PP giải BDT GTLN GTNN một biến số

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

GIÁ TR L N NH T NH

NH T HÀM S

B T – GTLN - NN

1 BI N

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l

c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Giá tr l n nh t – nh nh t thu c khóa h c Luy n thi THPT

qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

có th n m v ng ki n th c ph n này,

Bài 1. Tìm giá tr l n nhât, nh nh t (n u có) c a các hàm s sau:
8
1
1) f ( x) 
v i x0

x  3 2x
2) f ( x)  16 x3 

(1  x)3
v i x  0;1
4

x3 5 x
3) f ( x)    2 2(9  x2 ) v i x  3;0
2 2
9
5
4) f ( x)  2 2(1  x2 )  x3  x v i 0  x  1
2
2
5) f ( x)  ( x  1)3  x2  2 x  6 v i x  2
Gi i
8
1
v i x0

x  3 2x
8
1
3( x  1)(5 x  3)
; f '( x)  0  x  1 (do x  0 )
Ta có f '( x)  
 2
2
( x  3) 2 x
2 x2 ( x  3)2
B ng bi n thiên:

1) f ( x) 

T b ng bi n thiên suy ra f ( x)  f (1) 
V y f ( x) có giá tr l n nh t là
2) f ( x)  16 x3 

3
v i x  0
2

3
khi x  1 .
2

(1  x)3
v i x  0;1
4

3(1  x)2 3(9 x  1)(7 x  1)
1

; f '( x)  0  x    0;1
Ta có f '( x)  48 x 
4
4
9
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

B T – GTLN - NN


1
 f (0) 
16
1

4
f ( x) 
khi x 

 xmin
81
9
Khi đó  f (1)  16   0;1
f ( x)  16 khi x  1
 1
16 max
x 0;1

 f   
  9  81
3) f ( x) 

x3 5 x
  2 2(9  x2 ) v i x  3;0
2 2

Ta có f '( x) 

3x2 5 2 2 x (3x2  5) 9  x2  2 2 x
 

2 2
9  x2
2 9  x2

2

3x  5  0
Khi đó f '( x)  0  (3x2  5) 9  x2  2 2 x   2
2
2
2

(3x  5) (9  x )  8 x

3x2
 2
x

2

3x  5  0

 6
 2
4
2

9 x  111x  327 x  225  0
 x

  x2

5
1

2
25  x  1  x  1  3;0

3
3

 f (3)  6
f ( x)  6 khi x  3
 xmin

 3;0
Suy ra  f (1)  10  
f ( x)  10 khi x  1


 xmax
 3;0
 f (0)  6 2 
9
5
4) f ( x)  2 2(1  x2 )  x3  x v i 0  x  1
2
2

2 2 x

27 2 5
4 2 x  (27 x2  5) 1  x2
 x  
Ta có f '( x) 
2
1  x2 2
2 1  x2
0  x  1
1

Khi đó f '( x)  0  4 2 x  (27 x2  5) 1  x2  27 x2  5  0
 x
3
(3x2  1)(9 x2  1)(27 x2  25)  0

B ng bi n thiên

10

1
 1  10
khi x  .
T b ng bi n thiên suy ra f ( x)  f    . V y giá tr l n nh t c a f ( x) là
3
3
3 3

5) f ( x)  ( x  1)3  x2  2 x  6 v i x  2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Ta có: f '( x)  3( x  1) 2 

x 1
x  2x  6
2

1

 3( x  1) 2 
1

7
( x  1) 2

1

 3

1

7
32

B T – GTLN - NN

 3

3
 0 v i x  2
2

Suy ra f ( x) đ ng bi n v i x  2 nên f ( x)  f (2)  1  2
V y P đ t giá tr nh nh t là 1  2 khi x  2 .

Bài 2. Ch ng minh các b t đ ng th c sau:
1) e x  x  1 v i x 

2) e x  cos x  2  x 

.

ln x
1
v i x  0; x  1

x 1
x
x
5)
 ln 1  x  x v i x  0
1 x
2x
7) ln( x  1) 
v i x  0
x 2

4) ln( x  1)  x  1 v i x  1

3)





1 2ln x
2
v i x  1
 2

 2
x x 1 x  1
1
8) ln 1  1  x2   ln x v i x  0
x

6)



 x 1 
10) x  

 2 

9) x ln x  1  x  1  1  x v i x 
2

x2
v i x 
2



x1

x

2

v i x  1

Gi i
1) e  x  1 v i x 
B t đ ng th c t ng đ
x

.
ng: e x  x  1  0 v i x 

Xét hàm s : f ( x)  e x  x  1 v i x 
Ta có: f '( x)  e x  1  0  x  0 và lim f ( x)  lim  e x  x  1   ;
x

lim f ( x)  lim  e  x  1  

x

x

x

x

T b ng bi n thiên ta có: f ( x)  0 v i x 
2) e x  cos x  2  x 

hay e x  x  1  0 v i x 

(đpcm)

x2
v i x 
2

x2
v i x 
Xét hàm s : f ( x)  e  cos x  2  x 
2
Ta có: f '( x)  e x  sin x  1  x và f ''( x)  e x  cos x  1  0 v i x 
x

 f '( x) đ ng bi n v i x 

Hocmai.vn – Ngôi tr

 x  0  f '( x)  f '(0)  0
. Do đó: 
 x  0  f '( x)  f '(0)  0

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

B T – GTLN - NN


x2 
và ta có: lim f ( x)  lim  e x  cos x  2  x    
x
x
2


T b ng bi n thiên ta có: f ( x)  0 v i x 

hay e x  cos x  2  x 

x2
v i x 
2

(đpcm)

ln x
1
v i x  0; x  1

x 1
x
x 1
Xét hàm s : f ( x)  ln x 
v i x  0 và x  1
x

1
2
x   x  1 .


x
1
1
2 x  1  x 1 
Ta có: f '( x)  
 0 v i x  0; x  1
x
x
x 2x x
2x x
 f ( x) ngh ch bi n v i x  0; x  1 .Do đó:

3)



+) V i 0  x  1  f ( x)  f (1)  0 hay ln x 



ln x
1
x 1
x 1
(vì x 1  0 )

 0  ln x 


x 1
x
x
x

(1)
+) V i x  1  f ( x)  f (1)  0 hay ln x 

ln x
1
x 1
x 1
(vì x 1  0 )
 0  ln x 


x 1
x
x
x

(2)
T (1) và (2) 

ln x
1
v i x  0; x  1 (đpcm)


x 1
x

4) ln( x  1)  x  1 v i x  1
Xét hàm s

f ( x)  ln( x  1)  x  1 v i x  1

Ta có: f '( x) 

1
1
2  x 1


 0  x 1  2  x  5
2  x  1
x 1 2 x 1

và lim f ( x)  lim ln( x  1)  x  1   ; lim f ( x)  lim ln( x  1)  x  1  
x
x
x1
x1

T b ng biên thiên ta có: f ( x)  2ln 2  2  0 hay ln( x  1)  x  1 v i x  1 (đpcm)
5)

x

 ln 1  x  x v i x  0
1 x
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

B T – GTLN - NN

+) Xét hàm s : f ( x)  ln 1  x  x v i x  0
Ta có: f '( x) 

 hàm s

1
x
1 
 0 v i x  0
1 x
1 x

f ( x) ngh ch bi n v i x  0  f ( x)  f (0)  0 hay: ln 1  x  x  0 v i x  0

(1)
x
v i x0
1 x
x
1
1
Ta có: g '( x) 


 0 v i x  0
2
2
1  x 1  x
1  x

+) Xét hàm s : g ( x)  ln 1  x 

 hàm s g ( x) đ ng bi n v i x  0  g ( x)  g (0)  0 hay: ln 1  x 

x
 0 v i x  0
1 x

(2)
T (1) và (2) 
6)

x
 ln 1  x  x v i x  0 (đpcm).

1 x

1 2ln x
2
v i x  1
 2
 2
x x 1 x  1

1 2 ln x
(1)

x x2  1
V i x  1 , thì (1)  x2 1  2 x ln x  x2 1  2 x ln x  0

Tr

c tiên ta s ch ng minh



Xét hàm s

f ( x)  x2  1  2 x ln x v i x  1

2 2( x  1)

 0 , x  1
x
x

Suy ra f '( x) đ ng bi n v i x  1  f '( x)  f '(1)  0  f ( x) đ ng bi n v i x  1

Ta có f '( x)  2 x  2ln x  2 ; f ''( x)  2 



Khi đó f ( x)  f (1)  0 hay x2  1  2 x ln x  0 .

2ln x
2
(2)
 2
2
x 1 x  1
V i x  1 , thì (2)  ( x2  1) ln x  x2  1  0

Ta ch ng minh



Xét hàm s g ( x)  ( x2  1) ln x  x2  1 v i x  1
Ta có g '( x)  2 x ln x 

x2  1
1
 2 x  2 x ln x   x
x
x

1

x2  1
1
2ln
x



 0 , x  1
x2
x2
Suy ra g '( x) đ ng bi n v i x  1  g '( x)  g '(1)  0  g ( x) đ ng bi n v i x  1
g ''( x)  2ln x  2 


7) ln( x  1) 

Khi đó g ( x)  g (1)  0 hay ( x2  1) ln x  x2  1  0 .
2x
v i x  0
x 2

Xét hàm s : f ( x)  ln( x  1) 
Ta có: f '( x) 

2x
v i x0
x 2

x2
1

4


 0 v i x  0
1  x  x  2 2 1  x x  2 2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

 f ( x) đ ng bi n v i x  0  f ( x)  f (0)  0 hay ln( x  1) 





8) ln 1  1  x2 

1
 ln x v i x  0
x

B T – GTLN - NN

2x
v i x  0 (đpcm)
x 2





1
Xét hàm s : f ( x)  ln 1  1  x2   ln x v i x  0
x

Ta có: f '( x) 





x

1  x2 1  1  x2






3

2
2
1 1
1  x x  1  x 1  x  1  x
x
 2 
 2 
x x
x
1  x2 1  1  x2
1  x2 1  1  x2 x2

1  x2  1  x2  x 1  x2  x





1  x2 1  1  x2 x2

 hàm s đ ng bi n trên  0;  










1  x2  x 1  1  x2





1  x2 1  1  x2 x2



1  x2  x
x2 1  x2









T (1) và (2)  f ( x)  0 v i x  0 hay ln 1  1  x2 



0 v i x0

(1)

  1  1  x2
1


M t khác: lim f ( x)  lim ln 1  1  x2   ln x  lim ln 
x
x 
x
x
 x  







 1
  0
 x



(2)

1
 ln x v i x  0 (đpcm)
x

9) x ln x  1  x2  1  1  x2 v i x 





Xét hàm s : f ( x)  x ln x  1  x2  1  1  x2 v i x 

x
x 1 
1  x2
Ta có: f '( x)  ln x  1  x2  
x  1  x2













x
1 x

2



 ln x  1  x2



Khi đó: f '( x)  0  ln x  1  x2  0  x  1  x2  1  1  x2  1  x

1  x  0
x  1


 x0
2
2
x  0
1  x  1  2 x  x





và lim f ( x)  lim  x ln x  1  x2  1  1  x2   

x
x 


T b ng bi n thiên ta có: f ( x)  0 v i x 





hay x ln x  1  x2  1  1  x2 v i x 

(đpcm)

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

 x 1 
10) xx  

 2 

B T – GTLN - NN

x1

v i x  1

 x 1 
Ta có: xx  

 2 

x1

x1

x 1
x 1
 x 1 
 ln xx  ln 
 x ln x   x  1 ln
0
  x ln x   x  1 ln
2
2
 2 
x 1
Xét hàm s : f ( x)  x ln x   x  1 ln
v i x 1
2
x 1
x 1
2x
(1)
Ta có: f '( x)  ln x  1  ln
 1  ln x  ln

 ln
x 1
2
2
2x
2x
Mà: x  1  2 x  x  1  0 
 1  ln
 0 (2)
x 1
x 1
T (1) và (2)  f '( x)  0 v i x  1 và f '( x)  0 khi x  1  hàm s f ( x) đ ng bi n v i x  1
 f ( x)  f (1)  0 hay x ln x   x  1 ln

x 1
 0 (đpcm)
2

Bài 3. Tìm giá tr l n nh t, nh nh t (n u có) c a hàm s sau: f ( x) 

4 4  x  3x2  x  8
3 x  1  2 4  3x

Gi i
i u ki n: 1  x 

4
3

 4

t t  3 x  1  2 4  3x . Xét hàm g ( x)  3 x  1  2 4  3x liên t c trên  1;  .
 3

Ta có g '( x) 





3 4  3x  2 x  1
3
3
; g '( x)  0  4  3x  2 x  1  x  0


2 x 1
4  3x
2 ( x  1)(4  3x)

4
Khi đó g (1)  2 7 ; g (0)  7 ; g    21 . Suy ra
3

21  g ( x)  7 hay

Ta có t 2  25  3x  12 4  x  3x2  4 4  x  3x2  x 

t 2  25
3

21  t  7 .

t 2  25
8 2
t 1 1  1 
3
Suy ra f ( x) 

  t    h(t )
t
3t
3 t 
1  1
Xét hàm h(t )   t   v i t   21;7  .
3 t 
1
1
Ta có h '(t )  1  2   0 v i t   21;7  , suy ra h(t ) liên t c và đ ng bi n trên  21;7 
3 t 

Khi đó h





21  h(t )  h(7) 

20
16

20
16
hay
 h(t ) 
 f ( x) 
7
7
3 21
3 21

4
; t 7 x0
3
20
4
16
V y giá tr nh nh t c a f ( x) là
khi x  và giá tr l n nh t c a f ( x) là
khi x  0 .
3
7
3 21

V i t  21  x 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Bài 4. Tìm giá tr nh nh t c a hàm s

B T – GTLN - NN

1 
1 
 


f ( x)  (1  cos x) 1 
  (1  sin x) 1 
 v i x   0;  .
 sin x 
 cos x 
 2
Gi i

1
1
cos x sin x




2
sin x cos x sin x cos x
sin x  cos x  1
 sin x  cos x 
2
sin x cos x

Ta bi n đ i f ( x)  sin x  cos x 

t 2 1


.
t t  sin x  cos x  2 sin  x   , suy ra t 2  1  2sin x cos x  sin x cos x 
2
4

Do 0  x 


2




4

Khi đó f ( x)  t 

Ta có g '(t )  1 

 x


4



3
2





 sin  x    1  1  2 sin  x    2 hay 1  t  2 .
4
2
4
4



1 t
2
2t
 2  g (t ) v i 1  t  2 .
2
t 1
t 1

2

2
(t  1  2)(t  1  2)

 0 v i t  1; 2  .
2
(t  1)
(t  1)2





Suy ra g (t ) ngh ch bi n v i t  1; 2  , khi đó f ( x)  g (t )  g ( 2)  4  3 2

V i x  thì f ( x)  4  3 2 . V y giá tr nh nh t c a f ( x) là 4  3 2 .
4
Bài 5. Tìm giá tr l n nh t c a hàm s

f ( x)  5 ( x  1)3 .(3  2 x) .

Gi i
 V i x  1 ho c x 
 V i 1 x 

3
thì f ( x)  0 .
2

3
, áp d ng b t đ ng th c AM – GM cho 4 s ta đ
2

c:
4

3


( x  1)  ( x  1)  ( x  1)  (3  2 x) 
2
3
2 
27
3
2
( x  1) .(3  2 x)  ( x  1)( x  1)( x  1). (3  2 x)  . 
 
3
2
3 
4
2048




Khi đó f ( x)  5 ( x  1)3 .(3  2 x) 
V y f ( x) có giá l n nh t b ng

Bài 6. Ch ng minh r ng: 2

2sin x

2

tan x

5



5

27
3
11
. D u “=” x y ra khi x  1  (3  2 x)  x 
2048
2
8

27
11
khi x  .
2048
8
 
v i x   0;  .

 2
Gi i

3x
1
22

2
2 2
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ c: 2
Khi đó b t đ ng th c s đ c ch ng minh n u ta ch ra đ c:
2sin x

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

tan x

2sin x

2

tan x

2sin x tan x
1
2
2

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
2sin x tan x
1
2

2

Xét hàm s

3x

22

1



B T – GTLN - NN

2sin x  tan x
3x
1 
 1  2sin x  tan x  3x
2

2

 
f ( x)  2sin x  tan x  3x v i x   0;  .
 2

Ta có f '( x)  2cos x 

1
(2cos x  1)(1  cos x) 2
 
3


 0 , x   0;  .
2
2
cos x
cos x
 2

 
Suy ra f ( x) đ ng bi n trên kho ng  0; 
 2
Khi đó f ( x)  f (0)  0 hay 2sin x  tan x  3x  0  2sin x  tan x  3x (đpcm).

Bài 7. Tìm giá tr nh nhât c a bi u th c P  x4  8x3  22 x2  24 x  2 x  2  x  1  4ln( x2  4 x  5) .
Gi i
 Xét f ( x)  x4  8x3  22 x2  24 x  4ln( x2  4 x  5)
4(2 x  4)

x2  4 x  5
2
2


 2

 4( x  2)  x2  4 x  3  2
 2
  4( x  2) ( x  4 x  5)  2
x  4x  5 
x  4x  5 



Ta có f '( x)  4 x3  24 x2  44 x  24 

AM GM
2
2

 2 ( x2  4 x  5). 2
2  2 2 2  0
2
2
x  4x  5
x  4x  5
Nên f '( x)  0  x  2  0  x  2 , khi đó ta có b ng bi n thiên:

Do ( x2  4 x  5) 

Suy ra f ( x)  f (2)  88 (*) .
 Áp d ng b t đ ng th c tr tuy t đ i d ng a  b  a  b và a  0 v i a , b 

, ta đ

c:

2 x  2  x  1   x  2  1  x   x  2  x  2  1  x  0  1 (2*).

T (*) và (2*), ta đ

c: P  f ( x)  2 x  2  x  1  88  1  89

 Khi x  2 thì P  89 .
 V y giá tr nh nh t c a P là 89 .
Bài 8. Ch ng minh các b t đ ng th c sau:

x2
xn
1) e  1  x   ... 
v i x  0 ; n 
2
n!
x

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

2) a

x

 x ln a 
 1  x ln a 

2

2!

 x ln a 
 ... 

B T – GTLN - NN

n

v i x  0 ; a  1 ; n 

n!

Gi i
1) e x  1  x 

2

n

x
x
v i x  0 ; n 
 ... 
2
n!

x2
xn
 ...  . Ta s đi ch ng minh: fn ( x)  0 (*) v i x  0 ; n 
2
n!
x
+) V i n  1 : f1 ( x)  e  1  x  f1 '( x)  e x  1  0 v i x  0 và f '( x)  0 khi x  0

Xét hàm s : fn ( x)  e x  1  x 

 hàm s

f1 ( x) đ ng bi n v i x  0  f1 ( x)  f1 (0)  0 . V y (*) đúng v i n  1

+) Gi s (*) đúng v i n  k hay fk ( x)  0
+) Ta c n ch ng minh (*) đúng v i n  k  1 hay fk 1 ( x)  e x  1  x 

x2
xk
xk 1
 ...  
 0 . Th t
2
k !  k  1!

v y:

x2
xk
 ... 
 fk ( x)  0 (theo gi thi t quy n p) và fk'1 ( x)  0 khi x  0
2
k!
fk 1 ( x) đ ng bi n v i x  0  fk 1 ( x)  fk 1 (0)  0 . V y (*) đúng v i n  k  1

fk'1 ( x)  e x  1  x 

 hàm s
Theo ph
2) a

x

ng pháp quy n p  e x  1  x 

 x ln a 

 1  x ln a 

2

 x ln a 
 ... 

(đpcm)

n

2!
n!
x
x ln a
t
t t  x ln a  a  e
e v i t 0

Khi đó bài toán đ

x2
xn
v i x  0 ; n 
 ... 
2
n!
v i x  0 ; a  1 ; n 

c phát bi u l i là: Ch ng minh et  1  t 

t2
tn
 ...  v i t  0 ; n 
n!
2

(quay v ý

1))
Bài 9. Ch ng minh các b t đ ng th c sau:


x2 
1) ln 1  x    x v i x  0
2

Gi i


x2
xn 
2) ln 1  x   ...    x v i x  0
2
n! 



x2 
1) ln 1  x    x v i x  0

2

1 x
 x2
1 

Xét hàm s : f ( x)  ln 1  x  2   x v i x  0 . Ta có: f '( x) 
1


0v i
x2
x2  2 x  2
x 

1 x 
2
x  0

 hàm s


x2 
f ( x) ngh ch bi n v i x  0  f ( x)  f (0)  0 hay: ln 1  x    x v i x  0
2


(đpcm)

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

B T – GTLN - NN


x2
xn 
2) ln 1  x   ...    x v i x  0
2
n! 


x2
xn 
Xét hàm s : f ( x)  ln 1  x   ...    x v i x  0
2
n! 

xn 1
xn


 n  1!  1 
n!
Ta có: f '( x) 
 0 v i x  0
n
2
2
x
x
x
xn
1  x   ... 
1  x   ... 
n!
n!
2
2
1  x  ... 


x2
xn 
 f ( x) ngh ch bi n v i x  0  f ( x)  f (0)  0 hay: ln 1  x   ...    x v i x  0
2
n! 

(đpcm)
Bài 10. Ch ng minh b t đ ng th c sau: xn . 1  x 

1

2ne

v i x  (0;1) và n 

*

.

Gi i
Ta có: xn . 1  x 

1
1
1
 x2 n 1  x 
 2n 1  x x2 n 
2ne
e
2ne

 2n  2nx  2nx 
Áp d ng B T Cauchy ta có: 2n 1  x x2 n   2n  2nx . x.x...x  

2n  1


2n
 2n 
Ta c n ch ng minh: 


 2n  1 

2 n 1

1
 2n 
  ln 

e
 2n  1 

2 n 1

 ln

2 n 1

 2n 


 2n  1 

2 n 1

1
e

  2n  1 ln  2n   ln  2n  1  1 hay

ln  2n  1  ln  2n  

1
2n  1

Xét hàm s : f ( x)  ln x v i x   2n; 2n  1 ta có: f '( x) 

1
và f ( x) liên t c trên  2n; 2n  1
x

Áp d ng đ nh lý La – g – r ng  c   2n; 2n  1 :
f (2n  1)  f (2n)
1
 f '(c)  ln  2n  1  ln  2n   (1)
c
2 n  1  2n
1
1
(2)
M t khác: c  2n  1  
c 2n  1
1
(đpcm).
T (1) và (2)  ln  2n  1  ln  2n  
2n  1

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 11 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI






Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào

rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-