BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN HAY VÀ KHÓ THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l

c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Các bài toán hay và khó thu c khóa h c: Luy n thi THPT

qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

có th n m v ng ki n th c ph n

Bài 1. Cho l ng tr ABC. A' B ' C ' có tam giác ABC đ u c nh a , c nh bên CC ' vuông góc v i đáy và

CC '  a . G i M , J l n l

t là trung đi m c a BB ', B ' C ' và là đi m thu c đo n A' B ' sao cho NB ' 

a
.
4

Ch ng minh :
1) AM  BC ' .

2) AM  (MNJ )

Gi i:
A'

1) Ch ng minh AM  BC ' .
G i I là trung đi m c a BC , khi đó:
 AI  BC

 AI  CC '(do CC '  ( ABC ))

C'
H

J
N

B'

 AI  ( BCC ' B ')  AI  BC ' (1)

M t khác, trong m t ph ng ( BCC ' B ') ta có:

 MI / / B ' C
 MI  BC ' (2)

 BC '  B ' C
T (1) và (2), suy ra BC '  ( AIM )  AM  BC ' (*)

M
A

C
I
B

2) Ch ng minh AM  (MNJ ) .
G i H là trung đi m c a A' B ' , khi đó:
AMB  BHB '  MAB  HBB '

Mà ABH  HBB '  900  ABH  MAB  900  AM  BH (2*)
T (*) và (2*), suy ra AM  ( BC ' H ) (3*).

 MN / / HB
 ( MNJ ) / /( BC ' H ) (4*)
M t khác 
 MJ / / BC '
T (3*) và (4*), suy ra AM  (MNJ ) .
Bài 2. Trong m t ph ng ( ) cho hình vuông ABCD . Các tia Bx và Dy vuông góc v i m t ph ng ( )
và cùng chi u. Các đi m M và N l n l

t thay đ i trên Bx, Dy sao cho m t ph ng ( MAC ) và ( NAC )

vuông góc v i nhau. Ch ng minh r ng:
1) BM.DN không đ i.

2) ( AMN)  (CMN) .
Gi i:

1) Ch ng minh BM.DN không đ i.
t BM  m, DN  n, AB  a
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

G i O là tâm hình vuông ABCD
 AC  BD
Ta có 
 AC  ( BMND)  MO  AC
 AC  BM

Hình h c không gian

x
y

M
H

N

Theo gi thi t (MAC)  ( NAC)  MO  ( NAC)

 MO  ON , do đó MN 2  OM 2  ON 2 (*)

Trong hình thang vuông BDNM ta có:
MN 2  BD2  ( BM  DN)2  2a 2  (m  n)2
2

2

C

B

a2
Ta có OM  BM  BO  m 
2
2

2

và ON 2  DN 2  OD 2  n 2 

O
A

2

a
.
2

Khi đó, (*)  2a 2  (m  n)2  m2 

D

a2
a2
a2
a2
hay BM .DN  .
 n2 
 a 2  2mn  0  mn 
2
2
2
2

2) Ch ng minh ( AMN)  (CMN) .
H OH  MN (H  MN ). Xét tam giác vuông MON ta có:

1
1
1



2
2
OH
OM
ON 2

m2  n 2  a 2



a2
a 2  2 a 2  2 a 2 
2
2
m 
n 
m   n  
2
2 
2 
2
1

1

a2 2
a4 a4 a2 2
a4
2
2
 (m  n ) 
m n  (m  n ) 
2
2
4  4
2
4  a  OH  a 2  AC
 OH 2 

2
2
2
m2  n2  a 2
m2  n 2  a 2
2

2

Mà HO là trung tuy n c a AHC , suy ra AHC  900 hay AH  CH (1)
M t khác, MN  AC (do AC  ( BMND) - ch ng minh ý 1))
và MN  OH  MN  ( HAC)  MN  AH

(2)

T (1) và (2), suy ra AH  (MNC)  ( AMN)  (CMN) .
Bài 3. Cho tam giác nh n ABC và đ
đi m M và N l n l

ng th ng  đi qua A và vuông góc v i m t ph ng ( ABC ) . Các

t thay đ i trên  sao cho hai m t ph ng ( MBC ) và ( NBC ) vuông góc v i nhau.

Tìm v trí c a M , N sao cho đ dài đo n MN nh nh t.
Gi i:
M

G i H là hình chi u c a A lên BC , khi đó:
 BC  MN
 BC  ( MHN )  MH  BC


 BC  AH

( MBC )  ( NBC )
 MH  ( NBC )  MH  NH
Mà 
( MBC ) ( NBC )  BC
Trong tam giác MHN vuông t i H có HA là đ

A

C

ng cao

nên A thu c đo n MN .

H

.
 2 AH 2  2 AH
Khi đó: MN  MA NA  2 MANA
D u “=” x y ra khi AM  AN  AH
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

N

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

B

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

V y MN nh nh t khi
M và N n m trên  , đ i x ng nhau qua A và AM  AN  AH .
Bài 4. Cho hình l ng tr ABC. A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân v i AB  AC  a , BAC  1200 và
c nh bên BB '  a . G i I là trung đi m c a CC ' . Tính cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ( ABC ) và
( AB ' I ) .

Gi i:
C'

B'

I

A'

B

M

C
H
A



 

Cách 1: Kéo dài B ' I c t BC t i M , khi đó ( ABC ),( AB ' I )  ( ACM ),( AIM )



Ta có CI  ( ACM ) , do đó ta có cách d ng góc gi a hai m t ( ACM ) và ( AIM ) nh sau:





D ng CH  AM ( H  AM )  AM  (CHI )  AM  IH , suy ra ( ACM ),( AIM )  CHI .

CI / / BB '
1
3a 2


C
Ta có 
là
trung
đi

m
c
a
BM

S

S

AB
.
AC
.sin
BAC

1
ACM
ABC
2
4
CI  2 BB '
Ta có CM 2  CB2  AB2  AC 2  2 AB. AC.cos BAC  3a 2  BM  2BC  2a 3

AB2  AM 2 BM 2
a 2  AM 2
2

a 
 3a 2  AM 2  7a 2  AM  a 7
Khi đó: AC 

2
4
2
2

Suy ra CH 

2SACM
a 2 21a 2 a 70
3a 2 a 21
 IH  CI 2  CH 2 




4 142
14
14
AM
2.a 7

Xét tam giác ICH ta có: cos CHI 

30
CH a 21 14
.


14 a 70
10

IH

30
.
10
Cách 2: Ta có tam giác ABC là hình chi u vuông góc c a tam giác AB ' I trên m t ph ng ( ABC ) .

V y cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ( ABC ) và ( AB ' I ) b ng





Khi đó g i   ( ABC ), ( AB ' I ) , suy ra cos  

SABC
SAB' I

(*)

Ta có B ' C '2  BC 2  AB2  AC 2  2 AB. AC.cos BAC  3a 2  BI  B ' C '2  C ' I 2 
Khi đó AB '2  AI 2  ( AB2  BB '2 )  ( AC 2  CI 2 )  2a 2 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

a 13
2

5a 2 13a 2

 B ' I 2  AB ' I vuông t i A .
4
4

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Suy ra SAB' I 

Hình h c không gian

1
a 2 10
1
3a 2
. M t khác: SABC  AB. AC.sin BAC 
AB '. AI 
2
4
2
4

Áp d ng (*), ta có: cos  

SABC
3a 2 a 2 10
30
:


SAB' I
4
4
10

V y cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ( ABC ) và ( AB ' I ) b ng

30
.
10

Bài 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a . C nh bên SA vuông góc v i m t
đáy ABCD và SA  a . G i E là trung đi m c a CD . Tính di n tích m t c u đi qua b n đi m S, A, B, E .
Gi i:


G i I là tâm c a m t c u đi qua b n đi m S, A, B, E
S



 IA  IB  IE (1)
Khi đó: IS  IA  IB  IE  

(2)
 IS  IA
G i F là trung đi m c a AB và O là tâm đ ng tròn
ngo i ti p tam giác EAB . Do EAB cân t i E nên O  EF .
D ng đ ng th ng d qua O và vuông góc ( EAB)
Suy ra d là tr c c a tam giác EAB
Theo (1)  I  d (*)
Ta có d / / SA (do SA  ( ABCD)  ( EAB) )

A



Trong m t ph ng (SA, d ) d ng đ

d

K
I
D

F

E

O
B

ng th ng

C

trung tr c  c a SA. Theo (2)  I  (2*)



T (*) và (2*), suy ra d

  I  .

Ta có AB  a , AE  BE 

abc
a 5
. Áp d ng công th c R 
, ta có:
2
4S

OA 

AB. AE.BE

4SABE

a.

a 5 a 5
.
2

2  5a
2
a
8
4.
2

AKIO là hình ch nh t (v i K là trung đi m c a SA) nên IO  KA 
 R  OA  IO 2  AO 2 

SA a

2 2

a 2 25a 2 a 41


4
64
8

Suy ra di n tích m t c u c n tính là: Smc  4 R2 

41 a 2
.
16

Bài 6. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i C và SA vuông góc v i đáy;
SC  c . Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng ( SBC ) và ( ABC ) đ th tích kh i chóp SABC l n nh t.
Gi i:

G i  là góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) và ( ABC )
(v i 00    900 )
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

 BC  AC
Ta có 
 BC  ( SAC )  BC  SC
 BC  SA

Hình h c không gian

S

Do đó   SCA. Trong tam giác vuông SAC ta có:
 BC  AC  SC cos   a cos 

 SA  SC sin   a sin 
Khi đó th tích kh i chóp SABC là:
1
1

. ABC  a 3 cos 2  .sin 
V  SAS
3
3
Theo b t đ ng th c AM – GM (Cauchy) ta có:
1
1
V 2  a 6 cos 4  .sin 2   a 6 (1  sin 2  ) 2 .sin 2 
9
9

A

B

C
3

 1  sin 2  1  sin 2 


 sin 2  
6
2
2

2a 3 3
4a 1  sin  1  sin 
4a 6
2

2
V 

.
.
.sin 2   
 
27
9
2
2
3

 243



D u ‘=” x y ra khi

1  sin 2 
1
 1 
 sin 2   sin  
   arcsin 
.
2
3
 3

Bài 7. Cho hình chóp SABC có ASB  900 , ASC  BSC  600 . Bi t SA  3a , SB  4a , SC  5a . Tính th

tích c a kh i chóp đã cho.
Gi i:
G i H , E, F l n l

t là hình chi u vuông góc c a C

lên m t ph ng ( SAB) , đ

C

ng th ng SA, SB

Khi đó ta có: CH  (SAB) ; SA  (CHE ) và SB  (CHF )
Xét tam giác vuông CSE ta có: SE  SC.cos 600 

5a
2

5a

Xét hai tam giác vuông CSE và CSF , ta có:

CS chung và ESC  FSC  600
 CSE  CSF  SE  SF
5a 2
Khi đó SEHF là hình vuông  SH  2SE 
2

60°

4a

B

F
E

5a 2
Xét tam gics SHC , ta có: CH  SC  SH 
2
1
Ta có SSAB  SASB
.  6a 2
2
2

 VSABC  VC .SAB

60°

S

H

2

1
1 5a 2
 CH .SSAB  .
.6a 2  5a 3 2

3
3 2

3a

A

V y th tích kh i chóp c n tính là V  5a 3 2 .
Bài 8. Cho hình chóp SABC có SA  SB  SC , đáy ABC là tam giác vuông cân t i A . M t ph ng ( SAB)
t o v i đáy góc 450 . G i ( P ) là m t ph ng qua B và vuông góc v i SA, ( P ) c t hình chóp SABC theo
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

m t thi t di n có di n tích b ng

Hình h c không gian

a2 3
. Tính th tích c a kh i chóp SABC .
6
Gi i:

G i H là trung đi m c a BC . Mà ABC vuông cân t i A
Suy ra, H là tâm c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC
Mà SA  SB  SC  SH  ( ABC )

 BC  SH
Khi đó 
 BC  ( SAH )  BC  SA
 BC  AH
G i K là hình chi u vuông góc c a H lên SA, ta có:
 BC  SA
 ( BCK )  SA  ( BCK )  ( P )

 HK  SA

S

K

C

B
H

Suy ra thi t di n c a ( P ) và hình chóp S. ABC là tam giác BCK .
G i M là trung đi m c a AB , khi đó:
 AB  HM
 AB  ( SHM )   ( SAB), ( ABC )   SMH  450



AB
SH


M
A

x
x
x 2
; SH  HM tan 450 
t x  AB  AC , suy ra HM  ; BC  x 2; AH 
2
2
2
1
1
1
6
x
Trong tam giác vuông SHA:


 2  HK 
2
2
2
HK
SH
AH

x
6

Khi đó di n tích c a thi t di n SBCK 
Mà theo gi thi t SBCK 

x
x2 3
1
1
BC.HK  x 2.

2
2
6
6

a2 3
x2 3 a 2 3


 xa
6
6
6

1
1 a a2 a3
Khi đó th tích c a kh i chóp S. ABC là: V  SH .SABC  . .  .
3

3 2 2 12
Bài 9. Cho hình chóp S. ABC có hai m t (SAB), (SAC ) cùng vuông góc v i m t ph ng ( ABC ) . Tam giác

ABC cân t i đ nh A , trung tuy n AD  a , đ ng th ng SB t o v i m t ph ng ( ABC ) m t góc b ng 
và h p v i m t ph ng ( SAD) m t góc b ng  .
S
1) Xác đ nh góc  , 
a 3 sin  sin 
2) Ch ng minh th tích c a kh i chóp S. ABC là V 
.
3cos(   ) cos(   )
Gi i:
1) Xác đ nh góc  ,  .

( SAB)  ( ABC )

 SA  ( ABC )
Ta có ( SAC )  ( ABC )
( SAB) ( SAC )  SA

Suy ra hình chi u c a SB lên ( ABC ) là AB

A

B
a

D

Khi đó  SB, ( ABC )   (SB, AB)  SBA  

C
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

Tam giác ABC cân t i A có AD là trung tuy n
 BD  AD , mà ta có:  BD  SA BD  (SAD)
Suy ra hình chi u c a SB lên ( SAD) là SD
Khi đó  SB,(SAD)   ( SB, SD)  BSD  
2) Ch ng minh th tích c a kh i chóp S. ABC là V 

a 3 sin  sin 
.
3cos(   ) cos(   )

 SB2  SA2  AB2  SA2  AD 2  BD 2

Ta có:  SA  SB sin 
 SB2  SB2 sin 2   a 2  SB2 sin 2 
 BD  SB sin 



a2
a2
 SB (1  sin   sin  )  a  SB 

(1)
1  sin 2   sin 2  cos 2   sin 2 
Ta có th tích c a kh i chóp S. ABC là:
1
1
1
a
V  SABC .SA  AD.BC.SA  a .2SB sin  .SB sin   .SB2 sin  sin  (2)
3
6
6
3
2
a
a
a 3 sin  sin 



sin
sin
(*)
Thay (1) vào (2) ta đ c: V  .
3 cos 2   sin 2 

3(cos 2   sin 2  )
1  cos 2 1  cos 2 cos 2  cos 2
L i có: cos2   sin 2  


 cos(   ) cos(   ) (2*)
2
2
2
a 3 sin  sin 
Thay (2*) vào (*) ta đ c: V 
.
3cos(   ) cos(   )
2

2

2

Bài 10. Cho hình l p ph

2

2

ng ABCD.A' B ' C ' D ' c nh a . i m M thu c đo n AD ' và đi m N thu c

đo n BD sao cho AM  DN  x v i 0  x  a 2 .
a 2
thì đo n MN ng n nh t.

3
2) Ch ng minh r ng MN luôn song song v i m t ph ng ( A' D ' CB) khi x bi n thiên.

1) Ch ng minh r ng khi x 

Gi i:
A'

B'

D'

C'

M
A

B

E

D

Hocmai.vn – Ngôi tr

N

ng chung c a h c trò Vi t

C

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

a 2
thì đo n MN ng n nh t.
3
K ME  DA ( E  DA), khi đó tam giác AEM vuông cân t i E
AM
x
x
. Xét tam giác EDN , ta có:
 EM  EA 

 DE  a 
2
2
2

1) Ch ng minh r ng khi x 

2

2 5 2
x 
x 


2
2
EN  DE  DN  2 DE.DN cos EDN   a 
  x  2 a 
 x. 2  2 x  2ax 2  a
2
2


Xét tam giác MEN , ta có:
2

2

2

2


x2 5 x2
a 2  a2 a2
MN  EM  EN  
 2ax 2  a 2  3x2  2ax 2  a 2  3  x 
  
2

2
3 
3
3

2

2

2

D u “=” x y ra khi x 





a 2
a 3
a 2
thì đo n MN ng n nh t và b ng
.
 0; a 2 . V y x 
3
3
3

2) Ch ng minh r ng MN luôn song song v i m t ph ng ( A' D ' CB) khi x bi n thiên.
Ta có A, M , D ' và D, N, B l n l

t n m trên hai đ

ng th ng chéo nhau là AD ' và DB


AM MD ' AD '
 AM  DN  x
Do 



DN
NB
DB
'
2
AD
DB
a




Khi đó theo đ nh lý Ta – lét đ o, ta suy ra AD, MN, D ' B cùng song song v i m t m t ph ng (1)

 D ' B  ( A' D ' CB)
M t khác: 
(2)
 AD / /( A' D ' CB)
T (1) và (2), suy ra MN / /( A' D ' CB) .

Chú ý: ( nh lý Ta – lét đ o trong không gian)
Cho hai đ

ng th ng chéo nhau d và d ' . L y các đi m phân bi t A, B, C trên d và các đi m A', B ', C '

trên d ' sao cho

AB
BC
CA
khi đó ba đ


A' B ' B ' C ' C ' A'

ng th ng AA', BB ', CC ' cùng song song v i m t m t

ph ng.
( ngh a là có c tr

ng h p 2 đ

ng cùng song song v i m t m t ch a đ
Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

ng kia)

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN






Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào

rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-