Luận văn thạc sĩ nghiệm phân rã theo thời gian của một lớp bao hàm thức vi phân cấp phân số

B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2
_________________ * ____________________

N G U Y Ễ N VĂN THỌ

N G H IỆ M P H Â N R Ã TH EO TH Ờ I G IA N
C Ủ A M Ộ T LỚP BA O H À M TH Ứ C
VI P H Â N C Ấ P P H Â N SỐ

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N G IẢ I T ÍC H

HÀ NỘI, 2015


B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2
_________________ * ____________________

N G U Y Ễ N VĂN THỌ

N G H IỆ M P H Â N R Ã TH EO T H Ờ I G IA N
C Ủ A M Ộ T LỚP BAO H À M TH Ứ C
V I P H Â N C Ấ P P H Â N SỐ

C h u y ê n ngành: T oán giải tích
M ã số: 60 46 01 02

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N G IẢ I T ÍC H

N g ư ờ i hư ớng dẫn k h oa học: P G S . T S . Trần Đ ìn h K ế

HÀ NỘI, 2015


LỜI C Ả M Ơ N

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PG S.TS. Trần Đình Kế đã tậ n tình
hướng dẫn em trong quá trìn h thực hiện luận văn này.
Em xin chân th à n h cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, cùng toàn
thể các thầy giáo, cô giáo trong K hoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
2, đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện th u ận lợi để em có điều kiện tố t n h ất
trong suốt quá trìn h học tập , thực hiện đề tà i và nghiên cứu khoa học.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không trá n h khỏi những hạn
chế và thiếu sót n h ất định. Em xin chân th àn h cảm ơn đã nhận được những ý
kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên.

Hà Nội, ngày 08 tháng 07 năm 2015
Tác giả

N g u y ễ n V ăn T h ọ


LỜI C A M Đ O A N

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PG S.TS. Trần Đình Kế, luận văn
tố t nghiệp “N g h iệ m ph ân rã th e o th ờ i gian c ủ a m ộ t lđp h à m bao th ứ c
vi ph ân cấp ph â n số” được hoàn th àn h bởi sự nhận thức của chính bản th ân
tác giả và không trù n g với b ất kỳ luận văn nào khác.
Trong quá trìn h làm luận văn, tôi đã kế th ừ a những th àn h tự u của các nhà
khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 08 tháng 07 năm 2015
Tác giả

N g u y ễ n V ăn T h ọ


M uc luc
M ở đầu

1

1

K iế n th ứ c chuẩn bị

4

1.1

Giải tích bậc phân s ố .................................................................................

4

1.2

Độ đo không com pact và ánh xạ đa trị n é n .......................................

7

2

T ín h giải được tr ê n các đ o ạ n c o m p a c t

10

3

Sự tồ n tạ i n g h iệ m ph ân rã

19

3.1

Nghiệm phân r ã ...........................................................................................

19

3.2

Áp dụng

27

........................................................................................................

KẾT LUẬN

33

Tài liệu th a m khảo

33


M ở đầu
l.L ý do chọn đề tài
Chúng ta nghiên cứu bài toán sau trong m ột không gian Banach X
D%Bu(t) € Au(t) + F(t,u(t)), t ỹỂ t k, tk € (0, +oo), k € A,
Au ( t k) = Ik(u(tk)),

(0.1)
(0.2)

u(0) = g(u),

(0.3)

ở đây D q , a € (0,1), là đạo hàm bậc phân số theo nghĩa C aputo, A và B là những
toán tử tuyến tính, đóng và không bị chặn trong X , A c N, Au ( t k) = u(tk ) - u ( t k ).
Các hàm F, g và I k là các hàm cho trước.
Phương trìn h kiểu Sobolev có thể tìm thấy trong các công trìn h của B arenblat
và các cộng sự [5], ở đó các tác giả là những người đầu tiên đưa ra m ột mô hình
dòng chảy của chất lỏng trong môi trường đá nứt, đó là phương trìn h
dt{u - dịu) - dịu = 0.
Mô hình này sau đó được p hát triển và nghiên cứu trong các bài báo [7, 26] khi
đó các tác giả đã xét phương trìn h phi tuyến trừ u tượng

at

- Au(t) = f { t , u { t ))

trong không gian Banach, với A và B là các toán tử không bị chặn. G ần đây,
khi giải tích bậc phân số trở th àn h m ột công cụ hữu dụng để miêu tả các hiện
tượng vật lí khác nhau như dòng chảy trong môi trường rỗ thủng, các dao động
và điều khiển (xem, chẳng hạn [17, 24, 27]), phương trìn h vi phân bậc phân số
đã được đề x u ất thay thế cho các phương trìn h vi phân bậc nguyên trong các
mô hình này. M ột số lớp phương trìn h vi phân bậc phân số kiểu Sobolev đã
th u hú t nhiều nghiên cứu trong vài năm gần đây. Có th ể kể đến các công trìn h
[3, 4, 15, 19, 25], ở đó m ột số kết quả về sự tồ n tại và điều khiển được đã được
th iết lập.
1


Liên quan tới hệ (0.1)-(0.3), ánh xạ phi tuyến đa trị F hình th àn h từ nhiều
bài toán khác nhau, trong đó có bài toán chính quy hóa phương trìn h vi phân
thường với vế phải không liên tụ c ([16]), các bất đẳng thức vi biến phân ([29]),
các bài toán điều khiển phản hồi ([21]),... Điều kiện xung trong (0.2) là m ột
hiệu ứng x u ất hiện khi hàm trạn g th á i chịu sự th ay đổi đột ngột, hiện tượng
này thường x u ất hiện trong sinh học và kĩ th u ậ t. Điều kiện không cục bộ trong
(0.3) lần đầu tiên được nghiên cứu trong [10], cho phép mô tả dữ kiện đầu vào
tố t hơn các điều kiện ban đầu so với các bài toán Cauchy cổ điển. Trong ứng
dụng, điều kiện không cục bộ thường có các dạng sau
m

li(O) = u 0 +

^

li(O) = UQ + ■

C ị ĩ i { t ị ), Cị ẽ

R ,t ị>

0,

k(s)u(s)ds, b > 0, k là m ột hàm thực.

M ột vấn đề quan trọng liên quan tới bài toán (0.1)-(0.3) là câu hỏi về dáng điệu
của các nghiệm khi thời gian t lớn. Chú ý rằng lý thuyết tập hú t toàn cục (xem
[11]) không thể áp dụng với bài toán này vì thiếu tín h chất nửa nhóm của toán
tử nghiệm. Ngoài ra, sử dụng hàm Lyapunov để phân tích sự ổn định của các
nghiệm là không thực tế do những khó khăn trong tín h toán và ước lượng đạo
hàm bậc phân số, thậm chí ngay cả trong trường hợp hữu hạn chiều. Bởi những
lí do trên, kết quả về dáng điệu nghiệm với các phương trìn h vi phân bậc phân
số khi thời gian lớn ít được biết đến. Trong m ột số bài báo gần đây [12, 22, 23],
các tác giả đã nghiên cứu m ột số mô hình phương trìn h vi phân bậc phân số
nửa tuyến tín h trong các không gian Banach bao gồm các điều kiện không cục
bộ và các hiệu ứng xung, ở đó sự tồ n tạ i các nghiệm phân rã được chứng m inh
bằng cách sử dụng nguyên lí ánh xạ co. Cách tiếp cận này được giới thiệu bởi
B urton và Furum ochi [8, 9] để nghiên cứu tín h ổn định cho các bài toán phương
trìn h vi phân thường và phương trìn h vi phân hàm . Tuy nhiên, kĩ th u ậ t dùng
trong [12, 22, 23] không sử dụng được trong bài toán các hàm phi tuyến F,g và
I k không có giả th iết Lipschitz.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết bao hàm thức vi phân bậc
phân số, tôi chọn vấn đề " N g h iệ m p h â n r ã th e o th ờ i g ia n c ủ a m ộ t lớp
b a o h à m th ứ c v i p h â n c ấ p p h â n số" cho đề tà i nghiên cứu của luận văn.
Các kết quả được trìn h bày dựa trên công trìn h (0.2).
Trong luận văn này, chúng tôi chứng m inh bài toán (0.1)-(0.3) có m ột tập

com pact các nghiệm phân rã trong VC([0, +oo); X). Để làm được việc đó, chúng
tôi xây dựng m ột độ đo không com pact chính quy (M NC), gọi là
2

X*

trên m ột


không gian con đóng của VC{[0, +oo); X ), sau đó chỉ ra rằng toán tử nghiệm đa
trị liên kết với (0.1)-(0.3) là x*-nén.
Luận văn được trìn h bày trong ba chương. Chương 1 bao gồm các kiến thức
chuẩn bị liên quan đến giải tích bậc phân số và độ đo không com pact. Chương 2
trìn h bày tín h giải được của bài toán (0.1)-(0.3) trên các đoạn com pact. Chương
3 sẽ chứng m inh sự tồn tạ i nghiệm phân rã và trìn h bày m ột ví dụ áp dụng.

2. M ục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tín h giải được trên đoạn com pact và sự tồn tạ i nghiệm phân rã khi
t

00

của hệ (0.1)-(0.3). Chứng m inh chi tiết các kết quả trong các công trìn h

[18, 22],

3 . N hiệm vụ nghiên cứu
1. Tìm hiểu về độ đo không com pact;
2. Tìm hiểu về giải tích bậc phân số;
3. Nghiên cứu tín h giải được của hệ trên đoạn compact;

4. Nghiên cứu điều kiện tồn tạ i nghiệm phân rã khi t ->■ 00 của hệ.

4 . Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiêu cứu: Bao hàm thức vi phân bậc phân số suy biến.
• Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện tồn tạ i nghiệm trên đoạn com pact và điều
kiện tồn tạ i nghiệm phân rã.

5. D ự kiến đóng góp mới
Chứng m inh chi tiết các kết quả trong các công trìn h [18, 22],

6. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng m ột số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:
• Giải tích đa trị, giải tích bậc phân số, độ đo không compact;
• Lý thuyết điểm b ất động cho ánh xạ nén.

3


Chương 1
K iến thứ c chuẩn bi
1.1

Giải tích bậc phân số

Cho L l {ũ, T]X) là không gian các hàm khả tích trên [0,T1], theo nghĩa Bochner.
Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Tích phẫn bậc phẫn số cấp a > 0 của hàm số / € L l {ũ, T]X)
được định nghĩa bởi
=
ở đó

r

r(a)

í (t - s r - i f ( s ) d s ,

J0

là hàm Ga mma , với điều kiện tích phẫn hội tụ.

Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Cho hàm / € C N {[0,T]; X) , đạo hàm Caputo bậc phẫn số cấp
a € {N - 1, N) được định nghĩa

D^

= m ^ r ) I ‘{ t - s)N~“~ ' ÍÍN>is)ds'

Chú ý rằng có nhiều khái niệm về đạo hàm bậc phân số, trong đó định nghĩa
của Riemann-Liouville và C aputo được sử dụng rộng dãi. Nhiều bài toán ứng
dụng, biểu diễn bởi phương trìn h vi phân bậc phân số, đòi hỏi các điều kiện đầu
li(o),

và đạo hàm C aputo bậc phân số thỏa m ãn các điều kiện xác định.

X ét bài toán (1.1)-(1.3).
D qBu{t) = Au{t) + f(t), t =£ tk, t k e (0, +oo),k e A ,

(1.1)

Aii(ífc) = I k{u{tk)),

(1.2)

u(0) = g(u).

(1.3)

Giả th iết rằng D { B ) c D(A), B là song ánh và có ánh xạ ngược bị chặn. Áp
dụng biến đổi Laplace cho phương trìn h (1.1), ta được

r ( l 1-

a)

B C [ ( r a * u'](A) = AC[u]{\) + £ [/](A),
4


do D qU =

^ ---- y(') “ * li', ở đây £ là kí hiệu biến đổi Laplace của hàm nhận

giá trị vector. Suy ra
- ^ B [ \ C [ u } ( \ ) - Y , e - Aí*/fc - U(0)] = AC[u}(A) + £[/](A).
ke A
Bởi vậy
5£[ii](A) =A“ _1(A°7 + A“ _1(A“ / - Ấ 5 “ 1)“ 1#

e_Aífc/fc + (A“ 7 - ^4-B_1)_1£[/](A), (1.4)
ke A

với 7 là toán tử đồng n h ất xác định trên X.
Cho {T{t)} là C q- nửa nhóm sinh bởi A B - 1 . Thế {T{t)} vào (1.4), ta được
BC[u}{ A) =A“ _1

e-A“sT(s)Bií(0)ds

+ A“ _1

í

e_A“ sT ( s ) B 5 1 e_Aífc/fcds +

í

1/0

fceA

J °

e_A“ sT(s)£[/](A)ds.

Do đó
£[ii](A) =A“ _1

B ~ 1e~xasT{s)Bu{0)ds

+A“ _1 í

B _ 1e_A“ sT ( s ) B 5 1 e_Aífc/fcds +

J°

ke t.

í

B _ 1e_A“ sT(s)£[/](A)ds.

J°
(1.5)

Sử dụng lí luận như [15], ta th u được
u{t) =S a {t)Bg(u) + ỵ , s a{t - t k) B I k(u{tk))
0 + í (t — s)a 1Pa {t — s)f (s)ds, t > 0,
■'0

(1.6)

ở đây s a (t) và p a {t) được gọi là các to án tử nghiệm đặc trư ng cho bởi công thức

s a(t)x= [

B ~ l ệ a {B)T{taB)xdB,

■'0
Pa {t)x = a í
“'o

,
B, - 11 B
<Ị>a (B)T(ta B)xdB,

5


với ệ a là hàm phân bố xác suất xác định trên (0,oo), nghĩa là, ệa{6) > 0 và
/ 0°° ệa{&)d& = 1. Hơn nữa, ệa có biểu diễn

Cho {U(t)}t >0 là m ột họ các toán tử bị chặn trên X . Ta nói [/(•) liên tụ c theo
chuẩn nếu và chỉ nếu í

U{t) là liên tụ c trên (0,oo). Nếu U{t) € L { X ) là m ột

toán tử com pact với mỗi t > 0 th ì [/(•) gọi là com pact.
B ổ đ ề 1.1. Cho T{') là Co-nửa nhóm sinh bởi A B - 1 . Nếu T{') bị chặn đều, nghĩa
là, supí>0 ||T(t)|| < + 0 0 , thì ta có các tính chất sau:
(1) Nếu nửa nhóm T{') liên tục theo chuẩn, thì s a (’) và p a (•) cũng liên tục
theo chuẩn;
(2) Nếu B _1 là một toán tử compact hoặc T{') là một nửa nhóm compact thì
s a (’) và Pa(’) là compact.
Chứng minh. Chứng m inh phần th ứ n h ất giống như trong [22, Bổ đề 2.1], còn
phần th ứ hai như trong [30].

□

Cho <É>(í,s) là m ột họ các toán tử bị chặn trên X với t,s e [O.T^S < t. Kết
quả sau được chứng m inh trong [28, Bổ đề 1].

B ổ đ ề 1.2. Giả sử rằng $ thỏa mãn các điều kiện sau:
(<É>1) Tồn tại một hàm p e L9(J),q > 1 sao cho ||<Ê>(t,s)|| < p(t - s) với mọi
t, s e [O, T], s < t;
(<ĩ>2) ||ỉ>(í, s) —ỉ>(r, s) II < e với 0 < s < r —e,r < t = r + h < T với e = e(h) —)• 0 khi
h ^ 0.
Khi đó toán tử s : L q (0,T ;X ) -> C ([0,T];X ) được định nghĩa bởi
(Sg)(t) := [ <Ê>(í, s)g(s)ds
biến một tập bị chặn bất kì thành một tập liên tục đồng bậc, ở đây q' là liên hợp
q (q' =

+00

nếu q = l).

6


Định nghĩa
Q Ct : ư ( [ OìT ] ; X ) ^ C ( [ O ì T ] ; X ) ì
Qa

(■t - s r

1p a {t - s)f(s)ds.

(1.7)

Sử dụng hai bổ đề cuối, ta có kết quả sau.
M ệ n h đ ề 1.3. Nếu nửa nhóm T(-) sinh bởi A B -1 bị chặn đều và liên tục theo
chuẩn, thì toán tử Qa xác định bởi (1.7) biến một tập bị chặn bất kì trong

Lp{0, T; X) thành một tập liên tục đồng bậc trong C([0, T]; X ).

□

Chứng minh. Xem [22, M ệnh đề 2.3].

1.2

Độ đo không com pact và ánh xạ đa trị nén

Cho E là m ột không gian Banach. Định nghĩa
V{E) = {B c E : B Ỷ 0},
r b{E) = {B € V{E) : B bị chặn},
K( E) = {B € V{E) : B compact},
K V{E) = {B € K{E) : B là tập lồi}.
Chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa độ đo không com pact. (xem [21])
Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Một hàm Ị3 : Vb(E) ->■ R+ được gọi là m ột độ đo không
com pact (MNC) trên E nếu
P(cõíl) = P(íl) với mỗi Í2 e V b(E),
vôi c ỏ n là bao lồi đóng của Í2. Một M N C p được gọi là
i) đơn điệu nếu ílo ,íĩi e V b(E), Í20 c SI 1 thì yỡ(Sl0) < /ỡ(SI 1 )/
ii) không suy biến nếu P({a} u Í2) = /?(íl) với mỗi a e E, í ì e 'Pb(E);
ni) bất biến theo miền với tập compact nếu P ( K UÍ2) = P(íl) với mọi tập compact
tương đối K c E và Í2 e Vb(E);
iv) nửa đại số cộng tính dưới nếu yỡ(Sl0 + íli) < /ỡ(Sl0) + /ỡ(SI 1 ) với mỗi Sl0; ííi e
V b(E);
v) chính quy nếu P(íl) = 0 thì tương đương với compact tương đối của Í2.
7

M ột ví dụ quan trọng của MNC là độ đo không com pact Hausdorff MNC
x(')j nó được định nghĩa như sau, với íĩ € Vb{E) đặt
x(íì) = inf{e > 0 : íĩ có m ột hữu hạn E-lưới}.
Cho T € L{E), hay T là toán tử tuyến tính bị chặn trên E. Ta có thể định nghĩa
chuẩn X của T như sau
Ill’ll* = inf{/? > 0 : x(T( B)) < ß ■x(B) với mọi B e r b(E)}.

(1.8)

Như đã biết (xem [21])
• ||T'||X = x(T (B i)) với Bi là hình cầu đơn vị trong E.
• ||T ||X < \\T\\L(Ey
• ||T ||X = 0 khi và chỉ khi T là m ột toán tử com pact.
Ta cần m ột số kết quả sau, nó là m ột ước lượng MNC. Việc chứng m inh có thể
xem trong [21].
M ệ n h đ ề 1.4. ([21]) Nếu {wn} c

, T; E) thỏa mãn

\\wn{t)\\E < v{t), với m ọ i t € [0,T1] h.k.n,
và với một V € L 1{0,T), thì ta có
x({

Í U!n{s)ds}) < 2 dỊ0 x({wn(s)})ds,

J0
với t e [0,Tj.

Ta cũng cần ước lượng MNC cho trường hợp các tập không đếm được.
M ệ n h đề 1.5. (Ị2[) Cho D c L l (ữ,T]E) thỏa mãn

(1) ||£(t)\\E < v{t), với mọi £ e D và với m ọ i t e [0, T] h.k.n,
(2) x{E{t)) < q(t), với mọi t

e [o,

T] h.k.n,

với ỉqạ e L1(0,T). Khi đó
x(

Í D(s)ds) < 4 Í q(s)ds,
dữ

ở đây

{JỊQ £(s)ds : £ e D}.
8


Chúng ta phải sử dụng m ột số khái niệm và kết quả của giải tích đa trị. Cho
Y là m ột không gian m etric.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Một ánh xạ nhận giá trị đa trị (ánh xạ đa trị) T : Y ->■ V{E)
được gọi là:
i) nửa liên tục trên nếu E ~ l {y) = {y € Y : Jr { y ) n V Ỷ 0} là một tập con đóng
của Y với mỗi tập con đóng V c E ;
ii) nửa liên tục trên yếu nếu E ~ l {V) là một tập con đóng của Y với mỗi tập
con đóng yếu V c E;
iii) đóng nếu đồ thị

= {(y,z) : Z

€ E{y)} là một tập con đóng của Y

X

E;

ỉv) compact nếu T { Y ) là compact tương đối trong E;
V) tựa compact nếu hạn chế trên mọi tập con compact A c Y là compact.
Bổ đề sau là m ột nguyên lý để kiểm tra khi nào ánh xạ đa trị là nửa liên tục
trên (nửa liên tục trên yếu).
B ổ đ ề 1.6. ([21], Định lí 1.1.12) Cho G : Y ->■ V{E) là một ánh xạ đa trị đóng
tựa compact với giá trị compact. Khi đó G là nửa liên tục trên.
B ổ đ ề 1.7. ([6], M ệnh đề 2) Cho X là một không gian Banach và ĩl là một tập
con khác rỗng của một không gian Banach khấc. Giả sử rằng G :

->■ V ( X ) là

một ánh xạ đa trị nhận giá trị lồi, compact yếu. Khi đó G là nửa liên tục trên yếu
nếu và chỉ nếu {xn} c

với x n —> XQ €

và yn € G{xn) suy ra yn —>■yo € G{xo),

theo một dãy con.
Chúng ta nhắc lại m ột số khái niệm của ánh xạ đa trị nén ([21]).
Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Một ánh xạ đa trị T : Z ç E -> V{E) được gọi là nén theo
một M N C ß (ß-nen) nếu với mỗi tập bị chặn Í2 c z , từ
0(íĩ) < p ự m

suy ra tính compact tương đối của Í2.
Cho ß là m ột MNC không suy biến, đơn điệu trong E. Áp dụng lí thuyết
bậc tô pô cho các ánh xạ nén (xem, chẳng hạn [1, 21]) th u được nguyên lí điểm
bất động sau đây, chúng sẽ được dùng để chứng m inh sự tồn tạ i nghiệm cho bài
toán (0.1)-(0.3).
Đ ịn h lí 1.8. ([21, Hệ quả 3.3.1]) Cho M là một tập con đóng, lồi, bị chặn của
E và cho T : M -> K V{M) là một ánh xạ đa trị ß-nen và nửa liên tục trên. Khi
đó tập các điểm bất động Fix(Jr) := {x e E{x)} là một tập khác rỗng và compact.
9


Chương 2
T ính giải được trên các đoạn
com pact
Cho trước T > 0, ta định nghĩa VC([0,T]-, X) không gian các hàm u : [0, T] ->■ X
thỏa m ãn u là liên lục trên [0, T]\{tfc : k € A} và với mỗi tk € [0, T\, k € A, tồn tại
lí(í^) = lim u(t);
t->tk

u(t£) = lim u(t)
t->t£

và Ií(ífc) = u(tỊ). Khi đó PC([0,T'];Jsf) là m ột không gian Banach được tran g bị
bởi chuẩn
|li\\pc '■= SUP \\u {t) II•
te[0,T}

Cho X lừ m ột độ đo không com pact H ausdorff MNC trong X , Xpc lừ m ột độ đo
không com pact Hausdorff MNC trong VC{\ỊÒ,T]] X).
Chúng ta nhắc lại m ột số kết quả (xem [20]): với mỗi tậ p bị chặn D c

VC{[0,T];X), ta có
< X p c {D),

•

với mọi t e [0,T], ở đây D{t) := {ai(t) : X e D}.

• Nếu D là m ột tậ p liên tục đồng bậc trên mỗi nửa khoảng (tfc, h + 1 ] c [0, T],
thì
Xvc{D) =

sup x{D(t)).

te[0,T]
Để chứng m inh sự tồn tạ i nghiệm của bài toán (0.1)-(0.3), ta sẽ đưa ra các giả
th iết sau:
(A ) A B 1 là toán tử sinh vi phân của một C q nửa nhóm {T(t)}t > 0 nó liên tục
theo chuẩn.
(F) F : [0,T] X X ^ K V(X) là một ánh xạ đa trị thỏa mãn:
10


1. Ánh xạ đa trị F(-,v) thừa nhận một hàm chọn với mỗi

V

€ X và ánh

xạ đa trị F{t, •) là nửa liên tục trên với mọi t € (0,T) h.k.n;
2. Tồn tại các hàm m € Lp{0,T), p > - và ty F là hàm không giảm và liên

tục, nhận giá trị thực, thỏa mãn
\\F(t, v) I < m(t)tyF (\\v\\),
với mọi

V

€ X và với mọi t € (0,T) h.k.n, ở đây ||F (t,u)|| = sup{||£|| :

F(t,v)};
3. Nếu B _1 và T{-) không compact, thì với bất kì tập con B c X , ta có
x ( F( t , B) ) < k(t)x(B),
với mọi t € (0,T) h.k.n, ở đó k € Lp{0, T) là một hàm không âm.
(G) Hàm không cục bộ g : PC([0,T'];X) ->■ D ( B ) phải thỏa mãn các điều kiện:
1. Bg : VC{[ữ,T]]X) ->■ X liên tục và
\\Bg{u)\\ < tyg(\\u\\pc),
với mọi u € VC{[0, T]; X ), với ty g là một hàm liên tục và không giảm
trên R + ;
2. Tồn tại r¡ > 0 thỏa mãn
x{Bg{D)) < gxpc{D),
với mọi tập bị chặn D c VC([0, T]\X ).
ß ) Toán tử I k : X -> D(B) thỏa mãn:
1. B I k : X -> X liên tục và tồn tại một hàm không giảm, liên tục, nhận
giá trị thực tyJ và một dãy không âm {IkìkeA thỏa mãn
\\BI ị.( x )\\x <

với mọi X e X , k e A;

2. Tồn tại một dãy không âm {ßkikeA thỏa mãn
x { B I h{D)) < PkX{D),
với mọi tập con bị chặn D c X ;

3. Dãy {tk} keA thỏa mãn infkeA{tk+i - tk} > 0.
11


Với u € PC([0, T]] X) , ta định nghĩa
rP
F (u) = { f e Lp( 0, T; X) : f(t) e F(t,u(t))}.
X uất p hát từ công thức (1.6), chúng ta đưa ra định nghĩa sau.
Đ ịn h n g h ĩa 2 .1 . Một hàm u € PC([0, 71]; V) được gọi là một nghiệm tích phân
của bài toán (0.1)-(0.3) trên đoạn [0, T ] nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm / € Vpiu)
thỏa mãn
u(t) = Sa {t)Bg(u) + ^ 2 s a {t - tk) B I k(u(tk))
0+

f ( t - s ) a- 1Pa { t - s ) f { s ) d s ,

(2.1)

■*ữ
với mỗi t € [0,T].

Ta định nghĩa toán tử nghiệm
p : VC{[0,T];X) -+ V{VC{[0,T]i X) )
như sau
F(u)(t) =S a (t)Bg(u) +

s a (t - t k) B I k{u{tk))
0

+ I

J (t - s)a- l Pa {t - s)f(s)ds : / e V ị { u ) Ỵ

(2.2)

Vì F nhận giá trị lồi, nên Vp cũng nhận giá trị lồi. Điều này dẫn tới T cũng
nhận giá trị lồi. M ặt khác, u là m ột nghiệm tích phân của bài toán (0.1)-(0.3)
nếu nó là m ột điểm b ất động của toán tử nghiệm T .
Để ước lượng kết quả của sự tồn tạ i nghiệm, ta cần m ột số tín h chất của V P
p.
B ố đ ề 2.1. Dưới các giả thiết của (F ), ánh xạ đa trị V F
P hoàn toàn được xác
định và nửa liên tục trên yếu.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng m inh tín h nửa liên tụ c trên yếu nhờ sử dụng
Bổ đề 1.7. Lấy {un} c VC{[0,T ];X ) th ỏ a m ãn un -> u*, fn e V P
F {un). Ta thấy
rằng {fn{t)} c C{t) := F(t, {un(t)}), và C{t) là m ột tập com pact với mọi t e (0, T)
h.k.n. Thêm vào đó, bởi (F )(2), {fn} là khả tích bị chặn (bị chặn bởi m ột hàm
khả tích Lp). Ta được {/„} là com pact yếu trên Lp( 0, T; X) (xem [13]). Lấy
f n —*■f*. Khi đó từ m ệnh đề M azur (xem [14]), có f n e co{/j : i > n} th ỏ a m ãn
/ n —>• Ị* trong Lp( 0, T; X) và từ đó fn(t) —>• f*(t) với mọi t e (0,T) h.k.n, theo
12


m ột dãy con. Vì F nhận giá trị com pact, tín h nửa liên tục trên của F (t, •) có
nghĩa là
F ( t , u n(t)) c F(t,u*(t)) + B e,
với mọi n đủ lớn, ở đây e > 0 cho trước và B E là hình cầu trong X tâm tại gốc
bán kính e. Nên

fn{t) € F(t, u*{t)) + B e,
với mọi t € (O.T1) h.k.n, và bao hàm thức tương tự cũng đúng cho Ịn{t) nhờ tính
lồi của F{t,u*{t)) + B e. Từ đó,
f ( t ) € F(t,u*(t)) + B t ,
với mọi t € (0,T) h.k.n. Vì e là tù y ý, chúng ta th u được /* € V P
p{u*).
Tiếp theo ta cần chỉ ra rằng với mỗi

V

€ PC([0, T]; V ), V P
p{v) Ỷ 0- Từ điều

kiện (I)(3), ta thấy có nhiều n h ất hữu hạn số tk € [0,T]. Nên ta có th ể tìm m ột
dãy hàm bậc th an g {vn} m à nó hội tụ đều tới

V

trên [0,T]. Từ đó với mỗi n tồn

tạ i m ột hàm đo được m ạnh /„ th ỏ a m ãn /„(í) € F{t, vn{t)), do điều kiện (F )(l).
Nghĩa là, {/„(í)} c C(t), với C(t) = F(t, {vn(t)}) là m ột tập com pact, nhờ tính
liên tục trên của F (t, •). Sử dụng lí luận tương tự như phần trên, ta có {/„}
com pact yếu trong Lp(0, T ] X ) và /„ -*■ / e Lp(0, T \ X ) và f(t) € F(t,v(t)) với mọi
t € (0,T) h.k.n. Hay / € V F
v {v). Bổ đề được chứng m inh xong.

□

B ổ đ ề 2.2. Với các giả thiết (A) và (F), hợp thành

Qa o V P
F :VC([0,TY,X)

V(VC([0,T]; X))

là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị compact, ở đây Qa được định
nghĩa bởi (1.7).
Chứng minh. Bước 1: Qa o Vp là ánh xạ đa trị đóng. Cho
{un} c VC{[0, T ] \ X ) , u n

u*]zn e Qa o V P
p {un) và zn

z*.

Ta cần chỉ ra rằng z* e Qa ° 'Pp{u*). Lấy fn e V P
p {un) th ỏ a m ãn
(2.3)
0
Bởi Bổ đề 2.1 ta được / „ - » / * € Lp( 0, T; X) và /* e V pP{u*).
Thêm vào đó, C(t) = (fn(t) '■n > 1} com pact tương đối, và

0
13


theo M ệnh đề 1.4. Áp dụng M ệnh đề 1.3, {Qa(fn)} là liên tục đồng bậc. Nên
theo định lí Arzela - Ascoli, ta th u được tín h com pact tương đối của {Qa (/„)}.
Vì fn{t)

f*{t) với mọi t € (0,T) h.k.n, ta có Qa{fn) ->■ Qa{ỉ*)- Nên từ (2.3) ta

suy ra
0
với mọi t € [0, T1], với /* e r P
F {u*), vậy z* € Q a ° V P
p{u*).
Bước 2: Qa o V pP là m ột ánh xạ đa trị tự a com pact. Cho /c c VC([0,T]; X )
là m ột tập com pact và {zn} c Qa o V P
p{K,). Ta cần chứng m inh {zn} com pact
tương đối trong C([0, T]; X) , và từ đó trong VC{[0, T]; X ). Lấy {life} c /c th ỏ a m ãn
zn € Qa ° 'PvF {un)- Khi đó ta có thể giả th iết 14„

14* trong VC([0, T]; X ) theo

m ột dãy con. Đ ặt /„ e V pP{un) th ỏ a m ãn zn(t) = Qa{fn){t), với mọi t e [03T1].
Vì {/n(s)} c F(s, (ií„(s)}), nên {/n(s)} là com pact tương đối với mọi s € (0,T)
h.k.n. Do đó {Qa{fn){t)} là m ột tập com pact với mọi t € [0, T1]. Thêm vào đó,
{Qa{fn)} lừ liên tục đồng bậc do M ệnh đề 1.3, bởi vậy {zn} com pact tương đối
trong C([0,T};X).
K ết hợp Bước 1, Bước 2 và Bổ đề 1.6 ta được điều phải chứng m inh.

□

B ổ đ ề 2.3. Cho các giả thiết (A ), (F ), (G ) và (I) được đặt đúng. Khi đó toán
tử nghiệm T thỏa mãn

với mọi tập bị chặn D c VC{[0, T]; X ), với Sa = supÍS Ị0 T Ị ||5a (í)||.
Chứng minh. Cho D c PCQO, T]; X) là m ột tậ p bị chặn. Ta có
X( D) = X 1(D) + X 2(D) + X 3(D),

ở đây
Xi{u){t) = Sa (t)Bg(u),
x 2{u)(t) = ^ 2

Sa (t - t k) B I k(u(tk)),

0 < t k
x 3(u)(t) =

ị Ị0 (t - s r ^ P ^ t - s)f(s)ds : / e P PF ( u ) , t e [0, T]

Từ tín h chất nửa cộng tín h dưới của XvCĩ ta có
Xvc{X{D)) < xvc{Xi{D)) + x V c {X2 {D)) +
14

x v c {X3 {D)).


Với Zi, Z2 e Pi{D), tồn tạ i UI,U2 e D th ỏ a m ãn
Zi{t) = 5a (í)Bg(iíi),
z2{t) = Sa (t)Bg(u 2 ),t e [o, T],
khi đó
\\zi{t) - z2{t) I < I Sa (í) I

ll-Bg(ui)

- Bg{u2) I

< S Ị \\Bg(ui) - Bg( u 2 ) II, t e [0,Tj.

Từ đó suy ra
Ịzi - z2\\vc < s j \\Bg(ui) - Bg( u2)\\.
Nên
X v c ự i ( D ) ) < Sl x{Bg{D)) .
Áp dụng (G )(2 ), ta thu được
(2.4)

Xvc{Fi{B)) < riSĨxvc(D).
Bây giờ lấy ZI,Z2 e p 2 {D), ta có th ể tìm được U\,ĨÍ 2 e D sao cho
Zi{t) - z2{t) =

^2

s a (t - tk)B[Ik{ui{tk)) - /fc(u2(ífc))],í € [0,T].

í fce ( o , T )

Suy ra
\\zi - z2\\pc < s l

^2

\\BIk{u\{tk)) - B I k{u2 {tk))\\.

t k e ( o , T)

B ất đẳng thức dẫn tới
X v c ự 2{D ))< S T
a

Y,

x ( B I k(D(tk)))

t k e ( o , T)

< S IXỊ

^/ 2J

—

VkX{D{tk))

r

(V /V V

V

/ /

t k e ( 0 , T)

- (^ a

X]

Vk ) x V c { D )>

(2.5)

tfc£(0,T)

do điều kiện (I)(2).
Xét P 3(D), với t e [0,T], Áp dụng M ệnh đề 1.5, ta có

x ự z (D)(t))

=

x{ í

(t -

- s)PP
F (D)(s)ds)

Jữ

< 4 Í ( t - s r ^ x i p ^ t - s)VP
F (D)(s))ds.
“'0
15

( 2 .6 )


Nếu B 1 hoặc T(.) com pact, do Bổ đề 1.1, th ì p a {-) com pact. Nên

=

0, vì x ( p a {t - s)'Pp(D)(s)) = 0 với s € (0,t). Trường hợp còn lại, ta có
x ( p a {t - s ) V pf {D){ s )) < \\pa {t - s)\\x x { VP
F {D){s)) < \\pa {t - s)\\x k{s)x{D{s)).
Thay vào (2.6), ta được
x ự 3(D)(t)) < 4 [ ( t - a r ^ ị ị P a i t - a)\\x k(a)x(D(a))da
Jo
sup í (t - s)a_1||Pữ(í - s)\\x k ( s ) d s ] x p c (D)\ te(o,T]^o
/

< ( 4

(2.7)

N hận thấy rằng V F
P {D) bị chặn trong Lp(0, T; X ) vì D bị chặn trong VC{[0, T]; X).
Bởi M ệnh đề 1.3, tậ p hợp
P 3{D) = Qa o V pF {D)
là liên tục đồng bậc trong C([0, T]; X ). Nên
Xv c { p 3 {D)) = sup x{p3{D){t)).
te[o,T]
Từ (2.7), ta có
Xvc{Fs{D)) <

(4

sup í { t - s ) a 1\\Pa {t - s)\\ỵ k{s)ds)xvc{D).
te(o,T] J 0

( 2.8)

Kết hợp (2.4), (2.5) và (2.8), ta th u được
Xvc{P{D)) < \ ( v + ^ 2 h k ) s Ị + 4 sup Ị ( t - s ) a- l \\pa ( t - s) ||xfc(s)đs Xvc{D)L
ífc£(0,T)
t6<0'r ] Bổ đề được chứng m inh xong.

□

Đ ịn h lí 2.4 . Giả sử rằng giả thiết của Bổ đề 2.3 được thỏa mãn. Khi đó bài
toán (0.1)-(0.3) có ít nhất một nghiệm tích phân trong VC{[0, T];X), với các điều
kiện là
(g+

^

/Xfc)'S'I + 4 sup

í (t - s)a 1\\pa {t - s)||x/c(s)ds <

(2.9)

tfcE ( 0 , T )

va

Y, l*)s°

lim inf —[ ( * 9( r ) + *,(*■)

T—
>00 r

t ke(0,T)

( 2 . 10 )

rt

+ $ f ( r ) sup / (t — s)a 1\\pa (t — s) ||m(s)ds
te(o,T]^o
ở đây s l = supí£[0T] IISa (t) II.
16

< 1,


Chứng minh. Bởi Bổ đề 2.2 và tín h liên tụ c của Bg và Blỵ, ta th ấy rằng T là
nửa liên tục trên với giá trị lồi và com pact. Từ (2.9), ta th u được tín h chất
Xpc-nén của T nhờ Bổ đề 2.3. Để áp dụng được Định lí 1.8, ta cần chỉ ra rằng

có R > 0 sao cho P { B R) c B r , ở đây B ịI là hình cầu đóng trong PC([0, T]; X )
tâm tạ i 0 bán kính R.
Giả sử phản chứng rằng tồ n tạ i m ột dãy {vn} c VC{[0, T]; X ) th ỏ a m ãn
IIIin \\pc < n nhưng lại có zn € p { y n) với ||z„||pc > n. Từ công thức của F, ta có
thể tìm được /„ € Vp( t '„) sao cho

Y

zn{t) =S a {t)Bg{vn) +

s a(t - tk) B I k{vn{tk))

0+ [ {t - s)a~1Pa{t - s ) f n(s)ds.
J ữ

Thế th ì
z„{t)\\ <\\Sa {t)\\\\Bg{vn)\\ +

Y

\\sa{t - tk)\\\\BIk{vn{tk))\\

t fce ( 0 , T )

+ [ (t - s y - ' w p ^ t - s)\\\\fn(s)\\ds
Jo
< sup IISa (í) II

Y

g(\\vn \\pc) +

ÍS[0,T]

ifc^/(llvr*(tfc)ll))

t k e ( o , T)

+ >'0I (t- s)a_1||Pa (í - s)||m (s)Ỹ F (||v„(s)||)ds
t k e ( o , T)

+ [ {t - s)a 1\\p a{t - s)||m (s)Ỹ F (||tin ||pC)cỉs
Jq
a { y g{n) + ^ j { n)

Y

*k)

t k E( 0, T)

+ ỸF (n) Í (t — s)a 1\\pa {t - s) ||m(s)ds.
•*ữ
Suy ra,
n < \\z.n\\vc

<
^ S Ị ^ g(n) + ^ j ( n )

Y

*0

tfce(0,T)
-í
+ ỸF (n) sup

î e ( o) t

I (t — s)a 1\\pa {t —s)||m(s)ds.
]J 0

17


Bởi vậy
1„ „
1 < —\\zn\\vc
n

1

n

S Ị ( * g(n) + *i ( n)

Y,

lk)

t k e(o,T)

+ ỸF (n) sup
n
te(o,T] J q

J

Ip a (t — s) ||m(s)đs

Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức cuối, ta suy ra m âu thuẫn. Định lí hoàn
toàn được chứng m inh.

□

18


Chương 3
Sự tồn tại nghiệm phân rã
3.1

N ghiệm phân rã

Trong mục này, ta chứng m inh sự tồn tạ i nghiệm tích phân phân rã với bài toán
(0.1)-(0.3). Ta xét không gian hàm
VCo = {li € 'PC([0, +oo); X) : lim u(t) = 0}
t-ìoo

với chuẩn
IIXIIIoo = sup ||li(t)||,
t>0
ở đây PC([0, +oo); X) được định nghĩa tương tự như VC{\ỊÒ,T]]X) khi T = + 0 0 .
Khi đó VC q là m ột không gian Banach. ở mục này, ánh xạ đa trị Vp được định
nghĩa như sau: với lí € VC{[0, +oo);X ),
Vp(ií) = { / € Lpt (M+ ;X ) : f(t) € F( t , u( t )) với mọi t € R + h.k.n } .
Định nghĩa bởi 1TT là hạn chế của toán tử v c 0 , nghĩa là, i ĩ t {x ) là hạn chế của X

trên [0,T]. Khi đó hàm
Xoo{D) = sup Xvc {k t {D))
T> 0

(3.1)

là m ột MNC trên VC q. L í luận như trong [2], Xoo là m ột MNC không chính quy
trên VC q. Chúng ta sẽ định nghĩa m ột MNC chính quy trên không gian này. Đ ặt
cÍt {D)

= sup sup IIm(í)II,

(3.2)

xeD t>T

doo(-D) =

lim dT (D),

(3.3)

T —¥oo

X*(D) = x 0c(D) + d00(D).

Ta có kết quả sau.
19

(3.4)

B ổ đề 3.1. Độ đo không compact M N C X* định nghĩa ở (3.4) là chính quy trên

v c 0.
Chứng minh. Cho D c v c 0 là m ột tập bị chặn th ỏ a m ãn X*{D) = 0. Rõ ràng
71t {D) com pact tương đối trong VC{[0,T]; X) . Ta sẽ chỉ ra D com pact tương đối
trong v c ữ.
Với mỗi e > 0, vì dao{D) = 0 nên ta có thể lấy T > 0 sao cho supí>T ||ii(t)|| < | ,
với mọi u € D. Điều này có nghĩa là
|li - 7Tj'(li)||00 <

với mọi u € D,

ở đây 7iT(ii) được xem như m ột hàm trên VCữ theo nghĩa sau

Ịu (t)’ * [0.r ].

. _

€

7TT(li) = s

lo,

t>T.

Bây giờ, do ■nT {D) là m ột tậ p com pact trong VC{[0,T]; X) , ta có th ể viết
N

* t {D) c

(3.5)
i=1

với Uị € VC{[0, T] ; X) , i = 1,..., N, kí hiệu B T (u; r ) là hình cầu trong VC{[0, T]; V)
tâm tạ i u bán kính r. Định nghĩa
„ , .

í ui{t)ì

ủ ị{t) =

t € [0, T],

<.

lo,

t>T,

th ì {ùị}^L1 thuộc VCữ• Ta khẳng định rằng
N

B c u -Boo (,Uị ]c),

%
—1
với 5oo(u;r) là hình cầu trong VCũ tâm tạ i u bán kính r. T h ậ t vậy, cho u e D

th ì do (3.5), tồn tạ i k e {1, ..., N } sao cho
\\7rT (u) - Ufc||pe([0,T];X) <

2

'

Suy ra
irT {u) - ùfc||oo <
Nên

.

II u -

„

ủfc||oo

<

.

||li -

. ...

7171( u ) II oo

.

. .

+

„ .

IK t (m) -

e

e

ùfc||oo

<

- +

-

= £•

Từ đó li e B oo (âfc; e) và ta có D c U ^ I Boo {ủ%; e). Vậy D com pact tương đối trong
v c 0 - Điều phải chứng minh.

□
20