lịch sử toán. giai đoạn toán học cổ điển

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên có nhiều ứng dụng trong cuộc sống.
Lịch sử toán học (hay lịch sử toán) là một ngành của toán học. Đối tượng của toán
học thuần túy là những quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới
quan. Toán học là khoa học thuộc vào loại cổ nhất. Do ảnh hưởng của những hoạt
động sản xuất sơ khai, con người đã có kiến thức toán học từ rất sớm. Phạm vi của
quan hệ số lượng và hình dạng không gian mà toán học nghiên cứu không ngừng
được mở rộng, trong mối quan hệ chặt chẽ với những nhu cầu của kỹ thuật và khoa
học tự nhiên làm cho nội dung định nghĩa tổng quát về toán ngày càng phong phú.
Bắt nguồn từ hiện thực, các quan hệ số lượng và hình dạng không gian được
trí óc con người trừu tượng hóa và nghiên cứu trong mối liên hệ nhiều hình, nhiều
vẻ giữa chúng với nhau bằng con đường thuần túy logic tính trừu tượng của toán
học càng cao thì phạm vi ứng dụng toán học càng mở rộng. Lịch sử cho hay nhiều
phát minh toán học đi trước khoa học và kỹ thuật khá lâu có khi đến hàng thế kỷ.
Vì vậy, quá trình hình thành, phát triển và những thành tựu toán học trong
từng giai đoạn toán học này cần có nhận thức rộng rãi. Thực tế đã chứng minh, toán
học có phát triển đến đâu thì những thành tựu của các nhà toán học trong giai đoạn
toán học cao cấp cổ điển là sự hình thành các môn cơ sở của nền toán học cao cấp
cổ điển. Với hình học giải tích và giải tích các đại lượng vô cùng bé, toán học đã
thay đổi về chất, trở thành toán học của những đại lượng biến thiên.
Với mong muốn tổng hợp lại những kiến thức cũng như đi sâu tìm hiểu về giai
đoạn toán học cao cấp cổ điển nên tôi chọn đề tài “Giai đoạn toán học cao cấp cổ
điển” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu về quá trình hình thành và những thành tựu của các nhà toán học
giai đoạn toán học cao cấp cổ điển.
- Nâng cao sự hiểu biết của bản thân.
3. Phạm vi nghiên cứu
- Quá trình hình thành và phát triển của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển.
1

- Những thành tựu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển.
4. Đóng góp của đề tài
- Giúp sinh viên hiểu được quá trình hình thành, trào lưu toán học cũng như
các thành tựu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển.
- Sinh viên tích cực, hoạt động tham gia các hoạt động của môn học, có năng
lực tự học cao, có phương pháp học tập tích cực, sáng tạo.
5. Cấu trúc của đề tài
Đề tài được trình bày theo bố cục sau:
Chương 1: Khái quát chung về giai đoạn toán học cao cấp cổ điển.
Chương 2: Trào lưu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển.
Chương 3: Thành tựu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển.

Chương 1. KHÁI QUÁT CHUNG VỀ GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC
CAO CẤP CỔ ĐIỂN

2


Vào thế kỷ thứ XVII, ở các nước Tây Âu có những tiến bộ sâu sắc về kinh tế,
chính trị và xã hội. Đó là những yếu tố quan trọng thúc đẩy toán học phát triển
mạnh mẽ.
1.1. Về chính trị
Những cuộc cách mạng tư sản ở Tây Âu và Bắc Mỹ đã từng bước thiết lập hệ
thống chính trị tư sản trong các quốc gia phát triển( Anh, Pháp, Đức, Mỹ) rồi lan
tỏa ảnh hưởng ra các nước trên những mức độ khác nhau ở châu Âu, châu Mỹ
Latinh và châu Á.
Cùng với sự hình thành bộ máy nhà nước tư sản là sự xuất hiện các trào lưu tư
tưởng về quyền con người và quyền công dân; các học thuyết về thể chế chính trị

và quyền tự do dân chủ, nổi bật nhất là triết học Ánh sáng; các dòng văn học lãng
mạn và hiện thực phản ánh cuộc vận động lớn lao đó.
1.2. Về kinh tế
Thời kỳ này còn được đánh dấu bởi cuộc cách mạng công nghiệp, mở đầu
bằng việc phát minh và sử dụng máy hơi nước vào sản xuất ở nước Anh cuối thế kỷ
XVIII. Một cuộc cách mạng diễn ra rầm rộ ở châu Âu đã làm thay đổi cách thức
sản xuất từ lao động bằng tay, sang sử dụng máy móc và từng bước hình thành một
cơ cấu công nghiệp hoàn chỉnh; từ sản xuất quy mô nhỏ lên quy mô lớn với sự ra
đời của các nhà máy và các khu công nghiệp, khiến cho loài người trong vòng chưa
đầy một trăm năm, có thể sáng tạo nên một lực lượng vật chất to lớn và đồ sộ hơn
tất cả các thế hệ trước cộng lại.
Chính những thành tựu kinh tế và kỹ thuật ấy đã khẳng định ưu thế của chế độ
tư bản đối với chế độ phong kiến, đã tạo nên một bước ngoặt cơ bản “từ làn sóng
nông nghiệp sang làn sóng công nghiệp”.
1.3. Về xã hội

3


Có những biến động lớn lao về đời sống xã hội với sự tăng dân số, sự phát
triển của đô thị, sự pháp lý hóa chế độ gia đình một chồng một vợ và điều quan
trọng là sự hình thành các giai cấp mới: giai cấp tư sản và giai vô sản.
Giai cấp tư sản công thương nghiệp và giai cấp vô sản công nghiệp – hệ quả
tất yếu của cách mạng công nghiệp – trở thành hai gai cấp cơ bản của xã hội tư bản
chủ nghĩa, có mối quan hệ khăng khít trong guồng máy sản xuất của nền kinh tế,
đồng thời ẩn chứ mối mâu thuẫn cơ bản về quyền lợi những người thống trị và
những người bị trị, giữa tư sản và vô sản.
Hình thành những trào lưu tư tưởng như: xã hội chủ nghĩa tiền công nghiệp
(Moro, Melie, Babop,…) xã hội chủ nghĩa không tưởng (Xanh Ximong, Phuarie,
…) và chủ nghĩa khoa học của Mac và Ăngghen.

4


Chương 2. TRÀO LƯU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC
CAO CẤP CỔ ĐIỂN
2.1. Thế kỷ XVII
Thế kỷ XVII là thế kỷ nổi bật trong lịch sử toán học. Trong lịch sử toán học,
thế kỷ XVII chiếm vị trí đặc biệt, nó mở ra một giai đoạn mới, giai đoạn toán học
của những đại lượng biến thiên. Ở thế kỷ này, các phương pháp toán học vẫn tiếp
tục sử dụng mạnh mẽ vào khoa học tự nhiên, trước hết là vào cơ học.
Ở đầu thế kỷ này, Napier đã phát minh ra logarit. Sự phát minh ra logarit, quy
tắc các phần vòng tròn tái tạo các công thức dùng để giải các tam giác cầu xiên. Nó
còn dùng làm phương tiện cho các phép nhân, chia, lấy căn bậc hai các số.
Giải tích toán học đã bắt đầu xuất hiện dưới những hình thức khác nhau. Đầu
tiên vào khoảng năm 1665 đến 1666, trong các công trình của Niutơn, phép tính
tích phân ra đời dưới dạng lý thuyết thông lượng. Từ giải tích, người ta nói đến
những bài toán biến phân, mà việc giải chúng về sau, đã làm xuất hiện tính biến
phân, bộ phận ra đời sớm nhất của giải tích hàm.
Ở Đức, đã phát triển giải tích và rất nhiều các ký hiệu giải tích vẫn còn được
sử dụng cho đến ngày nay.
Và gần cuối thế kỷ này, lĩnh vực lớn của hình học được mở ra, hình học giải
tích và cơ sở cho lý thuyết số hiện đại được hình thành. Môn hình học giải tích
được trình bày như một phương pháp biểu thị các kích thước, các dạng và các dạng
các tính chất hình của các đối tượng bằng các hệ thức số, thực chất là phương pháp
tọa độ. Sự phát minh ra hình học giải tích đó là sự mở ra một môn hình học mới là
hình học xạ ảnh. Các nhà toán học quan tâm đến sự kết hợp giữa các phương trình
đại số và các đường cong; tức là sử dụng các phương pháp có tính định hướng vào
nghiên cứu hình học. Chính vì vậy mà họ đã xây đựng nên môn hình học giải tích.
Sự khác nhau giữa hai ngành này là hình học xạ ảnh là một nhánh của hình học nói

5


chung còn hình học giải tích là một phương pháp của hình học. Sự phát minh ra
hình học giải tích đã tạo ra thay đổi mới về đối tượng nghiên cứu của toán học.
Hình học họa hình được đánh giá là quan trọng trong kiến trúc, kỹ thuật cơ
khí,…do nhà toán học Monggio (Gaspard Monge, 1746-1818) đặt nền móng.
Monggio đã xây dựng hình học họa hình thành lí luận và có tính ứng dụng cao.
Đến cuối thế kỷ XVII sau hàng loạt các công trình toán học dọn đường của
các nhà toán học khác nhau trong thế kỷ này thì môn phép tính vi-tích phân mang
tầm cỡ thế kỷ được sáng tạo ra. Sự phát minh ra phép tính vi-tích phân: Sự ra đời
của phép tính vi-tích phân đã đưa toán học sang một giai đoạn toán cao cấp, gần
như kết thúc của toán học sơ cấp. Từ đối tượng nghiên cứu là các số và hình ở
dạng tĩnh tại, toán học bước sang nghiên cứu đối tượng trong quá trình vận động
và biến đổi.
Phép tính vi, tích phân được sáng tạo ra là để giải quyết bốn vấn đề khoa học
của thế kỷ XVII như sau:
+) Vấn đề thứ nhất, cho vật thể chuyển động theo một công thức là một hàm
số theo thời gian, hãy tìm vận tốc và gia tốc của nó ở một thời điểm bất kỳ; ngược
lại, cho biết gia tốc của vật thể chuyển động là một hàm theo thời gian, hãy tìm vận
tốc và quãng đường đi được.
+) Vấn đề thứ hai là, vấn đề tìm tiếp tuyến của đường cong. Bài toán này có
ứng dụng quan trọng trong khoa học như: quang học, nghiên cứu chuyển động,
hướng chuyển động.
+) Vấn đề thứ ba là, tìm giá trị cực đại cực tiểu của một hàm số.
+) Vấn đề thứ tư là, tìm chiều dài của đường cong.
Phép tính vi phân, tích phân là một ngành toán học bao gồm hai tư tưởng
chính là phép tính vi phân và phép tính tích phân với các khái niệm cơ sở là: khái
niệm hàm số, giới hạn, dãy số, chuỗi số và liên tục.

6


Trong thế kỷ XVII đại số ngày càng thoát khỏi các yếu tố hình học. Trong đó
công cụ ký hiệu bằng chữ đã được củng cố. Lý thuyết tổng quát về các phương
trình được xác định.
Lý thuyết số được phong phú thêm bởi những nghiên cứu xuất chúng của
Phécma, quyết định sự phát triển về sau của nó. Đặc biệt, có hai định lý do ông
phát biểu mà không chứng minh.
n
n
n
+) Định lý Phécma lớn: “Phương trình Điôphăng x + y = z , n > 2 và nguyên,

không có nghiệm nguyên dương”.
+) Định lý Phécma nhỏ: “Nếu p là số nguyên tố, a là số nguyên không chia hết
n −1
n −1
cho p thì a ≡ 1( mod p ) , nghĩa là a − 1 chia hết cho p.

Khoảng giữa thế kỷ XVII, lý thuyết xác suất mà những bài toán của nó cũng
được nghiên cứu với lý thuyết tổ hợp đã bắt đầu được hình thành như một môn
khoa học.
2.2. Thế kỷ XVIII
Toán học thế kỷ XVII, người ta dành cho việc tìm tòi phương pháp mới và có
hiệu lực của phép tính vi-tích phân, trong thế kỷ này đa phần toán học là mục tiêu
trong các lĩnh vực cơ học và thiên văn học.
Nửa sau thế kỷ XVIII, logarit giữ vai trò đặc biệt quan trọng. Các bảng logarit
và thước tính logarit đã được phổ biến trên toàn thế giới và đã là một công cụ hỗ
trợ không gì có thể thay thế được trong tính toán. Nó được coi là phương tiện trung

gian làm giảm nhẹ phép tính trong lượng giác và thiên văn.

7


Chương 3. THÀNH TỰU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC
CAO CẤP CỔ ĐIỂN
Thế kỷ XVII là một thế kỷ nổi bật trong lịch sử toán học. Ở đầu thế kỷ này,
Nepier đã phát minh ra logarit, Harriot và Oughtred đã đặt nền móng khoa học
động lực, Kepler đã công bố định luật chuyển động của các hành tinh. Vào gần
cuối thế kỷ này, Desargues và Pascal đã mở ra một lĩnh vực mới của hình học,
Desscartes và Fermat đưa ra hình học giải tích, Fermat đặt ra cơ sở lý thuyết số
hiện đại, Huygens có đóng góp nổi bật cho lý thuyết xác suất và vài lĩnh vực khác.
Vào cuối thế kỷ XVII, sau hàng loạt các công trình khoa học dọn đường của các
nhà khoa học khác nhau trong thế kỷ này thì phép tính vi phân, tích phân mang tầm
cỡ thế kỷ của Newton và Leibniz.
Như vậy, trong thế kỷ XVII nhiều lĩnh vực quan trọng đã được mở ra cho
nghiên cứu toán học.
3.1. Các thành tựu về giải tích
3.1.1. Sự phát minh ra logarit
Jonh Napier (1550-1617) người Scotland, ông đã phát minh ra logarit, quy tắc
các phần hình tròn để tái tạo ra các công thức dùng để giải các tam giác cầu vuông
góc; các tương tự Napeir rất hữu ích trong việc giải các tam giác cầu xiên; và thanh
Napier hoặc xương Nepier được dùng làm phương tiện cho các phép nhân, chia, lấy
căn bậc hai các số. Các tính chất của logarit đầu tiên được trình bày bằng ví dụ số.
Từ cách viết bằng chữ (năm 1648) chuyển sang cách viết tắt (năm 1742), chẳng hạn
Lab = La + Lb . Trong thời gian này các phép tính logarit chưa được xem là các
phép tính đại số. Ơle, vào năm 1748, đã định nghĩa logarit là phép tính ngược của
phép tính nâng lên lũy thừa và coi logarit là một lũy thừa nào đó. Sự phân biệt ký
hiệu Ln và log cho logarit tự nhiên và logarit thập phân đã có từ năm 1821 (do

Côsi).
8


Phát minh ra logarit của Napier đã được hưởng ứng đầy nhiệt tình ở khắp châu
Âu. Đối với thiên văn học, khám phá này nảy ra đúng lúc, Laplace đã xác nhận
rằng việc phát minh ra logarit “đã giảm lao động cho các nhà thiên văn học được
một nửa cuộc đời mình”.
3.1.2. Sự phát minh ra phép tính vi-tích phân
Đây là thành tựu nổi bật của thế kỷ XVII, là phát minh của Isaac Newton và
Gottfried Wilhelm Leibnitz. Sự ra đời của phép tính vi tích phân đã đưa toán học
sang một giai đoạn toán học cao cấp, gần như kết thúc giai đoạn toán học sơ cấp.
Phép tính vi phân, tích phân được sáng tạo ra là nhằm giải quyết vấn đề khoa
học của thế kỷ XVII.
Trước Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibnits có nhiều người có những
đóng góp quan trọng nhưng theo Richey, ngành giải tích (do Newton và Leibniz
phát minh) là một ngành nghiên cứu các tính chất của các đường cong như tiếp
tuyến, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chiều dài cung, độ cong, trọng tâm nhờ
dùng các kỹ thuật giải tích nghĩa là kỹ thuật giống như đại số) để áp dụng vào tất
cả các đường cong một cách có quy tình thuật toán. Việc tính toán này (hay cách
thức tính toán) thu hẹp tất cả các câu hỏi vào hai quá trình liên hệ ngược với nhau;
được gọi là phép tính vi phân và phép tính tích phân.
Trong lịch sử, phép tính vi tích phân chính thức xuất hiện đồng thời dưới hai
dạng: Dạng lý thuyết thông lượng trong công trình của Niutơn và những người kế
tục ông ở Anh và dưới dạng phép tính vi phân của Lépnít, được truyền bá trước hết
trên lục địa châu Âu.
+) Lý thuyết thông lượng của Niutơn
Niutơn (Issac Newton, 1643 – 1727) sinh ra ở Anh. Ông hoạt động khoa học
trên các lĩnh vực vật lý, cơ học, thiên văn và toán học. Ông sáng tạo ra phép tính vi
phân và tích phân dưới dạng “ lý thuyết thông lượng”.

Trong lý thuyết thông lượng, Niuton nghiên cứu những đại lượng biến thiên,
được đưa vào như sự trừu tượng hóa các chuyển động cơ học liên tục thuộc các
9


dạng các nhau. Chúng được gọi là nhưng thông lượng. Mọi thông lượng đều là các
biến lượng phụ thuộc vào đối số thời gian. Tiếp theo đó Niuton đưa vào khái niệm
tốc độ chảy của các thông lượng, tức là đạo hàm của thông lượng theo thời gian,
chúng được gọi là những thông vận. Vì thông vận là đại lượng biến thiên nên ta có
thể tìm thông vận của thông vận, nếu ký hiệu thông lượng là y thì kí hiệu thông
lượng thú nhất là, thứ hai, thứ ba lần lượt là y ', y '', y '''... Muốn tính tốc độ tức thời,
tức là các thông vận, cần những thay đổi vô cùng bé các thông lượng mà Niuton
gọi là mômen.
Trong lí thuyết thông lượng, Niuton đã giải quyết hai bài toán chính, được
phát biểu bằng ngôn ngữ cơ học cũng như ngôn ngữ toán học:
Xác định tốc độ của chuyển động ở một thời điểm đã cho theo một đoạn
đường đã cho (bài toán thuận của lí thuyết thông lượng). Nói cách khác là xác định
hệ thức giữa các thông vận từ hệ thức đã cho giữa các thông lượng. Đây là vi phân
hàm số ẩn ở dạng tổng quát và nhận được phương trình vi phân.
Xác định đoạn đường đi được trong thời gian đã cho theo tốc độ chuyển động
cho trước (bài toán ngược của lí thuyết thông lượng). Theo ngôn ngữ toán học tức
là tìm các hệ thức giữa các thông lượng theo hệ thức đã biết giữa các thông vận.
Đây là bài toán tích phân các phương trình vi phân được đặt ra dưới dạng tổng
quát. Trường hợp riêng của bài toán này dẫn tới việc tìm các nguyên hàm.
Lí thuyết thông lượng của Niuton đánh dấu một giai đoạn phát triển của giải
tích vô cùng bé khi mà theo cách nói của C.Mac: “Lí thuyết này tồn tại và sau đó
mới được giải thích” và cơ sở nó vẫn là bí hiểm.
+) Phép tính vi phân của Lépnít
Lépnít (Gottfried Wihelm Leibnitz, 1646 – 1716), sinh tại Lépdích (nước
Đức). Những cống hiến của ông về mặt khoa học rất đa dạng, khoa học tự nhiên,

vật lý, triết học, luật pháp, văn học, ngôn ngữ học, toán học. Trong khuôn khổ
thuần túy toán học, phép tính của Lepnit được hình thành từ những yếu tố:
10


- Những bài toán lấy tổng các chuỗi và sự đưa vào các hệ thống sai phân hữu hạn.
- Việc giải các bài toán tiếp tuyến việc chuyển dần các hệ thức giữa những
phần tử hữu hạn thành tùy ý, và rồi thành các phần tử vô cùng bé.
- Những bài toán ngược với bài toán tiếp tuyến, việc lấy tổng các sai phân vô
cùng bé, phát hiện ra tính chất tương hỗ của các bài toán vi phân và tích phân .
Năm 1684, trong tạp chí của Lépđích, Lépnit mới xuất bản tập hồi kí đầu tiên
về giải tích các đại lượng vô cùng bé “Phương trình mới về các cực đại, cực tiểu,
các tiếp tuyến mà đối với nó các đại lượng phân, cũng như vô tỷ không gây ra trở
ngại gì, và loại toán riêng cho phương pháp ấy”. tập hồi ký này không lớn, chưa
đầy 10 trang, trong đó không có các chứng minh. Nhưng ở đây lần đầu tiên phép
tính vi phân xuất hiện như một đối tượng nghiên cứu của toán học dưới hình thức
giống với cấu trúc hiện đại của nó.
Vi phân của đối số ( dx ) được coi như đại lượng hoàn toàn tùy ý. Vi phân của
hàm số ( dy ) được xác định bởi đẳng thức

dy =

ydx
St trong đó St là tiếp ảnh với

đường cong tại điểm ( x, y ) . Các ký hiệu dx, dy đã được đưa ra. Các quy tắc vi phân
của đại lượng không đổi, của tổng các hàm số, của hiệu, tích, thương, lũy thừa, căn
thức đã được trình bày.
Hồi ức năm 1684, là một bài luận giảng về phép tính vi phân. Hai năm sau,
năm 1686, một tác phẩm khác của Lepnit được xuất bản “Về hình học sâu sắc”,

trong đó tập trung các quy tắc tích phân của nhiều hàm số sơ cấp. Để ký hiệu phép
tính tích phân, ông đưa ra ký hiệu

∫

được hiểu như tổng của các vi phân và cũng

để nhấn mạnh tính chất ngược với phép tính vi phân.
Năm 1693, Lepnit đã mở rộng phép tính mới cho những hàm số siêu việt bằng
cách khai triển chúng thành chuỗi nhờ phương pháp hệ số bất định.
Năm 1695, ông nêu quy tắc vi phân của hàm lũy thừa tổng quát và công thức
vi phân bội của tích phân:
11


d m ( xy ) = d m xd 0 y +

m ( m − 1) m−2 2
m m−1
d xdy + ... +
d xd y + ...
1
1.2

Cùng lúc đó, ông còn mở rộng khái niệm vi phân cho các trường hợp số mũ
âm và phân. Trong các năm 1702-1703 đã tìm được các phương pháp tích phân các
phân số hữu tỷ.
Nhờ phép tính này, các nhà toán học ở cuối thế kỷ XVII và đầu thế kỷ XVIII
đã giải được một số lượng tăng khá nhanh những bài toán khó và quan trọng trong
thực hành. Trong cả loại hoạt động này, Lepnit là người đi tiên phong. Chẳng hạn,

năm 1691, ông đã xác định được hình dạng của một dây đồng chất, nặng, mềm
được treo lên ở hai đầu và đã viết được phương trình của dây xích. Từ năm 1696,
ông nghiên cứu những bài toán mới, đó là những bài toán biến phân. Ông đã tìm
được phương pháp giải các bài toán về các đường đoản trình.
Kí hiệu và danh từ do Lepnit nêu ra hình như đã được suy nghĩ, cân nhắc kỹ
lưỡng, chúng không phức tạp và đã phản ánh được bản chất của vấn đề, giúp đỡ ta
khi tìm hiểu chúng và cho phép toán theo những quy tắc tương đối đơn giản. Lepnit
đã đặt ra các thuật ngữ: vi phân, phép tính vi phân, hàm số, tọa độ phương trình vi
phân, thuật tính và nhiều từ khác.
Tuy nhiên Lepnit hay Niuton không đủ sức để giải quyết vấn đề cơ sở của giải
tích vô cùng bé, chưa giải thích được một cách cho hợp lý những khái niệm cơ bản
dựa trên tính chất gần vô hạn, nhỏ vô hạn hoặc sự kéo dài vô hạn của một quá trình.
Trong các bản thảo, các báo cáo, Lepnit luôn trở đi trở lại vấn đề này. Ông đã nhiều
lần đứng ở những góc độ khác nhau để giải quyết nhưng chưa thành công.
Ngày nay, ta thấy rằng, xuất phát từ những căn cứ khác nhau, cả Niuton và
Lepnit đều đã phản ánh nhu cầu chung của khoa học về giải tích vô cùng bé. Nhưng
tài liệu của Lepnit được xuất bản sớm hơn. Sự thuận lợi của các thuật tính và kí
hiệu, công lao tuyên truyền cho ngành toán học mới này một cách tích cực lại thuộc
về Lepnit.

12


3.1.3. Một vài thành tựu khác
Blaise Pascal (19/6/1623-19/8/1662) là một nhà toán học, nhà vật lý học, triết
gia người Pháp. Ông được tiếp thu nền giáo dục từ người cha của ông. Ngay từ thời
trẻ Pascal đã nổi tiếng là thần đồng. Ông khám phá ra phương trình quy nạp toán
học, có những đóng góp quan trọng cho phép tính tích phân và phép lấy tổng chuỗi.
Johann Bernuoulli( 27/7/1667-1/1/1748) là nhà toán học người Thụy Sĩ, con
trai thứ 10 của Nicolaus và Margaretha Bernoulli, và là em trai của Jacob Bernoulli

cũng là một nhà toán học có tiếng . Ông khám phá ra lý thuyết hàm số mũ, tích
phân các phân thức hữu tỷ, cầu phương và cầu trường các đường cong khác nhau.
Phần lớn công trình của ông tập trung vào các tính chất của một số đa dạng
các đường cong đặc biệt, kể cả đường đây xích, đường xoắn ốc logarit, và Johann
Bernoulli thường được xem là cha đẻ của ngành toán về các biến đổi do ông nghiên
cứu về đường brachistochrone (đường cong mà theo đó một chất điểm sẽ trượt từ
một điểm này tới một điểm khác dưới ảnh hưởng của trọng lực trong thời gian nhỏ
nhất có thể có, lực ma sát xem như không đáng kể).
3.2. Các thành tựu về hình học
Sự ra đời của hình học xạ ảnh và sự phát minh ra hình học tọa độ (hình học
giải tích).
Desargues và Pascal đã mở ra một môn hình học mới đó là môn hình học xạ
ảnh. Desargues và những hậu duệ của ông quan tâm đến những phương pháp tổng
quát để nghiên cứu đường cong. Nhưng Fecmat và Descarts quan tâm đến sự kết
hợp giữa các phương trình đại số và các đường cong, chính vì vậy Descarts và
Fecmat đã xây dựng nên môn hình học giải tích.
3.2.1. Hình học giải tích của Descarts
Descarts (Rene Descarts, 1596-1650) là nhà bác học người Pháp lỗi lạc, nhà
triết học, vật lý học, toán học, sinh lý học.
Descarts đã viết tập “Hình học” gồm 3 quyển.

13


Quyển I: Nói “Về các bài toán có thể giải được chỉ bằng đường tròn và đường
thẳng”. Nội dung cơ bản là những quy tắc lập phương trình cho những đường cong
hình học. Ông đã chứng minh rằng mọi bài toán có thể giả được bằng thước và
compa đều đưa về giải các phương trình không cao hơn bậc hai. Descarts không
tình bày cặn kẽ và tổng quát nhưng quy tắc chung của môn hình học giải tích mà
chỉ xen vào giới thiệu trong lời giải những bài toán khó.

Quyển II: Viết về “Bản chất của các đường cong”. Nội dung cơ bản là việc
khảo sát cụ thể các đường cong bậc khác nhau, sự phân loại chúng và trình bày các
tính chất của chúng. Descarts phân loại đường cong căn cứ vào chỗ có thể khảo sát
chúng bằng các công cụ. Theo đó, những đường cong thừa nhận được là những
đường cong có thể vạch ra bằng một chuyển động liên tục hoặc một số chuyển
động như thế, trong đó chuyển động sau phải được xác định bởi chuyển động trước
(nhờ thước và compa). Những đường cong còn lại ông gọi là đường cong cơ học
(về sau, Lepnit gọi là đường cong siêu việt) các tính chất của đường cong tìm được
một cách ngẫu nhiên nhờ những phương pháp đặc biệt, thiếu hệ thống, tổng quát.
Trong quyển này, Descarts cũng trình bày những định lý về phép dựng pháp tuyến
và tiếp tuyến của đường cong. Ông đặc biệt nhấn mạnh ý nghĩa của các định lý nêu
trên đối với quang học. Kết thúc quyển II là phần nói về khả năng mở rộng phương
pháp Descarts cho trường hợp 3 chiều, trong đó đã biểu diễn đường cong ghềnh
bằng cách chiếu nó lên hai mặt phẳng vuông góc mà giao tuyến của chúng là một
trong các trục tọa độ. Tuy nhiên không thấy nói đến ba tọa độ của một điểm trong
không gian và phương trình của các mặt.
Quyển III: Đề cập “Những bài toán về các khối các thể”. Nội dung là xây
dựng lý thuyết tổng quát về việc giải phương trình và sử dụng quỹ tích cùng với
các công cụ đại số để giải phương trình. Kí hiệu đại số của Descarts đã không khác
lắm với kí hiệu hiện đại. Mọi phương trình đều được coi là đã đưa về dạng
Pn ( x ) = 0 , trong đó Pn ( x ) là đa thức với các hệ số nguyên sắp xếp theo lũy thừa
14


giảm dần của x. Từ việc khảo sát vấn đề chia hết của Pn ( x ) cho ( x − a ) trong đó a
là nghiệm của phương trình, Descarts đã rút ra kết luận sâu sắc rằng số nghiệm của
phương trình bằng số mũ cao nhất. Descarts cũng đã nói đến các nghiệm thực
(dương), nghiệm giả (âm) và cả những nghiệm có thể tưởng tượng ra được (ảo và
phức). Tuy nhiên ông chưa chứng minh được kết luận này. Mãi đến năm 1797,
Gaoxơ mới chứng minh được điều đó.

Descarts đã chứng tỏ rằng trong dãy các hệ số có bao nhiêu lần đổi dấu thì có
bấy nhiêu nghiệm dương, và có bao nhiêu lần lập dấu thì có bấy nhiêu nghiệm âm.
Ông cũng đã nêu ra phương pháp biến đổi hệ số của phương trình để làm thay đổi
các nghiệm theo ý muốn tăng lên, giảm đi hoặc làm thay đổi dấu. Về vấn đề tính
khả quy, tức là việc biểu diễn hàm số hữu tỷ nguyên với các hệ số hữu tỷ dưới dạng
tích của các hàm số cùng loại ấy là một dự đoán xuất chúng. Descarts đã chứng tỏ
rằng phương trình bậc ba chỉ được giải bằng căn thức bậc hai nếu nó là khả quy.
Ông đã đưa vấn đề tính khả quy của phương trình bậc 4 về vấn đề tính khả quy của
phương trình bậc 3.
Hình học giải tích của Descarts còn nhiều thiếu sót. Trước hết, phạm vi nghiên
cứu của ngành khoa học này mới chỉ được bàn đến do những đòi hỏi xuất phát từ
những nguồn gốc triết học, hơn là từ những nhu cầu của phương pháp và chỉ hạn
chế trong việc khảo sát các đường cong đại số. Việc phân loại các đường cong đại
số theo loại, chứ không phải theo bậc của phương trình, theo biểu thức của chúng
cũng chưa tốt.
Descarts chưa làm xong việc áp dụng công cụ đại số vào hình học. Ông chưa
mở rộng phương pháp của ông vào việc nghiên cứu tính chất các đường cong theo
tính chất các phương trình tương đương. Các trục tọa độ còn chưa được bình đẳng,
chỉ có một trục luôn luôn được vạch ra, còn trục kia được vạch khi cần thiết. Dạng
của đường cong cũng chỉ mới được nghiên cứu trong góc phần tư thứ nhất của mặt
phẳng tọa độ, trong các góc phần tư khác chưa được chú ý.
15


Tuy nhiên tập “Hình học” của Descarts đã đánh dấu mọi bước tiến có giá trị
nguyên tắc trong việc cải tổ toán học và giá trị đó lớn đến mức độ làm cho tác
phẩm này trở thành kinh điển. Tập “Hình học” của Descarts còn nêu tư tưởng mới
có tác dụng phát triển đại số lý thuyết.
3.2.2. Hình học giải tích của Phécma
Phécma (Pierre Fermat, 1601-1665) ông sống ở Pháp. Ông đã đạt được

những kết quả xuất sắc về lý thuyết số, về hình học, về phép tính các đại lượng vô
cùng bé, về quang học.
- Ông sáng chế phương pháp tọa độ để định một điểm trong một mặt phẳng.
- Quan niệm các đường cong như những quỹ tích các điểm (nghĩa là tập hợp
các điểm để xác định một đẳng thức).
- Người đầu tiên khởi xướng phương pháp tổng quát để xác định các tiếp
tuyến tới một đường cong phẳng.
- Hợp nhất hai lĩnh vực đại số và hình học.
Sự xuất hiện môn hình học giải tích không phải là công lao riêng của Descarts.
Những người cùng thời cũng có những công trình, dưới dạng chưa đầy đủ, được
Descarts cải biên phát triển lên. Đồng thời với Descarts thì Phécma cũng có những
cống hiến phát triển những quan điểm về hình học giải tích, tức là việc đưa ra hệ
tọa độ vuông góc, việc ứng dụng các phương pháp đại số vào hình học. Tác phẩm
“Nhập môn lý thuyết về quỹ tích phẳng và không gian” của Phécma được nhiều
người biết đến từ năm 1636, nhưng mãi đến năm 1679 mới được in cùng với các
tác phẩm khác. Thời Phécma người ta gọi các quỹ tích có thể biểu diễn thành
đường thẳng hoặc đường tròn là quỹ tích phẳng, còn các quỹ tích có thể biểu diễn
thành các thiết diện conic thì được gọi là quỹ tích không gian. Trong tác phẩm này,
Phécma đã chứng tỏ rằng đường thẳng ứng với phương trình bậc nhất và phương
trình bậc hai thì ứng với các đường conic. Ông đã tìm dạng tổng quát của phương
trình bậc 1 và bậc 2 bằng cách biến đổi hệ tọa độ, đưa chúng về dạng chính tắc, làm
dễ dàng cho việc giải tích hình học.

16


Phécma đã mở rộng hình học giải tích trong việc nghiên cứu các quỹ tích
không gian bằng cách xét sự giao nhau giữa các mặt phẳng. Tuy nhiên ông cũng
chưa nêu ra các tọa độ không gian và hình học giải tích trong không gian tất nhiên
chưa hoàn thành.

Tác phẩm “ Nhập môn lý thuyết về quỹ tích phẳng và không gian” của Phéc
ma được nhiều người biết đến từ năm 1636, nhưng mãi đến năm 1679 mới được in
cùng với các tác phẩm khác. Tác phẩm này không có ảnh hưởng to lớn đối với toán
học như tập “Hình học” của Descarts. Có hai nguyên nhân: thứ nhất, nó được in ra
rất chậm; thứ hai nói được trình bày bằng ngôn ngữ đại số nặng nề, khó hiểu.
Phécma hiểu rõ ông chỉ mới đạt được bước đầu trong ngành khoa học mới mẻ này.
Ông nói thêm: “Tôi có phần hối hận về việc viết tác phẩm hơi sớm và chưa được
chín muồi nay. Tuy nhiên, trong khoa học, không dấu diếm các thế hệ kế tục những
thành quả chưa chưa được hoàn hảo cũng như có lợi. Nhờ những phát minh mới
của khoa học mà những quan niệm lúc đầu còn thô thiển, sơ sài sẽ được củng cố và
tăng cường”. đó là một kinh nghiệm một lời chỉ bảo rất quý báu của công tác
nghiên cứu khoa học.
Sự phát triển về sau của hình học giải tích chứng tỏ rằng quan niệm của
Descarts về một phương pháp duy nhất liên kết các phương pháp của đại số va hình
học là không thể thực hiện được. Hình học giải tích đã trở thành một ngành của
toán học nhưng vẫn không bao trùm lên đại số học. Đến năm 1658, vấn đề parabon
nửa culic mới được giải quyết, trong thành tựu này có sự tham gia của Nây (16371670), Vangâyrát (sinh năm 1633) và Phécma. Năm 1679, Laghia (1640-1718) lần
đầu tiên đã tìm ra cách viết phương trình các mặt. Song mãi đến năm 1700, tác
phẩm “Phân loại các đường cong bậc 3” (1704), Niuton đã phần nào phát triển và
sử dụng giải tích một cách có hệ thống. Trong tập hai tác phẩm “Nhập môn của
giải tích học” (1748) giành riêng cho hình học giải tích, Ơle làm cho môn này có
một phong thái khá gần với hiện đại. Trước ông, chỉ có Klero (1713-1765) đã mở
rộng hình học cho không gian 3 chiều bằng cách đưa vào hệ tọa độ vuông góc 3
17


trục. Danh từ “Hình học giải tích” do nhà toán học, Viện sĩ viện hàn lâm Pháp
Lacơroa đặt ra từ cuối thế kỷ XVIII.
Sự xuất hiện hình học giải tích trong toán học đã thực sự làm cho sự hình
thành giải tích các đại lượng vô cùng bé được dễ dàng. Mặt khác, nó còn là công cụ

cần thiết đối với Newton, Lagrange và Ơle trong việc xây dựng cơ học và là công
cụ hết sức có hiệu quả để giải nhiều bài toán của “khoa học tự nhiên toán học”.
Sự phát minh ra hình học giải tích đã tạo ra bước thay đổi mới về đối tượng
nghiên cứu của toán học. Sự ra đời của hình học giải tích đã làm toán học thành
một công cụ “kép”. Các khái niệm hình học có thể chuyển đổi thành các khái niệm
đại số và những mục tiêu có thể đạt được thông qua đại số.
Ý nghĩa lớn nhất của sự ra đời của hình học giải tích là cung cấp cho khoa học
một công cụ có tính định lượng.
3.3. Thành tựu về số học, đại số
Trong thế kỷ XVII, đại số ngày càng thoát khỏi các yếu tố hình học. Trong đó
công cụ ký hiệu bằng chữ đã được củng cố. Lý thuyết tổng quát về các phương
trình được xác định. Trong phạm vi này có thể kể:
- Việc xác lập và có đôi chút tiến triển của vấn đề khả quy của các phương
trình đại số.
- Việc đặt cơ sở cho lý thuyết định thức và quy tắc, mang tên Corame, do
Lépnít nêu ra năm 1693. Cần nói thêm rằng danh từ “định thức” mới được dùng từ
năm 1815 (do Côsi) và ký hiệu định thức được dùng từ năm 1841 (do Kêli).
- Những cố gắng nhằm chứng minh định lí cơ bản của đại số và số nghiệm
của phương trình đại số.
Lý thuyết số được phong phú thêm bởi những nghiên cứu xuất chúng của
Phécma. Ông đã đưa ra hai định lý mang tên ông đó là hai định lý:
n
n
n
+) Định lý Phécma lớn: “Phương trình Điôphăng x + y = z , n > 2 và nguyên,

không có nghiệm nguyên dương”.

18

+) Định lý Phécma nhỏ: “Nếu p là số nguyên tố, a là số nguyên không chia hết
n −1
n −1
cho p thì a ≡ 1( mod p ) , nghĩa là a − 1 chia hết cho p.

Năm 1665, Pascan lần đầu tiên đã phát biểu nguyên lý của phép quy nạp toán
học. Ông cùng với Phécma và Lépnít đã sáng tạo ra những khái niệm cơ bản về tổ
hợp trong một loạt bài báo.
Lý thuyết xác suất mà những bài toán của nó cũng được nghiên cứu với lý
thuyết tổ hợp, khoảng giữa thế kỷ XVII đã bắt đầu được hình thành như một khoa
học. Nhưng chỉ với những tác phẩm của Pascan, Phécma và Huyghen, khái niệm kỳ
vọng toán học mới trở thành quen thuộc. Vào cuối thế kỷ thứ XVII Béc-nu-li
(Jacob Bernoulli, 1654-1705) đã phát minh ra dạng đơn giản của quy luật các số
lớn (xuất bản năm 1713) hoàn thành giai đoạn đầu tiên của lịch sử lý thuyết xác
suất theo phân loại của Kônmôgôrốp.

19


20


KẾT LUẬN
Trên đây là đề tài “Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển”. Trong đề tài này tôi
cung cấp cho các bạn về quá trình hình thành, tình hình kinh tế, chính trị, xã hội,
trào lưu toán học, thành tựu toán học của một số nhà toán học trong giai đoạn toán
học cao cấp cổ điển. Tuy nhiên đề tài sẽ không tránh khỏi sai sót, rất mong nhận
được sự góp ý, phê bình của thầy cô và tất cả các bạn.
Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô đã hướng dẫn, sửa đổi giúp

em hoàn thành đề tài này./.

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[ 1]

Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang, Giáo trình lịch sử toán, NXB Đại học

sư phạm.

[ 2]

Nguyễn Phú Lộc, Lịch sử toán học, NXB Giáo dục, 2008.

22


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU..........................................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .........................................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................................................1
4. Đóng góp của đề tài......................................................................................................................2
Chương 1. KHÁI QUÁT CHUNG VỀ GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC ................................................2
CAO CẤP CỔ ĐIỂN........................................................................................................................2
Chương 2. TRÀO LƯU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN......5
2.1. Thế kỷ XVII...............................................................................................................................5

Chương 3. THÀNH TỰU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN...8
3.1. Các thành tựu về giải tích .........................................................................................................8
3.1.1. Sự phát minh ra logarit...........................................................................................................8
3.1.2. Sự phát minh ra phép tính vi-tích phân .................................................................................9
KẾT LUẬN....................................................................................................................................21
TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................................................22

23