Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 10 tỉnh Quảng Nam năm học 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC

KIỂM TRA HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2015-2016
Môn: TOÁN – Lớp 10
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm).
Giải các bất phương trình sau:
a) 3x − 1 > 5
b)

1
2
≤
.
x − 3x + 2 x + 1
2

Câu 2 (1,0 điểm).
Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc R:
x 2 − 2mx + m 2 − 2m + 8 > 0.

Câu 3 (2,5 điểm).

a) Cho sin α =

2 π
π
( < α < π ) . Tính cosα ; sin 2α ; sin(α + ) .
3
3 2

b) Chứng minh đẳng thức sau:

1 − sin a − cos2a
= tan a (khi các biểu thức có nghĩa).

sin 2a − cos a

Câu 4 (1,0 điểm).
µ = 600 , AC = 2cm, AB = 3cm . Tính BC và sinC.
Cho tam giác ABC có A

Câu 5 (2,5 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1 ; –3), B(–1 ; 2) và đường
thẳng d: x – y – 2 = 0.
a) Viết phương trình của đường thẳng AB.
b) Viết phương trình đường tròn có tâm là điểm A và tiếp xúc với đường thẳng d .
c) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d và cắt các trục

Ox, Oy lần lượt tại hai điểm C, D sao cho diện tích tam giác OCD bằng 2.
Câu 6 (1.0 điểm).
Giải bất phương trình sau:

x + 3 − 2 ≥ 2 x 2 − 6 x + 14 − x.

------------------ Hết -----------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
Câu

1(2,0 đ) a)
1,0

b)
1,0

KIỂM TRA HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2015-2016
Môn: TOÁN – Lớp 10

HƯỚNG DẪN CHẤM
Nội dung

Điểm
0,25
0,25

3 x − 1 > 5
3x − 1 > 5 ⇔ 
3 x − 1 < −5
x > 2
⇔
x < − 4
3


0,25
0,25

1
2
1
2
≤
⇔ 2
−
≤0

x − 3x + 2 x + 1
x − 3x + 2 x + 1
−2 x 2 + 7 x − 3
⇔ 2
≤0
( x − 3 x + 2)( x + 1)
Lập được bảng xét dấu
2

1
Tập nghiệm S = (−1; ] ∪ (1; 2) ∪ [3; +∞)
2

2
Đặt f ( x) = x − 2mx + m 2 − 2m + 8
f ( x) > 0, ∀x ⇔ ∆ ' < 0 (vì a=1 > 0) (Không nêu a>0 cũng được 0,5)

2(1,0đ )

⇔ 2m − 8 < 0
⇔m<4

0,25
0,25
0,25

0,25
0,5
0,25
0,25

Vậy các giá trị m cần tìm là m < 4 .
3(2,5 đ)

a)
1,5

cos 2α = 1 − sin 2 α = 1 −

⇒ cosα = ±

4 5
=
9 9

0,25

5
3

0,25

π
5
< α < π nên chọn cosα = −
2
3
4 5
sin2 α =2sin α . cos α = −
9
π
π
π

sin(α + ) = sin α .cos + cosα .sin
3
3
3
2 − 15
=
6

0,25

Vì

b)
1,0

1 − sin a − cos2a 1 − sin a − 1 + 2sin 2 a
=
sin 2a − cos a
2sin a.cos a − cos a
sin a(2sin a − 1)
=
cos a (2sin a − 1)
= tan a

0,25
0,25
0,25
(tử: 0,25; mẫu: 0,25)

0,5
0,25
0,25


4(1,0đ )

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC .cos A

0,25

= 9 + 4 − 2.3.2.cos60 = 7
⇒ BC = 7 cm (Học sinh không ghi đơn vị cũng được 0,25)

0,25
0,25

0

5(2,5 đ)

BC
AB
AB
3 21
=
⇒ sin C =
.sin A =
sin A sin C
BC
14

uuu
r
a)
Tính được AB = (−2;5)
u
uu
r
1,0 AB
là véc tơ chỉ phương

0,25

Viết đúng PTTS hoặc PTTQ
b) Bán kính : R = d(A,d) = 2
(0,25 + 0,25)
2
2
0,75 Phương trình đường tròn: (x – 1) +(y + 3) = 2
c) Phương trình của ∆ có dạng : x – y + m = 0 ( m ≠ –2)
0,75 C(–m;0), D(0;m)
1
2

6(1.0đ)

m = 2
 m = −2

0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25

Theo đề ta có : | −m | . | m |= 2 ⇔ 

0,25

Kết hợp với điều kiện m ≠ –2 suy ra phương trình đường
thẳng ∆ là: x – y + 2 = 0.

0,25

ĐK: x ≥ −3
2
BPT ⇔ x + 3 + x − 2 ≥ 2( x − 2) + 2( x + 3)
Đặt u = x + 3; v = x − 2(u ≥ 0) , bất PT trở thành

u + v ≥ 2u 2 + 2v 2
u + v ≥ 0
u + v ≥ 0
⇔
⇔
⇔u=v≥0
2
2
2
2
(u + v ) ≥ 2u + 2v

(u − v ) ≤ 0
x ≥ 2
5 + 21
⇔ x=
Do đó ta có x + 3 = x − 2 ⇔  2
. ( Thỏa ĐK)
2
 x − 5x + 1 = 0
5 + 21
Vậy bất phương trình đã cho có một nghiệm: x =
.
2

0,25
0,25
0,25
0,25

Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác và đúng thì Thầy, Cô dựa vào biểu điểm trên
mà cho điểm tương ứng.