Luận văn thạc sĩ bài toán cauchy đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tổng quát
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.5 MB, 56 trang )
B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2
P H Ạ M T H U H IỀ N
BÀI TOÁN CAUCHY Đ ố i VỚI
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
RIÊNG TUYẾN TÍNH T ổN G QUÁT
L U Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ T O Á N HỌC
H À N Ộ I, 2015
B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2
P H Ạ M T H U H IỀ N
BÀI TOÁN CAUCHY Đ ố i VỚI
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
RIÊNG TUYẾN TÍNH T ổ N G QUÁT
Chuyên ngành : Toán giải tích
M ã số : 60 46 01 02
LU Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ T O Á N HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. HÀ T IEN
H À N Ộ I , 2015
ngoạn
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn, ngưòi
thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lòi cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cỏ vũ,
động viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả
P h ạ m T h u H iền
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS. Hà
Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: " B à i t o á n
C a u c h y đối với phư ơ n g trìn h đạo h à m riên g tu y ế n tín h tổng
q u á t " được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác
giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả
P h ạ m T h u H iền
i
M ục lục
M ở đầu
1
1
3
C ác kiến th ứ c chuẩn bị
1.1
1.2
Một số không gian hàm
.............................................................
1.1.1
Không gian L 2
1.1.2
Không gian
cm( Í 7 ) ..........................................................
3
1.1.3
Không gian Sobolev w™ ( í ì ) .........................................
3
1.1.4
Không gian ổễm .................................................................
4
1.1.5
Không gian ổễ
4
1.1.6
Không gian 5?
3
.................................................................
4
Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng
1.2.1
..............
5
Bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo
hàm r i ê n g ............................................................................
5
1.2.2
Siêu mặt trong không gian R n
5
1.2.3
Bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo
......................................
hàm r i ê n g ............................................................................
1.2.4
6
Đưa bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình
đạo hàm riêng về dạng chính tắc
2
3
...............................
7
1.3
Định lý Cauchy-Kovalevskaya........................................................
9
1.4
Định lý H o l m g r e n ............................................................................
13
T ín h đ ặt đ ú n g đắn củ a bài to á n C au ch y
16
ii
2.1
Khái niệm về tính đặt đúng đắn của bài toán Cauchy
...
16
2.2
Tính giải được của bài toán C a u c h y .........................................
17
2.2.1
Khái niệm về tính giải được địa phương của bài toán
Cauchy
...............................................................................
17
Tính giải được địa phương của bài toán Cauchy . . .
20
Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu . . .
26
2.2.2
2.3
2.4
2.3.1
Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu 26
2.3.2
Miền phụ t h u ộ c .................................................................
35
Phương trình hyperbolic với hệ số h ằ n g ..................................
39
2.4.1
Định lý về sự tồn tại n g h i ệ m ...........................................
39
2.4.2
Điều kiện cần đối với hiện tượng truyền nhiễu với
tốc độ hữu hạn
2.4.3
...................................................................42
Phương trình truyền s ó n g ................................................... 45
K ết lu ận
Tài liệu th a m khảo
50
51
1
M ở đầu
1. Lí do chọn đ ề tà i
Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là một vấn
đề quan trọng của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Nhà toán học
Hadamard đã đưa ra khái niệm đặt chỉnh của bài toán này gồm ba yếu
tố: sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của
nghiệm vào dữ kiện ban đầu. Luận văn trình bày bài toán Cauchy chính
tắc và trình bày mối quan hệ giữa ba yếu tố trên của bài toán đặt chỉnh.
Một lớp phương trình được quan tâm nhiều hơn, đó là loại phương trình
hyperbolic.
2. M ụ c đích n gh iên cứu
Trình bày một cách hệ thống các vấn đề: bài toán Cauchy chính tắc
cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, tính đặt chỉnh của bài toán
Cauchy đối với các lớp phương trình khác nhau, tính giải được của bài
toán Cauchy.
3. N h iệm vụ n gh iên cứu
Trình bày các điều kiện cần và đủ của tính đặt chỉnh và mối quan hệ
giữa ba yếu tố đặt chỉnh của bài toán Cauchy.
2
4. Đ ố i tư ợ n g và p h ạm vi n gh iên cứu
- Tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy.
- Điều kiện cần và đủ của tính đặt chỉnh.
- Bài toán Cauchy cho phương trình loại hyperbolic
5. P h ư ơ n g pháp n gh iên cứu
Các phương pháp của Giải tích hàm tuyến tính.
Các phương pháp định lượng của Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.
6. Đ ó n g góp củ a đ ề tà i
Luận văn là một tài liệu tỏng quan về lý thuyết đặt chỉnh của bài toán
Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp bất kỳ.
3
Chương 1
Các kiến thứ c chuẩn bị
1.1
1 .1 .1
M ột số k h ôn g gian hàm
K h ô n g g ia n L 2
Đ ị n h n g h ĩa 1.1.1. Giả sử Í7
c
c là một tập mở trong M". Họ các hàm
u : íì —> c được gọi là không gian L 2 (íì) nếu nó đo được và có chuẩn sau
hữu hạn:
1 .1 .2
K h ô n g g ia n
cm(íì)
Đ ị n h n g h ĩa 1.1.2. Không gian C m (íi) là không gian bao gồm các hàm
khả vi, liên tục đến cấp m trên miền íì.
1 .1 .3
K h ô n g g ia n S o b o le v w™ (íì)
Đ ị n h n g h ĩa 1.1.3. Không gian w™ (íi) là không gian bao gồm tấ t cả
các hàm u (s) € L 2 (íí), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp
4
a, |a | < ra thuộc L 2 (íì) và được trang bị chuẩn
(
ỉ
ll2
\ 1/2
IMIvv^n) = 1
/ 1-^ u {x )\ d x Ị
\ Q <™ n
/
1 .1 .4
K h ô n g g ia n ổềm
Đ ịn h n gh ĩa 1.1 .4 . Không gian ổễm là không gian bao gồm tấ t cả các
hàm f ( x ) thỏa mãn D af ( x ) (|a | < ra) bị chặn và liên tục trong M"
\ f i x )\m =
s u p \ D af { x ) \ .
, - x€Rn
\ a\
1 .1 .5
K h ô n g g ia n ỗễ
Đ ịn h n gh ĩa 1.1.5. Không gian ỗễ hay ỗễ°° là không gian bao gồm toàn
bộ các hàm khả vi vô hạn mà mọi đạo hàm của nó bị chặn và liên tục
trong M".
1 .1 .6
K h ô n g g ia n y
Đ ịn h n gh ĩa 1.1 .6 . Không gian 5? là không gian bao gồm tấ t cả các hàm
(/? E c°° sao cho với mỗi k , a tùy ý f l + |s |2) D aíp{x) bị chặn trong R n .
5
1.2
B ài to á n C auchy cho phương trìn h đạo hàm
riêng
1 .2 .1
B à i to á n C a u ch y c h ín h tắ c ch o p h ư ơ n g tr ìn h đ ạ o h à m
r iê n g
Ta biểu diễn một điểm thuộc Kn+1 thành ( x , t ) = (xi, .. . , x n, t ) và một
điểm thuộc M" thành
X
= (xi, .. . , x n). Toán tử vi phân cấp m dạng sau
đây:
a- (M)(ẳ ) (ẳ)
( 1.1)
được gọi là một toán tứ dạng chính tắc. Bài toán Cauchy chính tắc cho
toán tử vi phân là bài toán tìm nghiệm u(x, t ) trong lân cận thích hợp
w (c 17) của (a^o, 0) sao cho nó thỏa mãn phương trình:
Lu = f,
(X, t ) € w,
(1.2)
với điều kiện ban đầu:
u (z ,0 ) = U j(x,0),
x e w n { t = 0}, (j = 0,1, 2 , . . . , m - 1).
(1.3)
1 .2 .2
S iê u m ặ t tr o n g k h ô n g g ia n Mn
Giả sử íp(x) = íp(x 1 , X 2 , ■■■,xn) là hàm số trơn có tính chất sau: Nếu
tp(x) = 0 thì
¥’*( i ) s ( Ễ
(l),-
' ê
(* )) ,Ể 0 -
(1'4)
Ta định nghĩa siêu m ặt s như sau:
s = {x € Rn;
(1,5)
6
V í dụ:
1)
1) Ỷ 0.
Do đó, ta có siêu mặt
s=
{ x G M"; x n = 0}
2) (p(x) = x n2
Lpx (x) = ( 0 , 0 , 2 xn)
Nếu ip{x) = 0 thì
Khi X G s , vectơ ípx (x) 7^ 0 và là vectơ pháp tuyến của mặt cong s. Do
đó vectơ
(1.6)
là vectơ pháp tuyến đơn vị trên s.
1 .2 .3
B à i to á n C a u ch y tổ n g q u á t ch o p h ư ơ n g tr ìn h đ ạ o h à m
r iê n g
Cho toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính
(1,7)
Cho Uq, . . . , u m- 1 là các hàm số cho trước xác định trên
s, trong
lân cận
của Xq. Trong trường hợp này, ta ký hiệu ũ/ = (Uq, U\, . . . , u m- 1) là dữ kiện
ban đầu (dữ liệu Cauchy, hay giá trị ban đầu) hay, chính xác hơn, dữ kiện
ban đầu trên
s
của toán tứ vi phân bậc m.
Cho / xác định trong lân cận
cận xác định của
Xo
trong
u của Xq ( é S), và cho
Ü/ thuộc một lân
s.
Bài toán Cauchy tổng quát cho toán tử vi phân là bài toán tìm nghiệm
u ( x , t ) trong lân cận thích hợp
w (c u)
của
Xo
sao cho nó thỏa mãn
7
phương trình
a ( x , Q - SJ u { x ) = f { x ) ,
(1.8)
với điều kiện ban đầu
u ( x ) = Uq(x ),
'
à
(X G s )
_
/ a r 1 , X
— u { x ) = u 1{ x ) , . . . , y — J
trong đó
1 .2 .4
V
, ,
u{x) = u m- i(x),
là vectơ pháp tuyến đơn vị trên
,
(1.9)
(x G S),
s.
Đ ư a b ài to á n C a u ch y tổ n g q u á t ch o p h ư ơ n g tr ìn h đ ạ o
h à m r iê n g v ề d ạ n g ch ín h tắ c
Từ (1.4), không m ất tính tỏng quát, ta có thể giả sử ipx Ỷ 0- Đặt
x\ = X ỵ , . . .,x 'n_ 1 = x n- U x'n =
này và nghịch ảnh của nó là trơn trong một lân cận đủ nhỏ của Xq.
Đặt u ( x ) = v(x'). Ta có
du
dv
dv
ã ĩ “ = d ĩ ĩl + 'Px‘ d ĩ rn '
'3
~~j
.
(j = 1 . 2 , . . . , n - 1),
du
dxn
dv
¥xn
dx'
Các đạo hàm cấp cao, chẳng hạn đạo hàm cấp hai có thể tính như sau:
d 2u
d x kd x j
d
{ du \
d x Jk
k \d xj)
d
í dv
dxk
Vd x \
d
í dv
dv
d x k \dx'- ^ ^ Xj d x '
d ( dv
+ H>Xị ■
d x k \dx'„
d 2v
d 2v
T
+
V
dx'kdx.
X k dx'nd x T3 +
dv
+ tp’ l“ d x í
d 2v
d 2v
■ >dx'kd x Tn + V.
Xh~ d ĩ }
dv
+ Pxị Xk
dx'
Khi đó:
h(x, ự>x {x))
' d_
.dxi
u + £ ••• = /
( 1 . 10 )
8
trong đó
^x
= (
\dxi
dy \
" ' d x n)
và
H x , t ) = *52 a Ả x ) C ,
(£ = (6,■ ■■,£n))-
(1-11)
ịuị = m
Tức là h{x,
(M = V\ + " ' + Vn)-
ịuị = m
Ta chú ý các số hạng s trong (1.11) chứa đạo hàm riêng nhiều nhất bậc
m — 1 theo x'n. Ta chia các trường hợp như sau:
Nếu h(x, ipx) Ỷ 0 trong lân cận của X = Xq, thì ta chia cả hai vế của
(1)
(1.11) cho h(x, Lpx), tức là
/ Q \ m
{(te)
n
í d \ u
u+
a^ \ d ĩ ' )
\ v \ ^m, un
u = H h (x >'fx)-
(M 2 )
—1
Ta gọi (1.12) là dạng chuẩn tắc của (1.8). Trong trường hợp này, điều kiện
ban đầu có thể được viết lại thành
( j ^ r )
(2)
u ( x ' ^ ■ ■ ■ >x n - l > 0 ) = U ị { x l , ■ ■ ■ X - l )
Nếu h ( x , t p x ) = 0 tại
X
=
Xq
(j =
0 , 1, . . . , r a -
1).
thì bài toán Cauchy rất khó nghiên
cứu. Luận văn này tập trung xét bài toán trong trường hợp 1.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.1. (Siêu mặt không đặc trưng). Nếu m ặt
s xác định
bởi
thì ta gọi
s
(x e S),
là một siêu mặt không đặc trưng (để ngắn gọn, ta gọi ‘mặt
không đặc trưng’) hay đa tạp không đặc trưng cho toán tử a ( x , d / d x ) .
9
1.3
Đ ịn h lý C au ch y-K ovalevskaya
Xét toán tử dạng chính tắc:
(1.13)
\v\ + j ^ m , j ^ m - 1
Đ ị n h lý 1.3.1. (Cauchy-Kowalewski). Cho các hệ số của L là các hàm
giải tích trong lân cận ư của gốc tọa độ của không gian
f(x,t)
(x,t).
Giả sử
giải tích trong ư . Gọi ũ/ là các giá trị ban đầu và là hàm giải tích
trong một lân cận xác định V của gốc tọa độ trong không gian X. Khi đó,
w của
trên w, và
tồn tại một lân cận
u(x,t) xác
định
gốc tọa độ và tồn tại duy nhất hàm giải tích
f
X€ w n {t =
0},
(j =
0,1, 2 , . . . ,
m —1).
(1.14)
Chứng minh. Đặt
m—1
Vì vậy, ta viết lại (1.14) thành
m—
m
—1
1
r ,j
\
„ tJ
L \ũ] = f L - \ UÁ X)
J V3„•—n
0
=
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử dữ kiện ban đầu của u ( x , t )
là 0. Đầu tiên, nếu u ( x , t ) là giải tích trong lân cận của gốc tọa độ, thì
u ( x , t ) được xác định một cách duy nhất. Trên thực tế, ta có thể chứng
minh rằng khai triển Taylor của u ( x , t ) tại gốc tọa độ được xác định một
cách duy nhất. Để chứng minh điều này, ta viết (1.14) thành
3= 0
10
trong đó otj(x, í; £) là đa thức bậc (ra — j ) có các hệ số giải tích trong lân
cận ư của gốc tọa độ. Bởi vì giá trị ban đầu của u(x, t ) là 0 theo giả thiết,
nếu ta xét
u(x,t) = ^
cVjX uV
j>m;v
(1.16)
và khai triển Taylor của các hệ số của oij(x,t',fí), thì cuj được xác định
duy nhất. Trong trường hợp này cu j được biểu diễn như một đa thức có:
(1) Các hệ số của khai triển Taylor của hàm giải tích xuất hiện như các
hệ số của đa thức 0Lq{x , í ; £ ) , . . . , a m_ i(x, t; £).
(2) Các hệ số của khai triển Taylor của f ( x , t ) .
(3) c„,, ( 1 0 - 1 ) .
Cho nên, bằng đệ quy theo j , ta kết luận cv j có thể được biểu diễn thành
một đa thức với các hệ số dương trong (1) và (2).
Tiếp theo, ta chú ý tính hội tụ của dãy hàm (1.16), để làm được điều
này, ta sử dụng chuỗi hàm trội, mà ta định nghĩa như sau: Ta nói F ( x , t )
là chuỗi hàm trội của f ( x , t ), ta hàm ý F ( x , t ) giải tích tại gốc tọa độ và
các hệ số C v j của khai triển Taylor của F ( x , t ) lớn hơn hoặc bằng trị tuyệt
đối của các hệ số tương ứng cu j của khai triển Taylor của f ( x , t ) , tức là
CVj ^ I
A ( x , í; £) là chuỗi hàm trội của a ( x , í; £) ta hàm ý với mỗi hàm số là hệ số
của
, hàm số tương ứng của A là một chuỗi hàm trội của các hàm tương
ứng của a theo nghĩa xác định như trên. Đối với (1.15), ta định nghĩa các
chuỗi hàm trội A j ( x , t] £), F ( x , t) của O í j ( x , t ] £ ) , f ( x , t ) một cách tương
ứng.
Xét phương trình
(ẳ)
1=0
w+f(*’í)'
(1,17)
11
Bây giò ta chứng minh như sau: Nếu nghiệm w của phương trình có dữ
d
ỡ m_1
liêu Cauchy dương (ta hàm ý tấ t cả w (x , 0), -^-w(x, 0),. . . — — w (x , 0)
có khai triển Taylor với hệ số không âm) là giải tích trong lân cận của gốc
tọa độ, thì w là chuỗi hàm trội của u. Do đó u(x, t ) là giải tích tại lân cận,
cho nên, tính tồn tại nghiệm của phương trình được chứng minh.
Bây giò, ta giả sử tấ t cả các hệ số của otj(x, í; £) và f ( x , t ) là giải
tích trong \xị\ ^ r (i = 1 , 2 , . . . , ri), |t| < r. Cho tấ t cả các hệ số của
Oij(x, í; £) < M , và cho f ( x , t ) < d. Trong trường hợp này tấ t cả các hệ
số của Oij(x,t]Ç) có chuỗi hàm trội
M
(1 - X i / r ) ■■■{!- x n/ r) { 1 - t / r )
hay
M
1 - {xi + • • • + x n + t ) / r '
Đưa p (> 1) vào, ta viết
M
1 — {x\ +
+ x n + pt)/r
là chuỗi hàm trội. Đối với / ,
d
1 - (zi H--------\- x n + p t ) / r
là một trong các chuỗi hàm trội, với
P
> 1 (mà ta sẽ xác định sau). Do
đó, tồn tại các đa thức thích hợp ồ(£0,£i, ■■■; £n); c (£ci; £i ; ■■■;£n)
'd '
M,
w
1
1 - ( z H --------1- x n + p t ) / r
d
( d
X b ( - —
\d t' dx1
dxr w + c { m '
d
dxr
w + d
(1,18)
thỏa mãn (1.17), với b là một đa thức bậc m và ồ(l, 0, . . . , 0) = 0, và c là
một đa thức bậc (m — 1).
12
Ví dụ, ta có thể lấy
ỉ>(ío, •
Bây giò, ta tìm nghiệm w mà w có thể được biểu diễn thành hàm của
một biến duy nhất
s = (xH --------b x n + p t)/r ,
(|s| < 1).
Trong trường hợp này (1.18) là một phương trình vi phân
0
m
- I w
r
1
m)
b(rì~..(rn)(s]
+ j p ± ii.
-w
1 —s Lr
\ r ds' r d s'
(s)
’ r ds
trong đó b(p) = b(p, 1, . .. , 1) và b nhiều nhất là bậc (ra
^ w + d ,
1). Do vậy,
phương trình có thể được viết lại là
w :m)( s ) =
1
pj
1 - b{p)p-
I p d
1 d
. \ r d s ’ r ds'
1 d \
w + d .
r dsj
(1.19)
Bây giò, ta chọn p đủ lớn sao cho b(p)p~m < 1.
Trong lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính, (1.19) với dữ kiện ban
đầu u>^(0), (j =
0,1,...,
ra — 1), luôn có một nghiệm chính quy duy
nhất trong |s| < 1 — b(p)p~m. Hiển nhiên, ui(s) có khai triển Taylor với
hệ số dương. Do vậy, nếu ta xét
w (x , t ) = w(s) = w ( ( x 1 + • • • + £ „ + p t) /r ) ,
(1.18) có nghiệm w ( x , t ) mà có các hệ số khai triển Taylor dương hội tụ
trong
n
w
+ p\t\ < r { l - b{p)p~m}.
(*)
i=1
Do đó, (1.18) chính là một khai triển hội tụ trong (*). Vì vậy, nó là một
nghiệm trong lân cận của gốc tọa độ.
□
13
1.4
Đ ịn h lý H olm gren
Đ ị n h lý 1.4.1. (Holmgren). Ta ký hiệu
D e = { ( z ,t) G R n+1; \x\2 + \t\ < e}.
Giả sứ tất cả các hệ số a Uj ( x , t ) của L là giải tích trong lân cận ư của
gốc tọa độ. Khi đó, tồn tại £q(> 0) sao cho với £ thỏa mãn 0 < £ < £o nếu
u ( x , t ) G C m(D e) thỏa mãn
L u = 0 trong D e
(ẳ )
U^X' °) = ° ’ ơ =
1> ■■■, ™> - 1), x e D e n { t = 0},
thì u(x, t) = 0 trong D e.
C h ú ý. Tính duy nhất nghiệm vẫn đúng trong trường hợp nửa không gian.
Trong trường hợp này, ta giả thiết u(x, t ) xác định trên D'e = D e n {t ^ 0}
và khả vi liên tục m lần kể cả trên biên.
Chứng minh. Ta định nghĩa một loại phép biến đỏi đặc biệt mà cần thiết
trong phần tiếp theo. Phép biến đổi Holmgren là phép biến đỏi được xác
định bởi x'j =
Xj
(j = 1 ,2 ,
nửa không gian t ^ 0 vào miền
, n ) , t ' = t + xỊ + • • • + x„, và ánh xạ từ
= {(x ' , t ') G M.n+1]t' — \x'\2 ^ 0}. Lưu
ý, hàm u ( x ' , t ' ) bằng 0 trên siêu mặt, t' — \x'\2 = 0 sau phép biến đổi trở
thành đạo hàm bậc m của nó.
Do đó, nếu ta mở rộng hàm u bằng cách đặt giá trị bằng không của nó
ngoài
thì hàm được mở rộng có giá thuộc
và là một hàm lớp C m. Các
toán tử vi phân được biến đổi thành các toán tử vi phân khác trong một
lân cận đủ nhỏ, ta viết (x , t ) thay vì (x ' , t '). Khi đó, ta có phương trình
mới
Lỉu]" (ẳ) u
(¿ ) (I) « = 0
14
trong đó, các hệ số là giải tích, và giá của u nằm trong Í7.
Bây giò ta định nghĩa một toán tử quan trọng. Một toán tử được gọi là
toán tử chuyển vị nếu nó thỏa mãn
‘iM . (-U - ( | ) " « + E ( - D H+i ( ẳ ) ’ ( ẳ ) J [^ C -.‘)«1( 1 . 20 )
Tổng quát, nếu v ( x , t ) là hàm m lần khả vi liên tục, xác định trong lân
cận của D = Í7 n {0 ^ t ^ h} và thỏa mãn tL[v] = 0, thì
/ ịyĩLịv] — vL[u]}dxdt = 0.
J D
Ngoài ra, nếu v ( x , t ) thỏa mãn
ỡ
( ỡ \ m~^
v { x , h ) = &tv (x ’ h ) = " ' = \ d t )
v (x ’ h ) = ồ
trên siêu phẳng t = h, thì lấy tích phân từng phần ta có
r
r
/ {vĩLịv] — vL[u]}dxdt = /
JD
Lưu ý, ở đây
Jị=h
/ o \ 'm—i
( —l ) mu(x, t) Í — ]
v ( x , t ) d x = 0.
\ ơ t j
có dạng như (1.11), và các hệ số của v(x, t ) giải tích.
Do đó, từ Định lý 1.3.1 và các chú ý sau nó, nếu ta thêm điều kiện
V atJ
v { x , h ) = P {x),
với p ( x ) là một đa thức, vào điều kiện ban đầu giả định trước, thì nghiệm
của phương trình tL[v] = 0 tồn tại trong lân cận của
=
h}
với mọi h thỏa mãn 0 < h < ỈĨQ, ỈĨQ > 0, và ỈĨQ đủ nhỏ. ỈĨQ có thể được chọn
độc lập với đa thức p ( x ) . Từ đó, suy ra / u(x, h ) p ( x ) d x = 0 với bất kỳ
đa thức p ( x ) , tức là cho u ( x , h) là hàm liên tục có giá compắc theo
X
thì
u(x, h ) trực giao với bất kỳ p ( x ) .
Khi đó, theo Định lý Weierstrass ([1], Định lý 1.13), u(x, h ) = 0, do đó
u ( x , t ) = 0, trong (x, t) G
—t.
n {0 ^ t ^ ho}. Nếu t ^ 0, thì ta thay t bởi
15
□
Đ ị n h lý 1.4.2. (Calderón). Cho tất cả các hệ số của a Uj( x , t ) ( H + j = ra)
bậc cao nhất của toán tứ L trong (1.13) là thực và thuộc
cl+ơ (<7 >
0)
trong lân cận ư của gốc tọa độ (ơ là một số dương tùy ý), và cho các hệ số
khác bị chặn trong Ư . Trong trường hợp này, nếu phương trình đặc trưng
của L tại gốc tọa độ
p( A ,Í) = A™+
x;
a„.,-(0,0)CV = 0
(1.21)
\v\ + j = m
CÓ các nghiệm Aị(£), (z = 1 , 2 , . . . , ra) phân biệt với mọi £ G M", £ Ỷ 0;
trong £ thì kết luận của Định lý l.Ậ.l đúng.
16
Chương 2
T ính đặt đúng đắn của bài toán
C auchy
2.1
K h ái n iệm về tín h đ ặt đ ú n g đ ắn củ a bài to á n
C auchy
Cho toán tử
Xét bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo hàm riêng:
f
V
Lu = f,
(X, t) s w,
gt ) u(x,0) = Uj(x,0),
(ẳ)
“(a:’0)
X
ew
n {í
= 0},
(i
= 0,1,2,. . . ,m -
Tính đặt đúng đắn của bài toán này bao gồm 3 yếu tố:
- Sự tồn tại nghiệm.
- Tính duy nhất nghiệm.
- Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu.
1).
( 2 , 1)
17
2.2
T ín h giải được củ a bài to á n C auchy
2 .2 .1
K h á i n iệ m v ề tín h giả i được đ ịa p h ư ơ n g c ủ a b ài to á n
C a u ch y
Trong mục trước, ta đặt ra câu hỏi liệu Định lý Cauchy-Kowalewski có
thể được thiết lập với giá trị ban đầu \I/ thuộc lớp hàm
c°° và với
/ . Ta
sẽ kiểm tra bài toán trong mục này. Xét phương trình :
i M=( ẳ ) u+ M+j—
£ m °'j(M)(fc) ( ẫ ) “=/-
(2-2)
j
Để cho đơn giản, ta giả sử các hệ số xác định trong một lân cận của gốc
tọa độ, và ngoài ra a Uj ( x , t ) G C ( ư ) .
Đ ịn h n gh ĩa 2 .2 .1 . (Tính giải được địa phương). Ta nói phương trình
(2.2) là giải được địa phương tại gốc tọa độ trong
c,
nếu với bất kỳ
f ( x , t ) G C ( Ư ) và với mọi dữ kiện ban đầu \I/ = ( ư o ^ ), . .. , íim- i ( i ) ) G c ,
tồn tại một lân cận D ự
của gốc tọa độ, u ( x , t ) G C{Dụm}) thỏa mãn
Lịu} = / với ( x , t ) G -D(/$) và
(ỡ í)
u ^x ’
=
x G D{ỉì9) n ^ =
ơ =
1, ■■■, m - !)■
Điều kiện ta áp dụng ở trên ở dạng khá mạnh, ta có thể sử dụng một định
nghĩa yếu hơn như sau.
Đ ịn h n gh ĩa 2 .2 .2 . Ta nói phương trình (2.2) giải được địa phương tại
gốc tọa độ trong C m, nếu với bất kỳ f ( x , t ) G C ( u ) và với mọi giá trị ban
đầu $ G c , tồn tại một lân cận D ụ ty) và u là hàm khả vi liên tục m lần
trong D ụ
n {í
> 0} và thỏa mãn L u = / , và trong D ự
n {í
^ 0}, u
là hàm khả vi liên tục (ra — 1) lần thỏa mãn điều kiện ban đầu tại t = 0.
Một số ví dụ về các phương trình không giải được địa phương theo nghĩa
trong Định nghĩa 2.2.2.
18
V í dụ 2 .2 .1 . (Hadamard) Bài toán Cauchy cho phương trình
A u(x, V, z) = ——11 H— ——u H— ——u = 0
K ,y ’ ’
dx2
dy2
dz2
với giá trị ban đầu \I/ trên m ặt phẳng z = 0 không giải được địa phương
tại gốc tọa độ.
Để chứng minh điều này, ta xét giá trị ban đầu \I/
u { x , y , 0 ) = u 0{ x ,y) G
c,
Ồ ,
— u { x , y , 0 ) = 0.
Ngoài ra, giả sử một nghiệm u ( x , y , z ) tồn tại theo nghĩa trong Định
nghĩa 2.2.2, và u xác định trên B ị = {(£, y, z); X2 + y 2 + z 2 < ổ2} với ổ
đủ nhỏ, và z ^ 0.
Trong trường hợp này, nếu đặt
{z > 0),
(z < 0),
thì ủ là hàm xác định trên B ị thỏa mãn A ủ = 0 trong B ị theo nghĩa hàm
suy rộng. Do đó, ũ(x, y, z) là một hàm giải tích của (x, y, z) trong B ị như
ta sẽ chứng minh sau này. ũ(x, y, 0) (= Uq(x , y)) cũng là một hàm giải tích
của (x , y ).
Cuối cùng, từ điều trên, với Uo(x,y) nếu ta chọn một hàm sao cho hạn
chế của nó trên bất kỳ lân cận nào của gốc tọa độ không giải tích, thì bài
toán Cauchy tương ứng cho hàm này không có nghiệm địa phương u tại
gốc tọa độ.
Ta chứng minh A ữ = 0 trong Bỹ. Đây chính là định lý cổ điển của
nguyên lý phản xạ Schwartz. Theo ngôn ngữ hàm suy rộng, ý nghĩa của
nó là: cho ự> € @(Bỹ), và cho
(ũ, A
í
ủ ( x , y , z)A(p(x, y , z ) d x d y d z
[
=Ss 1“
dũdip
[
( d 2ũ
ú d zd x d y d z +
d 2ũ \
\
+ i # J vdxdvđzì ■
19
Từ
dû
Tz
d xdy + /
■ H>
J \z\>£ Óz Ởz
J
{Ũ, A (p) = lim I J ^
(x, y , e)^(æ, y , e)dxdy
J\z\~ÿe
d2ủ
T 1
ipdxdydz,
t a CÓ
Q~
/
g { x , y , - s ) ( p { x , y , —e ) d x d y \ = 0.
Khi đó, ta có thể thấy rằng ũ ( x , y , z ) G C (B ß) theo [1] (Hệ quả của Định
lý 3.22), tức là ũ là hàm giải tích và điều hòa.
Để thấy điều này, ta chứng minh kết quả sau: Bất kỳ hàm điều hòa xác
định trên tập mở Í7
c
M" là giải tích. Đầu tiên, ta có
= ~ { n - 2 ) S n ' \x\n~2ĩ
thỏa mãn A E { x ) = ỗ với S n là diện tích m ặt của hình cầu đơn vị trong
không gian n chiều (n > 2). Ta cố định một điểm lấy trong Í7. Chọn
a G
sao cho a { x ) = 1 trong lân cận ư của điểm cố định này. Ta
viết
.
,
\
/ *
\
„ X —'
A(cra) = a (A it) + 2
da du
Q
Q
+ A a .it
và đặt vế phải = g(x). Khi đó, g G ^ ( í ỉ ) .
Nhân E ( x ) vào hai vế của phương trình thu được
E { x ) * A (a ií) = a u = E { x ) * g(x) =
f
9{y)
J
n -2 dy
(n - 2 )Sn JJ U
\x _—. .y|\n'
trong đó, ta sử dụng tính chất E { x ) * A (a ií) = (Ai?(a;)) * (ait) = ỗ * (ait)
(xem [1], Mệnh đề 2.14).
Bây giờ, ta lấy ố (> 0) đủ nhỏ và xét a ( x ) trong \x — £0| < d. Thì ta
thấy a ( x ) = 1. Ngoài ra, g(x) không có giá trong cùng lân cận, do đó
u(x) =
1
f
g{ y )
d y , (|æ - x 0\ < ố).
(n - 2) S n ./,, Xa>8 \x - y In —2
L
