Baì giảng chi tiết môn lý thuyết điều khiển tự động dùng cho nghành máy tàu biển chuong 8

Chương VIII
Khảo sát tính ổn định của hệ thống tự động điều chỉnh
Trong quá trình xây dựng và khai thác hệ thống tự động điều chỉnh để có thể đánh giá được chính
xác khả năng làm việc của hệ thống; phải dựa vào một số tính chất của hệ thống, đó là: Tính ổn định và
chỉ tiêu chất lượng của hệ thống. ở chương này chủ yếu đi sâu vào các khái niệm ổn định và những
phương pháp toán học biểu thị những tính chất trên.
8.1 Khái niệm về quá trình chuyển tiếp của hệ thống tự động điều chỉnh
Quá trình chuyển tiếp của hệ thống tự động điều chỉnh là quá trình thay đổi theo thời gian của đại
lượng được điều chỉnh khi hệ thống chuyển từ trạng thái cân bằng này sang trạng thái cân bằng khác hoặc
xác lập lại trạng thái cân bằng cũ khi xuất hiện tác động nhiễu (nhiễu ngoài hoặc nhiễu trong). Nếu gọi Y
là đại lượng được điều chỉnh của hệ thống thì biểu thức toán học biểu thị quá trình chuyển tiếp sẽ là:
y = F (t)
Như đã biết hệ thống tự động tuyến tính được biểu thị bằng phương trình:

dn y
d n −1 y
dmx
d m −1 x
an
+ a n −1 n −1 +... + a o y = b m
+ b m −1 m −1 +... + b o x
dt n
dt
dt m
dt
hoặc : N (p) y = M(p).x
Trong đó:
N(p) toán tử riêng của hệ thống tự động
M(p) toán tử của tín hiệu vào hệ thống
Y = F(t) chính là nghiệm của phương trình động của hệ thống điều chỉnh (phương trình 2).
1. Thông thường phương trình động (2) là phương trình vi phân không đồng nhất do vậy nghiệm y

= F(t) là tổng nghiệm của phương trình có phần thuần nhất y 1 và phương trình vi phân không thuần nhất
y2.
y = y1 + y2 = f1(t) + f2(t)

(3)

Nghiệm y1 của phương trình vi phân thuần nhất được gọi là nghiệm chung. Nó biểu thị quá trình
chuyển tiếp tự do của hệ thống. Khái niệm tự do ở đây ta có thể hiểu là quá trình chuyển tiếp mà khi đó
tác động nhiễu chỉ là nguyên nhân gây nên quá trình này. Quá trình chuyển tiếp tự do được biểu thị bằng
phương trình vi phân thuần nhất. Nghiệm y 2 đặc trưng cho quá trình chuyển tiếp cưỡng bức dưới ảnh
hưởng không đổi của tác động nhiễu.
y2 = f2(t)

(4)

Trong trường hợp này tác động nhiễu đối với hệ thống có thể là tác động nhiễu từ bên ngoài (f) và
tác động hiệu chỉnh (x0). Do vậy để biểu thị được quá trình chuyển tiếp của hệ thống tự động cần thiết
phải tìm được nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (2). Muốn như vậy trước hết phải tìm
nghiệm chung của phương trình thuần nhất sau đó giải phương trình không thuần nhất.
1. Quá trình chuyển tiếp tự do:

159


Nghiệm của phương trình thuần nhất có dạng:
y1j = Cj . epjt

(5)

Thay biểu thức (5) vào phương trình N (p)y = 0 ta có:

anCjPjnepjt + an-1CjPjn-1epjt+...+ aoCjepjt = 0

(6)

Khi chia cả hai vế của phương trình này cho Cjepjt ta có:
anPnj + an-1Pjn-1 + ...+ a0 = 0

(7)

Phương trình (7) được gọi là phương trình đặc tính có n nghiệm từ P1 đến Pn đồng thời cũng là
những hệ số Pj trong các biểu thức:
C1ep1t . C2ep2t. C3ep3t....Cnepnt

(8)

Với các giá trị C không đổi thỏa mãn với phương trình N (p)y = 0
Tất cả những phần tử (8) đều là các nghiệm thành phần của phương trình N (p)y = 0. Vậy nghiệm
chung của phương trình thuần nhất chính là tổng các nghiệm thành phần:
n

y1 = ∑ C j .e

p jt

(9)

j =1

Các hằng số tích phân C1, C2...Cn được xác định bằng những biểu thức ban đầu ở thời điểm t = 0.
Phân tích phương trình đặc tính (7) cho thấy phương trình đặc tính này có thể viết dưới dạng đa

thức nhận từ định thước toán tử chính của hệ thống tự động điều chỉnh.
N(p) = 0

(10)

Qua biểu thức (8) biểu thị nghiệm chung của phương trình vi phân phương trình động của hệ
thống điều chỉnh phụ thuộc vào nghiệm của phương trình đặc tính (7), nghiệm của phương trình đặc tính
này có thể có giá trị dương, âm, và số phức.
Pj, j + 1 = aj + i bj

(11)

Trong trường hợp chung nhất nếu phương trình đặc tính có k nghiệm thực thì số cặp nghiệm phức
sẽ là

n−k
và nghiệm chung của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:
2
k

y1 = ∑ C j .e
j =1

p jt

+

n−k
2

∑C e

j = k +1

α jt

j

sin( β j t + γ j )

(12)

Vậy nghiệm chung của phương trình thuần nhất được xác định bằng tổng đại số thành phần phi
chu kỳ và dao động. Do đó qua biểu thức biểu thị nghiệm chung của phương trình thuần nhất (9) và (12)
cho thấy đặc tính của quá trình chuyển tiếp được xác định bằng giá trị và dấu của nghiệm phương trình
đặc tính (7) hoặc (10).
Thật vậy:

160


a) Quá trình chuyển tiếp là phi chu kỳ (hàm mũ) chỉ trong điều kiện khi tất cả nghiệm của phương
n

trình đặc tính có giá trị thực y1 =

∑C p
j

j =1

pit

.

Giá trị tổng tiến tới không khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính N (p) = 0 là
các giá trị thực âm. Quá trình này được biểu thị bằng các đường cong phi chu kỳ hội tụ (2,3,4) trên hình
8-1a.

Nếu trong họ các nghiệm của phương trình đặc tính có một nghiệm thực dương thì độ lệch tương đối của
thông số điều chỉnh yio sẽ lớn lên theo thời gian. Quá trình chuyển tiếp này được mô tả bằng đường 1 là
dạng phi chu kỳ phân kỳ.
b. Nếu trong họ các nghiệm của phương trình đặc thù dù chỉ có một cặp nghiệm phức thì quá trình
chuyển tiếp được mô tả:
k

y1 = ∑ C j .e
j =1

p jt

+

n−k
2

∑C e

j = k +1

α jt

j

sin( β j t + γ j )

và quá trình chuyển tiếp sẽ là quá trình dao động. Thành phần dao động hoặc thành phần phi chu
kỳ có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Thành phần dao động của quá trình chuyển tiếp y 1 = f(t) là hội tụ nếu giá trị
của biên độ dao động ở những khoảng thời gian khác nhau khi sin (β it + γj) = +1 nhỏ dần theo thời gian và
có thể tiến tới giá trị không. Điều này có thể xảy ra khi phần thực của cặp nghiệm phức có giá trị âm a j <
0.
- Còn nếu trường hợp aj > 0 thì giá trị độ lệch của y 01 sẽ lớn lên theo thời gian và thành phần dao
động của quá trình chuyển tiếp sẽ là quá trình dao động phân kỳ hình 8-1c.

161


- Trường hợp aj = 0 nghiệm của phương trình đặc tính có dạng thuần ảo thành phần y j, 1 (dao động)
có giá trị biên độ dao động không đổi nghĩa là không có khả năng trở lại trạng thái cân bằng sau khi nó bị
phá vỡ (8-1d). Quá trình chuyển tiếp này gọi là quá trình dao động điều hòa.
c. Xét biểu thức (12) cho thấy. Trong trường hợp tổng quát quá trình chuyển tiếp tự do bao gồm 2
thành phần dao động và phi chu kỳ. Vậy quá trình này chỉ hội tụ khi tất cả các thành phần chu kỳ và dao
động đều hội tụ.
Từ việc phân tích trên có thể rút ra kết luận:
Quá trình chuyển tiếp tự do của hệ thống tự động điều chỉnh là hội tụ khi và chỉ khi nghiệm của
phương trình đặc tính có các nghiệm thực âm và phần thực của các cặp nghiệm phức cũng có giá trị âm.
Ngược lại trong họ nghiệm dù chỉ cần có một nghiệm thực là dương hoặc phần thực của cặp nghiệm phức
là dương thì quá trình chuyển tiếp mang tính phân kỳ.
2. Quá trình chuyển tiếp cưỡng bức
Nghiệm y2 trong phương trình (3) biểu thị thành phần chuyển động cưỡng bức nó xuất hiện khi

trong hệ thống luôn có tác động nhiễu loạn. Trong các trường hợp tổng quát tác động nhiễu loạn này khá
phức tạp. Như đã đề cập ở trên sự tồn tại của tác động nhiễu này - tác động cưỡng bức đó chính là do có
sự hiệu chỉnh đối với thông số cho trước (x 0) hoặc do có tác động nhiễu từ bên ngoài làm phá vỡ thế cân
bằng của hệ thống. Trong chu trình của quá trình chuyển tiếp chỉ có thể xảy ra một trong các trường hợp
đó là: Do có sự thay đổi tín hiệu cho trước (x 0) theo ý muốn con người (thay đổi sức căng ban đầu của lò
xo, bộ điều chỉnh vòng quay động cơ diesel để thay đổi chế độ làm việc của động cơ, lưu ý tác động nhiễu
chính (sự thay đổi phụ tải) lực này bằng không (f = 0).
Trong trường hợp chung nhất, sự thay đổi của nhu cầu tiêu thụ năng lượng có thể biểu thị:
x = f (t)

(13

Nếu biết rõ biểu thức (13) có thể xác định được y2 = f2(t) chẳng hạn ở phương trình 2 thông số x
có dạng:
x = x0cos ωt

(14)

x0: Biên độ dao động của phụ tải
ω - Tần số dao động (vận tốc góc)
Khi đó phương trình vi phân không đồng nhất có dạng:
N(P)y = M (p)X0 cosωt

(15)

và nghiệm của phương trình có dạng:
y2 = X0A (ω) cos (ωt + γ(ω))

(16)

ở đây A(ω) và γ(ω) là biên độ và độ lệch pha của đặc tính tần số của hệ thống. Nếu cho trước các giá
trị x0 và tần số ω = ω0 của tác động nhiễu có thể xác định được biên độ A2 của dao động cưỡng bức.
A2 = X0 A (ω0) và độ lệch pha γ2 = γ (ω0)
Như vậy y2 = A2cos (ωt + γ2)

162


Trong thực tế x = f(t) biểu thị sự thay đổi của phụ tải có tính chất chu kỳ cho nên có thể khai triển
thành chuỗi Furie để tính nghiệm y 2 và y = y1 + y2. Khi phân tích quá trình chuyển tiếp nếu nhiễu loạn
càng phức thì việc nghiên cứu hệ thống tự động cũng trở nên phức tạp.
8.2 Khái niệm về tính ổn định và điều kiện ổn định của hệ thống tự động tuyến tính
Đảm bảo cho hệ thống tự động điều chỉnh hoạt động ổn định ở chế độ động là một yêu cầu quan
trọng không thể thiếu được. Hệ thống có khả năng sử dụng được hay không chỉ khi chúng ổn định. Nhà
bác học Nga Liapunov là người đầu tiên đề xướng về lý thuyết "tính ổn định của hệ thống tự động điều
chỉnh".
Tính ổn định của hệ thống tự động điều chỉnh là khả năng duy trì trạng thái được điều chỉnh cho
trước của một hệ thống tự động nào đó với độ chính xác nhất định và khả năng khôi phục lại khi nó bị
phá vỡ. Qua nghiên cứu cho thấy để đánh giá tính ổn định của hệ thống tự động điều chỉnh phải biết được
đặc tính quá trình chuyển tiếp của chúng. Nếu gọi y 0 là giá trị của thông số điều chỉnh ở trạng thái tĩnh và
y là giá trị của thông số điều chỉnh ở trạng thái động. Khi trạng thái cân bằng bị phá vỡ thì tính ổn định
của hệ thống tự động điều chỉnh được biểu thị bằng biểu thức toán học sau:
lim ∆y (t ) < ε
t →∞

(18)

Trong đó:
Δy = |y - y0| độ lệch của thông số điều chỉnh
ε - Giá trị nhỏ cho trước.

Qua biểu thức (18) cho thấy giới hạn độ lệch của đại lượng (Δy) ở trạng thái động sau một thời
gian phải giảm dần, phải nhỏ hơn một giá trị rất nhỏ cho trước e thì hệ thống đó được xác nhận là ổn định.
Việc đánh giá tínhổn định của bất kỳ một hệ thống nào đó là một vấn đề hết sức khó khăn, do tính phức
tạp về cấu trúc hệ thống và các tác động nhiễu. Vì vậy mà phải dùng toán học để đánh giá tính ổn định
của một chuyển động. Ở đây có thể hiểu việc nghiên cứu như vậy là đánh giá khả năng làm việc của hệ
thống từ tình trạng hoạt động bị tác động của nhiễu trở lại trạng thái hoạt động không bị nhiễu, tức là (khi
tác động nhiễu kết thúc). Hay nói cách khác để nghiên cứu tính ổn định của hệ thống, người ta nghiên cứu
xu thế trở về trạng thái cân bằng khi tác động nhiễu loạn biến mất. Do vậy đối với các hệ thống tự động
điều chỉnh thực tế để đánh giá tính ổn định của chúng chỉ cần nghiên cứu quá trình chuyển tiếp tự do của
hệ thống.
Khái niệm về tính ổn định được biểu thị bằng đồ thị trên hình 8-2 biểu thị quá trình chuyển tiếp
Δy (t) = f(t).

163


Để khảo sát hệ thống xem có ổn định hay không? Thường người ta tác động một đại lượng nhỏ để phá vỡ
trạng thái cân bằng tĩnh của nó.
Dựa vào khái niệm về tính ổn định, người ta tìm được điều kiện cần và đủ để một hệ thống tự
động điều chỉnh ổn định.
8.2.1. Xác định điều kiện ổn định của hệ thóng tự động điều chỉnh
Quá trình động của hệ thống tự động điều chỉnh được biểu thị bằng phương trình vi phân có dạng:
(anpn + an - 1pn-1 + ..+ a0) Δy = (bmpm + bm-1pm-1 + ..+ b0)x0
+ (Cvpv + Cv- 1pv-1 + ...+ C0)f

(19)

Trong đó:
Δy : Độ lệch của thông số điều chỉnh
x0 : Tín hiệu cho trước

f : Tác động nhiễu loạn ngoài
Để khảo sát quá trình thay đổi của thông số điều chỉnh phải giải phương trình vi phân (19). Như
trên đã nêu, tác động nhiễu f xuất hiện rất đột ngột và biến đi cũng rất đột ngột và đủ làm phá vỡ trạng
thái cân bằng của hệ thống, còn trong quá trình trở về trạng thái cân bằng cũ hoặc xác lập trạng thái cân
bằng mới thì không có sự tham gia của tác động này. Cho nên khi khảo sát tính ổn định chỉ cần xác định
nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất. N(p).Δy = 0 là đủ hay nói cách khác chỉ cần tìm hiểu xu
hướng của quá trình chuyển tiếp tự do. Không phụ thuộc vào các điều kiện bên ngoài x0 và f.
Thành phần nghiệm biểu thị quá trình chuyển tiếp tự do:
Δy1 = C1ep1t + C1ep2t + ...+ Cnepnt

(20)

Trong đó:
C1; C2...Cn hằng số tích phân được xác định tự các điều kiện ban đầu.
P1, P2, P3...Pn là nghiệm của phương trình đặc tính.
anpn + an - 1pn-1 + ...+ a0 = 0

164


Qua phân tích trên có thể rút ra kết luận:
Muốn khảo sát tính ổn định của hệ thống TĐĐC chỉ cần khảo sát các nghiệm của phương trình
đặc tính. Sau đây xét các trường hợp:
1. Nếu nghiệm của những phương trình đặc tính đều là những nghiệm thực âm: Pj = -αj

lim C j .e

p jt

= lim C j .e

t →∞

− a jt

t →∞

=0<ε

Vậy kết luận hệ thống ổn định.
2. Nếu nghiệm của phương trình đặc tính là những nghiệm thực âm nhưng chỉ có một nghiệm làm
số thực dương.
Pj = -αj ; (j = 1,2...n-1)
Pn = αn
Ta có thể viết:
n−1

lim ∆y(t ) = lim ∑ C j e
t →∞

t →∞

j =1

n −1

Nhưng :

lim ∑ C e
t →∞

α nt

Và :

lim C e

Vậy

lim ∆y (t ) → ∞

t →∞

n

−α j t

j

j =1

p jt

n−1

+ lim C n e pnt = lim ∑ C j e
t →∞

t →∞

j =1

−α j t

+ lim C n eα nt
t →∞

→0

→∞

t →∞

Có thể kết luận : Hệ thống tự động điều chỉnh không ổn định
3. Nếu nghiệm của phương trình đặc tính là những số thực âm và có một cặp nghiệm phức:
Pj = -α (j = 1,2,3...n-2)
Pn-1 = α + jβ; Pn = α -jβ
Trong trường hợp này chỉ cần xét thành phần của quá trình chuyển tiếp phụ thuộc vào cặp nghiệm
phức.

lim (C
t→∞

n −1

e (α + i β ) t + C n e (α − i β ) t )

(21)

Theo công thức Ơ - le:

eiβt = cosβt + i sinβt
e-i βt = cosβt - i sin βt
Nên phần trong ngoặc của biểu thức (21) có thể viết:

Cn −1e(α +iβ ) t + Cn e(α −iβ ) t = eαt (Cn −1eiβt + Cn e −iβt )
αt

= e [(Cn −1 + Cn ) cos βt + i (Cn −1 − Cn ) sin βt

(22)

Nếu ký hiệu:
(Cn-1 + Cn) = Csinγ
i(Cn-1 - Cn) = Ccosγ;

165


Vậy cuối cùng biểu thức (22) sẽ có dạng:

eαt [(Cn −1 + Cn ) cos β t + i(Cn −1 − Cn ) sin β t = eαt C sin( β t + γ ) (23)
Qua biểu thức (23) cho thấy thành phần của quá trình quá độ là một dao động có tần số dao động
là β và độ lệch pha là γ.
- Với α < 0 thì :

lim e

−αt

C sin( βt + γ ) → 0

t →∞

Hệ thống có quá trình chuyển tiếp hội tụ - Hệ thống ổn định.
- Với α >0 thì:

lim e

−αt

C sin( βt + γ ) → ∞

t →∞

Hệ thống có quá trình chuyển tiếp hội tụ - Hệ thống ổn định
- Với α = 0 thì:

lim C sin(βt +γ ) →a
t →∞

Hệ thống có quá trình chuyển tiếp là dao động điều hòa
- Hệ thống nằm trên ranh giới ổn định.
Qua phân tích như trên có thể rút ra kết luận:
Điều kiện cần và đủ cho một hệ thống tự động điều chỉnh tuyến tính là tất cả các nghiệm thực và
phần thực của các cặp nghiệm phức của phương trình đặc tính phải có giá trị âm. Dù chỉ có một nghiệm
thực hay phần thực của một cặp của một cặp nghiệm phức là số dương cũng làm cho hệ thống không ổn
định.
Để hiểu rõ hơn về điều kiện ổn định của hệ thống TĐĐC người ta mô tả bằng hình ảnh đó là cách
biểu thị trên mặt phẳng phức như trên hình 8-3. Nếu lấy trục hoành là trục thực và trục tung là trục ảo thì
theo điều kiện ổn định ở phần trên, hình 8-3a biểu thị hệ thống ổn định; 8-3b biểu thị hệ thống không ổn

định, hình 8-3c biểu thị của hệ thống có một nghiệm của phương trình đặc tính bằng không hệ thống có
tính trung hòa và hình 8-3d có cặp nghiệm thuần ảo. Hệ thống nằm trên ranh giới ổn định đủ để đảm bảo
cho hệ thống TĐĐC tuyến tính ổn định là tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính phải nằm về phía
bên trái trục ảo. Dù cho có một nghiệm thực hay cặp nghiệm phức nằm về phía bên phải trục ảo thì hệ
thống cũng không ổn định".

166


iβ

iβ

P4

P4
P1

P1

P3

P3
α

α

P2
P5
P1

P2

a/

P5
iβ

iβ

P4

P1

P4
P3

P3

P5

P2

b/

α

c/

α

P5

d/

P2

Hình 8-3. Biểu thị điều kiện ổn định trên mặt phẳng phức
8.2.3. Đánh giá tính ổn định trên cơ sở các hệ số của phương trình động
Từ điều kiện cần và đủ để hệ thống TĐĐC ổn định được nêu ở trên, giữa tính ổn định và nghiệm
của các phương trình đặc tính có liên quan mật thiết với nhau, mặt khác qua phương trình đặc tính ta thấy
đó là phương trình đại số bậc n nên giữa giá trị của các hệ số của phương trình và đặc tính nghiệm của nó
cũng có quan hệ hữu cơ với nhau. Vậy có thể đánh giá tính ổn định trên cơ sở các hệ số của phương trình
đặc tính hoặc phương trình động của hệ thống TĐĐC.
Ta biểu thị phương trình đặc tính bất kỳ dưới dạng:
N (p) = an (p - p1) (p - p2) (p - p3)...(p - pn)

(1)

Vì hệ thống ổn định nên các nghiệm của phương trình đặc tính nằm ở phía trái trục ảo và có các
nghiệm.
p1 = -α1; p2,3 = -α + iβ... pn = -αn
Thay các giá trị nghiệm trên vào phương trình (1):
N(p) = an (p + α1) (p + α 2 - iβ)(p + α 2 + iβ)...(p + α n) =
= an (p + α 1) (p2 + 2p α 2 + α 22 + β2) + ...+ (p + α n)

(2)

Qua biểu thức (2) cho thấy các hệ số a j đều có giá trị dương vả lại các hệ số của phương trình đặc
tính đều được xác định bằng tích của các hệ số aj nên các hệ số của phương trình cũng có giá trị dương.

167


Vậy điều kiện cần thiết để cho hệ thống TĐĐC tuyến tính ổn định là các hệ số của phương trình
đặc tính phải có giá trị dương, với kết luận này trong quá trình nghiên cứu tính ổn định của một hệ thống
tự động điều chỉnh nào đó, khi biết phương trình động của nó, sơ bộ có thể đánh giá được tính ổn định
qua các hệ số của phương trình.
8.3. Các tiêu chuẩn ổn định
Như ở phần trên đã nêu muốn biết được hệ thống TĐĐC có ổn định hay không, điều quan trọng
đặt ra là phải giải phương trình động (phương trình vi phân) và tìm nghiệm của nó. Nhưng điều này chỉ
thực hiện dễ dàng đối với các phương trình vi phân bậc thấp (n=1,2) còn đối với các phương trình vi
phân bậc cao gặp rất nhiều khó khăn, nhiều khi không giải quyết nổi, điều quan trọng phải biết tính ổn
định của hệ thống tự động điều chỉnh phụ thuộc vào các thông số của nó như thế nào. Đôi khi cần phải
xác định được những khoảng giá trị của thông số nào đó có khả năng đảm bảo hệ thống ổn định điều này
không thể biết được nếu khảo sát tính ổn định theo phương pháp trên. Do vậy người ta đã nghiên cứu và
tìm ra được cách giải quyết nhanh hơn, dễ dàng hơn, đáp ứng được yêu cầu thực tế đó là cách khảo sát
tính ổn định của hệ thống thông qua các tiêu chuẩn ổn định.
Tiêu chuẩn ổn định là tập hợp các điều kiện, thông qua các điều kiện đó cho phép kết luận về tính
ôn định của hệ thống TĐĐC mà không cần giải các phương trình vi phân hoặc phương trình đặc tính để
tìm nghiệm. Có thể gặp 2 loại tiêu chuẩn ổn định.
1) Tiêu chuẩn ổn định đại số: Là tiêu chuẩn được xây dựng trên mối quan hệ giữa các hệ số của
phương trình đặc tính với tính chất phân bố nghiệm của phương trình trên mặt phẳng phức. Tiêu chuẩn
này bao gồm:
a. Tiêu chuẩn Vusnhiegradki
b. Tiêu chuẩn Rauth
c. Tiêu chuẩn Gurvitz
2. Tiêu chuẩn ổn định tần số: là tiêu chuẩn được xây trên mối quan hệ giữa hình dạng của đường
cong đặc tính tần số của hệ thống với tính chất phân bố nghiệm của phương trình đặc tính trên mặt phẳng
phức. Tiêu chuẩn loại này bao gồm:

a. Tiêu chuẩn Mikhailov
b. Tiêu chuẩn Naivis
c. Tiêu chuẩn Logarit
d. Tiêu chuẩn khoanh vùng ổn định
8.3.1. Tiêu chuẩn ổn định đại số Vusnhiegrradski
Tiêu chuẩn được ông Vusnhiegradski, bác học Nga đề xuất vào năm 1876. Tiêu chuẩn này chỉ áp
dụng để nghiên cứu tính ổn định của hệ thống TĐĐC có phương trình động là phương trình vi phân tuyến
tính bậc 3.
Ví dụ phương trình đặc tính bậc 3 có dạng
a3p3 + a2p2 + a1p +a0 = 0

(1)

Chia 2 vế của phương trình (1) cho a3:

168


p3 +

a
a 2 2 a1
p + p+ 0 = 0
a3
a3
a3
Đặt:

a
a2

a
= C 2 ; 1 = C1 ; 0 = C 0
a3
a3
a3

(2)

và phương trình (2) có dạng:
p3 + C2p2 + C1p + C0 = 0

(3)

Thay các hệ số của phương trình (3) bằng các thông số được gọi là thông số Vusnhiegradski:
p=j

C 0 ; C 2 = X X 0 ; C1 = Y C 0

(4)

Bây giờ ta có:
j3 + Xj2 + Yj + 1 = 0

(5)

Giả sử rằng nghiệm của phương trình đặc tính có một nghiệm thực âm và cặp nghiệm thuần áo: p 2
= iβ; p3 = -iβ
Hệ thống nằm trên ranh giới ổn định. Vậy ta có thể viết phương trình như sau:
p3 + C2p2 + C1p + C0 = (p + α) (p - iβ) (p + iβ) = p3 + αp2 + β2p + αβ2
Như vậy là : C2 = α; C1 = β2 ; C0 = α.β2

(7)

Các hệ số C1, C2, C0 quan hệ với nhau bằng biểu thức:
C1C2 -C0 = α β2 - α.β2= 0

(8)

Từ giả thiết hệ thống nằm trên ranh giới ổn định ta có biểu thức (8) và ngược lại nếu các hệ số của
phương trình đặc tính thoả mãn với biểu thức đó thì hệ thống ở ranh giới ổn định.
Thay các hệ số Co, C1, C2 ở biểu thức (8) bằng các thông số Vushiegradski ta có:
X C o Y C 02 − C o = 0
Do đó XY - C = 0

(9)

Biểu thức (9) cho thấy đó là hàm số được biểu thị bằng đường cong hypebol có trục là Y và trục
hoành là X như hình 8.4
Đường cong Hypebol chia mặt phẳng xy ra 2 phần ổn định và không ổn định của hệ thống. Vấn đề
đặt ra là xác định vùng nào thì hệ thống ổn định.

169


Vùng ổn
định
Vùng không
ổn định

Hình 8.4

Giả sử phương trình đặc tính P3 + C2P2 + C1P + Co = 0 có Co = 0 thì phương trình có dạng:
P3 + C2P2 + C1P = 0
P(P2 + C2P + C1) = 0

(10)

Giải phương trình (10) có các nghiệm
P1 =0; P1,2 = -

C2
C 12
±
− C1
2
2

(11)

Nếu C1 > 0, C2 > 0 thì 2 nghiệm P2,3 có phần thực âm, đồng thời ta có biểu thức:
C1C2 - Co > 0

(12)

Đa thức này cũng được thoả mãn khi C o ≠ 0 vì dựa theo định lý phụ thuộc liên tục của các nghiệm
phương trình đại số đối với các hệ số của phương trình đó. Vậy khi thoả mãn với bất đẳng thức (12) thì
phương trình có cặp nghiệm phức mà phần thực có giá trị âm. Và thoả mãn với bất đẳng thức này là điều
kiện cần và đủ để cho các nghiệm của phương trình có các giá trị âm.
Thay thế các thông số Vusnhegradski ta có:
XY > 1

(13)

Tại vùng này đảm bảo cho hệ thống làm việc ổn định và còn tại vùng XY < 1 hệ thống không ổn
định.
Tiêu chuẩn đại số Vusnhegradski có thể phát biểu như sau:
Để một hệ thống tuyến tính có phương trình đặc tính
a3p3 + a2p2 + a1p + a0 = 0
là ổn định thì hệ thống phải thoả mãn 2 điều kiện:
- Tất cả các hệ số của phương trình đặc tính dương
- Tích của 2 hệ số đứng giữa phải lớn hơn tích của các hệ số đứng ngoài
a1a2 > a0a3

(14)

8.3.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

170


Tiêu chuẩn ổn định Rauth là tiêu chuẩn đại số đầu tiên được nhà bác học người Anh Rauth đề xuất
năm 1877. Để khảo sát tính ổn định của hệ thống TĐĐC có phương trình đặc tính n. Nội dung của tiêu
chuẩn này được biểu thị trên cơ sở thành lập bảng sau. Quá trình động của hệ thống TĐĐC được biểu thị
bằng phương trình vi phân tuyến tính bậc n với phương trình đặc tính.
anpn + an - 1pn-1 + ...+ao = 0
Dựa vào phương trình đặc tính thành lập bảng Rauth có n + 1 hàng.
Các hệ số b11, b12,...b21, b22...gọi là các phần tử của bảng Rauth và ký hiệu một cách tổng quát:bh,c
trong đó : h - ký hiệu hàng của bảng
c - ký hiệu cột của bảng
b11 = an
b12 = an-2

b13 = an-4
b14 =an-6
.................
..................
b21 = an-1
b22 = an-3
b23 = an-5
b24 = an-7
.................
..................
b31 =
b32 =
b33 =
.................
.................
..................
b41 =
b42 =
.................
.................
.................
..................
b51 =
.................
.................
.................
.................
..................
Mỗi một phần tử bh, c trong bảng Rauth được xác định theo một nguyên tắc nhất định như sau:
- Các phần tử ở hàng thứ nhất của bảng chứa các hệ số của phương trình đặc tính có ký hiệu a n, an, an-4...

2

- Các phần tử ở hãng thứ 2 của bảng là các hệ số có ký hiệu an-1, an-3, an-5...
- Còn các phần tử khác trong bảng khác được xác định từ các phần tử trước và vị trí của nó theo
công thức:
b h ,c =

(b h −1;1 xb h −2;c+1 ) − (b h −2;1 xb h −1;c+1 )
b h −1;1

Ví dụ xác định giá trị của phần tử b3 theo công thức
b 31 =

a n −1a n −2 − a n a n −3
(b 21 .b12 ) − (b11 .b 22 )
=
b 21
a n −1

Sau khi thành lập xong bảng Rauth với n + 1 hàng, dựa theo các phần tử trong bảng nhà bác học
Rauth đi đến kết luận: "Điều kiện cần và đủ để hệ thống TĐĐC tuyến tính có phương trình bậc n ổn định
khi các phần tử trong n + 1 hàng ở cột thứ phải dương và ao > 0''.
Ví dụ: hãy kiểm tra tính ổn định của hệ thống tự động điều chỉnh có phương trình đặc tính sau,
bằng tiêu chuẩn ổn định sau:
p 2 + 26p 5 + 225p 4 + 1210p 3 + 2924p 2 + 3384p + 1440 = 0
Giải: Nhìn vào chương trình ta thấy tất cả các hệ số của phương trình đặc tính đều có giá trị
dương. Như vậy đã đáp ứng điều kiện cần ta thành lập bảng Rauth.
1
a6 = 1

a5 = 26
b31 = 208,5
b41 =861,6
b51 = 2018,4

2
a4 = 255
a3 = 1210
b32 = 2793,8
b42 = 3204,4
b52 - 1440

3
a2 = 2924
a1 = 3384
b33 = 1440

4
ao = 1440

171


b61 = 2589,6
Qua bảng cho thấy, tất cả ác phần tử (7 phần tử) ở cột thứ nhất của bảng đều có giá trị dương vậy
hệ thống TĐĐC trên ổn định.
8.3.3 Tiêu chuẩn ổn định HURWITZ
Năm 1895 nhà bác học Thuỵ Sỹ HURWITZ đã dựa vào tiêu chuẩn Rauth phát triển lên, làm cho
tiêu chuẩn ổn định ngắn gọn hơn, khoa học hơn,
Phương trình đặc tính bậc 3 có 1 nghiệm thực và 1 cặp nghiệm phức, dấu đại số của phần thực cặp

nghiệm phức chưa biết. Có thể viết phương trình này dưới dạng:
(p - α - iβ)(p - α + iβ)(p - p1) = 0

(1)

hoặc [(p - α)2 + β2] (p - p1) = 0
Sau khi biến đổi phương trình (1) có dạng:
p3 + A2P2 + A1p + Ao = 0

(2)

ở đây: A2 =-(2α + p1); A1 =α2 + 2p1 + β2
Ao = -(P1α2 + p1β2)

(3)

Hệ số Ao có giá trị dương khi P1 < 0, còn hệ số A1 và A2 không thể khẳng định được điều gì cho α,
bởi vì các hệ số này có giá trị đương khi α > 0. Như vậy không thoả mãn với điều kiện ổn định. Vậy
nghiệm P1 có giá trị âm để hệ thống ổn định thì giá trị α cũng nhất thiết phải có giá trị âm. Như ở phần
trên đã nêu khi α = 0 thì hệ thống nằm trên ranh giới ổn định, thì các hệ số có dạng:
A2 = -p1; A1 = β2 và Ao = -p1β2

(4)

Xét mối quan hệ giữa P1 và β2 ở biểu thức (4) ta có:
A1A2 - A0 = 0

(5)

Có thể viết dưới dạng định thức

A2
1

Ao
=0
A1

(6)

Trong trường hợp α ≠ 0 phương trình (6) không thoả mãn, vì hiệu số (5) có thể có giá trị dương,
âm, hoặc khác không. Ví dụ với giá trị P 1 = -1; α = -1 và β = 1 thay vào biểu thức (3) ta có các giá trị của
hệ số:
A2 = 3 > 0; A1 = 4 > 0 và A0 = 2 > 0
Và biểu thị dưới định thức
3 2
= 10 > 0
1 4

(7)

và ở vùng không ổn định có nghĩa là với α > 0 và điều kiện để định thức (6) không thoả mãn, ví
dụ P1 = -1; α = 0,1 và b = 1 đây là điều kiện để hệ thống không ổn định tuy nhiên vẫn đáp ứng với điều
kiện cần A2 > 0, A1 > 0, Ao > 0 nhưng không thoả mãn điều kiện:

172


0,8 1,01
= 0,6408 − 1,01 < 0
1 0,801

(8)

Vậy có thể kết luận chi với giá trị dương của định thức (6) mới là điều kiện cần và đủ để đảm bảo
cho hệ thống tự động điều chỉnh tuyến tính ổn định.
Định thức (6) được gọi là định thức HURWITZ. Bằng phương pháp lý luận như vậy ông phát
triển cho hệ thống có phương trình đặc tính bậc n.
Phương pháp thành lập định thức HURWITZ cho phương trình đặc tính tự do như sau:
1. ở trên đường chéo của định thức kể từ trái sang phải và trên xuống dưới ta viết tất cả các hệ số
của phương trình bắt đầu từ số hạng thứ 2 (an-1) và kết thúc ở số hạng cuối cùng a0.
2. ở các cột của định thức ở phía trên đường chéo, ta viết những hệ số có chỉ số giảm dần. Còn ở
các cột ở phía dưới ghi các hệ số có chỉ số tăng dần.
3. ở vị trí các số hạng có chỉ số lớn hơn an và nhỏ hơn ao ta ghi các giá trị 0.
Định thức HURWITZ của hệ thống TĐĐC có phương trình đặc tính bậc n.
a n −1
an
0
∆n =
0
.
0

a n −3
a n −2
a n −1
an
.
0

a n −5

a n −4
a n −3
a n −1
.
0

a n −7
a n −6
a n −5
a n −4
.

...........
...........
...........
...........
a1
a0

0
0
0
>0
0

(9)

Các định thức thành phần
∆1 = a n −1 ; ∆ 2 =

a n −1
∆3 = a n
0

a n −1
an

a n −3
a n −2
a n −1

a n −3
a n −2

a n −5
a n −4
a n −3

Hurvitz phát biểu tiêu chuẩn ổn định như sau:
Điều kiện cần và đủ để cho một hệ thống tự động điều chỉnh tuyến tính có phương trình đặc tính
bậc n ổn định là:
1. Các hệ số aj(j = 1,2...n) của phương trình đặc tính phải dương
2. Các định thức Hurwitz ∆k (k = 1, 2...n - 1) có giá trị dương.
Còn nếu trong một số trường hợp, một trong các định thức Hurwitz có giá trị bằng không, nghĩa là
có một số nghiệm nằm trên trục ảo của mặt phẳng thức. Khi đó hệ thống nằm trên ranh giới ổn định hoặc
không ổn định. Bên cạnh việc sử dụng tiêu chuẩn ổn định Hurwitz để nghiên cứu tính ổn định của hệ
thống TĐĐC, người ta rút ra một số hệ quả.
1. Hệ quả thứ nhất

173

+ Điều kiện cần của tính ổn định là phải tồn tại các số hạng với các bậc số mũ bằng bậc của
phương trình.
2. Hệ quả thứ hai
+ Hệ thống bậc hai có tất cả các số hạng như ở phương trình sau
a2p2 + a1p + ao = 0
và với tất cả các hệ số dương thì luôn luôn ổn định
Cụ thể: ∆ 2 =

a1
a2

0
= a1ao - a20 > 0
ao

+ Đối với hệ thống có bậc 3 và 4 có thể chứng minh hệ thống tự động điều chỉnh ổn dịnh chỉ cần
đáp ứng điều kiện 1 của Hurwitz và điều kiện ∆n-1 > 0 là đủ.
Ví dụ: Đối với hệ thống bậc 3
a3p3 + a2p2 + a1p + ao = 0
Định thức chính có dạng:
a2

ao

0

∆3 = a 3
0

a1
a2

0 = a o a 1a 2 − a 02 a 3 (a 1a 2 − a 0 a 3 )
a0

Định thức thành phần
∆2 =

a2
a3

ao
= a 2a1 − a 0a 3
a1

So sánh giữa ∆3 và ∆2 cho thấy
∆3 = a0∆2
Qua đây cho thấy chỉ cần xét đến ao và ∆2 nếu chúng đều là dương cả thì hệ thống sẽ ổn định
Chứng minh đối với hệ thống có bậc n = 4
a4p4 + a3p3 + a2p2 + a1p + a0 = 0
Định thức chính có dạng:
a3
a
∆4 = 4
0
0

a1

a2
a3
a4

0
ao
a1
a2

0
0
= a 0 a 1 (a 2 a 3 − a 1a 4 ) − a 02 a 32
0
ao

Định thức thành phần
a3
∆ n −1 = ∆ 3 = a 4
0
∆2 =

a3
a4

a1
a2
a3

0
a o = a 1 (a 2 a 3 − a 1a 4 ) − a o a 32

a1

a1
= a 2 a 3 − a 1a 4
a2

Xét các định thức cho thấy chúng có các mối quan hệ

174


∆ 3 = a 1a 2 − a o a 32
∆2 =

∆ 3 α o α 32
+
α1
α1

∆ 4 = α0∆3
Định thức ∆4 có dấu giống định thức ∆3 vậy không nhất thiết phải nghiên cứu nó nữa. Nhưng nếu
∆3 > 0 thì ∆2 > 0
Vậy rõ ràng rằng dấu của định thức ∆3 quyết định tính ổn định của hệ thống TĐĐC.
Một số thí dụ minh hoạ
- Hãy nghiên cứu tính ổn định của hệ thống mà phương trình đặc tính có dạng sau:
0,1p3 + 0,2p2 + p + k = 0
Theo điều kiện 1 của Hurwitz phải đảm bảo điều kiện K = 0
Điều kiện 2 theo hệ quả 2 chỉ cần ∆n-1 > 0
Vậy ∆ 2 =

a2
a3

ao
= a 1a 2 − a 0 a 3 > 0
a1

Thay thông số ta có:
0,2 > 0,1k suy ra k < 2
Kết hợp 2 điều kiện lại ta có với 0 < K < 2 thì hệ thống TĐĐC ổn định
Ví dụ 2: Hàm truyền cho trước của một hệ thống khép kín có dạng
G (P) =

bi p + bo
a 4 p + a 3 p 3 + a 2 p 2 + a 1p + a o
4

Hãy tìm điều kiện để hệ thống ổn định:
Phương trình đặc tính có dạng
a4p4 + a3p3 + a2p2 + a1p + ao = 0
Vậy để hệ thống ổn định phải thoả mãn các điều kiện sau đây:
1. a4, a3, a2, a1, a0 > 0
2. ∆ 2 =

a3
a4

a1
>0
a2

Cùng với:
a3
∆3 = a 4
0

a1
a2
a3

0
ao > 0
a1

8.3.4 Tiêu chuẩn ổn định tần số (Michailôv)
Các tiêu chuẩn đại số của Raurth - Hurvitz đưa ra để khảo sát tính chất ổn định của hệ thống tự
động điều chỉnh có bậc n > 3, song khá phức tập, phải tính toán nhiều và có nhược điểm là không đánh
giá được ảnh hưởng của các thông số đến tính ổn định của hệ thống TĐĐC. Năm 1938 nhà bác học người
Nga, giáo sư Mikhailov đã đề xuất ra tiêu chuẩn ổn định tần số. Nội dung cơ bản của tiêu chuẩn dựa trên
mối quan hệ giữ hình dạng của đường cong Michailov được thành lập từ phương trình đặc tính với sự

175


phân bố nghiệm trên mặt phẳng phức để kết luận về tính ổn định của hệ thống. Trước hết hãy tìm hiểu về
đường cong Michailov.
a. Đường cong Michailov và tính chất của nó.
Giả sử một hệ thống tự động có hàm truyền tổng hợp
G (P) =

M ( P)
N( P)

b m p m + b m −1p m −1 + ... + b o
=
a n p n + a n −1p n −1 + ... + a o

(1)

Là hệ thống khép kín nên phương trình đặc tính của hệ thống có dạng:
N(P) = anpn+an-1pn-1 + ...+ao = 0

(2)

Hoặc được viết dưới dạng
N(p) = an(p -p1)(p - p2) (p-p3) ... (p - pn) = 0

(3)

ở đây P = 0 + iω là biến phức, còn p1, p2...pn là những nghiệm của phương trình.
Nếu thay biến số P bằng giá trị bất kỳ của phần ảo thì đa thức N(P) có dạng:
N(iω) = an(iω)n + an-1 (iω)n-1 + ... + a1(iω) + ao = 0

(3)

Đa thức (4) là một số phức, nên có thể viết dưới dạng
N(iω) = R(ω) + IQ(ω)
ở đây: R(ω) là phần thực
IQ(ω) là phần ảo
Do vậy có thể biểu thị đa thức N(iω) trên mặt phẳng phức (có trục tung là trục ảo và trục hoành là

trục thực). Khi cho ω biến thiên từ 0 → ∞ ta sẽ xác định được các điểm với các tọa độ tương ứng. Nối các
điểm đó lại sẽ xác định được một đường cong này được gọi là đường cong Michailov của đa thức (4)
được thể hiện trên hình vẽ.
Tính chất đặc biệt của đường cong Michailov
1. Khi ω = 0 thì đường cong Michailov sẽ xuất phát từ một điểm trên trục thực ở phần đường cách
gốc toạ độ có giá trị đúng bằng ao nếu ao ≠ 0. Còn khi ao = 0 có nghĩa là phương trình đặc tính (2) có một
nghiệm P = 0. Vậy đường cong Michailov xuất phát từ gốc toạ độ.
2. Khi ω --> ∞ đường cong N(iω) tiến đến vô cùng.
Nếu bậc của phương trình đặc tính là chẵn thì khi đó Rω > Qω khi ω --> ∞ đường cong
Michailov cũng tiến tới vô cùng theo trục thực.
Nếu bậc của phương trình đặc tính là lẻ thì khi đó Q ( ω) > R ( ω) . Khi ω --> ∞ đường cong
Michailov sẽ tiến tới vô cùng dọc theo trục ảo.
Đường cong Michailov tiến tới tận cùng ở góc vuông thứ mấy của hệ toạ độ R(ω) và Q(ω) số thứ
tự của góc vuông đó đúng bằng số bậc của phương trình đặc tính. Tính chất này được mô tả bằng hình vẽ:

176


iQ(ω)

ω1

ω2

ω0
R(ω)

a0
ω3

Hình 8.5. Đặc tính đường cong Mikhailov
3. Số lượng điểm cắt nhau của đường cong với trục toạ độ (cụ thể là các điểm R (ω) = 0 và Q(ω) =
0 không lớn hơn số bậc n của phương trình đặc tính.

iQ(ω)
ω→∞
n=1

n=2

a0
n=3
n=4
Hình 8.6. Đặc tính kết thúc đường cong Mikhailov
phụ thuộc vào bậc của phương trình đặc tính

4. Nếu phương trình đặc tính của hệ thống mạch kín có cặp nghiệm thuần ảo + iωo thì tại đó
N(iωo) = 0. Vậy đường cong Michailov đi qua gốc toạ độ độ khi ω = ωo. Đường cong Michailov đi qua
gốc độ bao nhiêu lần thì sẽ có bấy nhiêu nghiệm thuần ảo.

177


iQ(ω)

iQ(ω)

ω →∞

ω=0

a0

R(ω)

a/
Hình 8.7.
a/ Đường cong Mikhailov có một nghiệm thuần ảo
a/ Đường cong Mikhailov có hai nghiệm thuần ảo

R(ω)

a0

b
/

8.3.5 Mối quan hệ giữa đường cong Michailov và điều kiện ổn định
ở phần này ta tìm mối quan hệ giữa đường cong Michailov và sự phân bố nghiệm của phương
trình đặc tính trên mặt phẳng phức hay nói cách khác là phải xác định được mối quan hệ giữa góc quay ϕ
của đường cong và sự phân bố nghiệm. Trên cơ sở đó, chỉ cần xây dựng được đường cong dựa vào
phương trình đặc tính là có thể kết luận được tính ổn định của hệ thống tự động điều chỉnh.
Nếu chia cả 2 vế của phương trình (2) cho an sẽ nhận được:
N ( P ) = p n + C1p n −1 + C 2 p n −2 + ... + C o = 0
Trong đó: C1 =

(5)

a
a n −1
a n −2

...C o = o
; C2 =
a0
an
an

Nếu gọi p1; p2, p3...pn là nghiệm của phương trình (5) ta có thể viết:
N(p) = (p - p1)(p - p2) (p - p3) ... (p - p1)

(6)

Ta thay p = iω thì phương trình (6) có dạng:
N(iω) = (iω - p1)(iω-p2)(iω-p3) ... (iω-pn)

(7)

Khi cho ω biến thiên từ 0 đến ∞ ta có véc tơ N( i ω) bằng tích của vectơ thành phần (iω-pj) ở đây j
= (1...n) cụ thể:
j= n

N(iω) = ∏ (iω − p j )

(8)

j=1

178


Vậy góc quay ϕ hay còn gọi là pha của vectơ N( i ω) sẽ bằng tổng các pha của vectơ thành phần

ϕj; j = (1, 2....n)
j= n

ϕ = ∑ ϕ j (ω)

(9)

j=1

Qua nghiên cứu cho ta thấy các pha của vectơ thành phần ϕ phụ thuộc vào vị trí phân bố các
nghiệm của phương trình đặc tính trên mặt phẳng phức.
a. Giả sử nghiệm p1 = α1 < 0
Thì véc tơ (iω − p1 ) là hiệu của 2 vec tơ iω và p1 theo nguyên tắc trừ vectơ. Vectơ A i B chính là
hiệu của 2 vectơ và có pha là ϕ1 được biểu thị trên hình 8-8
Nếu ω biến thiên từ 0 → ∞ thì vectơ AB sẽ quét theo chiều ngược kim đồng hồ một góc bằng

π
2

Lưu ý: Góc quay theo chiều ngược kim đồng hồ sẽ là góc quay dương (+) còn góc quay theo chiều
ngược lại sẽ là góc quay âm (-).

iω
B
iω

φ1

A1

α

α1<0
Hình 8.8.

b/ Giả sử p2 = α2 > 0 như hình 8-9 vectơ.
(iω − p 2 ) = (iω − α 2 ) là vectơ A 2 B sẽ quét một góc theo chiều kim đồng hồ ϕ 2 = −

π
khi ω thay
2

đổi 0 → ∞.
c. Giả sử phương trình đặc tính có cặp nghiệm phức có phần thực âm
p 3 , 4 = − α ± iω

p 3 = −α + iω1
p 4 = −α − iω1

Trên hình 8-10 vectơ ( iω − p 3 ) chính là vectơ A 3 B có pha là ϕ3. Khi ω biến thiên từ 0 → ∞, vectơ
A 3 B sẽ quét một góc theo chiều ngược kim đồng hồ một góc ϕ 3 =

(

π
+γ.
2

)

Còn vectơ iω − p 4 là vectơ A 4 B và pha là ϕ4. Khi ω biến thiên từ 0 → ∞ thì vectơ này sẽ quét
một góc là: ϕ 4 =

π
−γ.
2

179


Theo định nghĩa pha của tích 2 vectơ này bằng tổng 2 pha thành phần:
ϕ 3, 4 = ϕ 3 + ϕ 4 =

π
π
π
+γ+ −γ =2
2
2
2

(10)

iω
B
Hình 8.9.

φ2

α2

A2
α

iω
B

iω-p3
A3

iω

φ3

iω-p4

A4

φ4
P4
γ

α
-iω

Hình 8.10
d/ Phương trình đặc tính có cặp nghiệm phức với phần thực trong
p 5, 6 = α ± iω

(

p 5 = α + iω 2
− iω2
p6 = α

)

(

)

Vectơ iω − p 5 chính là vectơ A 5 B có góc quét ϕ5 và vectơ iω − p 6 là vectơ A 6 B có góc ϕ6
hình 8.11. Khi cho ω biến thiên từ 0 → ∞ các góc quay ϕ5 sẽ quét được 1 góc.

180


π

ϕ 5 = − + γ 
2

π

ϕ 6 = − − γ 
2

Tương tự như trên ta xác định được pha của tích 2 vectơ
π
π


π

ϕ 5,6 = ϕ5 + ϕ 6 = − + γ  + (−) − γ  = −2
2
2

2

e. Phương trình đặc tính có cặp nghiệm thuần ảo
p 7 , 8 = ± iω o

p 7 = iω o
p 8 = −i ω o

(

)

Các vectơ ( iω − p 5 ) và iω − p 8 được thể hiện trên hình 8-12. Khi ω biến thiên từ 0 → ∞ các góc
quay ϕ7 và ϕ8 đều quét một góc bằng 0.
ϕ7 = ϕ8 = 0

iω
B

iω
iω

iω-p5

iω

φ5

iω0

A5

iω-p7

iω-p8

iω-p6
p6
-iω

φ6
γ

α

α
-iω0

A6

Hình 8.11

Hình 8.12

Vậy bằng cách lý luận trên ta có thể rút ra được nhận xét tổng quát sau: Nếu phương trình đặc tính
bậc n của hệ thống TĐĐC khi mạch kín N(p) có Mp nghiệm nằm ở phía phải trục ảo iω và mo nghiệm
thuần ảo nằm trên trục ảo. Vậy còn lại sẽ có n - m o - mp nghiệm nằm về phía trái trục ảo. Khi cho ω biên
thiên từ 0 → ∞ vectơ N(iω) sẽ quét một góc:
j= n

ϕ = ∑ ϕi = ( n − m 0 − m p )
j=1

π
π
π
+ m o 0 − m p = ( n − m o − 2m p )
2
2
2

Nếu phương trình không có các cặp thuần ảo mo = 0 thì ϕ = (n − 2m p )

π
2

Còn nếu phương trình đặc tính N(P) = 0 bậc n có n nghiệm đều nằm về phía trái trục ảo (m o = 0, mp
= 0) thì khi ω biến thiên từ 0 → ∞ pha tổng hợp sẽ là:

181


ϕ = n.

π
2

Vậy nội dung tiêu chuẩn ổn định Michilov: "Điều kiện cần và đủ để đảm bảo cho hệ thống TĐĐC
tuyến tính có phương trình đặc tính bậc n ổn định là dường cong Michailov xuất phát từ một điểm ở phần
dương của trục thực, thứ tự đi qua n góc vuông theo ngược chiều kim đồng hồ và không bao giờ đi qua
gốc toạ độ khi ω biến thiên từ 0 → ∞.
Cụ thể được mô tả bằng biểu thức:
ϕ = n.

π
khi 0< ω < ∞
2

Ví dụ minh hoạ:
+ Dùng tiêu chuẩn Michailov để đánh giá tính ổn định của hệ thống TĐĐC có phương trình đặc
tính là:
2p3 + 4p2 + 3p + 2 = 0

(1)

Cách giải quyết: Trên cơ sở phương trình động (1) xây dựng đường cong Michailo thay P = jω
vậy phương trình (1) có dạng:
N(jω) = 2(jω)3 + 4(jω)2 + 3(jω) + 2 = 0

(2)

Phân tích phương trình 2 thành phần thực và phần ảo
Phần thực: P(ω) = 2 - 4ω2

Phần ảo: Q(ω) = 3ω - 2ω3
Tính các giá trị của R(ω) và Q(ω) với các giá trị ω:
ω

0

1
2

R(ω)
Q(ω)

2
0

0
1,41

3
2
-4
0

1,5

1,7

-7
-2,25

-9,2
- 47

Trên cơ sở các giá trị đã xác định được ở bảng trên, xây dựng được đường cong Michailov thể
hiện trên hình 8 -13.
Trên cơ sở đường cong trên hình 8-13 theo tiêu chuẩn Michailov có thể kết luận: Hệ thống ổn
định

182


iQ(ω)

ω=
3
2

ω=

1
2

ω=0

x0

0

R(ω)

Hình 8.13. Đường cong Mikhailov

Ví dụ 2: Hãy khảo sát tính ổn định của hệ thống TĐĐC kín có hàm truyền:
G (P) =

p +1
5p + 2p 2 + 3p + 2
3

Là hệ thống kín nên mẫu của biểu thức hàm truyền chính là phương trình đặc tính của hệ thống do
vậy: phương trình đường cong Michilov có dạng:
M(jω) = 5(jω)3 + 2(jω)2 + 3(jω) + 2
Phần thực R(ω) = 2 - 2ω2
Phần ảo Q(ω) = 3ω - 5ω3
Cho ω một số các giá trị và tính R(ω) và Q(ω)
ω
R(ω)
Q(ω)

0
2
0

0,5
1,5
0,875

0,8
0,72
-0,16

1
0
-2

2
-6
-34

Xây dựng đường cong Michailov trên cơ sở các giá trị ở bảng trên:
Theo điều kiện ổn định đường cong trên hình 8-14 không đi qua góc phần tư thứ 2 của mặt phẳng
phức có thể kết luận:

183