B splines và ứng dụng trong thiết kế hình học

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Công nghệ thông tin ngày càng phát triển và đồ họa máy tính là một
lĩnh vực công nghệ phát triển rất nhanh. Đồ họa đã được áp dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực khác nhau từ khoa học, công nghệ, y tế, kỹ thuật đến giải
trí...
Đồ họa máy tính phát triển dựa trên các kết quả của hình học họa hình,
hình học vi phân cùng với nhiều kết quả toán học khác đặc biệt bao gồm đại
số và giải tích. Hiện nay, với sự phát triển của phần cứng máy tính, đồ họa
cũng phát triển nhanh hơn, tuy vậy nền tảng của nó vẫn là cơ sở mô hình hóa
hình học. Có nhiều bài toán đặt ra trong đồ họa máy tính. Một trong
những bài toán cơ bản của nó là xử lý các đường cong và mặt cong.
B-splines là một dạng đường cong và mặt cong trong mô hình hóa hình
học đã được nhiều tác giả trên thế giới nghiên cứu.
Đề tài này tìm hiểu về B -splines và xây dựng một ứng dụng trong bài
toán thiết kế hình học. Đây là việc làm có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
2. Đối tượng nghiên cứu
Cơ sở mô hình hóa hình học, Phương pháp sinh đường cong và mặt
cong nhờ các điểm điều khiển, B - splines, Ứng dụng B- splines trong đồ
họa
3. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung tìm hiểu lý thuyết về splines, B-splines và ứng dụng.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Tìm hiểu các kiến thức cơ sở về hình học đường cong và mặt cong, các
phép biến đổi tọa độ trong không gian 2D và 3D.
 Tìm hiểu lý thuyết về splines, B-splines sinh đường cong và mặt cong


2

 Từ những kết quả lý thuyết B-splines xây dựng ứng dụng cho bài toán
trong thiết kế hình học 2D và 3D.
 Cài đặt thuật toán và ứng dụng.
5. Những nội dung nghiên cứu chính
 Tìm hiểu các kiến thức tổng quan về mô hình hóa hình học.
 Tìm hiểu lý thuyết đường cong B-splines và mặt cong B-splines.
 Tìm hiểu về các bài toán dựng hình.
 Ứng dụng B-splines vào các bài toán mô hình hóa hình học.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến của các thầy cô trong lĩnh
vực đồ họa, đảm bảo toán học cho máy tính và hệ thống tính toán và các lĩnh
vực có liên quan.
- Thu thập, nghiên cứu tài liệu từ các giáo trình, bài báo, tạp chí, bài giảng.
- Phương pháp thực nghiệm: Cài đặt ứng dụng bằng ngôn ngữ
MATLAB.
7. Ý nghĩa khoa học của đề tài
Kết quả nghiên cứu của đề tài là đưa ra 1 ứng dụng cụ thể của B-splines
trong bài toán mô hình hóa hình học. Bên cạnh đó, đề tài cũng đã tổng hợp
được các kết quả nghiên cứu cơ bản của hình học vi phân và phép biến đổi
hình học sử dụng trong mô hình hóa hình học, đặc biệt là các kết quả về Bsplines.


3

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC
Chương này trình bày về các kết quả cơ bản của hình học vi phân và phép
biến đổi hình học được sử dụng trong mô hình hóa hình học. Lý thuyết
về đường cong, mặt cong và các phép biến đổi tọa độ trong không gian 2D,
3D.

1.1. Cơ sở của mô hình hóa hình học
1. 1. 1. Các phép biến đổi hình học trong không gian 2D và 3D
Tất cả các phép biến hình trong ĐHMT và mô hình hóa hình học đều
dựa trên 3 hình thức biến đổi tọa độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ
lệ và quay [3].
Xét điểm P'(x', y') là vị trí của điểm P(x, y) sau phép biến đổi tọa độ. Tọa
độ (x', y') của điểm P' tương ứng với vector dịch chuyển t(tx, ty) (Hình 1.1a),
hệ số tỷ lệ s(sx, sy) (Hình 1.1b); góc xoay θ ngược chiều quay kim đồng hồ
(Hình 1.1c) được xác định như sau:
x' = x + tx;

y' = y + ty

(1.1)

x' = sxx;

y' = syy

(1.2)

x' = xcosθ – ysinθ;

y' = xsinθ + ycosθ

(1.3)

y

y

y

P’(x’,y’
)

P’(x’,y’)

P’(x’,y’
)

r

ty

P(x,y)

θ
P(x,y)

tx

o
a

x

P(x,y)

o

x

o

b

r
x

α
c

Hình 1.1: Phép biến đổi tọa độ 2D
Phép biến đổi tọa độ 3D là mở rộng của phép biến đổi tọa độ 2D. Tọa độ


4

(x', y', z') của điểm P(x, y, z) sau phép biến đổi tọa độ 3D, tương ứng
với vector dịch chuyển t(tx, ty, tz); hệ số tỷ lệ s(sx, sy, sz) được xác định như
sau:
x' = x + tx;

y' = y + ty;

z' = z + tz

(1.4)

x' = sx.x ;

y' = sy.y;

z = sz.z

(1.5)

Cũng giống như trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch
chuyển 3D (1.4) và phép lấy tỷ lệ (1.5) dưới dạng tích ma trận bởi vector tọa
độ đồng nhất Ph, P'h, ma trận biến đổi T và S.
P'h = PhT

(1.6)

P'h = PhS

(1.7)

trong đó:
1
0
T 
0

t x

Ph = (x y z 1) ; P'h = (x' y'
0 0 0
 sx 0

0 s

1 0 0
y
S
;
0 0
0 1 0


t y t z 1 
0 0

z 1).
0 0
0 0 
sz 0 

0 1

Đối với phép quay 3D, việc xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong
không gian là rất khó, do vậy phép quay quanh trục bất kỳ thường được qui
về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ tọa độ như trong Bảng 1.1:
X'

Y'

Z'

x' = x

y' = ycosθ - zsinθ

z' = ysinθ + zcosθ

Quanh t r ục y

x' = zsinθ + xcosθ

y' = y

z' = zcosθ + xsinθ

Quanh tr ụ c z

x' = xcosθ + ysinθ

y' = xsinθ + ycosθ

z' = z

Phép quay cơ bản

Quanh trục x

Bảng 1.1: Phép quay 3D quanh các trục tọa độ
Khi đó ma trận biến đổi đồng nhất R đối với phép quay 3D có giá trị như
sau (đặt s = sinθ; c = cosθ;):

5

1 0 0 0 
0 c s 0

R ( x,  )  
0 s c 0


0 0 0 1

c
0
R( y, )  
s

0

0 s 0
1 0 0 
0 c 0

0 0 1

 c s 0 0
s c 0 0

R( z,  )  
 0 0 1 0



 0 0 0 1

(1.8)

Tổng quát, ta có thể biểu diễn phép biến đổi tọa độ 3D (chỉ gồm phép
dịch chuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như
sau:
(x' y' z' 1) = (x y z 1).H

(1.9)

Trong đó :

 r11
r
21
H 
 r31

 t x

r12
r22
r32

r13
r23
r33

ty

tz

r12
r22
r32

r13 
r23 
r33 

0 
0  

0 
 
1  

R*
t

0
0 
0

1

với

 r11
R*   r21
 r31

hoặc ta có thể viết như sau:
(x' y' z' ) = (x y z )R* + t

(1.10)

Có thể thấy rằng ma trận xoay R trong công thức (1.8) là ma trận trực
giao, ta định nghĩa các vector hàng của R:
ur
ur
r1 = (r11 r12 r13)
r2 = (r21 r22 r23)

ur
r3 = (r31 r32

r33)

(1.11)

Thì thành phần của các vector này chính là các cosin chỉ hướng của
vector đơn vị i, j, k trong hệ trục tọa độ Oxyz và thỏa điều kiện tích có hướng
của 2 vector này sẽ là vector kia, cụ thể ta có:


6

ur ur
ur
 r1 , r2   r3



ur ur
ur
 r2 , r3   r1



ur ur
ur
 r3 , r1   r2



(1.12)

và ta còn có :

ur ur ur
r1  r2  r3  1
1.1.2. Phép biến đổi đồng nhất
Biểu diễn điểm dưới dạng tọa độ đồng nhất cho phép đơn giản hóa và
thống nhất hóa việc biểu diễn các phép biến đổi hình học như là phép nhân
ma trận.
Theo tọa độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào
không gian (n+1) chiều.

Ví dụ 1.1: điểm P(x, y , z) trong hệ tọa độ Đề-các 3 chiều được biểu
diễn dưới dạng tọa độ đồng nhất 4 chiều P'(x',y',z',h) theo mối quan hệ:
x = x '/ h;

y = y'/h;

z = z'/h

(1.13)

trong đó h ≠0 là hệ số vô hướng.
Mối quan hệ (1.13) dựa trên thực tế, nếu tọa độ Đề-các của điểm P được
nhân với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P'(x',y',z') theo phép
lấy tỷ lệ với hệ số h.
Tổng quát, ta có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (1.1), (1.2),
(1.3) dưới dạng ma trận bởi vector tọa độ đồng nhất (chuẩn tắc) Ph, P'h và ma
trận biến đổi đồng nhất M:
P'h = PhM

(1.14)

trong đó: Ph = (x y 1) ; P'h = (x' y' 1).
Ma trận biến đổi tọa độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy
tỷ lệ (S) và phép quay (R) có giá trị như sau:


7

1 0


T  0 1
t x t y


 sx
S   0
 0

0

0 ;
1 

0
sy
0

0
0  ;
1 

 cos 
R    sin 
 0

sin 
cos 
0

0

0 
1 

(1.15)

1.1.3. Khung tọa độ
Phần trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối
tượng hình học từ một hệ tọa độ sang hệ tọa độ thứ hai. Tiếp theo ta sẽ đề cập
đến phép ánh xạ như sự thay đổi hệ tọa độ.
Có thể mô tả phép biến đổi tọa độ (1.9) dưới hình thức hệ tọa độ
chuyển động (Hình 1.2). Cho ih, jh và kh là các vector chỉ hướng đồng
nhất của hệ tọa độ tham chiếu:
ih = (l 0 0 1 ) ; jh = (0 1 0 1); kh = (0 0 1 1).
Áp dụng phép biến đổi (1.9)ur với các vector đồng nhất ta có:
i'h = ihH = (1 0 0 1)H = ( r1 1)
ur

j'h = jhH = (0 1 0 1)H = ( r 2
ur

k'h = khH = (0 0 1 1)H = ( r 3

(1.16a)
(1.16b)

1)

(1.16c)

1)

ur ur ur
Kết quả trên đây cho thấy rằng các vector r1 , r2 , r3

của ma trận biến đổi

đồng nhất H trở thành vector trục của hệ tọa độ chuyển động (Hình 1.2) biến
đổi theo (1.12). Gốc hệ tọa độ chuyển động được xác định tương tự:
P'h = (0 0 0 1)H = (tx ty tz 1) = (t

1)

(1.17)

Vì lý do này, người ta gọi ma trận biến đổi đồng nhất H là khung tọa độ.
Như vậy, phép biến đổi (1.9) chính là phép ánh xạ từ hệ tọa độ làm việc (hệ
tọa độ địa phương hay hệ tọa độ chuyển động) sang hệ tọa độ hệ thống (hệ
tọa độ cố định).


8

ur
r1
r
H

P

ur

r2

r’

ur
r3

z
t
r’ = rH
k
y
i

j

x

Hình 1.2 : Phép biến đổi tọa độ dưới hình thức hệ tọa độ chuyển động
1.1.4. Phép ánh xạ
Ở các phần trên ta đã xét các phép biến đổi tọa độ trong cùng một hệ tọa
độ mà hoàn toàn không có sự thay đổi hệ tọa độ tham chiếu về vị trí cũng
như phương chiếu. Trong phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình
học giữa 2 hệ tọa độ khác nhau.
Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ tọa độ sang hệ tọa độ thứ hai
được định nghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ tọa độ thứ
nhất sang hệ tọa độ thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phương
chiều của đối tượng hình học so với cả 2 hệ tọa độ.
Phép ánh xạ tương đương với phép biến đổi hệ tọa độ thứ nhất sang hệ
tọa độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế đồ họa.

Thông thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ tọa độ làm việc
(còn được gọi là hệ tọa độ địa phương hay hệ tọa độ đối tượng) gắn liền với
đối tượng thiết kế để đơn giản hóa việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học.


9

Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) tọa độ được đo trong hệ tọa
độ làm việc sang hệ tọa độ hệ thống trước khi lưu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu
hệ thống.
Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trúc lắp ghép, khi mỗi
đối tượng (chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theo hệ tọa độ hệ thống
riêng và chúng cần được kết nối và quản lý trong hệ tọa độ hệ thống chủ.
Ví dụ 1.1: Ta có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ tọa độ sang
hệ tọa độ thứ hai như sau: Cho trước tọa độ của điểm P xác định theo hệ tọa
độ (X, Y, Z), ta sẽ xác định tọa độ của điểm P theo hệ tọa độ (X', Y', Z'), sao
cho thỏa mãn điều kiện:
P' = f(P, thông số ánh xạ) hay P' = P.H
trong đó:
P: Vector vị trí của điểm P theo hệ tọa độ (X, Y, Z).
P': Vector vị trí của điểm P theo hệ tọa độ (X', Y', Z')
H : Ma trận ánh xạ trong công thức (1.9) mô tả vị trí tương đối của
hệ tọa độ (X, Y, Z) so với hệ tọa độ (X', Y', Z').
1.2. Đường cong
Trong các ứng dụng của ĐHMT, hầu như các thực thể là đường cong và
mặt cong. Các thực thể này được dùng để mô tả các vật thể trong thế giới
thực như nhà cửa, đồi núi, phương tiện đi lại…hay để xây dựng các thực thể
đang được thiết kế. Nếu chỉ sử dụng các phương trình đường cong sẽ
không thể hiện được hình ảnh thực hay ý tưởng của người thiết kế, ngược lại
nếu dùng tập hợp các điểm thì thường cần phải dùng nhiều dung lượng nhớ

để lưu trữ cũng như tốc độ tính toán.
Ta có quỹ đạo chuyển động của một chất điểm trong không gian có thể
tạo thành đường thẳng hoặc đường cong. Về mặt trực quan, người ta định
nghĩa đường cong như là quỹ đạo điểm thỏa mãn một số điều kiện nào đó.


10

Qua hai điểm có thể vẽ được một đường thẳng. Qua ba điểm có thể vẽ được
một đường cong trong mặt phẳng. Qua bốn điểm có thể vẽ được một đường
cong trong không gian. Nếu ta dùng các phương trình đường cong như
Hypebol, Parabol, Elip ... thì việc tính toán có thể phức tạp và không thể hiện
được hình ảnh thực hay ý tưởng đa dạng của người thiết kế.
Vấn đề đặt ra là chọn đường cong như thế nào để phù hợp với việc biểu
diễn trong máy tính?
Trong ĐHMT khi muốn xây dựng một đường cong tổng quát khi chưa
biết phương trình toán học của nó người ta sử dụng một tập hợp các điểm cho
trước gọi là tập các điểm điều khiển (control points). Giả sử ta dùng n+1
điểm điều khiển P0, P1, P2,..., Pn, khi đó một đường cong C được tạo ra theo
một trong hai cách sau:
 Nội suy các điểm điều khiển: Đường cong C được bắt đầu tại
điểm P0 và đi qua các điểm điều khiển trung gian theo thứ tự P0, P1,
P2,..., Pn. C kết thúc tại Pn.
 Xấp xỉ các điểm điều khiển: C không nhất thiết phải đi qua các
điểm điều khiển nhưng hình dạng của nó được quyết định bởi các
điểm điều khiển.
Đường cong là các đối tượng cơ bản thường là kết quả của tiến trình thiết
kế và các điểm điều khiển đóng vai trò là công cụ để kiểm soát và mô hình
hoá đường cong. Cách tiếp cận này là cơ sở của lĩnh vực thiết kế mô hình hình
học nhờ máy tính (Computer Aided Geometric Design, viết tắt là CAGD).

Về mặt toán học, đường cong được biểu diễn dưới các dạng:
 Phương trình ẩn:
f(x, y, z) = 0
 Phương trình tường minh:
y = f(x), z = g(x)


11

 Phương trình tham số:
x = x(t), y = y(t), z = z(t) trong đó t

[0; 1].

Ví dụ 1.2: Xét đường tròn đơn vị (O, 1) trên mặt phẳng Oxy, có
tâm trùng với gốc hệ toa độ như trên (Hình 1.3). Mối quan hệ giữa các tọa độ
x và y được mô tả bởi phương trình ẩn:
f ( x , y ) = x 2 + y 2 - 1 =0
Nếu ta chỉ xét phần nửa trên của đường tròn thì ta có phương trình
tường minh biểu diễn là:
y = g(x) = (1 – x2)1/2
y

y
P(x,y)

P(x,y)

θ
0

α
x

0

x

Hình 1.3: Biểu diễn đường tròn đơn vị
Giả sử P(x,y) là một điểm nằm trên đường tròn (O,1). Nếu đặt góc θ giữa
đoạn thẳng PO và trục Ox là tham số của đường tròn, ta có phương trình
tham số của đường tròn đơn vị:
x = x(θ) = cosθ ;

y = y(θ) = sinθ

Giả sử Q cũng là một điểm thuộc đường tròn, gọi góc tạo bởi PQ với trục
Ox là α. Khi đó ta đặt :
t = tgα = y/ (x+1)
kết hợp với phương trình (2.1) ta có :
x = x(t) = (1- t2)(1- t2) ;

y = y(t) = 2t/(1+ t2)

Phương trình trên đường gọi là phương trình tham số đa thức hữu tỷ của
đường tròn. Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của đường cong


12

và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hóa.
Mặc dù về mặt lý thuyết có thể sử dụng phương trình toán học bất kỳ để
biểu diễn đường cong, nhưng mô hình toán học dưới dạng đa thức được sử
dụng phổ biến nhất do có đặc tính dễ dàng xử lý, đủ linh hoạt để mô tả phần
lớn các loại đường cong sử dụng trong kỹ thuật.
Mỗi đường cong có các đặc tính đó là: Độ chảy, Vector tiếp tuyến đơn vị,
Vector pháp tuyến chính, Độ cong và bán kính cong [3].
xét đường cong được biểu diễn bằng phương trình tham số chuẩn tắc:
r = r(t) = [x(t), y(t), z(t)]
Độ chảy : Độ lớn của vector đạo hàm r’(t) được gọi là độ chảy của
đường cong :
q’(t) = r '( t )
Nếu so sánh đường cong là con đường và t là tham số tượng trưng cho
thời gian thì khi đó độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe.
Đại lượng này được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương
pháp quét hình. Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình
đường cong dạng r(s) trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy
bằng 1. Độ chảy của đường cong không phải là đặc tính riêng của đường
cong đó, mà đó là kết quả của phép tham số hóa.
Vector tiếp tuyến đơn vị: Cho s là tham số tự nhiên của đường cong
r(t), sao cho:


s 



r '( t ) d t

0

vector tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) được định nghĩa như sau:
T= dr/ ds hoặc dưới dạng vi phân: T  r '(t ) / r '(t )
vector pháp tuyến chính: Lấy đạo hàm vector tiếp tuyến đơn vị T theo t


13

và chuẩn hóa giá trị, chúng ta có vector đơn vị N, được gọi là vector pháp
tuyến chính của đường cong:
N  ( dT / dt ) / dT / dt  ( dT / ds ) / dT / ds

Vì T là vector đơn vị (T.T = 1), do đó vector N vuông góc với vector T.
Mặt phẳng địng nghĩa bởi vector T và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp.
Vector B vuông góc với vector N và T được gọi là vector pháp tuyến đôi xác
định bởi quan hệ: B = TxN.
Độ cong và bán kính cong: Cho s là tham số tự nhiên và T là vector tiếp
tuyến đơn vị của đường cong r(t). Độ cong được định nghĩa như sau:

k  dT / ds
Xét đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp đi qua điểm hiện thời r(t) và độ
cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này. Đường tròn
này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròn mật tiếp được
gọi là bán kính cong và được xác định bởi:



1
k

1.3. Mặt cong
1.3. 1. Mô hình hóa mặt cong
Mô hình hóa các mặt cong ta có thể xây dựng được bằng ba cách sau:
a. Mặt kẻ - Ruled Surface
Mặt kẻ được xây dựng bằng cách cho trượt một đoạn thẳng trên hai
đường cong. Hai đường cong này gọi là đường cong biên. Các mặt kẻ nhận
được bằng phép nội suy tuyến tính từ hai đường cong biên cho trước tương
ứng với hai biên đối diện của mặt kẻ P1(u) và P2(u).


14

Hình 1.4: Mô hình bề mặt kẻ
ta có phương trình mặt kẻ:
S(u,v) = P2(u)v + P1(u)(1-v)
nếu hai đường cong cho trước tương ứng là P1(v) và P2(v)
thì mặt kẻ có phương trình:
 P (v ) 
Q(u , v)  P1 (v)(1  u )  P2 (v)u  [(1-u)]  1 
 P2 (v) 

(1.18)

b. Mặt tròn xoay – Revolution surface

Hình 1.5 : Mô hình mặt tròn xoay
Mặt tròn xoay được xây dựng bởi đường thẳng hay một đường cong
phẳng, quanh một trục trong không gian.
c. Mặt trượt - Sweept Surface

15

Hình 1.6: Mô hình mặt trượt
Mặt trượt là mặt được tạo bằng cách trượt một thực thể theo một đường
thẳng hoặc đường cong trong không gian. Thực thể đó có thể là một đường
thẳng, đa giác, một đường cong…
1.3.2. Biểu diễn mặt cong
Mặt cong được định nghĩa trực quan là quỹ đạo chuyển động của một
đường cong tạo nên.
Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép
ánh xạ tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu
diễn bởi phương trình:
x= x(u, v)

với u, v [0, 1]

y= y(u, v)
z= z(u, v)
S(u, v ) = S[x= x(u, v), y= y(u, v), z= z(u, v)] ,

(1.19)

trong đó: u, v là tham số mặt cong.
để biểu diễn phương trình tham biến cho mặt cong ta có thể:
 Dựa vào việc xây dựng và tạo bề mặt toán học từ các điểm điều
khiển,
 Dựa vào việc xây dựng nên bề mặt phụ thuộc vào biến số có

16

khả năng thay đổi một cách trực diện thông qua các tương tác
đồ họa.
Ta cũng có thể dùng mảnh tam giác (Triangular Patches ) hoặc tứ giác
(Quadrilatera Patches) để biểu diễn.
Kết chương:
Ở chương này trình bày một số kiến thức cơ bản đường cong và mặt
cong. Qua đó có cái nhìn và tư duy cơ bản về các dạng đường cong và mặt
cong, giúp em định hướng rõ hơn về hướng nghiên cứu chính của mình sẽ
được trình bày trong chương tiếp theo.


17

CHƯƠNG 2. B-SPLINE TRONG KHÔNG GIAN 2D VÀ 3D
Chương này trình bày về một số đường cong và mặt cong, trong đó chủ
yếu là tìm hiểu về đường cong và mặt cong B-spline.
2.1. Sơ lược về đường cong và mặt cong Bezier
Lý thuyết đường cong và mặt cong Bezier được phát minh bởi một kỹ
sư người Pháp có tên là Pierre Bezier trong quá trình thiết kế mẫu xe ô tô.
Bezier là nhân viên hãng RENAULT. Vào những năm 1970 ông là người đi
đầu trong việc ứng dụng máy tính cho việc xây dựng các bề mặt. Hệ thống
UNISURF của ông được áp dụng trong thực tế vào năm 1972 được thiết kế
và kiểm tra xe Mezesez hay Renault. Điểm mạnh của lý thuyết Bezier là tính
dễ dàng và thuận tiện trong việc biểu diễn các đường cong và mặt cong.
Bezier đã sử dụng đa giác kiểm soát cho đường cong tại những đỉnh của đa
giác và tiếp tuyến tại đó.
2.1.1. Đường cong Bezier
Giả sử một đường cong Bezier C được tạo ra từ (n+1) điểm điều khiển P0,

P1, P2,…,Pn. Kí hiệu tọa độ của mỗi điểm điều khiển là Pi(xi,yi,zi) trong đó 0 ≤
i ≤ n. Tập hợp các điểm điều khiển ta gọi là đa giác kiểm soát (control
polygon). Khi đó các điểm trên đường cong Bezier C được tính theo công
thức [3]:
n

C (t )   PB
i i , n (t )

(2.1)

i 0

i
n i
trong đó Bi , n (t )  C (n, i )t (1  t ) 

n!
t i (1  t )n i được gọi là
k !(n  k )!

công thức Bernstein bậc n, còn gọi là các hàm trộn (blending function) vì nó
tạo ra đường cong bằng cách pha trộn các điểm P0, P1, P2,…,Pn .
Để dễ hình dung ta xét trường hợp đơn giản nhất khi chỉ có 2 điểm điều
khiển P0 và P1 , khi đó các điểm thuộc đường cong C được xác định bởi công


18

thức:

C(t) = B0,1.P0 + B1,1.P1 = (1 - t)P0 + tP1, (0 ≤ t ≤ 1)

(2.2)

đường cong C đi qua 2 điểm P0 và P1 lúc này chính là đoạn thẳng P0P1
như trong (hình 2.1a). Ta thấy C(t) là tuyến tính theo tham số t và ta gọi đó là
đường cong Bezier bậc 1.
Trường hợp có 3 điểm điều khiển P0, P1, P2 như trong (Hình 2.1b), ta có :
B0,2 = (1 - t)2
B1,2 = 2t(1 - t)
B2,2 = t2
khi đó phương trình của đường cong C là :
C(t) = (1 - t)2P0 + 2t(1 - t)P1 + t2P2
P1

(2.3)

P1

P2
b(t)
P1

C(t
a(t)
P0

P0
a

e(t)

b(t)
c(t)

a(t)
P2

d(t)

c(t)

P0

b

c

a(t)
P3

Hình 2.1 : Đường cong Bezier bậc 1, 2, 3
C(t) trong công thức (2.3) lúc này được gọi là đường cong Bezier bậc 2.
Công thức trên còn được xây dựng một cách tuần tự bằng thuật toán Casteljau
cho ba điểm như sau:
 Với mỗi giá trị 0 ≤ t ≤ 1 ta tính giá trị a(t) giữa hai điểm P0 và P1 :
a(t) = (1 - t)P0 + tP1
 Tính b(t) giữa hai điểm P1 và P2
b(t) = (1 - t)P1 + tP2
 Cuối cùng tính C(t) giữa hai điểm a(t) và b(t)

C(t) = (1 - t)a(t) + tb(t) = (1 - t)2P0 + 2t(1 - t)P1 + t2P2


19

Tương tự như trên, trong trường hợp có 4 điểm điều khiển P0, P1, P2, P3
như trong (Hình 2.2c), ta tính được :
B0,3 = (1 - t)3
B1,3 = 3t(1 - t)2
B2,3 = 3t2(1 - t)
B3,3 = t3
khi đó phương trình đường cong Bezier đi qua 4 điểm này là :
C(t) = (1 - t)3P0 + 3t(1- t)2P1 + 3t2(1 - t)P2 + t3P3

(2.4)

trong công thức (2.4), C(t) là một hàm bậc 3 theo biến t và được gọi là
đường cong Bezier bậc 3. Công thức này cũng có thể xây dựng một cách tuần
tự bằng thuật toán Casteljau cho 4 điểm.


Dạng biểu diễn ma trận của đường cong Bezier

Để thích hợp cho việc biểu diễn trên máy tính, ta biểu diễn 2 mảng
Bn(t) và P như sau :
Bn(t) = (B0,n(t) , B1,n(t),…,Bn,n(t))
P = (P0, P1, P2,…, Pn)

 P0 
P 

T
P   1
=>
 P2 
 
 P3 
khi đó theo công thức (2.1) ta có:
C(t) = Bn(t).PT

(2.5)

các hàm trộn có thể biểu diễn dưới dạng đa thức tổng quát :
Bi,n = a0 + a1t + a2t2 + …+ antn = (t0 , t1 , …, tn).(a0 ,a1 ,…an)

(2.6)

Đặt Pow(t) = (t0 , t1 , …, tn), Ben là ma trận biểu diễn mảng Bn(t), trong
đó mỗi hàng i của ma trận này ứng với các hệ số tương ứng (a0 ,a1 ,…an) của
đa thức Bi,n(t) và tại vị trí (i,j) trong ma trận Ben có giá trị :


20

BEn (i, j )  (1) j i Cni Ci j

(2.7)

do đó C(t) có thể viết lại thành :
C(t) = Pow(t).Ben.PT

(2.8)

đối với đường cong Bezier bậc 3 ta có ma trận BE3 là :

1 0 0
 3 3 0
BE3  
 3 6 3

 1 3 3


0
0 
0

1

(2.9)

Vẽ đường cong Bezier

Để tạo ra một đường cong Bezier từ một dãy các điểm điều khiển ta sẽ
áp dụng phương pháp lấy mẫu hàm C(t) ở các giá trị cách đều nhau của tham
số t, chẳng hạn có thể lấy ti = i/n, i = 0, 1, …, n. Khi đó ta sẽ được các điểm
C(ti) từ công thức Bezier.
Nối các điểm này bằng các đoạn thẳng ta sẽ được đường cong Bezier
gần đúng. Để tính C(ti) ta có thể áp dụng ma trận C(t) ở công thức (2.8) trong
đó chỉ có thành phần Pow(ti) là thay đổi, còn tích Ben.PT với P = (P0, P1, P2,…,
Pn) là không đổi [3].



Các tính chất của đường cong Bezier

Đường cong Bezier có các tính chất :
 Nội suy các điểm đầu và cuối : C(0) = P0 và C(1) = Pn .
 Tính bất biến affine : Khi biến đổi một đường cong Bezier, ta
không cần biến đổi mọi điểm riêng rẽ trên đường cong mà chỉ cần
biến đổi các điểm điều khiển của đường cong đó rồi sử dụng công
thức Bernstein để tái tạo lại đường cong đã được biến đổi.
 Tính chất của bao lồi : Đường cong Bezier P(t) không bao giờ đi
ra ngoài bao lồi của nó. Ở đây, bao lồi của các điểm điều khiển là
tập đỉnh nhỏ nhất chứa tất cả các điểm điều khiển đó.


21

 Độ chính xác tuyến tính : Đường cong Bezier có thể trở thành một
đường thẳng khi tất cả các điểm điều khiển nằm trên một đường
thẳng vì khi đó bao lồi của chúng là một đường thẳng.
 Bất kỳ một đường thẳng hay mặt phẳng nào cũng luôn luôn cắt
đường cong Bezier ít lần hơn so với cắt đa giác kiểm soát.
 Đạo hàm của đường cong Bezier là một đường cong Bezier khác.
 Bậc của đường cong Bezier tăng cùng với số điểm điều khiển, cụ
thể đường cong Bezier C(t) với (n+1) điểm điều khiển là một đa
thức bậc n của t. Do đó khi số điểm điều khiển lớn quá trình tính
toán sẽ trở lên phức tạp.
2.1.2. Mặt cong Bezier
Ta có thể dùng các hàm trộn Bezier để mô tả và vẽ các mặt cong. Đối
với các mặt cong, ta biểu diễn chúng dưới dạng tham số qua một hàm vector

với 2 tham số là u, v. Dạng tổng quát của một mặt cong là [4] :
S(u, v) = (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v))
< = > S(u, v) = X(u, v).i + Y(u, v).j + Z(u, v).k

(2.10)

khi u, v biến thiên trên một khoảng nào đó thì các hàm X(u, v), Y(u, v)
và Z(u, v) thay đổi giá trị, dó đó làm cho vị trí của S(u, v) thay đổi trong
không gian 3 chiều.
Ở đây, ta sẽ không biểu diễn các mặt cong bằng các hàm toán học
tường minh mà sẽ biểu diễn chúng thông qua các điểm điều khiển. Chẳng
hạn :
S(u, v) = (1 - v).((1 - u).P00 + u.P10) + v.((1 - u).P01 + u.P11) dùng 4 điểm
điều khiển ở 4 góc là Pij với các hàm trộn là tuyến tính theo u, v.
Đường cong Bezier trong không gian 3 chiểu có thể được viết dưới
dạng là một hàm của tham số v với K+1 điểm điều khiển tùy thuộc vào tham
số u theo một cách nào đó. Chẳng hạn :


22
K

C (u, v )   Pi (u ) Bi ,n (v)

(2.11)

i 0

nghĩa là mỗi đường viền u là một đường cong Bezier chuẩn, nhưng ở
những giá trị u khác nhau thì các điểm điều khiển cũng nằm ở những vị trí

khác nhau [4].
Khi u biến thiên thì mỗi điểm điều khiển Pi(u) sẽ chạy trên một đường
cong cụ thể. Do đó, mặt cong có thể xem như là một sự dịch chuyển hay trượt
đường Bezier trong không gian.
Ta tưởng tượng một đa giác kiểm soát chuyển động trong không gian và
thay đổi dạng khi chuyển động. Ở mỗi vị trí, đa giác này tạo nên một đường
cong Bezier và do đó tạo thành mặt cong trong quá trình trượt. Giả sử ta có
một mảng (n+1)(k+1) phần tử. Các điểm điều khiển Pij, với 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ k
gọi là khối đa diện kiểm soát (control polyhedron). Khi đó các điểm trên mặt
cong Bezier S được tính theo công thức :
n

k

S (u, v)   Pij Bi ,n (u ) B j ,k (v)

(2.12)

i  0 j 0

Ta gọi đây là dạng tích Tensor cho băng Bezier.
Để có mặt cong Bezier từ các đường cong Bezier ta coi mảng
(n+1)(k+1) các điểm điều khiển Pij như là (n+1) mảng một chiều khác nhau,
mỗi mảng gồm (k+1) điểm điều khiển. Xây dựng đường cong Bezier từ (n+1)
mảng điểm điều khiển đó ta sẽ được (n+1) đường cong Bezier. Ta ký hiệu
đường cong tương ứng với mảng điểm điều khiển thứ i là Ci, 0 ≤ i ≤ n và
phương trình tham số của Ci là Ci(v), 0 ≤ i ≤ 1.
Nói cách khác với mỗi giá trị 0 ≤ v ≤ 1 ta có (n+1) điểm nằm tương ứng
trên các đường cong Ci, ta ký hiệu tập các điểm đó là {Ci(v)}, i = 0, 1, …, n.
Nếu ta tiếp tục sử dụng (n+1) điểm đó làm đa giác kiểm soát ta sẽ thu được

một đường cong Bezier. Có thể tưởng tượng rằng khi v tăng từ 0 đến 1 ta sẽ


23

thu được một lưới các đường cong Bezier, đó chính là mặt cong Bezier như
minh họa trong (Hình 2.2).
P30

C3(v)

C2(v)

P20

C3

P32
P31

P33
P21

P22

C2

C1(v)

P10

P23
P11

C1

P12

P13

P00
C0(v)
P01

P02

P03

Cn
V

Hình 2.2: Mặt cong Bezier
2.2.

Đường cong B-spline

2.2.1 Hàm cơ sở B-spline
Cho trước một Vector nút T=(t0, ti, …, tz) với ti  R, ti ≤ ti+1, khi đó tồn
tại một họ các hàm trộn sao cho chúng có thể phát sinh ra mọi đường cong
spline được định nghĩa trên Vector nút đó. Một họ các hàm như vậy được gọi

là cơ sở cho Spline, nghĩa là bất kỳ đường cong spline nào cũng có thể được
đưa về cùng một công thức bằng cách chọn kiểu đa giác kiểm soát phù hợp.
Với mỗi vector có nhiều họ hàm như vậy, nhưng đặc biệt có một họ hàm
trộn có đoạn mang giá trị khác 0 nhỏ nhất đó là Basic Spline (Được viết tắt là
B-spline). Đối với các hàm B-spline, mỗi đa thức riêng phần tạo ra nó có một
bậc m nào đó. Do đó, thay vì dùng ký hiệu Ri(t) như trong phương trình
n

đường cong spline: C (t )   PR
cho các hàm từng mẩu này ta sẽ ký
i i (t )
i0


24

hiệu các hàm trộn này là Nk,m(t). Khi đó, một đường cong B-spline bậc m-1
được xây dựng dựa trên vector nút T và (n+1) điểm điều khiển Pi có dạng:
n

C (t )   PP
i i , m (t )

(2.13)

i 0

trong đó:
Ni,m(t) gọi là hàm Cox-de Boor hay hàm cơ sở B-spline có cấp m (order
m) và bậc (m-1) (degree m-1) là phương pháp chuẩn để định nghĩa hàm cơ

sở B-spline. Ni,m(t) được cho bởi công thức đệ quy sau:

1 Nếu ti ≤ t ≤ ti+1
N i ,1 (t )  
0 Với t còn lại
N i ,1 (t ) 

t  ti
t t
N i ,m 1 (t )  i  m
N i 1,m 1 (t )
ti  m 1  ti
ti  m  ti 1

(2.14)

i=0, 1, …, n.
Ta sẽ khảo sát hàm này để hiểu rõ tính chất hình học của chúng.
Đặt  là khoảng cách giữa hai điểm nút.

i  ti 1  ti
khi đó khoảng cách từ nút thứ i đến nút thứ i+k là
với m=2, ta có:

Ni ,2 (t ) 

t  ti
t t
N i ,1 (t )  i  2
Ni 1,1 (t ) 

ti 1  ti
ti  2  ti 1

(2.15)


25

 t  ti
  ,
i

t  t
  i2 ,
  i 1
 0,



Với ti ≤ t ≤ ti+1

Với ti+1 ≤ t ≤ ti+2

(2.16)

Với các giá trị t khác

Ta có hình biểu diễn đường cong B-spline như trong (hình 2.3):

Hình 2.3: Đường cong B-spline

Việc xác định các Vector nút sẽ phụ thuộc vào sự phân loại của chính
bản thân chúng và điều đó sẽ ảnh hưởng đến hình dạng của đường cong được
mô tả. Có các loại đường cong như sau[5]:
 Đều tuần hoàn

(Uniform)

 Không tuần hoàn (Open or unperodic)