09. BIẾN DẠNG NGHIỆM KÉP, NGHIỆM BỘI BA Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – HỘI ĐỒNG QUẢN TRỊ - NHƯ QUỲNH

09. BIẾN DẠNG NGHIỆM KÉP, NGHIỆM BỘI BA
Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1) NGHIỆM BỘI BA.
3
• Dạng của bài toán nghiệm bội ba ( x − α ) .g ( x ) .
•

Khi giải phương trình f ( x ) = 0 , để kiểm tra tính chất nghiệm có nghiệm bội ba hay không, ta
thực hiện theo các bước sau:
o Sử dụng TABLE để kiểm tra phương trình, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất
x =α .
o Sử dụng chức năng để kiểm tra tính chất nghiệm bội:
d
Nếu
( f ' ( x ) ) ≠ 0 suy ra x = α là nghiệm đơn.
dx
x =α
Nếu

d
( f ' ( x ) ) = 0 suy ra x = α là nghiệm bội ba.
dx
x =α

o Để tìm liên hợp cho
Đặt

n

n

g ( x ) trong bài toán, ta thực hiện các bước sau:

g ( x ) = ax 2 + bx + c

d n
d  g '( x) 

 , b=
− 2aα , c = n g (α ) − aα 2 − bα .
g ( x)
n


dx
dx 2n g ( x )
x =α

 x=α
Tìm được các giá trị a, b, c ta sẽ tìm được biểu thức liên hợp.
o Hoặc có thể kiểm tra nghiệm bội bằng cách tìm giới hạn như sau:
f ( x)
f ( x)
f ( x)
lim
= lim
= 0 ≠ lim
2

3
x →α x − α
x→α
x →α
(x −α )
(x −α )
Ta có a =

(

)

2) HAI NGHIỆM KÉP HỮU TỶ.
2
2
• Dạng của bài toán nghiệm bội ba ( x − α ) ( x − β ) .g ( x ) .
•

Khi giải phương trình f ( x ) = 0 , để kiểm tra tính chất nghiệm có hai nghiệm kép hữu tỷ hay
không, ta thực hiện theo các bước sau:
x = α
o Sử dụng TABLE để kiểm tra phương trình, ta thấy phương trình có hai nghiệm 
.
x = β
o Sử dụng đạo hàm để kiểm tra tính chất nghiệm bội:
Ta có đạo hàm f ' ( x )
Nhận thấy rằng f ' (α ) = f ' ( β ) = 0

•

Để tìm nghiệm ta sẽ có hai hướng chủ đạo đó chính là LIÊN HỢP hoặc đưa phương trình về dạng
TÍCH CÁC SỐ HẠNG.

Ví dụ 1. Giải phương trình 9 x 4 − 12 x3 − 7 x 2 − 6 x − 16 + 4 ( x + 3) x 2 + x + 2 = 0

( x ∈ ℝ)

PHÂN TÍCH CASIO. Với chức năng SHIFT CALC hoặc TABLE ta sẽ tìm được hai nghiệm của
phương trình đã cho như sau:

X
-5
-4
-3

F(X)
6926.4
2953
992

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Nhập F ( X ) = 9 X 4 − 12 X 3 − 7 X 2 − 6 X − 16 + 4 ( X + 3) X 2 + X + 2 .

-2
-1
0

1
2
3
4
5

216
15.313
0.9705
0
48.568
397.79
1515.3
4085

• Start = −5
• End = 5
• Step = 1 .
Ta nhập thấy phương trình có một nghiệm x = 1 đồng thời kiểm tra bằng
1
chức năng SHIFT CALC ta có được x = − .
3
Bây giờ ta sẽ đi kiểm tra tính chất nghiệm bằng cách:
2 ( x + 3)( 2 x + 1)
• Tính f ' ( x ) = 36 x3 − 36 x 2 − 14 x − 6 + 4 x 2 + x + 2 +
x2 + x + 2
 1
• Nhận thấy f (1) = f  −  = 0 .
 3
1

2
2
Suy ra là hai nghiệm kép của phương trình đã cho x = 1; x = − . Khi đó ta có ( x − 1) ( 3 x + 1) và đi tìm
3
biểu thức liên hợp cho căn
•
•

•
•

x 2 + x + 2 như sau:

Ta đặt ( x + 3) x 2 + x + 2 = ax 2 + bx + c .

a + b + c = 8
1

Với hai nghiệm x = 1; x = − ta có hệ phương trình  1
1
32 .
3
a
−
b
+
c
=
 9
3

9
1
Với điều kiện nghiệm kép x = 1; x = − ta được 9a + 5b + c = 28 .
3
5
5
17
Do đó suy ra a = ; b = ; c = . Nên biểu thức liên hợp là
4
2
4

4 ( x + 3) x 2 + x + 2 − 5 x 2 − 10 x − 17 .
Nên phương trình đã cho tương đương với
9 x 4 − 12 x3 − 2 x 2 + 4 x + 1 + 4 ( x + 3) x 2 + x + 2 − 5 x 2 − 10 x − 17 = 0
⇔ ( x − 1) ( 3 x + 1) −
2

( x − 1) ( 3x + 1)
2

2

2

4 ( x + 3) x 2 + x + 2 + 5 x 2 + 10 x + 17

=0

2

2
⇔ ( x − 1) ( 3 x + 1)  4 ( x + 3) x 2 + x + 2 + 5 x 2 + 10 x + 16  = 0


1
Chú ý rằng 4 ( x + 3) x 2 + x + 2 + 5 x 2 + 10 x + 16 > 0 nên suy ra x = 1; x = − .
3
1
Hoặc với nghiệm kép hữu tỷ x = 1; x = − ta có thể tạo nhân tử bằng cách như sau:
3
a + b = 2
2
1
3

2
2
x + x + 2 = ax + b ⇒  1
4 ⇔ a = − ; b = − ⇒ nhân tử là 2 x + x + 2 − x − 3 .
2
2
− 3 a + b = 3

(

)

Sau đó thực hiện phép chia đa thức đó là:
9 x 4 − 12 x 3 − 7 x 2 − 6 x − 16 + 4 ( x + 3) x 2 + x + 2

(

2 x2 + x + 2 − x − 3

(

)

2

(

)(

= 2 x2 + x + 2 + x + 2 2 x2 + x + 2 + x + 4

)(

)

Và chú ý rằng phương trình 2 x 2 + x + 2 + x + 2 2 x 2 + x + 2 + x + 4 = 0 vô nghiệm.

1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1; x = − .
3
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

)

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

( x ∈ ℝ)

Ví dụ 2. Giải phương trình x3 − 6 x 2 + 13x − 16 + 8 x 2 − 3x + 3 = 0

PHÂN TÍCH CASIO. Sử dụng chức năng TABLE ( mode 7 ) của máy tính để tìm nghiệm của phương
trình đã cho. Ta nhập F ( X ) = X 3 − 6 X 2 + 13 X − 16 + 8 X 2 − 3 X + 3 .
• Start = 0
• End = 10
• Step = 1 .
Ta được bảng giá trị
cũng như đồ thị như
sau: Nhận thấy rằng
x = 1 chính là nghiệm
duy nhất của phương
trình đã cho. Và bây
giờ ta sẽ đi kiểm tra
Tính chất nghiệm là:

X
1
2
3
4
5
6
7
8
9

10

F(X)
0
2
9.8564
25.166
52.844
98.66
168.54
268.45
404.39
582.35

Cách 1. Tính giới hạn của hàm số.
•

lim

•

lim

•

lim

x →1

x3 − 6 x 2 + 13x − 16 + 8 x 2 − 3x + 3

=0
x −1
x3 − 6 x 2 + 13x − 16 + 8 x 2 − 3x + 3

( x − 1)

x →1

2

x3 − 6 x 2 + 13x − 16 + 8 x 2 − 3x + 3

( x − 1)

x →1

3

=0
≠0

Cách 2. Kiểm tra bằng đạo hàm.

 f ' (1) = 0

Ta có f ' ( x ) = 3 x − 12 x + 13 +
và thấy rằng  d
.
2
f

x
'
=
0
(
)
(
)
x − 3x + 3
 dx
x =1

Do đó ta kết luận x = 1 chính là nghiệm bội bậc ba của phương trình đã cho.
4 ( 2 x − 3)

2

Tiếp theo ta sẽ đi tìm biểu thức liên hợp của

x 2 − 3x + 3 như sau:

•

Đặt f ( x ) = x 2 − 3 x + 3 = ax 2 + bx + c .

•

Ta có giá trị của a, b, c là: a =

b=

d  f '( x) 
3

 = .
dx  2n. f ( x ) 
8

 x =1

d
5
15
f ( x ))
− 2aα = − và c = f ( x ) x=α − aα 2 − bα = .
(
dx
4
8
x =α

Nên biểu thức liên hợp chính là 8 x 2 − 3x + 3 − 3x 2 + 10 x − 15 .
Khi đó phương trình đã cho trở thành:

)

(

)

(

x3 − 3 x 2 + 3 x − 1 + 8 x 2 − 3 x + 3 − 3 x 2 + 10 x − 15 = 0 ⇔ ( x − 1) + 8 x 2 − 3 x + 3 − 3 x 2 + 10 x − 15 = 0
⇔ ( x − 1) +
3

64 ( x 2 − 3 x + 3) − ( 3 x 2 − 10 x + 15 )

2

8 x 2 − 3 x + 3 + 3 x 2 − 10 x + 15
Và chú ý các điều sau:
2
5  20

2
> 0; ∀x
• 3 x − 10 x + 15 = 3  x −  +
3
3

•

3

= 0 ⇔ ( x − 1) +
3

3 (11 − 3 x )( x − 1)

3

8 x 2 − 3 x + 3 + 3 x 2 − 10 x + 15

8 x 2 − 3 x + 3 = − ( x3 − 6 x 2 + 13 x − 16 ) ≥ 0 ⇔ x3 − 6 x 2 + 13 x − 16 ≤ 0 ⇔ x ≤

=0

11
.
3

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

( ∗)


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC


33 − 9 x
3
Do đó phương trình ( ∗) ⇔ ( x − 1) 1 +
 = 0 ⇔ x = 1.
2
2
 8 x − 3x + 3 + 3x − 10 x + 15 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 .
Ví dụ 3. Giải phương trình ( x + 3) x = 2 x + 1 + 3 3x 2 − 3x + 1

( x ∈ ℝ)

PHÂN TÍCH CASIO. Sử dụng chức năng TABLE ( mode 7 ) của máy tính để tìm nghiệm của phương
trình đã cho. Ta nhập F ( X ) = ( X + 3) X − 2 X − 1 − 3 3 X 2 − 3 X + 1 .

• Start = 0
• End = 10
• Step = 1 .
Ta được bảng giá trị
cũng như đồ thị như
sau: Nhận thấy rằng
x = 1 chính là nghiệm
duy nhất của phương
trình đã cho. Và bây
giờ ta sẽ đi kiểm tra
Tính chất nghiệm là:

X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Kiểm tra bằng đạo hàm.

x+3
Ta có f ' ( x ) = x +
−2−
2 x

2x − 1

(

3

3x 2 − 3x + 1

)

2

F(X)
-2
0
0.1581
0.7239
1.6677
2.952
4.5474
6.4309
8.5839
10.99

13.638

 f ' (1) = 0

và thấy rằng  d
.
f
'
x
=
0
(
)
(
)
 dx
x =1


Do đó ta kết luận x = 1 chính là nghiệm bội bậc ba của phương trình đã cho.
Tiếp theo ta sẽ đi tìm biểu thức liên hợp của

3

3x 2 − 3x + 1 như sau:

•

Đặt f ( x ) = 3 3x 2 − 3x + 1 = ax 2 + bx + c .

•

Ta có giá trị của a, b, c là: a =

b=

d  f '( x) 

 =0.
dx  2n. f ( x ) 

 x=1

d
( f ( x ) ) − 2aα = 1 và c = f ( x ) x=α − aα 2 − bα = 0 .
dx
x =α

Nên biểu thức liên hợp chính là

3

3x 2 − 3x + 1 − x .

Khi đó phương trình đã cho trở thành: ( x + 3) x − 3x − 1 + x − 3 3x 2 − 3x + 1 = 0

⇔

( )

⇔

(

x

3

−3

)

( )
x

2

+3

( x ) −1+ ( x −
( x − 1)

3

x −1 +

x + x 3x − 3x + 1 +
2

3

2

(

)

3x 2 − 3x + 1 = 0

3

3

(

3

3x − 3x + 1
2

)

)

2

3

x
+

1

⇔ x − 1 1 +
 x 2 + x 3 3x 2 − 3x + 1 + 3 3x 2 − 3x + 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 .

(

)

3

(

=0

)



= 0 ⇔ x =1
2 



Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Ví dụ 4. Giải phương trình

x3 − 2 x 2 + x − 2 + ( x + 1) x 3 + x 2 − x − 2 = 2 ( x 2 + x − 1)

( x ∈ ℝ) .

3
2
 x − 2 x + x − 2 ≥ 0
PHÂN TÍCH CASIO. Điều kiện của bài toán  3
⇔ x ≥ 2.
2
 x + x − x − 2 ≥ 0

Bước 1.

SHIFT CALC x = 2
⇒ x = 2.25992105

Bước 2.

Thay vào căn

x3 − 2 x 2 + x − 2 = 1.25992105
Do đó, đánh giá
x3 − 2 x 2 + x − 2 = x − 1
Do đó phương trình đã cho tương đương với

(

)

x3 − 2 x 2 + x − 2 − x + 1 + ( x + 1)

(

)

x3 + x 2 − x − 2 − 2 x + 1 = 0


1
⇔ ( x3 − 3 x 2 + 3 x − 3) 
+
3
2
 x − 2x + x − 2 + x − 1


=0
x3 + x 2 − x − 2 + 2 x − 1 
x +1

⇔ x3 − 3x 2 + 3x − 3 = 0 ⇔ x3 − 3x 2 + 3x − 1 = 2 ⇔ ( x − 1) = 2 ⇔ x = 1 + 3 2
3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 + 3 2 .

Ví dụ 5. Giải bất phương trình 2 x3 + 4 x 2 + 4 x − 3 16 x 3 + 12 x 2 + 6 x − 3 ≥ 4 x 4 + 2 x 3 − 2 x − 1

PHÂN TÍCH CASIO. Điều kiện của bài toán x ≥ 0 .
Bước 1.
SHIFT CALC x = 2
⇒ x = 0.793700526
Bước 2.
Thay vào căn

2 x3 + 4 x 2 + 4 x = 2.587401052
Do đó, đánh giá
2 x3 + 4 x 2 + 4 x = 2 x + 1
2 x 3 + 4 x 2 + 4 x = ( 2 x + 1)2 + 2 x3 − 1

Ta có 
nên ta ghép biểu thức 2 x + 1 − 3 16 x3 + 12 x 2 + 6 x − 3 .
3
3
2
3
16 x + 12 x + 6 x − 3 = ( 2 x + 1) + 4 ( 2 x − 1)
Do đó bất phương trình đã cho tương đương:
3
 1

2 x 3 − 1 4 ( 2 x − 1)
4
−
≥ ( 2 x3 − 1) ( 2 x + 1) ⇔ ( 2 x3 − 1) 
−
− 2 x − 1 ≥ 0
f ( x)

g ( x)
 f ( x) g ( x)

Với g ( x ) = ( 2 x + 1) + ( 2 x + 1) 3 16 x3 + 12 x 2 + 6 x − 3 +
2

3

(16 x

3

+ 12 x 2 + 6 x − 3)

2

Và f ( x ) = 2 x3 + 4 x 2 + 4 x + 2 x + 1 .
Vì x ≥ 0 suy ra f ( x) ≥ 1 , g ( x) > 0 nên

1
4
4
−
− 2x − 1 ≤
− 2x < 0
f ( x) g ( x)
g ( x)


 1 


⇔ x ∈ 0;
 3 2
2 x − 1 ≤ 0




x ≥ 0
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương  3

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Ví dụ 6. Giải phương trình 9 x 4 − 12 x3 − 7 x 2 − 6 x − 16 + 4 ( x + 3) x 2 + x + 2 = 0

( x ∈ ℝ)

PHÂN TÍCH CASIO. Với chức năng SHIFT CALC hoặc TABLE ta sẽ tìm được hai nghiệm của
phương trình đã cho như sau:
Nhập F ( X ) = 9 X 4 − 12 X 3 − 7 X 2 − 6 X − 16 + 4 ( X + 3) X 2 + X + 2 .

X
-5
-4
-3
-2
-1

0
1
2
3
4
5

F(X)
6926.4
2953
992
216
15.313
0.9705
0
48.568
397.79
1515.3
4085

• Start = −5
• End = 5
• Step = 1 .
Ta nhập thấy phương trình có một nghiệm x = 1 đồng thời kiểm tra bằng
1
chức năng SHIFT CALC ta có được x = − .
3
Bây giờ ta sẽ đi kiểm tra tính chất nghiệm bằng cách:
• Tính
2 ( x + 3)( 2 x + 1)

f ' ( x ) = 36 x3 − 36 x 2 − 14 x − 6 + 4 x 2 + x + 2 +
x2 + x + 2
 1
• Nhận thấy f (1) = f  −  = 0 .
 3
1
2
2
Suy ra là hai nghiệm kép của phương trình đã cho x = 1; x = − . Khi đó ta có ( x − 1) ( 3 x + 1) và đi tìm
3
biểu thức liên hợp cho căn
•
•

•
•

x 2 + x + 2 như sau:

Ta đặt ( x + 3) x 2 + x + 2 = ax 2 + bx + c .

a + b + c = 8
1

Với hai nghiệm x = 1; x = − ta có hệ phương trình  1
1
32 .
3
 9 a − 3 b + c = 9
1

Với điều kiện nghiệm kép x = 1; x = − ta được 9a + 5b + c = 28 .
3
5
5
17
Do đó suy ra a = ; b = ; c = . Nên biểu thức liên hợp là
4
2
4

4 ( x + 3) x 2 + x + 2 − 5 x 2 − 10 x − 17 .
Nên phương trình đã cho tương đương với
9 x 4 − 12 x3 − 2 x 2 + 4 x + 1 + 4 ( x + 3) x 2 + x + 2 − 5 x 2 − 10 x − 17 = 0
⇔ ( x − 1) ( 3 x + 1) −
2

( x − 1) ( 3x + 1)
2

2

2

4 ( x + 3) x 2 + x + 2 + 5 x 2 + 10 x + 17

=0

2
2
⇔ ( x − 1) ( 3 x + 1)  4 ( x + 3) x 2 + x + 2 + 5 x 2 + 10 x + 16  = 0



1
Chú ý rằng 4 ( x + 3) x 2 + x + 2 + 5 x 2 + 10 x + 16 > 0 nên suy ra x = 1; x = − .
3
1
Hoặc với nghiệm kép hữu tỷ x = 1; x = − ta có thể tạo nhân tử bằng cách như sau:
3
a + b = 2
2
1
3

2
2
x + x + 2 = ax + b ⇒  1
4 ⇔ a = − ; b = − ⇒ nhân tử là 2 x + x + 2 − x − 3 .
2
2
− 3 a + b = 3

(

)

Sau đó thực hiện phép chia đa thức đó là:
9 x 4 − 12 x 3 − 7 x 2 − 6 x − 16 + 4 ( x + 3) x 2 + x + 2

(

2 x2 + x + 2 − x − 3

)

2

(

)(

= 2 x2 + x + 2 + x + 2 2 x2 + x + 2 + x + 4

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

)


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

)(

(

)

Và chú ý rằng phương trình 2 x 2 + x + 2 + x + 2 2 x 2 + x + 2 + x + 4 = 0 vô nghiệm.
1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1; x = − .
3

(

)

Ví dụ 7. Giải phương trình 3 x 2 x − 2 − x + 3 + 40 x − 2 + 42 x + 3 = 24

( x − 2 )( x + 3) + 80

PHÂN TÍCH CASIO. Với chức năng SHIFT CALC hoặc TABLE ta sẽ tìm được hai nghiệm của
phương trình đã cho như sau: Nhập hàm số.
X
F(X)
F ( X ) = 3 X 2 X − 2 − X + 3 + 40 X − 2 + 42 X + 3 − 24 ( X − 2 )( X + 3) − 80
0
ERROR
.
1
ERROR
• Start = 0
2
0.4984
• End = 10
3
0.0454
• Step = 1 .
4
0.0824
Ta nhập thấy phương trình có một nghiệm x = 6 đồng thời kiểm tra bằng
5
0.0355

22
6
0
chức năng SHIFT CALC ta có được x = 2.444444444 =
.
9
7
0.0597
8
0.2774
9
0.6985
10
1.3563

(

)

Bây giờ ta sẽ đi kiểm tra tính chất nghiệm bằng cách:
1
 1

• Tính f ' ( x ) = 3 2 x − 2 − x + 3 + 3 x 
−
+
 x−2 2 x+3

(

•

)

20
+
x−2

21
−
x+3

12 ( 2 x + 1)

( x − 2 )( x + 3)

 22 
Nhận thấy f ( 6 ) = f   = 0
 9 

1
Suy ra là hai nghiệm kép của phương trình đã cho x = 1; x = − . Khi đó đi tìm biểu thức nhân tử cho hai
3
căn như sau:
• Ta đặt x − 2 + a x + 3 + b .
2 + 3a + b = 0
 a = −2
1

• Với hai nghiệm x = 1; x = − ta có hệ phương trình  2 7

.
⇔
b
=
4
3
+
a
+
b
=
0

 3 3

•

Nhân tử sẽ là

(

)

2

x−2 −2 x+3 +4 .

Sau đó thực hiện phép chia đa thức đó là:

(

)

3 x 2 x − 2 − x + 3 + 40 x − 2 + 42 x + 3 − 24

(

x−2 −2 x+3+4

Nên phương trình đã cho tương đương với

(

x−2 −2 x+3+4

) (2
2

)

( x − 2 )( x + 3) − 80

2

= 2 x−2 + x+3

)

x−2 + x+3 =0 ⇔ x−2 +4 = 2 x+3

x = 2
 x ≥ 2
 x ≥ 2
⇔
⇔
⇔
 x = 22
x
−
2
+
8
x
−
2
+
16
=
4
x
+
3
8
x
−
2
=
3
x
−

2
(
)



9

22
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2; x =
9
Ví dụ 8. Giải phương trình 2 x 3 − 6 x 2 + 8 x + 1 = 3 6 x 2 + 2 + 3 9 x 2 + 9 x + 9.
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

A. Phân tích CASIO
Tương tự như nghiệm kép của phương trình, ta có kết quả sau:

 f (a) = 0

 f '( a) = 0
Phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm bội ba x = a khi 
 f '' ( a ) = 0
 ( 3)
 f (a) ≠ 0

Nhập vào máy tính 2 X 3 − 6 X 2 + 8 X + 1 − 3 6 X 2 + 2 − 3 9 X 2 + 9 X + 9 = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1

2X 3 − 6X 2 + 8X +1− 3 6 X 2 + 2 − 3 9X 2 + 9X + 9
=0
X −1
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Như vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 1.
 f (1) = 0

 f ' (1) = 0
Kiểm tra 
⇒ x = 1 là nghiệm bội ba của (1)
 f '' (1) = 0
 ( 3)
 f (1) ≠ 0
Nhập vào máy tính

Ta cần cân bằng ax + b = 6 x + 2 = ( 6 x + 2 )
3

2

2

1
3

1

2

3 = 2
a
+
b
=
6.1
+
2
(
)

⇒
⇒ a = b = 1.
2
2
−
−
1
1
2
2
a = . ( 6 x + 2 ) 3 .12 x = . ( 6.1 + 2 ) 3 .12.1 = 1

3
3
1

Ta cần cân bằng cx + d = 3 9 x 2 + 9 x + 9 = ( 9 x 2 + 9 x + 9 ) 3
1


2
c
+
d
=
9.1
+
9.1
+
9
(
)3 = 3

c = 1

⇒
⇒
18 x + 9
18.1 + 9
=
= 1 d = 2
c =
2
2
2
2
3
3
3 (9x + 9 x + 9)
3 ( 9.1 + 9.1 + 9 )



Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải
ĐK: x ∈ ℝ
(*)

) (

(

)

Khi đó (1) x + 1 − 3 6 x 2 + 2 + x + 2 − 3 9 x 2 + 9 x + 9 − 2 x − 3 + 2 x3 − 6 x 2 + 8 x + 1 = 0

Đặt M = ( x + 1) + ( x + 1) 6 x + 2 +
2

3

2

3

(6x

2

+ 2)

2

(2)

2

2
1

 3
=  x + 1 + 3 6 x 2 + 2  + 3 ( 6 x 2 + 2 ) > 0.
2

 4

2

1  12

Ta có 9 x 2 + 9 x + 9 = 9  x +  + > 0
2
4

⇒ N = ( x + 2) + ( x + 2) 3 9 x2 + 9 x + 9 + 3 (9 x2 + 9 x + 9)
2

2

2

2
1

 3
=  x + 2 + 3 9 x 2 + 9 x + 9  + 3 ( 9 x 2 + 9 x + 9 ) > 0.
2

 4

Do đó (2) ⇔

( x + 1)

3

− ( 6 x2 + 2 )
M

+

( x + 2)

3

− (9 x2 + 9 x + 9)
N

+ 2 ( x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1) = 0

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

⇔

x 3 − 3x 2 + 3x − 1 x3 − 3x 2 + 3x − 1
3
+
+ 2 ( x − 1) = 0
M
N

( x − 1)
⇔
M

Với M , N > 0 ⇒

3

( x − 1)
+
N

3

1
3
3 1


+ 2 ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1)  + + 2  = 0
M N


(3)

1 1
3
+ + 2 > 0 nên (3) ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 thỏa mãn (*)
M N

Đ/s: x = 1
C. Nhận xét

Để tìm lượng cân bằng ax + b = 3 6 x 2 + 2 ta còn một cách khác như sau:
Ta viết ( ax + b ) − 6 x 2 − 2 = a 3 x 3 + 3a 2 x 2b + 3axb 2 + b3 − 6 x 2 − 2
3

= a 3 x3 + ( 3a 2b − 6 ) x 2 + 3ab 2 x + b3 − 2.

Ta cần phân tích a 3 x 3 + ( 3a 2b − 6 ) x 2 + 3ab 2 x + b3 − 2 để chứa ( x − 1) = x3 − 3 x 2 + 3 x − 1.
3

a 3 3a 2b − 6 3ab 2 b3 − 2
=
=
=
⇒ a 3 = 2 − a 2b = ab 2 = 2 − b3
1

−3
3
−1
a 3 + b3 = 2
⇒ 2
⇒ a 3 + b3 = a 2b + ab 2 ⇒ ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) − ab ( a + b ) = 0
2
a b + ab = 2
b = − a
2
⇒ ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 − ab ) = 0 ⇒ ( a + b )( a − b ) = 0 ⇒ 
a = b
Từ đó ta tìm được a = b = 1 thỏa mãn. Chú ý, ta ngầm hiểu với nhau là a > 0.

Đồng nhất thức ⇒

Ví dụ 9. Giải phương trình x 2 + 1 = ( x − 1) 2 x − 1 + 3 6 x 2 + 2.
A.

Phân tích CASIO

Nhập vào máy tính X 2 + 1 − ( X − 1) 2 X − 1 − 3 6 X 2 + 2 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1
X 2 + 1 − ( X − 1) 2 X − 1 − 3 6 X 2 + 2

=0
X −1
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Như vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 1.
 f (1) = 0


 f ' (1) = 0
Kiểm tra 
⇒ x = 1 là nghiệm bội ba của (1)
 f '' (1) = 0
 ( 3)
 f (1) ≠ 0

Nhập vào máy tính

1

Ta cần cân bằng ax + b = 3 6 x 2 + 2 = ( 6 x 2 + 2 ) 3
1

2
a
+
b
=
6.1
+
2
(
)3 = 2

⇒
⇒ a = b = 1.
2
2

a = 1 . ( 6 x 2 + 2 )− 3 .12 x = 1 . ( 6.12 + 2 )− 3 .12.1 = 1

3
3
Quan sát ( x − 1) 2 x − 1 đã có x − 1.

Ta cần cân bằng cx + d = 2 x − 1 để khi liên hợp có nhân tử ( x − 1) (nghiệm kép)
2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

c.1 + d = 2.1 − 1 = 1
c = 1

⇒
⇒
2
1
=
= 1 d = 0
c =
2 2x −1
2.1 − 1

Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải
1

ĐK: x ≥
(*)
2

)

) (

(

Khi đó (1) ⇔ ( x − 1) x − 2 x − 1 + x + 1 − 3 6 x 2 + 2 − x ( x − 1) − x − 1 + x 2 + 1 = 0.
2
1
2
Đặt T = ( x + 1) + ( x + 1) 3 6 x 2 + 2 + 3 ( 6 x 2 + 2 ) > 0, ∀x ≥ .
2
3
2
x 2 − ( 2 x − 1) ( x + 1) − ( 6 x + 2 )
Ta có ( x − 1) .
+
=0
T
x + 2x −1

( x − 1)( x − 1)
⇔

( x − 1) + ( x − 1) = 0
x3 − 3x 2 + 3x − 1

+
=0⇔
T
T
x + 2x −1
x + 2x −1
1
1
3
⇔ ( x − 1) 
+ =0
(2)
 x + 2x −1 T 
1
1
1
+ > 0 nên (2) ⇔ x = 1 thỏa mãn (*)
Với x ≥ và T > 0 ⇒
2
x + 2x −1 T
Đ/s: x = 1
2

3

3

Ví dụ 10. Giải phương trình x 2 + 5 x − 1 = x 3 x − 2 + ( x + 1) 5 x − 1.
A. Phân tích CASIO
Nhập vào máy tính X 2 + 5 X − 1 − X 3 x − 2 − ( X + 1) 5 X − 1 = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2

(

)

Nhập vào máy tính X 2 + 5 X − 1 − X 3 x − 2 − ( X + 1) 5 X − 1 : ( X − 2 ) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1

(

)

Nhập vào máy tính X 2 − X + 5 − 5 X − 1 − 7 X + 2 : ( ( X − 2 )( X − 1) ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Như vậy (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = 2 ⇒ (1) có nhân tử ( x − 1)( x − 2 ) = x 2 − 3x + 2.
Ta cần cân bằng ax + b = 5 x − 1 khi biết hai nghiệm x = 1, x = 2
a.1 + b = 5.1 − 1 = 2
⇒
⇒ a = b = 1.
a.2 + b = 5.2 − 1 = 3
Ta cần cân bằng cx + d = 3 x − 2 khi biết hai nghiệm x = 1, x = 2
c.1 + d = 3.1 − 2 = 1
c = 1
⇒
⇒
c.2 + d = 3.2 − 2 = 2 d = 0

(

)

(

)

Từ đó ta nhóm được x x − 3 x − 2 + ( x + 1) x + 1 − 5 x − 1 − x 2 − ( x + 1) + x 2 + 5 x − 1 = 0

⇔ x.

x 2 − ( 3x − 2 )

x + 3x − 2
x ( x 2 − 3x + 2 )

2

( x + 1) − ( 5x − 1) − x 2 + 3x − 2 = 0
+ ( x + 1) .
2

x + 1 + 5x −1
( x + 1) ( x − 3x + 2 ) 2
⇔
+
− ( x − 3x + 2 ) = 0
x + 3x − 2
x + 1 + 5x − 1
2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

x
x +1


⇔ ( x 2 − 3x + 2 ) 
+
− 1 = 0
 x + 3x − 2 x + 1 + 5 x − 1 
X
X +1
+
−1 = 0
Nhập vào máy tính
X + 3X − 2 X + 1 + 5X −1
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2
X
X +1


Nhập vào máy tính 
+
− 1 : ( X − 2 ) = 0
 X + 3X − 2 X +1 + 5 X −1 
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1

X
X +1


Nhập vào máy tính 
+
− 1  : ( ( X − 2 )( X − 1) ) = 0
 X + 3X − 2 X + 1+ 5X −1 
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
x
x +1
Ta có thể sử lý ngay được T =
+
− 1.
x + 3x − 2 x + 1 + 5x − 1
1
1
x
x +1
− +
−
T=
x + 3x − 2 2 x + 1 + 5 x − 1 2

=
=

2 x − x − 3x − 2

(

2 x + 3x − 2
x − 3x − 2

(

2 x + 3x − 2

)

+

2 ( x + 1) − x − 1 − 5 x − 1

(

2 x + 1 + 5x −1
x + 1 − 5x − 1

+

) 2( x +1+

5x − 1

)

)

.

Lượng cân bằng thích hợp lại xuất hiện và lời giải bài toán được bắt đầu.
Một hướng tiếp cận khác như sau:
Kiểm tra được (1) có 2 nghiệm kép x = 1, x = 2 như trên.
Quay trở lại việc cân bằng ban đầu, ta thấy lượng cân bằng này là chưa đủ mạnh, cần cân bằng mạnh hơn
để được luôn 2 nghiệm kép x = 1, x = 2.
Tư duy 1. Liên hợp nghiệm kép x = 1 trước sau đó liên hợp nghiệm kép x = 2.
Hướng này có vẻ khá khó khăn vì ta có thể hình dung được ngay khi liên hợp nghiệm kép x = 1 trước thì
biểu thức trong dấu ngoặc còn lại rất phức tạp.

(

Tư duy 2. Ta nghĩ đến đại lượng x − 3 x − 2

)

2

(

và x + 1 − 5 x − 1

)

2

Hướng này có vẻ khả quan vì vế trái của (1) đã có sẵn x 3 x − 2 + ( x + 1) 5 x − 1.

Ta có (1) ⇔ 2 ( x 2 + 5 x − 1) = 2 x 3 x − 2 + 2 ( x + 1) 5 x − 1

(

⇔ x − 3x − 2

) + ( x +1−
2

)

(

)

5 x − 1 − ( x 2 − 3 x + 2 ) − ( x + 1) − 5 x + 1 + 2 x 2 + 10 x − 2 = 0.

(

2

)

2

Tuyệt vời là − ( x 2 + 3x − 2 ) − ( x + 1) + 5 x − 1 + 2 x 2 + 10 x − 2 = 0 vừa bằng 0.

(

Từ đó ta có ngay x − 3 x − 2

2

) + ( x +1−
2

5x − 1

)

2

và lời giải bài toán được bắt đầu.

B. Lời giải
2
ĐK: x ≥
(*)
3
Khi đó (1) ⇔ 2 ( x 2 + 5 x − 1) = 2 x 3 x − 2 + 2 ( x + 1) 5 x − 1

(

⇔ x − 3x − 2

) + ( x + 1 − 5x − 1 ) − ( x − 3x + 2) − (( x + 1) − 5x + 1) + 2 x
⇔ ( x − 3x − 2 ) + ( x + 1 − 5x − 1) = 0
⇔ ( x − 3x − 2 ) = ( x + 1 − 5x − 1 ) = 0
2

2

2

2

2

2

2

2

2

+ 10 x − 2 = 0

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

2

x ≥ 3
 x = 3 x − 2
x = 1

⇔
⇔  x 2 = 3x − 2
⇔

thỏa mãn (*)
x = 2
 x + 1 = 5 x − 1

2
( x + 1) = 5 x − 1


x = 1
Đ/s: 
x = 2
Lời giải 2
2
ĐK: x ≥
(*)
3
2
Khi đó (1) ⇔ x x − 3 x − 2 + ( x + 1) x + 1 − 5 x − 1 − x 2 − ( x + 1) + x 2 + 5 x − 1 = 0

(

)

⇔ x.

(

)

( x + 1) − ( 5 x − 1) − x 2 + 3x − 2 = 0

+ ( x + 1) .

x 2 − ( 3x − 2 )

2

x + 3x − 2
x ( x 2 − 3x + 2 )

x + 1 + 5x −1
( x + 1) ( x − 3x + 2 ) 2
⇔
+
− ( x − 3x + 2 ) = 0
x + 3x − 2
x + 1 + 5x − 1
x
x +1


⇔ ( x 2 − 3x + 2 ) 
+
− 1 = 0
 x + 3x − 2 x + 1 + 5 x − 1 
2
 x − 3x + 2 = 0
⇔
x
x +1


+
−1 = 0
(3)
 x + 3 x − 2 x + 1 + 5 x − 1
•
•

2

x =1
TH1. x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔ 
thỏa mãn (*)
x = 2
x
1
x +1
1
TH2. Ta có (3) ⇔
− +
− =0
x + 3x − 2 2 x + 1 + 5 x − 1 2

⇔
⇔

⇔
⇔

2 x − x − 3x − 2

(

2 x + 3x − 2
x − 3x − 2

(

2 x + 3x − 2

)

+

(

x − 3x + 2

(

(

2 x + 1 + 5x − 1
x + 1 − 5x −1

)
)

2 x + 1 − 5x − 1

)

)

=0

=0

( x + 1) − ( 5 x − 1)
2

2

2

2 x + 3x − 2

2 ( x + 1) − x − 1 − 5 x − 1

) (

x 2 − ( 3x − 2 )

2 x + 3x − 2

+

2

+
+

(

2 x + 1 + 5x −1
x − 3x + 2

)

2

=0

2

=0

2

(

2 x + 1 + 5x −1

)


1 2
1
1
⇔ ( x − 3x + 2 ) 
+

2

2
 x + 3x − 2
x + 1 + 5x −1

x = 1
⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ 
thỏa mãn (*)
x = 2

(

) (

)


=0
2 



x = 1
Đ/s: 
x = 2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016