toan cao cap a1 ,toass

ĐỀ SỐ 1, K15, THI NGÀY 24-12-2012
Câu 1.
Xét tính liên tục của hàm số sau tại tại 𝑥 = 0:
ln cos2 𝑥
𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 0 .
𝑓 𝑥 =
𝑥2
0
𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0
Câu 2.
Tính các giới hạn sau:
arcsin𝑥 − 𝑥
;
𝑥→0 𝑥 2 arctan𝑥

𝑎) lim

𝑏) lim

𝑥→0

1+𝑥
𝑒

1
1 𝑥
𝑥

.

Câu 3.

Tính các tích phân sau:
𝜋
−
4

3

𝑎)

8𝑥 + 16𝑥
𝑑𝑥 ;
𝑥2 + 4 2

𝑏)

cos 3 𝑥𝑑𝑥
3

𝜋
−2

sin 𝑥

.

Câu 4.
Tính tích phân suy rộng

∞ 1
1

sin 𝑥 𝑑𝑥.
𝑥2

2
𝜋

Câu 5.
2

Giải phương trình 𝑦 ′ + 𝑥𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑦 3 .
Câu 6.
Giải phương trình sai phân 𝑥𝑛+4 − 3𝑥𝑛+3 + 3𝑥𝑛+2 − 3𝑥𝑛+1 + 2𝑥𝑛 = 5 ∙ 2𝑛+1 .
Câu 7.
Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất hai loại sản phẩm. Giả sử tổng chi phí kết hợp là
𝑇𝐶 = 3𝑄12 + 5𝑄22 + 7𝑄1 𝑄2 . Giá của các loại sản phẩm lần lượt là 230$ và 305$. Hãy tìm mức sản lượng
các loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất.


ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1, NGÀY 24-12-2012
Câu 1 (1 điểm).
ln cos2 𝑥
ln 1 − sin2 𝑥
− sin2 𝑥
lim 𝑓 𝑥 = lim
= lim
= lim
= −1 ≠ 𝑓 0 ,
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0

𝑥→0
𝑥2
𝑥2
𝑥2
nên 𝑓 gián đoạn tại 𝑥 = 0.
Câu 2 (1+1 điểm).
1

a)

arcsin 𝑥−𝑥
lim 2
𝑥→0 𝑥 arctan 𝑥

=

−1
arcsin 𝑥−𝑥 𝐿
1−𝑥 2
lim
=
lim
𝑥3
𝑥→0
𝑥→0 3𝑥 2

1
lim
𝑥→0 𝑥

= lim

1+𝑥
𝑒
𝑒

𝑥→0
1
𝑥

3𝑥 2

1−𝑥 2

= lim

𝑥→0

1 − 𝑥2 1 + 1 − 𝑥2

𝑥→0 3

1+𝑥
𝑒

𝑥→0

1− 1−𝑥 2

1

= lim

b) Đây là giới hạn dạng 1∞ , nên lim

= lim

1
1 𝑥
𝑥

= lim 𝑒

1
1 1+𝑥 𝑥
−1
𝑥
𝑒

𝑥→0

1− 1−𝑥 2
3𝑥 2

1−𝑥 2 1+ 1−𝑥 2

1
= .
6

.

1

1

1 + 𝑥 𝑥 𝑒 −1 − 1
𝑒 𝑥 ln
− 1 = lim
= lim
𝑥→0
𝑥→0
𝑥

1
𝑥2
𝑥− +𝑜 𝑥 2
𝑥
2

1+𝑥 −1

−1

𝑥

−𝑥 𝑜 𝑥 2
−1
2 + 𝑥
= lim

∙
lim
𝑥→0 −𝑥
𝑥→0
𝑜 𝑥2
𝑥
𝑥
+
2
𝑥
−1 𝑜 𝑥 2
−1
= 1 ∙ lim
+ 2
=
.
𝑥→0
2
𝑥
2

𝑥→0

−1

−𝑥 𝑜 𝑥 2
𝑒2+ 𝑥

−1

−1

Giới hạn phải tìm bằng 𝑒 2 .
Cách khác:
lim ln

𝑥→0

1+𝑥
𝑒

1
1 𝑥
𝑥

= lim

𝑥→0

1 ln 1 + 𝑥
−1
𝑥
𝑥

ln 1 + 𝑥 − 𝑥
𝑥→0
𝑥2

= lim

1
1
+
𝑥 − 1 = lim −1 = −1.
= lim
𝑥→0
𝑥→0 2 1 + 𝑥
2𝑥
2
𝐿

Câu 3 (1+1 điểm).

8𝑥 3 + 16𝑥
4𝑥 2 + 8
4𝑡 − 8 𝑑𝑡
𝑡=𝑥 2 +4
𝑑𝑥
=
𝑑 𝑥2 + 4
=
2
2
2
2
𝑥 +4
𝑥 +4
𝑡2
4 8
8

8
− 2 = 4 ln 𝑡 + + 𝐶 = 4 ln 𝑥 2 + 4 + 2
+ 𝐶.
𝑡 𝑡
𝑡
𝑥 +4

𝑎)
=

𝜋
−
4

𝑏)

cos3 𝑥𝑑𝑥
3

𝜋
−2

sin 𝑥

𝜋
−
4

=

1 − sin2 𝑥 𝑑 sin 𝑥
3

𝜋
−2

sin 𝑥

3

1
−6
2

𝑡= sin 𝑥

=

−1

1 − 𝑡 6 𝑑𝑡 3
𝑡


1
−6
2

=3
Câu 4 (1 điểm).

1

𝑡 2 𝑡 8 −6 2
1 1 1
1 1
𝑡 − 𝑡 𝑑𝑡 = 3
−
|−1 = 3 3
−
− −
2
8
2 8
2 2 16
7

−1

∞

2
𝜋

1
𝑡=
𝑥

1
1

sin
𝑑𝑥 = −
𝑥2
𝑥

𝜋
2

0

sin 𝑡 𝑑𝑡 =
𝜋
2

0

=

21

9
− .
16 2 8
3

𝜋
sin 𝑡 𝑑𝑡 = − cos + cos 0 = 1.
2

Câu 5 (1 điểm).

2
2
 Giả sử 𝑦 ≠ 0. Ta có: 𝑦 ′ + 𝑥𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑦 3 ⟺ 𝑦 ′ 𝑦 −3 + 𝑥𝑦 −2 = 𝑒 𝑥 .
Thay 𝑧 = 𝑦 −2 ⟹ 𝑧 ′ = −2𝑦 ′ 𝑦 −3 , ta có phương trình vi phân tuyến tính:
1 ′
2
2
𝑧 + 𝑥𝑧 = 𝑒 𝑥 ⟺ 𝑧 ′ − 2𝑥𝑧 = −2𝑒 𝑥 .
−2
Phương trình này có nghiệm tổng quát là
𝑧=



2

−2𝑒 𝑥 𝑒 −2

𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 2

𝑥𝑑𝑥

=

2

2

−2 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑥 = −2𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑥 .

.
Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là
2
𝑦 2 −2𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑥 − 1 = 0. (0,5 điểm)
Dễ thấy 𝑦 ≡ 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho. (0,5 điểm)

Câu 6 (1,5 điểm).
 Phương trình đặc trưng
4 - 33 + 32 - 3 + 2 = 0  ( - 1)( - 2)(2 + 1) = 0
có tập nghiệm {1; 2; 𝑖; −𝑖}. (0,5 điểm)
 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là
𝑛𝜋
𝑛𝜋
𝑥𝑛 = 𝐶1 + 𝐶2 2𝑛 + 𝐶3 cos 2 + 𝐶4 sin 2 . (0,5 điểm)
 Một nghiệm riêng 𝑥𝑛∗ của xn+4 – 3xn+3 + 3xn+2 – 3xn+1 + 2xn = 102n có dạng 𝑥𝑛∗ = 𝐴𝑛2𝑛 . Thay vào
phương trình đã cho rồi giản ước cho 2n ta có
A[(n+4)24 – 3(n+3)23 + 3(n+3)22 – 3(n+1)2 + 2n] = 10.
Cho n = 0  A = 1  𝑥𝑛∗ = 𝑛2𝑛 .
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
𝑛𝜋
𝑛𝜋
𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛∗ = 𝐶1 + 𝐶2 2𝑛 + 𝐶3 cos 2 + 𝐶4 sin 2 + 𝑛2𝑛 . (0,5 điểm).
Câu 7 (1,5 điểm).
Hàm lợi nhuận của sản phẩm là
Π 𝑄1 ; 𝑄1 = 230𝑄1 + 305𝑄2 − 3𝑄12 − 5𝑄22 − 7𝑄1 𝑄2 . (0,5 điểm)
Π𝑄′ 1 = 230 − 6𝑄1 − 7𝑄2
Π𝑄′ 2 = 305 − 7𝑄1 − 10𝑄2
Giải hệ:

230 − 6𝑄1 − 7𝑄2 = 0
,
305 − 7𝑄1 − 10𝑄2 = 0
ta có 𝑄1 = 15; 𝑄2 = 20.
Π"𝑄12 = −6, Π"𝑄22 = −10, Π"𝑄1 𝑄2 = −7 ⟹ 𝐷 = Π"𝑄12 Π"𝑄22 − Π"𝑄1 𝑄2

2

= 11. (0,5 điểm)

𝐷 > 0, Π"𝑄12 < 0 ⟹ Π đạt cực đại tại 𝑄1 = 15, 𝑄2 = 20 và tại đó 𝜋 = 4775. (0,5 điểm)


ĐỀ SỐ 2, K15, THI NGÀY 24-12-2012
Câu 1.
Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là 𝑃 = 600 − 2𝑄 $ và tổng chi phí là 𝐶 = 0,2𝑄 2 + 28𝑄 +
200 &. Tìm mức sản xuất 𝑄 để lợi nhuận tối đa, tìm mức giá 𝑃 và lợi nhuận khi đó.
Nếu chính quyền đặt thuế 22 $ cho mỗi đơn vị sản phẩm thì lợi nhuận tối đa đạt được với mức giá bao
nhiêu?
Câu 2.
Tính các giới hạn sau:
cos 𝑥𝑒 𝑥 − cos 𝑥𝑒 −𝑥
;
𝑥→0
𝑥3

𝑎) lim

𝑏) lim 𝑥 + 2𝑥
𝑥→+∞

1
𝑥.

Câu 3.
Tìm cực trị của hàm số
𝑧 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 2𝑦 − 𝑦 2 (𝑥 > 0; 𝑦 > 0).
Câu 4.
Tính các tích phân sau:

𝑎)

𝑑𝑥
𝑥 𝑥2 − 1

𝜋
2

;

𝑏)
0

Câu 5.
Xét sự hội tụ và tính tích phân suy rộng sau (nếu hội tụ)
∞

0

Câu 6.

Giải phương trình 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥 3 𝑦 3 .
Câu 7.
Giải phương trình 𝑦𝑡+2 + 4𝑦𝑡+1 + 3𝑦𝑡 = 16.

𝑥2

𝑑𝑥
.
+1 2

𝑑𝑥
.
2 cos 𝑥 + 3


ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2, NGÀY 24-12-2012
Câu 1 (1 điểm).
Hàm lợi nhuận của sản phẩm là
𝜋 𝑄 = 𝑇𝑅 − 𝐶 = 𝑃 ∙ 𝑄 − 0,2𝑄 2 + 28𝑄 + 200 = −2,2𝑄 2 + 572𝑄 − 200.
Do 𝜋 𝑄 = −2,2 𝑄 − 130 2 + 36980 ≤ 𝜋 130 = 36980, nên với 𝑄 = 130 ta có lợi nhuận tối đa. Khi
đó, 𝑃 = 600 − 2 ∙ 130 = 340. (0,5 điểm)
Khi tính cả thuế, ta có 𝜋 𝑄 = −2,2𝑄2 + 572𝑄 − 200 − 22𝑄 = −2,2𝑄 2 + 550𝑄 − 200.
Do 𝜋 𝑄 = −2,2 𝑄 − 125 2 + 34175 ≤ 𝜋 125 = 34175, nên với 𝑄 = 125 ta có lợi nhuận tối đa. Khi
đó, 𝑃 = 600 − 2 ∙ 125 = 350. (0,5 điểm)
Câu 2 (1+1 điểm).
1)

cos 𝑥𝑒 𝑥 −cos 𝑥𝑒 −𝑥
lim
𝑥3

𝑥→0

= lim

−2 sin 𝑥

𝑥→0

−1
𝑒
=
lim
2 𝑥→0

1

2)

lim 𝑥 +

𝑥→+∞

2𝑥 𝑥

= lim 𝑒

2𝑥

ln 𝑥+2 𝑥
𝑥

𝑥→+∞

𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
2

−𝑒
𝑥

sin 𝑥

𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
2

𝑥3
−2𝑥

= lim
4𝑥

−2𝑥

𝑥→0

𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
𝑥
2
2
𝑥3

−1
𝑒 −1
1
−4
=
lim
lim 2𝑥 =
= −2.
𝑥→0 𝑒
2 𝑥→0 𝑥
2

𝐿

= lim 𝑒

1+2 𝑥 ln 2
𝑥+2 𝑥

𝑥→+∞

𝐿

= lim 𝑒

2 𝑥 ln 2 2
1+2 𝑥 ln 2

𝑥→+∞

= lim 𝑒

ln 2 2
1
+ln 2
2𝑥

𝑥→+∞

= 𝑒 ln 2 = 2.

Câu 3 (1,5 điểm).
𝑧𝑥′ = 2 − 2𝑥 2𝑦 − 𝑦 2 ; 𝑧𝑥′ = 2𝑥 − 𝑥 2 2 − 2𝑦 (𝑥 > 0; 𝑦 > 0).



𝑧(𝑥; 𝑦) có hai điểm dừng là 𝑀1 1; 1 ; 𝑀2 2; 2 .
′′
𝑧𝑥′′2 = −2 2𝑦 − 𝑦 2 ; 𝑧𝑦′′ 2 = −2 2𝑥 − 𝑥 2 ; 𝑧𝑥𝑦
= 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 .
′′
𝐷 𝑥; 𝑦 = 𝑧𝑥′′2 𝑧𝑦′′ 2 − 𝑧𝑥𝑦




2

= 4 2𝑥 − 𝑥 2 2𝑦 − 𝑦 2 − 2 − 2𝑥

2

2 − 2𝑦 2 . (0,5 điểm)

𝐷 1; 1 = 4 > 0; 𝑧𝑥′′2 = −2 < 0 ⟹ hàm số đạt cực đại tại 𝑀1 1; 1 ; 𝑧 1; 1 = 1. (0,5 điểm)
𝐷 2; 2 = −16 < 0 ⟹ hàm số không đạt cực trị tại 𝑀2 2; 2 . (0,5 điểm)

Câu 4 (1+1 điểm).
𝑑𝑥

𝑎)

𝑥 𝑥2 − 1
𝜋
2

𝑏)
0

=

𝑥𝑑𝑥

𝑡= 𝑥 2 −1

=

𝑡𝑑𝑡
=
+1 𝑡

𝑡2

𝑑𝑡
+1

𝑡2

𝑥2 𝑥2 − 1
= arctan𝑡 + 𝐶 = arctan 𝑥 2 − 1 + 𝐶.
𝑥 1

𝑡=tan
𝑑𝑥
2
=
2 cos 𝑥 + 3

0

2
1
𝑑𝑡
2
𝑡 1
2
1
1 + 𝑡2
𝑑𝑡 = 2
𝑑𝑡 =

arctan
|0 =
arctan .
1 − 𝑡2
𝑡2 + 5
5
5
5
5
2
+3
0
1 + 𝑡2


Câu 5 (1 điểm).
𝑑𝑥
𝑥
1
𝑥
𝑥2
=
−
𝑥𝑑
=
+
2
𝑑𝑥
𝑥2 + 1 𝑥2 + 1
𝑥2 + 1 𝑥2 + 1

𝑥2 + 1 2
𝑥
𝑥2 + 1 − 1
𝑥
𝑑𝑥
= 2
+2
𝑑𝑥 = 2
+ 2𝐼 − 2
2
2
2
𝑥 +1
𝑥 +1
𝑥 +1
𝑥 +1 2
𝑑𝑥
𝑥
1
𝑥
1
=
+ 𝐼=
+ arctan𝑥 + 𝐶. (0,5 điểm)
2
2
2
2
𝑥 +1
2 𝑥 +1

2
2 𝑥 +1
2

𝐼=

⟹
∞

0

𝑑𝑥
2
𝑥 +1

𝑡
2

= lim

𝑡⟶∞
0

𝑥2

𝑑𝑥
+1

2

= lim

𝑡⟶∞

Cách khác:
∞

0

𝑥2

𝑑𝑥
+1
𝜋
2

0

2

𝜋
2
𝑥=tan 𝑡
2

=

0

𝑡

1
1𝜋 𝜋
+ arctan𝑡 = 0 +
= . (0,5 điểm)
+1
2
22 4

𝑡2

1
+1

tan2 𝑡

𝜋
2
2

cos 2 𝑡 𝑑𝑡

𝑑 tan 𝑡 =
0

1 + cos 2𝑡
𝑡 sin 2𝑡 𝜋2 𝜋
𝑑𝑡 =
+
|0 = .
2

2
4
4

Câu 6 (1 điểm).


Giả sử 𝑦 ≠ 0. Ta có: 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥 3 𝑦 3 ⟺ 𝑦 ′ 𝑦 −3 + 2𝑥𝑦 −2 = 2𝑥 3 .
Thay 𝑧 = 𝑦 −2 ⟹ 𝑧 ′ = −2𝑦 ′ 𝑦 −3 , ta có phương trình vi phân tuyến tính:
1 ′
𝑧 + 2𝑥𝑧 = 2𝑥 3 ⟺ 𝑧 ′ − 4𝑥𝑧 = −4𝑥 3 .
−2
Phương trình này có nghiệm tổng quát là
𝑧=
=

−4𝑥 3 𝑒 −4

𝑥𝑑𝑥
2

𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 4
2

𝑥𝑑𝑥

=
2

𝑥 2 𝑑𝑒 −2𝑥 + 𝐶 𝑒 2𝑥 = 𝑥 2 𝑒 −2𝑥 −

2

−4𝑥 3 𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 2𝑥
2

𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 2 + 𝐶 𝑒 2𝑥

2

2

2

𝑒 −2𝑥
1
2
2
= 𝑥 𝑒
+
+ 𝐶 𝑒 2𝑥 = 𝑥 2 + + 𝐶𝑒 2𝑥 .
2
2
Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là
1
2
𝑦 2 𝑥 2 + + 𝐶𝑒 2𝑥 − 1 = 0. (0,5 điểm)
2
Dễ thấy 𝑦 ≡ 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho. (0,5 điểm)
2 −2𝑥 2



Câu 7 (1,5 điểm).
Phương trình đặc trưng 𝑘 2 + 4𝑘 + 3 = 0 có các nghiệm là −1; −3.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là
𝑦𝑡 = 𝐶1 −1 𝑡 + 𝐶2 −3 𝑡 . (0,5 điểm)
Một nghiệm riêng của phương trình 𝑦𝑡+2 + 4𝑦𝑡+1 + 3𝑦𝑡 = 16 có dạng 𝑦𝑡∗ = 𝐴.
Thay vào phương trình này, ta có: 𝐴 + 4𝐴 + 3𝐴 = 16 ⟺ 𝐴 = 2. (0,5 điểm)
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 𝑦𝑡 = 𝑦𝑡 + 𝑦𝑡∗ = 𝐶1 −1 𝑡 + 𝐶2 −3

𝑡

+ 2. (0,5 điểm)