BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO 10

1

BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO 10
THPT Hà Nội:
2006.

( )

Cho đường tròn O , đường kính AB = 2R , C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA

tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
1) Chứng minh rằng tứ giác BCHK nội tiếp.
2) Tính tích AH .AK theo R.
3) Xác định vị trí của điểm K để tổng K M + K N + K B đạt GTLN và tính giá trị đó.
2007.

(

)

Cho đường tròn O;R , tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A

và AH < R . Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và
B (E nằm giữa B và H).
1) Chứng minh góc ÐABE = ÐEAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH.
2) Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh
AHEK là tứ giác nội tiếp.
3) Xác định vị trí điểm H để AB = R 3.
2008.

Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và E là điểm bất kỳ trên đường tròn đó (E khác A và

B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K.
1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA.
2) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường tròn tâm I bán kinh IE tiếp
xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với AB tại F.
3) Chứng minh MN song song với AB, trong đó M và N lần lượt là giao điểm thức hai của AE, BE với
đường tròn (I ).
4) Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn (O) , với P là
giao điểm của NF và AK, Q là giao điểm của MF và BK.
2009.

Cho đường tròn (O; R ) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường

tròn (B, C là các tiếp điểm).
1) Chứng minh AOBC là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE .OA = R 2.
3) Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R ) lấy điểm K bất kỳ (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của đường
tròn (O;R ) cắt AB, AC theo thứ tự tại các điểm P, Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi
khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
4) Đường thẳng qua O và vuông góc OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N.
Chứng minh PM + QN ³ MN .
2010.

Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn (C khác A, B ). Lấy

điểm D thuộc dây BC ( D khác B,C ). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E , tia AC cắt tia BE tại
điểm F .
1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh DA.DE = DB .DC .

·
·
3) Chứng minh CFD
= OBC
. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE , chứng minh IC là
tiếp tuyến của đường tròn (O).
·
4) Cho biết DF = R, chứng minh tan AFB
= 2.


2

2011.

Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn

(O) tại hai điểm A, B . Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) ( E không trùng
với A, B ). Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M , N .
1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.

·

·

·

0
2) Chứng minh EIN = EBI , MIN = 90 .

3) Chứng minh AM .BN = IA.IB .

» không chứa điểm E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích tam
4) Gọi F là điểm chính giữa cung AB
giác MIN theo R khi ba điểm E , I , F thẳng hàng.
Chuyên ngoại ngữ:
2006. Cho đường tròn tâm O, bán kính R và AB là đường kính cố định của đường tròn (O). Đường
thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B . MN là đường kính thay đổi của đường tròn (O)
sao MN không vuông góc với AB và M ¹ A, N ¹ B . Các đường thẳng AM và AN cắt đường
thẳng d tương ứng tại C và D. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD, H là giao điểm của AI và

MN . Khi MN thay đổi, chứng minh rằng
a) Tích AM .AC không đổi.
b) Bốn điểm C , M , N , D cùng thuộc một đường tròn.

2007.

c) Điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định.
d) Tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Cho đường tròn tâm O và đường tròn tâm I là hai đường tròn cố định cắt nhau tại hai điểm A và

B, biết rằng đường tròn (I ) đi qua điểm O. Vẽ hai đường kính AE và BF của đường tròn (O). Gọi
» của đường tròn (O) (cung EF
» không chứa điểm A ) với C
C là một điểm di động trên cung EF
khác E và F . Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) và đường tròn (I ) lần lượt tại K và D ( K
khác C , D khác O ).

·
·

a) Chứng minh rằng CAD
+ OBK
= 1800.
b) Chứng minh K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD.
» sao cho diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
c) Xác định vị trí điểm C trên cung EF
2008.

» . Gọi K là trung
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và C là điểm chính giữa cung AB
điểm của đoạn thẳng BC . Đường thẳng đi qua hai điểm A và K cắt đường tròn (O) tại điểm M (
M khác A ). Kẻ CH vuông góc với AM (với H là chân đường vuông góc). Đường thẳng OH cắt
đường thẳng BC tại N , đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại điểm D ( D khác M ).
a) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Chứng minh hai tam giác OHC và OHM bằng nhau.
c) Chứng minh ba điểm B, H , D thẳng hàng.

2009.

Trên đường tròn tâm O, bán kính R ta lấy hai điểm A, B tùy ý. Giả sử C là một điểm nằm phía
trong đoạn thẳng AB (C khác A và B ). Kẻ đường kính AD của đường tròn (O). Cát tuyến đi qua

C và vuông góc với đường kính AD tại H , cắt đường tròn (O) tại M và N . Đường thẳng đi qua
M và D cắt AB tại E . Kẻ EG vuông góc với AD tại G .
a) Chứng minh BDHC và AMEG là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AM 2 = AB.AC .
c) Chứng minh AE .AB + DE .DM = 4R 2.


3

2010.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC . Vẽ đường cao AD và đường phân giác trong AO
của tam giác ABC ( D,O thuộc BC ). Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại M , N .
a) Chứng minh các điểm M , N ,O, D, A cùng thuộc một đường tròn.

2011.

·
·
b) Chứng minh BDM
= CDN
.
c) Đường thẳng qua O và vuông góc với BC cắt MN tại I . Đường thẳng AI cắt đường thẳng BC
tại K . Chứng minh K là trung điểm của cạnh BC .
Cho tam giác nhọn ABC với tâm đường tròn ngoại tiếp O. Cho P là một điểm bất kỳ trên đoạn
BC sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OBP cắt đoạn AB tại N khác B và đường tròn ngoại
tiếp tam giác OCP cắt đoạn AC tại M khác C .
·
·
a) Chứng minh rằng OPM
= OAC
.

·
·
·
·
b) Chứng minh rằng MPN

và OBC
+ BAC
= 900.
= BAC
c) Chứng minh O là trực tâm giác PMN .
Chuyên Sư phạm (Vòng 1):
2006.

Cho đường tròn (C ) tâm O, đường kính AB . E là một điểm nằm trong đoạn OA; M là một điểm
nằm trong đoạn EA;CD là dây cung vuông góc với đường kính AB tại điểm E . Đường thẳng DM
cắt (C ) tại điểm N (khác điểm D ). Đường tròn (C 1) tâm O1, bán kính r tiếp xúc với (C ) tại điểm

J thuộc cung nhỏ CN và tiếp xúc với các đường thẳng CM và DN tại các điểm I , K tương ứng.
Biết AM = a, ME = b, EB = c.
a) Chứng minh rằng tam giác O1K M đồng dạng với tam giác MEC .
b) Tính độ dài các đoạn thẳng OO1, K M và O1M theo a,b,c và r .

1 1 1
= + .
r
a b
Cho tam giác ABC cân tại A. Một đường tròn (O) có tâm O nằm trong tam giác, tiếp xúc với
AB, AC lần lượt tại X ,Y và cắt BC tại hai điểm, một trong hai điểm này ký hiệu là Z. Gọi H là
c) Chứng minh

2007.

hình chiếu vuông góc của O trên AZ. Chứng minh rằng
a) Tứ giác HXBZ, HY CZ nội tiếp.

b) HB, HC theo thứ tự đi qua trung điểm của XZ,Y Z.
2008.

Cho tam giác ABC vuông tại C . Trên cạnh AB lấy điểm M tùy ý ( M ¹ A, M ¹ B ). Ký hiệu

O,O1,O2 lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , AMC , BMC .
a) Chứng minh bốn điểm C ,O1, M ,O2 cùng nằm trên một đường tròn (C ).
b) Chứng minh điểm O cũng nằm trên đường tròn (C ).
c) Xác định vị trí của điểm M để đường tròn (C ) có bán kính nhỏ nhất.
2009.

Cho

tam

giác

ABC

với

AC = 5, BC = 10, AC = 3 5.

Đường

phân

giác

BK

của

·
ABC
(K Î AC ) cắt đường cao AH (H Î BC ) và cắt đường trung tuyến AM (M Î BC ) của tam

2010.

giác ABC lần lượt tại các điểm O và T .
a) Tính AH .
b) Tính diện tích tam giác AOT .
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trong hình vuông lấy điểm K sao cho tam giác
ABK đều. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau tại P .
a) Tính độ dài đoạn thẳng K C theo a.


4

b) Trên đoạn thẳng AD lấy điểm I sao cho DI =

a 3 các đường thẳng
CI và BP cắt nhau tại
,
3

H . Chứng minh tứ giác CHDP nội tiếp một đường tròn.
a
c) Gọi M , L lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CP và K D. Chứng minh LM = .
2011.

2
(
O
)
(
O
)
Bài 1. Cho đường tròn
đường kính AB = 10. Dây cung CD của đường tròn
vuông góc với
AB tại điểm E sao cho AE = 1. Các tiếp tuyến tại B và của đường tròn (O) cắt nhau tại K , AK
và CE cắt nhau tại M .
a) Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với OBK . Tính BK .
b) Tính diện tích tam giác CK M .

·
Bài 2. Cho hình thoi ABCD có BAD
= 1200. Các điểm M và N chạy trên các cạnh BC và CD
·
tương ứng sao cho MAN
= 300. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAN thuộc
một đường thẳng cố định.
Chuyên KHTN (Vòng 1):
2006.

Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a. Trên các cạnh AB, BC ,CD, DA lấy lần lượt các điểm

·
M , N , P ,Q sao cho MN / / AC , PQ / / AC và AMQ

= 300.
a) Gọi A ¢ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng MQ,C ¢ là điểm đối xứng với C qua đường
thẳng NP . Giả sử đường thẳng QA ¢ cắt đoạn thẳng NP tại E , đường thẳng PC ¢ cắt đoạn thẳng

2007.

MQ tại F . Chứng minh rằng năm điểm E , F ,Q, D, P nằm trên cùng một đường tròn.
b) Biết AC = 3MN , tính diện tích hình thang MNPQ theo a.
Cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B cố định thuộc đường tròn đó ( AB không phải là đường
» . Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm C , D phân biệt và
kính). Gọi M là trung điểm của cung nhỏ AB
không nằm trên đường tròn. Các đoạn thẳng MC , MD cắt đường tròn đã cho tương ứng tại E , F
khác M .

a) Chứng minh rằng bốn điểm C , D, E , F nằm trên một đường tròn.
b) Gọi O1, O2 tương ứng là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE và BDF . Chứng minh rằng
2008.

khi C , D thay đổi trên đoạn AB các đường thẳng AO1 và BO2 luôn cắt nhau tại một điểm cố định.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ A xuống cạnh
·
·
cắt BH tại điểm M . Đường phân giác trong góc CAH
cắt
BC . Đường phân giác trong góc BAH
CH tại điểm N .

a) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC .
b) Ký hiệu d1 và d2 lần lượt là các đường thẳng vuông góc với BC tại các điểm M và N . Chứng

minh rằng d1 và d2 tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
2009.

Cho hình thoi ABCD. Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD bằng

b.
AH
a
= .
BH
b
b) Tính diện tích hình thoi ABCD theo các bán kính a,b.
a) Chứng minh rằng


5

2010.

Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại A

·
ta lấy điểm C sao cho ACB
= 300. Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thẳng BC với đường
tròn (O).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng AC , BC và khoảng cách từ A đến đường thẳng BC theo R.
b) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC , đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm N (khác

B ). Chứng minh rằng bốn điểm C , M , N , H nằm trên cùng một đường tròn và tâm của đường tròn

đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC .

2011.

·
·
Cho hình bình hành ABCD với BAD
cắt đường tròn ngoại
< 900. Đường phân giác của góc BCD
tiếp tam giác BCD tại O khác C . Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng
d lần lượt cắt các đường thẳng CB,CD tại E , F .
a) Chứng minh rằng D OBE = D ODC .
b) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF .
c) Gọi giao điểm của OC và BD là I , chứng minh rằng IB .BE .EI = ID.DF .FI .