15 đề luyện thi Toán THPTQG HN năm 2016 ( Luyện thi đại học 2016)

Bộ 15 đề luyện thi vào ĐHQG HN năm học 2015 - 2016
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - ỨNG DỤNG – PHẦN 1
Nội dung
- Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN.
ĐỀ BÀI – 150 câu hỏi
Câu 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3x 2  3 tại điểm M(-1;5) là
Chọn 1 câu trả lời đúng
A. y  3x  2
B. y  3x  5
C. y  x  5
Hướng dẫn:
Lý thuyết: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) của đồ thị hàm số
y  f (x ) có dạng: y  f '(x 0 )(x  x 0 )  y 0 .

D. y  x  2

+ Ta có: f '(x )  3x 2  6x , suy ra: f '(1)  3(1)2  6(1)  3
+ Phương trình tiếp tuyến tại M(-1;5) của đồ thị hàm số y  x 3  3x 2  3 là:
y  f '(1)(x  (1))  5  3(x  1)  5  3x  2 .
Chọn đáp án: A
Câu 2. Phương trình tiếp của đường cong (C): y  x 3  2x tại điểm có hoành độ x  1 là:
Chọn 1 câu trả lời đúng
A. y  x  2
B. y  x  2
C. y  x  2
D. y  x  2
Hướng dẫn: Ta có y(1)  13  2.1  1 ; y '  3x 2  2  y '(1)  1 .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (1;-3) là: y  y '(1)(x  1)  1  1(x  1)  1  x  2 .
Chọn đáp án C.
Câu 3. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  2x 3  x 2  mx  1 tại điểm có hoành độ x  1 song
song với đường thẳng y  2x  1 .

Điền vào chỗ trống:
Hướng dẫn: Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1 song song với đường thẳng y  2x  1 . Khi và chỉ
khi y '(1)  2  6.(1)2  2.1  m  2  m  2
Câu 4. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  2x 3  x 2  mx  1 tại điểm có hoành độ x  1
vuông góc với đường thẳng y  2x  1 .
Điền vào chỗ trống:
Hướng dẫn: Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1 vuông góc với đường thẳng y  2x  1 . Khi và chỉ

1
9
m 
2
2
Câu 5. Cho đồ thị (C): y  x 3  3x  1 , phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;
-1) là:
Chọn 1 câu trả lời đúng
A. (1 ) : y  1 và (2 ) : y  9x  17
B. (1 ) : y  1





khi y '(1).2  1  6.(1)2  2.1  m .2  1  4  m  

C. (2 ) : y  9x  17

D. Không có tiếp tuyến.

Hướng dẫn

Hướng 1:
Ta có: y '  3x 2  3
Gọi M x 0 ; x 03  3x 0  1 là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến là y '(x 0 )  3x 02  3 .
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là  : y  x 03  3x 0  1  (3x 02  3)(x  x 0 )

 qua A(-2;-1) nên ta có: 1  x 03  3x 0  1  (3x 02  3)(2  x 0 )  x 03  3x 02  4  0
GV Thầy Phùng 0982 380 316

Page 1


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
x  1  y  1
0
 (x 0  1)(x 02  4x 0  4)  0   0
x


2

y 0  1
 0
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: 1 : y  1 ; 2 : y  9x  17

Hướng 2:
Gọi  là tiếp tuyến của (C) thỏa mãn đi qua A(-2;-1) và có hệ số góc k thì  có phương trình dạng:
y  1  k (x  2)  y  kx  2k  1
x 3  3x  1  kx  2k  1 (1)
 là tiếp tuyến của (C) nên hệ sau có nghiệm:  2
3x  3  k (2)


Thay k ở (2) vào (1) được:
x  1  k  0
x 3  3x  1  (3x 2  3)x  2(3x 2  3)  1  x 3  3x 2  4  0  
x  2  k  9
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: 1 : y  1 ; 2 : y  9x  17
Câu 6 Cho đồ thị (C): y  x 2  2x  2 và đường thẳng (d): x = 1. Tìm điểm A thuộc (d) sao cho từ A
kẻ được hai tiếp tuyến với (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Chọn 1 câu trả lời đúng
 3
 3
 3
A. A 1; 
B. A 1; 
C. A 1; 
D. Không có điểm A.
 4 
 4 
 4 
Hướng dẫn
Đây là bài toán về tiếp tuyến đi qua điểm A nhưng chúng ta cần phải đi tìm điểm A.
* Vì điểm A  (d ) : x  1 nên A(1; a). y’ = 2x – 2
* Tiếp tuyến với (C) có phương trình dạng: y  (x 02  2x 0  2)  (2x 0  2)(x  x 0 ) , (x0 là hoành độ tiếp
điểm).
* Vì (T) qua A(1; a) nên: a  (x 02  2x 0  2)  (2x 0  2)(1  x 0 )  x 02  2x 0  a  0 (*)
Theo Vi-ét thì (*) cho: x 1  x 2  2 và x 1, x 2  a
* Để qua A(1; a) có hai tiếp tuyến với (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau thì (*) phải có hai
nghiệm phân biệt thỏa:

y '(x 1 ).y '(x 2 )  1  2x 1  22x 2  2  1  4x 1x 2  4(x 1  x 2 )  5  0  4a  8  5  0  a 

* Điều kiện (*) có hai nghiệm phân biệt là:  '  1  a  0  1 

3
 0 : đúng.
4

 3
Vậy điểm A cần tìm là A 1;  .
 4 
Cực trị hàm số
Quy tắc 1:
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính f '(x ) . Tìm các điểm tại đó f '(x ) bằng 0 hoặc f '(x ) không xác định.
- Lập bảng biến thiên
- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
- Tìm TXĐ của hàm số.

Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 2

3
4


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
- Tính f '(x ) . Giải phương trình f '(x )  0 và ký hiệu x i i  1,2, 3,....... là các nghiệm của nó.
- Tính f  x  và f  x i 

- Dựa vào đấu của f  x i  suy ra tính chất cực trị của điểm x i .
Câu 7. Các điểm cực trị của hàm số y  3x 2  2x 3 là:
Hướng dẫn
x  0
TXĐ: D=R, y '  6x  6x 2, y '  0  
x  1
Bảng biến thiên:


x
y’

-

0
0

1
0
1

+


-

y
0
Kết luận:

o Hàm số đạt cực đại tại x  1 , fCD  f 1  1 .
o Hàm số đạt cực tiểu tại x  0 , fCT  f 0  0 .

Câu 8. Cho hàm số: y  m  2 x 3  mx  2 . Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có
điểm cực đại và điểm cực tiểu.
Chọn đáp án đúng
m  0
A. 
B. 0  m  2
C. 0  m  2
m

2

Hướng dẫn
TXĐ: D = R . y   3 m  2 x 2  m

m  0
D. 
m  2

Để hàm số không có cực trị thì phương trình y   0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

 0

 0  4.3m m  2  0  0  m  2

Câu 9. Cho hàm số: y 

1 3

x  mx 2  m 2  m  1 x  1 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x  1 .
3





Chọn đáp án đúng:
A. m  1

B. m  1

C. m  1, m  2

D. Không có giá trị m

Hướng dẫn
TXĐ: D =R. Đạo hàm: y   x 2  2mx  m 2  m  1 ; y   2x  2m
m 2  3m  2  0
y  1  0
Hàm số đạt cực tiểu tại x  1  
 

y  1  0
2  2m  0


Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x  1 .
Chọn đáp án D.

m  1  m  2


m  1


Câu 10. Cho hàm số y  x 3  3x 2  3x  2 . Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
Hướng dẫn:

Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 3


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
1
1
y   x 2  6x  3 .Thực hiện phép chia đa thức y cho y’, được: y  y '  x    4x  1 .
 3
3 

Giả sử hàm số đạt cực trị tại x 1, x 2 ( x 1, x 2 là nghiệm của y’=0). Khi đó,
1
1
y x 1   y ' x 1   x 1    4x 1  1  4x 1  1
3 
3
1
1
y x 1   y ' x 1   x 1    4x 1  1  4x 1  1

 3
3 
Suy ra: Hai điểm cực trị đều thuộc đường thẳng y  4x  1

Câu 11. Cho hàm số y  x 3  6x 2  3 m  2 x  m  6 . Hàm số có cực trị khi:
Chọn đáp án đúng
A. m  2
B. m  2
C. m  2
Hướng dẫn
TXĐ: D =R. Đạo hàm: y   3x 2  12x  3 m  2 .

D. Không có giá trị của m.

Cho y   0  x 2  4x  m  2  0 (*);   4  m  2  2  m
Để hàm số có 2 cực trị thì:   0  2  m  0  m  2 .
Chọn đáp án C.

x3
 2x 2  3x  1 đạt cực trị tại:
3
x  1
x  0
B. 
C. 
x  3
x  3

Câu 12. Hàm số y  
x  1

A. 
x  3
Hướng dẫn

x  0
D. 
x  1

x  1
y '  x 2  4x  3  0  
x  3
Chọn đáp án A.
---------------- Hết phần cực trị hàm bậc 3 ------------------------ Tiếp theo là phần đơn điệu -----

x3
Câu 13. Khoảng nghịch biến của hàm số y    2x 2  3x  1 là
3
A. (1;3)
B. (;1)  (3; )
C. (;1) và (3; )
Hướng dẫn
Chọn đáp án C.
Câu 14. Khoảng đồng biến của hàm số y  x 3  6x 2  2 là
A. (; 0) và (4; )
B. (; 0)  (4; )
C. (0;4)
Hướng dẫn
Chọn đáp án A.
4
Câu 15. Cho hàm số y  x 3  2x 2  x  3 . Chọn đáp án đúng:

3
A. Hàm số nghịch biến trên R.

1

1
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;  và  ;  .
2 

2


1

1
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ;  và  ;  .

 2
2 

Luyện thi ĐHQGHN 2016

D. [1;3]

D. [0;4]

Page 4


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN

D. Hàm số đồng biến trên R.
Hướng dẫn
Chọn đáp án D.
Câu 16. Cho hàm số y  x 3  2x 2  x  1 . Chọn đáp án sai:

1
A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;  và 1; 
3 

1 
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1
 3 

1
C. Hàm số nghịch biến trên ;   1;  .

3 

1 
1
D. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;  và 1;  , hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 .
3 

 3 
Chọn đáp án C.
----------- Hết phần đơn điệu-------Câu 17. Số giao điểm của đường thẳng (d) có phương trình y  2x  2 và đường cong (C) có phương

trình y  x 3  3x 2  x  1 là:
Chọn đáp án đúng
A. 0

B. 1
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là:

C. 2

D. 3

x 3  3x 2  x  1  2x  2  x  1  0  x  1
3

Chọn đáp án B. 1
Câu 18. Đường thẳng (d) có phương trình y  2x  1 cắt đường cong (C) có phương trình

y  x 3  2x 2  x  1 tại các điểm có tọa độ:
Chọn đáp án đúng
A. (-1;0), (1;0) và (2;0).
B. (-1;-3), (1;1) và (2;3).
C. (1;1) và (-1;-3).
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là: x 3  2x 2  x  1  2x  1
 x  1x  1x  2  0

D. Không cắt.

x  1  y  2.(1)  1  3

 x  1  y  2.1  1  1
.
x  2  y  2.2  1  3


Chọn đáp án B.
Câu 19. Đồ thị hàm số (C): y  x 3  7x 2  16x  12 cắt trục hoành tại các điểm có tọa độ
A. (2;0) và (3;0)
B. (2;3)
C. (2;0) và (3;1)
D. Không cắt.
Hướng dẫn
Chọn đáp án A.
Câu 20. Số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y  2x 3  3x 2  4x  1 với trục Ox là
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Hướng dẫn
Chọn đáp án D.
Câu 21. Giá trị lớn nhất của hàm số y  x 3  3x 2  9x  5 trên [-4;4] là
A. 10
B. -1
C. -71
D. -4
Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 5


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
Hướng dẫn
Đặt f (x )  x 3  3x 2  9x  5
x  1

y '  3x 2  6x  9  3 x 2  2x  3  0  
; f (1)  10 ; f (3)  22 ; f (4)  71 ;
x

3

f (4)  15 .
Vậy max y  10 khi x  1 .





[ 4;4]

Chọn đáp án A
Câu 22. Cho hàm số y  x 3  3x 2  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên [-2;0]. Khi đó M+m bằng:
A. 5
B. 1
C. 6
D. -2
Hướng dẫn
x  0
Xét y  f (x )  x 3  3x 2  1 trên [-2;0]. y '  3x 2  6x  3x x  2  0  
x  2

f (2)  2  3.2  1  5 ; f (0)  1 . Suy ra: M=5, m=1.
3

2

Vậy M+m=5+1=6. Chọn đáp án C
Câu 23. Giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  f (x )  xe x trên đoạn [-1;2] là:
Hướng dẫn
Xét trên đoạn: 1;2 . Đạo hàm y   e x 1  x  . Cho y   0  x  1

1
1
Tính: f 1  e 1   , f (2)  2e 2 . Vậy: Max y  2e 2 khi x=2; Min y   khi x=-1.
[

1;2]
[

1;2]
e
e
2
Câu 24. Giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  x  ln 1  2x  trên đoạn 2; 0 là:
Hướng dẫn

2
4x 2  2x  2

Xét trên đoạn: 2; 0 . Đạo hàm: y   2x 
. Cho y   0 
1  2x
1  2x
Tính:

f 0   0 ,

Vậy Min y 
[-2;0]

 1 1
f     ln 2 ,
 2  4

x  1  [-2;0]


x   1

2

f 2  4  ln 5

1
 ln 2 .
4

Câu 25. Cho hàm số f (x )  x  5 
A. 1
Hướng dẫn

B. -3

1

. Giá trị lớn nhất của f(x) trên (0;  ) là:
x
C.
D. Không tồn tại

1
trên (0;  ).
x
x  1
1
x2 1

Ta có y’ = 1 – 2 =
;
y’
=
0

x  1 (loai )
2
x
x

Bảng biến thiên:
x
0
1
y’
||
–

0
Xét hàm f (x )  x  5 

Luyện thi ĐHQGHN 2016


+

Page 6


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
||
y
–3
Vậy Max y không tồn tại.
(0;  )

Chọn đáp án D.
Câu 26. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  2x 2  1 tại điểm M(0;1) là:
Chọn 1 câu trả lời đúng
A. y   1
B. y  1
C. y  x
D. y  x
Hướng dẫn:
y '  4x 3  4x  y '(0)  0 ; Phương trình tiếp tuyến tại M(0;1) là: y  y '(0) x  0  1  1
Chọn đáp án B.
Câu 27. Phương trình tiếp của đường cong (C): y  x 4  2x 2  2 tại điểm có hoành độ x  1 là:
Chọn 1 câu trả lời đúng

A. y  2x  3
B. y  2x  5
C. y  2x  5
D. y  2x  3
Hướng dẫn:
Ta có y(1)  14  2.1  2  3 ; y '  4x 3  2  y '(1)  2 .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (1;3) là: y  y '(1)(x  1)  3  2(x  1)  3  2x  5 .
Chọn đáp án C
Câu 28. Số tiếp tuyến kẻ từ điểm O(0;0) đến đồ thị (C) của hàm số y  x 4  8x 2  16 là
Chọn đáp án đúng
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn
Đường thẳng có hệ số góc k qua điểm O(0;0) có dạng y  kx là tiếp tuyến khi và chỉ khi hệ sau có
x 4  8x 2  16  kx ,(1)
nghiệm  3
. Giải hệ này được x  2; x  2 thay vào (2) được k=0 duy nhất.
4x  16x  k ,(2)

Vậy từ O kẻ 1 tiếp tuyến tới (C).
Chọn đáp án A.
Câu 29. Cho đường cong (C): y  f (x )  x 4  2x 2  1 . Phương trình tiếp của (C) tại giao điểm (C)
với trục tung là:
Chọn 1 câu trả lời đúng
A. y  x  1
B. y  0
C. y   1
D. Sai hết.

Hướng dẫn:
Nhận xét: Đồ thị bậc 4 hàm trùng phương có a<0: nhận Oy làm trục đối xứng và điểm cực tiểu thuộc Oy
tức là hàm số đạt cực tiểu tại x  0 . Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C), tại giao điểm của (C) với
Oy chính là tại điểm cực tiểu có hoành độ x  0 . Ta đã biết tiếp tuyến tại các điể cực trị thì song song
với Ox. Hay tiếp tuyến là: y=f(0)=-1
Chọn đáp án C
1
1
Câu 30. Hàm số y  x 4  mx 2  m có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác cân khi giá trị của m
4
2
là:
A. m  0
B. m  0
C. m  0
D. m  0
Hướng dẫn
Nhận xét: Do tính chất đối xứng qua Oy của đồ thị hàm bậc 4 trùng phương nên 3 cực trị của nó luôn tạo
thành tam giác cân.
Như vậy yêu cầu bài toán thỏa mãn: Khi m thỏa mãn hàm số có 3 cực trị
Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 7


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
x  0
 y '  x 3  mx  x x 2  m   0   2
có 3 nghiệm phân biệt  m  0
x  m

Chọn đáp án D.

------------ Cực trị hàm bậc 4 -------------Câu 31. Số điểm cực trị của hàm số y  x 4  8x 2  7 là:
Chọn đáp án đúng
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Hướng dẫn
x  0
y '  4x 3  16x  4x x 2  4  0  
.
x  2
Phương trình y '  0 có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Chọn đáp án D.





Câu 32. Hàm số y  x 4  8mx 2  1 có 3 cực trị khi giá trị của m là:
Chọn đáp án đúng
A. m  0
B. m  0
C. m  0
Hướng dẫn
Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình
x  0
3
2

y '  4x  16mx  4x x  4m  0   2
có 3 nghiệm phân biệt
x  4m
 x 2  4m có 2 nghiệm phân biệt khác 0
m0
Chọn đáp án B.





Câu 33. Hàm số y  x 4  8mx 2  2 có đúng 1 cực trị khi giá trị của m là:
Chọn đáp án đúng
A. m  0
B. m  0
C. m  0
Hướng dẫn
Hàm số có đúng 1 cực trị khi và chỉ khi phương trình
x  0
y '  4x 3  16mx  4x x 2  4m  0   2
có 1 nghiệm.
x  4m
 x 2  4m có nghiệm duy nhất x=0 hoặc vô nghiệm.
m 0
Chọn đáp án A.



D. m  0

D. m  0



Câu 34. Hàm số y  x 4  8mx 2  9 đạt cực đại tại x  0 khi giá trị của m là:
Chọn đáp án đúng
A. m  0
B. m  0
C. m  1
D. với mọi giá trị của m.
Hướng dẫn
Nhận xét: Hàm bậc 4 trùng phương với a>0, có cực đại thì sẽ có 3 cực trị. Và điểm cực đại luôn đạt tại
x=0. Như vậy yêu cầu bài toán tương đương với câu hỏi: Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình
x  0
y '  4x 3  16mx  4x x 2  4m  0   2
có 3 nghiệm phân biệt
x  4m
 x 2  4m có 2 nghiệm phân biệt khác 0
m0



Luyện thi ĐHQGHN 2016



Page 8

Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
Chọn đáp án A.
Câu 35. Hàm số y  x 4  8mx 2  9 đạt cực tiểu tại x  2 khi giá trị của m là:
Chọn đáp án đúng
A. m  1
B. m  0
C. m  2
D. Không có giá trị của m.
Hướng dẫn
y '  4x 3  16mx  4x x 2  4m  . y ''  12x 2  16m
y ' 2  0

Hàm số đạt cực tiểu tại x  2  
y '' 2  0

2


+ y ' 2  0  4.22  4m   0  m  1 . Khi đó,



y ''  12. 2  16.1  24  16  8  0
2

Vậy m=1 là giá trị cần tìm.
Chọn đáp án A.
Câu 36. Hàm số y  x 4  6x 2  3 đồng biến trên các khoảng
Chọn đáp án đúng

   3; 
C. ;  3  và 0; 3 

B. ; 6 và 3; 6

A.  3; 0 và



 

D. ;  3  0; 3



Hướng dẫn
x  0
Ta có y '  4x 3  12x  4x x 2  3  0  
. Lập bảng biến thiên (HS tự lập bảng).
x   3







 

Từ bảng ta có hàm số đồng biến trên các khoảng: ;  3 và 0; 3



Vậy, chọn đáp án C.
Câu 37. Hàm số y  x 3  3 2m  1 x 2  12m  5 x  2 đồng biến trên R khi giá trị của m là:

A. 

6
6
m 
6
6

B. 

6
6
m 
6
6


m   6

6
C. 

m  6


6


m   6

6
D. 

m  6

6

Hướng dẫn
2





y '  3x 2  6 2m  1 x  12m  5  f (x ) , có  '  3 2m  1  3 12m  5  6 6m 2  1


Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi





y '  0, x  R   '  0  6 6m 2  1  0  

6
6
m 
6
6

Chọn đáp án A.
Câu 38. Hàm số y  x 4  2x 2  1 đồng biến trên:
A. (1; 0) và 1; 

B. ; 1

C. (; )

D. (-1;1)

Hướng dẫn.

Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 9


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN

x  0

3
2
y '  4x  4x  4x x  1  0  x  1 . Vì a  1  0 nên hàm số đồng biến trên 1; 0 và

x  1

1;  .





Chọn đáp án A.
Câu 39. Hàm số y  x 4  2mx 2  1 chỉ có duy nhất khoảng đồng biến 0;  khi giá trị của m là:
Chọn đáp án đúng.
A. m  0
B. m  0
C. m  0
D. không tồn tại m.
Hướng dẫn
Nhận xét: Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương có trục đối xứng Oy, cho nên có duy nhất khoảng đồng biến
khi nó có 1 cực trị. Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với: Tìm m để hàm số có duy nhất 1 cực trị đạt
tại 0.
x  0
y '  4x 3  4mx  4x x 2  m  0   2
có duy nhất nghiệm x  0  m  0 .
x  m
Vậy chọn đáp án B.





Câu 40. Với giá trị của m nào thì hàm số y  f (x )  x 4  mx 2  1 đồng biến trên khoảng (0;1).

Chọn đáp án đúng
A. m  2
B. m  2
C. m  2
D. Không tồn tại
Hướng dẫn
f '(x )  4x 3  2mx ; f ''(x )  12x 2  2m
 f '(1)  0
Vì a  1 nên hàm số đồng biến trên (0;1) khi hàm số đạt cực đại tại x  1  
 f ''(1)  0

 f '(1)  4.13  2m.1  0
m  2
 
 
m 2
 f ''(1)  12.12  2m  0
m  6


Chọn đáp án C.
Câu 41. Số giao điểm của đồ thị hàm số y  x 4  3x 2  2 với trục hoành là:
Chọn 1 câu trả lời đúng
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0
Chọn đáp án A.
Câu 42. Số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y  x 4  4x 2  m 2 ( m  0 ) với trục Ox là:
Chọn đáp án đúng

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Hướng dẫn
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4  4x 2  m 2  0 , m  0 . Đặt t  x 2  0 ,

t 2  4t  m 2  0,(*) có: a.c  m 2  0 , m  0 . Như vậy phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu
t1  0  t2 . Suy ra có hai nghiệm x: x   t2 . Vậy (C) cắt Ox tại hai điểm phân biệt.
Chọn đáp án C.
Câu 43. Số giao điểm của đồ thị hàm số y  x 4  4x 2  6 với đường thẳng y  2x  1 là:
Chọn 1 câu trả lời đúng
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Hướng dẫn
Xét phương trình hoành độ giao điểm

Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 10


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN





x 4  4x 2  6  2x  1  x 4  4x 2  2x  5  0  x  1 x 3  x 2  3x  5  0

x  1  0
  3
.
2
x  x  3x  5  0
Bấm máy phương trình x 3  x 2  3x  5  0 cho ta một nghiệm thực  1.919639 duy nhất.
Như vậy phương trình tương giao có 2 nghiệm.
Chọn đáp án C.

Câu 44. Số giao điểm của đồ thị hàm số y  x 4  2x 2  1 với đường thẳng y  2 là:
Chọn 1 câu trả lời đúng
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn
Xét phương trình hoành độ giao điểm
x  1
x 4  2x 2  1  2  x 4  2x 2  1  0  x 2  1  
x  1
Như vậy phương trình tương giao có 2 nghiệm.
Chọn đáp án B.
Câu 45. Xác định m để y  x 4  2x 2  3  m cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. Chọn 1 câu trả lời đúng
A. m  3

B. m  2

C. 2  m  3

D. Một đáp số khác

Câu 46. Giá trị lớn nhất của hàm số y  4x 3  3x 4 là 1 đạt được khi: x=
Hướng dẫn
x  0
TXĐ: D=R. y '  12x 2  12x 3  12x 2 1  x   0  
x  1
Lập bảng biến thiên (HS tự lập). Ta được Max y=1 khi x=1.
Câu 47. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f (x )  x 4  2x 2  2 trên [-2;1] là:
Hướng dẫn
TXĐ: D=R
x  0
y '  4x 3  4x  0  4x x 2  1  0  
; f (0)  2 ; f (1)  1  f (1) ; f (2)  10
x  1
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là: 1 khi x  1 .





Câu 48. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f (x )  x 4  8x 2  16 trên [-1;3] lần lượt là
M và m. Chọn đáp án đúng:
A. M=25; m=9
B. M=25; m=0
C. M=16; m=0
D. M=16; m=9
Hướng dẫn
x  0


y '  4x 3  16x  0  4x x 2  4  0  x  2
x  2  [-1;3]

f (1)  9; f (3)  25; f (0)  16; f (2)  0 . Vậy M=25, m=0.
Chọn đáp án B.





Câu 49. Giá trị lớn nhất của hàm số y  f (x )  x 4  6mx 2  m 2, m  0 trên [0;1] là:
Hướng dẫn

Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 11


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
Với m  0, y '  4x 3  12mx  4x x 2  3m   0, x  [0;1] . Vậy hàm số đồng biến trên [0;1].
Vậy, Max y  f (1)  1  6m  m 2
[ 0;1]

Câu 50. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 4  10x 2  1 là:
Hướng dẫn:





2

y  x 4  10x 2  1  x 2  5  26  26 . Vậy GTNN của y là: -26.

Câu 51. Tiếp tuyến tại điểm M(1;0) của đồ thị hàm số y 

x 1
là:
x 1

Chọn 1 câu trả lời đúng
1
1
1
1
A. y  x 
B. y   x 
2
2
2
2
Hướng dẫn

1
x
2

C. y 

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm y 
Ta có: y ' 

2

x  1

2

; y ' 1 

2

1  1

2



1
D. y   x
2

a.x  b
a.d  c.b
là: y ' 
2
c.x  d
cx  d 

1
. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1;0) là:
2

y  y ' 1x  1  0 

1
1
1
x  1  x 

2
2
2

Chọn đáp án A.
Câu 52. Tiếp tuyến tại điểm M(0;-1) của đồ thị hàm số y 
Chọn 1 câu trả lời đúng
A. y  x
B. y  x  1
Hướng dẫn
Chọn đáp án B.

C. y  3x  1

Câu 53. Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ (C): y 
Chọn 1 câu trả lời đúng
A. y  3x  1
Hướng dẫn

2x  1
là:
x 1
D. y  x  1

2x  1
với trục tung là:
x 1

B. y  x  1

Tọa độ giao điểm của (C) với Oy là: M(0;-1); y ' 

C. y  3x  1
3

x  1

2

D. y  3x

 y '  0  3 .

Phương tình tiếp tuyến tại M(0;-1) là: y  y '(0) x  0  (1)  3x  1
Chọn đáp án C.
Câu 54. Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ (C): y 

2x  1
với trục Ox là: y=

x 1

Hướng dẫn
 1 
1 
3
3
4
  
Tọa độ giao điểm của (C) với Ox là: N  ; 0 ; y ' 

y
'
 .

2
2



3
2 
2 1

x  1
  1

 2


Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 12


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
1 
 1 
1
4
1
4
2
Phương tình tiếp tuyến tại N  ; 0 là: y  y '   x    0  x    0  x 



 2 
 2 

2
3
2
3
3

Câu 55. Từ điểm M(-1;2) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị của hàm số y 

x 1
?

x 1

Chọn 1 câu trả lời đúng
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Hướng dẫn
2
+ y'
; Đường thẳng có hệ số góc k đi qua điểm M(-1;2) có dạng: y  k x  1  2 là tiếp
2
x

1
 
 x  1

 k x  1  2,(1)
 x  1
tuyến của đồ thị hàm số   2
có nghiệm.


k
,(2)
2

x


1



x 1
2
Thay (2) vào (1), được:

x  1  2  x 2  6x  1  0 . Phương trình cuối có 2

2
x  1 x  1

nghiệm khác 1. Suy ra kẻ được hai tiếp tuyến.
Chọn đáp án C.
4
Câu 56. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y 
tại điểm có hoành độ x  1 có phương trình là:
x 1
Chọn 1 câu trả lời đúng
A. y  x  2
B. y  x  3
C. y  x  2
D. y  x  1
Hướng dẫn
Điểm M(-1;-2) không thuộc các đường thẳng ở các câu A, C, D.
Chọn đáp án B.
2x  4
Câu 57. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y 
tại giao điểm của đồ thị với trục hoành là:

x 3
Chọn 1 câu trả lời đúng
A. y  2x  4
B. y  3x  1
C. y  2x  4
D. y  3x  1
Hướng dẫn
Giao điểm của (C) với trục hoành là M(2;0), điểm M(2;0) chỉ thuộc đường thẳng y  2x  4 và
y  2x  4 , nên loại đáp án B và D.
Mặt khác y ' 

2

x  3

Câu 58. Cho (C) y 

2

, y ' 2  2 . Vậy chọn đáp án C.

1 3
2
x  2x 2  5x  . Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất có phương trình
3
3

là:
A. y  x  2
Hướng dẫn

B. y  x  2

C. y  2x  2

D. Đáp án khác.

2
1 3
x  2x 2  5x  1 có f '(x )  x 2  4x  5  x  2  1  1 . Suy ra f '(x ) nhỏ
3
nhất khi x  2 , y  f (2)  4 .
Vậy tại điểm M(2;4), tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất k  1 . Khi đó, phương trình tiếp tuyến tại
M(2;4) là: y  1 x  2  4  x  2 .

(C) y  f (x ) 

Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 13


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
Chọn đáp án B

x 2
và đường thẳng (d) y  x  1 . Tiếp tuyến (d’) với (C) biết (d’) vuông góc
x 1
với (d) có phương trình là:
A. y  x  2 hoặc y  x  2

B. y  x  1 hoặc y  x
C. y  x  2 hoặc y  x  2
D. y  x  2 hoặc y  x
Hướng dẫn
- Tiếp tuyến vuông góc với (d): y  x  1 , nên hệ số góc của tiếp tuyến là: k  1 nên loại A, B, D.
Chọn đáp án C
Câu 60. Hàm nào trong các hàm sau không có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;1]
x 1
A. y  x 2  2x
B. y  x 3  3x  1
C. y  x 4  4x 2  2
D. y 
2x  1
Hướng dẫn
Chọn đáp án D.
Câu 59. Cho (C) y 

x 1
, chọn câu trả lời đúng:
1  2x
A. Hàm số luôn nghịch biến trên R.

1

1
B. Hàm số luôn nghịch biến trên hai khoảng ;  và  ;  .

 2
2 


C. Hàm số luôn đồng biến trên R.

1

1
D. Hàm số luôn đồng biến trên hai khoảng ;  và  ;  .

 2
2 

Câu 61. Cho hàm số f (x ) 

Hướng dẫn
Ta có y ' 

3

1  2x 

2


1

1
 0 vậy hàm số luôn đồng biến trên hai khoảng ;  và  ;  .

 2
2 


Chọn đáp án D.
Câu 62. Cho hàm số y  x 3  3x . Chọn câu trả lời đúng
A. Hàm số không có điểm cực trị.
B. Hàm số có một điểm cực tiểu.
C. Hàm số có một điểm cực đại.
D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Hướng dẫn
Ta có y '  3x 2  3  0 , suy ra hàm số luôn đồng biến trên tập xác định R.
Vậy hàm số không có cực trị.
Chọn đáp án A.
1
3
Câu 63. Cho hàm số y  f (x )  x 4  x 2  2x  1 . Chọn câu trả lời đúng:
4
2
A. Hàm số không cực trị
B. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm x  1 và đạt cực tiểu tại x  2 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 , yCT  3 .
Hướng dẫn
x  2
2
Ta có y '  x 3  3x  2  0  x  1 x  2  0  
. Bảng biến thiên
x  1

Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 14

Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
x
y’



-2
0

-

+

1
0


+

y
y(-2)

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số chỉ đạt cực tiểu tại x  2, yCT  3 .
Vậy chọn đáp án D.
Câu 64. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x )  x 3  3x 2  9x  35 trên [-4;4] là:
Hướng dẫn
x  1
f (x )  x 3  3x 2  9x  35 , có: f '(x )  3x 2  6x  9  0  

x  3
Ta có, f (4)  41 ; f (1)  40 ; f (3)  8 ; f (4)  15
Vậy Max f (x )  40
[ 4;4]

Câu 65. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y 
Chọn đáp án đúng
x 1
A. y 
x 1
Hướng dẫn

B. y 

x 1
trùng với tâm đối xứng của đồ thị của hàm số nào:
x 1

2x  1
2x  2

Chú ý: Đối với hàm phân thức bậc 1/ bậc 1, dạng: y 

C. y 

2x  1
x 1

D. y 

x 1
2x  1

a.x  b
d
có tiệm cận đứng là x   , tiệm cận
cx  d
c

a
(hệ số của x trên tử chia cho hệ số của x dưới mẫu).
c
x 1
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y 
là giao điểm I(-1;1) của hai đường tiệm cận
x 1
x 1
Đồ thị hàm số y 
có tâm đối xứng là I1(1;1);
x 1
2x  1
Đồ thị hàm số y 
có tâm đối xứng là I2(-1;1);
2x  2
2x  1
Đồ thị hàm số y 
có tâm đối xứng là I3(-1;2);
x 1
x 1
Đồ thị hàm số y 

có tâm đối xứng là I3(-1/2;1/2)
2x  1
Chọn đáp B.
x 2
Câu 66. Tọa độ giao điểm của đồ thị (C): y 
với đường thẳng (d): y  3x  2 là:
x 1
Chọn 1 câu trả lời đúng
A. M1(0; -2) và M2(-2; 0)
B. M1(-2; -8) và M2(2; 4)
C. M1(0; -2) và M2(2; 4)
D. M1(0; -2) và M2(2; 4)
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
x 2
 3x  2  x  2  (3x  2)(x  1) (x = 1 không phải là nghiệm phương trình)
x 1
ngang là y 

Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 15


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
 3x 2  6x  0  x  0 (y  2)  x  2 (y  4)

Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) và M2(2; 4)
Chọn đáp án D.
4

Câu 67. Cho hàm số y  f (x )  x 3  x 2  x  3 , chọn đáp án đúng
3
A. Hàm số luông đồng biến trên tập xác định.
B. Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định.
C. Hàm số đồng biến trên một khoảng và nghịch biến trên hai khoảng xác định của nó.
D. Hàm số nghịch biến trên một khoảng và đồng biến trên hai khoảng xác định của nó.
Hướng dẫn
Tập xác định: 
2
4
y  f (x )  x 3  2x 2  x  3  y '  4x 2  4x  1  2x  1  0
3
Vậy hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.
Chọn đáp án A.
4
Câu 68. Cho hàm số y  f (x )  x 3  x 2  x  3 , chọn đáp án đúng
3
A. Hàm số luông đồng biến trên tập xác định.
B. Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định.
C. Hàm số đồng biến trên một khoảng và nghịch biến trên hai khoảng xác định của nó.
D. Hàm số nghịch biến trên một khoảng và đồng biến trên hai khoảng xác định của nó.
Hướng dẫn
Tập xác định: 

x  1  y  17
1 3 5 2

6
y  f (x )  x  x  4x  1  y '  x 2  5x  4  0  
3

2
x  4  y   5

3

Lập bảng biến thiên ta được vậy hàm số nghịch biến trên một khoảng và đồng biến trên hai khoảng xác
định của nó.
Suy luận nhanh không cần lập bảng biến thiên:
Sau khi giải phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt, tức là hàm số có 2 cực trị. Khi đó dạng đồ thị
có hình chữ N (hai nét đi lên, 1 nét xuống), tương ứng hai khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến.
Chọn đáp án D.
Câu 69. Với giá trị nào của m thì đồ thị (C) của hàm số y  x  1x 2  2x  m  1 cắt trục hoành tại
3 điểm phân biệt?
Chọn câu trả lời đúng
A. m  2
B. m  2
C. m  2
D. m  2
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với Ox là
x  1
2
x  1 x  2x  m  1  0   f (x )  x 2  2x  m  1  0,(1)

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
 '  0
m  2  0


 

m 2
 f (1)  0
m  2  0


Chọn đáp án B.



Luyện thi ĐHQGHN 2016



Page 16


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
Câu 70. Với giá trị nào của m thì đường cong (C): y  x 3  3x 2  m  2 cắt trục Ox tại 1 điểm duy
nhất?
Chọn câu trả lời đúng
A. m  2 hoặc m  1
B. 2  m  1
C. m  1
D. m  2 hoặc
m 2
Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với Ox là: x 3  3x 2  m  2  0  x 3  3x 2  2  m,(1)
Đồ thị (C) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số: y  x 3  3x 2  2 tại duy nhất 1 điểm (*).
x  0

Ta có: y '  3x 2  6x  3x x  2  0  
. Bảng biến thiên
x  2
x
0
2


y’

+

0
y(0)

-

0

+

y
y(2)

m  y(2)  2
Từ bảng biến thiên: ta có (*)  
m  y(0)  2
Chọn đáp án D.

Câu 71. Các giá trị nguyên dương của m để hàm số y 

định của nó là: m 



mx  9
luôn nghịch biến trên từng khoảng xác
x m



Hướng dẫn
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi y ' 

m2  9

x  m 

2

 0  m 2  9  0  3  m  3 ,

vì m nguyên dương nên m  1;2; 3 .
Thử lại, m=1, m=2 thỏa mãn. Với m  3 , y 
Vậy m  1;2

3x  9
 3 là hàm hằng nên m  3 không thỏa mãn.
x 3

Câu 72. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  f (x ) 

x
tại điểm có tung độ bằng 1 có hệ số góc là:
2x  1

k  ...
Hướng dẫn
x
1
+ với
 1  x  1; y ' 
, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (1;1) là:
2
2x  1
2
x

1


f '(x ) 

1

2.1  1

2

 1 . Vậy k  1 .

Câu 73. Hàm số y 

x 1
luôn đồng biến trên:
x 1

Chọn đáp án đúng
A. ; 1

B. 1; 

Luyện thi ĐHQGHN 2016

C. ; 1 và 1; 

D. ; 1  1;  
Page 17


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
Hướng dẫn
Chọn đáp án C.
Câu 74. Hàm số y 

2x  1
luôn nghịch biến trên:
x 1

Chọn đáp án đúng
A. ;1

B. ;1 và 1; 

C. 1; 

D. ;1  1; 

Hướng dẫn
Chọn đáp án B.
Câu 75. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y 

4x  2
là điểm: I(….;…..).
x 2

Hướng dẫn.

4x  2
là điểm: I(-2;-4).
x 2
------------------------------------------==================----------------------------------Câu 1. Cho hàm số y  x 3  3 2m  1 x 2  12m  5 x  2 . Định mọi giá trị của tham số m để hàm
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y 

số luôn luôn đồng biến?
Chọn đáp án đúng
A. 

6
6
m 

6
6

B. 

6
6
m 
6
6


m   6

6
C. 

6
m 

6


m   6

6
D. 

6
m 


6

Hướng dẫn
TXĐ: D =  . Đạo hàm: y   3x 2  6 2m  1 x  12m  5 .

  9 2m  1  3 12m  5  36m 2  6
2

Để hàm số luôn luôn đồng biến x ta phải có: y   0 x
 36m 2  6  0  

6
6
m 
.
6
6

   0

Vậy các giá trị m cần tìm là:



6
6
m 
6
6

Chọn đáp án B.
Câu 2. Từ điểm nào trên trục Oy mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị của hàm số (C):
y  x 4  2x 2 .
A. O(0;0)
B. A(0;1)
C. M(0;2)
D. Không có điểm nào.
Hướng dẫn
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm I(0;m) có dạng: y  kx  m
x 4  2x 2  kx  m,(1)
Đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm  3
. Thế (2) vào (1), được:
4x  4x  k ,(2)

x 4  2x 2  4x 3  4x  x  m  3x 4  2x 2  m  0,(3) .
Hệ trên có nghiệm khi phương trình (3) có nghiệm.
Đặt t  x 2  0 , ta có (3) trở thành: 3t 2  2t  m  0 (4).
Từ I(0;m) kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) khi phương trình (4) có nghiệm: t1  0 và t2  0 .
Thế t1  0 vào (4) được m  0 . Thay m=0 vào (4) được 2 nghiệm: t1  0, t2 

Luyện thi ĐHQGHN 2016

2
3

Page 18


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN

Vậy I(0;0) trùng với gốc O(0;0).
Chọn đáp án A.
Câu 3. Đồ thị hàm số y  x 3  3x 2  2 có hai điểm cực trị là
Chọn câu trả lời đúng
A. (1;0), ( 1  3 ;0)
Hướng dẫn

B. (0;2), (2;-2)

C. (0;0), (2;0)

D. (2;1), (0;2)

x  0  y  2
Ta có y '  3x 2  6x ; y '  0  3x 2  6x  0  
.
x  2  y  2
Hàm số có hai điểm cực trị là (0;2) và (2;-2).
Chọn đáp án B
Câu 4. Hàm số nào sau đây không có cực trị
A. y  x 2  2x
B. y  x 3  3x  1
C. y  2x 3  1
D. y  x 4  4x 2
Hướng dẫn
Hàm số y  2x 3  1 có y '  6x 2  0 vậy hàm số luôn đồng biến trên tập xác định R. Suy ra hàm số
không có cực trị.
Chọn đáp án C.

Câu 5. Số điểm cực trị của hàm số y  x 4  2x 2  1 là:

A. 0
B. 1
C. 2
Hướng dẫn

D. 3



Hàm số y  x 4  2x 2  1 có y '  4x 3  4x  4x 1  x 2



x  0

 0  x  1 . Vậy hàm số cho có 3
 x  1


cực trị.
Chọn đáp án D.
Câu 6. Hàm số y  x 4  2x 3  2x  2 đồng biến trên

 1

1
A. ;1
B. 1; 
C.  ; 


 2
2 



1
D. ;   1; 

2 

Hướng dẫn
Hàm số y  x 4  2x 3  2x  2 có
x  1

y '  4x 3  6x 2  2  2 2x 3  3x 2  1  0  x  1 2x  1  0  
x   1

2
Xét dấu y’:
x
-1/2
1





Chọn đáp án C.



y’

-

2

0

+

0

+

1
Câu 7. Hàm số y   mx 3  mx 2  x  1 luôn nghịch biến trên  khi và chỉ khi:
3
A. 0  m  1
B. m  0
C. m  0 hoặc m  1
Hướng dẫn
1
Hàm số y   mx 3  mx 2  x  1 nghịch biến trên  khi và chỉ khi
3
2
y '  mx  2mx  1  0, x  
+ m=0 thỏa mãn.

Luyện thi ĐHQGHN 2016

D. m  1

Page 19


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
m  0
m  0
+ m khác 0, f (x )  mx 2  2mx  1  0, x    


 '  m 2  m  m m  1  0
0  m  1


 0  m  1 kết hợp với m  0 ta được 0  m  1
Chọn đáp án A.
Câu 8. Phương trình x 3  3x 2  9x  m  2  0 có đúng ba nghiệm khi giá trị của m là:
…………………
Hướng dẫn
Phương trình: x 3  3x 2  9x  m  2  0 (1)  x 3  3x 2  9x  2  m (2)

Số hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  f (x )  x 3  3x 2  9x  2 với đường thẳng y  m là số
nghiệm của phương trình (1).
Xét hàm: y  f (x )  x 3  3x 2  9x  2
x  1  f (1)  7
Ta có: f '(x )  3x 2  6x  9  3 x 2  2x  3  0  
x  3  f (3)  25
Bảng biến thiên

x
-1
3





y’



+

0

-

0

+

7
y
=f(x)
-25

Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y  m cắt đồ thị (C) tại 3 điểm khi: 25  m  7
Câu 9. Cho hàm số y 
tiểu tại x  2 là:

A, m  1

x3
 2m  1 x 2  m  9 x  2 . Các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực
3

B, m  2

C, m 

1
2

D, Đáp án khác.

Hướng dẫn

x3
 2m  1 x 2  m  9 x  2 có y '  x 2  2 2m  1 x  m  9 ;
3
y "  2x  2 2m  1

Hàm số y 

y ' 2  0
Hàm số đạt cực tiểu tại x  2  
. Ta có: y '(2)  4  2(2m  1)2  m  9  0  m  1 .
y ''(2)  0

Câu 10. Giá trị nguyên âm lớn nhất của m để hàm số y  x 3  3mx  2 có cực trị là: m  .............

Hướng dẫn
Hàm số y  x 3  3mx  2 có: y '  3x 2  3m  3 x 2  m   0  x 2  m . Điều kiện để hàm số

cực trị là: m  0  m  0 . Vậy giá trị nguyên âm lớn nhất của m thỏa mãn là: m  1
Câu 11. Số nguyên dương m nhỏ nhất để hàm số y  x 3  3mx  m luôn đồng biến trên  là: …..
Hướng dẫn:
Hàm số y  x 3  3mx  m đồng biến trên   y '  3x 2  3m  0, x   '  9m  0  m  0
Vậy số nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn là: m  0
Câu 12. Số nguyên m lớn nhất để hàm số y  x 3  3mx 2  3mx  1 luôn đồng biến trên  là: …..

Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 20


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
Hướng dẫn:
Hàm số y  x 3  3mx 2  3mx  1 luôn đồng biến trên 





 y  3x 2  6mx  3m  3 x 2  2mx  m  0, x

  '  m 2  m  0  m m  1  0  0  m  1 .

Vậy giá trị nguyên m lớn nhất thỏa mãn là: m  1 .
Câu 13. Số nguyên m nhỏ nhất để hàm số y  x 3  3mx 2  3mx  1 luôn nghịch biến trên  là: …..
Hướng dẫn:

Hàm số y  x 3  3mx 2  3mx  1 luôn nghịch biến trên 





 y  3x 2  6mx  3m  3 x 2  2mx  m  0, x

  '  m 2  m  0  m m  1  0   1  m  0 .

Vậy giá trị nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn là: m  1 .
Câu 14. Số điểm cực trị của hàm số y  x 3  3x  3 là:
A, 3
B, 2
C, 1
Hướng dẫn
Chọn đáp án B

D, 0

Câu 15. Số điểm cực trị của hàm số y  x 3  3x  3 là:
A, 3
B, 2
C, 1
Hướng dẫn
Chọn đáp án D.

D, 0

Câu 16. Số điểm cực tiểu của hàm số y  x 4  2x 2  5 là:

A, 0
B, 1
C, 2
D, 3
Hướng dẫn
Chọn đáp án C
Câu 17. Số điểm cực tiểu của hàm số y  x 4  2x 2  5 là:
A, 0
B, 1
C, 2
D, 3
Hướng dẫn
Chọn đáp án B.
Câu 18. Giá trị của m để điểm M(1;-2) thuộc đường thẳng qua hai điểm cực trị của hàm số
y  x 3  mx  1 là: m  ...............
Hướng dẫn
Hàm số y  x 3  mx  1 có 2 cực trị  y  3x 2  m  0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2  m  0 .
2

1
Thực hiện phép chia y cho y '  3x 2  m ta được: y  y '. x   mx  1
3
3


Ta có: y x 1  

2
2
mx 1  1; y x 2   mx 2  1 .

3
3

Suy ra, đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: (d) y 
Điểm M(1;2) thuộc (d) khi: 2 

2
mx  1 .
3

2
9
m.1  1  m   (thỏa mãn).
3
2

Câu 19. Điểm cố định của họ đường thẳng qua hai cực trị của hàm số y  x 3  mx  1 là:
………………………….

Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 21


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
Hướng dẫn
Hàm số y  x 3  mx  1 có 2 cực trị  y  3x 2  m  0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2  m  0 .
2

1

Thực hiện phép chia y cho y '  3x 2  m ta được: y  y '. x   mx  1
3
3


Ta có: y x 1  

2
2
mx 1  1; y x 2   mx 2  1 .
3
3

Suy ra, đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: (d) y 
+ Gọi M x 0 ; y 0  là điểm cố định của (d), khi đó:

2
mx  1 .
3

x  0
2
2
mx 0  1  mx 0  1  y 0   0, m   0
y 0  1
3
3

+ Vậy điểm cố định cần tìm là: M(0;1).
y0 

Câu 20. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3mx  2 . Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x 1, x 2 thỏa mãn điểu
kiện x 1  x 2  x 1x 2  2 thì giá trị cần tìm của m là:
A, m  2

B, m  1

C, m  0

m  1
D, 
m  0

Hướng dẫn
Hàm số y  x 3  3mx 2  3mx  2 có cực trị  y '  3x 2  6mx  3m  0 có hai nghiệm phân biệt
m  1
x 1, x 2  x 2  2mx  m  0 có hai nghiệm phân biệt   '  m 2  m  0  
.
m  0
Theo hệ thức Vi-et, ta có: x 1  x 2  2m và x 1.x 2  m .
Vậy x 1  x 2  x 1x 2  2  2m  m  2  m  2 (thỏa mãn)
Chọn đáp án A.
Câu 21. Cho hàm số y  x 4  3x 2  2 có đồ thị (C). Qua điểm A(0;2) kẻ được mấy tiếp tuyến đến (C).
Chọn đáp án đúng
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Hướng dẫn
Đường thẳng qua A có hệ số góc k có phương trình y  kx  2 (d). Để đường thẳng (d) tiếp xúc với (C)

x 4  3x 2  2  kx  2, (1)
thì hệ sau có nghiệm  3
. Thay (2) vào (1) ta được
4x  6x  k , (2)

x  0

x 4  3x 2  2  4x 3  6x x  2  3x 4  2x 2  0 ,(3)  
2 . Phương trình (3) có 3 nghiệm
x



3

phân biệt. Suy ra có 3 tiếp tuyến kẻ từ A.
Chọn đáp án D





Câu 22. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f (x )  x 4  2x 2  3 tại điểm M(1;2) là: k 
……
Hướng dẫn
Ta có f '(x )  4x 3  4x

Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 22

Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1;2) là: k  f (1)  4.13  4.1  0 .
Vậy, hệ số góc cần tìm là: k  0 .
Câu 23. Giá trị của m để hàm số y  x 3  3x 2  (m  1)x  2 đồng biến trên khoảng (; 0) là:
A) m  2
B) m  1
C) m  2
D) m  1
Hướng dẫn
Hàm số y  x 3  3x 2  (m  1)x  2 có y '  3x 2  6x  m  1
Dùng phương pháp thử
Với x=-1 thay vào y ' được y '  m  2  0  m  2 loại ngay các đáp án: B và D.
Với m=2 thay vào y’ được: y '  3x 2  6x  3  3 x  1  0 . Vậy chọn đáp án A.
2

Câu 24. Giá trị của m để hàm số y  x 3  3x 2  (m  1)x  2 nghịch biến trên khoảng (-1;1) là:
A) m  10
B) m  10
C) m  5
D) m  5
Hướng dẫn
Hàm số y  x 3  3x 2  (m  1)x  2 có y '  3x 2  6x  m  1
Dùng phương pháp thử
+ Với x=0 thay vào y’ được: y '  m  1  0  m  1 . Loại ngay các đáp án A và C.
+ với m=-5 thay vào y’ được y '  3x 2  6x  4  0 

3  21
3  21

x 
nghiệm này không
3
3

chứa khoảng (-1;1)  loại đáp án D.
Vậy chọn đáp án B.
Câu 25. Giá trị của m để hàm số y  x 4  mx  2m  1 nghịch biến trên khoảng (; 1) là
A) m  4
B) m  4
C) mọi giá trị m
D) Đáp án khác.
Hướng dẫn
Hàm số y  x 4  mx  2m  1 nghịch biến trên (; 1) khi và chỉ khi

 

y '  4x 3  m  0  m  4x 3, x  (; 1)  m  Max 4x 3  4
(;1]

chọn đáp án B
Câu 26. Giá trị của m để hàm số y  x 3  3x 2  mx  m  1 nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng
1 là
9
9
9
A) m 
B) m  3
C) m 
D)  m  3

4
4
4
Hướng dẫn
Hàm số y  x 3  3x 2  mx  m  1 có y '  3x 2  6x  m có hai nghiệm x 1, x 2 thỏa mãn
 '  9  3m  0
2
9
x 1  x 2  1 hay x 1  x 2   4x 1x 2  1 khi và chỉ khi 
m 

m
2
(2)  4.  1
4

3
Chọn đáp án C.
Câu 27. Giá trị của m để hàm số y  mx 3  x 2  3x  2m  1 đồng biến trên khoảng (3; 0) là:

1
1
1
m 2
B)
m
C) m 
3
3
3

Hướng dẫn
Hàm số y  mx 3  x 2  3x  2m  1 có y '  3mx 2  2x  3
A)

+ Với m=0 thì y '  2x  3  0  x 

Luyện thi ĐHQGHN 2016

1
D)   m  0
3

3
nghiệm này chứa khoảng (-3;0). Loại ngay đáp án A và C.
2
Page 23


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
+ Với m=4 thì y '  12x 2  2x  3  0 với mọi x. Vậy chọn đáp B.
Câu 28. Với giá trị nào của m thì hàm số y  x 3  3x 2  (m  1)x  2 đồng biến trên nửa khoảng
2; 

A) m  25
B) m  25
C) m  25
D) m  25
Hướng dẫn
Hàm số y  x 3  3x 2  (m  1)x  2 có y '  3x 2  6x  m  1
x  0

+Với m=-1 thay vào y’ được y '  3x 2  6x  3x (x  2)  0  
. Nghiệm này chứa 2;  .
x


2

Loại ngay đáp án B và D.
+ Với m=30 thay vào y’ được y '  3x 2  6x  31  0 với mọi x .  loại ngay đáp án A.
Vậy chọn đáp án C.
mx  4
Câu 29. Giá trị của m để hàm số y 
nghịch biến trên khoảng (1; ) là
x m
m   2
A) 2  m  1
B) m  2
C) m  2
D) 
m  2
Hướng dẫn
mx  4
m2  4
Hàm số y 
có y ' 
 0  2  m  2 , x  m . Loại ngay đáp án B, C, D.
2
x m
x


m


Như vậy chỉ có thể chọn đáp án A.
Câu 30. Với giá trị nào của m thì hàm số y 

3x  5
đồng biến trên khoảng 2;  .
2x  m
10
C) m 
D) m  4
3

10
10
m  4
B) m 
3
3
Hướng dẫn
3x  5
3m  10
10
m
Hàm số y 
có y ' 
 0  m  ,x 
2
2x  m

3
2
2x  m 
A)

Để hàm số đồng biến trên khoảng 2;  thì tiệm cận đứng x 
Vậy:

m
2 m 4
2

10
 m  4 . Chọn đáp án A.
3

Câu 31. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y 

x 3
, sao cho tổng khoảng cách từ M đến các
x 1

đường tiệm cận của (C) nhỏ nhất là:
A) M(2;5)
B) M(3;3)
C) M(-3;1)
D) M(2;2)
Hướng dẫn
+ Kiểm tra ngay được M(-3;1) và M(2;2) không thuộc (C)  loại đáp án C và D.
Đến đây ta có hai hướng để kiểm tra:

Hướng 1: Tính khoảng cách trực tiếp
x 3
+ Đồ thị (C) của hàm số y 
có tiệm cận đứng (d) x  1 ; tiệm cận ngang (d’): y  1 .
x 1
+ Tổng khoảng cách từ M(2;5) đến (d) và (d’) là: x M  xTCD  y M  yTCN  2  1  5  1  5

Luyện thi ĐHQGHN 2016

Page 24


Trọng tâm: Tiếp tuyến, cực trị, tính đơn điệu, tương giao, GTLN GTNN
+ Tổng khoảng cách từ M(3;3) đến (d) và (d’) là: x M  xTCD  yM  yTCN  3  1  3  1  4
+ Vì 4<5 vậy chọn đáp án B
Hướng 2: Sử dụng công thức tính nhanh hoành độ điểm cần tìm
+ Giải phương trình sau để tìm hoành độ điểm M: (cx  d )2  (ad  bc)c
x  1
2
2
Hay: x  1  (1  3).1  x  1  4  
. Vậy chọn ngay đáp án B.
x  3
x 1
Câu 32. Cho đồ thị (C) có phương trình: y 
. Khi đó đồ thị (C’) đối xứng với (C) qua gốc tọa độ
x 1
O(0;0) có phương trình là:
x 1
x  1

x 1
x  1
A) y 
B) y 
C) y 
D) y 
x 1
x 1
x  1
x 1
Hướng dẫn:
+ Lấy điểm M (x ; y ) thuộc đồ thị (C’), khi đó điểm M ' đối xứng với M qua O(0;0) có tọa độ
M '(x ; y ) , M’ thuộc đồ thị (C) nên ta có: y 

+ Vậy, (C’) có phương trình y 

x  1
x  1
y 
x  1
x 1

x  1
. Ta chọn đáp án C.
x 1

Câu 33. Tọa độ hai điểm nào sau đây thuộc đồ thị (C) của hàm số y 

x 3
, sao cho tổng khoảng cách

x 1

từ các điểm đó đến các đường tiệm cận của (C) nhỏ nhất là:
A) (2;5) và (3;3)
B) (3;3) và (-1;-1)
C) (-3;1) và (-1;-1)
D) (2;2) và (3;3)
Hướng dẫn
+ Kiểm tra ngay được (-3;1) và (2;2) không thuộc (C)  loại đáp án C và D.
Đến đây ta có hai hướng để kiểm tra:
Hướng 1: Tính khoảng cách trực tiếp
x 3
+ Đồ thị (C) của hàm số y 
có tiệm cận đứng (d) x  1 ; tiệm cận ngang (d’): y  1 .
x 1
+ Tổng khoảng cách từ M(2;5) và N(3;3) đến (d) và (d’) là:
x M  xTCD  yM  yTCN  x N  xTCD  yN  yTCN  2  1  5  1  3  1  3  1  5  4  9



 

 

 



+ Tổng khoảng cách từ M(3;3) và N(-1;-1) đến (d) và (d’) là:
x M  xTCD  yM  yTCN  x N  xTCD  yN  yTCN  3  1  3  1  1  1   1  1  4  4  8



 

 

 



+ Vì 4<5 vậy chọn đáp án B
Hướng 2: Sử dụng công thức tính nhanh hoành độ điểm cần tìm
+ Giải phương trình sau để tìm hoành độ điểm M: (cx  d )2  (ad  bc)c
x  1
Hay: x  1  (1  3).1  x  1  4  
. Vậy chọn ngay đáp án B.
x  3
2

2

Câu 34. Tọa độ các điểm nào sau đây thuộc đồ thị (C) của hàm số y 
độ?
A) (2;5) và (3;3)
Hướng dẫn

B) (2;2) và (3;3)

Luyện thi ĐHQGHN 2016

C) (-3;1) và (-1;-1)

x 3
, và cách đều hai trục tọa
x 1

D) (3;3) và (-1;-1)

Page 25