Đề thi kiểm tra học kì lớp 11 môn Toán

HTTP://THAYHUY.NET
Đề số 1

ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

CÂU
1

Ý
a)

I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim

2 n 3  3n  1
n3  2 n 2  1

x  1 1
x

b) lim

x 0

b)

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1:
 x2  x


f ( x )   x  1 khi x  1
m
khi x  1
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  x 2 .cos x

x  1 1
 lim
x 0 x
x

lim

x 0

1

 lim
x 0

x 1 1





1
2

b)

0,50

0,50
0,25
0,50
0,25

x 1

a)

0,50

0,50



x 1 1

x ( x  1)
lim f ( x )  lim
 lim x  1
x 1
x 1
x 1
x 1
f(x) liên tục tại x = 1  lim f ( x )  f (1)  m  1

3

ĐIỂM

x

f(1) = m

2

b) y  ( x  2) x 2  1

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC.
a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng AI  (MBC).
b) (1,0 điểm) Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC).
c) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI).

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 1
NỘI DUNG
3
1
2

2
3
2n3  3n  1
n
n

I  lim
 lim
2 1
n3  2 n 2  1
1 
n n3
I=2

y  x 2 cos x  y '  2 x cos x  x 2 s inx
y  ( x  2) x 2  1  y '  x 2  1 

1,00

( x  2) x

0,50

x2  1

2

II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau:
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm:

y' 
4

a)

2x  2x  1

0,50

x2 1
M

5 x 5  3x 4  4 x 3  5  0

Câu 6a: (2 điểm) Cho hàm số y  f ( x )  x 3  3 x 2  9 x  5 .
a) Giải bất phương trình: y  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1.

0,25

H
I

2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 3 nghiệm:

B

C

x 3  19 x  30  0
A

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y  f ( x )  x 3  x 2  x  5 .

Tam giác ABC đều cạnh a , IB = IC =

a) Giải bất phương trình: y  6 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6.
––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .

b)

c)

a
 AI  BC
2

BM  (ABC)  BM AI
Từ (1) và (2) ta có AI  (MBC)
BM  (ABC)  BI là hình chiếu của MI trên (ABC)
 
  MB  4
  MI ,( ABC )   MIB
, tan MIB
IB
AI (MBC) (cmt) nên (MAI)  (MBC)
MI  ( MAI )  ( MBC )  BH  MI  BH  ( MAI )
 d ( B,( MAI ))  BH
1
1
1

1
4
17
2a 17





 BH 
17
BH 2 MB2 BI 2 4a 2 a 2 4a 2

1

2

(1)

0,25

(2)

0,25
0,25
0,50
0,50
0,25
0,25
0,25

0,25


5a

6a

a)

Với PT: 5 x 5  3 x 4  4 x 3  5  0 , đặt f ( x )  5x 5  3 x 4  4 x 3  5
f(0) = –5, f(1) = 1  f(0).f(1) < 0
 Phuơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
y  f ( x )  x 3  3 x 2  9 x  5  y  3 x 2  6 x  9
2

b)

5b

6b

a)

HTTP://THAYHUY.NET

0,50
0,25

Đề số 2

0,50

y '  0  3 x  6 x  9  0  x  (;1)  (3;  )

0,50

x 0  1  y0   6

0,25

k  f ' 1  12

0,50

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = –12x + 6
Với PT: x 3  19 x  30  0 đặt f(x) = x 3  19 x  30  0
f(–2) = 0, f(–3) = 0  phương trình có nghiệm x = –2 và x = –3
f(5) = –30, f(6) = 72  f(5).f(6) < 0 nên c0  (5;6) là nghiệm của PT

0,25
0,25
0,25
0,25

Rõ ràng c0  2, c0  3 , PT đã cho bậc 3 nên PT có đúng ba nghiệm thực

0,25

y  f ( x)  x3  x 2  x  5  y '  3x 2  4 x  1

0,25

2

b)

0,25

y '  6  3x  2 x  1  6

0,25

 3x 2  2 x  5  0

5
 x   ;    1;  
3


0,25

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm  y '( x0 )  6

0,25

0,25

 x0  1
 3 x02  2 x0  1  6  3x 02  2 x0  5  0  
x   5

 0
3
Với x 0  1  y0  2  PTTT : y  6 x  8

5
230
175
Với x0    y0  
 PTTT : y  6 x 
3
27
27

0,25
0,25
0,25

ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim

x 3

x 3 x 2

 2 x  15

b) lim

x 1

x 32
x 1

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1:
 x2  x  2

khi x  1
f ( x)   x  1
a  1
khi x  1
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  ( x 2  x )(5  3 x 2 )

b) y  sin x  2 x

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA  (ABCD).
a) Chứng minh BD  SC.
b) Chứng minh (SAB)  (SBC).
c) Cho SA =

a 6
. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
3

II. Phần riêng

1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm:
x 5  x2  2 x  1  0

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y  2 x 3  x 2  5 x  7 có đồ thị (C).
2 y  6  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0  1 .

a) Giải bất phương trình:

2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
4x 4  2x2  x  3  0

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y  x 2 ( x  1) có đồ thị (C).
a) Giải bất phương trình:
y  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y  5 x .

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1

SBD :. . . . . . . . . .


CÂU
1

Ý
a)

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 2
NỘI DUNG
x 3
x3
lim
 lim
x 3 x 2  2 x  15 x 3 ( x  3)( x  5)

 lim
x 3

b)
lim

x 1

x 3 2
x 1
 lim
x 1 ( x  1)  x  1  1
x 1

0,50



x 1

1
4

x3 2
f(1) = a +1
( x  1)( x  2)
lim f ( x )  lim
 lim( x  2)  1
x 1
x 1
x 1
x 1
f(x) liên tục tại x = 1  lim f ( x )  f (1)  a  1  1  a  2
x 1

3

a)

b)
4

0,50
0,50

1

0,50

0,50
0,25

6b

a)

0,25

BPT 2 y  6  0  12 x 2  4 x  16  0  3x 2  x  4  0

0,25


4
 x   1; 
3


0,50

y  2 x 3  x 2  5 x  7
x0  1  y0  9

0,25

 y (1)  3
 PTTT: y  3 x  12

0,25

Đặt f ( x )  4 x 4  2 x 2  x  3  f ( x ) liên tục trên R.

0,25

0,50

f (1)  4, f (0)  3  f (1). f (0)  0  PT có ít nhất 1 nghiệm c1  (1; 0)

0,25

f (0)  3, f (1)  2  f (0). f (1)  0  PT có ít nhất 1 nghiệm c2  (0;1)

0,25

c1  c2  PT có ít nhất 2 nghiệm trên khoảng (–1; 1)

0,25

2

3

2

2

y  x ( x  1)  y  x  x  y '  3 x  2 x

0,25

0,50

BPT y '  0  3 x 2  2 x  0

0,25

 y '  12 x 3  9 x 2  10 x  5

0,50

 2 
 x    ; 0
 3 
Vì tiếp tuyến song song với d: y  5x nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 5

y  sin x  2 x  y ' 

cos x  2
0,50

2 sin x  2 x

A

 x0  1
y '( x0 )  5  3 x02  2 x0  5  3x 02  2 x0  5  0  
x   5

 0
3
Với x 0  1  y0  2  PTTT: y  5 x  3
5
50
175
Với x0    y0  
 PTTT: y  5x 
3
27
27

O
D

b)

0,50
0,25

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.

S

0,25

C

ABCD là hình vuông nên AC  BD
(1)

SA  (ABCD)  SA  BD
(2)
Từ (1) và (2)  BD  (SAC)  BD  SC
BC  AB (ABCD là hình vuông)
(3)
SA  (ABCD)  SA  BC
(4)
Từ (3) và (4)  BC  (SAB)
 (SAB)  (SBC)
SA  (ABCD)  hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC

Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là SCA

a 6
SA
3

 tan  SC ,( ABCD )   tan SCA 
 3 
AC a 2
3
  30 0
 SCA
5a

5b

0,25

B

c)

b)

y  2 x 3  x 2  5 x  7  y  6 x 2  2 x  5

y  ( x 2  x )(5  3 x 2 )  y  3x 4  3 x 3  5 x 2  5 x

a)

b)

a)

ĐIỂM

1
1

x5 8

 lim

2

6a

Đặt f ( x )  x 5  x 2  2 x  1  f ( x ) liên tục trên R.
f(0) = –1, f(2) = 23  f(0).f(1) < 0

 f ( x )  0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)
2

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
3

0,25

0,25
0,25


HTTP://THAYHUY.NET
Đề số 3

Câu
1

I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim

2 n3  n2  4
2  3n 3

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 3

ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

b) lim

x 1

Ý
a)

2x  3
x 1

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0:
 x  2a
khi x  0
f ( x)   2
 x  x  1 khi x  0

b)

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  (4 x 2  2 x )(3x  7 x 5 )

b) y  (2  sin2 2 x )3

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC.
a) Chứng minh AC  SD.
b) Chứng minh MN  (SBD).
c) Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD).

2

Nội dung
1 4
2 
2 n3  n 2  4
n n3
lim
 lim
3
2
2  3n
3
n3
2
= 
3

 lim(
x  1)  0

 x 1
Nhận xét được:  lim(2
x  3)  1  0

 x 1 
 x  1  x  1  0
2x  3
Kết luận: lim
 
x 1 x  1

Điểm

0,50
0,50

0,75

0,25

 x  2a
khi x  0
f ( x)   2
x

x


1
khi x  0

 lim f ( x )  f (0)  1

0,50

 lim f ( x )  lim ( x  2a)  2a

0,25

x 0

II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:

x 0

x 0

1
 f(x) liên tục tại x = 0  2a = 1  a 
2

m( x  1)3 ( x  2)  2 x  3  0
3

a)

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y  x 4  3x 2  4 có đồ thị (C).

2

5

7

0,25
6

3

y  (4 x  2 x )(3x  7 x )  y  28 x  14 x  12 x  6 x

2

 y '  196 x 6  84 x 5  36 x 2  12 x

a) Giải phương trình:
y  2 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0  1 .

b)

2

3

0,50

0,50

2

2

y  (2  sin 2 x )  y '  3(2  sin 2 x ) .4sin 2 x.cos2 x

0,50

 y '  6(2  sin 2 2 x ).sin 4 x

0,50

4

2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:

(m2  m  1) x 4  2 x  2  0
Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y  f ( x )  ( x 2  1)( x  1) có đồ thị (C).

0,25

a) Giải bất phương trình:
f ( x )  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SBD :. . . . . . . . . .

a)

b)
c)

1

ABCD là hình vuông  ACBD
(1)
S.ABCD là chóp đều nên SO(ABCD)  SO  AC
(2)
Từ (1) và (2)  AC  (SBD)  AC  SD
Từ giả thiết M, N là trung điểm các cạnh SA, SC nên MN // AC (3)
AC  (SBD) (4). Từ (3) và (4)  MN  (SBD)
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều và AB = SA = a nên SBC đều cạnh a.
Gọi K là trung điểm BC  OK  BC và SK  BC
2

0,50
0,25
0,50
0,50
0,25


    (SBC ),( ABCD )   
SKO
Tam giác vuông SOK có OK =

a
a 3
, SK =
2
2

6a

a)

5b

0,25

Đề số 4

0,25

Gọi f ( x )  m( x  1)3 ( x  2)  2 x  3  f ( x ) liên tục trên R
f(1) = 5, f(–2) = –1  f(–2).f(1) < 0
 PT f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm c  (2;1), m  R

0,25

y  x 4  3x 2  4  y  4 x 3  6 x

0,25

y  2  4 x 3  6 x  2  ( x  1)(2 x 2  2 x  1)  0

0,25

1 3
1 3
; x
2
2
Tại x0  1  y0  6, k  y (1)  2
Phương trình tiếp tuyến là y  2 x  4

0,50
0,25

0,50
0,50


1 3
f(0) = –2, f(1) = m 2  m  1   m     0  f(0).f(1) < 0
2 4

Kết luận phương trình f ( x )  0 đã cho có ít nhất một nghiệm c  (0;1), m
a)

2

y  f ( x )  ( x  1)( x  1)  f ( x )  x  x  x  1  f ( x )  3 x 2  2 x  1
3

2

1

BPT f ( x )  0  3 x  2 x  1  0  x  (; 1)   ;  
3

Tìm được giao điêm của ( C ) với Ox là A (–1; 0) và B(1; 0)
Tại A (–1; 0): k  f (1)  0  PTTT: y  0 (trục Ox)
2

b)

ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

3x 2  2 x  1

b) lim

x3  1

x 3

x 3
x 3

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0  2 :
 2 x 2  3x  2


f ( x)   2 x  4
3
 2

khi x  2
khi x  2

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2x  3
a) y 
b) y  (1  cot x )2
x 2

0,50

Gọi f ( x )  (m 2  m  1) x 4  2 x  2  f ( x ) liên tục trên R

0,25

2

6b

a) lim

x 1

 x  1; x 
b)

HTTP://THAYHUY.NET

I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:

a
OK
1

2
 cos   cos SKO 


SK a 3
3
2

5a

0,25

1

Tại B(1; 0): k2  f (1)  4  PTTT: y  4 x  4

0,50
0,25
0,50
0,50

0,50

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường cao
vẽ từ A của tam giác ACD.
a) Chứng minh: CD  BH.
b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh AK  (BCD).
c) Cho AB = AC = AD = a. Tính cosin của góc giữa (BCD) và (ACD).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
cos2 x  x  0

0,25

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y  f ( x )   x 3  3 x 2  9 x  2011 có đồ thị (C).

0,25

a) Giải bất phương trình:
f ( x )  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm nằm trong khoảng (1; 2) :

(m2  1) x 2  x 3  1  0
Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y 

2 x2  x  1
có đồ thị (C).
x 1

a) Giải phương trình:
y  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1

SBD :. . . . . . . . . .


Câu
1

Ý
a)

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 4
Nội dung

lim

3x 2  2 x  1
x3  1

x 1

 lim

b)

 x 1



 x  1)

4
3

x 3

3

a)
b)

4

y

AH
1
cos
AHB 


BH
3

0,25

 
Đặt f(x) = cos2 x  x  f(x) liên tục trên (0; )  f(x) liên tục trên  0; 
 2

0,25

 
 

f (0)  1, f    
 f (0). f    0
2
2
2

6a

a)

0,25

Kết luận hàm số không liên tục tại x = 2.

b)
0,50

5b
0,25
0,50

 1 
y  (1  cot x )  y  2(1  cot x )  2   2(1  cot x )(1  cot 2 x )
 sin x 
2

0,50

0,25

c)

0,25

y  f ( x )   x 3  3 x 2  9 x  2011  f ( x )  3 x 2  6 x  9

0,25

BPT f ( x )  0  3 x 2  6 x  9  0

0,25

 x  3
 
x  1

0,50

x0  1  y0  2016 , f (1)  0

0,50

Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 2016

0,50

Đặt f(x) = (m2  1) x 2  x 3  1  f(x) liên tục trên R nên liên tục trên [  1; 2]

0,25

 phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 0)   1; 2  (đpcm)
6b

a)

b)

b)

 
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên  0; 
 2

f (1)  m  1, f (0)  1  f (1). f (0)  0, m  R

2x  3
1

 y' 
x 2
( x  2)2

(1)

0,25

(2). Từ (1) và (2)  CD  (AHB)  CD  BH

0,50

AB  AC, AB  AD AB  (ACD)  AB  CD
AH  CD

0,50

2

a)

a)

0,25

0,50

khi x  2

3

Tập xác định D = R. Tính được f(2) =
2
2 x 2  3x  2
( x  2)(2 x  1)
2x 1 5
lim f ( x )  lim
 lim
 lim

x 2
x 2
x 2
x 2
2x  4
2( x  2)
2
2

a2 a 6

2
2

AK BH, AK  CD (do CD  (AHB) (cmt)

0,50

 AK (BCD)

0,50

Ta có AH  CD, BH  CD   (BCD ),( ACD )   
AHB

0,25

2

0,25

BH =

0,25

khi x  2

AB2  AH 2  a 2 

CD a 2

2
2

0,50

0,75

x 3
 
x 3

 2 x 2  3x  2

f ( x)   2 x  4
3
 2

Điểm

5a

 lim ( x  3)  0
 x 3

Viết được ba ý  x  3  x  3  0
 lim ( x  3)  6  0
 x 3
Kết luận được lim

2

( x  1)(3 x  1)

x 1 ( x  1)( x 2

3x  1

x 1 x 2

 lim

Khi AB = AC = AD = a thì AH =

2

y

0,50
0,25

2

2x  x 1
2x  4x  2
, TXĐ : D = R\{1}, y ' 
x 1
( x  1)2

x  1 2
Phương trình y’ = 0  2 x 2  4 x  2  0  x 2  2 x  1  0  
 x  1  2
Giao của ( C) với Oy là A(0; –1)

0,50

0,50
0,25

x0  0, y0  1, k  f (0)  2

0,20

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  2 x  1

0,50

3


HTTP://THAYHUY.NET
Đề số 5

Câu
1

I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
2

a) lim

x 2

x  3x  2

b) lim

x3  2x  4

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011

MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 5

ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

x 



2

x  2x 1  x

Ý
a)

lim


b)

 2 x 2  3x  1

khi x  1
f ( x)   2 x  2
khi x  1
2
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
b) y  3sin 2 x.sin 3 x

2
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy.
a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC)  (SBH).
c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

a)

3

 lim
 2 x  4 x 2 ( x  2)( x 2  2 x  2)
x 1
1
= lim 2

x 2 x  2 x  2
10
2x 1
lim
x 2  2 x  1  x  lim
x 
x 
x2  2x  1  x
1
2
x
=
1
2 1

1  2 1
x x
f(1) = 2
2 x 2  3x  1
( x  1)(2 x  1)
2x 1 1
lim f ( x )  lim
= lim
 lim
=
x 1
x 1
x 1
x 1
2( x  1)
2( x  1)
2
2
Kết luận hàm số liên tục tại x = 1





y  ( x 3  2)( x  1)  y  x 4  x 3  2 x  2
 y '  4 x3  3x 2  2

II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:

(9  5m ) x 5  (m 2  1) x 4  1  0

Điểm

( x  1)( x  2)

x 2 x 3

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0  1 :

a) y  ( x 3  2)( x  1)

Nội dung

x 2  3x  2

b)

0,50
0,50
0,50

0,50
0,25
0,50
0,25
0,50
0,50

2

2

y  3sin x.sin 3 x  y '  6 sin x cos x.sin 3 x  6 sin x.cos3 x
 6 sin x (cos x sin 3x  sin x cos3x )  5sin x sin 4 x

0,50
0,50

4

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y  f ( x )  4 x 2  x 4 có đồ thị (C).
a) Giải phương trình:
f ( x )  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.

0,25

2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức 2a  3b  6c  0 . Chứng minh rằng phương trình
sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1):
ax 2  bx  c  0

a)
Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y  f ( x )  4 x 2  x 4 có đồ thị (C).
b)

a) Giải bất phương trình:
f ( x )  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c)

SA  (ABC)  BC  SA, BC  AB (gt) BC  (SAB)  BC  SB
Vậy tam giác SBC vuông tại B
SA  (ABC)  BH  SA, mặt khác BH  AC (gt) nên BH  (SAC)
BH  (SBH)  (SBH)  (SAC)
Từ câu b) ta có BH  (SAC)  d (B,(SAC ))  BH

1
1
1


BH 2 AB 2 BC 2
SBD :. . . . . . . . . .

BH 2 
5a

0,50
0,25
0,50
0,50
0,50

AB 2 BC 2
2

10
  BH 
5
AB 2  BC 2 5

0,50

Gọi f ( x )  (9  5m) x 5  (m 2  1) x 4  1  f ( x ) liên tục trên R.

0,25

2


5 3
f (0)  1, f (1)   m     f (0). f (1)  0
2 4

 Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với mọi m
1

2

0,50
0,25


6a

a)

b)
5b

y  f ( x )  4 x 2  x 4 , f ( x )  4 x 3  8 x  f ( x )  4 x( x 2  2)

0,50

x   2
Phương trình f ( x )  0  4 x ( x 2  2)  0  
 x  0

0,50

x0  1  y0  3, k  f (1)  4
Phương trình tiếp tuyến là y  3  4( x  1)  y  4 x  1

0,50
0,50

2

Đặt f(x)=ax  bx  c  f ( x ) liên tục trên R.
2 4
2
1
c
c
 f (0)  c , f    a  b  c  (4a  6b  12c)   
3 9

3
9
3
3
2
2
 Nếu c  0 thì f    0  PT đã cho có nghiệm  (0;1)
3
3

6b

a)

2
 2
c2
 Nếu c  0 thì f (0). f      0  PT đã cho có nghiệm    0;   (0;1)
3
3
 3
Kết luận PT đã cho luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1)
y  f ( x )  4 x 2  x 4  f ( x )  4 x 3  8 x  f ( x )  4 x ( x 2  2)

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

Lập bảng xét dấu :


 2

2



0,50

f ( x )

b)

Kết luận: f ( x )  0  x    2; 0    2;  
Giao của đồ thị với Oy là O(0; 0)
Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại O là k = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 0

3

0,25
0,25
0,25
0,50