KỸ THUẬT CHUYỂN ĐIỂM GIẢI HÌNH KHÔNG GIAN THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

KHO NG CÁCH T
I MT IM T
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng gi ng K thu t chuy n đi m thu c khóa h c: Luy n thi
THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c
ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

3a
, hình
2
chi u vuông góc c a S trên m t ph ng ABCD là trung đi m c a c nh AB . Tính theo a kho ng cách t
A đ n m t ph ng ( SBD) .

Bài 1.(A, A1 – 2004). Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a , SD 

Gi i:
G i H là trung đi m c a AB  SH  ( ABCD)

d ( A, ( SBD)) BA

2
d ( H , ( SBD)) BH
 d ( A,(SBD))  2d ( H ,(SBD)) (1)
AH

( SBD)  B 

K HM  DB ( M  DB ) và HK  MS ( K  SM )

 DB  HM
Khi đó: 
 DB  ( SHM )  DB  HK
 DB  SH
Mà HK  SM , do đó:
HK  (SBD)  d ( H ,(SBD))  HK (2)
a
a 2
Xét tam giác HMB ta có: HM  HB.sin MBH  .sin 450 
2
4
1
1
1
1
8
9
a
Xét tam giác SHM :
(3)


 2  2  2  HK 
2
2

2
3
HK
SH
HM
a
a
a
2a
.
T (1), (2) và (3) suy ra: d ( A, ( SBD)) 
3

Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình ch nh t, AB  a , SA  BC  2a . Bi t hai m t ph ng
( SAC ) và ( SBD) cùng vuông góc v i m t đáy . Tính theo a kho ng cách t A đ n m t ph ng ( SBC ) .
Gi i:
S
G i AC BD  H  .

( SAC )  ( ABCD)

 SH  ( ABCD)
Ta có: ( SBD)  ( ABCD)
( SAC ) ( SBD)  SH


K

AC
AB  BC

a  4a
a 5



2
2
2
2
Xét tam giác SAH ta có :
2

Ta có AH 

2

2

5a 2 a 11
SH  SA  AH  4a 

4
2
2

2

Hocmai.vn – Ngôi tr

2

ng chung c a h c trò Vi t

2

A

B
I

H
D
T ng đài t v n: 1900 58-58-12

C
- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Do AH

( SBC )  C 

Hình h c không gian

d ( A, ( SBC )) AC

 2  d ( A, ( SBC ))  2d ( H , ( SBC )) (1)

d ( H , ( SBC )) HC

 BC  HI
AB a
K HI  BC ( I  BC ), suy ra 
 BC  ( SHI ) và HI 

2
2
 BC  SH
 HK  BC
K HK  SI ( K  SI ), suy ra 
 HK  ( SBC )  d ( H , ( SBC ))  HK (2)
 HK  SI
Xét tam giác SHI , ta có:

1
1
1
4
4
48
a 33

 2 
 2 
 HK 
2
2
2

2
11a
11a
12
HK
SH
HI
a

(3)

a 33
6
Bài 3 (B – 2013). Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông c nh a , m t bên SAB là tam giác đ u và
n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy. Tính theo a kho ng cách t A đ n m t ph ng ( SCD) .

T (1); (2) và (3) ta đ

c: d ( A, ( SBC )) 

Gi i:
S

a 3
G i H là trung đi m c a AB  SH  AB và SH 
2
( SAB)  ( ABCD)

Ta có ( SAB) ( ABCD)  AB  SH  ( ABCD)
( SAB)  SH  AB


Có AH / /CD  AH / /(SCD)  d ( A,(SCD))  d ( H ,(SCD))

K

A

D

K HI  CD ( I  CD ) , suy ra CD  (SHI )

 HK  CD
K HK  SI ( K  SI ) , suy ra 
 HK  ( SCD)
 HK  SI
Khi đó d ( A,(SCD))  d ( H ,(SCD))  HK .
Ta có HI  AD  a . Xét tam giác SHI ta có:

I

H
B

C

1
1
1
4
1

7
a 21

 2  2  2  2  HK 
2
2
3a
3a
7
HK
SH
HI
a

a 21
.
7
Bài 4. Cho hình l ng tr tam giác ABC. A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông t i A và
AB  a , BC  2a . Bi t hình chi u c a B ' lên m t ph ng ( ABC ) trùng v i tâm c a đ ng tròn ngo i ti p

V y d ( A, ( SCD)) 

tam giác ABC và góc gi a đ ng th ng CC ' và m t
ph ng ( A' B ' C ') b ng 600 . Tính theo a kho ng cách t

B'

C'

đi m B t i m t ph ng ( B ' AC ) .

Gi i:
A'

G i H là trung đi m c a BC .
Do tam giác ABC vuông t i A nên H là tâm c a đ
tròn ngo i ti p tam giác ABC  B ' H  ( ABC )
Do

BH

( B ' AC )  C 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng
B

K
H

C

I
d ( B, ( B ' AC )) BC

 2  d ( B, ( B ' AC ))  2d ( H , ( B ' AC ))
d ( H , ( B ' AC )) HC
A

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

(1)
K HI  AC ( I  AC ), suy ra AC  ( B ' HI )

 HK  AC
K HK  B ' I ( K  B ' I ), suy ra 
 HK  ( B ' AC )  d ( H , ( B ' AC ))  HK (2)
 HK  B ' I
CC '/ / BB '
Do 
( A' B ' C ') / /( ABC )
Do đó góc t o b i CC ' và m t ph ng ( A' B ' C ') b ng góc t o b i BB ' và m t ph ng ( ABC )
Khi đó ta có B ' BH  600  B ' H  BH .tan B ' BH  a.tan 600  a 3
AB a
Ta có HI / / BA (vì cùng vuông góc v i AC ), suy ra HI 

2
2
Xét tam giác SHI , ta có:

1
1
1
1
4
13
a 39

 2  2  2  2  HK 
2
2
3a
3a
13
HK
SH
HI
a

T (1); (2) và (3), suy ra d ( B, ( B ' AC )) 

(3)

2a 39
.
13

Bài 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi c nh a , c nh bên SA vuông góc v i đáy, BAD  1200 ,
M là trung đi m c a c nh BC và SMA 450 . Tính theo a kho ng cách t B đ n m t ph ng (SDC ) .

Gi i:
Do AB // DC  AB // (SDC )

S

 d ( B,(SDC))  d ( A,(SDC )) (1)

K AN  DC ( N  DC )
Do ABCD là hình thoi c nh a và BAD  1200
nên ABC, ADC đ u là các tam giác đ u c nh a
a 3
Suy ra AM  AN 
2

A

a 3
a 3
Khi đó SA  AM tan BAD 
.tan 450 
2
2
G i H là hình chi u vuông góc c a A trên SN , khi đó:
CD  AN
 CD  ( SAN )  CD  AH

CD  SA

H
B

450

1200

M
D

N

C

mà AH  SN  AH  (SCD)  d ( A,(SCD))  AH (2)
Xét tam giác SAN ta có:
1
1
1
4
4
8
a 6
(3)


 2  2  2  AH 
2
2
2
3a
3a
3a

4
AH
AS
AN

T

(1); (2) và (3), suy ra d ( B, ( SCD)) 

a 6
.
4

Bài 6. Cho hình chóp S. ABC , có đáy ABC là hình chóp đ u c nh a . G i M là trung đi m c a c nh
2a
. Tính theo a
AB , hình chi u vuông góc c a S trùng v i tr ng tâm c a tam giác MBC , bi t SC 
3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

S

kho ng cách t C đ n m t ph ng ( SAB) .
Gi i:
G i H là tr ng tâm tam giác MBC , suy ra SH  ( ABC )
G i CH

BM  I   CH

(SAB)  I 
K

d (C , ( SAB)) CI
Suy ra

 3  d (C , ( SAB))  3d ( H , ( SAB)) (1)
d ( H , ( SAB)) HI
K HD  AB ( D  AB )  AB  (SHD)

B

C
I

K HK  SD ( K  SD) , suy ra :

H

D
M

 HK  AB
 HK  ( SAB)  d ( H , ( SAB))  HK (2)

 HK  SD
Tam giác ABC đ u c nh a nên CM 
Ta có HD // CM 

A

a 3
2

HD IH 1
1
a 3

  HD  CM 
3
6
CM IC 3

Do I là trung đi m c a BM  IM 

AB a
a 2 3a 2 a 13
  CI  IM 2  CM 2 



4
4
16
4
4

4a 2 13a 2 a 3
2
a 13
2
2
 SH  SC  CH 


Suy ra CH  CI 
9
36
6
3
6
Xét tam giác SHD , ta có:
T (1); (2) và (3) ta đ

1
1
1
12 12 24
a 6



 2  2  2  HK 
2
2
2
12
HK
SH
HD
a
a
a

c: d (C , ( SAB)) 

(3)

a 6
4

a
. G i M là trung đi m c a BC và BC
2
vuông góc v i m t ph ng (SAM ) . Bi t góc t o b i SM và m t ph ng ( ABC ) b ng 600 . Tính theo a

Bài 7. Cho hình chóp S. ABC có BAC  1200 , BC  a 3 , SA

kho ng cách t đi m B t i m t ph ng ( SAC ) .
Gi i:
Do BC  (SAM ) , suy ra góc t o b i SM và m t ph ng ( ABC ) là SMA 600 (1)

Ta có MC 

BC a 3
và AM  BC , suy ra tam giác ABC cân

2
2

S

t i A CAM  600
a 3
a
.cot 600   SA (2)
2
2
T (1) và (2) suy ra tam giác SAM đ u. Khi đó, g i H là trung
đi m c a AM  SH  AM
mà SH  BC (do BC  (SAM ) )  SH  ( ABC )  SH  AC
 AM  MC cot CAM 

K
A
H

K HI  AC ( I  AC )  AC  (SHI )
D ng HK  SI ( K  SI )  HK  (SAC )  d (H ,(SAC ))  HK

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

C

I
M

B

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Ta có SAM là tam giác đ u c nh

Hình h c không gian

a
a 3
 SH 
2
4

a
a 3
Xét tam giác AHI có HI  AH sin IAH  .sin 600 

4
8
1
1
1
16
64
80
a 15
a 15
hay d ( H , ( SAC )) 
(*)

 2  2  2  2  HK 
2
2
3a
3a
3a
20
HK
SH
HI
20
d ( B, ( SAC )) BC
Ta có BM ( SAC )  C 

 2  d ( B, ( SAC ))  2d ( M , ( SAC )) (2*)
d ( M , ( SAC )) MC

Suy ra

M t khác MH

( SAC )   A 

d ( M , ( SAC )) MA

 2  d ( M , ( SAC ))  2d ( H , ( SAC )) (3*)
d ( H , ( SAC )) HA

a 15
.
5
Bài 8. Cho hình h p ABCD.A' B ' C ' D ' có ABCD là hình vuông c nh a . Hình chi u vuông góc c a A'
xu ng m t đáy ( ABCD) là trung đi m M c a AB và góc t o b i đ ng th ng AA' và m t ph ng

T (*); (2*) và (3*), suy ra d ( B, ( SAC ))  4d ( H , ( SAC )) 

( ABCD) b ng 600 . Tính kho ng cách t B đ n m t ph ng ( AA' C ) theo a .

Gi i:
MA là hình chi u vuông góc c a AA' trên m t ph ng ( ABCD)

Nên ta có A' AM  600 là góc t o b i AA' và m t ph ng
( ABCD) . Suy ra A' AB là tam giác đ u c nh
a 3
.
2
d ( B, ( A' AC )) BA

( A' AC )   A 

2
d ( M , ( A' AC )) MA

AB  a  A' M 

Ta có BM

 d ( B,( A' AC ))  2d (M ,( A' AC)) (1)

K MI  AC ( I  AC ).
BO BD a 2
v i BD AC  O


2
4
4
M t khác AC  A' M  AC  ( A' MI ) . G i H là hình chi u vuông góc c a M trên A' I

Khi đó MI 

 AC  MH

 MH  ( AA' C )  d ( M , ( AA' C ))  MH (2)
 A' I  MH
Xét tam giác A' MI :

1

1
1
4
8
28
a 21
(3)


 2  2  2  MH 
2
2
2
3a
3a
14
MH
MA' MI
a

T (1); (2) và (3), suy ra: d ( B, ( AA' C )) 

a 21
.
7

Bài 9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t; AB  2a , AD  a 5 ; góc gi a đ

ng

th ng SD và m t ph ng ( ABCD) b ng 30 . G i M là trung đi m c a c nh AB . Bi t hai m t ph ng
0

( SBD) và (SMC ) cùng vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) . Tính theo a kho ng cách t C đ n (SMD) .

Gi i:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

( SBD)  ( ABCD)


G i BD  MC  {H } . Ta có: ( SMC )  ( ABCD)
  SH  ( ABCD)
( SBD)  ( SMC )  SH 
Suy ra HD là hình chi u c a SD xu ng ( ABCD) nên góc t o b i SD và ( ABCD) là SDH  300
G i AC  BD  {O} , H là tr ng tâm tam giác ABC nên BH 

BD
2
2 1
BO  . BD 
3
3 2
3

2a 3
2
2
BD 
(2a)2  (a 5) 2  2a . Xét SHD : SH  HD.tan 300 
3
3
3
G i I , K l n l t là hình chi u c a H trên MD và SI , khi đó MD  (SHI )
 HD 

 HK  MD
Suy ra 
 HK  ( SMD)  d ( H , ( SMD))  HK
 HK  SI
Ta có CH  (SMD)  {M} và H là tr ng tâm ABC , suy ra CM  3HM


d (C , ( SMD)) CM

 3  d (C , ( SMD))  3d ( H , ( SMD))  3HK
d ( H , ( SMD)) HM

Ta có SMCD 

a2 5
1
1
1
1
SABCD  AB. AD  a 2 5 . M t khác: MH  MC  SMHD  SMCD 
3
3
3
2
2

a2 5
2S
a 30
3
Khi đó HI  MHD 
. Xét tam giác vuông SHI ta có:

2
2
9
MD
a  (a 5)
2.

HK 

 a 30 2a 3 
 
.
:
3 
HI 2  SH 2  9
HI .SH

Suy ra: d (C , ( SMD))  3HK 

2

2

 a 30   2a 3 
2a 345

  
 
69
 9   3 

2a 345
23

3a
a 13
; AB  2a , CD 
.

2
4
Tam giác SCD vuông cân t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy ( ABCD) . Tính theo a

Bài 10. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD  BC 

kho ng cách t tr ng tâm c a tam giác ABD t i m t ph ng ( SAB) .
Gi i:
G i H là trung đi m c a CD  CH  CD và SH 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

CD 3a

2
4

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

S

( SCD)  ( ABCD)

Ta có: ( SCD) ( ABCD)  CD  SH  ( ABCD)
( SCD)  SH  CD

G i M là trung đi m c a AB ; G là tr ng tâm tam giác ABD
và HG

K D

AB  I  , suy ra:

d (G, ( SAB)) GI GM 1
1


  d (G, ( SAB))  d ( H , ( SAB))
3
d ( H , ( SAB)) HI DM 3
(1)
Do ABCD là hình thang cân nên ta có :

3a

2a 

13a
 AB  CD 
2

HM  CB2  

 
2
16


 2

2

2

A

H

G
I

C
M

2



a 3
 
2




B

 AB  HM
 AB  ( SHM )
Ta có 
 AB  SH
 HK  AB
K HK  SM ( K  SM ), suy ra 
 HK  ( SAB)  d ( H , ( SAB))  HK (2)
 HK  SM
Xét tam giác SHM , ta có:

1
1
1
16
4
28
3a 7


 2  2  2  HK 
2
2
2
9a
3a

9a
14
HK
SH
HM

T (1); (2) và (3) suy ra d (G, ( SAB)) 

a 7
.
14

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

(3)

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 7 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-