II.2.3 Modèles de turbulence

II.2.3 Modèles de turbulence
La plupart des écoulements industriels sont turbulents et c’est aussi le cas de
nombreux écoulements naturels.
Les écoulements turbulents sont d’abord caractérisé par leur irrégularité. Les variables
telles que la vitesse, la pression, la température... fluctuent de façon plus ou moins
aléatoire.
D’autre part la turbulence accélère les processus de mélange dans l'écoulement. Les
transferts de quantité de mouvement et de chaleur augmentent donc fortement. La
turbulence accroît les flux de chaleur vers les parois et les facteurs de frottement dans
les conduites.
Ces écoulements sont caractérisés par des nombres de Reynolds très élevés. L’origine
de la turbulence est, dans beaucoup de cas, le développement d’une instabilité d’un
écoulement laminaire lorsque le nombre de Reynolds dépasse une certaine valeur
critique.
De plus les écoulements turbulents sont rotationnels et tridimensionnels et ils sont
caractérisés par des fluctuations importantes des grandeurs physiques.
La dissipation joue un rôle important dans les écoulements turbulents. Les fluctuations
turbulentes sont dissipées par le travail des contraintes visqueuses et l'écoulement
turbulent ne peut subsister que par un transfert continu d'énergie.
Les écoulements turbulents sont caractérisés par des échelles de longueur bien
supérieure au libre parcours moyen des molécules qui composent le fluide. Le concept
de milieu continu et les équations dynamiques établies au paragraphe II.2 restent donc
applicables.
II.2.3.1 Décomposition de Reynolds
Pour décrire les écoulements turbulents, caractérisés par une évolution aléatoire,
tridimensionnelle, instationnaire et rotationnelle, il est possible de suivre une approche
statistique qui consiste à décomposer toutes les variables qui décrivent l'écoulement en
une quantité moyenne et une fluctuation. Lorsque la turbulence est considérée comme


stationnaire, il est possible d'émettre l'hypothèse d’ergodicité, qui permettre de

remplacer les moyennes statistiques (ou moyennes d’ensemble) par des moyennes
temporelles.
Chaque grandeur physique du problème est décomposée en la somme d’une valeur
moyenne et d’une fluctuation: c’est la décomposition de Reynolds.
Vi = Vi + v i ; P = P + p

; C= C+c

1
Avec Vi = ∫ Vi dt et v i = 0 dans le cas de turbulence stationnaire.
τ0
τ

τ est un laps de temps suffisamment grand face au temps caractéristique de la
turbulence (défini comme le temps au bout duquel un gros turbulence a perdu la
moitié de son énergie) mais suffisamment petit par rapport a l’instationnarité
d’ensemble, éventuelle, du phénomène physique étudié. Cette hypothèse, remise en
cause lorsque la turbulence ne peut être considérée comme stationnaire, reste valable
pour les cas précis que nous traitons, dans la mesure où seuls des problèmes
globalement stationnaires seront étudiés.
En remplaçant , dans les équations (II.2) et (II.3), les variables par leurs nouvelles
définitions, il s’en suit un nouveau système d'équations dites de Reynolds, décrivant
l'écoulement moyen, dans lequel apparaît le terme inconnu − ρv i v j , composante d’un
tenseur appelle tenseur de Reynolds ou tenseur de contraintes turbulentes:
- équation de continuité:
∂ Vi
=0
∂x i

(II.5)

- équation de conservation de quantité de mouvement
 ∂ V i

∂ V i 
∂P
∂  ∂ V i
ρ
+ Vj
+
µ
− ρv i v j  + f i
=−

∂x j 
∂x i ∂x j  ∂x j
 ∂t


Signalons ici que le terme

(II.6)

∂  ∂V j 
µ
 est néglige par le code car il n’intervient pas,
∂x j  ∂x i 

par la suite, dans l'écriture variationnelle du problème de Stokes.
II.2.3.2 Fermeture du problème - Hypothèse et modélisation

Dans le but de fermer ces équations (on a en effet 10 inconnues pour seulement 4
équations) et ainsi de résoudre le problème, certaines hypothèses, concernant la
modélisation du terme de corrélation double − ρv i v j , sont nécessaires. La première
hypothèse, dite hypothèse de Boussinesq, introduit, par analogie avec le tenseur des
contraintes visqueuses, une viscosité dynamique turbulente µt, caractéristique du type
d'écoulement considéré, définie comme suite:

 ∂V ∂Vj  2
 − ρkδ ij − 2 µ t div Vδ ij
− ρv i v j = µ t  i +
 ∂x

3    
 j ∂x i  3
=0

Afin d’expliciter cette nouvelle variable, un modèle décrivant la turbulence en un
point est également formulé. Dans le cadre de ce code, le choix repose sur les trois
modèles suivants: longueur de mélange, k-ε ou RNG. La théorie, classique est
détaillée dans la partie suivante.
Avec la définition de µt, l'équation (II.6) devient:
 ∂ V i
∂ V i 
∂P
∂ 
∂ V i 
(
ρ

+ Vj
+
µ + µt )
+ fi
=−
∂x j 
∂x i ∂x j 
∂x j 
 ∂t

(II.6b)

2
3

en adoptant la notation suivante: P = P + ρk
Afin de rendre plus explicite le terme de diffusion de l'équation (II.6b), le code met à
notre disposition 3 modèles: modèle de longueur de mélange, modèle k-ε et modèle
RNG.
Modèle de longueur de mélange
Ce modèle a été introduit par Prandtl en 1925 par analogie avec la théorie cinétique de
gaz. Il suppose la viscosité turbulente proportionnelle à une vitesse fluctuante
moyenne et à une longueur de mélange lm qui correspond au libre parcours moyen des
particules matérielles. Prandtl a pris comme hypothèse supplémentaire que la vitesse
fluctuante moyenne est égale au gradient de vitesse moyenne multiplie par la longueur
de mélange. Le gradient de vitesse moyenne est calculé à partir du tenseur de taux de
déformation D de la façon suivante :


∇ M V = [ tr ( D D] 2

1

où tr(.) désigne l'opérateur de trace
En coordonnées cartésiennes, le tenseur D est défini par:
D ij =

1  ∂ Vi ∂ Vj 
+
2  ∂x j ∂x i 

et on peut calculer D D qui est donné par

( D D ) ik = D ij D jk
soit, en prenant la trace et compte tenu de la symétrie de D
tr ( D D ) = D ij D ij =

1  ∂ Vi ∂ Vj  ∂ Vi
+
2  ∂x j ∂x i  ∂x i

La viscosité turbulente est alors donnée par la formule suivante:
µ t = ρκl 2m [ tr ( D D ) ] 2
1

Où κ désigne la constante de Karman (κ=0.41)
Des travaux récents ont montré que la turbulence ne dépend pas seulement des taux de
déformation mais aussi des taux de rotation, ce qui montre bien les limites du modèle
de longueur de mélange qui reste toutefois suffisant pour certaines applications.
Modèle k-ε de JONES et LAUNDER (1972)
Celui-ci repose sur l'hypothèse d'équilibre spectral de l'énergie cinétique turbulent k.

Grâce à l’analyse dimensionnelle, une définition de µt, reliant l'énergie turbulente k et
son taux de dissipation ε est explicitée:
k2
µ t = ρC µ
ε

Avec

k=

1 3 2
∑v
2 i =1 i

ε=ν

∂v i ∂v i
(dissipation par frottement visqueux)
∂x j ∂x j

(2.7)
(2.8)


Le frottement visqueux limite en effet le transfert d'énergie des grosses structures
turbulentes vers les plus petites, et réduit également les flux massique et calorifique,
important et induits par la turbulence.
Il s’agit maintenant de déterminer les deux nouvelles inconnues k et ε. Pour cela on
explicite les équations de transport de ces deux grandeurs, selon le modèle de
l’équation (II.4). Obtenues par combinaison des équations qui régissent l’évolution de

la vitesse fluctuante, et après certaines simplifications, elles s’écrivent:
 ∂k
µ  ∂k 
∂k 
∂ 
µ + t 
 + P + G − ρε
ρ + V j
=
∂x j  ∂x j  
σ k  ∂x j 
 ∂t
 ∂ε
µ t  ∂ε 
∂ε 
∂ 
ε
ε2
µ +
 + C ε1 P + ( 1 − C ε 3 ) G − ρC ε 2
ρ + V j

=
∂x j  ∂x j  
σ ε  ∂x j 
k
k
 ∂t

(

)

Le terme P donne la production d'énergie turbulent, due uniquement à l’interaction
entre l’écoulement moyen et turbulent. Le terme source G, quant à lui, provient des
forces de gravité, et est négligé dans le cas d’écoulements incompressibles quasi
isothermes.
P = −ρ v i v j

 ∂ Vi ∂ Vj  ∂ Vi
∂ Vi
∂ Vi

= µ t 
+
= 2µ t
D et

∂x j
∂x j ij
 ∂x j ∂x i  ∂x j

G = −ρg i β v i θ = 0

Les constantes empiriques, introduites dans le système d’équations ci-dessus et
précisées dans la table (II-1), ont été validées expérimentalement pour certains
écoulements simples bidimensionnels (décroissances d’une turbulence de grille
homogène et isotrope, écoulement en conduite, écoulement sur une plaque plane), et
sont prises comme valeurs standard, bien que cette généralisation ne soit pas toujours
satisfaisante.

Cµ
σk
σε
Cε1
Cε2
0.09
1.00
1.30
1.44
1.92
Tableau II-1: Valeurs des constantes du modèle k- ε standard
Ce modèle est le plus couramment utilisé dans des applications même complexes de
mécanique des fluides. Cependant, des nouveaux

modèles sont élaborés depuis

quelques années. Ceux-ci font intervenir des termes fluctuants d’ordre supérieur,


comme le modèle des tensions (ou contraintes) de Reynolds R ij-ε ou, tout du moins, le
modèle allégé, dit des tensions de Reynolds algébriques, qui comporte des
simplifications dans l'écriture des équations différentielles associées à chaque
composante du tenseur − ρv i v j . Ces deux modèles prennent, en effet, en compte les
effets de courbure et de rotation et restituent de fait plus justement les écoulement
dans les machines tournantes.
L’avantage de ces méthodes réside dans la suppression du problème de la validité du
concept de viscosité turbulente, dans la mesure où cette méthode est remplacée par la
résolution de six équations différentielles associées à chacune des composantes du
tenseur − ρv i v j . Cependant la première méthode reste si difficile d’implantation et
demande de tels moyens informatiques (temps de calcul et place de mémoire

excessive) qu’elle est rarement testée. Par exemple, HAH et LAKSHMINARAYANA
(1980) ont testé la validité de trois modèles de turbulence différents, incluant tous les
effets de courbure et de rotation, pour prédire les sillages d'aubages. Dans le cas
d’une grille d’aubes bidimensionnelle, le modèle complet des équations de Reynolds
donne de meilleurs résultats que le modèle k-ε standard, mais le temps de convergence
du calcul est augmente de 50%. Par contre dans le cas d’une configuration
tridimensionnelle de roue de compresseur, le calcul n’a pu être mené avec ce même
modèle, faute de capacités informatiques suffisantes.
La seconde méthode, qui définit les termes − ρv i v j d’après des relations algébriques
entre les diverses grandeurs connues (k et ε notamment), réduit le coût informatique,
même dans le cas d'études tridimensionnelles, et apporte de nettes améliorations par
rapport au modèle k-ε. Mais elle nécessite tout de même un travail considérable de
mise en forme au sein d’un code Navier-Stokes tridimensionnel et engendre encore
des problèmes d'instabilités des schémas numériques.
Par contre, certains auteurs se sont servis de ce dernier modèle pour modifier le
modèle k-ε, et fait ainsi intervenir directement les termes de courbure et de rotation.
Le principe repose sur un couplage entre les relations algébriques sur les composantes
du tenseur de Reynolds et le modèle k-ε, par l'intermédiaire d’une forme généralisée


de la variable Cµ.. ZHANG et LAKSHMINARAYANA (1990) ont pu ainsi
déterminer parfaitement le comportement d’une couche limite tridimensionnelle sur
un aubage de machine tournante.
En conclusion, les codes industriels qui mettent à disposition ces méthodes sont rares
et le modèle k-ε demeure encore le modèle de turbulence le plus couramment utilisé.