Luận văn thạc sĩ dưới vi phân tổng quát và ứng dụng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ BÌNH

DƯỚI VI PHÂN TỎNG QUÁT VÀ ỦNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOẤN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Văn Bằng

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận văn, tác
giả đã nhận được sự động viên, giúp đỡ của các bạn bè, đồng nghiệp,
người thân, của các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, các thầy, cô phòng
Sau đại học và của các thầy, cô trực tiếp giảng dạy. Tôi xin được cảm
ơn tấ t cả mọi người đã hỗ trợ tôi để hoàn thành Luận văn này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến TS. Trần
Văn Bằng, người thầy đã định hướng và chỉ bảo tận tình để tôi có thể
hoàn thành Luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, 20 tháng 6 năm 2015
Tác giả

N gô Thị Bình

Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của bản thân tác giả đạt được trong quá
trình học tập và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng
và sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội
2 và của các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tác giả đã tham
khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Dưới vi phân tổ n g quát
và ứng dụng” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, 20 tháng 6 năm 2015
Tác giả

N gô Thị Bình


M ục lục
B ảng kí hiệu

1

M ở đầu

3

Chương 1. M ột số kiến thứ c chuẩn bị

6

1. 1. Một số khái niệm về không gian Banach

6

1 . 2 . Hàm khả vi trên không gian Banach

9

Chương 2 Dưới vi phân tổn g quát và ứng dụng

14

2 . 1 . Dưới vi phân tổng quát

14

2 . 2 . Quy tắc tổng mờ

22

2.3. ứng dụng

29

K ết luận

37

Tài liệu tham khảo

38

1


B ản g kí hiệu
K:

Tập số thực

I :

Tập hợp số thực mở rộng K = K u (+oo)

X :

Là không gian Banach

X* :

Là không gian đối ngẫu của không gian Banach X

X**

Là không gian liên hợp thứ hai của không gian X
Là không gian đối ngẫu của không gian Banach
X với tô pô hội tụ đều trên tập /3

Bx :

Hình cầu đơn vị trên X

s* :

Mặt cầu đơn vị trên X

E :

Là tập con đóng của X

L :

Là không gian con hữu hạn chiều của X

L1

Là không gian trực giao của L

ỉ

X —ì Y : Ánh xạ đơn trị từ X vào Y
Chuẩn trong không gian Banach X

(z*,z) :

Giá trị của hàm

/3:

là một họ các tập con đóng, bị chặn, đối xứng tâm của X

sup :

Cận trên đúng

in f :

Cận dưới đúng

diam (S) :

Đường kính của tập

cl :

Bao đóng

co :

Bao lồi

X*

tại

s

1

X


cl CO :

Bao lồi đóng

l.s.c

Nửa liên tục dưới

Ư, V:

Các lân cận

/ ' {x,d) :

Đạo hàm của / theo phương d tại X

D p f (æ) : Tập tấ t cả các dưới đạo hàm nhớt Fréchet
của / tại X
DGf (z) : Tập tấ t cả các dưới đạo hàm nhớt Gâteaux
của / tại X
Dß f { x ) ■ Tập tấ t cả các ß — dưới đạo hàm nhớt
của / tại X
D+ß f i x ) '■ Tập tấ t cả các ß —trên đạo hàm nhớt của /
tại X
v /(x ):

Đạo hàm Fréchet của / tại X

v ¿ 7 (x) : ß — đạo hàm của / tại X
dßf (æ) :

ß — dưới vi phân của / tại X

dGf (æ) :

Dưới vi phân Gâteaux của / tại X

2


M ở đầu

1. Lí do chọn đ ề tà i
Giải tích không trơn ra đời trong những năm 70 của thế kỷ 20 khi
những nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho bài toán
với dữ kiện không trơn, như với các dữ kiện Lipschitz hay với các dữ
kiện chỉ nửa liên tục.
Cho tới nay đã có nhiều khái niệm "đạo hàm suy rộng" đã được đưa
ra và thường được gọi dưới cái tên "dưới vi phân" như: dưới vi phân suy
rộng của Clark, dưới vi phân Frechet, dưới vi phân Mordukhovich,...Các
đạo hàm suy rộng đó đã đáp ứng được phần nào các yêu cầu đặt ra.
Dưới vi phân có thể được chia thành hai nhóm lớn: Dưới vi phân
"đơn" và dưới vi phân "ngặt". Dưới vi phân đơn được định nghĩa tại
từng điểm và không đòi hỏi tính chất khả vi của hàm trong lân cận của
điểm đó. Thường thì dưới vi phân đơn là sự khái quát hóa của khái
niệm đạo hàm cổ điển (như dưới vi phân Frechet, Gâteaux, Dini...)
Ngược lại với dưới vi phân đơn, dưới vi phân ngặt đòi hỏi tính khả

vi của hàm trong lân cận của điểm định nghĩa. Thông thường, dưới vi
phân ngặt có thể được biểu diễn như giới hạn của dưới vi phân đơn.

3


Những khái niệm này không ngừng phát triển và ngày càng tỏ ra có
nhiều ứng dụng trong giải tích phi tuyến và lý tuyết tối ưu. Tuy nhiên
vẫn còn rất nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần được tiếp tục tìm hiểu
và khai thác.
Được sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng, tôi đã chọn đề tài nghiên
cứu:
"Dưới vi phân tổng quát và ứng dụng".

2. M ụ c đích n gh iên cứu
Tìm hiểu về dưới vi phân tổng quát và ứng dụng của nó trong việc
nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi

3. N h iệm vụ n gh iên cứu
Hệ thống tổng hợp các kiến thức về dưới vi phân tổng quát cùng một
số ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình
Hamilton-Jacobi.

4. Đ ố i tư ợ n g và p h ạm vi n gh iên cứu
Đối tượng: Dưới vi phân tổng quát và ứng dụng.
Phạm vi: Nghiên cứu trong lớp hàm nửa liên tục dưới.

4

5. P h ư ơ n g pháp n gh iên cứu
Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến
đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm và lý
thuyết tối ưu.

6. N h ữ n g đ ó n g góp củ a Luận văn
Tìm hiểu về khái niệm dưới vi phân tổng quát. Tổng hợp, hệ thống
một số kết quả đã được các nhà khoa học nghiên cứu và công bố về
dưới vi phân tổng quát và ứng dụng

5


Chương 1
M ột số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản về không
gian Banach, hàm khả vi trên không gian Banach cùng những tính chất
và hàm Lipschitz. Những kiến thức chương này được lấy chủ yếu từ
[1], [2] ,[3] ,[4] ,[9] ,[10].

1.1. M ột số khái n iệm về k h ôn g gian B an ach
Mục này trình bày những khái niệm, tính chất về không gian Banach
và không gian liên hợp. Cho X là không gian vectơ trên tập số thực M
Đ ịnh nghĩa 1.1 ([lj, trang 11-12). Một chuẩn trong X , kí hiệu là II ■II,
là một ánh xạ từ X vào M thỏa mãn các tiên đề sau:
Với mọi Víí,

V

€ X và a € M

(i) ||ri|| > 0 (với ||ri|| là số thực không âm)
(ii) ||'u|| = 0 nếu u = 0
(iii) ||cra|| = Io;I . ||rí||
(iv) ||ri + u|| < ||ri|| + \\v\\ (bất đẳng thức tam giác ).
6


Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn II • II xác định trong
không gian ấy được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu (X, II • II)
hay đơn giản là X
M ệnh đề 1.2 ([1], trang 12). Cho X là không gian định chuẩn với
chuẩn II • II. Với Vx, y € X , đặt
d( x , y ) = ||x - y II .
Khi đó d là một metric trên X .
Đ ịnh nghĩa 1.3 ([1J, trang 21). Cho X là không gian định chuẩn với
chuẩn II • II . Nếu X với khoảng cách d ( x , y ) = 11a: —y II là một không
gian metric đủ, khi đó X gọi là không gian Banach
Nếu không nói gì thêm trong luận văn này, không gian Banach được
kí hiệu là X . Chuẩn trong không gian Banach được kí hiệu là II • 11^- hay
II • II . Hình cầu đơn vị (đóng) và mặt cầu đơn vị trong X kí hiệu lần
lượt là các tập hợp

sx := {x e X : ||z|| = 1}.

B x := {x e X : ||z|| < 1},
Một số ví dụ về không gian Banach
V í dụ 1.4 ([3J,[4],[9J). Ta có:

1. Không gian tuyến tính Mfc với chuẩn ||a;|| = Y2ị=1 |a:(ĩ)| là không

gian Banach.
2. Cho íì c Mfc là tập con đo được Lebesgue. Khi đó không gian tuyến
tính Lp(íì) (1 < p < oo) tấ t cả các hàm số thực đo được
7

X

= x(t)


trên íì sao cho f fí \x(t)\pdt < 00 với chuẩn II2;II = ( f fí \x(t)\pd ty ^ p
là không gian Banach. Không gian tuyến tính L°°(íì) tấ t cả các
hàm số thực đo được X = x ịt) trên íì sao cho esssupn |m(í)I < +00
với chuẩn IIXII = supn |m(í) I là không gian Banach.
3. Không gian tuyến tính lp (1 < p < 00 ) tấ t cả các dãy số thực X =
00

(z(z)) sao cho chuỗi

/00

k W |P hội tụ với chuẩn ||a;|| = (

í= 1
,í= 1
là không gian Banach. Không gian tuyến tính l°° tấ t cả các dãy
số thực X = (z(z)) sao cho sup^ |rc(z) I < +00 với chuẩn IIXII =
supị |z(z)| là không gian Banach.
4. Không gian tuyến tính Cịa, b] các hàm thực liên tục trên một đoạn
[a, b] với chuẩn ||a;|| = max |rc(í)I là không gian Banach.

Đ ịnh nghĩa 1.5 ([1J, trang 61). Cho X là không gian định chuẩn với
chuẩn II • II ■Anh xạ tuyến tính liên tục X* : X —> K gọi là một phiếm
hàm tuyến tính liên tục xác định trên X .
Nếu X* : X —>K là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và X G X thì
giá trị của X* tại X được kí hiệu là (x*, x), nghĩa là (x*, x) = (x*, x ) .
Đ ịnh lý 1.6 ([3J, Định lý 2.6, trang 78 ). Không gian đối ngẫu X * của
không gian định chuẩn X với chuẩn xác định bởi
X

\\ = sup - L—xyo 1+

là một không gian Banach.
V í dụ 1.7 ([3J, trang 108, 110). Không gian đối ngẫu của Lp(£l) lp (1 <
p < 00 ) lần lượt là không gian L?(íì), lq với q là số mũ liên hợp của p,
8


tức l à l / p + l / ợ = l. Đặc biệt không gian đối ngẫu của

tương

ứng là L ° ° { n ) ,r .
Đ ịnh nghĩa 1.8 ([1], trang 73). Không gian liên hợp của không gian
X* gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và
kí hiệu X**. Như vậy X ** = (x * y .
Đ ịnh nghĩa 1.9 ([1J, trang 85). Không gian định chuẩn X gọi là không
gian phản xạ, nếu X = X**.
V í dụ 1.10 ([3, 9J). Các không gian Lp(íì), lp (1 < p < 00 ) là các không
gian phản xạ.
Theo Định lỷ |l.6[ nếu X phản xạ thì X là một không gian Banach.

Đ ịnh nghĩa 1.11. Không gian Banach X được gọi là tách được nếu
nó có một tập con đếm được trù mật.
V í dụ 1.12 ([9], trang 103). Các không gian ư (1 < p < oo),C[a,b]
là không gian tách được; các không gian L°°(íì), l°° không tách được.

1.2. H àm k h ả vi trên k h ôn g gian B an ach
Mục này trình bày khái niệm các đạo hàm cổ điển: đạo hàm theo
phương, đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet. Cho X , Y là các không
gian Banach trên trường số thực M, / : X —> Y là một ánh xạ.
Đ ịnh nghĩa 1.13 ([2j. Định nghĩa 1.5). Cho d € X và X € X . Nếu giới
han lim rìz+tá)-/(rì có ¿ ao
iịO

theo phương d tai X, kí hiêu / ' (x, d)

1

9


Đ ịn h n g h ĩa 1.14 ([2j. Định nghĩa 1.6). Cho

X

G X là một điểm cố

định. Ánh xạ F : X —> Y được gọi là khả vi Găteaux tại

X

nếu tồn tại

một ánh xạ A : X —>Y thỏa mãn
lim

F ( X + t h ) - F ( x ) _ A( h)

t —¥0

=0

với mỗi h G X , trong đó t —>0 trong K
Ánh xạ A được gọi là đạo hàm Gâteaux của F tại

X

và giá trị của

nó tại h được kí hiệu là A (h) = dF (x, h).
Từ định nghĩa trên, đạo hàm Gâteaux của một ánh xạ từ X vào Y
tại

X

G X là một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . Chú ý rằng nếu F

là một ánh xạ tuyến tính thì dF (x, h) = F (h) hay dF (z) = F với
G X.
Nếu / là một hàm trên X , hay / : X —>K và / khả vi Gâteaux tại
G X, thì

df {x, h) =
và với mỗi

X

| /

(X

+ th)

G X cố định, df (x, h) là một hàm tuyến tính của h G X.

N h ậ n x é t 1.15. Nếu đạo hàm Gâteaux tồn tại thì nó là duy nhất. Từ
định nghĩa của đạo hàm thông thường có thể suy rộng cho một ánh xạ
từ một không gian Banach vào một không gian Banach. Điều này dẫn
đến khái niệm đạo hàm Fréchet.
Đ ịn h n g h ĩa 1.16. Ánh xạ / được gọi là khả vi Fréchet (hay đơn giản là
khả vi) tại

X

G X nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục A : X —> Y

sao cho
y IIf{ x + h) - f ( x ) - Ah
h—
>0
11h 11
10

= 0.


Khi đó A được gọi là đạo hàm Fréchet của / tại

X

và kí hiệu là D f ( x )

hay v /( x ) .
Khi Y = K thì đạo hàm (nếu tồn tại) của hàm / được xác định bởi
một phần tử của

X*

G X* và biểu thức định nghĩa thường được viết là:

y

f { x + h) - f {x) - ( x \ h ) = 0

h —>0

11h 11

N hận x ét 1.17. Nếu đạo hàm Fréchet tồn tại thì nó là duy nhất
Đ ịnh lý 1.18. Nếu một ánh xạ có một đạo hàm Fréchet tại một điểm
thì nó có đạo hàm Gâteaux tại điểm đó và cả hai đạo hàm bằng nhau.
Đ ịnh nghĩa 1.19 ([10], trang 2). Ta nói chuẩn ||.|| của X là khả vi

Fréchet hay là chuẩn trơn Fréchet nếu ||.|| là hàm khả vi Fréchet tại
mọi

X

£ Sx (nhờ tính thuần nhất của chuẩn ta suy ra chuẩn trơn

Fréchet sẽ khả vi Fréchet tại mọi Ï 7^ 0).
V í dụ 1.20. Chuẩn trên một không gian Hilbert H là chuẩn trơn
Fréchet. T hật vậy, do
\\x + h\\2 — \\x\\2 — (2x, h)
\\h\\2
lim ----------------------------------= lim ~n—7T = 0
h—
>0
11h ị ị
h—
>0 11h 11
nên ||.||2 là hàm khả vi Fréchet tại mọi
hàm hợp ta có ||.|| khả vi tại mọi

X

X

G H. Theo quy tắc đạo hàm

Ỷ 0 và

D ||a:|| = -—- ,

\\x\\

X Ỷ

0-

V í dụ 1.21. Cho / : R 2 -> R:
I ¿ fe
f ( x u x 2) = y ì+xị
[0

nếu (aq, X 2 )

Ỷ

(0; 0)

nếu ( x i , x 2) = (0, 0),
11


Hàm này khả vi Gâteaux (có đạo hàm bằng 0) nhưng không khả vi
Fréchet tại (0, 0)
Đ ịnh lý 1.22 (Smulyan, [9J, Định lý 1.4, trang 3). Cho (X, ll-ll) ỉà
không gian Banach với không gian đối ngẫu X*. Khi đó chuẩn ||.|| khả
vi Fréchet tại X G Sx khi và chỉ khi với mọi dẫy fn, gn £ S x *, fn{x) —> 1
và gn(x) —> 1 ta đều có \\fn — gnII —>0.
V í dụ 1.23. Chuẩn ||a;|| = X X i 1^)1 trong không gian Banach l1
không trơn Fréchet.
T hật vậy, với mọi X = (z(z)) G Sịi. Ta định nghĩa fn, gn G Si°o bởi:

sign(z(z)),

fn{x)(i) =

{

nếu i Ỷ n
nếu i = n,

sign(a:(z)),

nếu i Ỷ n

—1,

nếu ỉ = n.

Khi đó f n(x) -> 1 ,gn{x) -> 1 và ||/n - gnIU = 2. Theo Định lý 1.22
chuẩn trên /1 không khả vi Fréchet tại X. Từ đây ta có điều phải chứng
minh.
Đ ịnh lý 1.24 ([9], Hệ quả 3.3, trang 51). Cho X ỉà không gian Banach
tách được. Khi đó X có chuẩn tương đương trơn Fréchet khi và chỉ khi
X* tách được.

12


V í dụ 1.25. Các không gian Lp(íì) (1 < p < 00 ) là không gian có
chuẩn tương đương trơn Fréchet vì nó và không gian đối ngẫu của nó
tách được.Tổng quát hơn, mọi không gian Banach phản xạ tách được

đều có chuẩn tương đương trơn Fréchet.
Đ ịnh nghĩa 1.26 ([2j, Hàm số Lipschitz). Hàm số / được gọi là Lipschitz địa phương tại
ư của

X,

X

£ X hay Lipschitz ở gần

X,

nếu tồn tại lân cận

số k > 0 sao cho
Vu,v £ ư \f (u) — f (v)\ < k \\u — v\

( 1. 1)

Hàm / được gọi là Lipschitz địa phương trên tập Y c X nếu / Lipschitz
địa phương tại mọi u G Y.
Hàm / được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz k trên tập n ếu Ị i r
đúng với mọi u,

V

GY

13

Chương 2
Dưới vi phân tổ n g quát và ứng
dụng
Trong chương này ta sẽ trình bày khái quát những kiến thức về hàm
nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân trơn Borwein và Preiss, dưới
vi phân tổng quát, quy tắc tổng mờ và ứng dụng của nó trong việc
nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi. Các kiến
thức trong phần này chủ yếu được lấy từ [7],[8],[9].

2.1. D ưới vi p h ân tổ n g quát
Cho X là không gian Banach thực với hình cầu đơn vị đóng B và
X* là không gian đối ngẫu của X. Kí hiệu đường kính của tập
là số
diam(5') := sup {||a;

—

y II : X , y e S} .

Cho hàm / : X —> M. Ta gọi
dom / := {x e X : f ( x ) e M},
ep i/ := {(s, X) E X

X

R : ĩ Ẽ I , Ằ > f ( x )}
14

s c X

tương ứng là miền hữu hiệu và trên đồ thị của /. Hàm / được gọi là
chính thường (proper) nếu dom / Ỷ 0Tập mức compac của hàm / là tập mà L c ( /) = {x : f (x) < c} với
c là hằng số
Đ ịnh nghĩa 2.1. Một borno ( bornoỉogy) ¡3 trên X là một họ các tập
con đóng, bị chặn, đối xứng tâm của X thỏa mãn các tiên đề sau
1. X bằng hợp của tấ t cả các tập thuộc /3, tức là X = u A;
2. /3 kín đối với phép nhân với một vô hướng, tức là: nếu A £ (3, A € K
thì XA € ¡3]
3. /3 được định hướng tăng, tức là nếu Bi, B 2 G/3 thì Bị

u B 2 G/3.

V í dụ 2.2 (Một số borno cơ bản). Cho X là một không gian định
chuẩn thực.
i) Họ F gồm tấ t cả mọi tập con đóng, bị chặn, đối xứng tâm của X
là một borno trên X và gọi là borno Fréchet.
ii) Họ W H gồm tấ t cả mọi tập con compac yếu, đối xứng tâm của
X là một borno trên X và gọi là borno Hadamard yếu.
iii) Họ H gồm tấ t cả mọi tập con compac, đối xứng tâm của X là
một borno trên X và gọi là borno Hadamard.
iv) Họ G gồm tấ t cả mọi tập con hữu hạn, đối xứng tâm của X là
một borno trên X và gọi là borno Găteaux.
Từ nay về sau ta luôn giả thiết ¡3 là một borno trên không gian định
chuẩn thực X . Kí hiệu X p l ầ không gian đối ngẫu của X và được trang
15


bị tô pô hội tụ đều trên tập thuộc ß , tức là: dãy các phiếm hàm tuyến

tính liên tục (theo chuẩn) trong X * được gọi là hội tụ tới phiếm hàm
tuyến tính liên tục X* G X * trong Xß nếu x*n hội tụ đều về X* trên mọi
tập con B G ß .
Đ ịnh nghĩa 2.3. Borno ß được gọi là lồi nếu với mọi B G ß ta có bao
lồi đóng co d B G ß .
V í dụ 2.4. Borno Fréchet trên K là một borno lồi.
Đ ịnh nghĩa 2.5 ([9], trang 10). Hàm / : X —> K được gọi là nửa liên
tục dưới (l.s.c.) nếu với mọi A G K, tập {x G X : f ( x ) < A} là tập
đóng.
Đ ịnh lý 2.6 ([8J, trang 10). Cho X là không gian Banach, f là hàm
chính thường trên X . Khi đó ta có các khẳng định a) -d) sau đây là
tương đương
a) Hàm Ị nửa liên tục dưới.
b) Trên đồ thị ep i/ là tập đóng trong A x K .
c) Với mọi

X

G X , với mọi £ > 0 đều tồn tại một lăn cận V của

X

sao cho f ( y ) > f ( x ) — £ với mọi y G V.
d) Với mọi dãy x n hội tụ tới

X

trong X , ta có

lim inf f ( x n) > f(x).

n —ìoo

Hơn nữa ta có:
e) Nếu fi, /2 nửa liên tục dưới thì /1 + / 2 cũng nửa liên tục dưới.
f) Nếu

là một họ các hàm l.s.c. thì f ( x ) = supiei fi{x) cũng

I . S . C. .

16


g)

Nếu f l.s.c. và E c X là tập compac thì f đạt giá trị lớn nhất

trên E.
Từ nay về sau chúng ta luôn xét các hàm với giá trị thực mở rộng,
nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) và chính thường (proper)
Đ ịnh nghĩa 2.7 (Hàm ß —khả vi). Cho hàm / xác định trên X , ta nói
rằng / là ß-kha vi tại

X

và có ß- đạo hàm là v ßf (æ) nếu / (æ) hữu hạn

và :
t ~1 ( / (X + tu) - f (z) - t { v ßỉ ( z ) , u))
khi

t

—>0 đều theo

U

€ V với mọi V €

Ta nói rằng hàm / là ß —trön tại
lân cận của

X

0

ß.

nếu v ^ / : X —>Xß liên tục trong

X.

Dễ dàng để kiểm tra rằng một hàm lồi là ß —trơn tại
khi / là ß —khả vi trên một lân cận lồi của

X.

X

khi và chỉ

Sau đây ta sẽ định nghĩa

ß —dưới đạo hàm nhớt và ß —trên đạo hàm nhớt.
Đ ịnh nghĩa 2.8 ([7J, Định nghĩa 2.1). Cho / : X —> M là hàm nửa
liên tục dưới và / (æ) < Too. Ta nói rằng / là ß —du0i khả vi nhớt và
X*

là một ß —dudi đạo hàm nhớt của / tại

X

Lipschitz địa phương, sao cho g là ß —trơn tại
đạt cực tiểu địa phương tại
hàm nhớt của / tại
tại

X

X.

nếu tồn tại một hàm g là
X,

v ßg (æ) =

X*

và / —g

Ta kí hiệu tập tấ t cả các ß —dưới đạo

là Dß f ( x ) và gọi là ß —dudi vi phân nhớt của /

X.

Cho / : X —> M là hàm nửa liên tục trên và / (æ) > —oo. Ta nói
rằng / là ß —trcn khả vi nhớt và

X*

là một ß —trcn
17

đạo

hàm nhớt của /


tại

X

tại

X,

nếu tồn tại một hàm g Lipschitz địa phương, sao cho g là ß —trơn
V^g (x )= x * và / —g đạt cực đại địa phương tại

tập tấ t cả các ß —trên đạo hàm nhớt của / tại
ß —tren vi phân nhớt của / tại

X

X.

Ta kí hiệu

là D ß f ( x ) và gọi là

X.

N hận x ét 2.9 ([7], Nhân xét 2.3 ). Bằng cách cộng thêm hằng số ta có
thể giả thiết rằng hàm ß —trơn g trong định nghĩa nêu trên luôn thỏa
mãn g(x) = f ( x ) .
N hận x ét 2.10 ([7], Nhân xét 2.4 ). Để ý rằng ta cũng có định nghĩa
ß —dưới vi phân theo giới hạn dßf (æ) của / tại
X*

X

như sau: Phần tử

e dßf (æ) nếu với bất kì £ > 0 và mọi V € ß, đều 3rj > 0 sao cho
t~l ( / {x + th) — f (æ)) - (x*, h) > - £

Ví € (0, tị) , h e V.

Ta có thể kiểm tra rằng Dß~ f (x) c dßf ( x ) . Ví dụ sau đây là một

trường hợp ở đó có bao hàm thức thực sự.
V í d ụ 2.11. Cho / : M" —> K (n > 2) là liên tục, giả sử rằng / khả
vi Gâteaux nhưng không khả vi Fréchet (hay không khả vi Hadamard
yếu) tại 0 (chẳng hạn / : M2 —> M xác định bởi / (X, y ) = x y 3/ (X2 + y4)
khi (x,y) Ỷ (0,0) v à /( 0 ,0 ) = 0 tại (0,0)). Đặt g(h) := - \ f ( h ) ~ f ( 0 ) ~
VG/(0 )h |. Khi đó g là liên tục đều địa phương và
1. dGg (0) = {0} ;
2. DGg{ 0) = 0 .
Chứng minh. Ta có thể kiểm tra trực tiếp rằng V Gg (0) = 0 , do đó
dGg ( 0) = {0}. Do ta có DGg{ 0) c dGg ( 0) nên hoặc khẳng định (2)
18


đúng hoặc ngược lại DGg (0) = {0} . Nhưng trường hợp thứ hai không
thể xảy ra vì khi đó tồn tại hàm k là Lipschitz địa phương và khả vi
Gâteaux (do đó khả vi Fréchet) sao cho k (0) = g (0) = 0 ,V Gfc(0) =
V Gg (0) = 0 và k < g trong một lân cận của 0. Do đó,

1/(0 +

- / ( 0) - v G/ ( 0)ft| < k { h ) - k { 0) < \k{h)-k{0)\
11h 1
I ll'll
I ll'll

Có nghĩa rằng / khả vi Fréchet tại 0, mâu thuẫn.

□

Đ ịnh lý 2.12 (Nguyên lý biến phân trơn Borwein và Preiss, [8J, Định

lý 1.6). Cho

f

:

X —>K l.s.c, £ > 0 và A > 0. Giả sử

U

£ X thoả mãn:

f( u) < £ + inf /.

c 1—hàm lồi g trên X và V £ X sao cho:

Khi đó tồn tại

( ị ) Hàm I 4 /(x )

I

g ịx ) đạt cực tiểu toàn cục tại X = V.

( ii ) \\u — v\ \ < a.
( iii )f{v) < £ + inf /.
X

(tv)\\Vg(v)\\Đ ịnh nghĩa 2.13 ([7], Định nghĩa 2.6 ). Cho /i, ...,/jv là các hàm nửa

liên tục dưới và E tập con đóng của X. Ta nói rằng ( / 1;..., f N ) là nửa
liên tục dưới đều trên E nếu
inf ¿ / „ ( x )
n=1
N

< lim inf { V ]

fn { x n)

■\ \ x n -

x m \\

<

£ ,xn,x m e

E , n , m = 1,.., JV}

n= 1

Ta nói rằng ( / 1;..., f N) là nửa liên tục dưới đều địa phương trên E nếu,
với bất kì

X

£ n^=1 dom (/n) , ( / i , . . . , / jv) nửa liên tục dưới đều trên

hình cầu đóng với tâm tại

X.

19


Mệnh đề sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa
M ệnh đề 2.14 ([7], Mệnh đề 2.7 ). Cho /i,

là các hàm nửa liên

tục dưới trên X và E là tập con đóng của X . Nếu một trong ba điều
kiện sau thỏa mẫn thì ( f i , ..., / jv) là nửa liên tục dưới đều trên E :
1. Tất cả mọi hàm (có thể trừ một hàm) liên tục đều trên E;
2. Một trong số các hàm đó có tập mức compact khi giới hạn trong
E\
3. X là không gian hữu hạn chiều và tập E bị chặn.
B ổ đề 2.15 ([7J, Bổ đề 2.8 ). Cho

là các hàm nửa liên tục

dưới và E tập con đóng của X . Giả sử ( / i , ..., f N) là các hàm nửa liên
tục dưới đều trên E . Xác định, với t > 0
N

Mị =

inf

N

^ ^ fn (^n) "t" t ^ ^
1
n,m = l

_n =

Giả thiết rằng (x ị ,...,Xịy) thỏa mẫn điều kiện:
lim I Mị — J 2 ^ ( Xn ) + t
\\Xn ~ Xl
i—
>0o
_n=1
n,m=1
Khi đó
(i) lim tịdiam ({ s ị,
i—
>0o

x^ } ) ]2 = 0;

(n) lim Mi = in f Y) f n ( z ) .
í ^ ° °

X &E

7 1= 1

Chứng minh. Đặt
dt := M t -

+ *
IK ~ x ĩ
n,m=1

_n=1
20

= 0.


N

Khi đó lim dị = 0. Hiển nhiên Mị tăng dần theo t và Mị
t-¥0 o

<
I

inf
ễ

£

J2 ỉn
n=l

(4

N

do đó tồn tại M := lim Mị và M < inf ^2 f n (4 - Hơn nữa
t-*0o

i ễ

K) +ịj2

M t/2
71=1

£

n=i

\\Xn - xl II2

71,771 = 1

= Y , f n ( x n‘ )+t 52 \\Xn - X' Ẩ - \ 51 K - < |f
71= 1

71, 771= 1

= M t - d t - -t

71,771 = 1

1 1 4 - 4 II2
71,771 = 1

hoặc
2{Mị - M ị /2 - dị) > t ^ 2 114 - 4 ||2 > t[diam ({x\, . . . , 4 } ) ] 271,771 = 1

Do đó,
lim tịdiam ( { 4 ) . . . , 4 } ) ] 2 = 0-

t—¥00

N

Ta chỉ còn phải chứng minh rằng M > inf
đó, để ý rằng | | 4 —4

II

fn (4 - Để làm được điều
n=l
— > 0 khi t —> 00 và ( / i , ..., / jv) là nửa liên tục

dưới đều trên E. Khi đó ta có

(

N

N

51 ỉn (4) + t 51
71=1

71,771 =

N

4 - s*m.
'**

1

N

> tliminf J 2 £ ỉn ( 4 ) > [ĩlị
J2
X &E
*

-

—7oo

71=1

'

71=1

21

ỉn ( 4 .

□