PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PT: ĐẶT ẨN PHỤ

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

BẤT PHƯƠNG TRÌNH: ĐẶT ẨN PHỤ
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng giảng Bất phương trình vô tỷ (p3) thuộc khóa học Luyện thi
THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tuấn) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần này,
bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Bài 1. Giải các bất phương trình sau
1. x2  2x  22  x2  2x  24  0

2. x  9  x  x2  9x  6 .
Lời giải.

1. Đặt t  x2  2x  24, ( t  0)  x2  2x  24  t 2  x2  2x  22  2  t 2
Bất phương trình trở thành: 2  t 2  t  0  t 2  t  2  0  0  t  1
2

x  2x  24  0
 x2  2x  24  1  
2

x  2x  23  0

 4  x  1  2 6
là nghiệm của bất phương trình đã cho.


1  2 6  x  6

2. Điều kiện : 0  x  9
Bất phương trình
 9  2 9x  x2  x2  9x  6  9x  x2  2 9x  x2  3  0 .

Đặt t  9x  x2 , t  0 , ta có bất phương trình :
t 2  2t  3  0  t  3  9x  x2  3  x2  9x  9  0 

93 5
93 5
.
x
2
2

Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là:
93 5
93 5
.
x
2
2

Bài 2. Giải các bất phương trình sau
1. 5 x 

5
2 x

 2x 

1
4
2x

2.

x x
1  2(x2  x  1)

1

Lời giải.
1. Điều kiện : x  0 .
Bất phương trình  5( x 

1
2 x

)  2(x 

1
) 4.
4x

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Đặt t  x 

1
2 x

, (t  2)  x 

PT – HPT- BPT

1
 t2  1
4x

Bất phương trình trở thành:
5t  2(t 2  1)  4  2t 2  5t  2  0  t  2 (do t  2 )

32 2
0  x 
1
2
t2x
 3  4x2  12x  1  0  
4x


32 2
x 

2



Vậy T   0;



3  2 2  3 2 2
;   .

2
2
 



x  0
x0.
2

2x  2x  2  1

2. Điều kiện: 

0
Ta có: 1  2(x2  x  1)  1  2 (x  )2    1 

2
4
2

1

3

3

Nên bất phương trình tương đương với
x  x  1  2(x2  x  1)  x  x  1  2(x2  x  1)  0

Ta thấy x  0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho
x

x ta được:

1
1
 1  2  x   1   0 .
x
x



Đặt t  x 

1
1

 t 2  x   2 , nên ta có bất phương trình
x
x

t  1  2(t 2  1)  0  2(t 2  1)  1  t


t  1
t  1
 2
 2
 t  1
2
2(t  1)  1  2t  t


t  2t  1  0

 x

1
1  5
3 5
.
 1  x  x  1  0  x 
x
2
2
x
3  5 


 2 

Vậy T  

Bài 3. Giải các bất phương trình sau
1.

7x  7  7x  6  2 49x2  7x  42  181  14x

2. x  x  x  1  x2  x  2

3.

1
1 x

2

1

3
1  x2

.

Lời giải.
6
7

1. Điều kiện : x  .

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

Đặt t  7x  7  7x  6, (t  0)  14x  2 49x2  7x  42  t 2  1
Bất phương trình đã cho trở thành:
t  t 2  1  181  t 2  t  182  0  0  t  13  7x  7  7x  6  13

(*)

Vì hàm số f(x)  7x  7  7x  6 là hàm đồng biến và f(6)  13
Do đó (*)  x  6
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của bpt là : T   ; 6  .
7 
6

2. Điều kiện: x  1 .
Đặt t  x  x  1,x  1  t  1 .
Khi đó: t 2  x  x  1  2 x  x  1  x  x2  x 

t2  1
2

Phương trình cho viết lại:
 t2  1
t 2  2t  3  0
3  t  1
2
t 



 t 1

2

t  1
t  1
t  1


Với t  1 tức x  x  1  1  x  x  1  2 x 2  x  1

1  x  0
 x2  x  1  x   2
2

x  x  1  2x  x
x  1


 x  1 thoả mãn x  1 .
x  1

Vậy x  1 là nghiệm phương trình đã cho.
3. Điều kiện: x  1 .
Bất phương trình đã cho viết lại:
x2
1 x

2

3

Đặt t 

x
1  x2
x
2

1 x
t  1 hoặc t  2 .

* Với t  1 tức

1
1 x

2

1 2 

3
1  x2

tương đương với

 2  0   .

khi đó bất phương trình   trở thành t 2  3t  2  0 , giải bất phương trình này ta được

x
1 x

2

 1  1  x2  x

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

 1  x  0


  0  x  1
 1  x2  x 2
 

hay

 1  x  0
1

.
1  1  x 
0  x 
2

2

0x1


hay
 2  x  2 1  x2   2
x  4 1  x2
1  x2


x

* Với t  2 tức

PT – HPT- BPT



2
 x  1.
5



Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: T   1;    ;1  .
2  5 

1

2

Bài 4. Giải các bất phương trình sau
1.
3.
5.

3

5x2  10x  1  7  2x  x2

2. x2  2x  4  4 (4  x)(x  2)  0

24  x  12  x  6

4.

1
1 x

2

7. 5 x 

9.

1
x2



3x



1 x

5
2 x

2

6. x(x  4) x2  4x  (x  2)2  2

1

 2x 

1
4
2x

8. 1 

x2

5 1  x2
x

(

)2 0
2
2
x
1 x
1  x2

2
x  x2  x  1  x
3

10. 2x2  12x  6  2x  1  x  2

x  1  x  3   x  3 2  2x  2

11.

2x  1  x2  x

12.

5 3
x  x  2  x2  3
2

Hướng dẫn giải
1. Bất phương trình  5 5x2  10x  1  5x2  10x  35  0
Đặt t  5x2  10x  1, t  0 , ta có bất phương trình :
t 2  5t  36  0  t  4

 x  3
.
 5x2  10x  1  4  x2  2x  3  0  
x  1

2. Đặt t  (4  x)(x  2)  x2  2x  8 , t  0
Ta có: t2  4t  12  0  t 2  4t  12  0  0  t  2
2

1  5  x  4
x  2x  8  0
 x2  2x  8  2  

2
 2  x  1  5


x  2x  4  0

3. Đặt t  12  x, t  0  x  12  t2 .Ta có:
3

36  t 2  t  6  3 36  t 2  6  t  36  t 2  216  108t  18t 2  t 3

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

t  3
 t 3  19t 2  108t  180  0  (t  10)(t  6)(t  3)  0  
6  t  10
 3  x  12
là nghiệm của bất phương trình đã cho.

 88  x  24

4. Bất phương trình  2x  1  4x2  4x  (2x  1)2  1
Đặt t  2x  1 , t  0 . Ta có: 4t  t 4  1  t 4  4t  1  0



 

 t 4  2t 2  1  2(t 2  2t  1)  0  t 2  1





2

2t  2



2

0



 t 2  2t  1  2 t 2  2t  2  1  0  t 2  2t  1  2  0

 0  t  1  2x  1  1  1  x  0 .

5. Bất phương trình 

Đặt t 

* t2

x
1 x

2

x
1  x2

x2
1 x

2

3x



1  x2

2.

t  2
t  1

. Ta có: t 2  3t  2  t 2  3t  2  0  
 2 vô nghiệm

 1  x  0

 0x1
 1  x  0

x
1
 1  

* t 1
.
1  1  x 
2


2
0

x

2
 x
1 x
2

 1 
2
  1  x

Vậy nghiệm bpt: 1  x 

1

.
2

6. Bất phương trình  (x2  4x) x2  4x  x2  4x  2  0
Đặt t  x2  4x , t  0 .
Ta có: t3  t 2  2  0  (t  1)(t 2  2t  2)  0  0  t  1
2

2  3  x  4
x  4x  0
.


2
0

x

2

3

x

4x

1

0






7. Điều kiện : x  0 .
Bất phương trình  5( x 
Đặt t  x 

1
2 x

1
2 x

, (t  2)  x 

)  2(x 

1
) 4.
4x

1
 t2  1
4x

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

Bất phương trình trở thành:
5t  2(t 2  1)  4  2t 2  5t  2  0  t  2 (do t  2 )

32 2
0  x 
1
2
là nghiệm của bất phương trình đã cho.
t2x
 3  4x2  12x  1  0  
4x

32 2
x 

2

8. Điều kiện: 0  x  1
Đặt t  x  1  x, t  0  t2  2 x(1  x)  1
1
3

Ta có bpt: 1  (t 2  1)  t  t 2  3t  2  0  1  t  2
 1  x  1  x  2  1  2 x  x2  1  4 (*)

Vì 0  2 x  x2  1  (2x  1)2  1  (*) luôn đúng
Vậy nghiệm của bpt: 0  x  1 .
9. Điều kiện : 1  x  1
Đặt : t 

1  x2
x
1  x2
x2
1
x2

, t  2  t2 


2


1
x
x2
1  x2
x2 1  x2
1  x2

5
2

Ta có: t 2  1  t  2  0  2t 2  5t  2  0  t  2 (Do t  2 )


1  x2
x
1
là nghiệm của bpt đã cho.

 2  x  
2
x
2
1 x

1
2

10. Điều kiện: x  .
2  x  2 2  2  2x  1  x  2  2x  1 

Bất phương trình viết lại:

u  2x  1  0

khi đó bất phương trình   trở thành

v  x  2

Đặt 


u  v  0
2u2  2v 2  u  v   2
2 uv
2

2u  2v   u  v 

Giả sử u  v tức


x  2  0
2x  1  x  2   2
 x  1 hoặc x  5 .

x  6x  5  0

Vậy để u  v  x   ;   và x  1,x  5 .
1
2




Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

u  x  1,u  0

.

v  x  3

11. Đặt: 

2
2


Khi đó bất phương trình cho tương đương với: u  v  v  2u


u  0

2
2
2

2uv  u2
u  0

 u  v   v  2u





 u  2v
u  0
u  0


Với u = 0 tức

x  1  0 vì thế x  1

Với u  2v tức x  1  2  x  3  , bất phương trình này tương đương:
x  1  0
x  1


x  1


 x  3

x3
x  3  0
x  3

 2

2

x  1  4  x  3 
4x  25x  37  0


Vậy tập nghiệm bất phương trình: T   3;   .
12. Điều kiện: x3  x  2  0  (x  1)(x2  x  2)  0  x  1 .
Bất phương trình  5 (x  1)(x2  x  2)  2(x  1)  2(x2  x  2)
5

x1
2

x x2

2

x1
2

x x2

 2 . Đặt t 

x1
2

x x2

,t  0

1
2

Ta có: 5t  2t 2  2  t  2 v t  .
 t2

 t

x1
2

x x2

 4  4x2  5x  7  0 (vô nghiệm)

1
x1
1
5  33
5  33
 2
  x2  5x  2  0  x 
vx
2
2
2
x x2 4

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là:
1  x 

Bài 5. Giải bất phương trình :

5  33
5  33
và x 
.
2
2

x x
1  2(x2  x  1)

 1.

Lời giải.
Đây được xem là bài bất phương trình khó nhất trong mấy năm gần đây.
Trước hết ta có điều kiện của bất phương trình:


x  0
x  0
 2
 x0.

2

1  2(x  x  1)  0

2x  2x  1  0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

Điều đầu tiên ta nghĩ tới là khử mẫu. Muốn thực hiện được phép quy đồng, ta cần biết dấu của mẫu
thức. Qua việc xét điều kiện ở trên ta thấy mẫu số không đổi dấu, dễ dàng thấy được
1  2(x 2  x  1)  0, x 

Nên bất phương trình đã cho tương đương với:
x  x  1  2(x2  x  1)

(*)

Tiếp tục xử lí bất phương trình này ta nghĩ đến bình phương. Muốn vậy, ta chuyển hai căn thức về một
vế (để sau khi bình phương thì trong bất phương trình chỉ còn một căn thức)
Cách 1. Ta có (*)  1  x  2(x2  x  1)  x (**)
Muốn bình phương, ta cần xác định dấu của hai vế của (**)
Nhận thấy 2(x2  x  1)  x 

2x2  3x  2

2(x2  x  1)  x

 0 , x 


0  x  1

Nên (**)  

2
2
2

x  2x  1  2x  x  2  2 2x(x  x  1)


0  x  1
0  x  1
0  x  1




 4
2
2
2
3
2
2

2
8x(x  x  1)  (x  x  1)

2 2x(x  x  1)  x  x  1 
x  6x  11x  6x  1  0

0  x  1
0  x  1
3 5


 2
 2
x
.
2
2
(x  3x  1)  0
x  3x  1  0



Vậy bất phương trình có nghiệm x 

3 5
.
2

Từ (*) ta quan sát thấy các hệ số đối xứng nên ta nghĩ đến việc chia hai vế của bất phương trình cho
x . Ta có cách giải thứ 2.

Cách 2. Vì x  0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của (*) cho

x ta có được:

1
1
2(x  1  ) 
1 x .
x
x

Đặt t 

1
x

 x ta có bất phương trình :

1
3 5
t  1
2(t 2  1)  t  1  
 t 1
 x 1 x 
2
2
x

(t  1)  0

Giáo viên
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

: Lê Anh Tuấn
:
Hocmai.vn

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN






Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI






Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc

gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

-