De thi TAM DAC thay hung dz tang hs

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐỀ THI TÂM ĐẮC CỦA THẦY HÙNG ĐZ TẶNG HS
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT bài tập chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1 (1,0 điểm): Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3 x 2 + 1
Câu 2 (1,0 điểm): Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 2 ln x trên [1; e] .
Câu 3 (1,0 điểm):
a) Giải phương trình log 3 ( x + 1) = log

3

(5 − x ) .

b) Cho số phức z thỏa mãn z = (3 + 2i )(2 − 3i ) + (1 + i )2 − 8 . Tính môđun của z.
1

Câu 4 (1,0 điểm): Tính tích phân I = ∫ ( x + 1).e x dx
0

Câu 5 (1,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1; 2), B (2; −2;1), C (−2;0;1) và
mặt phẳng ( P ) :2 x + 2 y + z − 3 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng
(P). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho M cách đều ba điểm A, B, C.
Câu 6 (1,0 điểm):

a) Cho góc α thỏa mãn

π
2

< α < π và cos α = − . Tính giá trị biểu thức A = sin 2α + cos 2α .
2
3

b) Hai bạn Trần Thảo My và Doãn Trà My cùng tham gia kì thi THPT Quốc Gia năm 2016, ngoài thi
ba môn Toán, Văn, Anh bắt buộc thì Trần Thảo My và Doãn Trà My đều đăng kí thêm hai môn tự chọn
khác trong ba môn: Vật Lí, Hóa Học, Sinh Học dưới hình thức thi trắc nghiệm để xét tuyển vào Đại học,
Cao đẳng. Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có 6 mã đề thi khác nhau, mã đề thi của các môn khác nhau là
khác nhau. Tính xác suất để Trần Thảo My và Doãn Trà My chỉ có chung đúng một môn tự chọn và
một mã đề thi.

Câu 7 (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi I là trung điểm AB, H
là giao điểm của BD với IC. Các mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SAB) và
(ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và IC.

Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B, có BC = 2 BA .
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Trên tia đối của tia FE lấy điểm M sao cho FM = 3FE . Biết

M ( 5; −1) , đường thẳng AC có phương trình 2 x + y − 3 = 0 , điểm A có hoành độ là số nguyên. Xác định
tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

2 x − 2. y + 2 ( y + 8 ) x = y + 4 x
Câu 9 (1,0 điểm): Giải hệ phương trình 
 xy + 2 x − 11 + 12 − x + y + 7 − 3 x = 0

Câu 10 (1,0 điểm). Xét a, b, c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 1.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = abc − 2abc a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 2abc .

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (1,0 điểm):
a) Tập xác định: ℝ
b) Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên:
x = 0
y ' = 3 x 2 − 6 x; y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔ 
x = 2
y ' > 0 ⇔ x < 0 ∨ x > 2; y ' < 0 ⇔ 0 < x < 2

Vậy, hàm số đồng biến trên hai khoảng ( −∞;0 ) và ( 2;+∞ )

hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;2 )
+) Cực trị.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yC Đ = 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = -3
+) Giới hạn tại vô cực.
  3 1 
lim y = lim ( x3 − 3 x 2 + 1) = lim  x 3 1 − + 3   = −∞; lim y = +∞
x →−∞
x →−∞
x →−∞
x →+∞
  x x 
x

-∞
0
2
y’
+
0
0
1

+∞
+

+∞

y
-∞

-3

c) Đồ thị
Đồ thị có tâm đối xứng I(1;-1) và đi qua các điểm (0;1), (2;3), (-1;-3),(3;1).

Câu 2 (1,0 điểm):
2
Ta có f ( x) = x − 2 ln x; f '( x) = 1 − ; f '( x) = 0 ⇔ x = 2 ∈ (1; e )
x
f (1) = 1; f (2) = 2 − 2 ln 2; f (e) = e − 2
Vậy, min y = 2 − 2 ln 2; max y = 1
[1;e]

[1;e]

Câu 3 (1,0 điểm):
a) Điều kiện: -1 < x < 5
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

log 3 ( x + 1) = log

3

( 5 − x ) ⇔ log3 ( x + 1) = log3 ( 5 − x )

Facebook: LyHung95

2

⇔ x + 1 = ( 5 − x ) ⇔ x 2 − 11x + 24 = 0 ⇔ x = 3 ∨ x = 8
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm thỏa mãn là x = 3.
b) Ta dễ dàng tính được z = 4 - 3i (Cái này thầy làm tắt, đi thi các em nhớ trình bày nhé)
2

Khi đó | z |= 42 + (−3) 2 = 5
Câu 4 (1,0 điểm):
1

1

Ta có I = ∫ ( x + 1).e dx = ∫ ( x + 1)de = ( x + 1) e
x

0

x

0

1

x 1
0

− ∫ e x dx = 2e − 1 − e x

1
0

= e.

0

Vậy, I = e.

Câu 5 (1,0 điểm):
1
+) Ta có mặt cầu (S) có tọa độ tâm là A( 0; 1; 2), bán kính R = d ( A; ( P )) = .
3
Vì vậy (S) có phương trình: x 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 2) 2 =

1
.
9

+) Đặt M(x; y; z). Khi đó theo giả thiết ta có:

 MA = MB
2 x − 3 y − z = 2
x = 2
 MA = MB = MC



⇔  MB = MC
⇔ 2 x − y = 1
⇔ y = 3 .

 M ∈ ( P)
2 x + 2 y + z − 3 = 0
2 x + 2 y + z = 3
 z = −7



Vậy M(2 ;3 ;-7) là điểm cần tìm.

Câu 6 (1,0 điểm):
a) Do

π
2

< α < π nên sin α > 0 . Do đó sin 2 α = 1 − cos 2α = 1 −

Vậy P = 2 sin α .cosα + 2 cos 2 α − 1 = 2.

4 5
5
= ⇒ sin α =
9 9
3

5
2
2
1+ 4 5
.(− ) + 2(− ) 2 − 1 = −
3
3
3
9

b) Không gian mẫu Ω là các cách chọn môn tự chọn và số mã đề thi có thể nhận được của Thảo My và
Trà My.
Thảo My có C32 cách chọn hai môn tự chọn, có C61 .C61 mã đề thi có thể nhận cho hai môn tự chọn của Trà
My.
Trà My có C32 cách chọn hai môn tự chọn, có C61 .C61 mã đề thi có thể nhận cho hai môn tự chọn của Thảo
My. Do đó Ω = (C32 .C61 .C61 ) 2 = 11664 .
Gọi A là biến cố để Thảo My và Trà My chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề thi. Các

cặp gồm hai môn tự chọn mà mỗi cặp có chung đúng một môn thi là 3 cặp, gồm :
- Cặp thứ nhất là (Vật lí, Hóa học) và (Vật lí, Sinh học)
- Cặp thứ hai là (Hóa học, Vật lí) và (Hóa học, Sinh học)
- Cặp thứ ba là (Sinh học, Vật lí) và (Sinh học, Hóa học)
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Suy ra số cách chọn môn thi tự chọn của Thảo My và Trà My là C31.2! = 6
Trong mỗi cặp để mã đề của Thảo My và Trà My giống nhau khi Thảo My và Trà My cùng mã đề của
môn chung, với mỗi cặp có cách nhận mã đề của của Thảo My và Trà My là C61 .C61 .1.C61 = 216 .
Suy ra Ω A = 216.6 = 1296
Vậy xác suất cần tính là P ( A) =

ΩA
Ω

=

1296 1
= .
11664 9

Câu 7 (1,0 điểm):
1
Ta có VS.ABCD = SH.SABCD , với SABCD = a 2
3

Do (SIC),(SBD) cùng vuông với đáy suy ra
SH ⊥ (ABCD)

S

Dựng HE ⊥ AB ⇒ ( SHE ) ⊥ AB , suy ra SEH là góc
giữa (SAB) và (ABCD) ⇒ SEH = 600
Ta có SH = HE.tan 600 = 3HE

F
A

D
K

HE HI 1
a
a 3
M
=
= ⇒ HE = ⇒ SH =
P
I
CB IC 3
3
3
H
E
C
1

1 a 3 2
3a 3
Suy ra VS.ABCD = SH.SABCD = .
.a =
(đvtt)
B
3
3 3
9
Gọi P là trung điểm của CD, suy ra AP song song với CI ⇒ d ( SA, CI ) = d ( CI, ( SAP ) ) = d ( H, ( SAP ) )
Dựng HK ⊥ AP , suy ra ( SHK ) ⊥ ( SAP )

Dựng HF ⊥ SK ⇒ HF ⊥ ( SPA ) ⇒ d ( H, ( SPA ) ) = HF
1
1
1
=
+
(1)
2
2
HF
HK
HS2
1
1
1
1
Dựng DM ⊥ AP , ta thấy DM = HK ⇒
=

=
+
2
2
2
HK
DM
DP
DA 2
1
1
1
1
4 1 3
8
a
Thay vào (1) ta có ⇒
=
+
+
= 2 + 2 + 2 = 2 ⇒ HF =
.
2
2
2
2
HF
DP
DA
HS

a
a
a
a
2 2
a
Vậy d ( SA, CI ) =
.
2 2

Do ∆SHK vuông tại H ⇒

Câu 8 (1,0 điểm):
Gọi I là giao điểm của BM và AC.
Ta thấy BC = 2BA ⇒ EB = BA, FM = 3FE ⇒ EM = BC
∆ABC = ∆BEM ⇒ EBM = CAB ⇒ BM ⊥ AC .
Đường thẳng BM đi qua M vuông góc với AC
BM : x − 2y − 7 = 0 . Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ
13

x=

 2x + y − 3 = 0

 13 −11 
 12 6 
5
⇔
⇒ I ;


 ⇒ IM =  ; 
5 5 
 5 5
 x − 2y − 7 = 0
 y = −11

5
2
 −8 −4 
Ta có IB = − IM =  ;  ⇒ B (1; −3)
3
 5 5 

C

E

M

F
I

B

A

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Trong ∆ABC ta có

Facebook: LyHung95

1
1
1
5
5
=
+
=
⇒ BA =
BI
2
2
2
2
BI
BA
BC
4BA
2

4 5
5
 −8   −4 
, suy ra BA =
BI = 2

Mặt khác BI =   +   =
5
2
 5   5 
2

2

Gọi toạ độ A ( a,3 − 2a ) , ta có BA = 4 ⇔ ( a − 1) + ( 6 − 2a )
2

2

2

 a =3
= 4 ⇔ 5a − 26a + 33 = 0 ⇔ 
11
a =
5

2

 −2 4 
Do a là số nguyên suy ra A ( 3; −3) . AI =  ; 
 5 5
Ta có AC = 5AI = ( −2; 4 ) ⇒ C (1;1) . Vậy A ( 3; −3) , B (1; −3) , C (1;1)

Câu 9 (1,0 điểm):
7

Điều kiện 2 ≤ x ≤ , y ≥ 0
3
Ta có, theo BĐT Cô-si thì (1) có các đánh giá sau:
4x − 8 + y
2 x − 2. y = 4( x − 2) y ≤
. Dấu “=” xẩy ra khi y = 4 x − 8
2
4x + y + 8
2 ( y + 8 ) x = ( y + 8) 4 x ≤
. Dấu “=” xẩy ra khi y = 4 x − 8
2
Suy ra 2 x − 2. y + 2 ( y + 8) x ≤ y + 4 x . Dấu “=” xẩy ra khi y = 4 x − 8
Như vậy, (1) xảy ra khi y = 4 x − 8
Thế vào (2) ta có: 4 x 2 − 6 x − 11 + 4 + 3 x + 7 − 3 x = 0

⇔ 4 ( x 2 − x − 3) +

(

) (

4 + 3x − x − 1 +

(x

2

− x − 3)

)

7 − 3x − x + 2 = 0

(x

2

− x − 3)


 7
= 0  do x ∈  2;  
4 + 3x + x + 1
7 − 3x + x − 2
 3

1
1


⇔ ( x 2 − x − 3)  4 −
−
=0
4 + 3x + x + 1
7 − 3x + x − 2 

⇔ 4 ( x − x − 3) −
2

−

 x2 − x − 3 = 0
(∗)

⇔
1
1

+
= 4 (3)
 4 + 3 x + x + 1
7 − 3x + x − 2
+) Ta có (∗) ⇔ x 2 − x − 3 = 0 ⇔ x =

Đối chiếu điều kiện ta có x =

1 ± 13
2

 1 + 13

1 + 13
, hệ có nghiệm ( xy; ) = 
; 2 13 − 6 
2
 2


1
1

 7
+) Xét pt(3) ta có ∀x ∈  2;  ⇒ 4 + 3 x + x + 1 ≥ 3 + 10 > 6 ⇒
<
4 + 3x + x + 1 6
 3
3
2 7 − 3x − 3
 7
Xét hàm số g ( x) = 7 − 3 x + x − 2 ⇒ g '( x) = −
+1 =
< 0, ∀x ∈  2; 
2 7 − 3x
2 7 − 3x
 3
1
7 1
⇒ g ( x) ≥ g   = ⇒
≤3
7 − 3x + x − 2
3 3

 7



Do đó, ∀x ∈  2;  :
3

1
1

1
+
≤ + 3 < 4 hay pt(3) vô nghiệm
4 + 3x + x + 1
7 − 3x + x − 2 6

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 1 + 13

Vậy, hệ có nghiệm duy nhất ( x; y ) = 
; 2 13 − 6 
 2


Câu 10 (1,0 điểm):
Bài ra ta có a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 2abc = a 2b2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 2abc ( a + b + c )

= ( ab + bc + ca ) ⇒ P = abc − 2abc
2

( ab + bc + ca )

2

⇒ P = abc 1 − 2 ( ab + bc + ca ) 

= abc ( a + b + c ) − 2 ( ab + bc + ca ) 


2

= abc ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 0, ∀a, b, c ≥ 0.
Dấu " = " xảy ra ⇔ 1 trong ba số a, b, c bằng 0 và 2 số còn lại có tổng bằng 1 ⇒ Pmin = 0.
Áp dụng BĐT Côsi ta có

(a

2

+ b 2 + c 2 ) + ( ab + bc + ca ) + ( ab + bc + ca ) ≥ 3 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( ab + bc + ca )
⇒ ( a + b + c ) ≥ 3 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( ab + bc + ca )
2

2

2

⇒ ( a + b + c ) ≥ 27 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( ab + bc + bc ) .
6

2

Lại có ( ab + bc + ca ) ≥ 3 ( ab.bc + bc.ca + ca.ab ) = 3abc ( a + b + c )
2

⇒ ( a + b + c ) ≥ 27 ( a 2 + b 2 + c 2 ) .3abc ( a + b + c )
6

⇒ ( a + b + c ) ≥ 81abc ( a 2 + b 2 + c 2 )
5

⇒ abc ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≤
Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b = c =
Vậy Pmin = 0 và Pmax =

1
1
⇒P≤ .
81
81

1
1
⇒ Pmax = .
3
81

1
.
81

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016