TUYỂN TẬP NHỮNG CÂU HÌNH PHẲNG HAY VÀ KHÓ THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

HÌNH H C PH NG HAY VÀ KHÓ
TÀI LI U BÀI GI NG
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l

c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Hình h c ph ng hay và khó thu c khóa h c Luy n thi THPT

qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.

có th n m v ng ki n th c ph n

này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC n i ti p đ
c nh AB ( M  A, M  B ), k đ

ng th ng vuông góc v i AB , c t các đ

ng tròn đi qua 3 đi m D, E, C c t đ

t i D(9; 2) và E

ng tròn (T ) . T đi m M thu c

Tìm t a đ đ nh A , bi t A thu c đ

ng th ng AC, BC l n l

t

ng tròn (T ) t i đi m F (2; 3) khác C .

ng th ng d : x  y  5  0 .

Gi i:

d:x + y 5 = 0
A(?)

F(2; 3)

M
D(9; 2)
B

C

E

(T)

Ta có ABCF n i ti p đ
L i có ECDF n i ti p đ

ng tròn (T ) nên BAF  ECF (1) (vì cùng bù v i góc BCF )
ng tròn nên FDE  ECF

(2) ( vì cùng ch n cung EF )

T (1) và (2), suy ra: BAF  FDE  BAF  FDM  FDE  FDM  1800 hay MAF  FDM  1800
Suy ra AMDF n i ti p đ ng tròn
Mà AMD  900  AFD  900 hay AF  FD , khi đó AF có ph

ng trình: 7 x  y  11  0

7 x  y  11  0
x  1

 A(1; 4)
Suy ra t a đ đi m A là nghi m c a h 
x  y  5  0
y  4
V y A(1;4) .

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Bài 2. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông t i A có đ
BM .

ng tròn (T ) đi qua M và ti p xúc v i đ

Hình h c Oxy

ng cao AH , trung tuy n

ng tròn ngo i ti p tam giác ABC t i B c t c nh

AC t i đi m th hai là E .
ng th ng BE có ph ng trình 3x  4 y  6  0 và H (2; 3) . Tìm t a đ
các đ nh c a tam giác ABC , bi t A thu c đ ng th ng d : x  y  1  0 .

Gi i:

d: x + y 1 = 0

3x 4y + 6 = 0

A(?)
E
1

D

2

1

B(?)

1
3

H( 2; 3)

G i AH

M

N

C(?)

BE  D , ta s ch ng minh D là trung đi m c a AH . Th t v y:

G i N là giao đi m c a BC và đ

ng tròn (T ) , khi đó : N1  E1 (cùng bù v i góc E2 )

Mà E1  B1  900  N1  B3  B1  B3

(1)

M t khác, ABH ~ CBA và BM là trung tuy n c a CBA
(2)
T (1) và (2), suy ra BD c ng là trung tuy n trong tam giác ABH hay D là trung đi m c a AH
 a  2 a  2 

G i A(a ;1  a )  d  D 
;

2 
 2
a 2
a  2
Khi đó D  BE  3.
 4.
 6  0  a  2  A(2;3)
2
2
Khi đó BC đi qua H và vuông góc AH nên BC có ph ng trình: y  3

 y  3
 x  6

 B(6; 3)
Suy ra t a đ đi m B là nghi m c a h : 
3x  4 y  6  0
 y  3
AC đi qua A và vuông góc AB nên AC có ph ng trình: 2 x  3 y  5  0
2 x  3 y  5  0
x  7

 C (7; 3)
Suy ra t a đ đi m C là nghi m c a h : 
 y  3
 y  3
V y A(2;3), B( 6; 3), C(7; 3) .

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Bài 3. Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình bình hành ABCD .
c t DC, BC t i M , N và có ph

MNC .

ng phân giác góc BAD l n l

ng trình x  y  3  0 . G i I là tâm đ

ng tròn (T ) ngo i ti p tam giác DIC có ph

Hình h c Oxy

t

ng tròn ngo i ti p tam giác

ng trình: x2  y2  9 x  9 y  23  0 , bi t AD

7 
đi qua đi m E  ; 2  và đ nh B thu c đ ng th ng d : x  3 y  9  0 . Tìm t a đ các đ nh c a hình
2 
bình hành ABCD bi t các đi m B, D có t a đ nguyên.

Gi i:

Tr

c tiên ta s đi ch ng minh B thu c đ

ng tròn (T ) . Th t v y:

Theo gi thi t, ta d dàng suy ra đ c: DAM và CMN là các tam giác l n l t cân t i D và C
 DM  DA  CB
 DC  DM  CM  CB  CN  BN hay DC  BN (1)
Suy ra 
CM  CN
Do CMN cân t i C và ngo i ti p đ

ng tròn tâm I nên ta có:

C1  C2  N1 hay C1  N1 (2) và CI  NI

(3)

T (1), (2), (3), suy ra : DCI  BNI (c.g.c)  CDI  NBI , suy ra D, B cùng nhìn CI d
b ng nhau. Do đó BDIC n i ti p đ

i các góc

ng tròn hay B  (T )

x  3y  9  0
x  6

Khi đó t a đ đi m B là nghi m c a h :  x2  y2  9 x  9 y  23  0  
 B(6;1)

y
1

 x, y 


G i F đ i x ng v i E qua AM  F  AB
Khi đó ph ng trình EF : 2 x  2 y 11  0 , suy ra t a đ giao đi m K c a EF và AM là nghi m c a h :

Suy ra ph

17

x

2 x  2 y  11  0

4  K  17 ; 5   F  5; 1 







 4 4
 2
x  y  3  0
y  5

4
ng trình AB : x  2 y  4  0 , khi đó t a đ đi m A là nghi m c a h :

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

x  2 y  4  0
x  2


 A(2; 1)

x  y  3  0
 y  1
7 
AD đi qua A(2; 1) và E  ; 2  nên có ph ng trình: 2 x  y  5  0
2 
2 x  y  5  0
x  3

Suy ra t a đ đi m D là nghi m c a h :  x2  y2  9 x  9 y  23  0  
 D(3;1)
y

1

 x, y 


Do ABCD là hình bình hành, suy ra BC  AD  C (7;3) . V y A(2; 1), B(6;1), D(3;1), C(7;3) .

Bài 4. Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình ch nh t ABCD có D(2;1) . Phân giác góc BAD c t
c nh CD t i đi m M . G i H (1;3) là hình chi u vuông góc c a C trên AM . Xác đ nh t a đ các đ nh
còn l i c a hình ch nh t ABCD bi t đ nh B có hoành đ âm.

Gi i:

AB= 2BC

A(?)

B(?) xB<0

I
G
D(2;1)

C(?)

M
H(1;3)

G i AC

BD  I  , suy ra I là tâm đ

ng tròn (T ) ngo i ti p hình ch nh t ABCD

Ta có CHA 900  H  (T )  BHD  900 hay BH  HD , suy ra ph
M t khác DBH  DAH 

ng trình BH : x  2 y  5  0

DAB
 450  BHD vuông cân t i H
2

G i B(2b  5; b)  BH , khi đó:

b  4  B(3; 4)

xB 0


 B(1; 2)
BH  DH  BH 2  DH 2  (2b  6)2  (b  3)2  5  (b  3) 2  1  
b  2  B(1; 2)
1 3
Suy ra I  ;  ( I là trung đi m c a BD )
2 2
Lúc này ta s đi tìm đi m A theo 2 cách sau:
Cách 1 (tìm A theo đi m lo i 3)
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

 4
G i G là tr ng tâm tam giác ADC , suy ra DI  3GI  G 1; 
 3

Tam giác ADM vuông cân t i A (do DAH  450 )  DM  AD  BC 

AD
, suy ra M là trung đi m c a
2

DC
Khi đó AM  2DM  2MC  2. 2MH  2MH
2
2
4
4
 AM  AH  AG  AM  AH  AG  AH  A(1;0)
3
3
9
9
Do I là trung đi m c a AC  C (0;3)
Cách 2 (tìm A theo đi m lo i 4)

(a  1) 2  (b  2) 2  4 (a  2) 2  (b  1) 2 



AB
2
AD


2
2


G i A(a ; b) , ta có 
1 
3 5

 AI  IB
 a     b   
2 
2 2

 a  1
 A(1;0)

5a  b  5
b  5  5a
b0
a  b  6a  4b  5  0


 2
 2
 2

   5 40 
2
2









a
b
a
b
a
a
3
0
13
18
5
0
5
40  A ; 


a  b  a  3b  0
  13 13 
a  ; b 
13
13

Vì A, H khác phía v i BD , suy ra A(1;0)  C (0;3)
2

2

V y A(1;0), B( 1;2), C(0;3) .
 10 1 
ng tròn (T ) . Bi t G  ; 
 3 3
là tr ng tâm tam giác ABC . G i E (0; 2) là giao đi m th hai c a CG v i đ ng tròn (T ) và đ ng

Bài 5. Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình ch nh t ABCD n i ti p đ

tròn (T ) đi qua đi m F (2; 4) . Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t ABCD bi t B có hoành đ
d ng.
Gi i:
E(0;2)

A(?)

B(?) xB>0
G(10/3;1/3)
I
C(?)

D(?)

F(2;4)

G i AC

BD  I  , khi đó I là tâm c a đ

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

ng tròn (T ) .
T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Ta có IE  IF , suy ra I thu c đ

ng trung tr c c a EF có ph

Hình h c Oxy

ng trình: x  3 y  4  0

Suy ra I (3t  4; t ) . Do G là tr ng tâm tam giác ABC nên ta có:


 10

 xB  3t  4  3  3  3t  4 
 xB  2  6t





 B(2  6t;1  2t )
IB  3IG  
 yB  1  2t
 y  t  3 1  t 


 B
3 
M t khác, IB  IE  IB2  IE 2  (9t  2)2  (3t  1)2  (3t  4)2  (t  2)2

  41 3 
 1 1
 3
I  ;  ; B  ; 
t


 8
 8 8
 4 4
 16t 2  2t  3  0  

 5 1
t   1
I ;  ; B(5; 2)

2   2 2 
5 1
Do xB  0 , suy ra B(5; 2) và I  ;   , khi đó D(0; 3) (do I là trung đi m c a BD )

2 2
 10 1 
EC đi qua E (0; 2) và G  ;  nên có ph ng trình: x  2 y  4  0 , suy ra C (4  2c; c)
 3 3
2
2
c  1 C (6; 1)
3 
1  25

 c2  c  2  0  

Ta có CI  IB  CI  IB   2c     c   
2 
2
2

c  2
C (0; 2)  E
Suy ra C (6; 1) , khi đó A(1;0) .
V y A(1;0), B(5;2), C(6; 1), D(0; 3) .
2

2

bài toán trên ta có th tìm đi m I tr c , sau đó tìm đi m B theo cách trình bày sau:
1
1
Sau khi có I (3t  4; t ) . Ta có IG  IB  IE  3IG  IE ,
3

3
2
2

2  1 
2
2
Khi đó: 9 IG  IE  9  3t     t     (3t  4) 2  t 2
3   3  

Chú ý:

  41 3 
 3

t
I  8 ; 8 
 8


2
 16t  2t  3  0  

 5 1
t   1
I ;

2   2 2 
41


 43 
1

xB  
 xB  8  3.   24 





 41 3 
4

 V i I  ;  và IB  3IG  
(lo i vì theo đ bài xB  0 )
1
3
1
 8 8


 y   3. 
y 
B



 B 8
4


24



5
5

3.
x


B

x  5
5 1
2
6
 B
 B(5; 2) (th a mãn xB  0 )
 V i I  ;   và IB  3IG  
1
5
2
y

2 2
B

 y   3.
 B 2

6

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Ngoài ra

Hình h c Oxy

bài toán này các b n có th tìm đi m B theo góc nhìn c a đi m lo i 4, khi ta g i B(a ; b)

Sau đó ta s tìm đ

c t a đ đi m I ph thu c vào 2 n a , b nh IB  3IG

 IE  IF
a  ?  B
Lúc này ta có 

 …
 IB  IE

b  ?  I

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.

Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-