Tài liệu phụ đạo học sinh lớp 11 CHỦ đề GIỚI hạn của dãy số

CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Tính giới hạn của dãy số.
• Vận dụng một số giới hạn đặc biệt:

•

Vận dụng nội dung định lý liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực

2) Vận dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
• Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội thỏa mãn
•

Công thức tính tổng

của cấp số nhân lùi vô hạn

B) Bài tập:
1) Tính giới hạn của dãy số
Bài 1: Tính các giới hạn sau:

Bài 2: Tính các giới hạn:

Bài 3: Tính các giới hạn sau:

Bài 4: Cho dãy số

xác định bởi

. Biết

có giới hạn hữu hạn khi

. Hãy tìm giới hạn đó.
2) Vận dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Bài 1:Tính tổng
Bài 2: Tìm dạng khai triển của cấp số nhân lùi vô hạn

, biết tổng của nó bằng

Bài 3: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số hữu tỉ:
).
1

và

.
(chu kì


CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Tính giới hạn của hàm số:
• Vận dụng một số giới hạn đặc biệt:

•

Vận dụng một số qui tắc về giới hạn vô cực:
a) Qui tắc tìm giới hạn của tích
�>0
�<0

b) Qui tắc tìm giới hạn của thương
Dấu của

Tùy ý
�>0

0

�<0

* Chú ý: Một số kiến thức hỗ trợ:
a) Nếu

(

có hai nghiệm phân biệt

thì

b) Trong quá trình giải đôi lúc chúng ta gặp phải một số dạng vô định:

. Chúng ta

phải khử dạng vô định bằng cách nhân và chia cho lượng liên hợp hoặc phân tích thành nhân tử đa
thức…
B) Bài tập:
1) Tính các giới hạn sau:

2) Tính các giới hạn sau:

2


3) Tính các giới hạn

4) Tính các giới hạn một bên và giới hạn (nếu có) của:

Định

5) Tính các giới hạn sau:

để

có giới hạn tại 1

6) Tính các giới hạn sau:

3


CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LIÊN TỤC
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Xét tính liên tục của hàm số
tại một điểm
sau đây:
• B1: Tính

: Chúng ta thường thực hiện thuật toán

Nếu là giới hạn hữu hạn tồn tại thì thực hiện B2. Ngược lại kết luận hàm số không liên tục tại
•

B2: Tính

•

B3: Kiểm tra

. Nếu

tồn tại thì thực hiện B3. Ngược lại kết luận hàm số không liên tục tại

Nếu
đúng kết luận hàm số liên tục tại . Ngược lại kết luận hàm số không liên tục tại
2) Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định:
- Chia từng khoảng hợp lý để xét tính liên tục.
- Kiểm tra tính liên tục tại những điểm đầu mối.
- Tổng hợp kết quả và kết luận.
3) Nội dung định lý 3 và mệnh đề tương đương:
• Định lý 3: Nếu hàm số
liên tục trên đoạn
và
thì tồn tại ít nhất
một điểm
•

sao cho

Mệnh đề tương đương: Cho hàm số

đó phương trình

liên tục trên đoạn

có ít nhất một nghiệm trong khoảng

và

. Khi

.

B) Bài tập:
1) Hàm số liên tục:
Bài 1: Cho các hàm số

và

. Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng

trên đó hàm số liên tục.
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm

a)

b)

4

đã chỉ ra:

c)

d)

e)
Bài 3: Phải chọn

bằng bao nhiêu để các hàm số sau đây liên tục tại điểm

chỉ ra:

a)

b)
c)
Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó:

a)

b)
2) Sử dụng định lý 3
Bài 1: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
.
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số
Bài 3: Sử dụng định lý 3 để chứng minh phương trình có nghiệm:
a) Chứng minh rằng phương trình:
có ba nghiệm trên đoạn

.

b) Chứng minh rằng phương trình:
có ba nghiệm phân biệt.
c) Chứng minh rằng các phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
i)
ii)
d) Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi
i)
ii)
iii)
5


CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
* Nhận dạng và sử dụng đúng các công thức để tính đạo hàm của hàm số:
1
3

2
4

5

6

7

8

9
11

10
12

13

14

15

16

17

18

* Phương trình tiếp tuyến :
• Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị

tại tiếp điểm

. Trong đó hệ số góc của tiếp tuyến là
•

Tìm phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc . Tìm tiếp điểm

là:

.
bằng phương trình

rồi dùng công thức tiếp tuyến tại tiếp điểm
* Định nghĩa đạo hàm bậc hai:
Giả sử hàm số
có đạo hàm
. Nếu
cũng có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm
cấp hai của

và kí hiệu là

B) Bài tập:
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
6


a)
b)
c)

d)
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
a) Tại điểm có hoành độ

.

b) Song song với đường thẳng:

.

c) Vuông góc với đường thẳng:
Bài 5: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

.

a)
b)
c)
d)
e)
f)

Bài 6: Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra:
a)
b)
c)

7


HÌNH HỌC 11
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG

LƯU HÀNH NỘI BỘ

8


CHỦ ĐỀ: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Chứng minh đẳng thức vectơ:
a) Sử dụng qui tắc ba điểm, qui tắc hình bình hành, qui tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia
và ngược lại.
b) Sử dụng các tính chất của phép toán về vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho.
2) Chứng minh ba vectơ

đồng phẳng

a) Dựa vào định nghĩa: Chứng tỏ các vectơ

có giá song song với một mặt phẳng.

b) Ba vectơ

đồng phẳng
có cặp số
hai vectơ không cùng phương.

duy nhất sao cho

trong đó

và

là

B) Bài tập:
1) Chứng minh đẳng thức vectơ:
Bài 1: Cho hình hộp

. Chứng minh rằng

Bài 2: Cho hình chóp

.

có đáy là hình chữ nhật

. Chứng minh rằng:

.
Bài 3: Cho hình lập phương

và

cạnh . Gọi

và

theo thứ tự là tâm của hai hình vuông

.

a) Hãy biểu diễn các vectơ
phương đã cho.

theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập

b) Chứng minh

.

Bài 4: Trong không gian cho điểm

và bốn điểm

rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm
Bài 5: Cho hình hộp

phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh

tạo thành một hình bình hành là :
có

và

lần lượt là trung điểm các cạnh

.
và

. Gọi

lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành
a) Chứng minh rằng

.

b) Chứng minh hai tam giác
và
2) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng:
Bài 1: Cho tứ diện
sao cho

. Trên cạnh

có trọng tâm trùng nhau.
lấy điểm

sao cho

. Chứng minh rằng ba vectơ

Bài 2: Cho hình hộp

và trên cạnh

lấy điểm

đồng phẳng.

. Gọi là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành

giao điểm hai đường chéo của hình bình hành
Bài 3: Cho tứ diện

.

. Gọi

ta lần lượt lấy các điểm

và

. Chứng minh rằng ba vectơ

lần lượt là trung điểm của các cạnh

sao cho:

đồng phẳng.

9

và

là

đồng phẳng.
. Trên các cạnh

. Chứng minh rằng ba vectơ

đồng phẳng.
Bài 4: Trong không gian cho hai hình bình hành.
Chứng minh rằng các vectơ

và

và

chỉ có chung nhau một điểm .

và


CHỦ ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG
GIAN VÀ ỨNG DỤNG
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Ứng dụng của tích vô hướng:
a) Muốn tính độ dài của đoạn thẳng
hoặc tính khoảng cách giữa hai điểm
công thức:

và

ta dựa vào

.

b) Tính góc giữa hai vectơ

và

ta dựa vào công thức:

.

c) Chứng minh hai đường thẳng
và
vuông góc với nhau ta cần chứng minh
2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau:
- Cần khai thác các tính chất về quan hệ vuông góc đã biết trong hình học phẳng.
- Sử dụng trực tiếp định nghĩa góc của hai đường thẳng trong không gian.
- Muốn chứng minh hai đường thẳng
và
vuông góc với nhau ta có thể chứng minh

.

.
3) Dùng tích vô hướng để tính góc của hai đường thẳng trong không gian:
Muốn tính góc

ta có thể sử dụng công thức :

. Đặc biệt nếu

ta có

B) Bài tập:
1) Ứng dụng của tích vô hướng:
Bài 1: Cho hình lập phương

, và từ đó suy ra góc
.

cạnh . Gọi

là tâm của hình vuông

điểm sao cho:
điểm

và

theo .

và

và

tạo với nhau một góc

. Hãy tìm

và

.

Bài 3: Cho tứ diện

có hai mặt

a) Chứng minh rằng
b) Gọi

là một

. Hãy tính khoảng cách giữa hai

Bài 2: Trong không gian cho hai vectơ
rằng

và

và

và

là hai tam giác đều.

vuông góc với nhau.

lần lượt là trung điểm của các cạnh
là hình chữ nhật.

10

. Chứng minh rằng tứ giác

biết


Bài 4: Cho tứ diện

. Gọi

là trọng tâm của tam giác

. Chứng minh rằng

.
2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau:
Bài 1: Cho hai vectơ

và

đều khác vectơ . Chứng minh rằng

và

đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi

Bài 2: Cho tứ diện đều
đường thẳng

cạnh . Gọi

.

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

vuông góc với đường thẳng

Bài 3: Cho hình lập phương

. Chứng minh

.
có cạnh bằng . Trên cách cạnh

các điểm và sao cho
vuông góc với nhau.
Bài 4: Cho tứ giác
. Gọi

với

và

ta lần lượt lấy

. Chứng minh rằng hai đường thẳng

lần lượt là trung điểm của các cạnh

. Chứng minh rằng
Bài 5: Cho tứ diện

là hai vectơ chỉ phương của hai

và
và có

.

. Trong đó

. Gọi

và

lần lượt là trung điểm của

và

. Chứng minh rằng
và
vuông góc với nhau.
3) Dùng tích vô hướng tính góc của hai đường thẳng trong không gian:
Bài 1: Cho hình lập phương
.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng

b) Chứng minh
Bài 2: Cho tứ diện đều

và

cạnh . Tính góc giữa hai đường thẳng

và

và

có

.

và

. Tính góc giữa

.

Bài 4: Cho hình chóp
thẳng

.

.

Bài 3: Cho hình chóp tam giác
hai vectơ

và

có

và

. Tính góc giữa hai đường

.

Bài 5: Cho hình hộp
hộp thoi). Chứng minh
Bài 6: Cho hình hộp thoi
Chứng minh tứ giác

có tất cả các cạnh đều bằng nhau (hình hộp như vậy được gọi là hình
.
có tất cả các cạnh bằng

và

.

là hình vuông.

CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
Cơ sở của phương pháp này là phải chứng minh đường thẳng

vuông góc với hai đường thẳng
đồng quy trong mặt
d
phẳng
.
Cách viết:

a
α

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng trục đường tròn:
11

a'

.


Cơ sở của phương pháp là vận dụng định nghĩa trục đường
tròn: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường
tròn tại tâm của nó bằng hai bước cơ bản sau đây:
• B1: Tìm một điểm ở đỉnh cách đều các đỉnh đa giác
như sau:

; Tìm điểm

ở

cách đều các đỉnh đa giác
•

B2: Nối hai điểm
đó thành trục của đường
tròn. Nó là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
chứa được đường tròn
.

B) Bài tập:
1) Chứng minh đường thẳng

vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng

Bài 1: Cho hình chóp

có đáy

là tứ giác lồi. Biết hai tam giác

và tam giác

có đáy

là hình bình hành tâm

và

Bài 3: Cho hình chóp

có đáy

là hình thoi. Giả sử

Bài 4: Cho hình chóp

có đáy

là hình chữ nhật. Gọi

tại . Chứng minh rằng

vuông

.

Bài 2: Cho hình chóp
minh

.

và

. Chứng

.

. Chứng minh rằng
có đáy
và tam giác

Bài 6: Cho tứ diện

có

Chứng minh

và

Bài 7: Cho tứ diện
Chứng minh:

là trung điểm

.
và giả sử

.

Bài 5: Cho hình chóp
của các tam giác

. Chứng minh

là hình chữ nhật và
. Chứng minh

. Gọi

là đường cao

.

là trực tâm các tam giác

và

. Giả sử rằng

.

đồng qui.
có

. Gọi

và

lần lượt là trực tâm các tam giác

và

.

đồng qui.

a)

.

b)

.
2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng trục đường tròn.
Bài 1: Cho hình vuông
cạnh . Vẽ cùng về một phía
các đoạn
c)

sao cho

. Chứng minh

Bài 2: Cho hình chóp
trung điểm

.

có

và

. Gọi là

. Chứng minh rằng:

a) Tam giác

vuông.

b)
Bài 3: Cho hình chóp

rằng

. Với

Bài 4: Cho hình chóp
rằng

vuông góc với

đáy

là hình thoi có

là trọng tâm tam giác
có

12

. Chứng minh

.
và

.

và
. Gọi là trung điểm

. Chứng minh

CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông
góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
Cơ sở của phương pháp là chứng minh đường thẳng vuông
góc với đường thẳng

là sử dụng định nghĩa:

(với
bản:
•

) qua hai bước cơ
d

B1: Quan sát và quản lý giả thiết tìm mp
đường thẳng

•

tùy ý trong

chứa

cần chứng minh vuông góc với .

a
α

B2: Chứng minh

2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau bằng định lý ba đường vuông góc.
Cơ sở của phương pháp là vận dụng định lý ba đường vuông
góc: Cho đường thẳng nằm trong mặt phẳng
và là
đường thẳng không thuộc
với

. Gọi

đồng thời không vuông góc

là hình chiếu vuông góc của

trên

. Khi

đó vuông góc với khi và chỉ khi vuông góc với Do
đó phương pháp gồm 2 bước thực hành:
• B1: Xác định đường vuông góc với mặt phẳng
từ
đó tìm đường xiên d và hình chiếu d’
• B2: Đường thẳng a là đường thẳng thuộc mặt phẳng


Nếu



Nếu

d
d'
α

a

B) Bài tập:
1) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông
góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
Bài 1: Cho tứ diện
có
và
. Chứng minh
.
Bài 2: Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi và
. Chứng minh
Bài 3: Chứng minh rằng hai cạnh đối bất kì của tứ diện đều thì vuông góc với nhau.
Bài 4: Cho tứ diện
có
và
. Gọi
là đường cao tam giác
minh tam giác

.
. Chứng

vuông.

Bài 5: Cho hình chóp

có đáy

là hình vuông cạnh bằng

là đường cao của tam giác
a) Chứng minh tam giác
b) Tính diện tích tam giác

vuông.
.

13

và

. Gọi


Bài 6: Cho hình chóp

có đáy

là trực tâm của tam giác

Bài 7: Cho tứ diện

.

có ba cạnh

đôi một vuông góc với nhau. Kẻ

vuông góc với mặt

. Chứng minh:

a)

và

b)

. Gọi

.

b) Tính diện tích tam giác
tại

và

.

a) Chứng minh

phẳng

là hình vuông cạnh

.

là trực tâm của tam giác

c)

.

.

Bài 8: Cho hình chóp

có

là nửa lục giác đều và

. Một mặt phẳng qua

vuông góc với
tại cắt
tại
. Chứng minh tứ giác
nội tiếp được
2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng định lý ba đường vuông góc.

Bài 1: Cho hình chóp
có
và
là hình chữ nhật. Chứng minh bốn mặt bên
đều là những tam giác vuông.
Bài 2: Tứ diện
rằng

có

và

là trực tâm tam giác

Bài 3: Cho
cắt

. Gọi

và

là hình chiếu của

xuống

.

là hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chữ nhật
tại

và . Chứng minh rằng

Bài 4: Trong hình chóp
Bài 5: Cho tứ diện

có

và

. Một mặt phẳng

qua

là hình chữ nhật.

đáy là hình chữ nhật

thứ tự là đường cao các tam giác

. Chứng minh

. Gọi

. Chứng minh

là đường cao hình chóp và
thẳng hàng.

là tam giác đều cạnh , các mặt

và

hợp với

các góc bằng nhau và bằng .
a) Chứng minh rằng : Hình chiếu

của

lên

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

.

b) Tính tổng diện tích 4 mặt bên của tứ diện

CHỦ ĐỀ: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Cơ sở của phương pháp này là sử dụng điều kiện cần và đủ:
Chứng minh mặt phẳng thứ nhất chứa một đường thẳng
β
vuông góc với mặt phẳng thứ hai qua hai bước cơ bản:
• B1: Quản lý các giả thiết để tìm ra đường thẳng (có
tính ưu việt cho bài toán) và

d

.

a
M

•

B2: Chứng minh

2) Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng

.

14

α


Cơ sở của phương pháp này là sử dụng định nghĩa chứng
minh hai mặt phẳng vuông góc như sau: Chứng minh góc
của hai mặt phẳng đó bằng
.

β
b
0

ϕ = 90
d

a

α

B) Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp

có

Bài 2: Cho hình chóp

có

a)

.

b)

.

Bài 3: Cho hình chóp
lên

và

và

vuông tại . Chứng minh

.

là hình vuông. Chứng minh rằng:

có đáy là hình chữ nhật

và

. Gọi

và

là hình chiếu của

. Chứng minh rằng:

a)

.

b)

.

Bài 4: Cho tứ diện
và

và tam giác

M

có

và tam giác

. Chứng minh rằng

và

vuông cân tại . Gọi và là trung điểm
.

CHỦ ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ QUAN HỆ
VUÔNG GÓC.
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
Dùng tất cả các kiến thức đã học về hình học không gian đã học để giải quyết các dạng toán.
B) Bài tập:
Bài 1: Cho hình hộp
có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh
và

. Khi nào mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng

Bài 2: Cho hình lập phương

cạnh .

a) Chứng minh rằng đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng
b) Tính đường chéo
Bài 3: Cho tứ diện
vuông góc với mặt phẳng

và

b) Trong mặt phẳng

, có cạnh

vuông góc với mặt phẳng
vuông góc với

.

tại . Chứng minh

.

.
của đoạn

vẽ

vuông góc với

có đáy là hình thang vuông

và

cắt

vuông tại

tại
và

. Tính độ dài

, có

.
,

.

a) Chứng minh mặt phẳng
mặt phẳng

và

.
vẽ

c) Tính độ dài đoạn

có cạnh

.
tạo thành tam giác vuông cân đỉnh

a) Chứng minh mặt phẳng

Bài 4: Hình chóp

và mặt phẳng

của hình lập phương đã cho.

có ba đỉnh

d) Từ trung điểm

?

vuông góc với mặt phẳng

.

15

, mặt phẳng

vuông góc với


b) Gọi

là mặt phẳng chứa

và vuông góc với mặt phẳng

định thiết diện của hình chóp

với

. Hãy xác định

và xác định

.

CHỦ ĐỀ: KHOẢNG CÁCH
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Tìm khoảng cách từ một điểm
đến đường thẳng
•

cho trước.

Dạng 1: Trong mặt phẳng xác định bởi điểm
có

và đường thẳng

ta vẽ

tại . Ta

. Ta có thể sử dụng các kết quả của hình học phẳng để tính độ dài đoạn
.

•

Dạng 2: Trong không gian dựng mặt phẳng

đi qua

và

vuông góc với

cắt

, ta có
. Sau đó tính độ dài
.
2) Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cơ sở của phương pháp cần thực hiện 2 bước cơ bản sau:
• B1: Xác định đoạn vuông góc chung
với
bằng cách dựng một mặt phẳng

qua

và

M

theo giao tuyến . Dựng

(β)

•

B2:

được tính bằng các định lý

hình học sơ cấp.
Ghi chú: Sau này có thể tìm
tích (hay diện tích) vật thể.

•

B2:

xác định mặt phẳng

nên dựng trong mặt phẳng

đoạn

.
B3: Kết luận đường vuông góc chung là

16

b

.

.

•

đoạn vuông góc chung

B

là đoạn vuông góc chung. Tính

B2: Do mặt phẳng

a

A

và

b) Trường hợp 2:
Cơ sở của phương pháp là sử dụng định lý: Độ dài đường
vuông góc chung là khoảng cách từ một điểm trên đường
thẳng thứ I đến một mặt phẳng chứa đường thẳng thứ II và
song song với đường thẳng thứ I qua ba bước cơ bản sau:
• B1: Trong mặt phẳng
đã chứa dựng
và

•

H

bằng công thức hay thể

3) Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
a) Trường hợp 1:
Cơ sở của phương pháp để tìm đoạn vuông góc chung của
hai đường thẳng chéo nhau
là sử dụng định nghĩa đường
vuông góc chung qua hai bước cơ bản sau:
• B1: Chọn
; và chéo nhau. Sau đó
chứng minh:

d

α

,
và

A'

A
Đoạn vuông
góc chung

(β)

b

α

a

B

B'

a'

tại


Ghi chú:
chung.

là các độ dài đường vuông góc

B) Bài tập:
1) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Bài 1: Hình chóp
có đáy
là hình vuông tâm
. Gọi là trung điểm của cạnh
a) Chứng minh đường thẳng

và

là trung điểm của đoạn

vuông góc với mặt phẳng

b) Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Bài 2: Cho hình chóp

có tam giác

là điểm thỏa

cạnh . Cạnh

vuông góc với đáy à

.
.

.

vuông cân (

),

và

. Tính

Bài 3: Cho tam giác

.

và ở cùng về một phía. Lấy

và

a) Chứng minh

trên

và

và

Tính

cùng vuông góc với mặt phẳng

sao cho

.

.

b) Tính
2) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Bài 1: Cho hình chóp
đáy là tam giác vuông tại

và

. Biết thêm

.

.

Bài 2: Cho hình chóp

có

gọi là trung điểm của
Bài 3: Cho tứ diện

và

. Tính

. Lấy điểm

còn

nằm trên trung tuyến

b) Xác định

.

Bài 4: Cho hình chóp

có

a) Tính

sao cho

và

.

có

a) Chứng minh

. Dựng

của tam giác

và tam giác

.

.

đều cạnh .

.

b) Giả sử

. Tính

Bài 5: Cho hình chóp
khi biết

.
có

và

. Tính

.

3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Bài 1: Cho tứ diện đều
cạnh . Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của
Bài 2: Cho hình chóp
chung của

. Gọi

và

có

và đáy

và

là hình chữ nhật. Dựng đoạn vuông góc

.

Bài 3: Cho hình chóp

đáy

là hình thang vuông tại

và
vuông góc chung của các cặp đường thẳng:
a)
và
.
b)

và

.

c)

và

.

. Khi

và .

. Hãy dựng và tính độ dài đường

Bài 4: Cho hình lăng trụ
biết các mặt bên đều là những hình vuông cạnh
a) Hình lăng trụ ấy có đặc điểm gì?
17


b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của

18

và

.