BÀI TẬP LỚN QUY HOẠCH THỰC NGHIÊM

Bµi tËp lín Quy ho¹ch thùc nghiªm

i
bi
Si
Si/(N-i-1)

0
61,5556
5198,2222
649,7778

1
9,1
229,6222
32,8032

Sè lîng thÝ nghiÖm: N = H0 = 9
9

∑(y

TÝnh S0: S 0 =

i =1

1
b0 =
9
P1*i = u i =

i

− b0i ) 2 = 5198,2222

y
∑

i

i=
1

= 61,5556

1 9
∑ y i xi − 5
9 i =1
=
h
1

i =1

i

3
0,0092
14,4986
2,8997

4
0,0323
8,3443
2,0861

5
0,0006
8,3358
2,7786

TÝnh S1: S1 = S0 – b12.H1
Tra b¶ng IV ta cã: H1 = 60
ν1 = 60
b1 = ∑ ( y.P1* / ν 1 ) =

S1

i =1

546
= 9,1
60

= S0 – b12.H1
= 5198,2222 – 9,12.60
= 229,6222

S1 229,6222
=
= 32,8032

7
7

9

∑y

2
0,8355
14,6208
2,4368

trÇn quang chÊt

9

9

xi −

*****

= 554

*

p 2 = 3u 2 − 20
S0
= 649,7778
8

TÝnh S2: S2 = S1 – b22.H2
Tra b¶ng IV ta cã: H2 = 308
ν2 = 924
9

b2 = ∑ ( y.P2* / ν 2 ) =

S2

i =1

TÝnh S3: S3 = S3 – b32.H3
Tra b¶ng IV ta cã: H3 = 1188

− 772
= −0,8355
924

= S1 – b2 .H2
= 229,6222– (-0,8355)2.308
= 14,6208
2

ν3 =
9

b3 = ∑ ( y.P3* / ν 3 ) =
i =1

S3

= 14,6208 – 0,009262.

b4 = ∑ ( y.P4* / ν 4 ) =
i =1

S4 = S4 – b42.H4

7128
5

= 14,4986

TÝnh S4: S4 = S4 – b42.H4
Tra b¶ng IV ta cã: H4 = 3432
9

11
= 0,00926
7128
5

= S3 – b32.H3

S 2 14,6208
=
= 2,4368
6
6

ν4 =

7128
5

41184
7

111
= 0,03234
41184
7

= 14,4986 – 0,03234.
= 8,2442
S 4 8,2442
=
= 2,08605
4
4
CTm6 – k43 - §hbk hµ néi

41184
7

S 3 14,4986
=
= 2,8997
5

5

TÝnh S5: S5 = S5 – b52.H5
Tra b¶ng IV ta cã: H5= 3120
ν5 =20800
9

b5 = ∑ ( y.P5* / ν 5 ) =
i =1

−2
= −0,0006
20800

S5 = S5 – b52.H5
= 8,2442 – (-0,0006)2. 3120
= 8,3357
S 5 8,3357
=
= 2,7786
3
3

2


Bài tập lớn Quy hoạch thực nghiêm

*****

trần quang chất

Với kết quả nh trên ta thấy: Theo phơng pháp này thì dừng lại ở bậc 2 là
tối u hơn cả do

S2
S
= 2,4368 và 3 = 2,8997 chênh lệch ít nhất.
6
5

Đa thức có dạng sau:
= b0 + b1u + b2(u2 -

20
) (*)
3

Với u = x-5 thay vào (*) và thu gọn ta có:
= 0,7381 + 17,4550x 0,8355x2
Tính các phơng sai:
S
2 = 2 = 2,4368
6
2
2,4368
(b0 ) =
=
= 0,5203
H0

9

2
2,4368
(b1 ) =
=
= 0,2015
H1
60

2
2,4368
(b2 ) =
=
= 0,0889
H2
308

tìm hàm hồi quy thực nghiêm
Số liệu cho:
(9)

x
y

1
18

2
31

3
46

4
56

5
70

6
75

7
81

8
86

9
91

Biểu diễn dãy số liệu đã cho các dạng hàm hồi quy từ dãy số liệu đã cho:

y

CTm6 k43 - Đhbk hà nội

3

Bài tập lớn Quy hoạch thực nghiêm

*****

trần quang chất

100
90

2

80
70
60
4

50

3

1

40
30
20
10

x

0
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Hình biểu diễn các dạng hàm hồi quy từ dãy số liệu đã cho

Đờng 1: Đồ thị hàm y = logaxb (hàm logarit)
Đờng 2: Đồ thị hàm y = axb (hàm luỹ thừa)
Đờng 3: Đồ thị hàm y = aebx (hàm exp)
Đờng 4: Đồ thị hàm y = a+bx+cx2 (hàm đa thức bậc 2)
Từ hình biểu diễn ở trên ta thấy:

Đờng 1: Đồ thị hàm y = a+bx+cx2 (hàm đa thức bậc 2) gần với dãy số liệu đã
cho nhất vì vậy ta chọn hàm hồi quy là hàm bậc 3. Để xác định các hệ số ta sử
dụng phơng pháp Tổ hợp tuyến tính nhiều biến số. Với số biến số ở đây là 1 và
có 3 hàm f(x).
Ta viết lại dạng hàm nh sau:

CTm6 k43 - Đhbk hà nội

4


Bài tập lớn Quy hoạch thực nghiêm

*****

trần quang chất

ỹ = a0f0(x) + a1f1(x) + a2f2(x) (**)
Trong đó: f0(x) = 1
F1(x) = x
F2(x) = x2
Xác định ma trận F:
1
1
1
1
1
1
1
1

1

1
2
3
4
5
6
7
8
9

1
4
9
16
25
36
49
64
81

Ma trận chuyển vị F* của F:
1
1
1

1
2
4

1
3
9

1
4
16

1
5
25

1
6
36

1
7
47

1
8
64

1
9
81

Xác định ma trận M = F*.F:

9
45
285

45
285
2025

285
2025
15333

Xác định ma trận đảo M-1 của M bằng phơng pháp khử Gauss:
1.61905
-0.67857
0.05952

-0.67858
0.34135
-0.03247

0.05952
- 0.03247
0.00325

Các bớc đợc thực hiện ở trang sau:
Các bớc khử Gauss:

CTm6 k43 - Đhbk hà nội

5


Bài tập lớn Quy hoạch thực nghiêm

*****

M
1.000
0.000
0.000
1.000

E

5.000
31.667
0.11111
60.000
600.000
-5.00000
600.000 6308.000 -31.66667
5.000
31.667
0.11111

0.000
0.000
1.000
0.000

0.000
1.000
0.000
0.000
1.000
0.000
0.000

1.000
0.000
5.000
1.000
0.000
5.000
1.000
0.000
0.000
1.000
0.000

trần quang chất

10.000
308.000
31.667
10.000
1.000
0.000
0.000
1.000

0.000
0.000
1.000

0.00000
1.00000
0.00000
0.00000

0.00000
0.00000
1.00000
0.00000

-0.08333
0.01667 0.00000
18.33333 -10.00000 1.00000
0.11111
0.00000 0.00000
-0.08333
0.01667 0.00000
0.05952
-0.03247 0.00325
-1.77382
1.02815 -0.10282
-0.67857
0.34135 -0.03247
0.05952
-0.03247 0.00325
1.61905

-0.67858 0.05953
-0.67857
0.34135 -0.03247
0.05952
-0.03247 0.00325

Xác định ma trận các hệ số â = M-1.F*.Y:
[-0,738095 17,45498 -0,83550]
Thay các hệ số vào (**) ta có hàm hồi quy thức nghiệm cần tìm:
= 8,26191 + 17,45498x 0,83550x2
Thay các giá trị của x ta có các giá trị i:
1 = 17,35758
2 = 32,30606
3 = 45,58355
4 = 57,19004
5 = 67,12554
6 = 75,39004
7 = 81,89355
8 = 86,90606
9 = 90,15757
Tính tổng bình phơng các sai lệch S(â):
S(â) =

9



(yi i)2 = 14,62078

i =1

Đánh giá kết quả của hàm hồi quy thực nghiệm
Đánh giá sự tồn tại của các hệ số:
Lập tỷ số: tti =

ai
S d mii

Trong đó:
Sd = S(â)/(n-m-1) n: Là số thí nghiệm n = 9
m+1: Là số tham số cần xác định (âi) m+1 = 3.
mii: Số hạng trong ma trận M có hàng và cột là i.
Sd = 14,62078/(9 4) = 2.92416

CTm6 k43 - Đhbk hà nội

6


Bài tập lớn Quy hoạch thực nghiêm

tt 0 =



t t1 =
tt 2 =

a0
S d m00

a1
S d m11
a2
S d m22

*****

=

8,26191
= 2,22049
2.92416 1,61905

=

17,45498
= 10,21689
2.92416 0,34135

=

0,83550
= 5,01192
2.92416 0,00325

trần quang chất


2

Tra bảng phânvị Student với tb(n-m-1;1- ) = tb(n-m-1,p) = P ta có:
(: Là mức ý nghĩa do ngời đặt hàng đề ra)

p
P

0,2
0,9
1,440

0,1
0,95
1,943

0,05
0,975
2,447

0,02
0,99
3,143

0,01
0,995
3,707

0,005
0,9975
4,32

0,001
0,9995
5,96

Điều kiện: Với cho trớc nếu |tt | < tb thì không tồn tại âi
Với cho trớc nếu |tt | > tb thì tồn tại âi.
Kết luận: Nếu > 0,1 thì các giá trị âi luôn tồn tại
Nếu < 0,05 thì không tồn tại â0
Nếu < 0,001 thì không tồn tại â0 và â2.

Tìm khoảng tin cậy
Chọn mức ý nghĩa = 0,01 = 1 - = 0,99 = 99%
Tra bảng V Phân vị Student với n-m-1 = 9 3 = 6 và 1CTm6 k43 - Đhbk hà nội


= 0,995 ta có:
2
7


Bài tập lớn Quy hoạch thực nghiêm

*****

trần quang chất


2

tb(n-m-1;1- ) = tb(n-m-1,p) = 3,707

Syi = D(i) = 2.uii = Sd2.uii
Tính ma trận U: U = F.M-1.F*
Nhân lần lợt từ trái sang phải ta đợc ma trận U:
0.66061
0.38182
0.16364
0.00606
-0.09091
-0.12727
-0.10303
-0.01818
0.12727

0.38182
0.27879
0.19091
0.11818
0.06061
0.01818
-0.00909
-0.02121
-0.01818

0.16364
0.19091
0.20087
0.19351
0.16883
0.12684
0.06753

-0.00909
-0.10303

0.00606
0.11818
0.19351
0.23203
0.23377
0.19870
0.12684
0.01818
-0.12727

-0.09091
0.06061
0.16883
0.23377
0.25541
0.23377
0.16883
0.06061
-0.09091

-0.12727
0.01818
0.12684
0.19870
0.23377
0.23203
0.19351

0.11818
0.00606

Ta có các giá trị uii:
u11 = 0.66061
u22 = 0.27879
u44 = 0.23203
u55 = 0.25541
u77 = 0.20087
u88 = 0.27879
Lần lợt tính các yi theo công thức:
yi = i Sd. u ii . tb(n-m-1;

-0.10303
-0.00909
0.06753
0.12684
0.16883
0.19351
0.20087
0.19091
0.16364

-0.01818
-0.02121
-0.00909
0.01818
0.06061
0.11818
0.19091

0.27879
0.38182

0.12727
-0.01818
-0.10303
-0.12727
-0.09091
0.00606
0.16364
0.38182
0.66061

u33 = 0.20087
u66 = 0.23203
u99 = 0.66061

1+
)
2

Trong đó:
Sd =
1 =

2.43680 = 1.56102

8,35758

2 = 23,30306

3 = 36,58355

4 = 48,19004

5 = 58,12554

6 = 66,39004

8 = 77,90606

9 = 81,15758

7 = 72,98355
Vậy ta có kết quả nh sau:
y1 = 8,35758 4,70333
y2 = 23,30306 3,05542
y3 = 36,58355 2,59352
y4 = 48,19004 2,78743
y5 = 58,12554 2,92450
y6 = 66,39004 2,78743
y7 = 72,98355 2,59352
CTm6 k43 - Đhbk hà nội

8


Bµi tËp lín Quy ho¹ch thùc nghiªm

*****

trÇn quang chÊt

y8 = 77,90606 ± 3,05542
y9 = 81,15758 ± 4,70333

CTm6 – k43 - §hbk hµ néi

9