Tổng hợp các đề thi vào lớp 10 chuyên toán tỉnh Thừa Thiên Huế

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HỌC
THỪA THIÊN HUẾ
*****

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC

KHÓA NGÀY 19.6.2006
MÔN : TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Số báo danh: .......... Phòng: ........

Bài 1: (2,5 điểm)
a) Tìm các số thực u, v biết : u 3 + v3 = 7 và u ×v = −2 .
2
b) Giải phương trình : ( x − 1) ( x + 3) ( x + 5 ) = 9 .
Bài 2: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) có đường kính BD = 2R, dây AC của (O) vuông
góc với BD tại H. Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là chân các đường vuông
góc kẻ từ H đến AB, AD, CD, CB.
a) Chứng tỏ : HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 .
b) Chứng minh tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp .
c) Chứng minh : PR + QS ≤ AB + AD .
Bài 3: (3 điểm)
a) Đặt 2 = p ; 3 2 = q . Chứng tỏ rằng :
.
b) Chứng tỏ :

(

1
1
p q
− 3 = p + q + + +1
3
q p
2− 2
2

)

x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz = ( x + y + z ) x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx với mọi số thực
x, y , z .

Suy ra với a, b, c là các số dương ta luôn có : a + b + c ≥ 3 3 abc .
c) Phân chia chín số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 thành ba nhóm tuỳ ý, mỗi
nhóm có ba số. Gọi T1 là tích của ba số của nhóm thứ nhất, T 2 là
tích của ba số của nhóm thứ hai và T3 là tích của ba số của nhóm
thứ ba. Hỏi tổng : T1 + T2 + T3 có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu ?
Bài 4: (1 điểm)
Một thùng sắt đậy kín hình lập phương. Biết rằng trong thùng chứa 9
khối có dạng hình cầu cùng bán kính, làm bằng chất liệu rất rắn .
Chứng minh rằng nếu cạnh của thùng hình lập phương là a thì đường
kính của các khối cầu bên trong nó nhỏ hơn hoặc bằng ( 2 3 − 3 )a.
-------------------Hết--------------------Thõa Thiªn HuÕ

M«n: TO¸N - N¨m häc 2007-2008

Thời gian làm bài: 150 phút

Đề chính thức

Bi 1: (2 im)
Gii h phng trỡnh:

x 2 + 2 y = 8
2
y 2x = 8

Bi 2: (2 im)
4
2
2
4
Chng minh rng phng trỡnh: x 2 ( m + 2 ) x + m + 3 = 0 luụn cú 4
nghim phõn bit x1 , x2 , x3 , x4 vi mi giỏ tr ca m .
2
2
2
2
Tỡm giỏ tr m sao cho x1 + x2 + x3 + x4 + x1 ìx2 ìx3 ìx4 = 11 .
Bi 3: (3 im)
Cho hỡnh vuụng c nh PQRS. Xột mt im M thay i trờn cnh
PQ (M P, M Q). ng thng RM ct ng chộo QS ca hỡnh vuụng
PQRS ti E. ng trũn ngoi tip tam giỏc RMQ ct ng thng QS
ti F (F Q). ng thng RF ct cnh SP ca hỡnh vuụng PQRS ti N.
ã
ã

ã
1. Chng t rng: ERF
.
= QRE
+ SRF
2. Chng minh rng khi M thay i trờn cnh PQ ca hỡnh vuụng
PQRS thỡ ng trũn ngoi tip tam giỏc MEF luụn i qua mt
im c nh.
3. Chng minh rng: MN = MQ + NS.
Bi 4: (2 im)
Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn p, q sao cho ng thc sau ỳng:

p2 + q3 =

pq 2 p q + 1

Bi 5: (1 im)
Chng minh vi mi s thc x, y , z luụn cú:
x + y z + y + z x + z + x y + x + y + z 2( x + y + z )
Ht
Sở Giáo dục và đào tạo
Thừa Thiên Huế
Đề chính thức

Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC

Môn: TOáN - Năm học 2008-2009

Thời gian làm bài: 150 phút

Bi 1: (3 im)
a) Khụng s dng mỏy tớnh b tỳi, hóy chng minh ng thc :


3 − 3 − 13 − 4 3 = 1 .




b) Giải hệ phương trình : 

x +1 + y = 5

2

( x + 2 x + 1) y = 36

Bài 2: (1,5 điểm)
Cho phương trình: x 4 − 2mx 2 + 2m − 1 = 0 .
Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm x1, x2 , x3 , x4 sao cho:

x1 < x2 < x3 < x4 và x4 − x1 = 3 ( x3 − x2 ) .

Bài 3: (3 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của bán kính
OB và (S) là đường tròn đường kính AC. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm tùy
ý phân biệt M, N khác A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM
và AN với đường tròn (S).
a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ.
b) Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm. Chứng minh:

ME 2 = MA ×MP .
c) Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm. Chứng minh:

ME AM
=
.
NF AN

Bài 4: (1,5 điểm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho hai điều
kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
(ii) Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng
chục và chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ
số hàng trăm.
Bài 5: (1 điểm)
Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên.
Chứng minh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và
diện tích mỗi phần là số nguyên.
Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ
Môn: TOÁN CHUYÊN - Năm học 2009-2010
ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: (2 điểm)

Thời gian làm bài: 150 phút

Cho phương trình : x 2 − mx − m − 1 = 0 ( m là tham số).
a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm
thực phân biệt x1 , x2 .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =

m 2 + 2m
.
x12 + x22 + 2

Bài 2: (3 điểm)
a) Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.
Chứng minh rằng phương trình cx 2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm
dương phân biệt.
b) Giải phương trình :

2− x
x+4
−2
+1 = 0
x+4
2− x

c) Chứng minh rằng có duy nhất bộ số thực (x ; y ; z) thỏa mãn điều
kiện :
x − 2008 + y − 2009 + z − 2010 + 3012 =

1
( x + y + z)
2

Bài 3: (2,5 điểm)
Cho góc xOy có số đo bằng 60o. Đường tròn có tâm K nằm trong góc
xOy tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy
điểm P sao cho OP = 3OM.
Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường
thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng
MN ở F.
a) Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ.
b) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp được trong đường tròn.
c) Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giác DEF là
một tam giác đều.
Bài 4: (1,5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (a ; b) nghiệm đúng điều kiện :
(a − 1) 2 (a 2 + 9) = 4b 2 + 20b + 25 .

Bài 5: (1 điểm)


Người ta gọi “Hình vuông (V) ngoại tiếp tứ giác lồi ABCD” khi tứ giác
ABCD nằm trong (V) và trên mỗi cạnh của (V) có chứa đúng một đỉnh
của tứ giác ABCD (Hình 1).
Giả sử tứ giác lồi ABCD có hai hình vuông ngoại tiếp khác nhau.
Chứng minh rằng tứ giác này có vô số hình vuông ngoại tiếp nó.
--------------- HẾT --------------SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC
HỌC
THỪA THIÊN HUẾ
Khoá ngày 24.6.2010

Môn: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (1,5 điểm)
Xác định tham số m để phương trình ( m + 1) x − 2 ( m − 1) x + m − 2 = 0
có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn: 4 ( x1 + x2 ) = 7 x1 x2 .
2

Bài 2: (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + xy + y 2 − 2 x − 3 y + 2010 khi
các số thực x, y thay đổi. Giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại các giá trị nào
của x và y.
Bài 3: (2,5điểm)
a) Giải phương trình :

3

x + 3 + 3 5 − x = 2.

1 1

 x+ y+ x + y +4=0

b) Giải hệ phương trình : 
 xy + 1 + x + y - 4 = 0

xy y x

Bài 4: (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC có BC = 5a, CA = 4a, AB = 3a. Đường trung trực
của đoạn AC cắt đường phân giác trong của góc BAC tại K.
a) Gọi (K) là đường tròn có tâm K và tiếp xúc với đường thẳng AB.
Chứng minh rằng đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của
tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn AK cũng là tâm đường tròn
nội tiếp của tam giác ABC.
Bài 5: (2,0 điểm)


65 5
= .
26 2
Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b ; c) gồm các chữ số hệ thập phân a , b,
ab b
=
c đôi một khác nhau và khác 0 sao cho đẳng thức
đúng.
ca c
a) Với bộ số (6 ; 5 ; 2), ta có đẳng thức đúng :

b) Cho tam giác có số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai
góc còn lại và độ dài các cạnh a, b, c của tam giác đó thoả mãn:
a +b−c = a + b − c .
Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều.
--------------- HẾT --------------SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỪA THIÊN HUẾ
ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN

QUỐC HỌC
Khóa ngày 24-6-2011
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài :150 phút

Bài 1: (2 điểm)
 x 2 + y 2 − xy = 19
Giải hệ phương trình:  3 3
 x + y + 19 = 0

Bài 2: (1,5 điểm)
Cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = ax − a .
Xác định tham số a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ
x1 , x2

1

1

thỏa mãn: x + x = 1 .
1
2

Bài 3: (2,5 điểm)
a) Giải phương trình :

x + 2 + 2 x +1 + x + 2 − 2 x +1 = 1+ x

b) Tìm các số nguyên tố p sao cho hai số 2(p + 1) và 2(p 2 + 1) là hai
số chính phương.

Bài 4: (2 điểm)


Cho hai đường tròn (S) và (T) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng
∆ tiếp xúc với đường tròn (S) tại C, tiếp xúc với đường tròn (T) tại E và
sao cho khoảng cách từ A đến ∆ lớn hơn khoảng cách từ B đến ∆ .
a) Gọi D là điểm đối xứng của A qua đường thẳng ∆ .
Chứng minh rằng tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn
(V).
b) Gọi RS , RT và RV lần lượt là các bán kính của các đường tròn (S),
(T) và (V).
RS RT = RV2 .
Chứng minh rằng:
Bài 5: (2 điểm)
a) Xét các số thực x, y, z, t thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
x + y + z + t = 8 và xy + xz + xt + yz + yt + zt = 18.
Tìm giá trị nhỏ nhất của t.
b) Cho 9 hình vuông có các độ dài cạnh tính bằng mét là n + 1, n + 2,
n + 3,
n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8, n + 9, với n là số nguyên
dương. Gọi S là tổng diện tích của 9 hình vuông này.
Có hay không một hình vuông diện tích bằng S và có độ dài cạnh là
một số nguyên mét?
--------------- HẾT --------------SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ
Năm học:

2012 - 2013

Khóa ngày: 24/6/2012
Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TOÁN)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian
giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm)
 x 2 + y 2 = x + y + 8
Giải hệ phương trình: 
 x ( x − 1) y ( y − 1) = 12
Bài 2: (2,0 điểm)

(

)(

)

2
2
Cho các số thực u, v sao cho: u + u + 2 v − 1 + v − 2v + 3 = 2.

Chứng minh: u 3 + v 3 + 3uv = 1

Bài 3: (2,0 điểm)


Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B sao cho đoạn thẳng OO'
cắt đường thẳng AB. Đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn (O) tại C, tiếp xúc

với đường tròn (O') tại D và sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng Δ lớn
hơn khoảng cách từ B đến đường thẳng Δ. Đường thẳng qua A song song với
đường thẳng Δ cắt đường tròn (O) thêm điểm E và cắt đường tròn (O’) thêm
điểm F. Tia EC cắt tia FD tại G. Đường thẳng EF cắt các tia CB và tia DB lần
lượt tại H và K.
a) Chứng minh tứ giác BCGD nội tiếp được trong đường tròn.
b) Chứng minh tam giác GHK là tam giác cân.
Bài 4: (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên dương lẻ x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1 1 1 1
+ + =
x < y < z và
x y z 3
b) Chứng minh rằng tồn tại 2013 số nguyên dương a1, a2, a3,……, a2013 sao
cho:
1 1 1
1
1
+ + + ..... +
+
=1
a1 < a2 < a3 <……< a2013 và
a1 a 2 a 3
a 2012 a 2013
Bài 5: (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng diện tích của những tứ giác có các đỉnh nằm trong hoặc
trên một đường tròn bán kính R luôn nhỏ hơn hoặc bằng 2R2.
b) Cho x và y là các số thực dương thay đổi sao cho x + y = 2.
x2 + 3y 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của T =

.
2xy 2 − x 2 y 3
------Hết------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

®Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt
CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ
N¨m häc 2013 - 2014
M«n thi: To¸n
Thêi gian: 120 phót (Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bài 1: (1.5đ)
Giải hệ phương trình

1
=3
y
.
( x +1) y = 2 x

{

x+ y+

Bài 2: (1.5đ) Cho phương trình x4+(1−m)x2+2m−2=0 (m là tham số)
1.Tìm các giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.


2.Trong trường hợp pt có 4 nghiệm phân biệt là x1, x2, x3, x4, hãy tìm các giá trị
của m sao cho
x1 x2 x3 x1 x2 x4 x1 x3 x4 x2 x3 x4
+

+
+
= 2013 .
2 x4
2 x3
2 x2
2 x1
Bài 3: (1.5đ)
1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z + xyz = 4 . Tính giá
trị của biểu thức T = x(4 − y )(4 − z ) + y (4 − z )(4 − x) + z (4 − x)(4 − y ) − xyz .
2. Cho số tự nhiên có 2 chữ số. Khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó được
thương là q dư r. Nếu đổi chỗ 2 chữ số của số đó cho tổng các chữ số của nó được
thương 4q dư r. Tìm số đã cho.
Bài 4: (3 điểm)
1. Cho đường tròn (O) đường kính BC. Lấy điểm A trên đường tròn sao
cho AB>AC (A khác C). Vẽ hình vuông ABDE (D và E cùng nằm trên nửa mp
bờ AB không chứa C). Gọi F là giao điểm thứ 2 của AD với đường tròn và K là giao
điểm của CF với DE. Chứng minh KB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
2. Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác ABC. Đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt CA, CB theo thứ tự tại M, N.
Chứng minh:
a) AM.BN=IM2=IN2.
IA2 IB 2 IC 2
b)
+
+
= 1.
BC AC AB
Bài 5: (2 điểm)
1. Cho 2 số dương a và b thỏa mãn điều kiện a+b≤2. Chứng minh

(a + 1)6 (b + 1) 6
+
≥ 128 .
b5
a5
n
2. Tìm số tự nhiên có 3 chữ số n = 100a + 10b + c sao cho biểu thức
đạt
a+b+c
giá trị nhỏ nhất.