Luận văn bài toán cauchy đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tổng quát

B Ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O TẠ O
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

P H Ạ M T H U H IỀ N

BÀI TOÁN CAUCHY Đ ố i VỚI
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
RIÊNG TUYẾN TÍNH T ổ N G QUÁT

LU ẬN VĂN THẠC s ĩ TO ÁN HỌC

H À N Ộ I, 2015


B Ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O TẠ O
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư

PHẠM HÀ NỘI 2

P H Ạ M T H U H IỀ N

BÀI TOÁN CAUCHY Đ ố i VỚI
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
RIÊNG TUYẾN TÍNH T ổ N G QUÁT
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PG S. TS. HÀ TIẾN NG O ẠN

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn, người
thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,
động viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
T ác g iả

P h ạ m T h u H iề n


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS. Hà
Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: " B à i t o á n
Cauchy đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tổng
q u á t " được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác
giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội , tháng 6 năm 2015
T ác g iả

P h ạ m T h u H iề n

i

M ục lục

M ở đầu
1

1

C á c k iến
1.1

1.2

th ứ c c h u ẩ n b ị

3

Một số không gian hàm

..................................................................

1.1.1

Không

gian L 2

1.1.2

Không

gian

1.1.3

............................................................

3

c m( Í 2 ) ....................................................

3

Không

gian Sobolev w™ ( í ỉ ) ..................................

3

1.1.4

Không

gian ẩễm ............................................................

4

1.1.5

Không

gian ẩễ

............................................................

4

1.1.6

Không

gian <5?

.......................................................

4

Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng
1.2.1

................

5

Bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo
hàm r i ê n g ................................................................................

5

1.2.2

Siêu mặt trong không gian R n

5

1.2.3

Bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo

.........................................

hàm r i ê n g ................................................................................
1.2.4

6

Đưa bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình
đạo hàm riêng về dạng chính tắc

2

3

..................................

7

1.3

Định

lý C auchy-K ovalevskaya......................................................

9

1.4

Định

lý H o lm g r e n ............................................................................

13

T ín h đ ặ t đ ú n g đ ắ n c ủ a b à i to á n C a u c h y

16


2.1

Khái niệm về tính đặt đúng đắn của bài toán Cauchy

2.2

Tính giải được của bài toán C a u c h y .......................................
2.2.1

2.3

2.4

16
17

Khái niệm về tính giải được địa phương của bài toán
Cauchy

2.2.2

...

...............................................................................

17

Tính giải được địa phương của bài toán Cauchy . . .

20

Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu . . .

26

2.3.1

Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu 26

2.3.2

Miền phụ t h u ộ c .................................................................

35

Phương trình hyperbolic với hệ số h ằ n g ...............................

39

2.4.1

Định lý về sự tồn tại n g h i ệ m .......................................

39

2.4.2

Điều kiện cần đối với hiện tượng truyền nhiễu với
tốc độ hữu hạn

2.4.3

...............................................................42

Phương trình truyền s ó n g .........................................45

K ế t lu ậ n
T ài liệ u th a m k h ả o

50
51


1

M ở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là một vấn
đề quan trọng của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Nhà toán học
Hadamard đã đưa ra khái niệm đặt chỉnh của bài toán này gồm ba yếu
tố: sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của
nghiệm vào dữ kiện ban đầu. Luận văn trình bày bài toán Cauchy chính
tắc và trình bày mối quan hệ giữa ba yếu tố trên của bài toán đặt chỉnh.
Một lớp phương trình được quan tâm nhiều hơn, đó là loại phương trình
hyperbolic.

2. M ục đích nghiên cứu
Trình bày một cách hệ thống các vấn đề: bài toán Cauchy chính tắc
cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, tính đặt chỉnh của bài toán
Cauchy đối với các lớp phương trình khác nhau, tính giải được của bài
toán Cauchy.

3. N h iệm vụ nghiên cứu
Trình bày các điều kiện cần và đủ của tính đặt chỉnh và mối quan hệ
giữa ba yếu tố đặt chỉnh của bài toán Cauchy.


2

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiền cứu
- Tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy.
- Điều kiện cần và đủ của tính đặt chỉnh.
- Bài toán Cauchy cho phương trình loại hyperbolic

5. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp của Giải tích hàm tuyến tính.
Các phương pháp định lượng của Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.

6. Đ ón g góp của đề tài
Luận văn là một tài liệu tổng quan về lý thuyết đặt chỉnh của bài toán
Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp bất kỳ.


3

Chương 1
Các kiến thứ c chuẩn bi
1.1
1 .1 .1

M ột số không gian hàm
K h ô n g g ia n L 2

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .1 . Giả sử íì c c là một tập mở trong R n. Họ các hàm
u : Í2 —> c được gọi là không gian L 2 (Í2) nếu nó đo được và có chuẩn sau
hữu hạn:

1 .1 .2

K h ô n g g ia n

c m(íỉ)

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .2 . Không gian

c m(Í2)

là không gian bao gồm các hàm

khả vi, liên tục đến cấp m trên miền íỉ.
1 .1 .3

K h ô n g g ia n S o b o le v w™ (íỉ)

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .3 . Không gian w™ (Í2) là không gian bao gồm tất cả
các hàm u (X) e L 2 (íĩ), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp


4

a , \ a \ < 777, thuộc L 2 (íỉ) và được trang bị chuẩn

í

r

,, V"

IMIw™(fi) = \ 1 2

\ Dau { x ) \ 2 dx
\|a|< m n
/
1 .1 .4

K h ô n g g ia n

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .4 . Không gian ẩẽm là không gian bao gồm tất cả các
hàm f ( x ) thỏa mãn D af ( x ) (|a | < m ) bị chặn và liên tục trong Mn
\f(x )\m = Y l
I ,
\ a \ < m

1 .1 .5

ẵup \ Daf { x ) \ .
x€Rn

K h ô n g g ia n

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .5 . Không gian

hay ổễ°° là không gian bao gồm toàn

bộ các hàm khả vi vô hạn mà mọi đạo hàm của nó bị chặn và liên tục
trong Rn.
1 .1 .6

K h ô n g g ia n y

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .6 . Không gian

là không gian bao gồm tất cả các hàm

ụJ ẽ c ° ° sao cho với mỗi k , a tùy ý ( l + |x |2') D aíp(x) bị chặn trong Mn.


5

1.2

B ài toán C auchy cho phương trình đạo hàm
riêng

1 .2 .1

B à i t o á n C a u c h y c h ín h t ắ c c h o p h ư ơ n g t r ìn h đ ạ o h à m
r iê n g

Ta biểu diễn một điểm thuộc Kn+1 thành (x, t ) = ( x i , . . . , x n, t ) và một
điểm thuộc Rn thành

X

= [ x i, ...,

x n ).

Toán tử vi phân cấp m dạng sau

đây:

được gọi là một toán tử dạng chính tắc. Bài toán Cauchy chính tắc cho
toán tử vi phân là bài toán tìm nghiệm u ( x : t ) trong lân cận thích hợp
w ( c u ) của (a^o,0) sao cho nó thỏa mãn phương trình:

Lu = f ,

(1.2 )

(x,t)ew ,

với điều kiện ban đầu:

(ẳ )

u (x ’ ữ) = uẢ x ’ ữ)> z e V K n { í = 0 },

(j = 0 , 1 , 2 , . . . , m - 1).
(1.3)

1 .2 .2

S iê u m ặ t t r o n g k h ô n g g ia n

Giả sử ip(x) = cp ( x ) = 0 thì
¥’*( a , ) s ( ê

(* ) ’ -

,&

* )) 5É0-

(L4)

Ta định nghĩa siêu mặt s như sau:

s

= {x

GMn;
= 0}

(1.5)


6

V í dụ:
1) (px(x) = ( 0 , 0 , 1 ) ^ 0.
Do đó, ta có siêu mặt

s

= { x G R n; x n = 0}

2) ip(x) = x n2
ipx{ x) = ( 0 , 0 , 2xn)
Nếu ip(x) = 0 thì ipx (x) = 0. Do đó hàm ip(x) không thỏa mãn điều
kiện (1.4).
Khi X € s , vectơ ipx ( x) ^ 0 và là vectơ pháp tuyến của mặt cong s. Do
đó vectơ
( 1 .6 )

là vectơ pháp tuyến đơn vị trên s.
1 .2 .3

B à i t o á n C a u c h y t ổ n g q u á t c h o p h ư ơ n g t r ìn h đ ạ o h à m
r iê n g

Cho toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính
(1.7)

Cho uữ, . . . , wm_ 1 là các hàm số cho trước xác định trên s , trong lân cận
của Xq. Trong trường hợp này, ta ký hiệu ^ = (Uq,

wm_i ) là dữ kiện

ban đầu (dữ liệu Cauchy, hay giá trị ban đầu) hay, chính xác hơn, dữ kiện
ban đầu trên

s

của toán tử vi phân bậc m.

Cho / xác định trong lân cận

u của x ữ ( e

s ), và cho Ỹ thuộc một lân

cận xác định của Xq trong s .
Bài toán Cauchy tổng quát cho toán tử vi phân là bài toán tìm nghiệm
u ( x , t ) trong lân cận thích hợp

w

( c u ) của Xq sao cho nó thỏa mãn


7

phương trình

a

u(x) = f ( x ) ,

(1.8)

với điều kiện ban đầu

Í

u(x) = Uq(x),

(X e s )

À
^
í d Y ~ 1 ,
, ì
— u{x) = u 1{ x ) , . . . , y — J
u[x) = uro_i(a;),

trong đó I/ là vectơ pháp tuyến đơn vịtrên
1 .2 .4

,
^
(iGS),

(L 9)

s.

Đ ư a b à i t o á n C a u c h y t ổ n g q u á t c h o p h ư ơ n g t r ìn h đ ạ o
h à m r iê n g v ề d ạ n g c h ín h t ắ c

Từ (1.4), không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử (px 7^ 0. Đặt
x'1 = x 1, . . . , x'n_ x = x n_ u x'n = Ta thực hiện phép đổi biến, ( x i , . . . , x n) —> (x\ , . . . , x 'n). Phép biến đổi
này và nghịch ảnh của nó là trơn trong một lân cận đủ nhỏ của x ữ.
Đặt u ( x ) = v(x'). Ta có

du

dv

dv

du

ô ^ = ã^" + ^ ã < ’

)’

dv

ã^ = ^ ã < -

Các đạo hàm cấp cao, chẳng hạn đạo hàm cấp hai có thể tính như sau:

d { du \ d ( dv
dxk \ d x j ) dxk \cta'

d2u
dxkdxj
d

í dv\

dxk
d2v
= d ĩ m

d

{ dv

dv
dx'n

\

dv

+i^Xj'dxk \dx'n) + ^XjXkdx'n
d2v

{

+ ‘P n ' d ĩ j ĩ jr + ^

d2v

\ẽ ĩ^ d 7 n +

d2v

\

dv
+ 'p' ‘" d 7 „

Khi đó:

í d \ m

h( x, i px (x)) y o T j

« + £■■■ = /

(1.10)


trong đó
( &p_
dip \
\ d x i ' " ' d x n)

^x

và
K x >£) =

aẢ x ) C ,

(£ = ( &>• • • , &) ) •

(1-11)

ịi/ị = m

Tức là h(x, ipx) =

“ «'(sV sì ■■■¥>*"> (M =

-------- f ^ ) -

|i/| = m
Ta chú ý các số hạng E trong (1.11) chứa đạo hàm riêng nhiều nhất bậc
m — 1 theo x'n. Ta chia các trường hợp như sau:
(1) Nếu

ipx) 7^ 0 trong lân cận của X — x ữ, thì ta chia cả hai vế của

(1.11) cho h( x, i px), tức là
o \ m

(

Q^r)

__
u+

/ o \ V

E

a'^x ' } \ f a > )

u = f / h (x,tpx)-

(1.12)

Ta gọi (1.12) là dạng chuẩn tắc của (1.8). Trong trường hợp này, điều kiện
ban đầu có thể được viết lại thành

( ¿ ~ )

= UÁ X ' l T - - i X ' n - l )

(2) Nếu h(x,(px) = 0 tại

X

u

= 0,1,..., m -

1).

= Xq thì bài toán Cauchy rất khó nghiên

cứu. Luận văn này tập trung xét bài toán trong trường hợp 1.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 .1 . (Siêu mặt không đặc trưng). Nếu mặt s xác định bởi
ụ>(x) = 0 (ụ>x 7^ 0) thỏa mãn
h( x, i px (x)) Ỷ 0,

(x € S),

thì ta gọi s là một siêu mặt không đặc trưng (để ngắn gọn, ta gọi ‘mặt
không đặc trưng’) hay đa tạp không đặc trưng cho toán tử a ( x , d Ị d x ) .

9

1.3

Đ ịnh lý C auchy-K ovalevskaya

Xét toán tử dạng chính tắc:

‘ .(!)%

E

<"■>

Đ ịn h lý 1 .3 .1 . (Cauchy-Kowalewski). Cho các hệ số của L là các hàm
giải tích trong lân cận u của gốc tọa độ của không gian (x , t ). Giả sử
f ( x , t ) giải tích trong u . Gọi

là các giá trị ban đầu và là hàm giải tích

trong một lân cận xác định V của gốc tọa độ trong không gian
tồn tại một lãn cận w

X.

Khi đó,

của gốc tọa độ và tồn tại duy nhất hàm giải tích

u { x , t ) xác định trên w , và
( Lu = / ,

Í (ỡ í)

(x, t) G

w,
X € w n { t = 0},

= wj(x’°)’

(j = 0 , 1 , 2 , . . . , m — 1).
(1.14)

Chứng minh. Đặt
^ tj
u ( x , t ) = u ( x , t ) - 2 2 —ịUÁ X)3= 0 3

Vì vậy, ta viết lại (1.14) thành
m — 1

-

L \ũ\ = / - £ L -,U-ÁX)
¿=0
l -?!
✓1

I__

s

I1

X

•7

7,

1 -L

■

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử dữ kiện ban đầu của u { x , t )
là 0. Đầu tiên, nếu u ( x , t ) là giải tích trong lân cận của gốc tọa độ, thì
u { x , t ) được xác định một cách duy nhất. Trên thực tế, ta có thể chứng
minh rằng khai triển Taylor của u ( x , t ) tại gốc tọa độ được xác định một
cách duy nhất. Để chứng minh điều này, ta viết (1.14) thành

{dù

u(x^t) = J 2 aj { x^ ^ f ^ ) ( KQ ị ) u(x^) + f ( x^)^
j=0

(L15)

10

trong đó a j ( x , í; £) là đa thức bậc (m — j ) có các hệ số giải tích trong lân
cận

u của gốc tọa độ. Bởi vì giá trị ban đầu của u { x , t ) là 0 theo giả thiết,

nếu ta xét
( 1 . 16 )
j>m;u

và khai triển Taylor của các hệ số của a j ( x , t ;£), thì c„j được xác định
duy nhất. Trong trường hợp này c„ j được biểu diễn như một đa thức có:
(1) Các hệ số của khai triển Taylor của hàm giải tích xuất hiện như các
hệ số của đa thức &o(x, í;

, Ctm - 1 (:e, t; £).

(2) Các hệ số của khai triển Taylor của /(a : ,í) .

Cho nên, bằng đệ quy theo j , ta kết luận cuj có thể được biểu diễn thành
một đa thức với các hệ số dương trong (1) và (2).
Tiếp theo, ta chú ý tính hội tụ của dãy hàm (1.16), để làm được điều
này, ta sử dụng chuỗi hàm trội, mà ta định nghĩa như sau: Ta nói F ( x , t )
là chuỗi hàm trội của

ta hàm ý F ( x : t ) giải tích tại gốc tọa độ và

các hệ số c „ j của khai triển Taylor của F ( x : ì ) lớn hơn hoặc bằng trị tuyệt
đối của các hệ số tương ứng c„j của khai triển Taylor của

Cv,j ^

tức là

Ic v,j I •

Ta mở rộng định nghĩa sang trường hợp đa thức khả vi. Bằng cách nói
A ( x , í; £) là chuỗi hàm trội của a ( x , í; £) ta hàm ý với mỗi hàm số là hệ số
của

hàm số tương ứng của A là một chuỗi hàm trội của các hàm tương

ứng của OL theo nghĩa xác định như trên. Đối với (1.15), ta định nghĩa các
chuỗi hàm trội A j ( x , t ; £ ) i F ( x ì t) của
ứng.
Xét phương trình

j.0

f ( x , t ) một cách tương


11

Bây giờ ta chứng minh như sau: Nếu nghiệm w của phương trình có dữ

d

Qm-l

liệu Cauchy dương (ta hàm ý tất cả w ( x , 0), 0 ) , . . . — — w( x, 0)
c/ L
c/L
có khai triển Taylor với hệ số không âm) là giải tích trong lân cận của gốc
tọa độ, thì w là chuỗi hàm trội của u. Do đó u ( x , t ) là giải tích tại lân cận,
cho nên, tính tồn tại nghiệm của phương trình được chứng minh.
Bây giờ, ta giả sử tất cả các hệ số của a j ( x , t ;£) và f ( x : t ) là giải
tích trong \xị\ ^ r (i = 1 , 2 , . . . , n ) , \ t \ < r. Cho tất cả các hệ số của
aj ( x , t ' i £ ) < M , và cho f ( x , t ) < d. Trong trường hợp này tất cả các hệ
số của

có chuỗi hàm trội
M
(1 - Xx/ r ) • • • (1 - x n/ r ) { 1 - t / r ) ’

hay
M
1 - (xi + ----- b x n 4- t ) Ị r
Đưa p (> 1) vào, ta viết
M
1 - ( s H --------\- x n + p t ) / r
là chuỗi hàm trội. Đối với / ,
d

1-

( í c h --------- V x n +

pt)/r

là một trong các chuỗi hàm trội, với p > 1 (mà ta sẽ xác định sau). Do
đó, tồn tại các đa thức thích hợp &(£0 , £].,•••, £n)i c(£o> £].>•••> £n) và
/ a \ m

\dt)

_______________ 1______________

w

ĩ - ( x i + -------- b x n + p t ) / r
. \u ( 9
9
x bw ủ ; '

9 \
( 9 9 \ ...J
- ’ú : ) w + c { d i’ - ' ử J w + ã
(1.18)

thỏa mãn (1.17), với b là một đa thức bậc m và 6 ( 1 , 0 , . . . , 0) = 0, và c là
một đa thức bậc ( m — 1).


12

Ví dụ, ta có thể lấy
6(í„, . . . , í , ) = J í E f f - e |v|=m

Afíom. c(ío. •■■.?»)

M x; r-

=

—1

Bây giờ, ta tìm nghiệm lư mà lư có thể được biểu diễn thành hàm của
một biến duy nhất
s = (® H --------\ - xn + p t ) / r ,

(|s| < 1).

Trong trường hợp này (1.18) là một phương trình vi phân
b^ -w
- ^ {s) + c ( p- ị 1 ị . . . , 1 ± ) w + d
\ r as r as
rasj

(vrT' » ww = r1 — s

trong đó b(p) = 6(p, 1 , . . . , 1) và b nhiều nhất là bậc (m — 1). Do vậy,
phương trình có thể được viết lại là
w {m\ s ) = ( p)

( pd
1 — b(p)p~m — s

1 d

1 d \

c \rds'rds’ " 'r d s ) w +
(1.19)

Bây giờ, ta chọn p đủ lớn sao cho b(p)p~m < 1.
Trong lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính, (1.19) với dữ kiện ban
đầu 117^(0), (j = 0 , 1 , . . . , m — 1), luôn có một nghiệm chính quy duy
nhất trong |s| < 1 — b(p)p~m. Hiển nhiên, w ( s ) có khai triển Taylor với
hệ số dương. Do vậy, nếu ta xét
w( x , t) — w ( s ) = w ( ( x 1 + ----- \- x n + p t ) / r ) ,
(1.18) có nghiệm w ( x , t ) mà có các hệ số khai triển Taylor dương hội tụ
trong

n
\x i\ + p\t\ < r i l - K p ) p ~ m}-

(*)

ỉ— \
IV

___

11

.

1

. __________

/*

Do đó, (1.18) chính là một khai triến hội tụ trong (*). Vì vậy, nó là một
nghiệm trong lân cận của gốc tọa độ.

□


13

1.4

Đ ịnh lý H olm gren

Đ ịn h lý 1 .4 .1 . (Holmgren). Ta ký hiệu
D e = { { x , t ) e Mn+1; Ị;cỊ2 4- |íỊ < e}.
Giả sử tất cả các hệ số a uj ( x , t ) của L là giải tích trong lân cận u của
gốc tọa độ. Khi đó, tồn tại £o(> 0) sao cho với £ thỏa mãn 0 < £ < £o nếu
u ( x , t ) e C m{ D e) thỏa mãn
L u — 0 trong D s
(ỡí)

U^X'

= °’ 0 =

^ • • • ’ m “ 1) ’ X e D e n { t = 0},

thì u(x, t) = 0 trong D e.
C h ú ý. Tính duy nhất nghiệm vẫn đúng trong trường hợp nửa không gian.
Trong trường hợp này, ta giả thiết u(x, t ) xác định trên D'e = D e n { t > 0 }
và khả vi liên tục m lần kể cả trên biên.
Chứng minh. Ta định nghĩa một loại phép biến đổi đặc biệt mà cần thiết
trong phần tiếp theo. Phép biến đổi Holmgren là phép biến đổi được xác
định bởi

= Xj ( j = 1 , 2 , . . . , n ), t' = t + xỊ + ■■■+ x n
2 , và ánh xạ từ

nửa không gian t ^ 0 vào miền íỉ = { ( x r,t') G M"+1; í / — \x'\2 ^ 0}. Lưu
ý, hàm u(x', t ') bằng 0 trên siêu mặt, t' — \x'\2 = 0 sau phép biến đổi trở
thành đạo hàm bậc m của nó.
Do đó, nếu ta mở rộng hàm u bằng cách đặt giá trị bằng không của nó
ngoài Í2, thì hàm được mở rộng có giá thuộc rỉ và là một hàm lớp c m. Các
toán tử vi phân được biến đổi thành các toán tử vi phân khác trong một
lân cận đủ nhỏ, ta viết ( x , t ) thay vì

Khi đó, ta có phương trình

mới

£[«]=(!) u+EM *.i)(ẳ) (I) «= 0


14

trong đó, các hệ số là giải tích, và giá của u nằm trong Q.
Bây giờ ta định nghĩa một toán tử quan trọng. Một toán tử được gọi là

toán tử chuyển vị nếu nó thỏa mãn
*L[u] 3 ( - 1 ) - ( J )

u + 5 > l ) l ' « ( ¿ )

( I )

[ « * ( * , t)u].
(1.20 )

Tổng quát, nếu v ( x , t ) là hàm m lần khả vi liên tục, xác định trong lân
cận của D = ri n {0 ^ t ^ h } và thỏa mãn tL[v] = 0, thì
/ { ĩ / L ị v ] — vL [ u ] } d x d t = 0.
JD

Ngoài ra, nếu v ( x , t ) thỏa mãn

V(X' h i = d t V(X i h ^ = ' ' ' = ( § t )

v (x ’ h ) = °

trên siêu phẳng t = h, thì lấy tích phân từng phần ta có

J {vĩ Lị v] — v L [ u ] } d x d t = Ị

(—l ) mu(x, t)

^

v ( x , t ) d x = 0.

Lưu ý, ở đây tL có dạng như (1.11), và các hệ số của v ( x , t ) giải tích.
Do đó, từ Định lý 1.3.1 và các chú ý sau nó, nếu ta thêm điều kiện
/Q\m-1
\dt)
v{x,h) = P{x),
với P ( x ) là một đa thức, vào điều kiện ban đầu giả định trước, thì nghiệm
của phương trình tL[v] = 0 tồn tại trong lân cận của D = íỉ n {0 ^ t ^ h}
với mọi h thỏa mãn 0 < h < /lo, hữ > 0, và hữ đủ nhỏ. hữ có thể được chọn
độc lập với đa thức p ( x ) . Từ đó, suy ra J u(x, h ) p { x ) d x = 0 với bất kỳ
đa thức P ( x ) , tức là cho u ( x , h ) là hàm liên tục có giá compắc theo X thì
u ( x , h ) trực giao với bất kỳ p ( x ) .
Khi đó, theo Định lý Weierstrass ([1], Định lý 1.13), u(x, h) = 0, do đó
u ( x , t ) = 0, trong ( x : t) € ri n {0 ^ t ^ ho}. Nếu t ^ 0, thì ta thay t bởi
—t.


15

□
Đ ịn h lý 1 .4 .2 . (Calderón). Cho tất cả các hệ số của a uj ( x, t ) ( l ^l +j = m)
bậc cao nhất của toán tử L trong (1.13) là thực và thuộc
trong lãn cận

u của gốc tọa độ

c 1+ơ (ơ

> 0)

(ơ là một số dương tùy ý), và cho các hệ số

khác bị chặn trong u . Trong trường hợp này, nếu phương trình đặc trưng
của L tại gốc tọa độ

p (a

,o

= a™ +

< * , j ( 0 , 0 ) r v = 0(1.21)
\v\ + j = m

CÓ các nghiệm A¿(£), (i = 1 , 2 , . . . , rrì) phân biệt với mọi £ E
trong

£ thì

kết luận của Định lý

1 .4.1

đúng.

£ 7^ 0,


16

Chương 2
T ính đặt đúng đắn của bài toán
Cauchy
2.1

K hái niệm về tín h đặt đúng đắn của bài toán
Cauchy

Cho toán tử

Xét bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo hàm riêng:

(2 .1)

Tính đặt đúng đắn của bài toán này bao gồm 3 yếu tố:
- Sự tồn tại nghiệm.
- Tính duy nhất nghiệm.
- Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu.


17

2.2

T ính giải được của bài toán Cauchy

2 .2 .1

K h á i n iệ m v ề t ín h g iả i đ ư ợ c đ ịa p h ư ơ n g c ủ a b à i t o á n
C auchy

Trong mục trước, ta đặt ra câu hỏi liệu Định lý Cauchy-Kowalewski có
thể được thiết lập với giá trị ban đầu

thuộc lớp hàm c ° ° và với / . Ta

sẽ kiểm tra bài toán trong mục này. Xét phương trình :

£[«] = (Ễ) «+ £ “*(*.*) (¿ ) (ẳ) “= /•
\v\ + j < m
j < m —1

<2'2>

Để cho đơn giản, ta giả sử các hệ số xác định trong một lân cận của gốc
tọa độ, và ngoài ra a Vj ( x , t ) G C ( U) .
Đ ịn h n g h ĩa 2 .2 .1 . (Tính giải được địa phương). Ta nói phương trình
(2.2) là giải được địa phương tại gốc tọa độ trong c , nếu với bất kỳ
f ( x , t ) G C ( U ) và với mọi dữ kiện ban đầu ^ = (u ữ( x) , . . . , um- i ( x ) ) G c ,
tồn tại một lân cận -D(/$) của gốc tọa độ, u ( x , t ) ẽ C ( D ự q /)) thỏa mãn
L[m] = / với (a:,í) G -D(/$) và
(ẳ )

u (x ’ °) =

^ e D Ư,*) n

= ° } ’ (j = 0 , l , . . . , m - 1).

Điều kiện ta áp dụng ở trên ở dạng khá mạnh, ta có thể sử dụng một định

nghĩa yếu hơn như sau.
Đ ịn h n g h ĩa 2 .2 .2 . Ta nói phương trình (2.2) giải được địa phương tại
gốc tọa độ trong c m, nếu với bất kỳ f ( x , t ) G C ( U ) và với mọi giá trị ban
đầu ^ € c , tồn tại một lân cận D ự
trong D ự

và u là hàm khả vi liên tục m lần

n { t > 0} và thỏa mãn L u = / , và trong D ự $) n { í ^ 0}, u

là hàm khả vi liên tục (m — 1) lần thỏa mãn điều kiện ban đầu tại t = 0.
Một số ví dụ về các phương trình không giải được địa phương theo nghĩa
trong Định nghĩa 2.2.2.


18

V í d ụ 2 .2 .1 . (Hadamard) Bài toán Cauchy cho phương trình
ô2

ỡ2

ổ2

với giá trị ban đầu ty trên mặt phẳng z = 0 không giải được địa phương
tại gốc tọa độ.
Để chứng minh điều này, ta xét giá trị ban đầu

'u(x,y, 0) = u0(x,y) e c,
ồ

ị - u { x , y , 0) = 0.
Ngoài ra, giả sử một nghiệm u ( x , y , z ) tồn tại theo nghĩa trong Định
nghĩa 2.2.2, và u xác định trên B$ = { ( x , y , z ) ' , x 2 + y 2 + z 2 < ổ2} với ỗ
đủ nhỏ, và z ^ 0.
Trong trường hợp này, nếu đặt
s
f u(x, y, z)
ủ(x,y,z) = ị
v
'
\u {x,y,-z)

(z ^ 0),
ỴẮ
(z<0),

thì ũ là hàm xác định trên Bg thỏa mãn A ủ = 0 trong Bg theo nghĩa hàm
suy rộng. Do đó, ủ{x, y : z) là một hàm giải tích của (X, y, z ) trong B (5 như
ta sẽ chứng minh sau này. ủ ( x : y, 0) ( = u ữ( x : y)) cũng là một hàm giải tích
của (:r, y).
Cuối cùng, từ điều trên, với uữ( x ì y ) nếu ta chọn một hàm sao cho hạn
chế của nó trên bất kỳ lân cận nào của gốc tọa độ không giải tích, thì bài
toán Cauchy tương ứng cho hàm này không có nghiệm địa phương u tại
gốc tọa độ.
Ta chứng minh A ủ — 0 trong Bỹ. Đây chính là định lý cổ điển của
nguyên lý phản xạ Schwartz. Theo ngôn ngữ hàm suy rộng, ý nghĩa của
nó là: cho íp G

và cho

(ủ, A ip) = / ủ(x, y, z)A(p( x, y, z ) d x d y d z
= lim { -

““¿ l

/
a^ d x d y d z
Jw>edzdz
y

+ í

( ? ! + S f)
Jịzị>s\dx2
dy2)

pixdydz} .

y í


19

Từ
dũ
dz

dxdy

■
Ỡ2Ũ

+/

ỡz2

i p dx dy dz

,

ta có
ỡ

Ư

~

-¿-(x,y,e)ơz
- Ị

^ ẤL( x ì y , - £ ) ự ) { x ì y , - £ ) d x d y ^ = 0 .

Khi đó, ta có thể thấy rằng ũ(x, y, z ) e C ( B g ) theo [1] (Hệ quả của Định
lý 3.22), tức là ũ là hàm giải tích và điều hòa.
Để thấy điều này, ta chứng minh kết quả sau: Bất kỳ hàm điều hòa xác
định trên tập mở íỉ c Kn là giải tích. Đầu tiên, ta có
1

1

{x) ~ ~ (n - 2 ) S n ■
thỏa mãn A E ( x ) = ỗ với S n là diện tích mặt của hình cầu đơn vị trong
không gian n chiều (n > 2). Ta cố định một điểm lấy trong íì. Chọn

Oí ẽ ^ (Í2) sao cho a;(æ) = 1 trong lân cận u của điểm cố định này. Ta
viết

*/ \

/

A

\ X—' Qol

ỡu

A (cm) = ữ (A ií) + 2 2 ^ Q. Q~ . +

a 'u

và đặt vế phải = g(x). Khi đó, g €E ^ (Í2 ).
Nhân E ( x ) vào hai vế của phương trình thu được
E ( x ) * A (au) = a u = E ( x ) * g ( x ) =

1
í

g{y)
;dy
\xa
( n - 2 ) S n J Ix
-—y \ n~2'

¡V

trong đó, ta sử dụng tính chất E ( x ) * A (au) = (A E ( x ) ) * (au) = ố * (au)
(xem [1], Mệnh đề 2.14).
Bây giờ, ta lấy ổ (> 0) đủ nhỏ và xét a { x ) trong \x — Xq\ < ỏ. Thì ta
thấy a ( x ) = 1. Ngoài ra, g ( x ) không có giá trong cùng lân cận, do đó
u (x ) =

___
(n

[

9 {y )

n —2
— 2) S n
n J ị|y-z0|^
„
<5 \x - y I

d y , (|a; - x 0| < ó)-