PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ MỘT CĂN THỨC THẦY LÊ ANH TUẤN

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PH

ây là tài li u tóm l

PT – HPT- BPT

NG TRÌNH VÔ T 1 C N TH C (01)
Áẫ ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ ANH TU N

c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng gi ng Ph

ng trình vô t (ph n 1) thu c khóa h c Luy n thi

THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tu n) t i website Hocmai.vn.
này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

có th n m v ng ki n th c ph n

Rút g n đ a v ph ng trình c b n
Bài 1. Gi i các ph ng trình sau
a.

x3  2 x  5  2 x  1

b.

x3  x2  6 x  28  x  5

c.

x4  5x3  12 x2  17 x  7  6( x  1)

d.

x4  4 x3  14 x  11  1  x

f. 2  3 3 9 x2  x  2   2 x  3 3 3x  x  2 

e. 2 x  3  9 x2  x  4
H

ng d n

a.

x3  2 x  5  2 x  1

2

1

x
1


2
x  2

2 x  1  0

x 
  x2

 3

2
2

 x  2 x  5  (2 x  1)
x  1 3

 x3  4 x2  2 x  4  0

  x  1  3
b.

x3  x2  6 x  28  x  5

x  1

 x  5
x  5  0

 3
2   3
2
 x  1  13
 x  x  6 x  28   x  5

x  4x  3  0


2
áp s : x  1  x 
c.

1  13
2

x4  5x3  12 x2  17 x  7  6( x  1)

x 1  0
 x  1
 4
 4
3
2
2
3
2
 x  5 x  12 x  17 x  7  6( x  1)
 x  5 x  6 x  5 x  1  0(*)
Xét ph

ng trình (*) t a có: x  0 không th a mãn (*)

 (*)  x2  5 x  6 

t: x 

5 1
1 
1

 2  0   x2  2   5( x  )  6  0(**)
x x
x 
x


1
1
 t  x2  2  2  t 2
x
x

Thay vào (**) ta đ
Hocmai.vn – Ngôi tr

t  1
c: t 2  2  5t  6  0  
t  4
ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

V i: t  1  x 

1
 1  x2  x  1  0  VN
x

V i: t  4  x 

1
 4  x2  4 x  1  0  x  2  3
x

Th l i ta đ

PT – HPT- BPT

c: x  2  3 là nghi m

d. áp s : x  2  x  1
e. 2 x  3  9 x2  x  4

k: x  3 ph

f.  PT  



3

ng trình t

x  2  3 3x



3

ng đ



ng : 1  3  x



2

x  1
 x  3  1  3x
 9x  

5  97
 x  3  1  3x  x 
18

2

 0  x 1

Bài 2: Gi i ph ng trình:
a) x  1  x  1 (1)
H ng d n
x 1  0
x  1
x  1


 x3
a) 1  


2
2
x  3
 x  1  ( x  1)
 x  3x  0

b) x  2 x  3  0

b) Ta có: x  2 x  3  0  2 x  3  x

x  0
x  0
x  0


 2

   x  1  x  3
2
2 x  3  x
x  2x  3  0

 x  3
Bài 3. Gi i các ph ng trình sau:
a. 4 x  1  x2  5x  14
H ng d n

b. x2  x  6  4 1  3x

a. 4 x  1  x2  5x  14

c. 4 x2  14 x  11  4 6 x  10



 



 x2  5 x  14  4 x  1  0  x  1  4 x  1  4  x2  6 x  9  0







x  1  2.2 x  1  22    x  3  0 

2

2





x  1  2   x  3  0
2

2

 x  1  2  0

 x3
 x  3  0
K t h p v i đi u ki n, nghi m ph ng trình là x  3 .

b. x2  x  6  4 1  3x
 x2  2 x  1  1  3x  4 1  3x  4  0
 ( x  1) 2 



1  3x  2



2


x 1  0
0
 x  1



x
1
3
2
0



c. 4 x2  14 x  11  2.2 6 x  10
i u ki n 6 x  10  0  x  
Hocmai.vn – Ngôi tr

5
3

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

4 x2  20 x  25  6 x  10  2.2 6 x  10  4
  2 x  5 
2



6 x  10  2



2

 2x  5 

6 x  10  2

 2 x  3  6 x  10
2 x  3  0
2 x  3  0
2 x  3  0






2
2
2
4 x  12 x  9  6 x  10
4 x  6 x  1  0
 2 x  3  6 x  10
2 x  3  0

  x   3 
 
4


 x   3 
4
 

13
3  13
4  x
4
13
4

Bài 4. Gi i ph

ng trình:

5 2
5 2
 x  1  x2 
 x  1  x2  x  1
4
4

H ng d n
- i u ki n: x  1
- PT đã cho  1  x2 

1
1
 1  x2   x  11 . T ph
2
2

ng trình này ta có

1 1

2 2 
1
1 1 1
2
2
  1 x   1 x     1  x 1  1  x  0
2
2 2 2
1 1

1  x2   
2 2 

1  x2 

Ti p t c gi i (1) là đ

3
c nghi m x   
5 

M t c n th c đ a v h ph ng trình
2
37
Bài 1. Gi i ph ng trình :
4 x  1  9 x2  26 x 
0
3
3
H ng d n
2
11
1
2
i u ki n : x   . Bi n đ i ph ng trình:
4 x  1   3x  4   2 x 
3
3
4
4

t 3 y  4  4 x  1, y  .
3
2
2

 3x  4   2 x  2 y  1 
 3 y  4  4 x  1
Khi đó, ta có h pt: 

2
y
x



3
4
4
1
( x  y)(9 x  9 y  22)  0






Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

 x  y
  x  y
 2

 9 x  28 x  15  0
2
  3 y  4   4 x  1


   y   x  22

9
  9 x  9 y  22  0
 
2


91
2
  3 y  4   4 x  1
 9 x  24 x   0
9


Do x  

 x  y

  x  14  61
 
9

 
22
y  x 


9

12  53

  x 
9

1
4
14  61
12  53
và y  nên pt đã cho có 2 nghi m: x 
, x
9
9
4

3

Bài 2. Gi i ph
H ng d n
Ph

PT – HPT- BPT

ng trình:

ng trình đã cho t

3

3x  5  8x3  36 x2  53x  25

ng đ

ng

3

3x  5  (2 x  3)3  x  2

 (2 y  3)3  3x  5
t 2 y  3  3x  5  (2 y  3)  3x  5 . Ta có h pt: 
3
(2 x  3)  x  2 y  5
3

3

(1)
(2)

(2 y  3)3  (2 x  3)3  2 x  2 y

L y (1) tr (2):

 (2 y  2 x) (2 y  3) 2  (2 y  3)(2 x  3)  (2 x  3) 2   2 x  2 y  x  y

Thay vào (1) và gi i đ
Bài 3. Gi i ph
H ng d n
Bi n đ i

c nghi m: x  2; x 

ng trình

5 3
4

2 x  15  32 x2  32 x  20

2 x  15  2(4 x  2)2  28 .

t

2 x  15  4 y  2

2
2

4 y  2  2(4 x  2)  28 
 (4 x  2)  2 y  15

a v h pt: 
( /x lo i 2)
2
2
 2 x  15   4 y  2 
 4 y  2   2 x  15



Bài 4: Gi i ph
H

ng trình: a) x2  2 x  2 2 x  1

ng d n: i u ki n: x 

Ta có ph

ng trình đ

b) x3  3x2  2 ( x  3)3  9 x  0

1

2

c vi t l i là: ( x  1)2  1  2 2 x  1

2

 x  2 x  2( y  1)
t y  1  2 x  1 thì ta đ a v h sau:  2

 y  2 y  2( x  1)

Tr

hai v c a ph

Gi i ra ta tìm đ
Bài 5. Gi i ph
H

ng trình ta đ

c nghi m c a ph

c ( x  y)( x  y)  0
ng trình là: x  2  2

ng trình: a) 2 x2  6 x  1  4 x  5

b) x3  3x2  2 ( x  3)3  9 x  0

ng d n:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

i u ki n x  

a)

Ta bi n đ i ph

PT – HPT- BPT

5
4

ng trình nh sau: 4 x2  12 x  2  2 4 x  5  (2 x  3)2  2 4 x  5  11

t 2 y  3  4 x  5 ta đ

c h ph

(2 x  3)2  4 y  5

ng trình sau: 
 ( x  y)( x  y  2)  0
2

(2 y  3)  4 x  5

V i x  y  2x  3  4x  5  x  2  3
V i x  y  2  0  y  2  x  2  2  x  3  4 x  5  1  2 x  4 x  5x  1  2
K t lu n: Nghi m c a ph

ng trình là x  2  3 và x  1  2

b) i u ki n x  3
t

Giáo viên
Ngu n

x3  a

: Lê Anh Tu n
:
Hocmai.vn

 x3  3x2  2a 3  9 x  0 (1)
Có h  2
 a ; x  R .
a  x  3 (2)

3a.pt(2) + pt(1) ta có ( x  a )( x2  a 2  ax  3x  9)  0
Tr ng h p x=a ta gi i d dàng.
Tr ng h p x2  a 2  ax  3x  9  0 . Th x  a 2  3 ta đ

c (a 2  a  3)(a  1)(a  3)  0

a  1  0

(a  a  3)(a  1)(a  3)  0   a  3  0
a 2  a  3  0

2

 x  2
Các em t gi i ti p, đáp s là: 
 x  1  13

2
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-