PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PT: HÀM SỐ (PHẦN 1)

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

H PH

PT – HPT- BPT

NG TRÌNH: HÀM S

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ ANH TU N
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng H ph ng trình : Hàm s thu c khóa h c Luy n thi THPT
qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tu n) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n
k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

 x3  12 x  y3  6 y2  16  0
Bài 1 Gi i h ph ng trình: 
2
2
2
4 x  2 4  x  5 4 y  y  6  0
Gi i
K: x   2;2 , y  0;4
Ta có PT (1)  ( x  2)3  6( x  2)  y3  6 y2
Xét hàm s

f (t )  t 3  6t , t  0;4 ta có f '(t )  3t 2  12t  3t (t  4)  0, t  0;4  f (t ) ngh ch bi n trên

0; 4 . Mà ph

ng trình (1) có d ng: f ( x  2)  f ( y)  y  x  2 thay vào ph

ng trình (2) ta có:

4 x2  6  3 4  x2  x  0 t đó ta có y = 2.
K t lu n: H ph ng trình có nghi m (0; 2).
2
2

 ( x  2) x  4 x  7  y y  3  x  y  2  0
Bài 2 Gi i h ph ng trình sau: 
2

 x  y 1  x  y 1
Gi i
2
i u ki n: x  y  1  0

Ph

ng trình (1)  ( x  2) ( x  2)2  3  x  2   y ( y)2  3  y

Xét hàm s

f (t )  t t 2  3  t Có f '(t )  t 2  3 

t2

 1  0 t
t2  3

ng trình (1)  x  2   y

 Hàm s f (t ) đ ng bi n trên R  Ph
Thay vào (2) ta có :
3
3


x 
x 


2

x  x 1  2x  3  
2
2
2
2
 x  x  1  4 x  12 x  9
 x2  x  1  4 x2  12 x  9
3



x

2
3



x 


   x  1  x  1  y  1 (tmdk)
2
3x2  13x  10  0

10
 x  
3

V y h có nghi m (x;y) = (-1;-1).
Bài 3 Gi i h ph


 53  5 x 10  x   5 y  48  9  y  0
ng trình sau: 
 x, y 
2

 2 x  y  6  x  2 x  y  11  2 x  66

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12



1
 2
- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

Gi i

10  x  0
 x  10
9  y  0
y  9


K: 

2 x  y  6  0
2 x  y  6  0
2 x  y  11  0
2 x  y  11  0
T PT(1) ta có 5 10  x  3 10  x  5  9  y  3 9  y,  3

f  t    5t 2  3 t trên kho ng t  0;   có f /  t   15t 2  3  0, t  0 hàm s đ ng bi n

Xét hàm s



.T (3) ta có f

 

10  x  f



9  y  10  x  9  y  y  x  1,  4  Thay (4) vào (2) ta đ

x  7  10  x  x2  2 x  66  0 (5)

Gi i (5) ta đ



K: x  7;10

c

 



x  7  4  1  10  x  x2  2 x  63  0 

 x  9[

c

x9
x9

  x  9  x  7   0
x  7  4 1  10  x

1
1

  x  7  ]  0  x  9, y  8
x  7  4 1  10  x

V y H ph

ng trình có nghi m duy nh t  x; y   9;8

Bài 4 Gi i h ph


1 y
x

 x y 1

ng trình sau: 1  1  x 1  y

 1 x  4  y  2 2

Gi i

K: 0  x; y  1
PT(1) 

1 y
x
x
 1  y (*)
1 1 x
1  1  (1  y)
1

xét h/s f (t ) 

t
 t ; có f ' (t )  2 t
1 1 t

1
. t
2 1 t
 1  0 ,t  (1; )
(1  1  t ) 2

(1  1  t ) 

vì (*)  f ( x)  f (1  y)  x  1  y , th vào pt(2) ta đ

c:

1  x  5  x  2 2  6  2 x  2 5  6 x  x2  8
 5  6 x  x2  x  1  5  6 x  x2  ( x  1) 2  x 

1
1
 y
2
2

(tmđk)

1

x


2
v y h pt có nghi m là 
y  1

2
Bài 5 Gi i h ph

2

x  0
 3 x  2 x  3 y
(II). i u ki n: 
ng trình : 

2
y  0

 3 y  2 y  3 x

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

2

 3 x  2 x  3 y
Ta có (II)  
2

3  x  3  y  2 y

3  x2  3 x  3  3  y2  3 y  3

C ng v theo v ta có:

Xét hàm s

(2)

f (t )  3  t 2  3 t  3 . Mi n xác đ nh: D  1;  

t

o hàm: f / (t ) 



3

 1  0 x  D . Suy ra hàm s đ ng bi n trên D.
2 t
3t
T (*) ta có f ( x)  f ( y)  x  y
2

Lúc đó: 3  x2  x  3 (3)
+ VT (3) là hàm s hàm đ ng bi n trên D.
+ VP (3) là hàm h ng trên D.
Ta th y x  1 là nghi m c a ph ng trình (3) (th a đi u ki n)
Suy ra ph

ng trình có nghi m x  1 là nghi m duy nh t. V y h có nghi m 1;1

Bài 6 Gi i h ph

2
2

2 x  x  x  2  2 y  y  2 y  1 ( 1 )
ng trình: 
2
2

x  2 y  2x  y  2  0 ( 2 )
Gi i

L y(1)–(2)
Ta có x2  3x  2  x  2  4 y2  2 y  2 y  1

 ( x  1)2  ( x  1)  x  2  4 y2  2 y  2 y  1
Xét hàm s : f ( t )  t 2  t  t  1

1
2 t 1
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy
1
1
3
1

1  1 
2  t  1 
2
2
4 t 1 4 t 1

f '(t )  2t  1 

Suy ra f '  t   0
V y f  t  là hàm đ ng bi n
Suy ra x  1  2 y
Thay x  2 y  1 vào ph

ng trình ( 2 ) ta có  2 y  1  2 y2  2  2 y  1  y  2  0
2

y 1 x 1
 6 y  7 y 1  0  
 y  1  x  2
6
3

2


 2 1  
V y h có nghi m S  1; 2  ,  ;  
 3 6 

Bài 7 Gi i h ph

 3  x 2  x  2 y 2 y  1  0
ng trình: 
3
 x  2  2 y  2  5

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

Gi i
i u ki n x  2; y 
Ph

ng trình ( 1) t

f
Xét hàm s



3

ng đ

 

2 x  f

ng :  2  x 2  x  2  x   2 y  1 2 y  1  2 y  1



2 y 1 .

f  t   t 3  t ta có f '  t   3t 2  1  0 sau ra hàm s

T đó suy ra
Ta có

1
2

f



 

2 x  f

f  t  đ n đi u t ng .



2 y  1  2  x  2 y  1  x  3  2 y thay vào ph

ng trình (2)

5  2y  2 y 2  5 ( * )

u  3 5  2 y
t 
v  y  2  v  0 


y  2
u  1; v  2


u  2v  5
3  65
23  65
233  23 65

  y 
 u 
;v 
(*)   3
2
32
4
8
u  2v  9




233  23 65
65  3
23  65

y
;v 
u 

32
4
4


V y h có nghi m


 23 65  185 233  23 65   23 65  185 233  23 65  


S   1; 2  , 
;
;
 , 
 
16
32
16
32



 




2 x2 y  y3  2 x4  x6
Bài 8 Gi i h ph ng trình: 
2
 x  2  y  1   x  1
Gi i
y  0

V i x  0 thay vào h ph ng trình ta có 
3 ( mâu thu n )

y

4
3

Chia hai v ph
Xét hàm s
T đó suy ra

ng trình ( 1) cho x3 ta có 2

y  y
    2 x  x3 
x  x

f  t   t 3  2t có f '  t   3t 2  2  0 sauy ra hàm s
y
 x  x2  y  y  0  Thay vào ph
x

 y
f    f  x
 x

f  t  đ n đi u t ng .

ng trình ( 2) ta có

 x  2

x2  1   x  1 .(*)
2


u  x
t 
2

v  x  1  v  0 
(*)   u  2  v  v2  2u  v2  uv  2v  2u  0   v  u  v  2   0  v  2  x   3





V y h có nghi m S   3;3 ,
Hocmai.vn – Ngôi tr



3;3 .

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Bài 9 Gi i h ph



PT – HPT- BPT



2

 4 x  1 x   y  3 5  2 y  0
ng trình: 

2
2

4 x  y  2 3  4 x  7
Gi i

3

 x  4
i u ki n : 
y  5

2
ng trình ( 1 ) bi n đ i ta có 8x3  2 x   6  2 y 5  2 y   2 x  2 x 

Ph

3

f  t   t 3  t ta có f '  t   3t 2  1  0 suy ra hàm s

Xét hàm s

T đó suy ra  f  2 x  f





5  2 y  2x  5  2 y  y 





3

5  2y  5  2y

f  t  đ n đi u t ng .
5  4 x2
 x  0
2

Thay vào Phuong trinh ( 2) ta có
2

 5  4 x2 
3
 3
đ u không là nghi m
4x  
  2 3  4 x  7  0 . V i x  0;  . Nh n xét x  0 ; x 
4
 4
 2 
2

2

 5  4 x2 
4
 3
2
 0 v i x   0; 
g  x  4 x  
  2 3  4 x  7 Khi đó g '  x  4 x 4 x  3 
3  4x
 4
 2 



2



1
1
Ta có g    0  x  ; y  2 là nghi m duy nh t c a h .
2
2
3
2

2
 y  1  y y  1  x  2
Bài 10 Gi i h ph ng trình: 
 x  x2  2 x  5  1  2 2 x  4 y  2


Gi i
i u ki n 2 x  4 y  2  0

Ph

ng trình ( 1 ) t

Thay vào ph
x 1 

ng đ



2



y2  1  y



2



x 1
 x 1 
2
 

 1  y  y 1
2
 2 
2



f (t )  t  t 2  1. Khi dó f '(t )  1 

t
t 1
2

 0 suy ra hàm s

f  t  đ n đi u t ng .

x 1
 x 1 
 x 1 
T đó suy ra f 
 y  x  2 y  1 thay vào ph
  f  y 
  f  y f 
2
 2 
 2 
đ c
 y2  1  2  y
2

5
3
y2  1  y  4  
 y x
2
2
4
 y  1  2  y






2

y2  1  y (*)

ng trình (2) ta có

 x  1  1  2

Xét hàm s



ng 2 x  4 y  2  y2  1  2 y y2  1  y2  2 x  4 y  2 

ng trinh (*)ta



Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

5 3
V y h có nghi m  ; 
2 2

 x  x2  2 x  5  3 y  y2  4
ng trình: 
2
2
 x  y  3x  3 y  1  0
Gi i
ng trình ta có

Bài 11 Gi i h ph

C ng hai ph

x2  2 x  1  x2  2 x  5  y2  y2  4
  x  1 
2

Xét hàm s

 x  1

2

 4  y2  y2  4

f  t   t  t  4  t  0  Khi đó f '  t   1 

T đó suy ra f

 x 1   f  y    x 1
2

V i y  x  1 thay vào ph

2

T ph

3
1
 y

4
4

2
2
2

x y  2x  2 y  5 y  2  0
ng trình 
2
2
2
2

 y  1  x  y  2 xy  x  x  2 xy  y  1  y
Gi i

ng trình (2) ta có đ/k : x  y , y  0

Xét hàm s

3
1
 y
2
2

ng trình hai ta có

x2   x2  2 x  1  3x  3 1  x  1  0 x 

Bài 12 Gi i h ph

f  t  đ n đi u t ng .

 y  x 1
 y2  
 y  1 x
ng trình hai ta có
2

x2   x2  2 x  1  3x  3  x  1  1  0  x 

V i y  1  x thay vào ph

1
 0 suy ra hàm s
2 t4

y2  1  y  y2 

f  t   t 2  1  t  t 2 liên tuc 0;   có f /  t  

 x  y
t

2

( x, y  R) .

 1  x  y   x  y .
2

1
 2t
t 2  1 .2 t


 1
 1
t
 2 
 0 t  0 Suy ra hàm s ngh ch bi n  0;   nên f  y  f  x  y  x  2 y
2
2
t
1
t




Thay vào (1) ta có

Bài 13 Gi i h ph

 y  2  x2  x  1  0  y  2

 x  4 .V y h có nghi m (x ;y) = (4 ; 2).

2 x  2 y  2 x  y  2 xy  1  1

ng trình:  3 3 y  1  8 x3  2 y  1
x  0

Gi i

Ta có (1)   2 x  1  2  y  1 

 2 x  1 y  1  0

K: (2x + 1)(y + 1)  0
2 x  1  0
Mà x > 0  
 y 1  0
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Ta có PT (1) 



2x 1  y  1



PT – HPT- BPT



2x 1  2 y 1  0

 2x  1  y  1  0
 y  2x

Thay vào (2):

3

6 x  1  8x3  4 x  1

  6 x  1  3 6 x  1   2 x  2 x
3

Hàm s f(t) = t3 + t đ ng bi n trên R
1
(3)  3 6 x  1  2 x  4 x3  3x 
2
Nh n xét: x >1 không là nghi m c a ph
Xét 0  x  1:
 cos 3 

t x = cos

v i 0 

(3)

ng trình
2

1
2

2

  9 k 3
(k  Z )

  k 2

9
3
Do 0  

2

 

9



V y h có nghi m:  cos ; 2 cos 
9
9


Bài 14 Gi i h ph

 x5  xy4  y10  y6
(1)
.
ng trình: 
2
 4 x  5  y  8  6 (2)
Gi i

5
K: x   . N u y = 0 thì t ph ng trình (1) ta suy ra x = 0, th vào ph ng trình (2) ta th y không th a
4
mãn, v y y khác 0.
t x = ky ta đ c (1) tr thành :
5 5
k y  ky5  y10  y6  k5  k  y5  y (3). Xét hàm s f (t )  t 5  t trên , ta có

f '(t )  5t 4  1  0t  . Do đó f(t) là hàm s đ ng bi n trên
(3)  f ( k)  f ( y)  k  y  x  y 2. Th vào (2) ta đ

,v y

c

4 x  5  x  8  6  5x  13  2 4 x2  37 x  40  36  2 4 x2  37 x  40  23  5x
23  5 x  0
5 x  23
x  1
 2




2
2
 x  41
16 x  148 x  160  25 x  230 x  529 9 x  378 x  369  0
Suy ra x = 1 và do đó y  1 .
Bài 15 Gi i h ph

 x2 y  2 x2  2 y2  5 y  2  0
ng trình: 
.
2
2
2
2
 y  1  x  y  2 xy  x  x  2 xy  y  1  y
Gi i

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

K: x  y  0; y  0  x  y  0
T (2) :

 x  y

y2  1  x  y  y2   y2  2 xy  x2 

 x  y

 y2  1  y  y2  

2

 1  x  y   x  y

Xét hàm s : f (t )  t 2  1  t  t 2

1

1  y

2

t
t2 1



 1
 1
 2t  t 
 2 
0
2
2 t
 t 1
 2 t
1

1

 2  0 v i m i t>0 )
t 1
t 1
Nh v y h có nghi m ch x y ra khi : y  x  y hay x = 2y .
(Vì :

t2 1  1  0 

t  0   f '(t ) 

2

1

2

2

Thay vào (1) :  2 y y  2  2 y  2 y2  5 y  2  0  4 y3  10 y2  5 y  2  0
2

2

  y  2   4 y2  2 y  1  0  y  2 vì : 4 y2  2 y  1  0 vô nghi m .

V y h có nghi m : (x; y) = (4; 2).
 x2 1 8 y2  12
2 4
 3 2 y  x 1


.
ng trình: 
2
3
7


x
y


2

x y 
 2

2
2

Gi i



Bài 16 Gi i h ph



i u ki n : x, y  0



 x
2 y 
Ta có PT (1)  2.2
 3 x  2.2
3 2 y
4

4



Xét hàm s : f (t )  2.t 4  3t  t  0   f '(t )  8t 3  3  0 . Ch ng t f(t) luôn đ ng bi n .
Do v y đ ph

ng trình (1) có nghi m ch khi : x  2 y  x  4 y


Thay vào (2) : 2



4





4
4
7
3
3
. Xét hàm s : f(t)= 2t  t  f '(t )  4t 3 .2   0 .
2
2
2

1

y

4
x
y


3 7


4 1
5
Nh n xét : f(1) = 2 +  . Suy ra t = 1 là nghi m duy nh t .  

  x; y    ; 
2 2
5 5
 5 y  1  x  4

5

Bài 17 Gi i h ph

5y



3

2

*

5y 

Ta có PT (1)  x  x2  4 
Hàm s







 x  x2  4 y  y2  1  2

ng trình: 
27x 6  x3  8 y  2
(2)
Gi i

 2 y

2

1

 4   2 y

f  t   t 2  4  t đ ng bi n trên R nên 1  x  2 y

Th vào PT (2) ta có:
27x 6  x3  4x  3  3x 2  3 x3  4x  3
  x  1   x  1  x3  4x  3  3 x3  4x  3
3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

 3

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

L i xét : g  t   t 3  t , đ ng bi n trên R nên:

 3  x  1  3 x3  4x  2  3x 2  x  1  0  x 

1  13
6

2 y3  y  2 x 1  x  3 1  x
(x, y  )
Bài 18 Gi i h ph ng trình: 
2
 2 y  1  y  4  x  4
Gi i
i u ki n: 4  x  1; y  .
Ta có PT (1)  2 y3  y  2 1  x  2 x 1  x  1  x  2 y3  y  2(1  x) 1  x  1  x
Xét hàm s

 f (t ) đ ng bi n trên

f (t )  2t 3  t , ta có f '(t )  6t 2  1  0, t 

.V y

y  0
(1)  f ( y)  f ( 1  x)  y  1  x   2
 y  1 x
Th vào (2) ta đ

3  2 x  1  x  4  x  4  3 .

c

Xét hàm s g ( x)  3  2 x  1  x  x  4, liên t c trên [4;1] , ta có

1
1
1



 0 x  (4;1)  g ( x) ngh ch bi n trên [4;1] . L i có g (3)  4
3  2x 2 1  x 2 x  4
nên x  3 là nghi m duy nh t c a ph ng trình (3).
 x  3
V i x  3 suy ra y  2. V y h có nghi m duy nh t 
 y  2.
g '( x)  

2 x2 y  y3  2 x4  x6
Bài 19 Gi i h ph ng trình: 
2
 x  2  y  1   x  1
Ph ng trình (1) khi x = 0 và y = 0 không là nghi m do không th a mãn (2).
3

 y  y
ng trình (1) cho x3  0  1  2       2 x  x3
 x  x

Chia 2 v ph

Xét hàm s : f  t   2t  t 3  f '  t   2  3t 2  0t  R . Ch ng t hàm s f(t) đ ng bi n .
có nghi m thì ch x y ra khi :

x   3

áp s : 


y  3
Bài 20 Gi i h ph



y
 x  y  x2 .
x

x  3



y  3





n đây ta gi i nh

ph

ng trình

ph n trên.



 x  1  x2 y  1  y2  1


ng trình: 
 x 6 x  2 xy  1  4 xy  6 x  1
Gi i



2 

2

 x  1  x    y  1    y  
Ta có h  
. (nhân liên h p)
 x 6 x  2 xy  1  4 xy  6 x  1


Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Xét hàm s : f (t )  t  1  t  f '(t )  1 

2

Ch ng t hàm s đ ng bi n .
Thay vào ph

t
1 t2

1 t2  t



t2 1



PT – HPT- BPT

t t
1 t 2

 0, t  R

f  x  f   y ch x y ra x   y (*)

ng trình (2) :

2
 2 x2  6 x  1  3x
25 2

x

2
x 6 x  2 x  1  4 x  6 x  1   2 x  6 x  1   
x 
2
4

 2 x2  6 x  1  2 x
2

2

x  0
x  0
2 x2  6 x  1  3x   2
 2
 x  1; y  1
2
2 x  6 x  1  9 x
7 x  6 x  1  0
x  0
x  0
 2
2 x2  6 x  1  2 x   2
2
2 x  6 x  1  4 x
2 x  6 x  1  0

 Tr

ng h p :

 Tr

ng h p :

 x

3  11
3  11
3  11 3  11
. V y h có hai nghi m : (x; y) = (1;-1),(
)
;y
;
2
2
2
2

Bài 21 Gi i h ph

i u ki n : x 

 8 x  3 2 x  1  y  4 y3  0 1
ng trình:  2
3
2
4 x  8 x  2 y  y  2 y  3  0  2 

Gi i

1
. Ta có PT (1)  8x  3 2 x  1  y  4 y3 *
2









t t  2 x  1  2 x  t 2  1  8x  3 2 x  1  4 t 2  1  3 t  4t 2  1 t  4t 3  t
Do đó (*) : 4t 3  t  4 y3  y
Xét hàm s : f  u   4u3  u  f '  u   12u 2  1  0, u  R . Ch ng t hàm s đ ng bi n.
Do đó ph

2 x  y2  1 (**)
ng trình có nghi m khi : f  t   f  y  2 x  1  y  
y  0

Thay vào (2) :  y2  1  4  y2  1  2 y3  y2  2 y  3  0  y4  2 y3  y2  2 y  0
2









 y y3  2 y2  y  2  0  y  y  1 y2  3 y  2  0
y  0
y  2
 y  y  1 y  2  y  1  0  
 y  1

 y  2

  y  1

loai 

  y  2


y  0
y  0

1 
V y +) 

1   x; y   ;0 
2
2 
2 x  y  1  x 
2


y  0
y 1

  x; y  1;1
+) 
2
2 x  y  1  x  1

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

Giáo viên
Ngu n

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Lê Anh Tu n
:
Hocmai.vn

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N







Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-