Ebook vật lý cơ sở dùng cho cán bộ sinh học, y học, địa chất phần 1

DUNG CHO C À ir Bộ
SINH HỌC
Y Hỏc
ĐỊA CHAT

ỵ t ư

~

.. ^

ụ

- 'Ề

íễ

lÊ

^

NHÀ X Ụ Ấ J ^ Ỉ ^ :-y ® »
KHOA HỌC VÀ KỸ thuật


L. t y m o m ì C i

PHYSIQUE DE BASE
POUR BIQLDLOGISTES, MÉDECINS ET GÉOLOGUES
(DEUX1E3ÌỊE ÉDITION REVUE ET AƯGMENTẺE)

MASi>ON E J'
PARIS
1903


LỜI GIỚI THIỆU

Một trong những đặc trưng cùn thời đại chúnq ta lờ sự phát triền vô cùng
nhionh chóng của khoa học vá kỹ thuật. Tronq sự phát triền đó, vậi ỈÍỊ học có val
trờ) chủ đạo vù góp p h ă n làm cho khoa học, kựi ihtiậl Irở thành lực lượng s&n x u ã t
ịrựỊc liếp. Ngày nay, vật lý học thăm nhập sáu rộng váo các nyành khoa học, kựỊ
th iu ậ t; nói rỉẻng, vàn sinh học nôny hục, y học và địa chẫt học. Rõ rànọ kién thức
vậtt lỷ không nhữiìỊi Ihiết yếu cho kụ sư, m à còn rất h ữ u ích cho cóc nhủ sinh học,
nôing học, địa chăl, cũng như cáv bác sĩ. Sự phái ỉriầĩi Iìhaiih'chúiuj của các ngành
sini/i học, .sinh lý học, Ị/ học, (iịa chái học troniỊ. nhữ ny Iiăm ịỊầìì đày khôny Ihề
tác:Ji rời sự áp dụng cú hiệu qun các iM iìh iựu mời của vật lý học.
ờ nước la hiền nhièii các cán bộ nói trên ãirì(j căn được hòi dưỡng các kiến
thúíc vật lý cơ han càn thiél cho việc thu nhặn các thùnh tựu mới trong ngành còtvỊ
táo: của họ. Trên thễqiởi hiện đã có nhiều cuốn sách đư ợ c viéĩ ra VỜI mục đích đó.
Cuiốn sách này của L. Lliboutry m à N hủ xuất bủn Khoa học vá kỹ thuật hán hạnh
giởrl thiệu với hạn đọc có nhiều ưu đihìi rố rệl so vời các sách cùng loại. Các sách
cùiruỊ loại thườiìịi chỉ là sự ỊỊÌản lược m ộỉ (ỊÌáo trình vật ựỉ đ ạ i cương dùn(j cho cán

bộ I>ật lị/. Trái lại, trong cuốn sách này lác giả đã chọn lọc khá tinh vi các vấn đề
ihiiết thực với đối iượmj bạn đọc của nó. Tác yiã irình bày sánịỊ sủa, chinh xác các
địm h nghĩa, cóc định íuậl, cãc hiện lưựtt(j và các linh chắt vật lậ quan Irọng idiốt căn
phiài biẽt, đòiiỊ) thời Iránh dùny nhiều Inán học và mô tả rườm rà các văn đề khỗng
plìiục vụ trực liếp cho mục đích đặt ra.
Chủnthíác nật lý càn th iĩt vho các cân bộ sinh học, địa chẫl học mn(j nỉiư các bác s ĩ ở

nưcớc ta, (jỉúp các bạn đọr tiày cỏ ( Cr sở đề lỉíp thu các íhành ìựu mới trony ngành
cửai minh và như vậy thúc đỉÌỊỊ sự iiin bộ khoa học k ỹ thuật trony nước.

Hà nội, nyày 2 iháiìỳ 3 nỡm 1977
Nhà xuất bản K hoa học TÀ kỹ th aật

3



PHẲN I
CÔNG CỤ T O Ẩ N H Ọ C

CHUỖI VẰ ĐẠO HẰM. HÀM LŨY THỪA,.HÀM Mũ VA HÀM LỔGA
í

1.1. Hàm biền d ièn bằng d& thị. Người ta nói rằng một đại lượng y ià
m ộ i h à m biến X Irong khoảng (o, b) nến nh ư nó hoàn toàn được lác định đối vời
m iọi giá trị của X nằm giữ ă a và b.
N gười ta nói m ột hàm là liên íục trong khoảng này nếu la luổn luòn có thễ
Uim đ ư ợ c m ộ t gia số điỉbé à x '-ủa biến sao cho gia số tương ứng Ay của
hàm
(Có giá trỊ tuyệt đổi b('ỉ hơn mọi đại lượng B lẩy trư ớ c bé
lùy ý. ỉ^ói một cảch
HLhác, h à m gọi là liên tục nếu ầ y tỉẽn đén khôny càng VỚI Aar.
■ Do n h ữ n g điều kiện xác địnli m à chúng lôi sẽ trin h í)ày ngắn ịỊọn sau (sự
tlòn lại của các đạo hàm), mộl hàm cỏ Ihề biếu diễn bằng, một điròng cong nếu
tta lấy X làm hoành độ và y làm lung độ.
Người ta nói một hàm lỉén tục
Ịj(x) là đ ơ n điệu trong một khoảng

nếu tư ơng ứng yới mội giá IrỊ bẩt kỳ
của y chĩ c6 mội giá írị của X. Khi í y
rõ ràng ta có thề xem X là một hàm
của y (hình J.l). (Tuỳệt đối không nên
lẫụ lộn khái niệm hàm vứi khái niệm
nhân quả. Cố thề có Irường hợp một
9ự kiện đo bẳng .T cỏ hệ quả là một
hiện tượng đo b&ng y, nhưng cũng có
Ihề ngirợc lại, hoặc X và g là các hệ
quẳ của củng mộl sự ỉciệii).
1.2. Các loại
th ữ e toán hợe khAo n h an . Chuỗi cổng việc đầu tỉén của
ccác nhà vậl lý là xác định các định luật chi phổi cảc h iín tượng tự nhiên và biêu
ttìiễn cliúng bằng các h ệlliử c toán fìọc giữa các đại lượng khác nhau.
Một hệ Ihức loán học giữa y yfk X có thê yiếl dưứi dạng một hàm đại »6.
T h í dụ, trong quang hinh học, giữa hoành độ X của vật vả hoảnh độ y cửa ảnh
osủa vật đó có mộỉ hệ thức dạtiM
ax + b
y
cx + d
{{Mm n h ă t biín) (hình 1.2).


N hưng trong nhữ ng trường hợp khảc
hộ thức loản học cỏ thê phức tạp hơn. Thí
dụ, y có tliẽ xầc định bẵng mộl íicỉi phân
hay. một chúỗi.
Chủng ta sS nói đến cád tỉch phân
trong chươhg II.
Một chuòi là m ột t&ng gồm vỏ hạn

số hạng. Tông này có mội liướng hay nh ư
người ta nói, một chuỗi là hội tụ nếu ta
thêm mội 8Ố ngày càng nhiều các số hạng
ta ngày càng dẫn đến m ộl ị>iởi hạn xác
định nào đóT Thí dụ, đối với - 1 < x < 1,
củuỗi nhấn
1

+

a:- +

.T* + ; i - 3

. . . - |- a ;"

1

+ . . . dần đến
1 -

ÍC

Trong thí dụ này, chuỗi bằng m ột hàm đại số (nói chính xác, h àm nhỉíl
biến), n h ư n g đây là một trường hựị) đặc biệt.
N h ậ n xét í — Khi m ột chuỗi hội tụ, các số hạng dẫn đến không. Nhiưng
đây không phải là điều kiện đủ đễ một chuỗi là hội tụ. Thí d ụ . chuỗi

2

n

khòng hội lu đối vởi X = ỉ, măc dù ---- đ à n đến 0 khi n dồn đến vô han.
n
N hận xél 2 — T rong các thí dụ trên, X có mặt trong cẳc số hạng nối ttiếp
nhau dưới dạng các lũy thừa tăng. Người ta nỏi là có m ột chuỗi nguyên, B ỏ l à
một 8ự lồng quát hỏa các đa thức.
N h ậ n 'x é t 5 — Người ta chĩrng m inh rằ n g nếu mỗi 8(5 hạng cija m ộ l chuỗi
cần xót nhỏ hơn 8Ố hạng cùng hạniỊ của rnột chuỗi liộl tụ đ ã biết thi chuỗi đ m /c
■Xất J à J i ộ i l ụ ^ iliiLiiử-cố .chuiỉi-ngnyAB-t
V
y —

+ QịX ■ + +

. . . - ị- ơ a X '+ ..■

Nểu tất cả các hệ số «0. Ov «2- ••• Ob ••• đèu nhỏ hơn m ột biên xác đ ịn h M,
Ihì các sổ hạng của chuỗi này nhỏ hơn các số hạng của chuỗi nhân :
M
l — X

6


C huỗi nàv hội tụ khi — 1 < .r < 1. Như vậy chuỗi được xét cũng hội tụ, ít nhất
tlà đối V(VÌ lấl cả cảc giá trị của X Iiằni Irong klioàng (— 1, + 1).
Khi nói đển lích pliâu hay chuỗi đối vửi mỗi giá trị của X la có thề tinh
<được y với bao Iihièu số thập phân tùy ỷ. Nhir vậy y có thễ xem lA hoàn toàn
tđã biét, cGng giống n h ư — hay V2

là hoàn toàn đẵ biết, mặc dù ta không thề

-viết đ ă y điĩ tât cả các số thập phân.
1 . 3 . Cte b in g gỉA tr ị bAag tó . H ỉện hflr« h ậs. P hép aội tv ỵ ta y ể a tlnb .
Ngirợc lại, cỏ những trirờng hợp do không lim được hệ Ihức loản học giữa y v h x
biêu diễn định luẠt vật lỷ, ta chỉ có thế đưạ ra các giả trị của y Ihii được bằng
'thực nghiệm đối vứi inộf số giá trị của X. Khi ấy ta chĩ biết y một cách không
hoàn toàn, với mộl số số thập phân. (Thí dụ trư ờ n g hợp hệ thức giữ a áp suăl và
thô lícb cùa mộl chăt khi thực, không lỷ tường, ờ nhiệt độ không' đối).

T ro n g trirờng hợp này, cũng như (rong Irường hợp hệ thức toán học khỏng
phải là m ộl hàm đại số đơn giản, hàin y{x) troưg thự c hành đư ợ c fhề hiện bằng
một bảng các (jiá irị bằmj sô. Bảng vói lối vào đơn giản có dạng như dưới đây
(hàm y — exp .t) :
X1

1.0

1,1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

y!

2,718

3,004

3,320

3.669

4.055

4,482

4,953 5,474

1.7

1.9

1.8

6,050 «,686

T h ư ờ n g người ta dùng bảng có hai lối vào, thí dụ n h ư bảng sau đây (vẫu
h àm t r ỏ n ) :
Bảng các yiá trị cùa exp X
0

1

2

3

4

0
1,000
1,350 1,492
1,105
1,221
l
2,718 3,00ỉ
3,320 3,669 4.055
2 7,389 8,166
9,025 9,974 11,023
3 20,09 22,20 24,53 27,11
29,96
4 r)4,eo 60,34
66^69 73,70 81,45

5

6

7

8

9

1,649
4.482
12,182
33,12
90,02

1,823
4,953
la.HKỉ
3«,(>0
99,48

2.0Ỉ4
5.474
14,880 .
40,45
^ 0 9 .9 5

2,266
6.0S0
16,445
44,70
121.51

2,460
6,686
18474

49,40
134,29

Chúng la giả Ihiết (đảy là trường hợp lống quái) rẳng tất cả các giá trị của
biến X đ ư a vào bảng lăng Iheo cẩp số cộng và khoẳng òiX giữa hai giá trị kế tiếp
nhau khá bẻ. Đối với tất cả cảc hàm ỊỊ gặp trong thục tế, các hiộii s6 At/ giữa
các giá trị tương ư n g kế tiếp n hau thay đôi m ộl cách đều đặn. Sau đó ta có thễ
xét các hiệii A^// g iữ a các hiệu kế ti5p nhau n h ữ vừa nỏi. Người ta gọi n hữ ng
hiệu này là Mệu th ứ hai. Sự biốn thi 'n của chúng cũng đều đặn, liếp theo ta lại
có thề lập các hiệu th ử ba và cứ thế ého đến khi nào cần dừng lại, các giả trị ban


đ i u của y ta khỏng biết với đ ìy đủ cár số thập phân. (Chẳng hạn, trong bảng dirởi
đây
chi biết với sai kliác í),01).
X
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

f/

Ay

A*y

A*y

20,09.
_
)2 ,1 1
•
'22,20 {
>0.22.
) 2 .3 3 (
>0,03
24,53 c
> ,2 r<
)2 ,5 8 (
> .0 2
2 7 . 1 > , 2 7 (
)2 ,8 5 (
>0,04
29,96
> 0,3K
> 3 .1 6 /
3 3 .1 2 /

Nói chiing, lỊiỗi -băl Ihường trong sir biến thién đều đặn cùa các hiện cho
phép ta phảt hiện một sai lầm về íính toản trong việc lập bàng.
Khi ỊỊ là một hàm /uyế/ỉ tinh , đối với cảc A;i bẳng nhau, Aị/ luôn luòn bằnnhau. Cảc Csĩy, A®y v.v... đèu bẳng không.
Khi ỊỊ \k một hồm bậc hai (parahỏn), các Ay biến thiêu theo chuỗi C(>n^,
các A*y bẳng nhau, các A®ỉ/, A*y v.v... bẳng klỉông.
Trong trư ờ n g hợp tông quát khi giá Irị ciía X kliỏiiiỊ Iiẳin trong bàng, Iiliưng
Qgười ta Um đựợc một giả trị ar, hơi n hỏ hơn và một giá trị Xn^.1 ho-i lởn hơn, tlii
bftng p h é p nội suy iuỊỊÍn tinh, ta có thề linh được mộỉ giố trị gằii đúng của y :

?/ - y- ^
* — -Vm

- y. ^
— ÍC„

Ax

Bftng đỉ^ tbị, điều này cỏ nghĩa là đường cong biêu diễn y{x) được thay
bẳng m ột đoạn thẳng liíiố, mả hai đầu có cảc tọa độ là 0/n, *„) và (f/n+j. *n^ị)
1. 4. D«o hAm của Hột h*m. Đạo hàm của hàm ịỉ{x) tà giới hạn của
ăx

k h i A® ỉiển đến khòng, Chúng ta luôn luôn biỄu thị đạơ hàm bẳng kỷ

hiệụ

:
dx

T rôn đồ Ihị là độ đổc của tiếp íuyến cỉia đường cong ò điễm (ụ, x).
dx
N ể u đ ơ n ỨỊ của X và đơn vị của ụ được biìu diĩn Irin đò thị bằĩìỊỊ cùng một
đứ dài, thi

8

ÌẮ.

dx

= t :a (õt là góc lạo thành giữ a liếp tuyến và tru c X).
\


Mộl hàm là liên tục khi Ay tiến đốn 0 đòng thời
•vởi A.r. T rong loán học người la chửng minh rằii'’,
trải với đièii mà ngirời la có tliồ tiicrng d ự a trèn
*sự biẽu diễn bằng đò tliỊ, m ột hàni ]ién tục cỏ Ihê
không có đạo hàm. Ta sẽ chứng minh điều đó bẳng
một thi dụ.
Ta xét hinh tròng nghiêng của một ngọn núi.
Giả sử y là độ cao của một điỄni, X là hoành độ cùa
nỏ, ỉ/(.r) có thè biền diễn bằng một đường cortg, nhưng
đ ó chỉ' là m ộ r sơ đò lliỏ S(»' của thực tế lliậl rff phức
lạp hơn nhiều. Tùy (heo chúng fa xét ở m ức độ nào,
m ứ e độ của ngọn núi, của quả đòi, cỉia ỉiiổng cày, của mỏ đất, hay của hạt cát v .v ...
ta sẽ có một cấu trúc ngày càn^’ tinh tế và một tiếp tuyến ngày càng biến đồi và
kém xác đỊiih.
Sau này chụng ta sẽ bỏ qua loại khỏ khăn này.
Bẳng trực quan, ỉa có thê thấy rẳng tùy tlieo đạo hàm là dương, âm hay
bẳng khỏiig, mà hàm là tănịí, giảm hay không đồi. Các Iihà toán học thấy -c à n
phải chứng minh điều đó, nhưng đấy là một công việc rẵt tinh vi của tri tuệ^
|chông bô ích và cũng khòng can đối vởi nhà vật lý.
Đạo hàm của đạo hàm cùa một liàm gụi lá đạo hàm căp hai của hàm ấy.
CỈ^1]
'
Ngữời fa biều diễn đạo hàm cấp hal bẳiiịí ký hiêii — ị(l^ ờ lử số vi nó cố lièn
quan vứi một hjệu (hứ h a i ; còn (ỉx^ ở mẫu số vi la đã hai làn chia cho hiệu dx)1.5. T in h Biột tAì d«o h*M ámn g iảa.
1“)

í/ = **
Ay = (x + A.t)* —

ma 2x. Ax + A;t'^

- ^ = 2 x 4 - ủx
Ax
Giới hạn khi ă x “ ►0 của

Aar

(ỉx

2x.

Ta sẽ lính nhanh hơn nếu suy luận trực liếp trên các số hạng vỏ cùng bẻ
vả 6ỏ qua cáo vô cùng bé có bậc lớn hơii so với số hạng chinh :
dy ■= (x + d.i'Ý — x'^ = .1'^ + 2xdx + dx^ —
Sổ hạng chinh là 2 x .d x (không phải là sổ hạng chửa các .r*, 8Ổbạng này
bẳng 0). Nliư vậy la bỏ q u a sổ hạng chửa (í.r* và viết ngay :
(iy = 2.vdx
d x và dy được gọi là 1'i phàn của X và y. Cách tính toán n h ư vừa làm nằm Irong
cơ sở của phép tinh là phân.
9


2*) y = íin x (x lính theo radian)
y + fiy *= sin (.f - f dx)

= •in.T.cosda; + cos.i'.sinda:
d x là'VỎ cùng bé, cosí/.r s= 1 và sindo' = (ìx,
dy = c o t x . d x

và

dy = cosa:

dx

3Ĩ

3*) Nếu ta Ihay X bằng X H— — :

= cos
d

+

2 .

d (cosa;)
dx

Hinh 1.4

— — sino:.

i.6 .
c*e đ in k lỷ tồ n g q«*t Tè đ«o h im . T heo

rõ ràng l ả :
!•) Đạo hàm của m ội tòng đại »6 cảc hàm ỊỊ mzx u + V
c& cđạohàm .
d ỵ _ d (ụ + V — w)
du
dv
dx
dx
dx'
dx

cbính định nghĩa đạo hàm
— IV b ằ n g tông đại số
dw
dx

2°) Khi ta nhân-m ột hàm TỚi một hằng số, đ ạo hàm đ ư ợ c n h ân với h&ng

tố ấy.
d iay)
đx

a

dx

3®) Nếu u và ỉ; là bai hàm cùa X, đạo hàm của tích uv l à :
d {uv)

_

(u + dii) (p 4- dv) — uv

dx
dv
ti ^
dx

4’) Nếu u Tà

clx
du
V
dx

là íiai hàm của a-, (ãạo hàm của th ư ơ n g — l à i
V
Ị u j
u + du
u~
V
d u.v — udu
'V -f- dv
dx
dx
v^dx
du ~ u di>
-----V
dx
dx

p

10


5”) Đạn h à m của một hàm của mội hàm .
N íu y là m ột hàm của u và u lại là m ột hàm của X, la c ỏ :
dy
du
du ‘ dx

í/y
d.v
T h í dụ áp dụng:
1) ị; = aa-2 +

+ c

dx

2) 0 = 9* cos (u)/ + cp)
dO
dt

= 2 u x .+ b

(0m. 0J và cp là các hẳng số)

~Q

[cos (gj/ + (p)]
(I (<!)/ -|- (Ị>) .'

"

d ((u/ + (p)
dl

= — 0„ (usin (w/ 4- (p)
1.7 . Cdng th ứ e T a ỵ lo r. Đạo hAn của
chadỉ n gn j«B . Cho một hàm y{x'ị
có đạo hàm lởi cấp vò hạn. (iọi //’ (.í), y” (.v)..., y ‘”’(a) là các đạo hàm kế tiếp
nhau. Nếu tất cả các đạo hàm đều lù f»iói nội Irong khoảng (a, b), ta sẽ chứng
minh rẳn g Irong khoảng nàv ty (.r) có thê biÊu diễn d ư ở i dạng một cĩĩuỗi gọi là
chuỗi Taỵlor:

y (■>■) = a (») +

II' (“ ) +

- ~ °

+

y '“

n I

~

w

+

...

(la n h ớ lại rằ n g / ì ! => 1. 2. 3... (/ỉ — l ) . n
=» g ia i th ừ a ciỉa /ỉ)

Vi tắt cả các
{-a) đều bị chặn IrOn bời một sổ hữu hạn M, chuỗi Taylor
sẽ hội lụ. T h ự c thế, giả sử cho một số nf?uyên p lởn hơn (x — a ) . {p — 1) số hạng
đàu tiên của chuỗi T ay lo r oó một lồng hữu hạn. Các số hạng tiếp Iheo là:
X —a
y < i » ( a )

+

-

- -

(a ) +

^

p + 1

pĩ

. . .

(/>+1) (P + 2 )

Ta chỉ cần chứ ng m inh rẳng chuỗi nẳm Irong móc vuông hội tụ là đủ. Thế mà các
SỐ hạng của chuỗi nàv đều nhỏ hơn các số liạng tương ứng của chuỗi nhân :
M +

^ ~ ,5 M +
p

chuỗi này hội lụ vi

p

M + ( \
p

I

X*
ữ
--------< 1.

11


/

Nếu (I »«= 0, chuSi T aylor Irở thành m ột chuỗi nguyên cùa a;, đôi khi ị^ọi

là chuỗi M acỉauriti:
y (a) = y (0) +

1 ĩ -

y ’ (0) +

y” (0) + ... +

2!

í

nĩ

Thi dụ:

(0) + ...
/

~2
bosa- = 1 ---- ^

•v^
----- 4*:-------h
+ ...

x-3 , aS
X — —----- ^ — -------------- + ...
31

5f
7!

sin.r

Các chuỗi này hội tụ đối với mọi giá trị của .T.
Người ta chứ ng m in h rằn g khi lấy đạo hám một chuỗi nguyên hội tụ Iheo
từiig sổ hạng, ta sẽ thu đ ư ợ c m ột chuỗi nguyên hội lụ (cỏ Ihề chỉ t r ừ c các cụn
của khoảng hội tụ) là đạo hàm của hàm ban đằu.
T hí d ụ :
y

=

_

J

--------

e :

1

a- +

.r*

+

.a-3 +

...

+

.r “ + . . .

-1 < a : < + 1

dy
.
dx

-

—
(1—a r

=

1+

2 .1 - +-3.t2

+ ... n.r

1.8. Hàm x" Tóri n btft kỳ. Ta có Ihê m ờ rộ n g kỷ .h iệu m ũ
X . X . X... X = X'“

n lần
I
m__
bằng cảch rfặt —— = .x"“ và V x = a: "
Khi đỏ thực tể ta tiểp tục th u đư ợ c các qui tắc cơ bản :
a-p. x ’ =s
a-p

/
TỞi điều kiện qui Jcrớc a'“ ss 1.

a-P-1

ýa'P = X

Tấl cả các số đêu cỏ Ihế lấy gầrt đủng ▼gri mọi độ ch ín h xáé m o n g m uốn
bằng mội phân 8Ổ thập p h án . Ch&Dg hạn 3 t:
Găn đ ú n g cấp một
X'

Ĩ2

X'


31

Găn đúng cắp hai

10

V X**

X

Gần đúng iă p bn

314
100

3t r=

x ’‘ =

ÍOP,____

Vx5»*

và cứ Ihế tiếp lục. Tá chửrig m in h rằng ta tiến đ ế n m ộ t giởi h ạn hoàn toàn xác
định bằng x ^ .
Đạo hàm của o:° theo X l à :

Người la ch ứ n g minh và chúng la sẽ thừa nhận rẳng công thức trèn cỏ hiệu lực với
mọi n nguyền h a ự k h ô n g , dươĩìỊỊ haịi ám.
Trên h ìn h 1.5 là dáng điệu của y = * “
đối vóri các giá trỊ khác n h a u của n.
ờ điềm .T = 1. y = 1 , độ dốc củ«
tiếp tuyến bSng n.
1.9. H*in mtt. Cho a là m ộl sổ dircrng
khác ỉ, hàm
y = <1^

đ ư ợc gọi là hàm inũ. Khi X íăng những
lượng bằng nhau r, hàm m ũ m õi iàn lăii<»
sê đưực nhân lèn v ớ i
;
y{x + /•)•= a**' r= a ' .

ss y (a ) . a'

Nói khác đi, nều X tăng thrn chuỗi
cộng, hàm inụ a* sẽ lăiuỊ Hiro chuỗi nhàn.
Bạo hùm cìia hùm m ũ
là :
d(«*) _

— n* _

dx

dx

Hinh 1.5

a‘ f l d i _ 1
dx

C.A’'

c là m ộl hằng số nào đó khòng phụ Ihuộc X và b ẳn g giá trị cùa đạo hlim ả X ^ (h
(C không thê bẳng khỏng hay vò hạn, nếu khỏng thì h à m niũ luỡn luồn có đạo
hàm, bẳng khỏng hay vò Iiạn, một điỄu vỏ lý).

Như vậy các đạo hàm k ế íiếp cna «/(.».•) = n* sẽ Jồ :
!/• (.r) =

c«*.

(a) =

c*a* ...

y"(x) = C" . a*
13


và, theo công thửc Maclaurin :

là

Chủng ta hãy tim xem có một giá trị đặc biệt nào của a, m à ch ủ n g la sẽ gọi
đê cho c » 1:
..n

lĩ
Khi X

21

'

31

■■■

nỉ

1:
e

2 .7 1 8 2 8
II
21 ■ 31
n!
N hư vậy hám e ' hoán toàn giống các đạo hòm kẽ itểp của n ó :
d (r * )

_

fi*(e*) _

(ix

rfx*

d^{e^) _
t/x*

Bôi k h i người fa cũng viếl :
Mộl bẳng các giá trị bẵng so ciỉa
Maclaurin đối vời ('*, ta Ihăy rằ n g ;

= exp(x)

cho ớ ỉrang 7. Nếu thay X b ẳ n g C x Irong chuỗi
Qi

pCx

(sau nàỵ ta sẽ thKy rần<Ị c = Logo)
Khi a > 1, rt* là một hàm tăng của a: Tà c > 0. Hàm này tăng n h an h h ơ n b:'it kỷ
lũy thừa hữii hạn nào của .T, nghĩa là nếu M và /í là hai số cho trước lớn tùv V
nhưng cố địn h , la luồn luôn cỏ thè tìm đượ c m ộ t giá trị của X m à ngoài giá
trị đ ó :
a* > Mx"
Chún,' ta sẽ Ihừa nhận kết quả này. T ưưng tự nliư vậy. nếu a < 1, a* sẽ giảm
nhanh hơn bấl kỳ IŨJ' thừa hữ u hạn Tồ âm nào của X.
Hàm e* tảng từ 0 đến o» khi X thay đôi từ — o« đến + oo. Vởỉ ÍC = 0, hám
cú giá trị bằng 1 và đạo hàm cũng bẳng 1 (hình ỉ . 6).

1.10. Hàm lồ |« . Đỏ là hàm ngirợc
cùa hàm mũ.
Cho:
«/ = «*
X là lôga của y với cơ số a. Ta viết

X = log, y.
T rong thực tế người ta chỉ dùng hai hệ

lôga:
r /ữ y y

Hình 1.6 - Hàm mũ
14

— hệ có cơ số 10, gọi là ỉôga thập
phân, hay Iôíja thường (lo g ):
— hệ cỏ cơ sổ e ^ 2,718..., gọi là
lôga fự nhiền h a ỵ ỉôgarit népe (Log hay In).


Ta có thê v i ế l :
X

Đặc biệt, khi X = 10, log.t’ = 1, và
10
=
= g2.30ĩ6,„
ỊQlogx _

p0*3026.log* _ gLOgi

L o g x = 2,3026 ... log*.
Bặc biệt, khi a: = e :
Logí> — 1 = 2,3026 ... ìoge
logc = — - 1 - — - 0,43429...
2,3026...
- loga: = 0 4.')429 . Logx
Bẳng m ột cách tư ơ n g tự người ta ch ử n g minh l i n g
Logo
Tắt cả các hệ lôgá cliỉ khảc nhau mí>t thừa sò khống đối.
Dù cơ s6 đ ư ợ c d ù n g là n h ư thế nào, k h iia nhăn hai số, lôyn của chủng dược
cộng lại. K hi ỉa chia chúng chn nhau, lô(ja của chúng trừ nhau.
Theo đỊnh n g h ĩ a :

II =
V=
w . ỉ; = «>•8.'“»)
Hoặc theo quy (ắc n h ản cảc lũy I h ử a :
u .v =

log.(u . V) = tog.ỉ/ + log.p
Ngưửi ta đã ch ử n g m inh :
log,

Ị = log. u — loíỉ, o

1.11.
Đạo h*ni c ù a h*m Idga. Cho X » e^. Ta dã thỉíy r&ng đạo hàm của
hàm mũ nảy chinh là n ó :
dx
di.I

Nếu fa xem 1/ n h ư lả hàm của X, la v iít i/ = Log.r. Lộn ngược tỷ số
nói trên :
dx
lõ


Đổi TỚỈ lổga c a số <7:
d(log.a;) _
dx

d(Logg:)
dx

I.
Logo

ĩ
.T. Loga

Ta biều diễn hàm y = logjoa- (rên hlnh 1.7.

1.12. T h v ớ c tinh. Chủng tòi coi là bọn đọc đ ã quen với cảch viết, tlií dụ :
i V - 6 ,0 2 x 1 0 ”

thay cho
N = 602.00().000.000.000.(M)().000.000.
Ta có thê đi xa hơn và tim lôga thập phân của 6,02. Vì 6,02 nằm giữa 1 và
10, cho nên lôga cỗa nó Dẳm giữa 0 và 1. Tfl Um th ấy :
log 6.02 « 0,78

‘

Ta sẽ v i ế t :
N = 10*2-78
23,78 là lốga thập phân cua N ; 23 là phằn nguyén hay p h ă n đặc tính ; 0,78 lố
phồQ íhập phân hay phằn định trị. Nễvi s6 bẻ b ơ n 1, ta lẩy phần đặc tín h âm đc
cho p h ần đinh IrỊ luôn luôn dưcrng.
n = 0,00602 = 6,02 X 10‘* - io-s+0.78
Ta TÌÍt log/i

— 3 + 0,78 a= 3 7 8

........V ' • '
1 -..
Ỉỉ • ...................' ‘
«/ Ì j /,« •'«/ ,ịt ỉr

í-*

ĩ » l' :
♦
/ «
/, * Ỷ r "

;’ / 7 ? )

Hỉnh 1.8

•
Noi chung. TỞi m ức độ gần đúng đủ dùng troiig vật ỉý học, p h ầ n định trị
đ v ợ c tìm bẵng Ihưởc tinh (hỉnh 1.8). Khi đặt vạch của con chạy trê n thang iV, ta
đọc đ ư ợ c lòga tbập phân tư ơ n g ứng írén mộl thang k h ác (th ư ờ n g đ ả n h dấu L)
16


Thước (Inh là dựng cụ khỏiig thề thiếu đưọfc đối với những ai thường cần
phẳi tiến hành cảc tỉnh toán bẳng số. 'lìến h àn h thận trọne và nếu con chạy tốt
(vạch đúng là vuông góc vrVi các thang, không có sai sổ vè thị sai), ta đạt được độ
chính xảc ]/I 000 với một th ư ớ c tinh liôii ch u ần ,(g iữ a 1 và 10 của Ihang N là 25 cm).
T rư ớ c hểt, chung la hãy LỊÌà tliiếl rẳng ta chí rần làm việc vởi những sổ
nẳm ị.ỊÌữa 1 và 10.
T rên (hang lôga, độ dài k(' từ í^ốc tỉ lệ với log N. Nếu Irên thanh di động

của thước tin h , la lập lại m ộl thang logiV giống hệt, ta sẽ có thê cộng hai lôga
vởi nhau b ẳng cách đ ặt chúng tiếp liồn nhau. Ta làm cần thận cổng việc này,
n h ư n g ía sẽ chĩ xem đến các số liiơiig ứiv; đ ư ự c nhân vởi nhau.
T rên bờ d ư ớ i của th an h di đụng thang N qiiả thực được lập lại. Đề linh
một lích a X b, ta đ ặ t 1 của thang di động đối diện với a của Ihang N và đọc
a X h ở chỗ đối diện với h của Ihanh di động.
Ta có Ih ề đ ò n g thời làni p h rp nhàn và phép chia (nghĩa là qui lẵc lam suất)
^ ^ ^ bẳng cách đặl c của thanh di đòng đoi diện VỚJ a của thang cò' đ ịn h N. 1
c
của th an h di động k h i ấy n ằ m đổi điệ'ii với — . Ta đọc —
■■■ Ircii Ihang cố định
c
c
ĩr chỗ đổỉ diện vởi b của thanh di độn
x ế u đánh dấu đièm này bằiig con chạy,
ta có thề linh ^ ^
X — bằng (.'ácìi líii cho thanh di động dịch rliuvrn và cứ như
c
e
lliế tiếp lục.
Nếu m ẫu sổ cỏ số th ừ a sổ bằng số Ihửa số của fử só. dùnịỊ Ihaiig số nghịch

đảo — , n?m ờ g iữ a thanh di động, ta sẽ kết thúc đirực tính toán.
Khi điem cần lìm nằm bèn ngoài Ihước cố định, la cho thanh di động
chuyền dịch tiếp suốt cả độ dài của nó. Khi đó tất cả các sổ cần phải nhân lèn
hay chia cho 10.
T rong trư ờ n g hợp tồng quát, khi các sổ khóng nẳm giữa 1 vA 10, lacliuyỄn
chủng sang trường h ợ p này. Thí dụ la tinh;
0,6 . 10-^ . 8,:32 . 10^ . 273
Í3. 10'^ . 8.32. 10^ . 2,73 . 1Q2

29.1032
2 .9 .1 0 .1 ,0 3 2 .1 0 3
_

1 -8 ,3 2 .2 J 3
2 ,9.1,032

_ 4 55 ỊO = 4 5 ,5

Đề biết kết q u ả thu đ ư ọ c là 0,4.');") hay 4,55 hay 45,5, cách đơn giản n h ấ t là
tinh n h ằm vè bỆic độ lớ n :
6 . 8,32 = khoảng 50
^
N hư vậy số cần tìm vào quãng 50.

= khoảng 1


ỏ ’ ph ần Irên cùa th ư ớ c có hai thaag binh phương, mội thang di động, còn
một thqng đứniỊ yên. N hư vậy dùng con chạy la cỏ thề tim binh phirơng, càii bậc
hai và đưa chúng vào trong các phẻp tinh v.v... Nhờ một vạch phụ cùa COỈI chạy,
ta có thê đọc trực tiếp diện tich của một vòng tròn, có đ ư òng kíiih cho trư ớ c, hay
ngược lại.
Các thưởc lính « Log—Log » còn có Ihêm hai hay ba Ihang đánh dấu L L l,
LL2, LL3. Ký hiệu này (kết quả cửa một qui ư ớ c quốc lế) là mội điều vô lý, bởi
vi các thang vừa nói thực ra lư ơ n g ứng vói
Các Ihang này cho
phép l a :
1) Tinh trực liếp một hàm m ũ hay một lôga íự nhiên ;
2) T inh mộl lũy th ừ a bất kỳ rt" mà chỉ cun dịcli thanh di động mộl lăn. Ta

đặt 1 của thanh di động đỗi diện vứi a đ()c trên một trong các thang L L . Số cììn
tim a" nằm đối diện vởi n của thanh di động Irên cùng Ihang LL.
1.13.
lfiy thừa

Cáe tọa độ lAga T* b án lAga. Giả sử la can bíeii diễn bằng đò thị liàn
y = ax”

Ta hãy đặl Irên trục hoành và trục tung không phải a’ vá ỊJ, nià là log ,r và \o(jụ:
ỈO H Ị =

l o g n - |- /ỉlo g a r .

Với các tọa độ lò ;a như vậy, đường biêu diễn Irử thìinh mộl đường Ibẳn g.
Ngirời tà cỏ bán yiăy kẻ ô ìôga, Irên đỏ X và f/ đirọc đặl ờ các khoảng cách
kề t ừ gốc theo thử lự, lirơng ửng ti lộ với lo g x và iogy. N hư vậy (a có IhỄ đư a
các điêm thực nghiệm lôn đồ thị m à khổng cần lìin lôga của chúng. Do s ự không
chính xác của các phép đo, các đ iêm không bao già nằm đúng trên đirửng toỊig
lý IhiiyỀÌ, và ta phải làm thế nào đê lập m ộl đ ư ờ n g cong khớp nhất với các đièm
thực nghiệm. RS ràng là làm khớp một đ ư ờ n g Ihẳng thi dễ dàng hơn nhiẾu so v(Vi
việc làm khớp mộỉ đườn-,' cong lũy th ừ a (chủng la sẽ nghiên cửu vấi) đề này trong
chương IV).
Cuối cùng, nểu biết X, đề tim y, la chl càn đọc giá trị trên đồ thị m à khỏng
cần chuyên qua các lồga.
..............ì à m ìĩil địi '(hliih' ĩ
cKuiĩg ìã'R ãỹ 'x tT đ ũ tmg cõĩig' b ĩrũ 'đìễh' mỢf ỉ hộ
8Ố m a sál » nào đỏ trong mộl ổng tiếl diện tròn với các (hành trơ n xem n h ư irộ l
hàm của csổ Reynolds » Re nồo đó (§7.10). Tưưng ứng với hai định lu ật có hiệu
lực kế tiếp nhau Ằ = a.He~^ và X = b.Re~°'^^ là hai đường thẳng cỏ đ ộ dốc — 1
và - ơ , 2 5

Đ i b i ê ụ diễn bằng đồ thị một hàm m ũ, thí dụ :
y = y , . 6-*^*

18


ầ đặt X trén trục hoành và ỉogy lièn Irục tung đề thu được một đường thẳng.

logy = lo^ị/^

/.•.0,434:K x

í —
^--------ị- -M-- tr11**-T-tn Trrmt** ^ fTT^ t -T-v -------------r

ĨỊr ỉí:r :n ị# |p |Ìĩ|ÌS ||Ẹ M ;:;Ị::^ ^
_ _J_ - - Ạ. . I L I I I -udlLilI im Iiiilĩii .■;l1IÌ!111ì iII, . ỉỉ 1.r 1 ,L —

/

,

ư

\w^

2 ,5

J

J .5

^

^ .s s

mW^

s

7

õ

s

f

'>Ĩ0*

1 .5

2

T
,

mỉO^

Iltnh 1.9

Nhờ sử dựngíyiđy kè ò bàii ỉòiịO, viỳr Ihục hiện các phép lính kliâc nhau đã
[hảo sát trên đây sẽ dễ dàng hơn. Đv' làm Ihi dụ (hinh i.lO) la hãy xét đường
ong phân rã của mộl chấl phóng xạ (§33.3):
/ỈỈQ. V - X t

m =

ữ

ỉ

ĩ

3

4

5

s

r

d

$

10

lĩ

ít

lì H

ts

te

Hinh MO

19


1 .1 4 .

V i

p h A n

lAga. Đạo hàm của Log

theo X là

u

d(Log u)
dx

:

u

Vi phán của Log u lả :
d(Logu) =

u

Đặc bíệ(, nếu u e= ỉ :
d(Log u) = Log(l + du) — Log 1 » Log(l + du)
N hư vậy ta c ó :
Log(l + du) = du
Cho m ột đại lượng e đủ bé đối với 1 đê cho 8^,
Ihê xem nổ n h ư một VI phán (ỉu và v i ế t :

v.v... có thề bô qua. Ta c

In (1 4- e) ^ (dấu ===•' có nghĩa qằn bầny)
Bây giờ chủng la x é t:
log

= a Log.l + pLogíí - ỴLogC — ôLogD

Vi phán là;
dA

_
-

"

- /ị

=

«

—

, „ (ÌB
+

.1

dC

p —

li

. (ÌD
- 1—

c

D

Ta gọi nó là vi phán lôgacủa Ả*B*iC^D^. Vi phân r ấ l có ích Irong việc íhực hiệ
các tinh toán gàii đúng. Giả sử A^B^/C^D^ đã đưực lính và có giá trị F. Ta lại gi

thiết rằng A Ihay đôi một lượng AA, B lượng A/í, v.v... Nếu A a t)é so với .1, Ai
bé so với
la có thề viết:
AF
F

'

a

AA
A

-T Ị:-

+

„

p

_

B

C

AC’

Y

--------- ô

, AD
D

Hệ thức này cho phép ta tinh giá trị mới F + A F nhanh h ơ n nếu th ự c hiện cá'
phép tinh vỏri (A + A.4)“ . (tì + Aií)P/(C’ + AC)1^. (D + AD^*-

B Ằ i.:rẬ p
M - Công thức cùa cảc thẵu kính mỏng trong găn đúĩìg Gauss viết dư ới d ạ ng :

p

^

p' "

f

(lăy chiỄu của tia sáng là chièu dương và l ă y thẫu kính lả m gốc)
Chửng minh r l n g p' Jà IDỘI hàm nhăt biẽn của p- Vẽ d ư ờ n g cong biều diễn. Viễt ỉn
thửc giữa p và p' dưới dạng i p - à) ip* — 5) = c (a, b, c lừ cảc hằng số).

20


12. Vẽ Irèn cùng niột đỏ Ihị cảc điiòng cong l u ơ n g ửng vởi cảc phẻp xác định khảc
ihau của
s in x = siny

1.3- x ẻ t c u n g c ủa đ ư ờ n g siiỉ Ị/ ~ siìU' tíiừa X = 0 và X' — I t .

a) Vẽ cu ng n à y tr ê n g iá y kỏ miliiiiél, lity õcm làm đ ơ n vị, Ta sẽ sủ (iụng các giả trị
_

7Ĩ

Ot

27C

r>OĨ

ủá y ửng với X = 0, — . — » — . ---- » ----- ,
6
3
2
:ì
6
áv-

và cảc giá Irị cúa đạo hàm t9Ỉ cảc

b) Tim ph irơ ng triiili CAiỉi đ.rờn g paralỉùn đi q u a hai đ ău và đĩnh của cung này, giả
ừ

là

1-4. T h ừ a Iihận r ằ n g áp suẵt p ( ttíiiòtplie), n h iệ t độ
(m) liên hệ với n h a u b ằ n g các hộ thức sau đíiy :

p =

v à mật ílộ

ở độ cao

p « ! U7.-Ì,
------------3:>ỉ

ỉ»4
( 2)
~ 0.9ÍỈ .

. p

(3)

dz

a) Dùng (1) và <2) tinli r á c iiàni pỌ) và ọ(l)' BiỄu diỗn chúng bằng các tọa độ lôga
b) Tínli

, sau iló (lùng (.‘D, linh - — ,

dt

d:

I.õ. Tinh giá tr ị gììii đ ú n g của iògLi thập phi\n và lôga tự nhiẽ n của 10,5 không dừng
ảng hay thư ớc linh.

II

T Í C H

P H Â N .

P H Ư Ơ N G

T R Ì N H

V I

P H Ẳ N

2 .1.
Tlch phân xAe đ ịn h . Trong n h ữ n g p h ầ n sê trình bày, chúng ta sẽ chĩ
ghiẻn cửu n h ữ n g hàm có thè b i ễ u diễa b&ng các đường confỊ, lỉg h ĩa là những
àin Hôn tục, có thề tr ừ m ột vài điềm ờ đó, chủng nhảy từ một giá trị này sang
lột giá trị khác Ví\ cỏ m ột đạo hàm, (đièii kiện sau này tuy vậy không nhất thiết
hải cớ) (hình 2.1.a)

Cho f(x ) là mỏt Irong những hàm nlm vậy. Chủng la hãy tìm cảch tinh diện
ch Iiẳm g iữ a f{x) và trục hoành với a ^ a: ^ ò. Ta cỏ thề lấy gần đúng diện
ch này bằng m ột tống của n hinh chữ n h ậ t ;
21


(Xj -

a) . f { Xị ) + (a-2 -

x { ) Ị{ x ị )

+ ... + (a’i -

Xi.i)Ị{x ỉ) + ...

x,=b

+ (‘In-I — h) f(l>) =

^

(.Vi — Xi_i) . f{Xi)

Xi^Xi
ta n ó i : lỗng lừ Xi = Xị đến

a ‘i

= b cúa (.Vi —

Xi_j) .

f(Xị),

Ỉ>J
Hinb 2.1 — a) hàm liôn tục l ừ ở hai đ i ề m ;
b) kbải niệm tích phân xác định.

Có thễ dễ dàng chứng minh nhưng chúng ta sẽ thừa nhận n h ư một đièu tr
giảc rằng, khi sổ hình chữ nhật tăng lèu vô hạn, bÈ rộng (và do đó diện tích) c
mỗi hình trở thành bằnr; không, lông ^ tiến đến một giứi hạn, giới hạn này
diện tích càn tìm. Chúng ta kỷ hiệu diện tich đó bằng:
x= b

í
b

f ( x ) d x hay đơn giản liơn
x=a

f{x)dx

ă

mà ta nói là tĩing từ a đến b của f(x)(ìx. Ta gọi tông của mộl số vô hạn các 8Ổ hạ
vô cùng bé là một Uch phân xác đ ạ
Phép tinh một tích phán ]
địnti gọi là phép lấy tích phàn, h
' đÚTĩg- ÌTOTTr -pỊtẻỸ xầU'phutrng.

Hlnh 2.2

22

2 .2 .
đ ịn h b á n g p h v v n g p h ấ p
iỉỉi

th a n g . Đẽ tín h b ằ n g số m ộ t ti
[ìrphân, Ihich hựp [hơn cả lồ khỏ
thay đường] cong bẳng một đ ư ờ
bậc lliang n h ư trên đây, mà bẳ
một loạt các dây cung nối tiếp nh
(hình 2.2). Nói cách khác, thay c


việc l?íy gằn đủng một lích phân bằiiị» m ột lốiig các hình chữ nhậl. ta lấy gần
đún^í lích phân đó bằnpí một tồno các hình tliang. Ta lắy các khoảng bằng nhau
cùa biến X.

và tinh

. ầx

Xếu biết mi)l Jíiơi hạn (rỏn M (vì* giá trị tuyệt đối) của đạo hàm cấp hai
trong khoảng (a, h) (kề cả cár càn ít và b), nghĩa là nếu:
đối với :

a< a

b

la c ó :

d^y
dx^

< M

ta cỏ thề líiih mộí giới hạii trên cùa sai 3Ổ mắc phải khi xem tích phận

là tổng ^

y . dx

y . Ax

a

Thực tế người ta chung minh được rẳiig :

.

12

M

Như vậv, khi y(x) là mộl hàm toán học m à ta biết cách tính đạo hàm cắp
hai ta có thê lính bằng số tich phân của nó với bao nhiéu s6 thập phân lùy ý.
Trong cảc truửng hợp khác, la có thề ưức tính aai số mắc phải khi tính lại yổri
khoảng bằng một nửa, nghĩa là với 90 hình thang nlịiều gấp đôi.
23


2 .ẵ . P h v v n g phApSim psoti. Cong th ứ c ba m ức. T hay cho việc thay đườn<»
cong y = f{ x ) bằng m ột loạt đoạn Hiẳng, trên m ột khoảng d à i la Ih ư ờ n g có thề
thay đường cong đo bẵng một đ ư ờ n g cong bậc b a: y = a.r® + hx^ + cx + d. Ta
đạt được một công th ứ c rất đ ơ n giản, nếu

xét đường cong trùng với đư ờ n g cong đã
cho ờ ;ỉ' = a, .r — h yh ở điẽm giữa X «=a

=

Sau Iiày chúng ta sẽ thấy rẳng

diện ticli được giới hạn như vậy có thế linh
dễ dànịị. Cuối cùng ta lim đirợc giá trị gần
đúng:
A =

b—a
6

M

+ ‘i r

+ í(c )

Phương pháp này gọi là p h ư ơ ng pháp
Simpspn, và cỏ thế ắ p dụng đê lính gần
đúng mộ) thê tích. Sự Ihực, một thê tích bẳng một lí^ng gồm vỏ h ạn các tát vô
củng mỏng có diện tích A(z) và có bè dày dz (hình 2.3):

V=

Ả {z). (ỉz

Nếu h là độ cao, thì một giá trị gần đúng của thè lich l à :

6

A{0) + 4A Ị ệ Ị + A { h )

Còng thức này trử nên chính xáo trong trư ờ n g hợp A(z) là m ột đa thức
chứa 2 có bậc nhỏ hơn hí>y bẳng b a : đó là trường hợp hinh n ó n , binh tháp, hinh
cầuv.v...
2 .4 .
C ách iây tlc h phftn bâng áồ th ị. T h ư ứ c đo d iệ n tỉc h . T a có thẽ th u
được một giá trị bằng số gần đúng của một tỉch phân xác đ ỉn h xuất phát từ cách
-bỉỀ trđíễQ đdlhí'.

a) Khi đư ờ ng coiig được vạch trên giấy kẻ ô vuôníỊ, đ ồ n g thời vẽ nội tiếp
trong diện tích c i n tỉnh n hữ ng hinh ch ữ nhật và h ìn h tam giác ỉớ n đ ế n mức có
thề được và cộng diện tích của chủng. (Cảch này Irỏr lại p h ư a n g pháp h in h thang).
b )C ẳ t diện tich cần đo và cân nò, sau đỏ cân m ộ t hình vuông có điện
ỉích biểt Irưởc.
c)
Dùng thước đo diện tieh, dụng cụ được các n h à đ ịa lý sử dụ n g r ă t n h iỉu
đề đo các diện tích trên bẫn đồ.

24


T h ư ớ c đo diện tích dộc cực có con lăn Irượt ngaiìịỊ (hình 2.4) loại tliưởc duy
n h ấ t dùng Irong th ự c lè', gồm một cái cần AP, đầu mút p cùa nó vẽ một đường
cong kín (C) quanh diện lích cần đo, trong khi đỏ đẫii mút /1 vẽ mộl cung tròn ( ĩ )
theo chuyền động đi đi lại lại (đi* đạl mục đioh này, A được gắn liền vởi một cải

càn OA cố đ ịn h ỏr O). Ta đọi' số Jần quay của ron lăn ỉỉ gắn chặt với càn AP và
cỏ trục quay hoàn toàn son>' soiig với A P trong Ihời gian Ihực hiện thao tác.
Một chuyên đ ộ n g vó cùng bé của AP cỏ thề phân tich thành :
]) m ộl chuyễn độriỊ* quay (giả sử là (ỈO);
2) một chuyền động lịnh tiến theo hướng của AP^ trong quá Irinh đó con
lăn tr ư ợ t ngang m à không q u a y ;
3) m ộl chuyền độnLỉ lịnh tiốii vuòng góc vứi AP (giả sử là dh).
Diện tích quét bởi cần AP,
trong chuyên độiiL; vò cùng bé này
cụ thề là
‘Ịạcli chí'o Iròn hinli
vẽ, cỏ giá trị đại số bằng;
(ỈS = A P . CỈA +

1

Ả P 2 . ưe

(diện Uch của lam giác cong vỏ
cùng bẻ cẩp hai P P " P ’ có Ihề l)ỏ
qua).

VÍ
'Côniõỉt hưđtfĩỹanỹ

Cũng trong thời ịũan cùa
chuyễn động nói trên góc qnay ciỉa
con lăn có giả (rị đại số b ẳng:

ĩròrtỹ chiữ đS

Da ẴÌÍh co

Hlnh 2.4

doL = a . d h -{■ b . c/6

(a và h ỉà hai hằng số đặc Irirng cùa thưức đe diện tích).
Khi p vẽ đ ư ừ n g cong kín (C), A khổng vẽ vòng tròi) xung quanh 0 ;
’ í/0 = 0

Diện tích loàn p h ầ n quét bải cỗn A P là ;
j(/s =Ã P. Ị

dA

và góc quav của con lăn là:
ot =

da = a .

dh

25