Luận văn khai triển một hàm thành tổng vô hạn hoặc tích vô hạn và một số ứng dụng

B Ọ G IÀ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

QUÁCH TH Ị TH U HUYỀN

KHAI TRIỂN MỘT HÀM THÀNH T ổN G VÔ HẠN
HOẶC TÍCH VÔ HẠN VÀ MỘT s ố ỨNG DỤNG

L U Ậ N V ĂN T H Ạ C S ĩ T O Á N H Ọ C
C h u y ên n g ành: T oán giải tích
M ã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
T S. B ùi K iên C ường

H À N Ộ I, 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Kiên Cường, thầy đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu cùng toàn thể
các thầy cô giáo trường THPT Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc đã
giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn
này.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,

bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 01 năm 20ỉ 5
Tác giả

Q uách T h ị T h u H u y ền


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, luận văn:
K h a i t r i ể n m ộ• t h à m th à n h t ể n q<7 vô h ạ« n hoặc
tích vô h ạ« n và
«
m ộ t số ứng d ụn g là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 01 năm 20ỉ 5
Tác giả

Q uách T h ị T h u H u y ền


M ục lục
Mở đ ầ u ...
C hư ơng 1 T ông vô h ạ n và tíc h vô h ạ n

3

1.1 Tổng vô hạn và tích vô hạn

3

1 . 1 . 1 . T ổng vô hạn

3

1 . 1 .2 . T ích vô hạn

5

1 .2 . Đa thức và các số Bernoulli, Euler

15

1 .2 . 1 . Đ a th ứ c B ern o u lli và các số B ern ou lli

15

1 .2 .2 . Đ a th ứ c E uler và các số E uler

20

1.3. Khai triển Lagrange

22

1.4. Khai triển hàm phân hình theo hàm phân thức

27

C hư ơng 2 M ộ t số ứ ng d ụ n g củ a tổ n g vô h ạ n và tíc h vô h ạ n
33
2.1 Phương trình vi phân thường cấp 2

33

2 . 1 . 1 . C ác điểm kì dị của phương trình vi p hân th ư òn g cấp 2

33

2 . 1 .2 . N gh iệm tron g m ộ t lân cận của điểm thường

34

2 .2 . ứng dụng tổng vô hạn trong việc tìm nghiệm của một số phương

trình vi phân thường

39

2 .2 . 1 . N gh iệm tron g lân cận củ a m ột điểm kì dị

39

2 .2 .2 . N gh iệm chính quy. Đ iểm kì dị chính quy

45

2 .2.3. P h ư ơ ng pháp F rob enius

51

2.3. Khai triển hàm qua tích vô hạn

3

54


2.4. Khai triển tiệm cận

59

2 .4.1. M ở đầu về khai triển tiệm cận

59

2.4.2. K h ai triển tiệm cận của tích p hân L aplace, B ổ đề W atson

65

K ế t lu ận

68

Tài liệu th a m k h ảo

69

M ở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong giải tích cổ điển, bên cạnh lý thuyết tổng vô hạn hay còn gọi là
chuỗi số, một đối tượng khác cũng được quan tâm nghiên cứu, đó là tích
vô hạn. Cũng tương tự như đối với chuỗi, người ta cũng quan tâm đến
việc biểu diễn hàm đã cho như là một tích vô hạn. Nhờ việc biểu diễn
hàm qua tổng vô hạn và tích vô hạn, một số kiểu phương trình vi phân
thường có thể tìm được biểu diễn nghiệm, đặc biệt là nghiệm kỳ dị của
chúng.
Nhằm tìm hiểu sâu về ứng dụng của lý thuyết chuỗi và tổng vô hạn trong
lĩnh vực biểu diễn nghiệm kỳ dị của một số lớp phương trình vi phân,
và được sự hướng dẫn của T S. B ùi kiên Cường, tôi đã chọn đề tài
nghiên cứu: K h a i t r i ể n m ộ t h à m th à n h tổ n g vô h ạ n hoặc tích
vô h ạ n và m ộ t số ứng dụ ng để thực hiện luận văn tốt nghiệp thạc
sĩ.

2. M ục đích nghiên cứu
Biểu diễn một số hàm qua tích vô hạn và ứng dụng trong tìm nghiệm
kỳ dị của một số phương trình vi phân thường.

1


3. N h iệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu về lý thuyết tích vô hạn và việc khai triển một hàm
thành tổng hoặc tích vô hạn;
• Nghiên cứu ứng dụng của việc khai triển hàm thành tổng vô hạn
trong việc tìm nghiệm kỳ kị của một số phương trình vi phân.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Một số đa thức: Bernoulli, Euler, ... tích vô hạn, khai triển tiệm cận
trong giải tích cổ điển;
• Nghiệm của một số phương trình vi phân thường cấp 2 có sử dụng
các hàm đặc biệt.

5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề
tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết.

6. N hữ ng đóng góp của đề tài
Luận văn là tài liệu tổng quan về biểu diễn hàm qua tổng vô hạn hoặc
tích vô hạn và một số ứng dụng của nó trong việc giải một số kiểu phương
trình vi phân thường cấp 2.

2


Chương 1
Tổng vô hạn và tích vô hạn
1.1. Tổng vô hạn và tích vô hạn
Mục này được trình bày dựa theo tài liệu [I4j.
1.1.1. T ổng vô h ạ n
Cho dãy số {ữn}£°=1, ta định nghĩa dãy {Sn}ỉf=i) gồm các tổng riêng
00

sn = ữi + a2 4 ------b an. Tổng vô hạn hình thức ^2 an được gọi là chuỗi.
71 = 1
00

Ta nói rằng, chuỗi ^2

an

hội tụ tới giới hạn s nếu dãy các tổng riêng

71= 1

-ỊX}ỈT=1 hội tụ tới s .

Ta biết rằng, tiêu chuẩn hội tụ Cauchy cho một dãy số phát biểu rằng:
Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là một dãy cơ bản (dãy Cauchy).
Áp dụng tiêu chuẩn hội tụ Cauchy cho dãy tổng riêng {sn}íf=i ta có tiêu
chuẩn Cauchy cho một chuỗi như sau:
00

Đ ịn h lý 1.1.1. Chuỗi ^2 OLn hội tụ nếu và chỉ nếu với mỗi e > 0 tồn
71= 1

tại Ne e N* sao cho khi m > n > N e tacố Ian + an+1 + • • • + am\ < e.
00

Hơn nữa, từ định lí trên ta suy ra rằng nếu chuỗi ^2 tin hội tụ thì
71 = 1

lim an = 0. Tuy nhiên điều ngược lại là không đúng. Chẳng hạn, chuỗi
n—
>00
00

điều hòa ^2

1

là phân kì trong khi đó lim an = lim -7 = 0.

n=l n

n -> 00

3

n -> 00 n

1


oo

Ỵ2 an = A — Ỵ2 an. Do đó,

n —1
N

N

oo

Ta thấy rằng, nếu chuỗi Ỵ2 an = A thì

n —N + 1

n —1

oo

nếu \A - Y; an\ < e thì I
ra = 1

anI < 6.
n=7V + l

Sử dụng chuỗi Taylor ta có các công thức khai triển thành tổng vô
hạn của một số hàm sơ cấp cơ bản như dưới đây:
00

= nỆ

= 0

00

] - г - = Е 1г">

( 1 .1 .2)

w <:1>

n=0

( — Л\ n

00

siaz = E

2n+l

(2тг + 1 )! ’

n=0

v

(2п\\

'

log(l + z) = Ề

zn= 1'

*

)

=

'■

’ УгеС’

í 1-1-4)

1^1 < 1 ,

(1.1.5)

n
n

00

- i o g ( i -

(LL3)

2n

00 /_-1
c° s ^ = E
n=0

V zeC ’

'

£

-

,

z ' n

N

<

!•

(1 .1 .6 )

n= 1

Ta có mộtsốkết quả về tính hội tụ của tổng vô hạn sau đây.
Đ ịn h lý 1.1.2. Cho hai dãy số phức {ữn}£°=0 và {bn}íf=o- Nếu

|ũn|
n=0

00

hội tụ và {bn} bị chặn thì chuỗi ^2 ünbn hội tụ.
n=0
00

00

Ta nói rằng chuỗi ^2

an

hội tụ tuyệt đối nếu như chuỗi X] lữn| hội

n=0

00

ra=0

00

Đ ịn h lý 1.1.3. Nếu ^2 йп ỉà một chuỗi các số phức và chuỗi ^2 |ũn|
n=

0

00

hội tụ thì chuỗi ^2 йп hội tụ.
n=

0

n= 0


Điều ngược lại của định lí này là không đúng, chẳng hạn xét chuỗi
oo ( - l ) n

Ỵ2 -------- J chuỗi này là chuỗi đ an d ấ u và hội t ụ theo d ấ u hiệu Leibnitz,
n = l

^

00 (—l) n

tuy nhiên chuỗi

00 ị

— -— = X]
n

n = 1

phân kì.

n=1 n

Đ ịn h lý 1.1.4. Giả sử rằng amn € [0, oo) với mỗi (ra, rì) £ N X N Ш
Ф : N —>■N X N là một song ánh. Với ngầm hiểu rằng một chuỗi số thực
không âm hội tụ đến 00 nếu như nó không hội tụ đến một số thực, ta có
00

00

У! (
n= 1

00

00

ra= 1

n = l

ữ™.n) =
m = 1

00

ữm’n) =

аф(к)'
fc= l

Đ ịn h lý 1.1.5. Giả sửcm n e с với mỗi (ra, n ) e N x N u à ự > : N —» N xN
tò mội song ánh. Nếu một trong ba tổng sau
00

00

XI ( S
n= 1

00

ỉữ™^ỉ)’ s

m = l

m = l

00

00

Œ

\аФ(к)\

n = l

fc= l

/lội íụ Ш các tổng sau hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng nhau
00

00

00

00

m = l

n = l

00

а ф(к)n=

1

m = 1

fc= l

1.1.2. T ích vô h ạ n
Trong mục này,chúng tôi trình bày các khái niệm

và các bài

toán hội

tụ của tích vô hạn, đặc biệt trình bày các điều kiện về hội tụ tuyệt đối.
Tích vô hạn
00

Ỵ [ u n = щ и 2щ • • •

(1.1.7)

71= 1

gọi là hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại ra sao cho Уп > m , u n 7^ 0, và tích
riêng
P n — ^ m + l ^ m + 2 ■ ■ ■ĩ l

ĩĩl

(1 .1 .8 )


tiến tới một giới hạn Um không bằng 0 khi n —> oo. Khi đó,
oo

u —ị ị un—^1^12***umun

(1.1.9)

n=l

được gọi là giá trị của tích vô hạn.
Đ ịn h lý 1.1.6. Nếu tích vô hạn (Ịl.1.71) hộitụ thì lim un = 1.
-----n—
>00
C h ứ n g m i n h . K hi n —>■00 t a có u n = Pn/Pn - 1

1 vì Pn,Pn -

1

có cùng

một giới hạn Um khi n —>■00 .

□

Nếu ta đặt un = 1 + an, và thì (Ị1.1.7D trở thành
00

( 1 .1 .10)

J J (1 + «n).
n=1

Khi đó, từ định lí 1 .1.6 suy ra nếu chuỗi ( 1 . 1 .10 ) hội tụ thì lim an = 0.
71—^ 0 0

Đ ịn h lý 1.1.7. Tích vô hạn (Ịl.l.lOỊ) hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại m
sao cho chuỗi
00

ln(l + an)

( 1 . 1 .1 1 )

n=m + 1

hội tụ, ở đây logarit được lấy theo các giá trị chính, tức là \arg{\ + an)\ <
7r. Kí hiệu tổng trong (Ịl.l.llỊ) là L , khi đó
00

+ ữn) = (a + ữ i ) ( l +

0,2)

• • • (ữ + am)eL.

(1.1.12)

n= 1

C h ứ n g m in h .
Giả sử chuỗi ( 1 . 1 .1 1 ) hội tụ, khi đó dãy
Pfi

(1 “ỉ” ^m +l)(l “I” ^ra+2) ■■■(1 ”1”

exp <
k .r= m + l

ln ( l + ar) Ị
)


sẽ hội tụ và lim pn = eL. Ngược lại, nếu tích hội tụ thì tồn tại ra sao
71—>00

cho (1 + an) Ỷ 0, Vn > ra và pn —» p Ỷ 0 khi n —» oo. Khi đó
00

\

' ^
r=m + 1

ln(l + ar) = lim lnpn = lnp.
71—^ 0 0

Do đó, chuỗi fll.l.lip là hội tụ. Tuy nhiên, các giá trị của nó phụ thuộc
vào argument của các thừa số trong p. Các argument đó không thể xác
định một cách bất kì, vì lim ln(l + an) = 0 là điều kiện cần để chuỗi
n-ỳ-ỠC

fll.l.lip hội tụ và
ln ( l + an) = ln |1 + an I + iarg( 1 + an).

Vì vậy, ta phải có ữn —^ 0 và arg( 1 + an) —ì 0. Do đó, ngoại trừ với một
số số hạng hữu h ạn t a ph ải có \arg(l + ữn)| < 7r, tứ c là logarit là lấy các

giá trị chính của chúng.

□

Tiếp theo, ta trình bày điều kiện cần và đủ để một tích vô hạn là hội
tụ tuyệt đối.
00

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1. (Hội tụ tuyệt đối) Tích vô hạn n (1 + an) hội tụ
71= 1
00

tuyệt đối nếu tích vô hạn n (1 + M ) hội tụ.
71= 1
00

Đ ịn h lý 1.1.8. Nếu tích vô hạn n (1 + an) hội tụ tuyệt đối thì nó cũng
71= 1

hội tụ.
00

C h ứ n g m i n h . Vì tích vô hạn n (1 + lữn|) hội t ụ nên theo định nghĩa,
71= 1

tồn tại r sao cho
Qa = (1 + |ar+i | ) ( l + |ữr+i|) • • • ( ! + |ữs |)

7

q 7^ 0

khi s —>■0. (1.1.13)


Với k > 0 bất kì, thì khi s đủ lớn, ta có
1(1 + a r+i ) ( l + a r+i) • • • (1 + ữs) — 1
< (1 + |ar+i | ) ( l + |ữr+ i|) • • • (1 + |ữs |) — 1
Q s+ k

1

(1.1.14)

= — ----- 1 < e.
Qs

Do đó, tồn tại m sao cho với bất kì s > ra, ta có
1(1 + ar+i)(l + ar+1) •••(! + as) — 1 | — |ps — 1 Ị < —,

tức là

điều này chứng tỏ rằng, khi S > r a , l + a s ^ 0 v à nếu

Ps

tiến tới m ột giới

hạn thì giới hạn đó phải khác không. Hơn nữa, từ (Ị1.1.14Ị) ta có
Pa+k
-

Qs+k

1

<

— 1 < e,

s+k - p

s I <

s > ra, k > 0,

Ps

hay
Ip

e \p s \ <
00

Khi đó, theo tiêu chuẩn Cauchy,

Ps

có giới hạn, tức là n (1 + an) hội tụ.
n= 1

□

00

Đ ịn h lý 1.1.9. Diều kiện cần và đủ để tích vô hạn n (1 + an) hội tụ
71= 1
00

tuyệt đối là chuỗi

hội tụ tuyệt đối.
71= 1

C h ứ n g m in h . Đặt Pn = (1 + |am+i | ) ( l + |ữm+2|) •••(]. + |an|), n > m.
Rõ ràng, p n Ỷ 0- Đặt

sn=

\am+1\ + |am+2| -----h |ữn|- Vì 1 + \av\ <

do đó Sn < Pn < eSn và điều này suy ra sự hội tụ của Sn và Pn là tương
đương. Định lí được chứng minh.

□


oo

Đ ịn h lý 1.1.10. Nếu tích vô hạn n (1 + an) hội tụ tuyệt đối thì tong
n= 1
oo

vô hạn X] ln (l +

a n

) cũng hội tụ tuyệt đối và ngược lại.

71= 1

C h ứ n g m in h .
Vì tích hoặc tổng vô hạn hội tụ thì ta phải có an —ì 0 khi n —» 00.
Do đó, với n đủ lớn mà |ữn| <

ta có

ln ( l + an)

_On
1

-

ơị_aỉL

2

3

4

“
1
1 1
_ 1
< 22 + 23 + 24 + ‘ “ _ 2 ’

tức là
ln ( l + an)

1

3

ar

2 <

<

2

'

00

00

Do đó, sự hội tụ của chuỗi ^2 I ln (l + ữn)| và ^2 kn| là tương đương, và
n=

n=

1

1

tới đây ta áp dụng Định lí 1.1.9 ta thu được kết luận của Định lí 1.1.10

□
V í d ụ 1 . 1 . 1 . Với mỗi z cố định z e
nL1

=1

c\

{0}, tích vô hạn

sin (z/n)
z /' n

hội tụ tuyệt đối.
Thật vậy, ta biết rằng khai triển
w 2k+1

sin(№) = £ ( - l ) ‘
fc=o

v

9

’


Do đó,
oo

sin(2:/n)
z/n

(z /n )2k+1
(z/n)(2k + 1 )!

Ẻ (-1 )
k =u
K
= 0
1

00

v2k

=1+i ễ (_1)'n^(k-i)(2k + 1 )!
k=l

b„
00

trong đó bn = Y, ( - ! ) fe 2(fc-i)(2fc + 1 )!‘ Với 2 ^ 0 c° đ 'nh và với

kì

n, ta có
00

„2fc+ l

1

Ẻ ( - l ) 1 (2k + 1 )!
• ả *
fc= 1

s

hội tụ. Ap

Do đó, {|6B|} là dãy bị chặn và X! , hội tụ, do đó ^2
n

rr

2

dụng Định lí 1.1.9 tích vô hạn n ( l +

) hội tụ, điều này cũng có nghĩa
rr

là
y

00

00

sin(2:/n)
n d +Ế)= n
z /' n
n= 1
n=1
= 1
hội tụ tuyệt đối.

V í d ụ 1 . 1 . 2 . Cấc hàm sinx và cosx có thể được khai triển dưới dạng
tích vô hạn tương ứng là:
00

sinx =

/

0

\

(1.1.15)

X
ĩ

k=

1

' - Ể
x

ỵ

và
00

/

k=
1
5

x

cosx

(2k — 1 ) 27T2
1

Thật vậy, để chứng tỏ (1.1.15) ta áp dụng công thức Euler


và thay các hàm mũ eix,e ix bởi các giới hạn tương ứng của các hàm
này là
eix = lim ( 1 +

và e~ix = lim ( 1 -

n -> 00 V

n

.

1n - ï o o \ n 1

Do đó, ta thu được

sin X = — lim

1+! ) - (‘ - í )

2 i ra—>00

= —- lim
2

(' * é

n — >00

y

' -

(1.1.17)

- !

ry

Ap dụng công thức khai trien nhị thức Newton ta có
n
ix\n
„
IX n ( n — 1) // ỉ x 2
1+ —
= 1 + n —+ v

; 1
n J

(? )

2!

n

/

và
ỉx\n
„
1- —
=1
n J

ỉx

n ( n — 1) / ỉ x

n

2!

x

ỵ

fc=o

x

ỵ

(1.1.19)
Thay (1.1.18), (1.1.19) vào (1.1.17), và loại bỏ các số hạng bậc chẵn đối
với X, khi đó vế phải của (Ị1.1.17Ị) trở thành
(n-Ị)/2
sina; = X lim V (-1
nToo ^
v J n
k=0

2k
n 2k+1

Biểu diễn vế phải của (Ị1 .1 .20Ị) dưới dạng chuỗi lượng giác ta có
(n-1)/2

sin X = X lim

n —ỳ 00

TT

1-

“*■

k= 1

(1 + cos 2 k ĩ ĩ / n ) x 2
(1 —cos 2kTr/n)rí

sử dụng công thức hạ bậc ta có,
( M /2
sinx = X lim I I
n—>00
-*■

x 2 cos2 k n / n
n 2 cos2 k ĩ ĩ / n

k= 1

(n -l)/2

= X

71—
^00

1 k= 1

11

X
n 2 tan 2 k i ĩ / n

( 1 .1 .20 )


Mặt khác, ta có

s i n x

=

X

(n-l)/2
1lim 11

n —>00

x 2 k 2 TT2
n 2 k 2 7T2

-*■ -*■

k=l

tan 2 k 7 ĩ Ị TL

(n -l)/2

=

n

X 2

1

X

—^00

/

k i r / n

-

k 2 TT2

k= 1

\ta n /c 7 r /n

Vì
ứ
lim
= 1.
ớAÔ tan 'ớ
Do đó, cho qua giới hạn ta thu được biểu diễn Euler cho hàm sin X như
sau
Sinx = x nl i m n ( l - ^ ) fc=1 x

ỵ
Tương tự, đối với hàm cosx, trước tiên ta sử dụng công thức Euler
e ix
cos

X

_|_

e -ix

=

và biểu diễn các hàm mũ dưới dạng giới hạn
cos X

=

- lim
2

n —» 00

Áp dụng các đa thức ở (Ị1.1.18D và (Ị1.1.19D vào vế phải của đẳng thức
trên, ta có thể thấy rằng, ngược lại với hàm sinx, tấ t cả các số hạng có
mũ lẻ sẽ không còn xuất hiện và ta thu được biểu diễn đối với hàm cos X
như sau:
(n -l)/2

cosx = lim Y , ( - i ) ^

n—>00 -k=

2k
2k X
n n 2k-

0

Lý luận tương tự như trong (|1.1.2Ọj) ta thu được
cos X

(n_Ị)/2 .
lim T T < 1
n—>00
1
k=

0

-

[1 + cos(2Ả; —1 )7T/n]x2
[1 + cos(2Ả; — l ) ĩ ĩ / n ] n 2

v

12


Áp dụng các công thức biến đổi lượng giác hạ bậc ta có

^TT^ í 1
X2 cos2(2Ả : - l ) 7r / 2n
I I I1—
n —>00
-*■
V
n 2 cos2(2fc —l ) 7r / 2n
k=0 x
(«-Ị0/2 ,
X2
\
= lim TT (
n —>00
V n 2 tan 2(2/c —l)7r/2n /
Jfe=0 x

COS X =

lim

Hay
COS X =

(n-ỊO/2
lim TT

—^rv->
n*1->00

-1- -4.

ị x 2{2k — 1 ) 27T2
\4 n 2(2fc — 1 ) 27T2 tan 2(2fc —l ) 7r / 2n

( M /2
lim
I I
X0
.-v\
íl1—>
0 AA

4z 2

1-

(2k

fc=0

00

/

—

1 ) 27T2

/ (2fc — 1 )7T/ 2n
\ ta n 2(2fc —l ) 7r / 2n

4z 2
(2fc —1 ) 27T2 /

s(-:

Vậy ta thu được biểu diễn Euler cho hàm
oo

/

COS X

ẩx2
(2k — 1 ) 27T2

cosx
fc=
s 1 x1

V í d ụ 1.1.3. Hàm sin hyperbolic sinhz có thể được khai triển dưới dạng
tích vô hạn
/

00

sinh z = X
k=

2

í1+

\

ì .

1 '

( 1 .1 .21 )

ỵ

Thật vậy, để chứng tỏ (Ị1 . 1 .21 Ị) ta áp dụng công thức Euler
e lX

_

e ~lX

sinhz =
và thay các hàm mũ eix,e ix bởi các giới hạn tương ứng của các hàm
này là
eix = lim ( 1 + và e~ix = lim ( 1 ra-»oo V

TI )

n - > 00 V

13

n )

.


Do đó, ta thu được
ỉx

sinh a: = - lim
2

n — >00

1

y

+

IX

(1.1.22)

n .

n .

ry

Ap dụng công thức khai trien nhị thức Newton ta có
ix\n
1 + —

n J

„

/ .

IX

= 1+ n — +

n ( n — 1) / ỉ x
v

n

J 1

2!

\ 2

?

x

ra

- - g
ỵ

fc=0

/

*
x

.

?

\

k

.

ỵ

và
/

n

2

ỉx \n
„ ix
n (n — 1) / i x
1 - —
= 1 - n— + v
; 1
n J
n
2!

/• \ &

(!) - - D - M © •
(1.1.24)

Thay (1.1.23), (1.1.24) vào (1.1.22), và loại bỏ các số hạng bậc chẵn đối
với

X,

khi đó vế phải của (1.1.22) trở thành
(n-Ị)/2

sinh X

= X

lim

2k

(1.1.25)

Y , C« +lJÇ
ïîn
k=0

n —>00

Biểu diễn vế phải của (Ị1.1.25Ị) dưới dạng chuỗi lượng giác ta có
(n-1)/2
^ (1 + cos 2kTĩ/n)x„2'
sinhx = X lim I [
n—y00 -*•
(1 —cos 2 k ĩ ĩ / n ) n 2
1

k=

sử dụng công thức hạ bậc ta có,
(n-Ị)/2
sinh X = X lim I I
n—>00
-*■
k=

x 2 cos2 kTr/n
1 _|_

1

.

2 y— ,

n2sin /C7r/n.

(n -l)/2

X

I I-ầ.
A

lim

—
rv\
n1—
ỳV00

k=

1+

1

n 2 tan2 Ả;7r/n

Mặt khác, ta có

( M /2
sinha; = £ lim

1 I

n —>00

1+

-*■
k=

1

(n-ỊO/2
= X

x 2k27T2
n 2k2Tĩ2 tan 2 Ả;7r/n
X2

/

Ả;7r/n

y

lim I I
1+
n—>00

-*■
Ả;27T2 \tanẢ;7r/ny
k=1
14


Vì
ứ

=
lim
ớ-Tô tan 'ỡ

1.

Do đó, cho qua giới hạn ta thu được biểu diễn Euler cho hàm sinhz như
sau

^ nk=1 (1
+fcv)ỵ
x

s in h * =

1.2. Đ a thứ c và các số B ernoulli, Euler
Mục này được trình bày dựa theo các tài liệu pũ, E].
1.2.1. Đ a th ứ c B ern o u lli và các số B ern o u lli
Các đa thức Bernoulli ipn(x), n = 0, 1 , 2 , . . . được cho dưới dạng khai
triển sau:
i p xt

text

tn

. .

(1.2.1)

-7 — T = / , i V n ự ) é

—

1

■*— ' n !
n=0

Hàm ở vế trái của (Ị1 .2 .1 Ị) gọi là hàm sinh (generating function) của
ự>n{x). Chuỗi trong (Ị1 .2 .1 Ị) hội t ụ với |í| < 27T, vì tính kì dị của hàm sinh
gần nhất với 0 là ±27ri. ở đây ta kí hiệu B n{x) thay cho (pn(x).
Khi

X

= 0, công thức (Ị1.2.1Ị) trở thành
t
^
T ĩ = Ẹ

tn

. .

( 1 .2 .2 )

n=0

Công thức này thường được biểu diễn dưới dạng sau:
00

t

t
1 \ _ ít eet/z
^ + ee~t/z
-*/2
, t2n
=
i
+
E
(
r
‘(2 n )!S
ê - 1 + 2 7 _ 2 e^2 - e“ */2
n= 1

(1.2.3)
“'

Trong (1.2.3) chỉ có các bậc chẵn của t xuất hiện vì vế trái là một hàm
chẵn theo biến t. Từ (1.2.2) và (1.2.3) và viết tpn thay cho tpn(0), ta thu
15


được

y>2k — ( —l ) fc 1Bjc,

ự>2k+l — 0)

(1.2.4)

k — 1,2,

B k được gọi là các số Bernoulli. Đôi khi, ipn cũng được gọi là các số
Bernoulli.
Dưới đây, trình bày các tính chất cơ bản và các công thức của các đa
thức Bernoulli:
1.

Biểu thức tường minh của các đa thức Bernoulli và công thức truy

hồi cho các số Bernoulli.
Từ (1.2.2) ta có
i . ĩ í

00

eb — 1

trong đó

J .k

00

J.I0 0

^ ' Ả;!
k=0
fc=o

J .n

n

/=0n=0fc=0

= n(n — l)(n —2) • • • (n —k + l)/k\. So sánh với (Ị1 .2.1 Ị) ta

thu được biễu diễn dạng ẩn cho ự>n{x) :
n
k,„
~ n —k
,,{x) = Ỵ ^ C ,nVkX
,

k=

n = 0, 1 , 2 ,

(1.2.5)

0

ở đây ta phải tính các (Pk. Để tính được các (Pk, từ (Ị1 .2.2Dta có
é - 1 00 +k
1 =
t

00 */-1 00 +k
1=1

fc= 0

k=0

00
n = 1

«-1
fc=0

k\{n — k)\

Cân bằng hệ số của đẳng thức trên ta suy ra
71— 1

¥>0 = 1 , ^ 2

k

=0

1

:(pk = 0,
k\(n — Ả;)!

n > 2.

( 1 .2 .6 )

Đây là công thức truy hồi cho (fik- Đặt n = 2, 3, . . . ta có thể tính được
ífin. Lưu ý rằng, nhờ (1.2.4) tấ t cả các tpn với n lẻ là bằng không, ngoại
trừ (fị.
16


Từ (1.2.5) và (1.2.6) có thể được biểu diễn ở dạng:
n =

ipn{x) = (

(v + 1)” - v „ = 0,

( 1.2 .7)

0,1, 2 ,...

n = 2, 3, . . . .

(1.2.8)

ở đây ta ngầm hiểu, trong khai triển nhị thức, lũy thừa ífik chính là (fikMười số Bernoulli đầu tiên và với bảy đa thức Bernoulli đầu tiên được
cho như sau:
,
30’
691
R =
2730:
174611
330
B 2

6 ’

5
B 5

B

9

B

66’

43867
798 ’

<£o(z) = 1,
x

=

- ^

—

42:
7
B 7

6 ’

30’
3617
510
(1.2.9)

ip2(x) = X2 - x +

- l ) 0r - ị ) = £3 - ị x 2 + ị x ,
( 1 .2 .10)

= XA - 2x 3 + X1 - ì ,
ipsix) = x{x

B ị — — ,

- l)(a; - ^)0r 2 - X - ì ) = X5 - ị x 4 + j r 3
6 * ’


+ ^x.

2. Dạo hàm và tích phân
Đạo hàm (1.2.5), ta thu được

A dx

= Ĩiipn —1 ( x )

( 1 .2 .1 1 )

fc=o

và
dP

dxp

f
\
V n { x )

_
=

n!

f
\
, . ífin -p {x ).
( n - p ) \

7-

17

(1.2.12)


thay n bằng

71+1

trong (1.2.11) và lấy tích phân ta có
1
n + 1

VPn+i ( z ) -

(1.2.13)

3. Dạng sai phân
tp0(x + 1 ) = tpoix),

ip!(x + 1 ) = ip!(x) + 1 ,


(1.2.14)

n > 2.

Công thức (1.2.14) có thể được chứng minh như sau. Từ fll.2.ip ta có
ịg(x+ l)t

00
00

4.n
ịn

xt
t+ce>xt

+n + 1

00

rìVn{x + 1} = tế“ + ^ T ĩ = sn=0
e* — 1 = £

n=0

00

J.n

+ sn=0

So sánh các hệ số của tn trong chuỗi trên ta thu được (1.2.14).
ị. Công thức lấy phần bù
(fn( 1 - x ) = ( - l ) n(fn(x).

(1.2.15)

Thật vậy, từ (Ị1 .2 .1 Ị) ta có
t e ( iL—
- xx)
) tt 00

J .n

J.a —x t

00

n=0

n=0

(-*)• ■

n!

So sánh các hệ số của tn trong chuỗi trên ta thu được (1.2.15)
5. Công thức cộng Thay

X

trong (Ị1.2.1Ị) bởi

ị e (x
x + yy)t
)t

X

+ y ta có

fn

00

- z r r = T l ^ íPn(x + v).
n=0

Nhưng vế trái bằng với
py t
+k
A
+n
teyt

r ĩ e" = E ^ » ( í / ) £ |Ịz ‘ = £ ^ E £>*(fc=0 '
/=0 '
n=0 ' fc=0

18


do đó ta có công thức cộng:
n

(1.2.16)

(fn{x + y) = ^ 2 C*k

=0

6. Công thức tổng
Ta có
m

^

X 's n =

,

5=1

-[ipn+ ĩ { m + 1) - (Pn+iị,

n > 1.

n+ 1

(1.2.17)

Thật vậy, từ (Ị1.2.14Ị) ta có
n + y[y>„+l(s+ 1 ) - ¥>n+l(s)]Hơn nữa, chúng ta còn có công thức tổng cho một số hàm:
Từ (Ị1.2.3D ta cũng thu được công thức khai triển đối với hàm cot :
t

t

it

00

e*^2 + e

'n ±ln
í 2n,
=
1
ẽ
2 COt 2 _ 2^eu/2 - e~u/2
(
2n)!
n= 1

Br .

|í| < 2tt,

(1.2.18)

w <

(L2-19)

và công thức khai triển đối với hàm tan :
t

t

t

t

- tan - = - c o t---- t cot t
2

2

2

2

=

(22n —l ) B n 2n
(2n)!
* '

^
>

^

n= 1

Kết hợp (1.2.18) và (1.2.19) ta thu được công thức khai triển cho hàm
,
1
2ỉ
CSC : ( ở đ â y C SCz =
----= — --------------7 7 , 2: G C)
v
sin z
eiz - Z~iz
'
t CSC t

t

t

2

2

t

t

=- cot - H— tan 00

= 1+ Ệ
n= 1

2
2
2 (22n - 1)5,
(2 n)!

19

n t 2n,

| í | < 7T.

( 1 .2 .20 )


1 .2 .2 . Đ a th ứ c E u ler và cá c số E u ler

Các đa thức Euler E n(x), n = 0,1, 2, . . . được cho dưới dạng khai triển
như sau:
0 pXt

00

fn

Í Í T = Ẻ

t1'2-21)

n=0

Hàm ở vế trái được gọi là hàm sinh của các đa thức Euler. Chuỗi hội tụ
nếu

\t\

Đặt

< 7r vì điểm kì dị gần nhất của hàm tính từ
X

=

t

= 0 là

vế trái của (1.2.21) là một hàm chẵn theo

không có các lũy thừa các bậc lẻ theo

t

= ± 7ri.

t
t

và do đó

được trình bày theo chuỗi ở vế

phải. Vì vậy, ta có
e*2‘+" l

2

^n = 0

(2n)!
v

2'

'

trong đó En = (—l )n22nE 2n(ị) được gọi là các số Euỉer. Đôi khi ta kí
hiệu các số Euler là E n = 2nEn{\)\ khi đó E 2n+ 1 = 0 và E 2n ở đây bằng
( ~ l ) nK .
Tiếp theo ta trình bày các tính chất cơ bản của đa thức Euler và các
số Euler. Chứng minh các tính chất đó tương tự với các tính chất ở mục

1.1.1 của đa thức và các số Bernoulli.
1. Biểu diễn tường minh của đa thức Euler và công thức truy hồi cho
các số Euler
Vế trái của (1 .2.2 1 ) có thể được khai triển thành