Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HỒ VŨ

CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN MỜ NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tp. Hồ Chí Minh- Năm 2016


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TpHCM.

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Đình Phư
PGS.TS. Lê Sĩ Đồng

Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Huy Tuấn
Phản biện 2: TS. Trần Minh Thuyết
Phản biện 3: TS. Nguyễn Tiến Dũng
Phản biện độc lập 1: TS. Trần Minh Thuyết
Phản biện độc lập 2: TS. Trần Thanh Tùng

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại
Đại học Khoa học Tự nhiên TpHCM vào lúc
giờ

ngày
tháng
năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
-

Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM
Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên


Tổng quan vấn đề
Phương trình vi phân mờ (Fuzzy differential equation) đã được nghiên cứu đầu tiên
bởi Kaleva [20] dựa vào khái niệm đạo hàm Hukuhara. Kaleva đã thiết lập những
khái niệm cơ bản, chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
cho phương trình vi phân mờ dưới điều kiện Lipschitz, đặt nền móng cho các nghiên
cứu về sau. Ngoài ra, trong cùng giai đoạn này, phương trình vi phân với điều kiện
đầu mờ cũng được nghiên cứu bởi Seikkla [44], Wang và Wu [48] .
Trong gần một thập kỷ trở lại đây, lĩnh vực phương trình vi phân mờ đã phát triển
hết sức mạnh mẽ, thu hút được nhiều nhà khoa học trên thế giới. Nhìn chung việc
nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm cho phương trình vi phân mờ dựa
vào khái niệm khả vi Hukuhara đã thu được khá nhiều thành tích đáng kể. Chúng
ta có thể tham khảo các kết quả nghiên cứu đầy đủ hơn trong các cuốn sách chuyên
khảo [10, 47]. Tuy nhiên khái niệm khả vi Hukuhara có nhược điểm là bán kính tập
mức của hàm khả vi Hukuhara tăng dần theo biến thời gian. Vì vậy khái niệm khả vi
Hukuhara không thích hợp để nghiên cứu các biểu diễn tiệm cận nghiệm hoặc các
bài toán biên tuần hoàn. Để khắc phục nhược điểm trên, Bede và các đồng nghiệp
[7] đã xây dựng khái niệm khả vi Hukuhara tổng quát dựa trên hiệu Hukuhara
tổng quát. Khái niệm này cho phép bán kính của tập mức của nghiệm có thể giảm
theo biến thời gian hoặc có thể tồn tại các điểm chuyển giữa các phần bán kính

tăng hay giảm. Việc nghiên cứu các lớp hàm giá trị tập hoặc giá trị mờ dưới tính
khả vi Hukuhara tổng quát đã tạo ra một số lĩnh vực nghiên cứu mới cho lý thuyết
phương trình vi phân mờ trong các không gian giải tích trừu tượng, đó là sự tồn
tại và tính duy nhất của các dạng nghiệm khi xét tính khả vi theo các nghĩa khác
nhau, điểm chuyển giữa các dạng nghiệm, các điều kiện đủ để nghiệm khả vi theo
các nghĩa khác nhau,. . . . Một số kết quả nghiên cứu đạt được gần đây có thể kể đến
như: Allahviranloo và các đồng nghiệp [1, 3, 4, 5, 6], Khastan và các đồng nghiệp
[22, 23], Nieto và các đồng nghiệp [37, 38], . . . . Trong những năm gần đây có
nhiều nhà toán học trong nước quan tâm nghiên cứu lĩnh vực phương trình vi phân
mờ và cũng đã đạt được những kết quả nghiên cứu rất tốt, đóng góp thiết thực cho

1


sự phát triển cho lĩnh vực nghiên cứu non trẻ này. Chẳng hạn, Nguyễn Đình Phư
và các cộng sự [41, 42], Ngô Văn Hòa [17, 18], Trần Thanh Tùng [46], Hoàng Việt
Long, Nguyễn Thị Kim Sơn, Lê Hoàng Sơn, . . . [27, 28, 29].
Cùng với với sự phát triển lớp phương trình vi phân mờ, lớp phương trình vi phân
có tích hợp hai yếu tố không chắc chắn gồm tính mờ và tính ngẫu nhiên cũng được
các nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Chẳng hạn như: Fei [12, 13, 14], Feng
[15, 16], Li và các đồng nghiệp [26], Malinowski [30, 31, 33, 34], Agarwal và các
đồng nghiệp [35], Michta [36], Ojha và các đồng nghiệp [39], Zhao và các đồng
nghiệp [49], . . . . Trong [16], Feng đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên dưới điều kiện Lipschitz dựa vào
Định lý điểm bất động Banach và tính ổn định của nghiệm khi các hệ số, điều kiện
đầu bị nhiễu trong phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên bằng cách sử dụng các khái
niệm đạo hàm trung bình bình phương, tích phân trung bình bình phương, liên tục
trung bình bình phương, . . . được giới thiệu bởi chính tác giả [15].
Hiện nay, việc sử dụng các công cụ giải tích mờ (thay vì sử dụng các khái niệm của
Feng [15] và Fei [11]) để nghiên cứu lớp phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên đã

được nhiều nhà toán học quan tâm. Trong [31, 32, 34], Malinowski đã chứng minh
được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của lớp phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên
(Random fuzzy differential equation) dưới một vài điều kiện thích hợp. Một số tính
chất (bị chặn, ổn định, . . . ) của nghiệm cũng được xem xét. Park và Jeong [40] đã
chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của lớp phương trình vi phân mờ
ngẫu nhiên có trễ.
Tiếp tục những kết quả của các tác giả trên, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất
định tính cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên, phương trình vi-tích phân mờ
ngẫu nhiên và phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ. Đó chính là nội
dung của đề tài Luận án này.
Luận án sử dụng các công cụ của giải tích mờ để nghiên cứu một số tính chất định
tính (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, tính bị chặn, tính ổn định,. . . ) và định
lượng của nghiệm đối với một số lớp phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên. Xây
dựng các lược đồ xấp xỉ nghiệm dạng Picard và phương pháp giải nghiệm dạng giải
tích cho các lớp phương vi (tích) phân mờ ngẫu nhiên. Phương pháp nghiên cứu
chủ đạo trong đề tài Luận án là các phương pháp xấp xỉ nghiệm để xây dựng dãy
xấp xỉ Picard, sử dụng một số quy trình tìm nghiệm mờ theo nguyên lý mở rộng
của Zadeh, phát triển một số thuật toán trong cổ điển nhằm để giải số cho các lớp
phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên và các lớp bài toán liên quan như phương
pháp Euler, Runge-Kutta, phương pháp Adomian, phương pháp Adams-Bashforth-

2


Moulton, . . . . Cụ thể, Luận án nghiên cứu một số tính chất định tính của nghiệm
cho một vài lớp phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên theo các hướng sau: (1)
Phân tích và viết công thức nghiệm cho lớp phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên
tuyến tính dưới đạo hàm Hukuhara. (2) Nghiên cứu các tính chất định tính của
nghiệm (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, tính bị chặn, tính ổn định) của các lớp
phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên dưới đạo hàm Hukuhara tổng quát. Với mỗi

lớp phương trình, chúng tôi sẽ đề xuất phương pháp giải nghiệm tương ứng.
Luận án được cấu trúc như sau: Tổng quan vấn đề, nội dung chính của Luận án (4
chương), kết luận, danh mục công trình của tác giả và tài liệu tham khảo.
Nội dung chính của Luận án gồm 4 chương sau: Chương 1. Cơ sở toán học.Trình
bày các kiến thức cần sử dụng trong luận án: bao gồm các khái niệm về tập, mờ
và mờ ngẫu nhiên. Các kết quả và chứng minh chi tiết của nó có thể được tìm
thấy trong sách chuyên khảo của Lakshmikantham và Mohapatra [47], Diamond và
Kloeden [10] và các bài báo của Puri và Ralescu [43], Bede và Gal [7], . . . . Chương
2. Công thức nghiệm của phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên. Phân tích và
xây dựng công thức nghiệm cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên tuyến tính.
Kết quả trong chương này đã được công bố trong bài báo [V1]. Chương 3. Phương
trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
lớp phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên dưới đạo hàm mờ được giới thiệu bởi
Bede và Gal [45] và vế phải của bài toán thỏa mãn điều kiện tổng quát hơn điều
kiện Lipschitz thông thường. Một vài tính chất (ổn định, so sánh) của nghiệm cũng
được xem xét. Ngoài ra, chúng tôi xây dựng phương pháp giải nghiệm phương trình
vi-tích phân mờ ngẫu nhiên dạng Volterra. Kết quả trong chương này đã được công
bố trong bài báo [V2]. Chương 4. Phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có
trễ. Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi-tích phân
mờ ngẫu nhiên có trễ. Một vài tính chất (ổn định, so sánh) của nghiệm cho phương
trình vi tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ cũng được xem xét. Ngoài ra, chúng tôi xây
dựng phương pháp giải cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ dạng
Volterra dựa vào nhát cắt-0 và nhát cắt -1. Kết quả trong chương này đã được công
bố trong bài báo [V3].
Các kết quả chính của Luận án được viết dựa trên 3 bài báo [V1]-[V3], đăng ở tạp
chí uy tín trong lĩnh vực Lý thuyết tập mờ (Fuzzy Set Theory) và các kết quả đã báo
cáo, thảo luận tại Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 8 (Nha Trang, 8/2013), . . . .

3

Chương 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1. Một số kiến thức về không gian Rd
1.1.1. Họ các tập con lồi, compact và không rỗng của Rd
Cho A, B ⊂ Rd và λ ∈ R, phép cộng Minkowski và phép nhân vô hướng được định
nghĩa như sau:
A + B = { a + b : a ∈ A, b ∈ B}; λA = {λa : a ∈ A}.
Ta ký hiệu Kcc (Rd ) là họ các tập con lồi, compact và không rỗng của Rd .
Định nghĩa 1.1. Cho A, B ∈ Kcc (Rd ). Nếu tồn tại tập con C ∈ Kcc (Rd ) sao cho
A = B + C thì ta nói C là hiệu Hukuhara giữa A và B. Ta ký hiệu C = A B.
Chú ý 1.1. Cho A, B ∈ Kcc (Rd ), ta có A

A = θ và A

B = A + (−1) B.

Định nghĩa 1.2. (xem Lakshmikantham, Bhaska và Devi [25]) Cho A, B là hai tập
con lồi, compact và không rỗng của Rd . Khoảng cách Hausdorff từ A đến B được
định nghĩa: d H ( B, A) = sup inf || a − b|| và khoảng cách Hausdorff từ B đến A được
b∈ B,a∈ A

định nghĩa như sau: d H ( A, B) = sup inf || a − b||, trong đó || · || là chuẩn Euclide
a∈ A,b∈ B

thông thường trong

Rd .

Định nghĩa 1.3. (xem Lakshmikantham, Bhaska và Devi [25]) Cho A, B ∈ Kcc (Rd ).
Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B được định nghĩa như sau: D [ A, B] =
max{d H ( B, A), d H ( A, B)}, trong đó d H là khoảng cách Hausdorff trong Rd .

1.2. Một số kiến thức về không gian mờ Ed
1.2.1. Không gian mờ Ed
Ký hiệu Ed = { x : Rd → [0, 1] | x thỏa (i) - (iv) bên dưới}.

4


i) x là chuẩn, nghĩa là tồn tại u0 ∈ Rd sao cho x (u0 ) = 1;
ii) x là mờ lồi, nghĩa là x (λu1 + (1 − λ)u2 ) ≥ min{ x (u1 ), x (u2 )}, với bất kỳ
u1 , u2 ∈ Rd , ∀λ ∈ [0, 1];
iii) x nửa liên tục trên;
iv) {u ∈ Rd : x (u) > 0} là tập compact.
Khi đó, Ed được gọi là họ các tập mờ. Trong trường hợp d = 1, E1 được gọi là họ
các số mờ.
Định nghĩa 1.4. (xem Diamond và Kloeden [10]) Cho x ∈ Ed . Với α ∈ (0, 1], ta
ký hiệu: [ x ]α = {u ∈ Rd | x (u) ≥ α} ∈ Kcc (Rd ) và [ x ]0 = {u ∈ Rd | x (u) > 0} ∈
Kcc (Rd ). Ta gọi [ x ]α là nhát cắt−α của tập mờ x, [ x ]1 là lõi của tập mờ x, [ x ]0 là giá
của tập mờ x.
Tính chất 1.1. (xem Diamond và Kloeden [10]) Với mọi 0 ≤ α ≤ β ≤ 1, ta có
[ x ] β ⊆ [ x ]α ⊆ [ x ]0 , với x ∈ Ed .
Định nghĩa 1.5. (xem Diamond và Kloeden [10]) Cho x, y ∈ Ed . Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập mờ x và y được xác định bởi
D0 [ x, y] = sup D ([ x ]α , [y]α ),
α∈[0,1]

trong đó D là khoảng cách Pompeiu-Hausdorff trong Kcc (Rd ).
Định lý 1.1. (xem Diamond và Kloeden [10]) ( Ed , D0 ) là không gian mêtric đầy đủ.

Tính chất 1.2. (xem Diamond và Kloeden [10]) Cho x, y, z, w ∈ Ed và λ ∈ R, ta có
(i) với mọi x, y, z ∈ Ed , D0 [ x + z, y + z] = D0 [ x, y];
(ii) với mọi x, y ∈ Ed , λ ∈ R, D0 [λx, λy] = |λ| D0 [ x, y];
(iii) với mọi x, y, z, w ∈ Ed , D0 [ x + y, z + w] ≤ D0 [ x, z] + D0 [y, w].

1.2.2. Giải tích mờ
Tính chất 1.3. (xem Diamond và Kloeden [10]) Cho các hàm mờ f , g : [ a, b] → Ed
khả tích trên [ a, b] và λ ∈ R+ . Khi đó,
i)

b
a ( f (t) +

ii)

b
a λ f ( t ) dt

g(t))dt =

=λ

b
a

b
a

f (t)dt +

b
a

g(t)dt,

f (t)dt,

iii) D0 [ f , g] khả tích và D0

b
a

f (t)dt,

b
a

5

g(t)dt ≤

b
a

D0 [ f (t), g(t)]dt.


Định nghĩa 1.6. (Hukuhara [19]) Cho x, y ∈ Ed . Nếu tồn tại z ∈ Ed sao cho
x = y + z thì z được gọi là hiệu Hukuhara giữa x và y. Ký hiệu x y. Ta chú ý rằng
x y = x + (−1)y.

Định nghĩa 1.7. (xem Chalco-Cano và Román-Flores [9]) Cho f : ( a, b) → Ed và
g
t0 ∈ ( a, b). Ta nói f có đạo hàm Hukuhara tổng quát tại t0 nếu tồn tại D H f (t0 ) ∈ Ed
sao cho
(i) với h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara f (t0 + h)
và
f ( t0 + h ) f ( t0 )
f ( t0 )
= lim
lim
h
h →0+
h →0+
hoặc

f (t0 ) và f (t0 )

f (t0 − h) tồn tại

f ( t0 − h )
g
= D H f ( t0 )
h

(ii) với h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara f (t0 ) f (t0 + h) và f (t0 − h) f (t0 ) tồn tại
và
f ( t0 − h ) f ( t0 )
f ( t0 ) f ( t0 + h )
g
= lim

= D H f ( t0 ).
lim
−h
−h
h →0+
h →0+
Ở đây, các giới hạn trên đây được lấy trong không gian ( Ed , D0 ).

1.2.3. Trường hợp E1
Định nghĩa 1.8. (xem Ahmad và các đồng nghiệp [2], Diamond và Kloeden [10])
Cho f : [ a, b] → E1 . Đường kính của f là hàm diam([ f (·)]α ) : [ a, b] → R+ được
xác định bởi: diam([ f (t)]α ) = f αr (t) − f αl (t), trong đó [ f (t)]α = [ f αl (t), f αr (t)] với mỗi
α ∈ [0, 1].
Định lý 1.2. (xem Ahmad và các đồng nghiệp [2], Diamond và Kloeden [10]) Cho
f : [ a, b] → E1 và ký hiệu [ f (t)]α = [ f αl (t), f αr (t)] với mỗi α ∈ [0, 1]
1) Nếu diam([ f (t)]α ) tăng theo t và f αl (t), f αr (t) khả vi thì f khả vi-(i).
2) Nếu diam([ f (t)]α ) giảm theo t và f αl (t), f αr (t) khả vi thì f khả vi-(ii).
Định lý 1.3. (xem Nieto, López và Franco [38]) Cho x, y ∈ E1 và λ > 0. Khi đó, với
mỗi α ∈ [0, 1],
i) diam([ x + y]α ) = diam([ x ]α ) + diam([y]α ); ii) diam([λx ]α ) = λdiam([ x ]α ).
Định lý 1.4. ( xem Chalco-Cano và Román-Flores [9], Kaleva [20]) Cho f : [ a, b] →
E1 và ký hiệu [ f (t)]α = [ f αl (t), f αr (t)] với mỗi α ∈ [0, 1], t ∈ [ a, b].
g

1) Nếu f khả vi-(i) thì f αl (t) và f αr (t) khả vi và [ D H f (t)]α = [( f αl (t)) , ( f αr (t)) ].
g

2) Nếu f khả vi-(ii) thì f αl (t) và f αr (t) khả vi và [ D H f (t)]α = [( f αr (t)) , ( f αl (t)) ].

6

1.3. Quá trình mờ ngẫu nhiên
Cho không gian xác suất đầy đủ (Ω, A, P).

1.3.1. Quá trình ngẫu nhiên giá trị tập
Định nghĩa 1.9. (xem Diamond và Kloeden [10]) Ánh xạ X : Ω → Kcc (Rd ) được
gọi là biến ngẫu nhiên giá trị tập nếu

{ω ∈ Ω : X (ω ) ∩ C = ∅} ∈ A, với mỗi tập đóng C ⊂ Rd .
Định nghĩa 1.10. xem (Diamond và Kloeden [10]) Ánh xạ X : [ a, b] × Ω → Kcc (Rd )
được gọi là quá trình ngẫu nhiên giá trị tập nếu X (t, ·) : Ω → Kcc (Rd ) là biến ngẫu
nhiên giá trị tập với mọi t ∈ [ a, b].

1.3.2. Biến ngẫu nhiên mờ
1.3.3. Quá trình mờ ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.11. (Puri và Ralescu [43]) Ánh xạ x : [ a, b] × Ω → Ed được gọi là quá
trình mờ ngẫu nhiên nếu x (t, ·) : Ω → Ed là biến ngẫu nhiên mờ với mọi t ∈ [ a, b].
Định nghĩa 1.12. (Puri và Ralescu [43]) Ánh xạ x : [ a, b] × Ω → Ed được gọi là liên
tục nếu với hầu hết ω ∈ Ω, quỹ đạo x (·, ω ) là hàm số liên tục trên [ a, b] đối với
khoảng cách Pompeiu-Hausdorff D0 .

1.3.4. Định nghĩa hầu chắc chắn
Định nghĩa 1.13. (xem Malinowski [30]) Hai biến ngẫu nhiên mờ x và y được gọi
là bằng nhau hầu chắc chắn (viết gọn h.c.c hoặc P.1) nếu tồn tại Ω0 ⊂ Ω sao cho
P.1
P(Ω0 ) = 1 và x (ω ) = y(ω ) với mọi ω ∈ Ω0 . Khi đó ta viết x (ω ) = y(ω ) hoặc
x (ω ) = y(ω ) với P.1.
Định nghĩa 1.14. (xem Malinowski [30]) Hai quá trình mờ ngẫu nhiên x (t, ω ) và
y(t, ω ) được gọi là bằng nhau hầu chắc chắn (viết gọn h.c.c hoặc P.1) nếu tồn tại

Ω0 ⊂ Ω sao cho P(Ω0 ) = 1 và x (t, ω ) = y(t, ω ) với mọi ω ∈ Ω0 , t ∈ [ a, b]. Khi đó
ta viết x (ω )

[ a,b], P.1

=

y(ω ) hoặc x (t, ω ) = y(t, ω ) với mọi t ∈ [ a, b], với P.1.

Các bất đẳng thức xảy ra hầu chắc chắn giữa hai biến ngẫu nhiên mờ hoặc hai quá
trình mờ ngẫu nhiên được định nghĩa tương tự như Định nghĩa 1.13 hoặc Định
nghĩa 1.14. Ngoài ra, để thuận tiện, nếu biến ngẫu nhiên a(ω ) có giá trị trong [ a, b]
P.1

hầu chắc chắn thì ta viết gọn thành a(ω ) ∈ [ a, b].

7


Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ NGẪU
NHIÊN
2.1. Phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên
Chúng tôi phân tích và viết công thức nghiệm cho phương trình vi phân mờ ngẫu
nhiên tuyến tính dạng sau:
(I) D H x (t, ω ) + p(ω ) x (t, ω )
(II) D H x (t, ω )
(III) D H x (t, ω )

[0,b], P.1

=

[0,b], P.1

=

[0,b], P.1

=

q(t, ω ),

− p(ω ) x (t, ω ) + q(t, ω ),
p(ω ) x (t, ω ) + q(t, ω ),

(IV) D H x (t, ω ) − p(ω ) x (t, ω )

[0,b], P.1

=

q(t, ω ),

P.1

với điều kiện ban đầu x (0, ω ) = x0 (ω ) ∈ E1 , trong đó x, q : [0, b] × Ω → E1 là hai
quá trình mờ ngẫu nhiên , p : Ω → R+ là biến ngẫu nhiên giá trị thực sao cho
P.1

p(ω ) ∈ [ p1 , p2 ] với p1 , p2 là hai hằng số dương và p1 < p2 .

2.2. Công thức nghiệm của bài toán (I)
Xét bài toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên sau:

[0,b], P.1

D H x (t, ω ) + p(ω ) x (t, ω ) = q(t, ω ),
(2.1)
 x (0, ω ) P.1
= x ( ω ),
0

trong đó, x, q : [0, b] × Ω → E1 là hai quá trình mờ ngẫu nhiên , p : Ω → R+ là
P.1

biến ngẫu nhiên giá trị thực sao cho p(ω ) ∈ [ p1 , p2 ] với p1 , p2 là hai hằng số dương
và p1 < p2 .

8


Định lý 2.1. Bài toán (2.1) có nghiệm duy nhất x : [0, b] × Ω → E1 được xác định
bởi
x (t, ω )

[0,b], P.1

=

t

x0 ( ω ) χ { e − p(ω )t } +

0

q(s, ω )χ{e− p(ω)(s−t) } ds

(2.2)

nếu với mỗi t ∈ [0, b], tồn tại một số δ > 0 sao cho hiệu Hukuhara x (t + h, ω )
x (t, ω ) và x (t, ω ) x (t − h, ω ) tồn tại, với mọi 0 < h < δ, với mỗi ω ∈ Ω.

2.3. Công thức nghiệm của bài toán (II)
Xét bài toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên sau:

[0,b], P.1

D H x (t, ω ) = − p(ω ) x (t, ω ) + q(t, ω ),
(2.3)
 x (0, ω ) P.1
= x ( ω ),
0

trong đó x, q : [0, b] × Ω → E1 là hai quá trình mờ ngẫu nhiên , p : Ω → R+ là biến
P.1

ngẫu nhiên giá trị thực sao cho p(ω ) ∈ [ p1 , p2 ] với p1 , p2 là hai hằng số dương và
p1 < p2 .

Định lý 2.2. Nghiệm duy nhất x (t, ω ) của bài toán điều kiện ban đầu (2.3) trên [0, b]
được có dạng sau: với mỗi α ∈ [0, 1],

[ x (t, ω )]α = [ Lα (t, ω ), Uα (t, ω )],
trong đó
Lα (t, ω ) = −

e p(ω ) t
diam([ x0 (ω )]α ) +
2

+

t
0

(qrα (s, ω ) − qlα (s, ω ))e− p(ω )s ds

e− p(ω ) t l
r
x0,α + x0,α
+
2

t
0

l
r
( x0,α

+ x0,α
)e p(ω )s ds

và
Uα (t, ω ) =

e p(ω ) t
diam([ x0 (ω )]α ) +
2

+

t

(qrα (s, ω ) − qlα (s, ω ))e− p(ω )s ds

0
−
p
(
ω
)t
e

2

l
r
+
x0,α

+ x0,α

t
0

r
l
)e p(ω )s ds ,
( x0,α
+ x0,α

với mỗi (t, ω ) ∈ [0, b] × Ω.

2.4. Công thức nghiệm của bài toán (III)
Xét bài toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên như sau:

[0,b], P.1

D H x (t, ω ) = p(ω ) x (t, ω ) + q(t, ω ),
(2.4)
 x (0, ω ) P.1
= x0 ( ω ),

9


trong đó x, q : [0, b] × Ω → E1 là hai quá trình mờ ngẫu nhiên , p : Ω → R+ là biến
P.1

ngẫu nhiên giá trị thực sao cho p(ω ) ∈ [ p1 , p2 ] với p1 , p2 là hai hằng số dương và

p1 < p2 .
Định lý 2.3. Nghiệm duy nhất x : [0, b] × Ω → E1 của bài toán (2.4) được cho bởi
x (t, ω )

[0,b], P.1

=

t

x0 ( ω ) χ { e p(ω )t } +

q(s, ω )χ{e p(ω)(t−s) } ds.

0

(2.5)

2.5. Công thức nghiệm của bài toán (IV)
Xét bài toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên như sau:

[0,b], P.1

D H x (t, ω ) − p(ω ) x (t, ω ) = q(t, ω ),
(2.6)
 x (0, ω ) P.1
= x ( ω ),
0

trong đó x, q : [0, b] × Ω → E1 là hai quá trình mờ ngẫu nhiên , p : Ω → R+ là biến

P.1

ngẫu nhiên giá trị thực sao cho p(ω ) ∈ [ p1 , p2 ] với p1 , p2 là hai hằng số dương và
p1 < p2 .
Định lý 2.4. Với mỗi α ∈ [0, 1],

[ x (t, ω )]α = [ Lα (t, ω ), Uα (t, ω )],
trong đó
Lα (t, ω )

[0,b], P.1

=

e− p(ω ) t
diam([ x0 ]α ) +
−
2

t
0

diam[q(s, ω )]α e− p(ω )s ds

e p(ω ) t l
r
+
x0,α + x0,α
+
2

t
0

l
r
( x0,α
+ x0,α
)e p(ω )s ds

và
Uα (t, ω )

[0,b], P.1

=

− e p(ω ) t
diam([ x0 (ω )]α ) +
2
+

t
0

diam[q(s, ω )]α e− p(ω )s ds

e p(ω ) t l
r
+

x0,α + x0,α
2

t
0

l
r
( x0,α
+ x0,α
)e p(ω )s ds .

Nếu Lα (t, ω ) không giảm theo α với P.1, Uα (t, ω ) không tăng theo α với P.1 và tồn
tại β > 0 sao cho hiệu Hukuhara x (t + h, ω ) x (t, ω ), x (t, ω ) x (t − h, ω ) tồn tại
với 0 < h < β, với P.1 thì x : [0, b] × Ω → E1 là nghiệm của bài toán điều kiện ban
đầu (2.3).

10


Kết luận chương 2
Các tính chất định tính của phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên đã được nhiều
nhà toán học quan tâm nghiên cứu như: Feng [15, 16], Fei [12, 13], Malinowski
[30, 31, 32, 34]. Tuy nhiên cấu trúc nghiệm cho lớp bài toán này ở dạng tuyến tính
chưa được giải quyết. Vì vậy, chúng tôi chọn vấn đề này để nghiên cứu trong chương
2 và kết quả đã được công bố trong bài báo [V1].
Áp dụng Định lý 1.4, Định nghĩa 1.5 và phương pháp giải phương trình vi phân mờ
được đề xuất bởi Kaleva [21], chúng tôi tìm được công thức nghiệm tổng quát cho
phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên tuyến tính. Kết quả đạt được Định lý 2.1, Định
lý 2.2, Định lý 2.3 và Định lý 2.4

Trong trường hợp x0 (ω ) ∈ R, q(t, ω ) là quá trình ngẫu nhiên giá trị thực liên tục.
Bài toán (I) tương đương với bài toán (II) và nghiệm tổng quát của bài toán (I)
hoặc (II) là một quá trình ngẫu nhiên giá trị thực và được xác định như sau:
x (t, ω )

[0,b], P.1

=

x0 ( ω ) e − p ( ω ) t +

t
0

q(s, ω )e− p(ω )(s−t) ds.

Ngoài ra, nếu ta thay p(ω ) bởi − p(ω ) trong bài toán (III) thì ta thấy rằng nghiệm
của bài toán (III) tương đương với bài toán (I).
Nếu x0 (ω ) ∈ R, q(t, ω ) là quá trình ngẫu nhiên liên tục giá trị thực thì nghiệm của
các bài toán trở về nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên thường (xem
Ladde và Lakshmikantham [24], Bharucha-Reid [8]).

11


Chương 3

PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN MỜ NGẪU
NHIÊN
3.1. Phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên

Xét bài toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên như
sau:

t
],P.1

 D g x (t, ω ) [0,a=
f
(
t,
x
(
t,
ω
))
+
gω (t, s, x (s, ω ))ds,
ω
H
(3.1)
0

P.1

x (0, ω ) = x0 (ω ),
trong đó f : Ω × [0, a] × Ed → Ed và g : Ω × D × Ed → Ed với D = {(s, t) : 0 ≤ s ≤
t ≤ a }.
Định nghĩa 3.1. Ánh xạ x : [0, a] × Ω → Ed là nghiệm của bài toán điều kiện ban
đầu cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên (3.1) nếu x (t, ω ) khả vi-(i) (hoặc
khả vi-(ii)), liên tục và thỏa mãn

t

[0,a], P.1
g
D H x (t, ω ) = f ω (t, x (t, ω )) +

gω (t, s, x (s, ω ))ds.
0

Nghiệm x (t, ω ) của bài toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi-tích phân mờ
ngẫu nhiên (3.1) là duy nhất trên [0, a] nếu nó thỏa
D0 [ x (t, ω ), y(t, ω )]

[0,a], P.1

=

0,

trong đó y : [0, a] × Ω → Ed là nghiệm bất kỳ của bài toán điều kiện ban đầu cho
phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên (3.1).
Bổ đề 3.1. Giả sử f : Ω × [0, a] × Cσ → Ed và g : Ω × D × Ed → Ed thỏa mãn các
giả thiết (f1) và (f2). Quá trình mờ ngẫu nhiên x : [0, a] × Ω → Ed là nghiệm của

12


bài toán phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên (3.1) nếu và chỉ nếu x (t, ω ) là quá
trình mờ ngẫu nhiên liên tục và thỏa mãn 1 trong 2 phương trình tích phân mờ ngẫu
nhiên sau:

(S1) Nếu x khả vi - (i) thì
x (t, ω )

[0,a],P.1

=

t

x0 ( ω ) +

0

s

f ω (s, x (s, ω )) +

0

gω (s, u, x (u, ω ))du ds.

(S2) Nếu x khả vi - (ii) thì
x0 ( ω )

t

[0,b],P.1

= x (t, ω ) + (−1)

0

f ω (s, x (s, ω ))
s

+
0

gω (s, u, x (u, ω ))du ds .

trên [0, b], b < a.

3.2. Tính tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
điều kiện ban đầu cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên (3.1). Bây giờ, ta
đặt B( x0 , ρ) := {φ ∈ Ed : D0 [φ, x0 ] ≤ ρ}, ρ > 0 và cho f : Ω × [0, a] × B( x0 , ρ) →
Ed , g : Ω × D × B( x0 , ρ) → Ed , f ∗ : Ω × [0, a] × [0, ρ] → R+ và g∗ : Ω × D ×
[0, ρ] → R+ thỏa mãn các giả thiết sau:
(i) Ánh xạ f · (t, ϕ) : Ω → Ed và g· (t, s, ϕ) : Ω → Ed là biến ngẫu nhiên mờ với mọi
(t, ϕ) ∈ [0, a] × B( x0 , ρ), mọi (t, s, ϕ) ∈ D × B( x0 , ρ);
(ii) ánh xạ f ω (·, ·) : [0, a] × B( x0 , ρ) → Ed và gω (·, ·, ·) : D × B( x0 , ρ) → Ed là liên
tục với P.1;
(iii) tồn tại một hằng số M1 > 0 sao cho
D0 [ f ω (t, ϕ), 0ˆ ]

[0,a]× B( x0 ,ρ), P.1

≤

M1 ;

(iv) tồn tại một hằng số M2 > 0 sao cho
D0 [ gω (t, s, ϕ), 0ˆ ]

D× B( x0 ,ρ), P.1

≤

M2 ;

(v) f ·∗ (t, k ) : Ω → R+ và g·∗ (t, s, k) : Ω → R+ là biến ngẫu nhiên; f ω∗ (·, ·) :
∗ (·, ·, ·) : D × [0, ρ ] → R+ liên tục với P.1;
[0, a] × [0, ρ] → R+ và gω
∗ ( t, s, ·) là hàm không giảm;
(vi) f ω∗ (t, ·) và gω

(vii) f ω∗ (t, 0)

[0,a], P.1

≡

D , P.1

∗ ( t, s, 0) ≡ 0 ;
0 và gω

13

(viii) tồn tại các hằng số M3 , M4 > 0 sao cho
g∗ ω (t, s, k)

f∗

D×[0,ρ], P.1

≤

ω ( t, k )

[0,a]×[0,ρ], P.1

≤

M3 và

M4 ;

(ix) k(t, ω ) ≡ 0 là nghiệm duy nhất trên [0, a] của bài toán điều kiện ban đầu
[0,a], P.1
d
k(t, ω ) = f ω∗ (t, k(t, ω )) +
dt

t

P.1

∗

gω
(t, s, k(s, ω )),

k(0, ω ) = 0;

(3.2)

0

(x) với P.1, với mọi t ∈ [0, a], (t, s) ∈ D và ϕ, ψ ∈ B( x0 , ρ),
t

D0 f ω (t, ϕ) +

t

gω (t, s, ϕ)ds, f ω (t, ψ) +
0

gω (t, s, ψ)ds
0
t

≤

f ω∗ (t, D0 [ ϕ, ψ]) +

∗
gω
(t, s, D0 [ ϕ, ψ])ds.

0

Định lý 3.1. Giả sử f : Ω × [0, a] × B( x0 , ρ) → Ed , g : Ω × D × B( x0 , ρ) → Ed , ánh
xạ f ∗ : Ω × [0, a] × [0, ρ] → R+ và g∗ : Ω × D × [0, ρ] → R+ thỏa mãn các giả thiết
từ (i) - (x). Khi đó, bài toán (3.1) tồn tại duy nhất nghiệm-(S2) trên [0, b], b ≤ a, và
d
dãy nghiệm xấp xỉ { xn }∞
n=0 , xn : [0, a ] × Ω → E xác định bởi

t
[0,b],P.1


=

x
(
t,
ω
)
x
(
ω
)
(−
1
)
f ω (s, xn (s, ω ))ds
0
n +1




0

t s
+
gω (s, u, xn (u, ω ))duds , (3.3)



0 0



[0,b],P.1

x0 (t, ω ) = x0 (ω ),
được định nghĩa tốt (nghĩa là hiệu Hukuhara tồn tại) với bất kỳ n = 0, 1, 2, . . ., hội tụ
đều về nghiệm x (t, ω ) của bài toán (3.1) trên [0, b] với P.1.

3.3. Tính ổn định của nghiệm
Trong mục này, chúng tôi chứng minh nghiệm của bài toán (3.4) và nghiệm của bài
toán (3.5) là "gần nhau" trong trường hợp vế phải của hai bài toán có sự khác biệt.
Xét hai bài toán sau:

[0,a],P.1
g
t 1


(t, s, x (s, ω ))ds,
D H x (t, ω ) = f ω1 (t, x (t, ω )) + 0 gω
(3.4)
 x (t , ω ) P.1
= x (ω )
0

0

14


và




[0,a],P.1 2
2 ( t, s, x ( s, ω )) ds,
= f ω (t, x (t, ω )) + 0t gω
P.1
x ( t0 , ω ) = y0 ( ω ).
g

D H x (t, ω )

(3.5)

Định lý 3.2. Giả sử x (t, ω, x0 , f 1 , g1 ) và x (t, ω, y0 , f 2 , g2 ) lần lượt là nghiệm-(S2) của
bài toán (3.4) và (3.5) trên [0, a]. Giả sử tồn tại hai hằng số dương ε 1 , ε 2 sao cho

D0 f ω1 (t, A), f ω2 (t, A)

[0,a]× B( x0 ,ρ),P.1

≤

ε 1,

và
1
D0 gω
(t, s,

2
A ), gω
(t, s,

A)

D× B( x0 ,ρ),P.1

≤

ε 2.

Khi đó, ta có đánh giá sau
[0,a], P.1

a2
D0 x (t, ω, x0 , f , g ), x (t, ω, y0 , f , g )

β + aε 1 + ε 2
≤
2
L(ω )
× 1+
exp{ a( L(ω ) + 1)} ,
1 + L(ω )
1

1

2

2

trong đó β = D0 [ x0 , y0 ] và L(ω ) = max{supt∈[0,a] L1 (t, ω ), supt∈[0,a] L2 (t, ω )}.

Kết luận chương 3
Các kết quả chính trong chương này là:
1) Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của lớp phương trình vi tích
phân mờ ngẫu nhiên dưới đạo hàm mờ được giới thiệu bởi Bede và Gal [45]
và vế phải của bài toán thỏa mãn điều kiện tổng quát hơn điều kiện Lipschitz
thông thường. Kết quả đạt được Định lý 3.1, Định lý 3.2 và Bổ đề 3.1.
2) Chứng minh nghiệm của bài toán (3.4) và nghiệm của bài toán (3.5) là "gần
nhau" trong trường hợp vế phải của hai bài toán có sự khác biệt. Ngoài ra,
chúng tôi đã chứng minh khoảng cách giữa nghiệm của phương trình vi-tích
phân mờ ngẫu nhiên với điều kiện ban đầu khác nhau, bị chặn bởi nghiệm
cực đại của bài toán (3.2). Phương pháp giải nghiệm cho phương trình vi-tích
phân mờ ngẫu nhiên dạng Volterra cũng được giới thiệu.
3) Trong trường hợp gω (t, s, x (s, ω )) = 0, chúng tôi nhận được các kết quả như

trong Malinowski [31, 34] và tổng quát hơn các kết quả của Fei [12, 13].
4) Kết quả đạt được trong chương này, đã được tác giả công bố trong bài báo
[V2].

15


Chương 4

PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN MỜ NGẪU
NHIÊN CÓ TRỄ
Giả sử σ là một số thực không âm. Ký hiệu Cσ = C ([−σ, 0], Ed ) là không gian các
hàm mờ liên tục từ [−σ, 0] vào Ed và khoảng cách Pompeiu- Hausdorff trong không
gian Cσ được định nghĩa như sau:
Dσ [ x, y] = sup D0 [ x (t), y(t)].
t∈[−σ,0]

Cho x ∈ C ([−σ, 0], Ed ). Với mỗi t ∈ [0, a], xt ∈ Cσ được định nghĩa như sau xt (s) =
x (t + s) với s ∈ [−σ, 0].
Xét phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ như sau:

], P.1
t
 D g x (t, ω ) [0,a=
f ω (t, xt ) + 0 gω (t, s, xs )ds,
H
], P.1
 x (t, ω ) [−σ,0
=
ϕ(t, ω ),

(4.1)

trong đó ϕ ∈ Cσ , ánh xạ f : Ω × [0, a] × Cσ → Ed và g : Ω × D × Cσ → Ed thỏa
mãn các giả thiết ( f 1) và ( f 2) như trong Chương 2.
Định nghĩa 4.1. Ánh xạ x : [−σ, a] × Ω → Ed là nghiệm của phương trình vi-tích
phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) nếu x (t, ω ) khả vi-(i) (hoặc khả vi-(ii)), liên tục và
g

[0,a], P.1

[−σ,0], P.1

t

thỏa mãn D H x (t, ω ) = f ω (t, xt ) + 0 gω (t, s, xs )ds và x (t, ω )
=
ϕ(t, ω ).
Nghiệm x (t, ω ) của phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) là duy
nhất trên [−σ, a] nếu nó thỏa
D0 [ x (t, ω ), y(t, ω )]

[−σ,a], P.1

=

0,

trong đó y : [−σ, a] × Ω → Ed là nghiệm bất kỳ của phương trình vi-tích phân mờ
ngẫu nhiên có trễ (4.1).

16


Bổ đề 4.1. Giả sử f : Ω × [0, a] × Cσ → Ed và g : Ω × D × Cσ → Ed thỏa mãn các
giả thiết ( f 1) và ( f 2). Quá trình mờ ngẫu nhiên x : [−σ, a] × Ω → Ed là nghiệm của
phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) nếu và chỉ nếu x (t, ω ) là quá
trình mờ ngẫu nhiên liên tục và thỏa mãn 1 trong 2 phương trình tích phân mờ ngẫu
nhiên có trễ sau:
(L1) Nếu x khả vi-(i) thì

[−σ,0],P.1


= ϕ(t, ω ),
 x (t, ω )




x (t, ω )

[0,a],P.1

=

t

ϕ(0, ω ) +

f ω (s, xs ) +
0

(L2) Nếu x khả vi-(ii) thì

[−σ,0],P.1


= ϕ(t, ω ),
 x (t, ω )




ϕ(0, ω )

[0,γ],P.1

=

s
0 gω ( s, τ, xτ ) dτ

t

x (t, ω ) + (−1)

f ω (s, xs ) +
0

(4.2)
ds.

s
0 gω ( s, τ, xτ ) dτ

(4.3)
ds,

trên [0, γ] với γ < a.

4.1. Tính tồn tại và duy nhất nghiệm
Trong mục này, chúng tôi chỉ chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm-(L2) cho
phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1). Sự tồn tại và duy nhất
nghiệm-(L1) cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) có kỹ thuật
chứng minh tương tự.
Định lý 4.1. Cho ϕ ∈ Cσ và cho f : Ω × [0, a] × Cσ → Ed , g : Ω × D × Cσ → Ed
thỏa mãn các điều kiện: ( f 1), ( f 2) và giả sử tồn tại hai quá trình ngẫu nhiên giá trị
thực L1 , L2 : [0, a] × Ω → [0, ∞) sao cho L1 (·, ω ), L2 (·, ω ) liên tục với P.1 và
D0 [ f ω (t, ξ ), f ω (t, ψ)] ≤ L1 (t, ω ) Dσ [ξ, ψ],
D0 [ gω (t, s, ξ ), gω (t, s, ψ)] ≤ L2 (t, ω ) Dσ [ξ, ψ],

(4.4)

với mọi t ∈ [0, a], (t, s) ∈ D và ξ, ψ ∈ Cσ với P.1. Hơn nữa, giả sử tồn tại hai hằng số
không âm M1 , M2 sao cho
D0 [ f ω (t, ξ ), 0ˆ ]

[0,a]×Cσ , P.1

≤

M1

và

D0 [ gω (t, s, ξ ), 0ˆ ]

D×Cσ P.1

≤

M2 .

(4.5)

Khi đó, phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) có nghiệm-(L2) duy
nhất.

17


4.2. Một số tính chất của nghiệm
Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu tính bị chặn của nghiệm và so sánh hai nghiệm
của phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1).
Định lý 4.2. Cho f : Ω × [0, a] × Cσ → Ed , g : Ω × D × Cσ → Ed như trong Định lý
4.1. Giả sử x (t, ω ) là nghiệm-(L2) của phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có
trễ (4.1) trên [0, a]. Khi đó, ta có đánh giá sau
D0 [ x (t, ω ), 0ˆ ]

[0,a], P.1

≤

D0 [ ϕ(0, ω ), 0ˆ ] + a +

a2
M
2

1 + e(1+ L(ω ))a ,

trong đó
P.1

L(ω ) = max{sup0≤s≤ a L1 (s, ω ), sup0≤s≤ a L2 (s, ω )}, M = max{ M1 , M2 }.

Kết luận chương 4
Các kết quả chính đạt được trong chương này là:
1) Bằng cách sử dụng định nghĩa đạo hàm, tính liên tục, . . . của hàm mờ. Chúng
tôi đã chứng minh được sự tương đương giữa phương trình vi-tích phân mờ
ngẫu nhiên có trễ và phương trình tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (Bổ đề
4.1).
2) Chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương
trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ . Phương pháp xấp xỉ Picard là công
cụ toán học chính (Định lý 4.1).
3) Chúng tôi chứng minh được tính bị chặn của nghiệm (Định lý 4.2) và so sánh
giữa hai nghiệm (Định lý ??) của phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên
có trễ.
4) Chúng tôi xây dựng phương pháp giải nghiệm cho phương trình vi-tích phân

Volterra mờ ngẫu nhiên có trễ thông qua nhát cắt-0 và nhát cắt -1 (Định lý
??). Chúng tôi cũng cho hai ví dụ để mô tả kết quả lý thiết cũng như phương
pháp giải nghiệm bài toán.
5) Trong trường hợp gω (t, s, xs ) = 0, chúng tôi nhận được các kết quả như trong
bài báo của Park và Jeong (2013, [40]).
6) Kết quả đạt được trong chương này, đã được tác giả công bố trong bài báo
[V3].

18


KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN
Kết luận của luận án
Trong luận án này, chúng tôi đã nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm,
xây dựng phương pháp giải, công thức nghiệm tổng quát cho các lớp bài toán khác
nhau. Luận án đã đạt được các kết quả mới như sau:
1) Xây dựng công thức nghiệm cho lớp phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên
tuyến tính.
2) Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho lớp phương trình vi tích phân
mờ ngẫu nhiên dưới điều kiện Lipschitz tổng quát. Ngoài ra, một vài tính chất
(ổn định, bị chặn) của nghiệm cũng được nghiên cứu.
3) Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho lớp phương trình vi-tích phân
mờ ngẫu nhiên có trễ.
4) Xây dựng phương pháp giải phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên,
phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ dạng Volterra.

Các hướng nghiên cứu tiếp theo
1) Ứng dụng phương pháp giải số đã biết (Euler, Runge-Kutta, . . . ) để giải các
lớp phương trình đã nghiên cứu.
2) Nghiên cứu tính chất định tính và ứng dụng cho lớp phương trình vi (tích

phân) mờ ngẫu nhiên dưới đạo hàm phân số, lớp phương trình vi (tích phân)
mờ trễ ngẫu nhiên dưới đạo hàm phân số, . . . .

19


DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ
Các công trình liên quan đến luận án
(V1) DONG. S-LE, VU-H, PHU. D-NGUYEN, The formulas of the solution for linearorder random fuzzy differential equations, J. Intelligent and Fuzzy Systems 28
(2015), 795-807.
(V2) VU-H, HOA. V-NGO, PHU. D-NGUYEN, The local existence of solutions for random fuzzy integro-differential equations under generalized H-differentiability, J.
Intelligent and Fuzzy Systems 26 (2014), 2701-2717.
(V3) VU-H, DONG. S-LE, HOA. V-NGO, Random fuzzy functional integro-differential
equations under generalized Hukuhara differentiability, J. Intelligent and Fuzzy
Systems 27 (2014), 1491-1506.

Hội nghị khoa học đã tham gia
(V4) VU-H, QUANG. T- LE, Practical stability for fuzzy intergo differential equation,
The 8th Scientific Conference at HCMC University of Science, 2012.
(V5) VU-H, DONG. S-LE, Random fuzzy integro-differential equation, The 8th Vietnamese Mathematical Conference, 08/10-08/14/2013, Nha Trang.

20


Tài liệu tham khảo
[1] S. ABBASBANDY AND T. ALLAHVIRANLOO, The adomian decomposition method
applied to the fuzzy system of fredholm integral equations of the second kind, International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems,
14 (2006), pp. 101–110.
[2] M. AHMAD, M. HASAN, AND B. D. BAETS, Analytical and numerical solutions of
fuzzy differential equations, Information Sciences, 236 (2013), pp. 156 – 167.

[3] T. ALLAHVIRANLOO, S. ABBASBANDY, AND S. HASHEMZEHI, Approximating the
solution of the linear and nonlinear fuzzy volterra integrodifferential equations
using expansion method, Abstract and Applied Analysis, 2014, Special Issue
(2014), p. 7 pages.
[4] T. ALLAHVIRANLOO, S. ABBASBANDY, O. SEDAGHGATFAR, AND P. DARABI, A new
method for solving fuzzy integro-differential equation under generalized differentiability, Neural Computing and Applications, 21 (2011), pp. 191–196.
[5] T. ALLAHVIRANLOO, A. AMIRTEIMOORI, M. KHEZERLOO, AND S. KHEZERLOO, A
new method for solving fuzzy volterra integro-differential equations, Australian
Journal of Basic and Applied Sciences, 05 (2011), pp. 154–164.
[6] T. ALLAHVIRANLOO, M. KHEZERLOO, O. SEDAGHATFAR, AND S. SALAHSHOUR,
Toward the existence and uniqueness of solutions of second-order fuzzy volterra
integro-differential equations with fuzzy kernel, Neural Computing and Applications, 22 (2013), pp. 133–141.
[7] B. BEDE AND S. G. GAL, Generalizations of the differentiability of fuzzy-numbervalued functions with applications to fuzzy differential equations, Fuzzy Sets and
Systems, 151 (2005), pp. 581 – 599.
[8] BHARUCHA-REID, Random Integral Equations, Academic Press, New York, USA,
1972.
[9] Y. CHALCO -CANO AND H. ROMÁN-FLORES, On new solutions of fuzzy differential
equations, Chaos, Solitons & Fractals, 38 (2008), pp. 112 – 119.

21


[10] P. DIAMOND AND P. KLOEDEN, Metric Spaces of Fuzzy Sets: Theory and Applications, World Scientific Publishing, Singapore, 1994.
[11] W. FEI, On the theory of (dual) projection for fuzzy stochastic processes, Stochastic Analysis and Applications, 23 (2005), pp. 449–474.
[12]

, Existence and uniqueness of solution for fuzzy random differential equations
with non-lipschitz coefficients, Information Sciences, 177 (2007), pp. 4329 –
4337.

[13]

, A generalization of bihari’s inequality and fuzzy random differential equations with non-lipschitz coefficients, International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 15 (2007), pp. 425–439.

[14]

, Existence and uniqueness for solutions to fuzzy stochastic differential equations driven by local martingales under the non-lipschitzian condition, Nonlinear
Analysis: Theory, Methods & Applications, 76 (2013), pp. 202 – 214.

[15] Y. FENG, Mean-square integral and differential of fuzzy stochastic processes,
Fuzzy Sets and Systems, 102 (1999), pp. 271 – 280.
[16]

, Fuzzy stochastic differential systems, Fuzzy Sets and Systems, 115 (2000),
pp. 351 – 363.

[17] N. V. HOA, Fuzzy fractional functional differential equations under caputo ghdifferentiability, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22 (2015), pp. 1134 – 1157.
[18]

, Fuzzy fractional functional integral and differential equations, Fuzzy Sets
and Systems, 280 (2015), pp. 58 – 90.

[19] M. HUKUHARA, Integration des applications measurables dont la valeur est un
compact convexe, Funkcialaj Ekvacioj, 10 (1967), pp. 205–223.
[20] O. KALEVA, Fuzzy differential equations, Fuzzy Sets and Systems, 24 (1987),
pp. 301 – 317.
[21]

, A note on fuzzy differential equations, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 64 (2006), pp. 895 – 900.

[22] A. KHASTAN, J. NIETO, AND R. RODRÍGUEZ-LÓPEZ, Variation of constant formula
for first order fuzzy differential equations, Fuzzy Sets and Systems, 177 (2011),
pp. 20 – 33.
[23] A. KHASTAN, J. NIETO, AND R. RODRÍGUEZ-LÓPEZ, Fuzzy delay differential equations under generalized differentiability, Information Sciences, 275 (2014),
pp. 145 – 167.

22


[24] G. S. LADDE AND V. LAKSHMIKANTHAM, Random Differential Inequalities, Academic Press, New York, USA, 1980.
[25] V. LAKSHMIKANTHAM, T. G. BHASKAR, AND D. J. VASUNDHARA, Theory of Set
Differential Equations in a Metric Space, Cambridge Scientific Publishing, UK,
2006.
[26] J. LI AND J. WANG, Fuzzy set-valued stochastic lebesgue integral, Fuzzy Sets and
Systems, 200 (2012), pp. 48 – 64.
[27] H. V. LONG, N. T. K. SON, N. T. M. HA, AND L. H. SON, The existence and uniqueness of fuzzy solutions for hyperbolic partial differential equations, Fuzzy Optimization and Decision Making, 13 (2014), pp. 435–462.
[28] H. V. LONG, N. T. K. SON, AND H. T. T. TAM, Global existence of solutions to fuzzy
partial hyperbolic functional differential equations with generalized hukuhara
derivatives, Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 19 (2015), pp. 1–16.
[29] H. V. LONG, N. T. K. SON, H. T. T. TAM, AND B. C. CUONG, On the existence of fuzzy
solutions for partial hyperbolic functional differential equations, International
Journal of Computational Intelligence Systems, 7 (2014), pp. 1159–1173.
[30] M. T. MALINOWSKI, On random fuzzy differential equations, Fuzzy Sets and
Systems, 160 (2009), pp. 3152 – 3165.
[31]

, Existence theorems for solutions to random fuzzy differential equations,
Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 73 (2010), pp. 1515 –
1532.

[32]

, Peano type theorem for random fuzzy initial value problem, Discussiones
Mathematicae Differential Inclusions, Control and Optimization, 31 (2011),
pp. 5–12.

[33]

, Itô type stochastic fuzzy differential equations with delay, Systems & Control Letters, 61 (2012), pp. 692 – 701.

[34]

, Random fuzzy differential equations under generalized lipschitz condition,
Nonlinear Analysis: Real World Applications, 13 (2012), pp. 860 – 881.

[35] M. T. MALINOWSKI AND R. P. AGARWAL, On solutions to set-valued and fuzzy
stochastic differential equations, Journal of the Franklin Institute, 352 (2015),
pp. 3014 – 3043. Special Issue on Advances in Nonlinear Dynamics and Control.
[36] M. MICHTA, On set-valued stochastic integrals and fuzzy stochastic equations,
Fuzzy Sets and Systems, 177 (2011), pp. 1 – 19.

23