Đánh giá và mô phỏng mô đun đàn hồi vật liệu nhiều thành phần (TT)

VIÊN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
------o0o------

VŨ LÂM ĐÔNG

ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG MÔ ĐUN
ĐÀN HỒI VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số:

62 52 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội – 2016


Công trình được hoàn thành tại:
Viện Hàn lâm khoa học và Công nghệ Việt Nam
Học viện Khoa học và Công nghệ

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH Phạm Đức Chính

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp học
viện họp tại:
Vào hồi

giờ, ngày

tháng

năm 2016

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:


1
 
MỞ ĐẦU
Lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu đã có những bước phát triển vượt
bậc trong nghiên cứu khoa học. Việc xây dựng các mô hình vật liệu
đã được thực hiện từ rất sớm và từ những mô hình căn bản. Các tính
chất vĩ mô của vật liệu phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố như tính chất
của vật liệu thành phần, tỷ lệ thể tích các thành phần, liên kết giữa
các thành phần, đặc trưng hình học…qua đó nói lên tính chất vĩ mô
của vật liệu chịu tác động của rất nhiều yếu tố.. Chính vì vậy luận án
được thực hiện với mục đích xây dựng những đánh giá cho mô đun
đàn hồi vĩ mô đẳng hướng vật liệu tổ hợp nhiều thành phần cho kết
quả tốt hơn những kết quả đã công bố trước đây.
Tính thời sự và ý nghĩa của luận án
Vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (còn gọi là vật liệu Composite)
đang được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống hiện nay, có thể thấy
vật liệu tổ hợp nhiều thành phần sẽ là loại vật liệu chủ đạo trong
tương lai vì tính năng làm việc hiệu quả cũng như giá thành chi phí
sản xuất chế tạo hợp lý. Từ những thành phần vi mô khác nhau sẽ có
những thông số đặc trưng riêng biệt cấu thành nên vật liệu tổng thể,

tuy nhiên việc xác định các đại lượng vĩ mô này không hề đơn giản
bởi chúng ta thường chỉ có những thông tin hạn chế về cấu trúc hình
học, tính chất vật liệu cấu thành…
Mục tiêu của luận án
Xây dựng các đánh giá biên trên và biên dưới, mô phỏng tính chất
vĩ mô vật liệu tổ hợp nhiều thành phần trong đó có sử dụng các thông
tin bậc ba về hình học pha của vật liệu vi mô, phương pháp số được
sử dụng để tính toán cho các mô hình cụ thể.


2
 
Phương pháp nghiên cứu
•

Phương pháp giải tích - biến phân thông qua các phiếm
hàm năng lượng xây dựng biên trên và biên dưới đối với
các mô đun đàn hồi vĩ mô.

•

Phương pháp số sử dụng chương trình MATLAB để thiết
lập các công thức, ma trận...tối ưu các tham số hình học
của vật liệu trong các đánh giá. Chương trình CAST3M
(thiết lập theo phương pháp phần tử hữu hạn) áp dụng
tính cho một số mô hình vật liệu tuần hoàn nhằm so sánh
kết quả với các đánh giá.

Những đóng góp của luận án
•

Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi thể tích
vật liệu nhiều thành phần và áp dụng cho một số mô hình
hỗn độn và tuần hoàn cụ thể.

•

Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi trượt vật
liệu nhiều thành phần và áp dụng cho một số mô hình hỗn
độn và tuần hoàn cụ thể.

•

Áp dụng phương pháp PTHH cho bài toán đồng nhất hóa
và tính toán số cho một số dạng hình học tuần hoàn nhiều
thành phần, có so sánh với các đánh giá.

Cấu trúc của luận án
Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận chung và
bốn chương, cụ thể:
Chương 1: Tổng quan về lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu
Trình bày về lịch sử, các kết quả nổi bật của các tác giả nghiên
cứu trong nước và ngoài nước trước đây trong lĩnh vực đồng nhất
hóa vật liệu. Cách tiếp cận bài toán đồng nhất hóa vật liệu thông qua


3
 
đường lối giải trực tiếp các phương trình của bài toán đàn hồi và
đường lối biến phân thông qua các hàm năng lượng.

Chương 2: Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi thể
tích vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần
Đưa ra trường khả dĩ mới tổng quát hơn trường phân cực HashinStrikman. Xây dựng đánh giá biên trên và đánh giá biên dưới cho mô
đun đàn hồi thể tích keff. Áp dụng để đánh giá cho một số mô hình
vật liệu đặc trưng.
Chương 3: Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi trượt
vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần
Xây dựng đánh giá biên trên và đánh giá biên dưới cho mô đun
đàn hồi trượt μeff thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu và
nguyên lý năng lượng bù cực tiểu. Áp dụng để đánh giá cho một số
mô hình vật liệu đặc trưng.
Chương 4: Phương pháp số áp dụng cho bài toán đồng nhất
hóa vật liệu
Xây dựng chương trình tính toán số PTHH cho một số bài toán
đồng nhất hóa cụ thể, cho bài toán vật liệu tổ hợp có điều kiện biên
tuần hoàn có so sánh với các đánh giá ở hai chương trước.
Kết luận chung: trình bày những kết quả chính đã nhận được
trong luận án và những vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu.


4
 
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC ĐỒNG NHẤT
HÓAVẬT LIỆU
1.1. Một số tính chất của vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành
phần
Xét phần tử đặc trưng V (RVE: Representative Volume Element)
của vật liệu tổ hợp Buryachenko [11], Hill [30]; phần tử đặc trưng
phải đủ lớn so với các cấu trúc vi mô để đại diện cho các tính chất
của vật liệu thành phần và đồng thời phải đủ nhỏ so với kích thước

của vật thể để việc xác định các tính chất vĩ mô có ý nghĩa.

Hình 1.1 Phần tử đặc trưng (RVE)
Xét phần tử đặc trưng V của vật liệu tổ hợp, được cấu thành bởi n
thành phần chiếm các không gian Vα ⊂ V

và có các hệ số đàn hồi

kα , μα ; α = 1, …, n . Trong trường hợp chọn phần tử đặc trưng V có

tâm trùng với gốc của hệ tọa độ Đề các vuông góc {x 1, x 2 , x 3 } .
Phương trình cân bằng:
∇⋅ σ = 0 ,

x ∈V

(1.1)

trường ứng suất này quan hệ với trường biến dạng thông qua định
luật Hook:
(1.2)
hệ số đàn hồi thành phần (trong trường hợp các vật liệu thành phần là
đẳng hướng) C(x) = T(kα , μα ) trong đó T là tenxơ bậc 4 đẳng
hướng.
σ(x) = C(x) : ε(x)


5
 
2

Tijkl (k, μ ) = kδ ij δ kl + μ (δ ikδ jl + δ ilδ jk − δ ij δ kl )
d

,

(1.3)

δ ij là toán tử Kronecker, d là số chiều không gian: d = 2 hoặc 3.
Trường biến dạng ε(x) được biểu diễn qua trường chuyển dịch

u( x ) :
1
ε(x) = ⎣⎡∇u + (∇u )T ⎦⎤ ; x ∈ V
2

(1.4)

Các điều kiện biên thuần nhất thường được sử dụng.
Giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng có dạng như sau:
1
1
σ =
σ dx , ε =
ε dx
(1.5)
VV
VV

∫

∫

Quan hệ giữa các giá trị trung bình ứng suất và biến dạng trên
miền V được biểu diễn qua ten xơ đàn hồi vĩ mô (hiệu quả) Ceff :
σ = Ceff : ε ,
Ceff = T(k eff , μ eff ).    
(1.6)

Đây được gọi là đường lối giải trực tiếp các phương trình của bài
toán đàn hồi.
Ngoài ra một cách tiếp cận khác để xác định các hệ số đàn hồi vĩ
mô bằng cách tìm cực trị của phiếm hàm năng lượng trên miền V
(trường khả dĩ ε cần là trường tương thích):
ε0 : Ceff : ε0 = inf0 ∫ ε : C : εdx
〈 ε 〉= ε

(1.7)

V

hoặc thông qua nguyên lý biến phân đối ngẫu (trường khả dĩ cần là
trường cân bằng):
σ 0 : (Ceff )−1 : σ 0 = inf 0 ∫ σ : (C)−1 : σd x
〈 σ〉 =σ

(1.8)

V

Với đường lối biến phân trên nếu không cho được kết quả chính

xác thì sẽ cho được cận trên và cận dưới của tính chất hiệu quả, một
kết quả khả dĩ khi áp dụng cho những vật liệu cụ thể mà chúng ta
không có được đầy đủ mọi thông tin về hình học vật liệu.


6
 

1.2. Tổng quan về lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu
Từ cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 việc nghiên cứu tính chất các môi
trường liên tục của vật liệu nhiều pha đã được các nhà khoa học hàng
đầu trên thế giới thời đó thực hiện.
Trong trường hợp mô hình vật liệu là hai pha với các hạt cốt liệu
có dạng đẹp như hình cầu, bầu dục (ellipsoid) phân bố xa nhau trong
pha nền liên tục (tỷ lệ pha cốt liệu là nhỏ), Eshelby [20] đã tách một
hạt cốt liệu trong miền vô hạn của pha nền, tính được chính xác
trường ứng suất và biến dạng. Trên cơ sở đó ông tìm được hệ số đàn
hồi vĩ mô trong một vùng tỷ lệ thể tích vI (các hạt cốt liệu xa nhau).
Đối với mô hình vật liệu có các thành phần phân bố hỗn độn hình học pha không hoàn toàn xác định điều này gây khó khăn cho
đường hướng giải phương trình trực tiếp thì một số phương pháp mô
hình được đề xuất mà tiêu biểu là phương pháp sơ đồ vi phân
(differentials scheme) với nội dung tính ứng suất và biến dạng từng
bước với pha nền của bước trước chứa tỷ lệ nhỏ cốt liệu cầu hay hình
bầu dục (dựa theo kết quả Eshelby) và tính mô đun vĩ mô của hỗn
hợp cho bước sau.
Thay cho việc nhận được lời giải giải tích thông qua việc giải
phương trình thì có một cách đi khác cũng hướng tới việc tìm được
các tính chất vĩ mô của vật liệu tổ hợp đó là đường lối biến phân, đây
là phương pháp tìm cực trị các phiếm hàm năng lượng. Mặc dù
không tìm được các trường ứng suất, biến dạng chính xác tương ứng

với các điểm cực trị thì với cách xây dựng khéo léo các trường khả dĩ
ta cũng nhận được tương ứng các đánh giá đối với giá trị cực trị của
các phiếm hàm năng lượng và các tính chất vĩ mô của vật liệu tương
đối gần với giá trị thực có thể.


7
 

Hashin và Shtrikman (HS) [28] đã xây dựng nguyên lý biến phân
riêng và đưa vào trường khả dĩ phân cực (polarization fields) với các
giá trị trung bình khác nhau trên các pha khác nhau, kết quả cho vật
liệu tổ hợp đẳng hướng đã cho thấy tốt hơn hẳn kết quả của Hill-Paul
khi nó nằm trong đánh giá này.
Ở trong nước các nghiên cứu của Phạm Đức Chính đã xét đến bài
toán cho vật liệu nhiều pha khi xem xét đến sự khác biệt của tỷ lệ thể
tích pha, hình học vi mô của các thành phần cấu thành được đặc
trưng bởi các tham số hình học bậc ba đã tìm được biên tường minh
cho các đặc trưng vĩ mô của các loại vật liệu, trong một số trường
hợp tìm được đánh giá tối ưu (đạt được bởi một số mô hình hình học
cụ thể).
Để có những đánh giá hẹp hơn so với đánh giá HS sau này các tác
giả đã nghiên cứu và xây dựng các bất đẳng thức biến phân có chứa
các hàm ngẫu nhiên mô tả thông tin bổ xung về hình học pha của các
vật liệu cụ thể. Các hàm ngẫu nhiên bậc n (n-point correlation
functions) phụ thuộc vào xác suất của n điểm bất kỳ được lấy tình cờ
(với khoảng cách nhất định) rơi vào cùng một pha giữa chúng.
Không xuất phát từ nguyên lý HS, nhưng từ các nguyên lý năng
lượng cực tiểu và sử dụng trường khả dĩ phân cực HS, Pham đã tìm
được đánh giá hẹp hơn HS nhờ thành phần nhiễu chứa thông tin bậc

ba về hình học pha của vật liệu.
Một hướng nghiên cứu rất được quan tâm trong lĩnh vực đồng
nhất hóa vật liệu đó là phương pháp số mà kỹ thuật số cổ điển đã xây
dựng xấp xỉ từ các trường khả dĩ động học. Tuy nhiên cũng có các
trở ngại chính: rất khó để tìm được trường khả dĩ đơn giản trên toàn
bộ vùng khảo sát hoặc nếu có tìm được thì dẫn tới hệ phương trình
lớn và phức tạp. Những vấn đề này đã được khắc phục bởi thực tế là


8
 

các xấp xỉ cục bộ, trên một phần nhỏ của vùng khảo sát có lời giải
thích hợp và đồng thời dẫn đến hệ phương trình gọn gàng và phạm vi
tính toán phù hợp với khả năng của hệ thống máy tính tốc độ cao. Kỹ
thuật xấp xỉ phần tử thông minh (element-wise) đã được công nhận ít
nhất 60 năm trước đây bởi Courant [17]. Đã có nhiều phương pháp
xấp xỉ như vậy để giải phương trình đàn hồi, phổ biến nhất là phương
pháp phần tử hữu hạn (FEM). Ý nghĩa của phương pháp này là phân
vùng vật thể thành một tập hợp các miền con rời rạc gọi là phần tử.
Quá trình này được thiết kế để giữ cho kết quả đại số cũng như quản
lý tính toán bộ nhớ hiệu quả nhất có thể.


9
 
CHƯƠNG 2. XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN
ĐÀN HỒI THỂ TÍCH VẬT LIỆU TỔ HỢP
ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN
Thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu đã được xây dựng

và sử dụng bởi nhiều tác giả trong đánh giá và xấp xỉ hệ số đàn hồi vĩ
mô của vật liệu tổ hợp. Bằng việc đưa ra trường khả dĩ mới tổng quát
hơn trường phân cực Hashin-Shtrikman giúp cho các đánh giá tính
chất vật liệu sát hơn so với những đánh giá trước đó, sử dụng các
tham số thông tin bậc ba về hình học của vật liệu mô tả cấu trúc vi
mô của vật liệu tổ hợp.
2.1. Xây dựng đánh giá biên trên mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô
vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên
lý năng lượng cực tiểu
Để xây dựng đánh giá cận trên cho mô đun đàn hồi vĩ mô k eff từ
(1.7), ta lựa chọn trường khả dĩ có dạng:
⎛ δij N
⎞
(2.1) 
εij = ⎜ + aα ϕ,αij ⎟ ε0 ; i , j = 1,…, d
⎝ d α=1
⎠
δ
trong đó ε ij0 = ij ε 0 là biến dạng thể tích cho trước, ϕ α là hàm thế
d
điều hòa, δij là toán tử Kronecker, chỉ số Latin sau dấu phảy biểu

∑

diễn đạo hàm theo hệ tọa độ Đề các tương ứng.
Đưa (2.1) vào (1.7) và tiến hành rút gọn ta được:
N
N
⎡
⎤

Wε = ε : C( x ) : εd x = ⎢ kV + vα kα ( 2aα + aα2 ) +
Aαβγ 2μα aβ aγ ⎥ (ε0 )2
⎢⎣
α=1
α ,β, γ=1
V
⎦⎥
(2.2)
trong đó:

∑

∫

N

-

∑

kV = ∑ vα kα  là giá trị trung bình số học Voigt.
α =1


10
 
Aαβγ =

-

∫ϕ

βα γα
ij ϕij d x

là thông tin hình học bậc ba của vật liệu.

Vα

Để tìm cực trị phiếm hàm năng lượng có ràng buộc (ở đây là tìm
cực tiểu) ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange, từ đó nhận được:
N
⎡
⎤
Wε = ε : C : εd x = ⎢ kV + vα kα aα ⎥ (ε0 )2 = ⎡⎣kV − v 'k ·Ak−1 ·vk ⎤⎦ (ε0 )2
α=1
⎣
⎦
V
(2.3)
trong đó:

∑

∫

-

v 'k = {v1k1 ,

, vN k N } ;

k
Ak = Aαβ

,

{ }

vk = {v1 (k1 − kR ),

T

k
Aαβ
= vα kα δαβ +

α, β = 1,
N

⎛

∑⎜ A
γ=1 ⎝

αβ
γ

, vN (k N − kR )}

T

,N

− vα kR

N

∑k
δ=1

−1 δβ
δ Aγ

⎞
⎟2μ γ
⎠

Từ (1.7) và (2.3), chúng ta xây dựng được đánh giá cận trên cho
mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô k eff của vật liệu đàn hồi đẳng hướng
nhiều thành phần:

k eff ≤ K UA ({kα , μα , vα },{ Aαβγ }) = kV − v′k ·Ak −1 ·vk

(2.4)

2.2. Xây dựng đánh giá biên dưới mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô
vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên
lý năng lượng bù cực tiểu
Chúng ta lựa chọn trường khả dĩ:

N
⎡
⎤
σij = ⎢δij + aα (ϕ,αij − δij I α )⎥ σ0 ; i , j = 1,
α=1
⎣
⎦
α
trong đó I là chỉ số hình học pha của vật liệu.

∑

, d ; (2.5)

Đưa (2.5) vào (1.8), biến đổi và sử dụng phương pháp nhân tử
Lagrange tìm cực trị với các biến aα ta được:
⎡
−1
d − 1 N aα vα ⎤ 0 2 ⎡ −1
⎤ 0 2
Wσ = ⎢ kR−1 −
⎥ (σ ) = ⎢ kR − v 'k ·A k ·vk ⎥ (σ ) (2.6)
⎣
⎦
d α=1 kα ⎦
⎣

∑

11
 
trong đó:

-

kR−1 =

N

vα

∑k

-

là trung bình cộng điều hòa Reuss ,

α

α=1

⎧1 − d
vk = ⎨
v1 (k1−1 − kV−1 ),
d
⎩

{ }

T

,

1− d
⎫
vN (k N−1 − kV−1 )⎬ ,
d
⎭

k

A k = Aαβ

-

k

A αβ =
-

N
⎛ αβ vα
(1 − d )2
−1
v
k
δ
+
⎜ Aγ −

α α αβ
2
kV
d
γ=1 ⎝

∑

⎧1 − d
v'k = ⎨
v1k1−1 ,
⎩ d

N

∑k A
δ

δβ
γ

δ=1

⎞
−1
⎟( 2μ γ ) ,
⎠

T

,

1− d
⎫
vN k N−1 ⎬ .
d
⎭

Đánh giá cận dưới cho mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô k eff của vật
liệu tổ hợp đàn hồi đẳng hướng được xác định:

′

−1

k eff ≥ K AL ({kα , μα , vα },{ Aαβγ }) = (kR−1 − v k ·A k ·vk )−1 (2.7)
2.3. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể
2.3.1. Mô hình quả cầu lồng nhau hai pha

(a)

(b)


12
 
18
16
HS

14

DXC 3D
12

k eff

10
8
6
4
2
0
0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
v2

0.6

0.7

0.8

0.9

(c)
Hình 2.1 Biên của mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp dạng
quả cầu lồng nhau hai pha và hỗn hợp dạng cầu đối xứng với

k1 = 1, μ1 = 0.3, k2 = 20, μ2 = 10, v2 = 0.1 → 0.9 . (a) Quả cầu lồng
nhau; (b) Hỗn hợp dạng cầu đối xứng; (c) HS - Biên trên và biên
dưới Hashin-Shtrikman tương ứng với giá trị mô đun đàn hồi thể tích
chính xác của vật liệu quả cầu lồng nhau ζ 2 = 1 và ζ 1 = 0 , DXC 3D
- Biên trên và biên dưới cho vật liệu tổ hợp đối xứng dạng cầu.
2.3.2. Mô hình quả cầu lồng nhau ngẫu nhiên

Xem xét vật liệu dạng quả cầu không chồng lấn (tách rời) có kích
cỡ bằng nhau phân bố ngẫu nhiên hai thành phần (hình 2.5a) và quả
cầu chồng lấn ngẫu nhiên (hình 2.6a) nằm trong pha nền 1. Biên cho
mô

hình

này

khảo

sát

trong

khoảng

v2 = 0.1 → 0.99, k1 = 1, μ1 = 0.3, k2 = 20, μ2 = 10, so sánh với biên
Hashin-Shtrikman biểu diễn trong hình 2.2b, 2.3b.


13
 
9
8
HS
7

KCL 3D

k eff

6
5
4
3
2
1
0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35
v2

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

(b)

(a)

Hình 2.2 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu
dạng cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn (KCL 3D)

20
18
HS

16

CL 3D
14

k eff

12
10
8
6
4
2
0
0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

v2

(a)

(b)

Hình 2.3 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu
dạng cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên chồng lấn (CL 3D)


14
 

Nhận xét: Trên hình 2.2b, cho thấy biên dưới có xu hướng tiệm
cận với biên HS còn biên trên khá cách xa nhau bởi vì kα khá chênh
lệch giữa cốt (quả cầu) và nền. Hình 2.3b tuy vẫn có xu hướng tiệm
cận với biên dưới của HS nhưng biên trên cũng gần với biên trên HS
tại đầu mút v2 = 0.99 .
2.3.3. Mô hình quả cầu lồng nhau ba pha

Đây là dạng vật liệu các quả cầu lồng nhau với các kích thước
khác nhau nhưng có cùng tỷ lệ thể tích các pha và điền đầy vùng
không

gian

vật

liệu

khảo

sát.

Thành

phần

vật

liệu

k1 = 12, μ1 = 8, k2 = 1, μ 2 = 0.3, k3 = 30, μ3 = 15.
12
11
10
9

k eff

8
7
6
5
HS

4

PDC 1996
3
2

0.1

(a)

NCX 3D
0.2

0.3

0.4

0.5
v1

0.6

0.7

0.8

0.9

(b)

Hình 2.4 Biên của mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu quả
cầu

lồng

nhau

ba pha khảo sát trong khoảng
1
v1 = 0.1 → 0.9, v2 = v3 = (1− v1) .
2
(a)  Mẫu vật liệu quả cầu lồng nhau ba pha ; (b) So sánh giữa

biên HS, biên cũ (PDC 1996), và biên mới (NCX 3D) hội tụ với giá
trị chính xác của mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô


15
 

Nhận xét: Hình 2.4b thể hiện kết quả tính chính xác với mô hình
quả cầu lồng nhau 3 pha. Tuy trong trường hợp quả cầu lồng nhau 2
pha thì biên PDC 1996 hội tụ nhưng trong trường hợp 3 pha thì
không thể mặc dù biên của PDC 1996 cũng có xét đến thông tin
hình học bậc ba của vật liệu. Ở đây ta có kết quả trùng nhau giữa
biên trên và biên dưới, một đóng góp mới của luận án khi so sánh
kết quả với những công bố trước đó.
2.3.4. Mô hình vật liệu tựa đối xứng

Ví dụ này tác giả xem xét đến vật liệu dạng tựa đối xứng (TDX)
trong không gian 3 chiều (hình 2.5a) đây là loại vật liệu không có sự
phân biệt rõ ràng giữa pha nền và pha cốt liệu (Pham [50], Torquato
[77]). k eff của vật liệu này nằm trong biên Hashin-Shtrikman và đại
diện cho các loại vật liệu tổ hợp đẳng hướng tựa đối xứng.
16
14

HS
TDX 3D

12

k eff

10
8
6
4
2
0
0.1

(a)

0.2

0.3

0.4

0.5
v1

0.6

0.7

0.8

0.9

(b)

Hình 2.5 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu ba
pha tựa đối xứng (TDX 3D), v1 = 0.1 → 0.9, v2 = v3 = 0.5(1 − v1 ) với
k1 = 1, μ1 = 0.3, k2 = 12, μ 2 = 8, k3 = 30, μ3 = 15


16
 

2.4. Kết luận
Trên đây với đường lối biến phân tác giả đã trình bày cách xây
dựng đánh giá trên và đánh giá dưới mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô

k eff của vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần thông qua
nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu.
Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để tối ưu hóa các
phiếm hàm có các biến tự do ràng buộc.
Có thể thấy rằng các trường khả dĩ mà được lựa chọn (chứa N-1
tham số tự do) tổng quát hơn so với trường khả dĩ trong [1] chỉ chứa
1 tham số tự do bởi vậy đánh giá mới là tốt hơn khi N ≥ 3 , như đã
được so sánh cụ thể trong trường hợp quả cầu lồng nhau 3 pha.
Mô hình bài toán được xây dựng trong trường hợp không gian d

chiều cho nên kết quả được sử dụng trong các trường hợp mô hình

không gian khác nhau, các đánh giá chứa đựng ngoài thông tin về
tính chất (kα , μα ) , tỷ lệ thể tích vα của các thành phần, còn chứa các
thông tin bậc 3 về hình học pha của vật liệu Aαβγ . Thông tin hình học
bậc ba của vật liệu được đưa ra nhằm tính đến ảnh hưởng bởi hình
học cụ thể của vật liệu giúp cho kết quả đánh giá tốt hơn.
Các kết quả đã áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể như
mô hình quả cầu lồng nhau nhiều thành phần, quả cầu phân bố ngẫu
nhiên không chồng lấn và chồng lấn, quả cầu phân bố dạng tuần
hoàn và vật liệu tựa đối xứng nhiều thành phần trong không gian 2
chiều và 3 chiều. Để cho rõ ràng, trong tính toán so sánh, tác giả
chọn tính chất các vật liệu khác nhau nhiều. Khi khác biệt nhỏ đi các
đánh giá tiến sát tới nhau cho được giá trị gần đúng tính chất vĩ mô
của vật liệu.
Kết quả nghiên cứu trong chương này đã được tác giả công bố
trong các công trình khoa học 1., 2., 4. và 5.


17
 
CHƯƠNG 3. XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN
ĐÀN HỒI TRƯỢT VẬT LIỆU TỔ HỢP ĐẲNG
HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN
Cách thực hiện cũng giống như trong chương 2 là tiếp cận theo
đường hướng năng lượng giúp chúng ta xác định được biên trên và
biên dưới của mô đun đàn hồi trượt vĩ mô.
3.1. Xây dựng đánh giá biên trên mô đun đàn hồi thể trượt vĩ mô
vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên
lý năng lượng cực tiểu

Để xây dựng đánh giá trên cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô μeff ,

ta lựa chọn trường khả dĩ có dạng:
N
⎡ 1
⎤
0
εij = εij0 + ⎢aα (ϕ,αik εkj
+ ϕ,αjk ε0ki ) + bα ψ ,αijkl ε0kl ⎥, i , j = 1,..., d ; (3.1)
2
⎦
α=1 ⎣

∑

trong đó ε0ij = εij0 (εii0 = 0) là biến dạng lệch cho trước, ψ α là hàm thế

song điều hòa, aα , bα là các hệ số tự do cần tìm chịu ràng buộc.
Đưa (3.1) vào (1.7) và tiến hành rút gọn ta được:
Wε = ε : C : εd x = μV − v′μ ·Aμ−1 ·vμ 2ε0ij ε 0ij .

(

∫

)

(3.2)

V

Từ (1.7) và (3.2), chúng ta có được biên trên cho mô đun đàn hồi

trượt vĩ mô μ eff của vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần:
μ eff ≤ M UAB ({kα , μ α , vα },{ Aαβγ , Bαβγ }) = μV − v′μ ·Aμ−1 ·vμ

(3.3)

′

Các véctơ v μ , vμ và ma trận Aμ trong miền không gian 2N chiều:
⎧v
vμ = ⎨ 1 (μ1 − μ R ),
⎩d

{ }

Aμ = Aαμβ ,
⎧v μ
v′μ = ⎨ 1 1 ,
⎩ d

v
2 v (μ − μ R )
, N (μ N − μ R ), 1 1
,
d
d(d + 2)

α, β = 1,

T

2 v (μ − μ R ) ⎫
, N N
⎬ ,
d ( d + 2) ⎭

,2N ,

v μ
2v1μ1
, N N,
,
d
d ( d + 2)

T

N
2v μ ⎫
, N N ⎬ , μV = vα μ α .
d ( d + 2) ⎭
α =1

∑


18
 

3.2. Xây dựng đánh giá biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô
vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên

lý năng lượng bù cực tiểu
Để xây dựng đánh giá dưới cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô μ eff ,
ta lựa chọn trường khả dĩ có dạng:
σij = σij0 +

N

∑ ⎡⎣a ( ϕ
α

α
0
,ik σkj

α=1

)

0
0
0
⎤ , i , j = 1,..., d ;
+ ϕ,αjk σki
− I α σij0 − (aα + bα )δij ϕ,αkl σkl
+ bα ψ ,αijkl σkl
⎦

(3.4)

trong đó σ0ij = σij0 (σii0 = 0) là ứng suất lệch cho trước.

Đưa (3.4) vào (1.8) và tiến hành rút gọn cuối cùng ta có được kết
quả đánh giá biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô cho vật liệu tổ
hợp đẳng hướng nhiều thành phần:

(

)

′

−1

L
μ eff ≥ M AB
{kα , μ α , vα },{ Aαβγ , Bαβγ } = (μ −R1 − v μ ·A μ ·vμ )−1 (3.5)

trong đó:
⎪⎧ ( 2 − d )v1 −1
vμ = ⎨
(μ1 − μV−1 ),
d
⎩⎪
−1
′
⎪⎧ ( 2 − d )v1μ1
,
vμ =⎨
d
⎩⎪

{ }
μ

A μ = Aαβ ,

,

2v (μ −1 − μV−1 )
( 2 − d )vN −1
,
(μ N − μV−1 ), 1 1
,
d
d ( d + 2)

( 2 − d )vN μ −N1 2v1μ1−1
,
,
d
d ( d + 2)

α, β = 1,

,2N

;

μ −R1 =

,

N

2vN μ −N1 ⎪⎫
⎬,
d(d + 2) ⎭⎪

vα

∑μ
α =1

T

2v (μ −1 − μV−1 ) ⎪⎫
, N N
⎬
d(d + 2) ⎭⎪

.

α

3.3. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể
3.3.1. Mô hình vật liệu tựa đối xứng

Trong trường hợp vật liệu tổ hợp đối xứng không có sự khác biệt
giữa pha nền và pha cốt liệu [50] trong không gian 3 chiều (hình
3.1a), thông tin hình học bậc ba của vật liệu Aαβγ , Bαβγ có dạng đặc
biệt [50-51].

19
 
10
9

HS

8

TDX 3D
DXC 3D

7

μeff

6
5
4
3
2
1
0
0.1

(a)

0.2

0.3

0.4

0.5
v1

0.6

0.7

0.8

0.9

(b)

Hình 3.1 Biên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô của vật liệu đẳng
hướng ba thành phần (TDX 3D), so sánh với vật liệu tổ hợp đối xứng
dạng cầu (DXC 3D) và biên HS; v1 = 0.1 → 0.9, v2 = v3 = 0.5(1 − v1 )
với k1 = 1, μ1 = 0.3, k2 = 12, μ 2 = 8, k3 = 30, μ3 = 15 . (a) Mẫu vật liệu
đối xứng ba thành phần; (b) Các đường biên so sánh.

Nhận xét: Các đánh giá xây dựng trong luận án đều nằm trong
biên đánh giá trước đây (biên HS), đối với trường hợp không gian 3
chiều trong khoảng khảo sát v1 = 0.1 → 0.4 , đánh giá trên của biên

μUDXC và biên μUTDX là trùng nhau. Theo chiều hướng ngược lại trong
L
cũng trùng

khoảng khảo sát v1 = 0.5 → 0.9 biên μ LDXC và biên μTDX

nhau.
3.3.2. Vật liệu 2 pha tuần hoàn theo dạng hình lục giác đều

Ví dụ cuối khi xem xét vật liệu 2 pha cốt liệu hình tròn có cùng
kích cỡ sắp xếp tuần hoàn theo dạng hình lục giác đều (LGD) (hình
3.2a) trong khoảng v2 = 0.1 → 0.7 với k1 = 1, μ1 = 0.5, k2 = 10, μ 2 = 5 .
Hai tham số ζ1 (hoặc ζ 2 ) và η1 (hoặc η2 ) cho loại vật liệu này được
đưa ra trong [77].


20
 
3

HS

2.5

LGD

μ

eff

2

1.5

1

0.5

0
0.1

(a)

0.2

0.3

0.4
v2

0.5

0.6

0.7

(b)

Hình 3.2 Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi trượt ngang hiệu
quả của vật liệu tuần hoàn hình lục giác đều (LGD).
Kết quả cho thấy đường biên mô đun đàn hồi trượt ngang hiệu
quả của vật liệu tuần hoàn (LGD) nằm trong kết quả tính theo HS.
3.4. Kết luận

Trường khả dĩ mở rộng mà tác giả đưa ra tổng quát hơn so với
trường khả dĩ phân cực HS được sử dụng trong [1], [49] giúp cho kết
quả tốt hơn những đánh giá trước đây. Việc đưa hàm thế điều hòa và
thế song điều hòa nhằm mô tả thông tin của vật liệu một cách tường
minh tuy nhiên việc giải bài toán cũng phức tạp hơn.
Trường khả dĩ chứa 2 N − 2 tham số tự do so với 2 biến tự do là
k0 , μ0 của [1],[49] giúp cho đánh giá tốt hơn khi N ≥ 3 .

Bài toán được xây dựng trong trường hợp không gian d chiều có
tính tổng quát. Tác giả cũng đã áp dụng cho một số mô hình cụ thể:
vật liệu tựa đối xứng, vật liệu 2 pha tuần hoàn dạng lục giác đều...
Trong chương này những điểm mới của nội dung nghiên cứu
được thể hiện thông qua các công trình đã công bố 1., 3. và 5.


21
 
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG PHÁP PTHH ÁP DỤNG CHO VẬT
LIỆU TUẦN HOÀN NHIỀU THÀNH PHẦN
Chương này mô tả lý thuyết đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn, các
giả thiết đưa ra để áp dụng tính toán phương pháp PTHH chạy trên
nền mã nguồn mở của chương trình CAST3M (Pháp). Kết quả tính
toán cho một mô hình vật liệu tuần hoàn cụ thể được tác giả so sánh
với các đánh giá đã xây dựng trong chương 2 và chương 3.
4.1. Đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn

Ý tưởng của lý thuyết vật liệu tuần hoàn là các thông tin cơ bản
liên quan tới các tính chất vật lý của các thành phần và hình thái của
các vi cấu trúc có thể được lưu giữ trong một cấu trúc cơ sở (nhân
tuần hoàn - cell periodict). Sau đó, một mô hình tuần hoàn cho các

vật liệu thực tế có thể đạt được bằng cách làm đầy toàn bộ không
gian với cấu trúc cơ sở này một cách tuần hoàn.

Hình 4.1 Cấu trúc cơ sở của vật liệu tuần hoàn
Dựa theo lý thuyết đồng nhất hóa, các tính toán được quy về trên
phần tử đặc trưng. Để giải quyết bài toán ta coi rằng phần tử đặc
trưng của vật liệu nghiên cứu ký hiệu Ω chịu tác động bởi một
trường biến dạng đồng nhất E . Trường biến dạng này được tạo ra bởi
một trường ứng suất trung bình trên toàn miền Σ .


22
 

4.2. Giới thiệu về chương trình CAST3M

Chương trình CAST3M được hỗ trợ bởi tổ chức nghiên cứu công
nghệ thuộc chính phủ Pháp đã có lịch sử 20 năm. Bộ chương trình
này chứa các yếu tố cần thiết để mô phỏng tính toán đối tượng theo
phương pháp PTHH. Phạm vi ứng dụng chủ yếu là về các vấn đề cơ
học bao gồm ứng xử của vật liệu đàn hồi, đàn - nhớt - dẻo ...
Cũng như cấu trúc của một chương trình tính toán theo phương
pháp PTTH thông thường, chương trình tính toán cho bài toán đồng
nhất hóa vật liệu theo phương pháp PTHH cũng bao gồm các bước:
•

Thiết lập lưới phần tử hữu hạn.

•

Gán thông số về vật liệu và mô hình cơ học.

•

Thiết lập các điều kiện biên tuần hoàn.

•

Đặt tải trọng trung bình.

•

Tính toán các hệ số đàn hồi vĩ mô.

4.3. Tính toán cho mô hình vật liệu cụ thể

Trong trường hợp vật liệu cốt sợi dọc trục đẳng hướng ngang
được xem xét ở đây, phần tử đặc trưng có dạng hình học thể hiện như
trong hình 4.2.

Hình 4.2 Cấu trúc cơ sở của vật liệu tuần hoàn
Pha cốt sợi có dạng hình trụ tròn chạy theo phương dọc trục, trên
mặt cắt ngang được bố trí theo dạng hình lục giác đều. Năm hệ số
đàn hồi hiệu quả đặc trưng cho dạng vật liệu này được xác định cụ
thể như sau: mô đun diện tích theo phương ngang (e1 , e2 ) K eff , mô


23
 

đun trượt theo phương ngang (e1 , e2 ) μeff ,  hệ số nở hông dọc theo
phương (e1 , e3 )   hoặc  (e2 , e3 ) ν eff ,  mô đun đàn hồi dọc trục  E eff   và
mô đun trượt dọc trục theo phương (e1 , e3 )  hoặc  (e2 , e3 ) μeff .
Vật liệu tính toán có dạng cốt sợi dọc trục với pha nền ta ký hiệu
là chữ m và vật liệu cốt sợi ký hiệu bởi chữ i. Pha nền và pha cốt đều
là dạng vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng được đặc trưng bởi
mô đun E và hệ số ν. Giá trị lần lượt của 5 hệ số đàn hồi hiệu quả
phụ thuộc vào phần trăm thể tích pha cốt liệu vi sẽ được trình bày từ
hình 4.3 tới hình 4.7. Các hình .(a) tương ứng với số liệu:
E m = 1, ν m = 0.25, E i = 10, ν i = 0.35 và ngược lại các hình .(b) tương

ứng với số liệu: Em = 10, ν m = 0.35, Ei = 1, ν i = 0.25 . Kết quả phương
pháp PTHH biểu thị bằng đường đậm nét đứt cùng với hai đường nét
liền là đánh giá trên và dưới.
Các đánh giá cho K eff , μeff sử dụng các kết quả chương 2 và 3
cho bài toán 2 chiều. Các đánh giá cho E eff và ν eff dựa vào quan hệ
Hill cho vật liệu cốt sợi dọc trục 2 pha. Các đánh giá cho μeff tương
tự với đánh giá cho hệ số dẫn vật liệu 2 pha sử dụng kết quả [45].

Hình 4.3 Mối quan hệ K eff − vi