Luận văn ánh xạ không gian và vài nét về cấu trúc hình học của không gian banach

B Ộ G I Á O D Ụ C V À Đ À O TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

NG UYỄN HỮU DƯƠNG

ÁNH XẠ K H Ô N G GIÃN VÀ VÀI N É T VỀ C Ấ ư T R Ú C
HÌNH HỌC CỦA K H Ô N G GIAN BANACH

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C

Hà Nội - 2015


B Ộ G I Á O D Ụ C V À Đ À O TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

NG UYỄN HỮU DƯƠNG

ÁNH XẠ K H Ô N G GIÃN VÀ VÀI N É T VỀ C Ấ ư T R Ú C
HÌNH HỌC CỦA K H Ô N G GIAN BANACH

Chuyên nghành: T o á n giải tíc h
Mã số: 60 46 01 02

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C

Người hướng dẫn khoa học: T S . Trần Q u ố c B ìn h

Hà Nội - 2015

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS. Trần Quốc
Bình. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình
hoàn thành luận văn này.

Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy
cô giáo trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡ
chúng em trong suốt quá trình học tập tại đây đồng thời, tôi xin cảm
ơn các bạn trong lớp cao học K17 Toán Giải Tích đợt 2 đã nhiệt tình
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp.

Hà Nội, tháng 8, năm 2015
T ác g iả

N guyễn H ữu D ương


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Trần Quốc Bình.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừ a thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 8, năm 2015
T ác g iả

N guyễn H ữu D ương

M ục lục
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

ii

Mục lục

iii

M ở đầu

3

C h ư ơ n g 1. K iế n th ứ c c h u ẩ n b ị

6

1. 1. Các khái niệm về đường kính

6

1 .2 . Tính lồi

7

1.3. Cấu trúc chuẩn tắc

8

1.4. Không gian liên hợp và tính phản xạ

8

1.5. Tôpô yếu và tôpô yếu*

9

1.6 . Một số tính chất cơ bản của tôpô yếu và tôpô yếu*

9

1 .6 . 1 . Tính chất 1

9

1 .6 .2 . T ính chất 2

9

1.6.3. T ính chất 3 (Định lý A ỉaoglu’s)

10

1.6.4. T ính chất 4

10

1.6.5. T ính chất 5 (Định lý Eberlin-Sm ulion)

10

1 .6 .6 . T ính chất 6

10

1.7. Nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co

11

1.8 . Tập bất biến

11

iii


IV

C h ư ơ n g 2. C á c đ ịn h lý cơ b ả n về á n h x ạ k h ô n g g iã n
2 . 1 . Các khái niệm cơ bản

12

12

2 . 2 . Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong

không gian Banach

15

2.3. Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong
không gian mêtric

19

2.4. Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong
không gian Hilbert

25

2.5. Tính chất của tập điểm bất động và tập cực tiểu

27

C h ư ơ n g 3. V ài n é t về c ấ u t r ú c h ìn h h ọ c c ủ a k h ô n g g ia n B a n a c h
31
3.1. Cấu trúc chuẩn tắc

31

3.2. M ôđun lồi và đặc trưng lồi

39

3.3. Mối quan hệ giữa môđun lồi và cấu trúc chuẩn tắc

43

3.4. Mối quan hệ giữa cấu trúc chuẩn tắc và tính trơn

46

K ế t l u ậ n ..........................

50

T ài liệu th a m k h ả o

51


3

M ở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Khi hệ số co của ánh xạ co Banach bằng 1, tức là khi:
\\Tx - Ty\\ < \\x - y\\ ,V x ,y £ C
th ì T gọi là ánh xạ không giãn. Nói chung, ánh xạ không giãn không
nhất thiết có điểm b ất động (chẳng hạn T là phép quay hình tròn đơn
vị quanh tâm đi một góc), m à nếu có th ì điểm bất động cũng không duy
nhất (chẳng hạn T là ánh xạ đơn vị).
Để ánh xạ không giãn T có điểm bất động ta phải áp các điều kiện
lên miền С và nhất là không gian X. Năm 1965 xuất hiện 3 bài báo có
tính chất mở đường về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn

trong không gian Banach lồi đều với с lồi đóng bị chặn (hay giảm nhẹ
đi một chút là lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian
định chuẩn X (chú ý rằng không gian Banach lồi đều có cấu trúc chuẩn
tắc). Từ đó đến nay, lý thuyết ánh xạ không giãn và song hành với nó
là nghiên cứu cấu trúc hình học của không gian Banach đã phát triển
m ạnh mẽ.
Trong luận văn này, tôi không chỉ nghiên cứu về điểm bất động của


4

ánh xạ không giãn, về cấu trúc tập điểm bất động của ánh xạ không
giãn m à còn đề cập sâu đến các vấn đề về cấu trúc hình học của không
gian Banach có liên quan.
Tài liệu được tôi chọn là một số bài báo và tài liệu chính là cuốn sách
"Các vấn đề về lý thuyết điểm bất động mêtric" của hai tác giả Goebel
K. và Kirk w . A. [4]. Trong đó Kirk w . A. chính là tác giả của một
trong 3 bài báo được nhắc tới năm 1965 ở trên và đến nay vẫn là một
trong những người có uy tín nhất trong lĩnh vực điểm bất động. Quyển
sách của ông được hầu hết những người làm việc trong lĩnh vực này sử
dụng.
Qua các kết quả nghiên cứu trên, để góp phần giúp người đọc muốn
tìm hiểu về lý thuyết ánh xạ không giãn nói chung và bản th ân nói riêng
hiểu sâu hơn về vấn đề này. Vì vậy, dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ của
TS. Trần Quốc Bình, tôi chọn đề tài: “Á n h x ạ k h ô n g g iã n v à v ài n é t
về c ấ u t r ú c h ìn h h ọ c c ủ a k h ô n g g ia n B a n a c h ” làm luận văn tốt
nghiệp của mình.

2. M ục đích nghiên cứu
Nắm được lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn và cấu

trúc hình học của không gian Banach.

3. N h iệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của ánh xạ không giãn, lý thuyết điểm
bất động, cấu trúc hình học của không gian Banach và các sách, tài liệu


5

CÓ liên quan đến các vấn đề đã nêu. Từ đó áp dụng vào việc hệ thống
và trình bày luận văn.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ không giãn, điểm b ất động của ánh xạ
không giãn và cấu trúc hình học của không gian Banach.
Phạm vi nghiên cứu: Các cuốn sách và tài liệu liên quan đến đối tượng
nghiên cứu.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kiến thức cơ bản của lý thuyết ánh xạ không giãn, lý thuyết
điểm b ất động.

6. D ự kiến kết quả nghiên cứu
Luận văn là tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết ánh
xạ không giãn và cấu trúc hình học của không gian Banach.


6

Chương 1

K iến thứ c chuẩn bị
1.1. Các khái niệm về đường kính
Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Nếu A là tập con của không gian m etric (M , p )

và

nếu X € Mth ì d iam A và dist (x, A) được gọi là đường kính của tập A
và khoảng cách từ X đến tập A. Được xác định bởi:
d iam A = sup {p (X, y ) : X, y e A}
dist (X, A) = inf {p (X, y) : y G A} .
Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Mọi tập con D , H của X; и e X:
r„ (D ) = sup {||ií —VII : u ễ D }
rH (D ) = inf {ru (D) : и e t f }
С я (-D) = {и ẽ Я : r u (Я ) = г H (D)} .
Khi đó:
+SỐ ru (D ) được gọi là bán kính của D so với u.
+SỐ r# (D ) được gọi là bán kính chebysher của D so với H .
+SỐ C h {D) được gọi là tâm chebysher của D so với H.


7

Một điểm U G D được gọi là điểm đường kính nếu ru (D ) = diam D .
Nếu u không là điểm này thì được gọi là điểm phi đường kính.

1.2. T ính lồi
Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Giả sử X là không gian tuyến tính, R là tập số thực.
Khi đó tập A c X được gọi là lồi, nếu với mọi XI,X2 & A, X € M và
0 < A < 1 ta có:
\x \

(1 — A) X2 G A.

Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Cho A c X; convẢ là tập con lồi nhỏ nhất của X
chứa A được gọi là bao lồi của A:
convẢ = n { K c X : K D A}; với K lồi.
Nếu convA là tập đóng th ì convA được gọi là bao lồi đóng của A:
convA — Pl { K c X : K D A } ; K là đóng và lồi.
Đ ịn h lý 1.1 ( M a z u r ’s). Nếu A là compact thì convA củng compact.
Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Không gian Banach (X, ||.||) được gọi là lồi ngặt (lồi
chặt). Nếu với mọi X Ỷ y m à ll^ll < 1; 1M1 < 1 ta có: I l l 'l l < 1Điều kiện này tương đương với: Nếu IIX + y II = ||z|| + ||y|| và y Ỷ 0 thì
X = \ y \ với một A > 0 nào đó.
Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Không gian Banach (X, ||.||) được gọi là lồi đều nếu
với mọi e > 0 đều tồn tại (5(e) > 0 sao cho với mọi x , y G X mà:
\\x\\ < 1; IMI < 1; ||a; —y\\ > e ta luôn có:

< 1 — <5(e).


8

Đ ịn h n g h ĩa 1.7. Không gian m êtric (X ,d) được gọi là siêu lồi nếu
với mỗi họ điểm {a^a} trong X và mọi số thực không âm {ra } sao cho
d (xa:xạ) < r a + Tạ ta có:

n B ( x a,ra) Ỷ 0OL

1.3. Cấu trúc chuẩn tắc
Cho X là không gian định chuẩn khi đó ta có các định nghĩa sau:
Đ ịn h n g h ĩa 1.8. Tập hợp con K của X được gọi là có cấu trúc chuẩn

tắc nếu mọi tập con lồi bị chặn s của K với d ỉa m S > 0 đều có chứa
một điểm không là điểm đường kính.
Đ ịn h n g h ĩa 1.9. Một tập lồi D trong không gian đối ngẫu X* gọi là có
cấu trúc chuẩn tắc yếu * nếu mọi tập con đóng, bị chặn, lồi s của D với
dia m S > 0 có m ột điểm không là điểm đường kính.

1.4. K hông gian liên hợp và tín h phản xạ
Cho hai không gian Banach X và Y . £(X , Y ) là kí hiệu tập các toán tử
tuyến tính bị chặn từ X vào Y , với chuẩn ỊỊTỊỊ của toán tử T € £ ( x , Y )
được cho bởi:
||T|| = sup

. x e X ;x Ỷ o} = sup{||T :r|| : ĩ ẽ X ; ll^ll = 1}.

Đ ịn h n g h ĩa 1.10. Không gian liên hợp X* của X; X* = £(X ,M ) là
không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X:
X* (X) = (x, X*) ; i Ễ X , ĩ * ẽ X * .


9

Đ ịn h n g h ĩa 1.11. Không gian X** = c (X*,M) gọi là không gian liên
hợp th ứ hai của X.
Ánh xạ I

X** gọi là ánh xạ chính tắc hay phép nhúng chính tắc

của X trong X**.
Đ ịn h n g h ĩa 1.12. Nếu phép nhúng chính tắc X I—^ X** là toàn ánh thì
X gọi là phản xạ: X = X**.

1.5. Tôpô yếu và tô p ô yếu*
Đ ịn h n g h ĩa 1.13. Tôpô yếu trên X là tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn
{Px.} với X* € X*, ở đây: Px>(X) = |(x,a;*)| , ĩ ẽ X .
Đ ịn h n g h ĩa 1.14. Tôpô yếu* trên X* được sinh bởi các nửa chuẩn {Px}
với I Ẽ X , Ở đây: Px (íc*) = |(a;,a;*)| ;x* e X*.
N h ậ n x é t 1.1. X và X* là các không gian lồi địa phương. Trên X* có
hai tôpô yếu, là tôpô sinh bởi X** và tôpô yếu* sinh bởi X. Nếu X là phản
xạ thì các tôpô này trùng nhau.

1.6. M ột số tín h chất cơ bản của tô p ô yếu và tô p ô
X

*

yếu*

1.6.1. T ín h c h ấ t 1
Một tập con lồi K của X là đóng khi và chỉ khi nó là đóng yếu.
1.6.2. T ín h c h ấ t 2
Nếu K là một tập compact yếu của X th ì convK cũng compact yếu.


10

N h ậ n x é t 1.2. Các tính chất trên không còn đúng trong tôpô yếu *.
1.6.3. T ín h c h ấ t 3 (Đ ịnh lý Alaoglu’s)
Hình cầu đơn vị 5 (0,1) trong không gian đối ngẫu X* luôn là compact
trong tôpô yếu *.
Nếu X là phản xạ th ì X = X**, do đó theo định lý Alaoglu’s ta có tính

chất dưới đây.
1.6.4. T ín h c h ấ t 4
Nếu X là phản xạ th ì mỗi hình cầu đóng trong X là compact trong
tôpô yếu.
1.6.5. T ín h c h ấ t 5 (Định lý Eberỉin-Smulion)
Cho A là tập con của X, th ì các điều kiện sau là tương đương:
(a) Mỗi dãy {£n} trong A có m ột dãy con hội tụ yếu.
(b) Mỗi dãy {;cn} trong Ả có m ột điểm tụ yếu trong X.
(c) Bao đóng A của A là compact yếu.
1.6.6. T ín h c h ấ t 6
Một không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi các điều kiện sau
là tương đương:
(a) X* là phản xạ.
(b) B (0,1) là compact yếu trong X*.


11

(c) Mọi dãy bị chặn trong X đều chứa một dãy con hội tụ yếu.
(d) Mọi X* € X* đều tồn tại X € B (0,1) sao cho X* (X) = ||a;*||.
(e) Mọi tập con lồi đóng bị chặn K của X và mọi X* e X*, tồn tại X £ K
sao cho: X* (X) € sup {x* (y) : y £ K } .
(f) Mọi dãy bất kỳ {K n} các tập con khác rỗng lồi, đóng và bị chặn của
X đều có giao khác rỗng: Pl^0 K n 7^0.
B ổ đ ề 1.1 (Z o rn ). Nếu mỗi xích trong một tập được sắp thứ tự bộ phận
M đều có cận trên thì trong M tồn tại phần tử cực đại.

1.7. N gu yên lí điểm bất động của ánh x ạ co
Đ ịn h lý 1.2. Cho không gian Danach H , nếu ánh xạ f : H —>■H là ánh
xạ co thì ánh xạ f : H —»• H có duy nhất điểm bất động x 0 e H , nghĩa

là f (x0) =

XQ.

1.8. Tập bất biến
Đ ịn h n g h ĩa 1.15. Một tập con D khác rỗng, lồi, đóng của K gọi là tập
bất biến đối với ánh xạ T : K —> K nếu T (D ) c D.


12

Chương 2
Các định lý cơ bản về ánh xạ không
giãn
2.1. Các khái niệm cơ bản
Đ ịn h n g h ĩa 2.1. Ánh xạ T từ không gian m etric (X, d) vào không gian
m etric ( z, p) được gọi là ánh xạ không giãn nếu với mọi X, y e X ta có
p ( T x , T y ) < d( x , y ) .
V í d ụ 2.1. Cho X = l1 và cho {en} = {ốjn} là cơ sở trực chuẩn của ỉ1.
Xét: К = conv {en : n > 1,2...} = {x = {Xj} : Xi > 0; i = 1, 2...; ||ж|| = 1}.
Khi đó d ia m K = 2 và toán tử s được định nghĩa bởi:
S x = s {хг, х2, ...) = (0, х г, х 2, ...)
là m ột phép đẳng cự từ к vào к không có điểm bất động.
T h ật vậy, nếu S x = x\ X = 0 m âu thuẫn ||ж|| =

x i = 1- Ngoài ra

K n + 1 = convS (K n) : n = 1,2... tạo th àn h một dãy giảm vớigiao bằng
rỗng, trong khi đó với mọi x , y £ K: lim IIy — (S^ll = 2 = d ia m K .
n —¥00

V í d ụ 2.2. Trong không gian Co (N) phép đẳng cự T được định nghĩa:


13

т {хг, х 2, ...) = {1, хг, х 2, ...)
là ánh xạ trong hình cầu đơn vị m à không có điểm bất động.
T h ật vậy, nếu có X* = Tx* th ì ta có:
{xl,x*2,xị...) = {l,xl,x*2,...).
Nhưng khi đó ta có Xị — 1 với mọi i, nên X* không phụ thuộc c0.
V í d ụ 2.3. Cho X =

с

[—1; 1] định nghĩa ánh xạ T:

(Tx) (t ) = min {1, max { —1, X (t ) + 21}},
là ánh xạ không giãn biến hình cầu đơn vị lên biên của nó. Hơn nữa vì
(Tx) (t ) > X (t ) với t > 0 hoặc (T x ) (t ) < X (t ) với t < 0 nên T không có
điểm bất động.
N h ậ n x é t 2.1. Trong cấc ví dụ trên có thể thấy rằng nếu к

không

compact và lồi thì ánh xạ không giãn T : к —»■к là tồn tại nhưng không
có điểm bất động.
Đ ịn h lý 2.1. Giả sử К là tập con khác rỗng, lồi, compact yếu của không
gian Banach. Khi đó với mọi ánh xạ T :

к

—^

к ; tồn

tại tập con lồi,

đóng của К là T bất biến.
C h ứ n g m in h . Xét họ M các tập con khác rỗng, lồi, đóng (như vậy là
compact yếu) của к mà là T -bất biến; và thiết lập quan hệ th ứ tự trên
tập đó là quan hệ bao hàm của tập hợp: với K ị , K 2 £ M , Ki < K 2 nếu
K i С K 2. Bởi tính compact yếu, mỗi xích (họ sắp thẳng) các tập con
của M có giao khác rỗng, do đó là chặn trên đối với quan hệ <■ Theo
bổ đề Zorn,tồn tại ít nhất một tập D e ж là cực đại đối với quan hệ <,
và do đó là cực tiểu và T -bất biến.

■


14

BỔ đ ề 2.1. -/Vew К ỉà khác rỗng, ỉồi, đóng và là tập cực tiểu và T-bất
biến thì: К = convT (к ).
C h ứ n g m in h . Rõ ràng convT (к ) là lồi, đóng và T -bất biến. Bởi tính
cực tiểu của К nó không thể là tập con thực sự của K .
К = convT (К ).

■

B ổ đ ề 2.2. Nếu К là tập lồi, đóng của không gian lồi ngặt X và T :
К —»• К là ánh xạ không giãn thì tập các điểm bất động của T là đóng
và lồi.
C h ứ n g m in h . Ta có T là đóng vì T liên tục. Giả sử X = T x và у = T y
cho Л G (0; 1) và tập z = (1 — X) + Ằy thì:
||z - Tz\\ + \\Tz - y\\ = \\Tx - Tz\\ + \\Tz - Ty\\
< ||ж — z\\ + \\z —у II

= llÆ<

y\\

—Tz\\ + \\Tz — ж|| .

Vậy X, T z và y là tuyến tính trong khi:
||æ - z\\ = \\x - Tz\\ và IIy - z\\ = 11y — Tz\\.
Khi X lồi ngặt: z = T z.

Ш

Đ ịn h n g h ĩa 2.2. Cho к là tập con lồi, đóng của không gian Banach
X. Tập К được gọi là hầu như có tính chất điểm bất động đối với các
ánh xạ không giãn nếu cho mọi ánh xạ không giãn T : к —¥ к ta có:
inf \\Ty - у\\ = 0.
укк


15

N h ậ n x é t 2.2. B ất kì tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach

đều là tập hầu như có tính chất điểm bất động đối với họ các ánh xạ
không giãn.

2.2. Đ ịnh lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ
không giãn trong không gian B anach
Đ ịn h lý 2.2 (K irk ). Cho К là m ột tập lồi, compact yếu, có cấu trúc
chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X và T : к

к là ánh xạ không

giãn. Khi đó T có điểm bất động trong к .
C h ứ n g m in h . Đặt: T = {D с к , т (D ) с D } với D lồi, đóng, khác
rỗng.
Khi đ ó F ^ 0 VI К e J7. Với quan hệ th ứ tự bao hàm thức, (J7, c ) trở
thành tập được sắp thứ tự bộ phận.
Đ ặt s = { D a} với các D a £ T và lồng nhau. Khi đó Pl D a ф 0 vì к
а

compact yếu và T Ị f ì D a ] с f | ö a , vậy Pl D a là cận dưới của S- Theo
\ Qt

/

at

a

bổ đề Zorn, T chứa một phần tử cực tiểu là H.
Ta chứng m inh H chỉ gồm m ột điểm bằng phản chứng.
Giả sử d = d ia m H > 0. Do к có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn tại z £ H

sao cho:
r = s u p {\\z — x\\ : X £ H } < d
Vậy tập hợp M = {z G H : H с в

( z , r) } Ỷ 0, trong đó в (z, r) là

hình cầu đóng tâm z bán kính r.

Lấy z bất kì trong

không giãn, ta có T (H ) с в (Tz, r), vì vậy convT (H ) с

M , do T là
в (Tz, r). Vì


16

convT (H) là một tập hợp lồi, đóng trong к nên cũng compact yếu và vì
convT (H ) с conv (H ) = H nên T (convT (H )) с T (H ) с convT (H ),
vậy convT (H ) G T . Vì convT (H ) с H và H cực tiểu nên convT (H ) =
# . Từ đây ta có Я С 5 (Tz, r), chứng tỏ T z G M , vậy т (M ) с м vì
2

bất kì trong М .
Ta sẽ kiểm tra M lồi và đóng. Cho Z\ z2 €: M và z

+ (1 —a ) z2

với a G [0,1]. Khi đó ỊỊ:r — 2 jỊỊ < r, i = 1 ,2 ,..., với mọi X & H nên

z G M , vậy M lồi.
Nếu zn £ M Yầ zn —> z th ì do ||x — zn \\ < r với mọi X G H : suy ra
IlX — z II < r với mọi X £ H nên z G M , vậy M đóng.
Tóm lại M С к là tập lồi, đóng và b ất biến đối với T, vậy M G T '.
Vì M С H và H cực tiểu nên M = H . Khi đó, với mọi u ,v e M = H
ta có ỊỊií —г?II < r, từ đây d = d ia m H = d ia m M < r < d, ta gặp mâu
thuẫn. Vậy H chỉ gồm một điểm, tức là H = {ж*}.
Vì H bất biến đối với T nên ta có Tx* = X*.

и

Đ ịn h lý 2.3 (B ro w d e r-G o h b e ). Cho К ỉà tập lồi đóng bị chặn trong
không gian lồi đều X và T : к —»■к là một ánh xạ không giãn. Khi đó
tập các điểm bất động của T là lồi đóng và khác rỗng.
C h ứ n g m in h . Vì X lồi đều nên phản xạ, do đó к là compact yếu và có
cấu trúc chuẩn tắc. Vậy theo định lý Kirk, tập hợp các điểm bất động
của T khác rỗng ngoài ra nó đóng vì T liên tục. Ta chỉ còn phải chứng
minh tính lồi của tập hợp này.
Cho и = Tw, V = T v và m = Xu + (1 — Л) V với m ột л € [о, 1] nào
đó. Khi đó и — m = (1 — Л) (u — v) và V — m = X (v —ù). Vì T là ánh


17

xạ không giãn nên ta có:
||m —

T m \I

IIT m — i ; | | <

+

| | w — 777,II +

II777, —

v\
\=

IIu — f | | .

Do u —V = (u —T m ) + ( T r a - ỉ j ) nên:
||w — v|Ị < ỊỊw —Tm\\ + \\Tm — v||.
Kết hợp với bất đẳng thức trên ta được:
||w —í;|| = ||w —Tm\\ + \\Tm — u||.
Đ ặt X = u — T m , y = T m — V ta có II^ỊỊ + \\yII = ||x + y\\.
Vì X lồi đều th ì cũng lồi chặt nên đẳng thức trên chứng tỏ tồn tại
a > 0 để cho u — T m = a (T m — V). Từ đây ta có:
T m = ĩ ^ u + ĩ ỉ ^ v = P u + { l - P ) v v ờ i / 3 = Y^
Ta sẽ chứng minh rằng Ị3 = À bằng phản chứng. Giả sử Ị3 > À. Khi
đó ta có:
IITv

— Tm\\ =

||i ! —

Tm\\ =

/3 IIu

— v\
\> X

||ií —

v\
\= \
\
v — m\\.

Mâu thuẫn với tính không giãn của T.
Hoàn toàn tương tự, nếu /3 < X th ì ta cũng gặp m âu thuẫn:
IIT u — Tm\\ > ||w —m II. Vậy /3 = À nên T m = m. Vì mọi điểm trên
đoạn nối hai điểm b ất động cũng là điểm bất động nên tập hợp các điểm
bất động là tập lồi.

■

N h ậ n x é t 2.3. Browder đã sử dụng định lý trên để chứng minh sự tồn
tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phẫn trong không gian Hilbert
với vế phải là một hàm tuần hoàn.


18

Sau khi xuất hiện định lý của Kirk m ột câu hỏi được đặt ra là liệu có
thể bỏ được điều kiện có cấu trúc chuẩn tắc được không, hay nói cách
khác: m ột ánh xạ không giãn trong m ột tập hợp lồi, compact yếu của

một không gian Banach bất kì có nhất thiết có điểm bất động không?
Alspach đã đưa ra câu trả lời phủ định bằng cách đưa ra phản ví dụ
dưới đây:
V í d ụ 2.4. Cho X = L 1 [0; 1], đặt:

K = ị f & L 1[0; 1] : f f (t )dt = 1; 0 < / (Ế) < 2

Khi đó

К là tập

lồi, compact yếu, T là ánh xạ đẳng cự trong

к

(tức là

\ \ Tf — Tg\\ = II/ — <7II) nhưng không có điểm bất động.
Vì L 1 [0; 1] là không gian Banach không phản xạ nên một câu hỏi nữa
lại xuất hiện. Một ánh xạ không giãn trong một tập lồi, đóng, bị chặn
của m ột không gian Banach phản xạ có nhất thiết có điểm bất động
không? Hiện nay câu hỏi này vẫn chưa có lời giải.
N h ậ n x é t 2.4. Trong khi việc tồn tại điểm bất động cho ánh xạ không
giãn đòi hỏi những điều kiện ngặt nghèo trên miền xác định của ánh xạ,
việc tồn tại điểm bất động "xấp xỉ" tức ỉà với mọi e > 0 tồn tại x e sao
cho \\Txe — же|| < e, lại đòi hỏi những điều kiện rất tự nhiên. Cụ thể
là: ánh xạ không giãn trong m ột tập lồi, đóng, bị chặn luôn có điểm bất
động xấp xỉ. Thật vậy ỉấy x 0 tùy ý trong

к

và với mỗi n đặt:


19

тпх = ^ х 0 + (1 - ị ) T æ ,x € K.
Do К lồi nên: Tn : к —ỳ’ к và do T không giãn nên Tn là ánh xạ co:

\\T„X - T„y\\ = (1 - ì ) \\Tx - Т у II < (1 - Ị) ||x - ÿ||
Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại x n sao cho x n = Tnx n. Khi đó:
x n = Tnx n = ^ x 0 + (l - ị ) T x n + ị (яо - T x n)
Do đó \\xn - T x n \\ = —11^0 —T x nII < - d ỉ a m K . Vì к

bị chặn nên:

IIT x n — x n\\ —> 0 khi n —> oo. Với n đủ lớn, x n ỉà một điểm bất động
"xấp xỉ" của T .

2.3. Đ ịnh lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ
không giãn trong không gian m etric
Đ ịn h n g h ĩa 2.3. Cho X là không gian m etric và с là họ các tập con
của X. Cặp (X,C) được gọi là cấu trúc lồi m etric nếu:
a) Cả X và 0 thuộc c.
b) Giao của m ột họ các phần tử trong с là thuộc c.
c) С chứa các hình cầu đóng trong X.
Một tập con trong X được gọi là chấp nhận được nếu nó là giao của
một họ các hình cầu đóng trong X chứa nó. Ký hiệu А (X) là họ các tập
chấp nhận được trong X.
Khi đó, cặp (Х ,Д (Х )) là m ột cấu trúc lồi metric. Cặp (Х ,Д (Х ))

được gọi là cấu trúc lồi chấp nhận được.


20

Đ ịn h n g h ĩa 2.4. c ấ u trúc lồi m etric (X ,ổ) được gọi là compact nếu
mỗi họ của c có tính chất giao hữu hạn thì họ đó có tính chất giao toàn
thể.
Cấu trúc lồi m etric (X,C) được gọi là chuẩn tắc nếu r (D ) < diam D
với mọi D € c có dỉam D > 0.
Cấu trúc lồi m etric (X,C) được gọi là chuẩn tắc đều nếu tồn tại
c e (0; 1) sao cho r (D ) < c.diamD với mọi D e c có diam D > 0.
B ổ đ ề 2.3. Cho cấu trúc lồi compact (X,C) và ánh x ạ T : X —¥ X . Khi
đó tồn tại D e

c

sao cho D là tập khác rỗng bé nhất, bất biến qua T và

conv (T (D)) = D.
C h ứ n g m in h . Đ ặt T = {L Ễ c : L ^ 0 ,T (L) c L}. Vì X Ễ J nên
0.

Với quan hệ thứ tự là bao hàm thức, tập T được sắp thứ tự bộ

phận.
Gọi c là một xích trong T . Vì quan hệ thứ tự bao hàm thức nên c
là họ các tập lồng nhau, vì vậy £ có tính chất giao hữu hạn. Do (X,C)
có cấu trúc lồi compact nên f ì L Ỷ 05 do đó c có phần tử bị chặn dưới.
ìèc

Theo bổ đề Zorn, T có phần từ cực tiểu D. Ta có conv (T (Đ )) c T ,
conv (T (D)) c conv (D) = D. Y ì D là phần tử cực tiểu trong T nên có
conv (T (D )) c D.

m

Đ ịn h lý 2.4. Cho X là không gian metric bị chặn và cặp (X, c ) có cấu
trúc lồi metric compact, chuẩn tắc. Khi đó ánh xạ không giãn T : X —» X
có điểm bất động.
C h ứ n g m in h . Theo bổ đề 2.3 tồn tại tập bé nhất khác rỗng D € c sao
cho T (D) c D.


21

Với mỗi n ta đặt: Cn (D ) = f ì в ( x , r (D ) 4- - ) П D. Khi đó Cn (D ) 7^ 0
do định nghĩa của r (.D) và Cn (D) G с do с chứa tấ t cả các hình cầu
đóng và kín với phép giao.
Ta có:
00

ơ (£>) = n c „ (D).
71—1

Do đó С (D ) G С. Vì dãy {Cn (i^)} là dãy giảm và с có cấu trúc lồi
compact nên с (D) Ỷ 0. Ta chứng minh T bất biến đối với tập с (D ).
Lấy X £ С (D ) ta có rx (D ) = r (D ). Vì T là ánh xạ không giãn nên
T{D) С B{Tx,r{D))
Suy ra:
D = conv (T (D )) С В ( T x , r {D)).

Vì vậy T x ẽ С (D ). Vì С (D ) С D và D là tập khác rỗng bé nhất sao
cho T (.D) С -D nên c (D) = D. Khi đó diam D = r (D ).
Do С có cấu trúc chuẩn tắc nên nếu dỉam D > 0 thì ta có:
diam D = r (D ) < diam D
vô lý.
Vì vậy dỉam D = 0, do đó ánh xạ T có điểm bất động.

■

B ổ đ ề 2.4. Cho cấu trúc lồi metric (x , c ) trong đó X là không gian
metric bị chặn, T : X —>X là ánh xạ không giãn.
Đặt
F = { D e С : D ^ ®,T {D) С D } .

Khi đó với mỗi D E J- tồn tại D с D sao cho: