.AN
2SMBN=MP.BN.

2SMAN + 2SMBN = MQ.AN+MP.BN
Ta lại có: 2SMAN + 2SMBN =2(SMAN + SMBN)=2SAMBN=2.

AB  MN
=AB.MN
2

Vậy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN
Mà AB không đổi nên tích AB.MN lớn nhất MN lớn nhấtMN là đường kính

10

11


M là điểm chính giữa cung AB.
Bài 10:
Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R> r) .Dựng tiếp tuyến chung
ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đư ờng tròn tâm (I).Tiếp
tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E.
1/ Chứng minh tam giác ABC vuông ở A.
2/ O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F .Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên
một đường tròn .
3/ Chứng tỏ : BC2= 4 Rr
4/ Tính diện tích tứ giác BCIO theo R;r
Giải:

B

1/C/m ABC vuông:

Do BE và AE là hai
tiếp tuyến cắt nhau
nênAE=BE; Tương tự
AE=ECAE=EB=EC=

E
C

N
O

F
A

Hình 10

I

1
BC.ABC vuông ở
2

A.
2/C/m A;E;N;F cùng
nằm trên…
-Theo tính chất hai tiếp
tuyến cắt nhau thì EO
là phân giác của tam
giác cân

BC 2
BC
 RrBC2=Rr
và OA=R;AI=r
4
2

4/SBCIO=? Ta có BCIO là hình thang vuông SBCIO=
S=

1/C/m OMHI nội tiếp:
Sử dụng tổng hai góc đối.
2/Tính góc OMI
Do OBAI;AHAB(gt) và OBAH=M
Nên M là trực tâm của tam giác ABI
IM là đường cao thứ 3 IMAB
góc OIM=ABO(Góc có cạnh tương ứng
vuông góc)

A

O

M

B
H

K
I

AEBEO là đường trung trực của AB hay OEAB hay góc ENA=1v
Tương tự góc EFA=2vtổng hai góc đối……4 điểm…
3/C/m BC2=4Rr.
Ta có tứ giác FANE có 3 góc vuông(Cmt)FANE là hình vuôngOEI vuông ở
E và EAOI(Tính chất tiếp tuyến).p dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
có: AH2=OA.AI(Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu)
Mà AH=


Bài 11:
Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một
đường thẳng qua A cắt OB tại M(M nằm trên đoạn OB).Từ B hạ đường vuông góc
với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I.
1. C/m OMHI nội tiếp.
2. Tính góc OMI.
3. Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K.C/m OK=KH
4. Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB.
Giải:

OB  IC
 BC
2

Hình 11

Cùng chắn cung OH)OHK=HAB+HAO=OAB=45o.
OKH vuông cân ở KOH=KH
4/Tập hợp các điểm K…
Do OKKB OKB=1v;OB không đổi khi M di động K nằm trên đường tròn

đường kính OB.
Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K là điểm chính giữa cung AB.Vậy quỹ tích điểm
K là

(r  R) rR
2

Mà  vuông OAB có OA=OB
OAB vuông cân ở O góc
OBA=45ogóc OMI=45o
3/C/m OK=KH
Ta có OHK=HOB+HBO
(Góc ngoài OHB)
Do AOHB nội tiếp(Vì góc
AOB=AHB=1v) Góc
HOB=HAB (Cùng chắn cung
HB) và OBH=OAH(Cùng chắn

1
đường tròn đường kính OB.
4



12

13


Bài 12:

Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F.Trên cung BC
lấy điểm M.Nối A với M cắt CD tại E.
1. C/m AM là phân giác của góc CMD.
2. C/m EFBM nội tiếp.
3. Chứng tỏ:AC2=AE.AM
4. Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I.C/m NI//CD
5. Chứng minh N là tâm đường trèon nội tiếp CIM
Giải:

C
N
A F

O

B

I
D

M

Bài 13:
Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn.Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát
tuyến ADE.Gọi H là trung điểm DE.
1. C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường tròn.
2. C/m HA là phân giác của góc BHC.
3. Gọi I là giao điểm của BC và DE.C/m AB2=AI.AH.
4. BH cắt (O) ở K.C/m AE//CK.

Hình 13

1/C/m AM là phân giác của góc CMD
Do ABCD AB là phân giác của
tam giác cân COD. COA=AOD.
Các góc ở tâm AOC và AOD bằng
nhau nên các cung bò chắn bằng nhau
cung AC=ADcác góc nội tiếp
chắn các cung này bằng nhau.Vậy
CMA=AMD.
2/C/m EFBM nội tiếp.
Ta có AMB=1v(Góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn)
EFB=1v(Do ABEF)

B
E

H
I

D

O

AMB+EFB=2vđpcm.
3/C/m AC2=AE.AM
C/m hai ACE∽AMC (A chung;góc ACD=AMD cùng chắn cung AD và
AMD=CMA cmt ACE=AMC)…
4/C/m NI//CD. Do cung AC=AD CBA=AMD(Góc nội tiếp chắn các cung bằng

nhau) hay NMI=NBIM và B cùng làm với hai đầu đoạn thẳng NI những góc
bằng nhauMNIB nội tiếpNMB+NIM=2v. mà NMB=1v(cmt)NIB=1v hay
NIAB.Mà CDAB(gt) NI//CD.
5/Chứng tỏ N là tâm đường tròn nội tiếp ICM.
Ta phải C/m N là giao điểm 3 đường phân giác của CIM.
 Theo c/m ta có MN là phân giác của CMI
 Do MNIB nội tiếp(cmt) NIM=NBM(cùng chắn cung MN)
Góc MBC=MAC(cùng chắn cung CM)
Ta lại có CAN=1v(góc nội tiếpACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)ACNI nội
tiếpCAN=CIN(cùng chắn cung CN)CIN=NIMIN là phân giác CIM
Vậy N là tâm đường tròn……

14

A

K
C
1/C/m:A;B;O;C;H cùng nằm trên một đường tròn: H là trung điểm
EBOHED(đường kính đi qua trung điểm của dây …)AHO=1v. Mà
OBA=OCA=1v (Tính chất tiếp tuyến) A;B;O;H;C cùng nằm trên đường tròn
đường kính OA.
2/C/m HA là phân giác của góc BHC.
Do AB;AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau BAO=OAC và AB=AC
cung AB=AC(hai dây băøng nhau của đường tròn đkOA) mà BHA=BOA(Cùng
chắn cung AB) và COA=CHA(cùng chắn cung AC) mà cung AB=AC
COA=BOH CHA=AHBđpcm.
3/Xét hai tam giác ABH và AIB (có A chung và CBA=BHA hai góc nội tiếp chắn
hai cung bằng nhau) ABH∽AIBđpcm.
4/C/m AE//CK.

1
2

Do góc BHA=BCA(cùng chắn cung AB) và sđ BKC= Sđ cungBC(góc nội tiếp)
1
2

Sđ BCA= sđ cung BC(góc giữa tt và 1 dây)
BHA=BKCCK//AB


15



Bài 14:
Cho (O) đường kính AB=2R;xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường
kính bất kỳ.Gọi giao điểm của AC;AD với xy theo thứ tự là M;N.
1. Cmr:MCDN nội tiếp.
2. Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm
MN.Cmr:AOIH là hình bình hành.
4. Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường
nào?

M
C
A

O

B

K
D
H

N

I

1/ C/m MCDN nội tiếp:
AOC cân ở OOCA=CAO; góc
CAO=ANB(cùng phụ với góc
AMB)góc ACD=ANM.
Mà góc ACD+DCM=2v
DCM+DNM=2v DCMB nội
tiếp.
2/C/m: AC.AM=AD.AN
Hãy c/m ACD∽ANM.
3/C/m AOIH là hình bình hành.
 Xác đònh I:I là tâm đường
tròn ngoại tiếp tứ giác
MCDNI là giao điểm
dường trung trực của CD và

Hình 14

MNIHMN là IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH. Vậy cách dựng I:Từ O
dựng đường vuông góc với CD.Từ trung điểm H của MN dựng đường vuông góc

với MN.Hai đường này cách nhau ở I.
Do H là trung điểm MNAhlà trung tuyến của vuông
AMNANM=NAH.Mà ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD.
Gọi K là giao điểm AH và DO do ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v hay AKD
vuông ở KAHCD mà OICDOI//AH vậy AHIO là hình bình hành.
4/Quỹ tích điểm I:
Do AOIH là hình bình hành IH=AO=R không đổiCD quay xung quanh O thì I
nằm trên đường thẳng // với xy và cách xy một khoảng bằng R

16

17


Bài 15:

Bài 16:

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ
BC.Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các cạnh AB;BC;AC.Gọi H là hình chiếu của
D lên tiếp tuyến Ax của (O).
1. C/m AHED nội tiếp
2. Gọi giao điểm của AH với HB và với (O) là P và Q;ED cắt (O) tại M.C/m
HA.DP=PA.DE
3. C/m:QM=AB
4. C/m DE.DG=DF.DH
5. C/m:E;F;G thẳng hàng.(đường thẳng Sim sơn)

A
H

Q
P

O
G

B

F

E
M D
Hình 15

C

Cho tam giác ABC có A=1v;ABIKBC(K nằm trên BC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA=AK.
1. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O.
2. C/m góc BMC=2ACB
3. Chứng tỏ BC2=2AC.KC
4. AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N.Chứng minh AC=BN
5. C/m: NMIC nội tiếp.

1/C/m AHED nội tiếp(Sử dụng hai
điểm H;E cùng làm hành với hai
đầu đoạn thẳng AD…)
2/C/m HA.DP=PA.DE
Xét hai tam giác vuông đồng dạng:

HAP và EPD (Có HPA=EPD đđ)
3/C/m QM=AB:
Do HPA∽EDPHAB=HDM

N

M
A
K
B

1
2

Mà sđHAB= sđ cung AB;

I

C

Hình 16

1
2

SđHDM= sđ cung QM cung
AM=QMAB=QM

4/C/m: DE.DG=DF.DH .
Xét hai tam giác DEH và DFG có:

Do EHAD nội tiếp HAE=HDE(cùng chắn cung HE)(1)
Và EHD=EAD(cùng chắn cung ED)(2)
Vì F=G=90oDFGC nội tiếpFDG=FCG(cùng chắn cung FG)(3)
FGD=FCD(cùng chắn cung FD)(4)
Nhưng FCG=BCA=HAB(5).Từ (1)(3)(5)EDH=FDG(6).
Từ (2);(4) và BCD=BAD(cùng chắn cungBD)EHD=FGD(7)
ED DH

Từ (6)và (7)EDH∽FDG
đpcm.
DF DG
5/C/m: E;F;G thẳng hàng:
Ta có BFE=BDE(cmt)và GFC=CDG(cmt)
Do ABCD nội tiếpBAC+BMC=2v;do GDEA nội tiếpEDG+EAG=2v. EDG=BDC
mà EDG=EDB+BDG và BCD=BDG+CDGEDB=CDG GFC=BEFE;F;G thẳng
hàng.



1/C/m ABIK nội tiếp
(tự C/m)
2/C/m BMC=2ACB
do ABMK và
MA=AK(gt)BMK
cân ở BBMA=AKB
Mà AKB=KBC+KCB
(Góc ngoài tam giac
KBC).
Do I là trung điểm BC
và KIBC(gt)

KBC cân ở K

KBC=KCB Vậy BMC=2ACB
3/C/m BC2=2AC.KC
Xét 2  vuông ACB và ICK có C chungACB∽ICK


AC CB
BC
AC BC
IC=

đpcm


BC CK
IC CK
2
2

4/C/m AC=BN
Do AIB=IAC+ICA(góc ngoài IAC) và IAC Cân ở IIAC=ICA
AIB=2IAC(1). Ta lại có BKM=BMK và BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác
AKIB nội tiếp)
AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN(góc ngoài tam giác MNA) Do MNA
cân ở M(gt)MAN=MNABMK=2MNA(3)
Từ (1);(2);(3)IAC=MNA và MAN=IAC(đ đ)…
5/C/m NMIC nội tiếp:
do MNA=ACI hay MNI=MCI hai điểm N;C cùng làm thành với hai đầu…)





18

19


Bài 17:
Cho (O) đường kính AB cố đònh,điểm C di động trên nửa đường tròn.Tia
phân giác của ACB cắt (O) tai M.Gọi H;K là hình chiếu của M lên AC và AB.
1. C/m:MOBK nội tiếp.
2. Tứ giác CKMH là hình vuông.
3. C/m H;O;K thẳng hàng.
4. Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy
trên đường nào?

C
H
A

O

B
I
Q

P

K

M
Hình 17

1/C/m:BOMK nội tiếp:
Ta có BCA=1v(góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn)
CM là tia phân giác của góc
BCAACM=MCB=45o.
cungAM=MB=90o.
dây AM=MB có O là trung
điểm AB OMAB hay
gócBOM=BKM=1v
BOMK nội tiếp.

Bài 18:
Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB=2a,chiều rộng BC=a.Kẻ tia phân giác của
góc ACD,từ A hạ AH vuông góc với đường phân giác nói trên.
1/Chứng minhAHDC nt trong đường tròn tâm O mà ta phải đònh rõ tâm và bán
kính theo a.
2/HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N.Chứng tỏ HB=HC. Và
AB.AC=BH.BI
3/Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O)
4/Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở
J.Chứng minh HOKD nt.

x A

B

M

H

I

O
N

J

K

D

2/C/m CHMK là hình vuông:
Do  vuông HCM có 1 góc bằng 45o nên CHM vuông cân ở H HC=HM, tương
tự CK=MK Do C=H=K=1v CHMK là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
CHMK là hình vuông.
3/C/m H,O,K thẳng hàng:
Gọi I là giao điểm HK và MC;do MHCK là hình vuôngHKMC tại trung điểm
I của MC.Do I là trung điểm MCOIMC(đường kính đi qua trung điểm một
dây…)
Vậy HIMC;OIMC và KIMCH;O;I thẳng hàng.
4/Do góc OIM=1v;OM cố đònhI nằm trên đường tròn đường kính OM.
-Giới hạn:Khi CB thì IQ;Khi CA thì IP.Vậy khi C di động trên nửa đường
tròn (O) thì I chạy trên cung tròn PHQ của đường tròn đường kính OM.



C

Xét hai HCAABI có A=H=1v và ABH=ACH(cùng chắn cung AH)
HC AC
mà HB=HCđpcm

AB
BI
3/Gọi tiếp tuyến tại H của (O) là Hx.
DoAH=HD;AO=HO=DOAHO=HODAOH=HOD màAOD cân ở
OOHAD và OHHx(tính chất tiếp tuyến) nên AD//Hx(1)
Do cung AH=HD ABH=ACH=HBDHBD=ACH hay MBN=MCN hay 2 điểm
B;C cùng làm với hai đầu đoạn MN những góc bằng nhau MNCB nội
tiếpNMC=NBC(cùng chắn cung NC) mà DBC=DAC (cùng chắn cung DC)
NMC=DAC MN//DA(2).Từ (1)và (2)MN//Hx.
4/C/m HOKD nội tiếp:
AD
Do DJ//BHHBD=BDJ (so le)cung BJ=HD=AH=
mà cung AD=BCcung
2
BJ=JCH;O;J thẳng hàng tức HJ là đường kính HDJ= 1v .Góc HJD=ACH(cùng chắn
2 cung bằng nhau)OJK=OCKCJ cùng làm với hai đầu đoạn OK những góc bằng
 HCA∽ABI 

nhauOKCJ nội tiếp KOC=KJC (cùng chắn cung KC);KJC=DAC(cùng chắn
cung DC)KOC=DACOK//AD mà ADHJOKHOHDKC nội tiếp.







20

21


Bài 20:

Bài 19:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,bán kính OCAB.Gọi M là 1 điểm
trên cung BC.Kẻ đường cao CH của tam giác ACM.
1. Chứng minh AOHC nội tiếp.
2. Chứng tỏ CHM vuông cân và OH là phân giác của góc COM.
3. Gọi giao điểm của OH với BC là I.MI cắt (O) tại D.Cmr:CDBM là hình
thang cân.
4. BM cắt OH tại N.Chứng minh BNI và AMC đồng dạng,từ đó suy ra:
BN.MC=IN.MA.

C

N

D
I

M

H

A

O
Hình 19

B

Cho  đều ABC nội tiếp trong (O;R).Trên cnạh AB và AC lấy hai điểm M;N sao
cho BM=AN.
1. Chứng tỏ OMN cân.
2. C/m :OMAN nội tiếp.
3. BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E.C/m BC2+DC2=3R2.
4. Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F.Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I;AO
kéo dài cắt BC tại J.C/m BI đi qua trung điểm của AJ.
F

1/C/m AOHC nội tiếp:
(học sinh tự chứng
minh)
2/C/mCHM vuông
cân:
Do OCAB trại trung
điểm OCung
AC=CB=90o.
Ta lại có:

A

I

E

M

D
K

B

1
Sđ CMA= sđcung AC=45o.CHM vuông cân ở M.
2

C/m OH là phân giác của góc COM:Do CHM vuông cân ở HCH=HM;
CO=OB(bán kính);OH chungCHO=HOMCOH=HOMđpcm.
3/C/m:CDBM là thang cân:
Do OCM cân ở O có OH là phân giácOH là đường trung trực của CM mà
IOHICM cân ở IICM=IMC mà ICM=MDB(cùng chắn cung BM)
IMC=IDB hay CM//DB.Do IDB cân ở IIDB=IBD và MBC=MDC(cùng
chắn cungCM) nên CDB=MBDCDBM là thang cân.
4/C/m BNI và AMC đồng dạng:
Do OH là đường trung trực của CM và NOH CN=NM.
Do AMB=1vHMB=1v hay NMAM mà CHAMCH//NM,có góc
CMH=45oNHM=45oMNH vuông cân ở M vậy CHMN là hình vuông
INB=CMA=45o.
Do CMBD là thang cânCD=BM cungCD=BM mà cung
AC=CBcungAD=CM…
và CAM=CBM(cùng chắn cung CM)
INB=CMA đpcm

O

Hình 20

N

J

1/C/m OMN cân:
Do ABC là tam giác đều nội tiếp trong
(O)AO và BO là phân giác của ABC
OAN=OBM=30o; OA=OB=R và
BM=AN(gt)OMB=ONA
OM=ON OMN cân ở O.
2/C/m OMAN nội tiếp:
do OBM=ONA(cmt)BMO=ANO
mà BMO+AMO=2vANO+AMO=2v.
AMON nội tiếp.
3/C/m BC2+DC2=3R2.
Do BO là phân giác của đều BOAC hay
BOD vuông ở D.p dụng hệ thức Pitago ta
C
có:
2
BC =DB2+CD2=(BO+OD)2+CD2=
=BO2+2.OB.OD+OD2+CD2.(1)
Mà OB=R.AOC cân ở O có OAC=30o.

AOC=120oAOE=60o AOE là tam giác đều có ADOEOD=ED=

R
2

p dụng Pitago ta có:OD2=OC2-CD2=R2-CD2.(2)
R
Từ (1)và (2)BC2=R2+2.R. +CD2-CD2=3R2.
2
4/Gọi K là giao điểm của BI với AJ.
Ta có BCE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)có B=60oBFC=30o.
1
BC= BF mà AB=BC=AB=AF.Do AOAI(t/c tt) và AJBCAI//BC có A là trung
2
điểm BFI là trung điểm CF. Hay FI=IC.
AK BK

Do AK//FI.p dụng hệ quả Talét trong BFI có:
AK KJ
EI
BI

FI
CI
KJ BK

Do KJ//CI.p dụng hệ quả Talét trong BIC có:
CJ
BI
Mà FI=CIAK=KJ (đpcm)





22

23


Bài 22:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo
AC.Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt
AB;BC;CD;DA lần lượt ở P;Q;N;M.
1. C/m INCQ là hình vuông.
2. Chứng tỏ NQ//DB.
3. BI kéo dài cắt MN tại E;MP cắt AC tại F.C/m MFIN nội tiếp được trong
đường tròn.Xác đònh tâm.
4. Chứng tỏ MPQN nội tiếp.Tính diện tích của nó theo a.
5. C/m MFIE nội tiếp.

Bài 21:
Cho ABC (A=1v)nội tiếp trong đường tròn tâm (O).Gọi M là trung điểm
cạnh AC.Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D.
1. C/m ABNM nội tiếp và CN.AB=AC.MN.
2. Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I).
3. Tia IO cắt đường thẳng AB tại E.C/m BMOE là hình bình hành.
4. C/m NM là phân giác của góc AND.
1/
C/m ABNM nội tiếp:
(dùng tổng hai góc đối)
C/m CN.AB=AC.MN

Chứng minh hai tam giác vuông
ABC và NMC đồng dạng.
2/C/m B;M;D thẳng hàng. Ta có
MDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn tâm I) hay MD  DC.
BDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn tâm O)

A
M

D
I

B

O

N

C

E
Hình 21

A

M

1/C/m INCQ là hình vuông:

MI//AP//BN(gt)MI=AP=BN
NC=IQ=PD NIC vuông ở N có
ICN=45o(Tính chất đường chéo hình
vuông)NIC vuông cân ở N
INCQ là hình vuông.
2/C/m:NQ//DB:
Do ABCD là hình vuông DBAC
Do IQCN là hình vuông NQIC

D

F
E
P

I

B

N
Q

C

Hình 22

Hay BDDC. Qua điểm D có hai đường thẳng BD và DM cùng vuông góc với
DCB;M;D thẳng hàng.
C/m OM là tiếp tuyến của (I):Ta có MO là đường trung bình của ABC (vì
M;O là trung điểm của AC;BC-gt)MO//AB mà ABAC(gt)MOAC hay

MOIC;M(I)MO là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.
3/C/m BMOE là hình bình hành: MO//AB hay MO//EB.Mà I là trung điểm MC;O
là trung điểm BCOI là đường trung bình của MBCOI//BM hay
OE//BMBMOE là hình bình hành.
4/C/m MN là phân giác của góc AND:
Do ABNM nội tiếp MBA=MNA(cùng chắn cung AM)
MBA=ACD(cùng chắn cung AD)
Do MNCD nội tiếp ACD=MND(cùng chắn cung MD)
ANM=MNDđpcm.





24

Hay NQACNQ//DB.
3/C/m MFIN nội tiếp: Do MPAI(tính chất hình vuông)MFI=1v;MIN=1v(gt)
hai điểm F;I cùng làm với hai đầu đoạn MN…MFIN nội tiếp.
Tâm của đường tròn này là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MFIN.
4/C/m MPQN nội tiếp:
Do NQ//PMMNQP là hình thang có PN=MQMNQP là thang cân.Dễ dàng
C/m thang cân nội tiếp.
1
2

1
2

1

2

1
2

TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ= SAMIP+ SMDNI+ SNIQC+ SPIQB
1
2

1
2

= SABCD= a2.
5/C/m MFIE nội tiếp:
Ta có các tam giác vuông BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v.
PIB=IMN mà PBI=EIN(đ đ)IMN=EIN
Ta lại có IMN+ENI=1vEIN+ENI=1vIEN=1v mà MFI=1vIEM+MFI=2v
FMEI nội tiếp

25






Bài 23:
Cho hình vuông ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC tại F,Vẽ đường tròn
tâm O đường kính BN.(O) cắt AC tại E.BE kéo dài cắt AD ở M;MN cắt (O) tại I.
1. C/m MDNE nội tiếp.

2. Chứng tỏ BEN vuông cân.
3. C/m MF đi qua trực tâm H của BMN.
4. C/m BI=BC và IE F vuông.
5. C/m FIE là tam giác vuông.

Q

B

A
E

M
I

H

D

N
Hình 23

C

1/C/m MDNE nội tiếp.
Ta có NEB=1v(góc nt chắn nửa
đường tròn)
MEN=1v;MDN=1v(t/c hình
vuông)
MEN+MDN=2vđpcm

2/C/m BEN vuông cân:
NEB vuông(cmt)
Do CBNE nội tiếp
ENB=BCE(cùng chắn cung
BE) mà BCE=45o(t/c
hv)ENB=45ođpcm.
3/C/m MF đi qua trực tâm H của
BMN.

*C/mMQBN là thang cân: Tứ giác AMEQ có A+QEN=2v(do ENBM theo cmt) AMEQ nội
tiếpMAE=MQE(cùng chắn cung ME) mà MAE=45o và ENB=45o(cmt) MQN=BNQ=45o
MQ//BN.ta lại có MBI=ENI(cùng chắn cungEN) và MBI=ABM vàIBN=NBC(cmt)
 QBN=ABM+MBN=ABM+45o(vì MBN=45o)MNB=MNE+ENB=MBI+45o
MNB=QBNMQBN là thang cân.

Bài 24:
Cho ABC có 3 góc nhọn(ABlượt vuông góc với AB;AC.Gọi J là giao điểm của AH và MK.
1. C/m AMHK nội tiếp.
2. C/m JA.JH=JK.JM
3. Từ C kẻ tia Cxvới AC và Cx cắt AH kéo dài ở D.Vẽ HI;HN lần lượt
vuông góc với DB và DC. Cmr : HKM=HCN
4. C/m M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.

A

J

M

K
B

H

C

I
Ta có BIN=1v(góc nt chắn nửa đtròn)
BIMN. Mà ENBM(cmt)BI và EN là hai đường cao của BMNGiao điểm của EN và BI
là trực tâm H.Ta phải C/m M;H;F thẳng hàng.
Do H là trực tâm BMNMHBN(1)
MAF=45o(t/c hv);MBF=45o(cmt)MAF=MBF=45oMABF nội tiếp.MAB+MFB=2v mà
MAB=1v(gt)MFB=1v hay MFBM(2)
Từ (1)và (2)M;H;F thẳng hàng.
4/C/m BI=BC: Xét 2vuông BCN và BIN có cạnh huyền BN chung;NBC=NEC (cùng chắn cung
NC).Do MEN=MFN=1vMEFN nội tiếpNEC=FMN(cùng chắn cung FN);FMN=IBN(cùng
phụ với góc INB)IBN=NBCBCN=BIN.BC=BI
*C/m IEF vuông:Ta có EIB=ECB(cùng chắn cung EB) và ECB=45o EIB=45o
Do HIN+HFN=2vIHFN nội tiếpHIF=HNF (cùng chắn cung HF);mà HNF=45o(do EBN
vuông cân)HIF=45o . Từvà EIF=1v đpcm
5/ * C/mBM là đường trung trực của QH:Do AI=BC=AB(gt và cmt)ABI cân ở B.Hai vuông
ABM và BIM có cạnh huyền BM chung;AB=BIABM=BIMABM=MBI;ABI cân ở B có
BM là phân giác BM là đường trung trực của QH.

26

N

D

1/C/m AMHK nội tiếp:
Dùng tổng hai góc đối)
2/C/m: JA.JH=JK.JM
Xét hai tam giác:JAM
và JHK có: AJM=KJH
(đđ).Do AKHM nt
HAM=HKM( cùng
chắn cung HM)
JAM∽JKH
đpcm
3/C/m HKM=HCN
vì AKHM nội tiếp
HKM=HAM(cùng
chắn cung HM)

Hình 24

Mà HAM=MHC (cùng phụ với góc ACH).
Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)MCNH là hình chữ nhật MH//CN hay
MHC=HCNHKM=HCN.
4/C/m: M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.
Do BKHI nội tiếpBKI=BHI(cùng chắn cung BI);BHI=IDH(cùng phụ với góc
IBH)
Do IHND nội tiếpIDH=INH(cùng chắn cung IH)BKI=HNI

27


Do AKHM nội tiếpAKM=AHM(cùng chắn cung AM);AHM=MCH(cùng

phụ với HAM)
Do HMCN nội tiếpMCH=MNH(cùng chắn cung MH)AKM=MNH
mà BKI+AKM+MKI=2vHNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2v M;N;I;K
cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 25:
Cho ABC (A=1v),đường cao AH.Đường tròn tâm H,bán kính HA cắt đường
thẳng AB tại D và cắt AC tại E;Trung tuyến AM của ABC cắt DE tại I.
1. Chứng minh D;H;E thẳng hàng.
2. C/m BDCE nội tiếp.Xác đònh tâm O của đường tròn này.
3. C?m AMDE.
4. C/m AHOM là hình bình hành.

A
E
I

B

H

M

C

D
O
Hình 25

1/C/m D;H;E thẳng hàng:

Do DAE=1v(góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn tâm
H)DE là đường kính
D;E;H thẳng hàng.
2/C/m BDCE nội tiếp:
HAD cân ở H(vì
HD=HA=bán kính của đt
tâm H)HAD=HAD mà
HAD=HCA(Cùng phụ với
HAB)

BDE=BCEHai điểm D;C cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BE…
Xác đònh tâm O:O là giao điểm hai đường trung trực của BE và BC.
3/C/m:AMDE:
Do M là trung điểm BCAM=MC=MB=

BC
MAC=MCA;mà
2

ABE=ACB(cmt)MAC=ADE.
Ta lại có:ADE+AED=1v(vì A=1v)CAM+AED=1vAIE=1v vậy AMED.
4/C/m AHOM là hình bình hành:
Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp BECDOM là đường trung trực của BC
OMBCOM//AH.
Do H là trung điểm DE(DE là đường kính của đường tròn tâm H)OHDE mà
AMDEAM//OHAHOM là hình bình hành.





28

29


Bài 26:
Cho ABC có 2 góc nhọn,đường cao AH.Gọi K là điểm dối xứng của H qua
AB;I là điểm đối xứng của H qua AC.E;F là giao điểm của KI với AB và AC.
1. Chứng minh AICH nội tiếp.
2. C/m AI=AK
3. C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn.
4. C/m CE;BF là các đường cao của ABC.
5. Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của HFE chính là trực tâm của
ABC.

I
A
F

E
M

K

B

H

C

1/C/m AICH nội tiếp:
Do I đx với H qua
ACAC là trung trực
của HIAI=AH và
HC=IC;AC chung
AHC=AIC(ccc)
AHC=AIC mà
AHC=1v(gt)AIC=1v
AIC+AHC=2v
AICH nội tiếp.

Hình 26

2/C/m AI=AK:
Theo chứng minh trên ta có:AI=AH.Do K đx với H qua AB nên AB là đường trung trực
của KHAH=AK AI=AK(=AH)
3/C/m A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn:
DoEABvà ABlà trung trực của KHEK=EH;EA
chung;AH=AKAKE=AHEAKE=EHA màAKI cân ở A(theo c/m trên AK=AI)
AKI=AIK.EHA=AIE hai điểm I và K cung làm với hai đầu đoạn AE…A;E;H;I
cùng nằm trên một đường tròn ký hiệu là (C)
Theo cmt thì A;I;CV;H cùng nằm trên đường tròn(C’)  (C) và (C’) trùng nhau vì có
chung 3 điểm A;H;I không thẳng hàng)
4/C/m:CE;BF là đường cao của ABC.
Do AEHCI cùng nằm trên một đường tròn có AIC=1vAC là đường kính.AEC=1v
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Hay CE là đường cao của ABC.Chứng minh tương
tự ta có BF là đường cao…
5/Gọi M là giao điểmAH và EC.Ta C/m M là giao điểm 3 đường phân giác của HFE.

EBHM nt MHE=MBE(cùng chắn cungEM)
EHM=MHF
BEFC nt FBE=ECF (Cùng chắn cung EF)
HA là pg…
HMFC ntFCM=FMH(cùng chắn cung MF)

30

C/m tương tự có EC là phân giác của FHEđpcm.

Bài 27:
Cho ABC(AB=AC) nội tiếp trong (O).Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ
AC.Trên tia BM lấy MK=MC và trên tia BA lấy AD=AC.
1. C/m: BAC=2BKC
2. C/m BCKD nội tiếp.,xác đònh tâm của đường tròn này.
3. Gọi giao điểm của DC với (O) là I.C/m B;O;I thẳng hàng.
4. C/m DI=BI.
D
1/Chứng tỏ:BAC=BMC
(cùng chắn cung BC)
BMC=MKC+MCK(góc
ngoài MKC)
Mà
A
MK=MC(gt)MKC
cân ở MMKC=MCK
I
K
BMC=2BKC.
BAC=2BKC.

M
2/C/mBCKD nội tiếp:
Ta có
BAC=ADC+ACD(góc
B
C
ngoài ADC) mà

Hình 27

AD=AC(gt)ADC cân ở AADC=ACDBAC=2BDC
Nhưng ta lại có:BAC=2BKC(cmt)BDC=BKC BCKD nội tiếp.
Xác đònh tâm:Do AB=AC=ADA là trung điểm BD trung tuyến
1
CA= BDBCD vuông ở C
2
.Do BCKD nội tiếp DKB=DCB(cùng chắn cungBD).Mà BCD=1vBKD=1vBKD
1
vuông ở K có trung tuyến KAKA= BD AD=AB=AC=AK A là tâm đường tròn…
2
3/C/m B;O;I thẳng hàng:Do góc BCI=1v,mà B;C;I(O) BI là đường kính B;O;I
thẳng hàng.
4/C/mBI=DI:
Cách 1: Ta có BAI=1v(góc nội tiếp chắn nử đường tròn)hay AIDB,có A là trung
điểmAI là đường trung trực của BDIBD cân ở IID=BI

31


Cách 2: ACI=ABI(cùng chắn cung AI)ADC cân ở

DACI=ADIBDC=ACDIDB=IBDBID cân ở Iđpcm.

Bài 28:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I là điểm chính giữa cung AB(Cung
AB không chứa điểm C;D).IC và ID cắt AB ở M;N.
1. C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn.
2. C/m NA.NB=NI.NC
3. DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở
E.C/m:EF//AB.
4. C/m :IA2=IM.ID.

E

F
I

A

1/C/m D;M;N;C cùng nằm trên một
đường tròn.

B

Cho hình vuông ABCD,trên cạnh BC lấy điểm E.Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax
cắt cạnh CD kéo dài tại F.Kẻ trung tuyến AI của AEF,AI kéo dài cắt CD tại K.qua E
dựng đường thẳng song song với AB,cắt AI tại G.
1. C/m AECF nội tiếp.
2. C/m: AF2=KF.CF
3. C/m:EGFK là hình thoi.
4. Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi CKE có giá trò không đổi.

5. Gọi giao điểm của EF với AD là J.C/m:GJJK.

Giải:
F

1
2
1
Sđ NCD= Sđ cungDI
2

Sđ IMB= sđcung(IB+AD)

M N

 O
D

Bài 29:

Mà cung IB=IAIMB=NCD
IMB=NCD.
Ta lại có IMN+DMN=2v
NCD+DMN=2vMNCD nộitiếp.
2/Xét 2NBC và NAI có:

C
Hình 28

IAB=ICB(cùng chắn cung BI)

INA=BNC(đ đ)NAI∽NCBđpcm.
3/C/m EF//AB:
Do IDA=ICB(cùng chắn hai cung hai cung bằng nhau IA=IB) hay EDF=ECF
hai điểm D và C cùng làm với hai đầu đoạn EF…EDCF nội tiếp
 EFD=ECD(cùng chắn cung ED),mà ECD=IMN(cmt) EFD=FMN EF//AB.
4/C/m: IA2=IM.ID.
2 AIM∽DIA vì: I chung;IAM=IDA(hai góc nt chắn hai cung bằng nhau)
đpcm.





32

A

J

D

I

K

G

B

E

1/C/m AECF nội tiếp:
FAE=DCE=1v(gt)
 AECF nội tiếp
2/C/m: AF2=KF.CF.
Do AECF nội tiếp
DCA=FEA(cung chắn cung
AF).Mà DCA=45o
(Tính chất hình vuông)
FEA=45oFAE vuông
cân ở A có FI=IEAIFE
FAK=45o.
FKA=ACF=45o.Và KFA
chung
FKA∽FCA
FA FK

đpcm.

FC FA

C

Hình 29

3/C/m: EGFK là hình thoi. -Do AK là đường trung trực của FEGFE cân ở G
GFE=GEF.Mà GE//CF (cùng vuông góc với AD)GEF=EFK(so le) GFI=IFKFI
là đường trung trực của GKGI=IK,mà I F=IEGFKE là hình thoi.
4/C/m EK=BE+DK: vuông ADF và ABE có AD=AB;AF=AE.(AE F vuông
cân)ADF=ABE BE=DF nà FD+DK=FK VÀ FK=KE(t/v hình thoi)KE=BE+DK

C/m chu vi tam giác CKE không đổi:Gọi chu vi là C= KC+EC+KE =KC+EC+BE +DK
=(KC+DK)+(BE+EC)=2BC không đổi.
5/C/m IJJK:
Do JIK=JDK=1vIJDK nội tiếp JIK=IDK(cùng chắn cung IK) IDK=45o(T/c hình
vuông) JIK=45oJIK vuông vân ở IJI=IK,mà IK=GI

33


JI=IK=GI=

1
GKGJK vuông ở J hay GJJK.
2

Bài 30:
Cho ABC.Gọi H là trực tâm của tam giác.Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I
là giao điểm của HD và BC.
1. C/m:ABDC nội tiếp trong đường tròn tâm O;nêu cáh dựng tâm O.
2. So sánh BAH và OAC.
3. CH cắt OD tại E.C/m AB.AE=AH.AC
4.Gọi giao điểm của AI và OH là G.C/m G là trọng tâm của ABC.

A

M

Q
B

H
N

G

O
C

I
D
Hình 30

OI
GI
OI
1
.Do I là trung điểm HDO là trung điểm AD

 (T/c đường
AH AG
AH 2
OI
GI 1
1
1
trung bình)

 GI= AG. Hay GI= AIG là trọng tâm của
AH AG 2
2

3



1/c/m:ABDC nội tiếp:
Gọi các đường cao của
ABC là AN;BM;CN.
Do
AQH+HMA=2vAQHM
nội tiếpBAC+QHM=2v
mà QHM=BHC(đ đ)
BHC=CDB(2 góc đối của
hình bình hành)
BAC+CDB=2VABDC
nội tiếp.
Cách xác đònh tâm O:do
CD//BH(t/c hình bình hành)

ABC.





Bài 31:
Cho (O0 và cung AB=90o.C là một điểm tuỳ ý trên cung lớn AB.Các đường
cao AI;BK;CJ của ABC cắt nhau ở H.BK cắt (O) ở N;AH cắt (O) tại M.BM và
AN gặp nhau ở D.
1. C/m:B;K;C;J cùng nằm trên một đường tròn.
2. c/m: BI.KC=HI.KB

3. C/m:MN là đường kính của (O)
4. C/m ACBD là hình bình hành.
5. C/m:OC//DH.

N

D


O

A
M

Và BHACCDAC hay ACD=1v,mà A;D;Cè nằm trên đường trònAD là
đường kính.Vậy O là trung điểm AD.
2/So sánh BAH và OAC:
BAN=QCB(cùng phụ với ABC) mà CH//BD( do BHCD là hình bình hành)
QCB=CBD(so le);CBD=DAC(cùng chắn cung CD)BAH=OAC.
3/c/m: AB.AE=AH.AC:
Xét hai tam giác ABH và ACE có EAC=HCB(cmt);ACE=HBA(cùng phụ với
BAC)ABH∽ACEđpcm
4/C/m G là trọng tâm của ABC.ta phải cm G là giao điểm ba đường trung tuyến

K
B
I

C
J

H
Hình 31

Bài này có hai hình vẽ tuỳ
vào vò trí của C.Cách c/m
tương tự
1/C/m B;K;C;J cùng nằm
trên một đường tròn.
-Sử dụng tổng hai góc đốùi.
-Sử dụng hai góc cùng làm
với hai đầu đoạn thẳng một
góc vuông.
2/C/m: BI.KC=HI.KB.
Xét hai tam giác vuông BIH
và BKC có IBH=KBC(đ đ)
đpcm
3/ C/m MN là đường kính
của (O).
Do cung
AB=90o.ACB=ANB=45o
KBC;AKN là những

Tam giác vuông cânKBC=45oIBH=KBC=45oIBH cũng là tam giác vuông
cân.Ta lại có:
AMD=MAB+ABM(góc ngoài tam giác MAB).Mà
1
sđMAB= sđMB
2

1
3

hay GJ= AI.
Do IB=ICOIBC mà AHBCOI//AH.Theo đònh lý Ta Lét trong AGH

34

35


1
SđABM= sđAM và cung MA+AM=AB=90o.AMD=45o và AMD=BMH(đ đ)
2
BMI=45oBIM vuông cânMBI=45oMBH=MBI+IBH=90o hay MBN=1vMN
là đường kính của (O).
5/C/m OH//DH.
Do MN là đường kính MAN=1v(góc nt chắn nửa đtròn) mà CAN =45o.
MAC=45o hay cung MC=90oMNC=45o.Góc ở tâm MOC chắn cung
MC=90oMOC=90oOCMN.
Do DBNH;HADN;AH và DB cắt nhau ở MM là trực tâm của DNH
MNDHOC//DH.





Bài 32:
Cho hình vuông ABCD.Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CNđường tròn tâm O đườn kính BN.(O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt AC tại

E.
1. C/m BFN vuông cân.
2. C/m:MEBA nội tiếp
3. Gọi giao điểm của ME và NF là Q.MN cắt (O) ở P.C/m B;Q;P thẳng
hàng.
4. Chứng tỏ ME//PC và BP=BC.
5. C/m FPE là tam giác vuông

A

B
F

M

O

Q

E

P
D

N

C

1/c/m:BFN vuông cân:
ANB=FCB(cùng chắn

cung FB).Mà FCB=45o
(tính chất hình vuông)
ANB=45o
Mà NFB=1v(góc nt chắn
nửa đường tròn)
BFN vuông cân ở F
2/C/m MEBA Nội tiếp:
DoFBN vuông cân ở F

Từ (1)và(2)B;Q;P thẳng hàng.
4/C/m MF//PC.
Do MFN=MEN=1vMFEN nội tiếpFNM=FEM(cùng chắn cung MF)
Mà FNP=FNM=FCD(cùng chắn cung PF của (O)
FEM=FCPME//CP
C/m:BP=BC:Do ME//CP và MEBNCPBN.Đường kính MN vuông góc với
dây CPBN là đường trung trực của CP hay BCP cân ở BBC=BP.
5/C/m FPE vuông:
Do FPNB nội tiếpFPB=FNB=45o(cmt)
Dễ dàng cm được QENP nội tiếpQPE=QNE=45ođpcm.





Bài 33:
Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB và
CD cắt nhau ở E.BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K.
1. Cm: CB là phân giác của góc ACE.
2. c/m:AQEC nội tiếp.
3. C/m:KA.KC=KB.KD

4. C/m:QE//AD.

Q
E
B
A

K

O

Hình 32

C
D

1/C/m CB là phân giác của góc ACE:
Do ABCD nội tiếp BCD+BAD=2v
Mà BCE+BCD=2VBCE=BAD.
Do AB=AC(gt)BAD cân ở
BBAD=BDA.ta lại có BDA=BCA
(Cùng chắn cung AB)BCE=BCA
đpcm.
2/C/m AQEC nội tiếp:
1
2

Ta có sđ QAB= SđAB(góc giữa tiếp
tuyến và một dây)

o

FME=45 và MAC=45o(tính chất hình vuông)FME=MAC=45o.
MABE nội tiếp.
3/C/m B;Q;P thẳng hàng:
Do MABE ntMAB+NEB=2v;mà MAB=1v(t/c hình vuông)MEB=1v hay
MEBN.Theo cmt NFBMQ là trực tâm của BMNBQMN(1)
Ta lại có BPN=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay BPMN(2).

1
2

Sđ ADB=Sđ AB
Hình 33

QAB=ADB=BCE(cmt) QAE=QCDhai điểm A và C cùng làm với hai đầu
đoạn QE…đpcm
3/C/m: KA.KC=KB.KD.

36

37


Bài 34:
Cho (O) và tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC.Kẻ cát
tuyến BEF với đường tròn.CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N.Dựng hình bình
hành AECD.
1. C/m:D nằm trên đường thẳng BF.
2. C/m ADCF nội tiếp.

3. C/m: CF.CN=CE.CM
4. C/m:MN//AC.
5. Gọi giao điểm của AF với MN là I.Cmr:DF đi qua trung điểm của NI.
C

C/m KAB∽KDC.
4/C/m:QE//AD:
Do AQEC ntQEA=QCA(cùng chắn cung QA) mà QCA=BAD(cmt)
QEA=EADQE//AD.





D
B
E

N
J
O
I

A

F
M

1/C/m:D nằm trên đường thẳng
BF.

Do ADCE là hình bình
hànhDE và AC là hai đường
chéo.Do B là trung điểm của
AC B cũng là trung điểm DE
hay DBE thẳng hàng.Mà B;E;F
thẳng hàng D nằm trên BF.
2/C/m ADCF nội tiếp:
Do ADCf là hình bình hành
DCA=CAE(so le)
1
2

Sđ CAE= Cung AE(góc giữa tt
1
2

và một dây) mà EFA=sđ AE

Hình 34

CAE=EFADFA=DCA
hai điểm F và C cùng làm với 2 đầu đoạn AD…đpcm
3/C/m: CF.CN=CE.CM. ta c/m CEF∽CNM.
4/C/m:MN//AC.
Do ADCF ntDAC=DFC(cùng chắn cung CD).Mà ADCE là hình bình hành
DAC=ACE(so le),ta lại có CFD=NME(cùng chắn cung EN)ACM=CMN
AC//MN.
5/C/m:DF đi qua trung điểm NI:Gọi giao điểm của NI với FE là J
Do NI//AC(vì MN//AB)
NJ//CB,theo hệ quả talét

Tương tự IJ//AB

JE NJ

FB BC
JF
JI

FB AB

JI
NJ

AB BC

M AB=AC(gt)JI=NJ

38

39


Bài 35:
Cho (O;R) và đường kính AB;CD vuông góc với nhau.Gọi M là một điểm trên
cung nhỏ CB.
1. C/m:ACBD là hình vuông.
2. AM cắt CD ;CB lần lượt ở P và I.Gọi J là giao điểm của DM và AB.C/m
IB.IC=IA.IM
3. Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác của góc CJM.
4. Tính diện tích AID theo R.





1/C/m:ACBD là hình vuông:
Vì O là trung điểm của AB;CD nên
ACBD là hình bình hành.
Mà AC=BD(đường kính) và ACDB
(gt)hình bình hành ACBD là hình
vuông.
2/C/m: IB.IC=IA.IM
Xét 2 IAC và IBM có CIA=MIB(đ đ)
IAC=IBM(cùng chắn cung CM)
IAC∽IBMđpcm.
3/C/m IJ//PD.
Do ACBD là hình vuông CBO=45o.
Và cung AC=CB=BD=DA.
AMD=DMB=45o

C
M
P
A

I

O
J

B

D
Hình 35

IMJ=IBJ=45oM và B cùng làm với hai đầu đoạn IJ…MBIJ nội tiếp.
IJB+IMB=2v mà IMB=1v IJB =1v hay IJAB.Mà PDAB(gt) IJ//PD
 C/m IJ là phân giác của góc CMJ:
-Vi IJAB hay AJI=1v và ACI=1v(t/c hình vuông)ACIJ nội tiếp
 IJC=IAC(cùng chắn cung CI) mà IAC=IBM(cùng chắn cungCM)
-Vì MBJI nội tiếp MBI=MJI(cùng chắn cung IM)
 IJC= IJMđpcm.
4/Tính diện tích AID theo R:
Do CB//AD(tính chất hình vuông) có ICB khoảng cách từ đến AD chính bằng
CA.Ta lại có IAD và CAD chung đáy và đường cao bằng nhau.
SIAD=SCAD.Mà SACD= SABCD. SIAD= SABCD.SABCD= AB.CD (diện tích có 2
2
2
2
1

1

1

1
2

đường chéo vuông góc)SABCD= 2R.2R=2R2SIAD=R2.

40

41






Bài 37:
Cho ABC(A=1v).Kẻ AHBC.Gọi O và O’ là tâm đường tròn nội tiếp các
tam giác AHB và AHC.Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC tạ M;N.
1. C/m:  OHO’ là tam giác vuông.
2. C/m:HB.HO’=HA.HO
3. C/m: HOO’∽HBA.
4. C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp.
5. C/m AMN vuông cân.

A

M

B

O

O’

N

H

C

Hình 36

1/C/m:OHO’ vuông:
Do AHB=1v và O là tâm đường
tròn nội tiếp AHBO là giao
điểm ba đường phân giác của tam
giácAHO=OHB=45o.
Tương tự AHO’=O’HC=45o.
O’HO=45o+45o=90o.
hay O’HO vuông ở H.
2/C/m: HB.HO’=HA.HO
Do ABC vuông ở A và
AHBCABH=CAH(cùng phụ
với góc C) mà OB;O’A lần lượt là

Phân giác của hai góc trênOBH=O’AH và OHB=O’HA=45o.
HBO∽HAO’

HB OH

(1) đpcm.
HA O' H

3/c/m HOO’∽HBA.
Từ (1)

HB HO
HO' HO

(Tính chất tỉ lệ thức).Các cặp cạnh HO và HO’


HA HO'
HA HB

của HOO’tỉ lệ với các cặp cạnh của HBA và góc xen giữa BHA=O’HO=1v
HOO’∽HBA.
4/C/m:BMOH nt:Do  HOO’∽HBAO’OH=ABH mà
O’OH+MOH=2vMBH+MOH=2vđpcm.
C/m NCHO’ nội tiếp: HOO’∽HBA(cmt) và hai tam giác vuôngHBA và HAC
có góc nhọn ABH=HAC(cùng phụ với góc ABC) nênHBA∽HAC HOO’
∽HACOO’H=ACH.Mà OO’H=NO’H=2v NCH+NO’H=2v đpcm.
5/C/m AMN vuông cân:Do OMBH ntOMB+OHB=2v mà
AMO+OMB=2vAMO=OHB mà OHB=45oAMO=45o.Do AMN vuông ở A
có AMO=45o.AMN vuông cân ở A.

42

43


Bài 37:
Cho nửa đường tròn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO.Qua I dựng
đường thẳng vuông góc với AB,đường này cắt nửa đường tròn ở K.Trên IK lấy
điểm C,AC cắt (O) tại M;MB cắt đường thẳng IK tại D.Gọi giao điểm của IK với
tiếp tuyến tại M là N.

1. C/m:AIMD nội tiếp.
2. C?m CM.CA=CI.CD.
3. C/m ND=NC.
4. Cb cắt AD tại E.C/m E nằm trên đường tròn (O) và C là tâm đường
tròn nội tiếp EIM.
5. Giả sử C là trung điểm IK.Tính CD theo R.





D

1/C/m AIMD nội tiếp:
Sử dụng hai điểm I;M cùng
làm với hai đầu đoạn AD…
2/c/m: CM.CA=CI.CD.
C/m hai CMD và CAI
đồng dạng.
3/C/m CD=NC:

N
M
K
E
A

1
2

sđNAM= sđ cung AM

C

(góc giữa tt và một dây)
sđMAB=

I

O

B

1
sđ cung AM
2

NAM=MAB

Hình 37

Mà MBA=ACI(cùng phụ với góc CAI);CAI=KCM(đ đ)NCM+NMC NMC
cân ở NNC=NM. Do NMD+NMC=1v NCM+NDM=1v và NCM=NMC
NDM=NMDNMD cân ở NND=NMNC=ND(đpcm)
4/C/m C là tâm đường tròn nội tiếp EMI.Ta phải c/m C là giao điểm 3 đường
phân giác của EMI (xem câu 3 bài 35)
5/Tính CD theo R:
Do KI là trung trực của AOAKO cân ở KKA=KO mà KO=AO(bán kính)
AKO là  đềuKI=

R 3
KI R 3
CI=KC=
=
.p dụng PiTaGo trong tam
2
2
4

giác vuông ACI có:CA= CI 2  AI 2 
giác vuông có góc CAI chung)

44

3R 2 R 2 R 7


CIA∽BMA( hai tam
16
4
4

R R 7
CA IA
AB  AI

MA=
= 2R. :

BA MA

AC
2
4

45


=



4R 7
9R 7
3R 3
MC=AM-AC=
áp dụng hệ thức câu 2CD=
.
7
28
4







Bài 38:
Cho ABC.Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho góc
PBA=PAC.Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống

AB;AC.
1. C/m AHPK nội tiếp.
2. C/m HB.KP=HP.KC.
3. Gọi D;E;F lần lượt là trung điểm của PB;PC;BC.Cmr:HD=EF; DF=EK
4. C/m:đường trung trực của HK đi qua F.

A

H

K
P

D
B

E
F
Hình 38

C

Bài 39:
Cho hình bình hành ABCD(A>90o).Từ C kẻ CE;Cf;CG lần lượt vuông góc với
AD;DB;AB.
1. C/m DEFC nội tiếp.
2. C/m:CF2=EF.GF.
3. Gọi O là giao điểm AC và DB.Kẻ OICD.Cmr: OI đi qua trung điểm của
AG.
4. Chứng tỏ EOFG nội tiếp.

1/C/m AHPK nội tiếp(sử dụng
tổng hai góc đối)
2/C/m: HB.KP=HP.KC
C/m hai  vuông HPB và KPC
đồng dạng.
3/C/m HD=FE:
Do FE//DO và DF//EP (FE và
FD là đường trung bình của
PBC)DPEF là hình bình
hành.DP=FE.Do D là trung
điểm của BPDH là trung

A

G

B

E
F
O

tuyến của  vuông HBPHD=DPDH=FE
C/m tương tự có:DF=EK.
4/C/m đường trung trực của HK đi qua F.
Ta phải C/m EF là đường trung trực của HK.Hay cần c/m FK=FH.
Do HD=DP+DBHDP=2ABP(góc ngoài tam giác cân ABP)
Tương tự KEP=2ACP
 HDP=KEP(1)

Mà ABP=ACD(gt)
Do PEFD là hình bình hành(cmt)PDF=PEF(2)
Từ (1) và (2)HDF=KEF mà HD=FE;KE=DFDHF∽EFK(cgc)FK=FH
đpcm.

46

D

J

I

C

Hình 39

1/C/mDEFC nội tiếp: (Sử dụng hai điểm E;F cùng làm với hai đầu đoạn thẳng
CD).
2/C/m: CF2=EF.GF: Xét 2 ECF và CGF có:
-Do DE FC ntFCE=FDE(cùng chắn cung FE);FDE=FBC(so le).Do GBCF nt (tự
c/m)FBC=FGC(cùng chắn cung FC)FGC=FCE.
-Do GBCF ntGBF=GCF(cùng chắn cùngG) mà GBF=FDC(so le).DoDEFC nội
tiếp FDC=FCE(cùng chắn cùngC)FCG=FECECF∽CGFđpcm.
3/C/m Oi đi qua trung điểm AG.Gọi giao điểm của đường tròn tâm O đường kính
AC là J Do AG//CJ và CGAGAGCJ là hình chữ nhật AG=CJ Vì OICJ nên
I là trung điểm CJ(đường kính  với 1 dây…)đpcm.

47

4/C/m EOFG nội tiếp:Do CEA=AGC=1vAGCE nt trong (O)AOG=2GCE
(góc nt bằng nửa góc ở tâm cùng chắn 1 cung;Và EAG+GCE=2v(2góc đối của tứ
giác nt).Mà ADG+ADC=2v(2góc đối của hbh)EOG=2.ADC(1)
Do DEFC ntEFD=ECD(cùng chắn cungDE);ECD=90o-EDC(2 góc nhọn của 
vuông EDC)();Do GBCF ntGFB=GBC(cùng chắn cung GB);BCG=90oGBC().Từ ()và()EFD+GFB=90o-EDC+90o-GBC=180o-2ADC mà
EFG=180o-(EFD+GFB)=180o-180o+2ADC=2ADC(2)
Từ (1) và (2)EOG=EFGEOFG nt.

Bài 40:
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B.Các đường thẳng AO cắt
(O) lần lượt ở C và D;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt ở E và F.
1. C/m:C;B;F thẳng hàng.
2. C/m CDEF nội tiếp.
3. Chứng tỏ DA.FE=DC.EA
4. C/m A là tâm đường tròn nội tiếp BDE.
5. Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O);(O’)





D

E
A

O
I

O’

C
B
F
Hình 40

1/C/m:C;B;F thẳng hàng: Ta có:ABF=1v;ABC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn). ABC+ABF=2vC;B;F thẳng hàng.
2/C/mCDEF nội tiếp:Ta có AEF=ADC=1vE;D cùng làm với hai đầu đoạn CF…
đpcm
3/C/m: DA.FE=DC.EA. Hai  vuông DAC và EAF có DAC=EAF(đ đ)
 DAC ∽ø EAFđpcm.
4/C/m A là tâm đường tròn ngoại tiếp BDE.Ta phải c/m A là giao điểm 3 đường
phân giác của DBE. (Xem cách c/m bài 35 câu 3)
5/Để DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn cần điều kiện là:
Nếu DE là tiếp tuyến chung thì ODDE và O’EDE.Vì OA=OD AOD cân ở
OODA=OAD.Tương tự O’AE cân ở O’O’AE=O’EA.Mà O’AE=OAD(đ đ)
ODO’=OEO’D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳngOO’ những góc bằng
nhauODEO’ nt ODE+EO’O=2v.Vì DE là tt của (O) và
(O’)ODE=O’ED=1vEO’O=1vODEO’ là hình chữ nhật
DA=AO’=OA=AE(t/c hcn) hay OA=O’A.
Vậy để DE là tt chung của hai đường tròn thì hai đường tròn có bán kính bằng
nhau.(hai đường tròn bằng nhau)

48

49