giao trinh dac ta hinh thuc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BỘ MÔN CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM

-------------o0o------------

G
NĐ

T

NG
N

T

C

Số
ỉ: 2TC
Hệ đào ạo: Đại học
Ngành: Công nghệ phần mềm
Khoa: Công nghệ thông tin

0


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BỘ MÔN CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM

-------------o0o------------

G
NĐ

T

NG
N

T

Số
ỉ: 2TC
Hệ đào ạo: Đại học
Ngành: Công nghệ phần mềm
Khoa: Công nghệ thông tin
Năm ọc: 2015-2016

hoa

1


Ụ LỤ
N

Đ

1.1. Mụ iêu mô

.......................................................................... 3

ọ ................................................................................................ 3

1.2. Mộ số k ái iệm ơ bả ..................................................................................... 3
N 2 .................................................................................................................. 13
Á
2

SỞ

Đ

......................................................................................... 13

LO

MỆN ĐỀ ........................................................................................... 13

2.2. LO

Ị Ừ ................................................................................................... 21

2.3. LÝ

UYẾ

ẬP ỢP ................................................................................... 23

N 3 ................................................................................................................... 26
Đ

Á

ÀN P ẦN

B N .................................................................... 26

3.1. Đ

K ỂU DỮ L ỆU ................................................................................. 26

3.2. Đ

ÀM .................................................................................................. 28

3.3. Đ

ĐỆ QUY ............................................................................................ 30

3.4.

Á QUY Ắ

3.5.

Á S ĐỒ

3.6.

Á ĐỐ

3.7.

Á

ÍN

OÁN.......................................................................... 32

ẠN
ỢN

Á ............................................................................. 33
ÌN

Ọ ....................................................................... 35

ÀN BUỘ .......................................................................................... 38

N 4 ................................................................................................................... 43
Đ

À ÍN ĐÚN ĐẮN
4.1.

Á P

ÀM ............................................................. 43

N P ÁP K ỂM

4.2. CHỨN M N

Ớ

ÍN ĐÚN ĐẮN ................................. 43

Á LUẬ SUY D ỄN ................................................ 46

N 5 ................................................................................................................... 52
N ÔN N Ữ Đ
à

Z .............................................................................................. 52

5.1.

á

p ầ

ủa gô

gữ ........................................................................... 52

5.2.

iả đồ (s emas) ............................................................................................. 58

5.3.

á p ép oá

rê giả đồ ................................................................................ 67

2


ƯƠNG 1.
1.1.

TR

Đ

T

ụ tiêu
ọ
 Cung cấp kiến thức cốt lõi:
 Về á p ươ g p áp ì

ức dựa rê

ơ sở toán học chặt chẽ.

 Một số kỹ thuậ đặc tả và ngôn ngữ đặc tả thông dụng.


iúp gười học:
 Có khả ă g diễn tả được các yêu cầu bài toán từ quá trình phân tích
hệ thống.
 Mô tả cách xử lý yêu cầu một cách chặt chẽ và đú g đắn.
 Hệ thống hóa lại các kiểu dữ liệu vật lý và các kiểu dữ liệu trừu
ượng.

 Giới thiệu ngôn ngữ đặc tả thông dụ g: DM, Z, …
1.2.

t số k i iệ
ơ bả
 Các phương pháp hình thức (formal methods)
Trong tin học, thuật ngữ p ươ g p áp ì
đặc tả hình thứ , …)

ức (ngôn ngữ hình thức,

ườ g đượ dù g để chỉ các kỹ thuật dựa rê

ơ sở

toán học dùng trong quá trình mô tả chi tiế (đặc tả), phát triển và kiểm
chứng các hệ thống phần mềm ũ g
Cách tiếp cậ

ày

ư p ần cứng.

ườ g được áp dụng cho các hệ thống có kết cấu chặt

chẽ, đòi ỏi độ tin cậy và tính an toàn cao, đảm bảo rằng trong quá trình xây
dựng và phát triển hệ thống xảy ra ít lỗi nhất.
á p ươ g p áp ì

ứ đặc biệt hiệu quả ro g á giai đoạ đầu của

quá xây dựng hệ thố g ( ường là ở giai đoạ xá định yêu cầu và đặc tả hệ
thống), tuy nhiên chúng có thể dùng trong toàn bộ quy trình phát triển hệ
thống.


á p ươ g p áp ì

ức có thể được xếp loại theo 3 mứ độ khác nhau:

3


 Mức 0: Đặc tả hình thứ được sử dụ g để đặc tả hệ thố g rước khi phát
triển nó. Trong nhiều rường hợp thì việc sử dụ g p ươ g p áp ì

ức

ở giai đoạn này tỏ ra đặc biệt hiệu quả, nhất là về mặt chi phí.
 Mức 1: Phát triển và kiểm chứng hình thức có thể được áp dụ g để tạo ra
mộ

ươ g rì

( ay một hệ thống) một cách tự động, dựa rê

tả hình thứ đã ó rướ đó Quá rì

á đặc

ày đặc biệt thích hợp đối với các

hệ thố g đòi ỏi độ tin cậy và tính an toàn cao.
 Mức 2: Chứng minh tự động.
 Đặc tả (specification)
Mô tả cấu trúc hoạ động của các sự vật hiệ
mô tả này có thể ở mứ độ k ái quá ,

ượ g, quá rì

ư g ũ g ó

ào đó

iệc

ể là những mô tả ở

mứ độ hết sức chi tiết.
Có nhiều ngôn ngữ

o p ép đặc tả:

-

Ngôn ngữ tự nhiên: tiếng Việt, tiếng Anh, tiế g P áp, …

-

Ngôn ngữ loài vậ :

-

Ngôn ngữ lập rì

-

Ngôn ngữ hình thức: Là ngôn ngữ với bộ từ vựng, cú pháp, ngữ g ĩa
đượ đị

g ĩa

ó,

im, mèo, …

: Pas al, , ++, Java, S arp, isual Basi , …
ặt chẽ dựa rê

ơ sở của toán học.

 Đặc tả hình thức (formal specification)

Đặc tả hình thứ là đặc tả với các tính chất:
-

Chính xác và nhất quán.

-

Ngắn gọ và đầy đủ.

-

Có thể xử lý được bởi máy vi tính.

Đặc tả hình thức có các ứng dụ g
-

ư sau:

Sử dụ g ro g giai đoạn phân tích, thiết kế, nhằm mụ đ

ạo ra các

phác hoạ chi tiết, cụ thể và chặt chẽ về hệ thống sẽ được xây dựng.

4


-

Trong quá trình xây dựng hệ thố g, á đặc tả này sẽ là công cụ định

ướ g để đảm bảo hệ thố g được xây dựng một cách phù hợp và đầy
đủ.

-

Sau khi hệ thố g được xây dự g

ì đặc tả sẽ đó g vai rò là

ướ đo

để kiểm chứng, khẳ g định hệ thố g được tạo ra ó đú g đắn và tin
cậy hay không.
Ví dụ về mô tả quá trình xây dựng phần mề

t eo

ì

t

ước

 Cách 1: Dùng ngôn ngữ tự nhiên
Quy trình xây dựng phần mềm được tiến hành tuần tự qua á bước:
 Xá định yêu cầu
 Phân tích
 Thiết kế
 Lập trình
 Kiểm chứng

 Bảo trì
Sau khi tiế
thể chuyể

à

xo g

gược lại

bước sẽ chuyển giao kết quả

o bước kế tiếp hoặc có

o á bướ rướ đó ếu còn phát hiện lỗi và sau quá trình

lại tiếp tục.

5


Cách 2: Dùng sơ đồ
Xá định
Phân tích
Thiết kế
Lập trình
Kiểm chứng
Bảo trì
iai đoạn
Chuyển kết quả

Đánh giá: Qua

âm đến kết quả thực hiện và chuyển giao giữa á giai đoạn:

- Cách 1: + Độ chính xác không cao, có thể gây ra hiểu lầm.
+ Dài dòng nếu mô tả đầy đủ.
+ Thích hợp cho việc mô tả chi tiết.
- Cách 2:

+ Độ

xá ă g lê

+ Trình bày ngắn gọn, trực quan.
+ Phù hợp cho việc mô tả một cách tổng quát.
1.3.

Lịch sử r đời và phát triển c

đặc tả hình thức

Các kỹ thuật về đặc tả hình thứ đã được sử dụng trong ngành Tin học trong suốt
ơ 30 ăm qua ( ừ nhữ g ăm đầu của thập niên 70). Có rất nhiều mô ì
ngôn ngữ đặc tả đượ ra đời và đa số

ú g đều dựa rê

ũ g

ư

ơ sở của toán học.

Các ngôn ngữ đặc tả được thiết kế và ra đời để sử dụng cho nhiều mụ đ

k á

nhau. Các ngôn ngữ ày được phân loại theo 3 tiêu chí chính:
 Mứ đ trừu tượng hoá: Việ đặc tả hệ thống có thể có nhiều mứ độ khác
nhau.có thể một ngôn ngữ đặc tả chỉ dù g để mô tả các hệ thống ĩ

và

ỏ,
6


ư g ũ g ó
ũ g

ể hệ thống cầ đặc tả rất to lớn và phức tạp cả về quy mô

ư oạ động. Mứ độ trừu ượng hoá quyế định một ngôn ngữ đặc tả

có thể dù g để mô tả hệ thống nào. Nếu bao quát quá nhiều thứ thì cồng kềnh,
ư g ếu đơ giản quá thì sẽ không có nhiều khả ă g ứng dụng.
 Phạm vi ứng dụng: Mỗi ngôn ngữ đặc tả
phục vụ cho một hay một số lĩ

ường thiết kế nhằm mụ đ

vực cụ thể. Ví dụ:

dụng trong thiết kế các mạch số; phép toán mệ
và chứng minh các thuậ oá

DM được thiết kế để sử

đề được sử dụng tro g đặc tả

oá ; UN Y đượ dù g ro g đặc tả và

kiểm chứng các hệ thố g so g so g;…
 Mụ đí

sử dụng: Một ngôn ngữ đặc tả

cho mộ ro g ai đối ượ g

là o

ườ g được thiết kế nhằm phục vụ
gười và máy

Điều k ó k ă ở

đây là p ải làm sao du g oà đượ điều này, vì nếu ngôn ngữ đó gầ gũi với
ngôn ngữ tự nhiên của o

gười thì máy tính rất khó phân tích, xử lý và diễn

giải; gược lại, nếu nó quá gần với ngôn ngữ máy
k ă

ì o

gười gặp khó

ro g quá trình sử dụng.

 Lịch sử phát triển:
Các ngôn ngữ đặc tả không hình thức:
 Thế hệ thứ nhất: Booch, Rumbaugh
 Thế hệ thứ hai: UML
 Thế hệ thứ ba: OOCL – Object-oriented Change and Learning (dùng trong
khoa học nhận dạng và trí tuệ nhân tạo – biểu diễn tri thức).
Các ngôn ngữ đặc tả hình thức:
 OCL, Predicate Calculus, CDM, UNITY, VDM, Z
 Object-Z (Z++), VDM++
1.4.

Đặc tả hình thức và quy trình phát triển phần mềm
7


1.4.1. Quy trình chung

Vấn đề xảy ra nếu qui trình phát triển phần mềm không sử dụng đặc tả hình thức


ới việ xá đị

yêu ầu k ô g rõ rà g =>

iểu á yêu ầu

-

eo

ữ g ướ g k á

au giữa k á

à g và gười

u g ấp, p á riể p ầ mềm
-

K ók ă

ro g việ đá

giá sự p ù ợp ủa

iế kế và

ươ g rì

ự

i với á yêu ầu đã xá đị
 Mô hình phần mềm được thiết kế không theo chuẩn =>
-

Việc hiểu mô hình phần mềm
>

-

ươ g rì

eo ướng khác nhau của mỗi lập trình viên -

sai

Các thuộc tính của từng module thự

i ro g

ươ g rì

sẽ k ô g được

mô tả rõ ràng.
 Việc kiểm thử phần mềm chỉ phát hiện ra lỗi

ư gk ô g

ể chỉ được ra vị trí

lỗi.
 Đá

giá và đưa ra sản phẩm cho khách hàng muộn so với quy định.

8


1.4.2. Qui trình phát triển phần mềm sử dụng đặc tả hình thức

9


Ưu điểm :
 Yêu cầu là nhữ g đị

g ĩa rõ rà g về mặt hình thức:

-

Khách hàng và nhà cung cấp có nhữ g rao đổi, qua điểm nhất quán.

-

Xá định tố đầu vào cho pha thiết kế.

 Tài liệu của hệ thống phần mềm rõ ràng, cụ thể.


á đị

g ĩa ì

ức của mô hình phần mềm sẽ là đầu vào cụ thể và rõ

ràng cho việc lập trình.
 Sự chứng mình hình thức của các thuộc tính hệ thống.
 Xây dựng phát triển nguyên mẫu nhanh.
 Tự động sinh mã.
 Làm mịn theo kiểu bậc thang từ nhữ g đặc tả trừu ượ g đến nhữ g đặc tả
cụ thể.
 Đưa ra được nguồn gốc của việc kiểm tra dữ liệu từ nhữ g đặc tả hình thức.
Nhược điểm :

10


 Những hệ hình thức khó hiểu sẽ gây k ó k ă

ro g việ rao đổi với khách

hàng.
 Việc xây dựng ngôn ngữ hình thức là hết sứ k ó k ă và ó
cho những phần của hệ thống phần mềm thiếu khả ă g

ỉ thích hợp

ay đổi cấu hình

hay qui mô.
 Việc sử dụ g p ươ g

ứ đặc tả nào và ngôn ngữ đặc tả nào là yêu cầu khá

ao đối với gười phát triển.
 Ngay cả việ đặc tả và chứng minh hình thức vẫn có thể có lỗi xãy ra.
Giới hạn công cụ hỗ trợ cho việ đặc tả.
1.4.3. Phân tích
a)

Lập các mô hình thế giới thực
 Mô hình dữ liệu
 Các ràng buộc
 Mô hình xử lý
 Mô hình trạng thái
 Mô hình thời gian
 Mô hình không gian
Dù g đặc tả

b)


á sơ đồ

 Các phát biểu về ràng buộc


á quy định về công thức tính toán

 Thiết kế dữ liệu
 Các hàm kiểm tra ràng buộc

11


1.4.4. Thiết kế
a) Lập mô hình phần mềm
 Hệ thống dữ liệu
 Hệ thống giao diện
 Hệ thống xử lý
b) Dù g đặc tả


á sơ đồ

 Các thao tác trên màn hình
 Các hàm xử lý
1.4.5. Kiểm chứng
a) Kiểm ra

đú g đắn

 Dữ liệu
 Hàm
 Giao diện
b) Dù g đặc tả
 Kiểm ra

đú g đắn của hàm

Ứng dụng của đặc tả
 Mô tả lại các kết quả đã đạ được trong từng giai đoạn của quy trình công nghệ
phần mềm. Ứng dụng dạ g ày
 Phát sinh kết quả

ườ g được sử dụng trong các báo cáo.

o giai đoạn kế tiếp dựa vào đặc tả của giai đoạ

rước.

12


ƯƠNG 2.
Ơ SỞ
Đ

Á

ươ g:

Các n i dung chính c
2.1. Logi

ệ

2.2. Logi

ị từ

đề

2. . L t u ết t
2.1. LOG

ỆN

2.1.1. ệ

T

ợ

ĐỀ

đề

Mệ

đề là những phát biểu ( âu) đú g oặ sai,

ứ không thể vừa đú g vừa

sai.
dụ : á

âu sau là á mệ

+ à Nội là

ủ đô ủa ướ

+ ro g ập số ự

iê

đề
iệ Nam

ì 1+1 =2

+ 1+2 = 2
+ 2 là mộ số guyê
+

ố

ủ đô ủa ướ Mỹ là Lo do
dụ : á

âu sau k ô g là mệ

đề

+ x- 1 =3
+ Bây giờ là mấy giờ ?
+ x –y=z
Các mệ

đề đú g được nói là có giá trị

â lý đú g (hay chân trị đú g), á mệ

đề

sai được nói là có giá trị chân lý sai.
13


Người a

ường dùng các chữ cái p,q,r,t,

â lý đú g đượ ký iệu là số
là 0 oặ

oặ

để đặt tên cho các mệ

( rue- Đú g), giá rị

đề

iá rị

â lý sai đượ ký iệu

(False - Sai).
é to

2.1.2.

trê

ệ

đề

a.Phép phủ định
Phủ định của mệ

đề p là mộ mệ

đề

K ô g p ải là p và được ký hiệu là p

(đọc là KHÔNG p). Chân trị của p là 0 nếu chân trị của p là

í ụ:
số guyê
í ụ: p

o p là mệ
ố

đề

rị là 0 nên p ó

â

p

0

1

1

0

2 là mộ số guyê

N ư vậy p ó
4 là số guyê

P

â
ố

ố

rị 1 nên p ó
ì p

ì p là mệ
â

và gược lại.

đề

2 k ô g p ải là

rị là 0.

4 k ô g p ải là số guyê

ố

p ó

â

rị là 1.

b. Phép h i (phép AND - VÀ)
Mệ

đề

i của hai mệ

đề p và q là mộ mệ

đề được ký hiệu bởi pq (đọc là p

VÀ q). Chân trị của p  q là 1 nếu chân trị của cả p và q đều bằng 1, trong tất cả các
rường hợp còn lại, p  q có chân trị 0.

p

q

pq

0

0

0

14


í ụ:p
mệ

đề ó

2 là số guyê
â

0

1

0

1

0

0

1

1

1

ố ,q

à ội là

K i đó pq là

rị là 1.

í ụ : cho p = « Hôm nay trời mưa và q
đề

ủ đô ủa iệ Nam

ôm ay rời mưa và là

ôm ay là

ứ Ba

ậy pq là mệ

ứ Ba .

c. Phép tuyển ( phép OR- HOẶC)
Mệ

đề tu ể của hai mệ

đề p và q được ký hiệu bởi pq (đọc là p HO C q). Chân

trị của pq là 0 nếu chân trị của cả p và q đều bằng 0, trong tất cả á

rường hợp còn

lại pq có chân trị 1.
p

q

p q

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

d.Phép kéo theo
Mệ

đề nếu p thì q được ký hiệu là p  q (đọc là p KÉO THEO q). Bảng chân trị của

mệ

đề ày

ư sau :
p

q

p q

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

15


e.Phép tương đương Phép ké th
Mệ

hai chiều)

đề nếu p thì q và gược lại được ký hiệu p  q (đọc là p KHI VÀ CHỈ KHI q).

Bảng chân trị của mệ

2.1.3. Dạ g

ệ

đề ày

ư sau :

p

q

p q

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

đề

Là các biểu thức logi được xây dựng bằng cách kết hợp các biến mệ
nhau bởi các phép nối theo một thứ tự nhấ định. Mỗi dạng mệ
xá đị

đối với từng bộ chân trị của các biến mệ

mệ

đề ứng với từng chân trị của các biến mệ

mệ

đề đó

Ví dụ : Dạng mệ

đề với

đề có một chân trị

đề. Tập tất cả các chân trị của dạng
đề lập thành bảng chân trị cùa dạng

đề: E(p, q, r) = p  (q  r) có bảng chân trị

ư sau :

P

q

r

qr

E=p(qr)

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

Bài t p áp dụng: Lập bảng chân trị của các dạng mệ

đề sau:

16


a) p  (q  r)
b) (p q)  (p  r)
c) (p q)  (p  r)

d) (p  q)  (p  r)
2.1.4. Tươ g đươ g logi
đề E và

Hai dạng mệ

được gọi là ươ g đươ g logi

chân trị. Khi ấy ta viết E  F và mệ

ếu chúng có cùng một bảng

đề dạng E  F luôn mang chân trị bằng 1 cho

dù các biến có lấy giá trị ào đi ữa.
Ví dụ: Xét 2 mệ

đề: p  q và p  q

N ư vậy ta nói 2 mệ

P

q

p

pq

p  q

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

đề rê là ươ g đươ g logi , và được viết là:

(p  q)  (p  q)
ệ quả logi

2.1.5.

Dạng mệ

đề

được gọi là hệ quả logic của dạng mệ

đề E nếu E  F luôn

có chân trị đú g K i đó a viết là E  F. Ta có thể nói cách khác: E có hệ quả logic là
F.
2.1.6.

gu ê tắ t

t ế

1. Quy tắc 1: trong dạng mệ
mệ

đề ươ g đươ g logi

đề E, nếu ta thay thế biểu thức con F bởi một dạng
ì dạng mệ

đề

u được vẫ

ò

ươ g đươ g logi

với E.
17


2. Quy tắc 2: Giả sử dạng mệ

đề E(p, q, r,…) là một hằ g đú g Nếu ta thay thế

nhữ g ơi p xuất hiện trong E bởi một dạng mện đề tuỳ ý F (p’, q’, r’,…)
mệ

2.1.7.

đề nhậ được theo các biế p, q, r,…, p’, q’, r’,… vẫn còn là một hằ g đú g
qu lu t logi

Với p, q, r là các biến mệ
logi

ì dạng

đề, 1 là hằ g đú g và 0 là ằ g sai, a ó á ươ g đươ g

ư sau:

1. Ph định c a ph định
p  p
2. Quy tắc De Morgan
(p  q)  p  q
và

(p  q)  p  q

3. Lu t giao hoán
pqqp
và

pqqp

4. Lu t kết hợp
p  (q  r)  (p  q)  r

và

p  (q  r)  (p  q)  r

5. Lu t phân bổ
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
và

p  (q  r)  (p  q)  (p  r )

6. Luât luỹ đẳng
18


ppp
ppp

và
7. Lu t trung hoà

p1p
p0p

và

8. Lu t về phần tử bù
p  p  0
p  p  1

và

9. Lu t thống trị

p00
p11

và
10. Lu t hấp thụ

p  (p  q)  p
và

p  (p  q)  p

Ví dụ 1: Hãy chứng minh dạng mệ

đề sau là một hằ g đú g:

[(r s)  [(r s) (t  u)]]  (t  u)
Chứng minh:
Thay r  s bởi p và t  u bởi q, a đưa về bài toán chứng minh dạng mệ

đề sau là

một hằ g đú g:
[p  (p  q)]  q
19


Ta có:

[p  (p  q)] q
 [p  (p  q)]  q
 [(p  p)  (p  q)] q
 [0  (p  q)]  q
 (p  q)  q
 p  q  q
 p  1  1

Ví dụ 2: Từ (p q)  r, ta có:
(p q)  r
 p  q  r
 p  (q  r)
 p  (q  r)
 p (q  r)
N ư vậy : (p  q)  r  p  (q  r)
2.1.8.

qu tắ su

iễ

1. Modus Ponens (khẳ g định)
[(p  q)  p]  q
2. S llogis

(T

đoạn lu n)

[(p  q)  (q  r)]  (p  r)

20


3. Modus Tollens (ph định)
[(p  q)  q]  p
4. T

đoạn lu n rời
[(p  q)  p]  q

5. Quy tắc mâu thuẫn
[(p1  p2  …  pn)  q]  [(p1  p2  … pn  q)  0]
6. Quy tắc chứ g

i

t eo trường hợp

[(p  r)  (q  r)]  (p  q)  r)
Ví dụ: Chứng minh f(n) = n3 + 2n luôn chia hết cho 3.
Ta có: f(n) = n(n2 + 2). Lấy n là một số nguyên tuỳ ý, k i đó ó 2 rường hợp xảy ra :
TH1 : n chia hết cho 3,

ư vậy dễ thấy f(n) chia hết cho 3. (1)

TH2: n không chia hế

o 3, k i đó đặt n = 3k  1 (k là số guyê

ào đó), a ó:

n2 + 2 = (3k  1)2 + 2 = 9k2  6k + 3 = 3(k2  2k +1)
suy ra f( ) ũ g

ia ết cho 3. (2)

Từ (1) và (2), ta kết luận f(n) chia hết cho 3 trong mọi rường hợp.
2.2.
2.2.1.

LOG

Ị TỪ

ị từ

Là một khẳ g định P(x, y,…) ro g đó ó
những tập hợp
a)

ứa một số biến x, y, ... lấy giá trị trong

o rước A,B,... sao cho:

Bản thân P(x, y,...) không phải là một mệ

đề.

21

b)

Nếu

được một mệ

ư g uỳ ý a A, b B,…thì ta

ay x, y,… bằng những phần tử cố đị
đề P(a, b,…), ức là chân trị của ó oà

oà xá đị

K i đó x, y,…

gọi là các biến tự do của vị từ.
Nói một cách khác, một vị từ là một hàm số dạng:
f: X B
ro g đó: X
Ví dụ: P( )

 B  … và B = {0, 1}
‘‘ là một số nguyên tố’’ là một vị từ theo một biến tự do nN.
f: N  B

Với n = 2, 5, 7, 11 ta có các mệ
ta có các mệ

đề đú g P(2), P(5), P(7), P(11) : còn với n = 4, 8 thì

đề sai P(4), P(8).

2.2.2. Lượ g từ
Giả sử p(x) là vị từ theo một biến tự do x , k i đó ó 3 rường hợp có thể xảy ra :
TH1 : khi thay x bởi một phần tử bất kỳ a , a đều được mệ
TH2 : với một (hoặc một số) giá trị a A thì p(a) là mệ
b A thì p(b) là mệ

đề đú g p(a)

đề đú g, và với một số giá trị

đề sai.

TH3 : khi thay x bởi một phần tử bất kỳ a , a đều được mệ

đề sai p(a).

Đối với TH1 thì mệ

đề đú g, ký iệu bởi

đề ‘‘với mọi x

, p(x)’’ là một mệ

‘‘x  , p(x)’’ Bản chất của mệ

đề này là phép VÀ ()

Nếu TH1 hoặc TH2 xảy ra thì mệ

đề ‘‘ ồn tại x

hiệu bởi ‘‘ x  , p(x)’’ Bản chất của mệ
Các mệ

, p(x)’’ là một mệ

đề đú g, ký

đề này là phép HO C ()

đề x  A, p(x) và  x  , p(x) được gọi là lượng từ hoá của vị từ p(x) bởi

lượng từ phổ dụng () và lượng từ tồn tại ().
22


Chú ý:
a. Trong mệnh đề lượng từ hoá, x không còn là biến tự do nữa mà nó bị ràng
buộc bởi á lượng từ.
b. TH3 ở trên có thể được viết lại : x  A,p(x) N ư vậy, phủ định của
đề x  A, p(x) xảy ra khi TH2 hoặc TH3 xảy ra,tức là mệ

mệ

A, p(x) là mệ

2.3.

đề đú g

ú ra :

Phủ định của x  A, p(x) là mệ

đề x  A,p(x)

Phủ định của x  A, p(x) là mệ

đề x A, p(x)

LÝ T UYẾT TẬP

Ở đây a

đề x 

ỢP

ỉ nhắc lại một số khái niệm ơ bản nhấ , ũ g

ư á ký iệu dùng trong lý

thuyết tập hợp mà thôi :
a) Nếu a là một phần tử thuộc tập hợp A, ta viết a  , gược lại ta viết a  A.
b) Tập hợp A thoả một tính chấ

ào đó,

ất ở đây được biểu diễ dưới

dạng một vị từ p(x), ta viết : A = {x U /p(x)}, ro g đó U được gọi là tập vũ
trụ.
Ví dụ :

A = {x N / x là số nguyên tố}
A = {x Z / x2 <5}

c) Ngoài ra có thể biểu diễn tập hợp bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của nó,
ví dụ 2 ở trên có thể được viết lại A = {-2, -1, 0, 1, 2}
d) Tập hợp không có phần tử nào cả gọi là tập hợp rỗ g, được ký hiệu là 
e) Giả sử A và B là 2 tập hợp con của tập vũ rụ U, ta nói A là tập con của B (
ay

được bao hàm trong B, hay B bao hàm A), ký hiệu A  B nếu:
x  U,(x  A)  (x  B)

23


f) Nếu A  B và B  A, ta nói A bằ g B, được ký hiệu

B N ư vậy rõ ràng

A = B khi và chỉ khi:
x  U, (x  A)  (x  B)

g) Hợp () , giao () và phần bù của tập hợp:
A  B = {x  U/ (x  A)  (x  B)}
A  B = {x  U / (x  A)  (x  B)}
Ā

{x  U / (x  )}, Ā được gọi là phần bù của A trong U.

h) Một số tính chất trên tập hợp: Cho A, B, C là các tập con tuỳ ý của U, ta có:
i. Tính giao hoán:
AB=BA
AB=BA
ii. Tính kết hợp:
A  (B  C) = (A  B)  C
A  (B  C) = (A  B)  C
iii. Lu t De Morgan:
AB

Ā B

AB

Ā B

iv. Tính phân bố:
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
v. Phần tử trung hoà:
A=A
24