Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM – GM
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1002.09 KB, 14 trang )
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
B T
BDT- GTLN - NN
NG TH C AM – GM: CH N I M R I
ÁP ÁN BÀI T P T LUYÊN
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng K thu t ch n đi m r i thu c khóa h c Luy n thi THPT
qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c ph n này,
b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.
Bài 1. Cho các s th c d
ng x, y th a mãn x y 2 . Ch ng minh r ng x3 y3 ( x3 y3 ) 2 .
Gi i
Cách 1: Ta có x y ( x y) 3xy( x y) 8 6 xy , khi đó ta c n ch ng minh x3 y3 (8 6 xy) 2
3
3
3
a bcd
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng abcd
, ta đ
4
4
c:
1
1 2 xy 2 xy 2 xy 8 6 xy 24
2
x3 y3 (8 6 xy) (2 xy).(2 xy).(2 xy)(8 6 xy) .
8
8
4
8
4
x y 2
D u “=” x y ra khi
x y 1.
2 xy 8 6 xy
Cách 2: Ta có x3 y3 ( x y)( x2 xy y2 ) 2( x2 xy y2 ) , khi đó c n ch ng minh:
x3 y3 ( x2 xy y2 ) 1
a bcd
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng abcd
, ta đ
4
4
c:
4
4
4
xy xy xy x2 xy y2 ( x y)2 22
x y ( x xy y ) ( xy).( xy).( xy).( x xy y )
1
4
4 4
3
3
2
2
2
2
x y 2
x y 1.
D u “=” x y ra khi
2
2
xy x xy y
Bài 2. Cho hai s th c a , b th a mãn a b 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P ab
Phân tích và đ nh h
D đoán đi m r i a b
1
.
ab
ng l i gi i
1
1
16ab 4 . Do đó ta có l i gi i sau:
2
ab
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng x y 2 xy và xy
( x y) 2
, ta đ
4
c:
1
1
(a b)2 17
15ab 2 16ab. 15.
ab
ab
4
4
1
17
17
Khi a b thì P . V y giá tr nh nh t c a P là
.
2
4
4
Ta có P 16ab
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Bài 3. Cho hai s th c d
ng a , b . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P
BDT- GTLN - NN
a b
ab
.
ab a b
Phân tích và đ nh h ng l i gi i
Do P là bi u th c đ i x ng nên ta d đoán đi m r i x y ra khi a b
Lúc này đ áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta c n ch n h s th a mãn
a b
ab
a
2a
4 . Do đó ta có l i gi i sau:
ab a b
a
a
2
a b
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ
c:
ab 6 ab
a b ab 3
3(a b) a b
5
2
1
.
2
4 ab
4 ab a b 4 ab
4 ab a b 2
5
5
Khi a b thì P . V y giá tr nh nh t c a P b ng .
2
2
P
Bài 4. Cho ba s th c d
ng x, y, z th a mãn x y z 2 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
P x y y z z x
Phân tích và đ nh h ng l i gi i
2
4
D đoán đi m r i x y z x y y z z x . Do đó ta có l i gi i sau:
3
3
4
4
4
x y
y z
z x
4
4
4
4
3
3
3 x y z 2 4
P.
x y . y z . z x .
3
3
3
3
2
2
2
hay P.
4
2
4 P 2 3 . V y giá tr l n nh t c a P b ng 2 3 khi x y z .
3
3
Bài 5. Cho các s th c a , b, c th a mãn a 2, b 3, c 4 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
1 1 1
a b c
Phân tích và đ nh h ng l i gi i
Bài toán này th c ch t có th tách thành 3 bài toán sau:
1
+) Tìm giá tr nh nh t c a P1 a v i a 2 .
a
1
+) Tìm giá tr nh nh t c a P2 b v i b 3 .
b
1
+) Tìm giá tr nh nh t c a P3 c v i c 4 .
c
1
5
Tr c h t, ta xét bi u th c P1 a . D đoán min P1 khi a 2 .
a
2
1
1
a
Khi đó, ta ch n th a mãn:
a . T i đây, ta s d ng b t đ ng th c AM – GM :
4
a 2
P a bc
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
BDT- GTLN - NN
a 1 3a
1 3a a 1 3a
3.2
5
2 .
1
1
a 4 4 a 4
4 a
4
4
2
17
10
5 10 17 121
và P3 . Suy ra min P
khi a 2, b 3, c 4 .
Làm t ng t ta đ c: P2
4
2 3 4 12
3
Bài 6. Cho các s th c a , b th a mãn đi u ki n 0 a 2 , 7 b 9 và a b 9 .
P1 a
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P ab .
Phân tích và đ nh h ng l i gi i
V i d ki n 0 a 2 , 7 b 9 và a b 9 , ta d đoán P s đ t giá tr l n nh t khi a 2, b 7 , khi đó
7a 2b . Do đó đ kh p đ
c d u “=” ta s tách ghép đ áp d ng b t đ ng th c AM – GM nh sau:
1
1 7a 2b 2(a b) 5a
(18 5a ) 2 (18 5.2) 2
14
P ab .(7a ).(2b) .
14
14 2
56
56
56
V y max P 14 khi a 2, b 7 .
Nh n xét: Ngoài cách gi i trên ta có th gi i theo cách th sau:
P ab a (9 a ) 9a a 2
2
2
Xét hàm f (a ) 9a a 2 v i a 0; 2 . Ta có f '(a ) 9 2a 0 , a 0; 2 f (a ) đ ng bi n trên
0; 2 . Suy ra
P f (a ) f (2) 14 . V y max P 14 khi a 2, b 7 .
Bài 7 . Cho các s th c d
1)
ng a , b, c th a mãn a b c 3 . Ch ng minh r ng
a2
b2
c2
1
2)
b5 c5 a 5 2
a (4b 5c) b(4c 5a ) c(4a 5b) 9
Gi i
x y
ta có:
2
1
1 9a 4b 5c 9a 4b 5c
a (4b 5c) . 9a (4b 5c) .
3
3
2
6
9a 4b 5c
hay a (4b 5c)
6
9b 4c 5a
T ng t ta có: b(4c 5a )
6
9c 4a 5b
c(4a 5b)
6
18(a b c) 18.3
Suy ra a (4b 5c) b(4c 5a ) c(4a 5b)
9
6
6
D u “=” x y ra khi a b c 1 .
1) Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng
2) Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:
T
ng t ta có:
xy
a2
b5
a2 b 5 a
.
2
b 5 36
b 5 36
3
a2
12a b 5
b5
36
b2
12b c 5
c2
12c a 5
và
c5
36
a 5
36
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Suy ra
BDT- GTLN - NN
a2
b2
c2
12a b 5 12b c 5 12c a 5 11(a b c) 15 11.3 15 1
b5 c5 a 5
36
36
36
36
36
2
a2
b2
c2
1
b5 c5 a 5 2
D u “=” x y ra khi a b c 1 .
V y
Bài 8 . Cho các s th c d
ng x, y, z th a mãn x 2 y 3z 10 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
P x y z
15 8
1
2x 3 y 2z
Gi i
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM , ta có:
15 5 x
15 5 x
15
5x
.
2.
5
2x 5 6
2
6
2
6
x
x
8 2 y
8 2y 8 8 8 2y
15 8
1 26 5 x 4 y 3 z
.
2.
3y 3 3 3y 3 3
2x 3y 2z 3
6
3y 3
1 z
1
z
2. 1 . z 1
1
2
2z
2 z 2
2z 2
Suy ra P x y z
26 5 x 4 y 3z x 2 y 3z 26 10 26 31
3
6
6
3
6 3
3
x, y, z 0
x 3
8 2y
1 z
15 5 x
D u “=” x y ra khi: ;
;
y 2
3y 3
2z 2
2x 6
z 1
x 2 y 3z 10
31
khi x 3, y 2, z 1.
V y giá tr nh nh t c a P là
3
Bài 9. Cho a , b, c là các s th c d
ng th a mãn a b c 3 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
P a b 2b 6c 3.
4a 3b 2c
2
Phân tích và đ nh h ng l i gi i
D đoán d u “=” x y ra khi a b c 1 . Do đó, ta có: a b 2; b 3c 4;4a 3b 2c 9
Vì v y, đ b o đ m đ
c d u “=” ta s đánh giá nh sau:
x y
, ta đ c:
S d ng b t đ ng th c AM – GM d ng xy
2
1
1
1
P
2.(a b)
4.(b 3c)
9.(4a 3b 2c)
2
2
2
1 2 a b 1 4 b 3c 1 9 4a 3b 2c 15 5(a b c)
30 15 2
.
.
.
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
V y max P =
15 2
khi a b c 1 .
2
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Bài 10. Cho a , b, c là các s th c d
BDT- GTLN - NN
ng. Ch ng minh r ng:
a 1 b 1 c2 1
1
1
1
2
2
2
4b
4c
4a
a b bc ca
Gi i
2
2
a 2 1 b2 1 c 2 1 a 2
1 b2
1 c2
1
2 2 2 2 2 2
Ta có
2
2
2
4b
4c
4a
4a
4b 4b 4c 4c 4a
1 a b c
a2 1
b2 1
c2 1
.
2
.
2
. 2 2 2 2
2
2
2
2
2
4b 4b
4c 4c
4a 4a
2b c a
b 1 1 c 1 1
;
c2 a c a 2 c a
a b c 1 1 1
ng th c trên ta đ c: 2 2 2
b c a
a b c
2
M t khác:
a 1 1
;
b2 a b
C ng theo v các b t đ
a 2 1 b 2 1 c 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Suy ra
4b2
4c 2
4a 2
2 a b c 4 a b b c c a
1 4
4
4
1
1
1
4 a b b c c a a b b c c a
Bài 11. Cho x, y, z là các s th c không âm th a mãn x y z 2 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
P x3 y y3 z z3 x xy3 yz3 zx3
Phân tích và đ nh h
ng l i gi i
Nh n xét: V i đa s nh ng bi u th c ba bi n đ i x ng thì giá tr l n nh t (hay c giá tr nh nh t) th ng
đ t đ c khi x y z ho c x y, z 0 (th ng có đi u ki n không âm) . Trong bài toán này đ d đoán
giá tr l n nh t c a P ta th ch n x y z
2
và so sánh v i tr
3
ng h p x y 1, z 0 .
8 3
2
khi x y z và P 2 khi x y 1, z 0 .
3
9
Nh v y ta d đoán max P 2 khi x y 1, z 0 .
Nh n th y P
Khi x y 1, z 0 x3 y y3 z z3 x xy3 yz3 zx3 1 1
Do đó ta s áp d ng b t đ ng th c AM – GM theo các cách sau:
Cách 1:
a b
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng ab
, ta đ c:
2
P 1.( x3 y y3 z z3 x) 1.( xy3 yz3 zx3 )
Ta có M 1
1
1 x3 y y3 z z3 x 1 xy3 yz3 zx3
M
2
2
xy( x2 y2 ) yz( y2 z2 ) zx( z2 x2 )
2
1
xy( x2 y2 z2 ) yz( x2 y2 z2 ) zx( z2 y2 x2 )
1 ( x2 y2 z2 )( xy yz zx)
2
2
( a b) 2
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng ab
ta đ
4
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
c:
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
2
2
2
1 2
1 x y z 2( xy yz zx)
2
2
M 1 .( x y z ) 2( xy yz zx) 1 .
4
4
4
1
BDT- GTLN - NN
2
( x y z)4
24
1 2
16
16
Suy ra P 2
Khi x y 1, z 0 thì P 2 . V y giá tr l n nh t c a P là 2 .
Cách 2:
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng
a b 2(a b) , ta đ
c:
P x3 y y3 z z3 x xy3 yz3 zx3 2( x3 y y3 z z3 x xy3 yz3 zx3 ) 2M (1)
Ta có M x3 y y3 z z3 x xy3 yz3 zx3 xy( x2 y2 ) yz( y2 z2 ) zx( z2 x2 )
Do d đoán z 0 nên ta có đánh giá sau:
M xy( x2 y2 z2 ) yz( y2 z2 x2 ) zx( z2 x2 y2 ) ( xy yz zx)( x2 y2 z2 ) (2)
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng ab
( a b) 2
ta đ
4
c:
1
( xy yz zx)( x2 y2 z2 ) .2( xy yz zx)( x2 y2 z2 )
2
2
2
2
2
1 2( xy yz zx) ( x y z )
1 ( x y z)4
.
.
2 (3)
2
4
2
4
T (1), (2) và (3) suy ra: P 2.2 2
V y P đ t giá tr l n nh t b ng 2 khi x y 1, z 0 ho c các hoán v .
Bài 12. Cho x, y, z là các s th c d
ng th a mãn x y z 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :
2
x3
y3
z3
( xy yz zx)
3
3
3
y 8 z 8 x 8 27
Gi i
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ c:
P
x3
y 2 y2 2 y 4
x3 y 2 y2 2 y 4 x
x3
9 x y y2 6
3
3
.
.
y3 8 27
27
y3 8 27
27
3
y3 8
27
y3
9 y z z2 6
z3
9 z x x2 6
;
z3 8
27
x3 8
27
K t h p v i đi u ki n x y z 3 , suy ra:
T
ng t ta đ
c:
2
x3
y3
z3
10( x y z) ( x2 y2 z2 ) 18 30 ( x y z) 2( xy yz zx) 18
y3 8 z3 8 x3 8
27
27
2
1
x3
y3
z3
1
( xy yz zx) hay P
3
3
3
9
y 8 z 8 x 8 27
9
1
1
Khi x y z 1 thì P . V y giá tr nh nh t c a P là .
9
9
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Bài 13. Cho a , b, c là các s th c d
BDT- GTLN - NN
ng. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
P
1
2
3
a ab abc
a bc
Gi i
x y z
, ta đ c:
3
1
1
1 a 4b 1 a 4b 16c 4
a.4b 3 a.4b.16c a .
a ab 3 abc a
.
(a b c)
2
2
3
2
4
2
3
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng
xy
x y
và
2
3
xyz
2
3
2
3
1
4 4
4
Khi đó P
4(a b c)
3
a bc 4 a bc 3 3
a 4b 16c 0
3
3
3
D u “=” x y ra khi
3 a ;b ;c
7
28
112
a b c 4
4
V y giá tr nh nh t c a P là .
3
Bài 14. Cho a , b, c là các s th c d
bi u th c:
ng th a mãn đi u ki n a 2 b2 c2 3 . Tìm giá tr nh nh t c a
P
a3
b2 3
b3
c2 3
c3
a2 3
Gi i
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ c:
b2 3
33
8
b2 3
b2 3
a3
T
a3
ng t ta đ
b3
c:
c2 3
12a 2 b 2 3
b 2 3 3a 2
a3
.
.
2
16
b2 3 b2 3 8
b2 3
a3
12b 2 c 2 3
và
16
a3
c3
a2 3
12c 2 a 2 3
16
12(a 2 b2 c 2 ) (a 2 b2 c 2 ) 9 12.3 3 9 3
16
16
2
3
3
Khi a b c 1 thì P . V y giá tr nh nh t c a P b ng .
2
2
Suy ra P
Bài 15. Cho x, y, z là các s th c d
P
ng th a mãn đi u ki n xyz 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
1
1
1
4
4
x ( y 1)( z 1) y ( z 1)( x 1) z ( x 1)( y 1)
4
Gi i
t a
1
1
1
; b và c , khi đó a , b, c 0 và abc 1
x
z
y
Suy ra P
a 4bc
b 4ca
c 4 ab
a3
b3
c3
(b 1)(c 1) (c 1)(a 1) (a 1)(b 1) (b 1)(c 1) (c 1)(a 1) (a 1)(b 1)
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 7 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
BDT- GTLN - NN
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM , ta có:
a3
b 1 c 1
a3
b 1 c 1 3a
a3
6a b c 2
3
3
.
.
(b 1)(c 1)
8
8
(b 1)(c 1) 8
8
4
(b 1)(c 1)
8
T
ng t ta đ
c:
b3
6b c a 2
c3
6c a b 2
;
(c 1)(a 1)
8
(a 1)(b 1)
8
4(a b c) 6 4.3 3 abc 6 4.3 6 3
8
8
8
4
3
3
Khi x y z 1 thì P . V y giá tr nh nh t c a P là .
4
4
Suy ra P
Bài 16. Cho x, y, z là các s th c d
c a bi u th c:
ng th a mãn đi u ki n 2( x y 2 z) xyz2 . Tìm giá tr nh nh t
1 1 2
P x4 y4 2 z4 32
x y z
Phân tích và đ nh h ng l i gi i
D đoán d u “=” x y ra khi x y z 2 . Do đó, ta có: x
4
4
4
y z 2
x
y
z
Vì v y, đ b o đ m đ c d u “=” ta s đánh giá nh sau:
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM , ta có:
x4 y4 2 z4 x4 y4 z4 z4 4 xyz2
1 1 1
1 1 1
4 xyz2 32 8( x y 2 z) 32
x y z
x y z
4
4
4
8 x 8 y 16 z 32 32 64 128
x
y
z
C ng các v hai b t đ ng th c trên ta đ c:
1 1 2
P x4 y4 2 z4 32 128
x y z
Khi x y z 2 thì P 128 . V y giá tr nh nh t c a P là 128 .
3
2
2
2
x
y
z
4
Bài 17. Cho x, y, z là các s th c không âm th a mãn
.
9
2
2
2
5 x 6 y 7 z
2
7
Ch ng minh r ng: x2 y3 z4
16
Phân tích và đ nh h
ng l i gi i
Nh n xét: bài toán này ta nh n th y có m t đi u khá đ c bi t là các bi n trong đi u ki n c ng nh trong
b t đ ng th c c n ch ng minh ch a các h s và s m hoàn toàn l ch nhau nh ng d u “=” l i x y ra khi
1
x y z . T vi c d đoán đ c d u “=” ta có l i gi i chi ti t sau:
2
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 8 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
BDT- GTLN - NN
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:
3
1
y3 y3 1
y3 y3 1 3
3. 3 . . y2 y3 y2
3 2 1 2 1
2
2 16
2 2 16 4
4
16
2
3
4
2
x y z x y z (1)
4
2
8
1
1 1
1
1
z4 2 z4 . z2 z4 z2
16
16 2
2
16
9
5 x2 6 y2 7 z2
3
1
1
3
1
1
2
Ta có: x2 y2 z2 x2 y2 z2
4
2
8
4
2
8
4
9
5 9 3 5 7
(2)
( x2 y2 z2 ) .
4
4 4 4 4 16
7
1
. D u “=” x y ra khi x y z .
T (1) và (2) suy ra x2 y3 z4
16
2
Bài 18. Cho các s th c d
ng a , b, c th a mãn a b c 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
P a 2 b 2 c3
Phân tích và nháp: Do a , b có vai trò nh nhau nên ta d đoán P nh nh t khi a b . M t khác, bi u
th c c a P xu t hi n l y th a b c 2, b c 3 nên đ khai thác tri t đ gi thi t d i d ng b c nh t
a b c 3 , ta ngh t i vi c áp d ng b t đ ng th c Cauchy. Song m t tr ng i trong bài toán này là ta
ch a xác đ nh đ c đi m r i, vì v y ta gi đ nh đi m r i nh sau: a b và c , khi đó:
2 3 .
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:
a 2 2 2 a
2
2
a 2 b 2 c3 2 2 2 3 2 (a b) 3 2c
b 2 b
c3 3 3 3 2c
a 2 b2 c3 2 (a b) 3 2c 2 2 2 3
t n d ng t i đa gi thi t a b c 3 ta c n h s c a (a b) và c b ng nhau hay 2 3 2
2 3
19 37
37 1
V y đi m r i th c s c a bài toán th a mãn h :
và
.
2
12
6
2
3
T đây ta có l i gi i chi ti t sau:
L i gi i:
t
19 37
37 1
và
, khi đó: 2 3 và 2 3 2
12
6
a 2 2 2 a
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: b 2 2 2 b
c3 3 3 3 2 c
a 2 b2 c3 2 2 2 3 2 (a b) 3 2c 2 (a b) 2 c 2 (a b c) 6
P a 2 b2 c3 6 2 2 2 2
Hocmai.vn – Ngôi tr
541 37 37
108
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 9 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
BDT- GTLN - NN
541 37 37
19 37
37 1
khi a b
và c
.
108
12
6
325
ng a , b, c th a mãn a b 2 c3
. Tìm giá tr nh nh t c a
9
V y P đ t giá tr nh nh t b ng
Bài 19. Cho các s th c d
P a 2 b3 c 4 .
Gi i
a 2 4 2 a 2 .4 4a
6a 2 24 24a
3
3
512
8
8
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: b3 b3 3 3 b3 .b3 . 8b 2 6b 2
24b 2
9
3
3
4
3
4 4 4 4
3
4 4 4 4 4
6c 162 24c
c
c
c
c
c
c
c
3
4
.
.
.3
12
2186
325 2600
2807
2600 2186
6(a 2 b3 c 4 )
24(a b2 c3 ) 24.
a 2 b3 c 4
:6
9
9
3
9
27
3
2807
8
. D u “=” x y ra khi a 2; b và c 3
27
3
2807
8
khi a 2; b và c 3 .
V y P đ t giá tr nh nh t b ng
3
27
Hay P
Bài 20. Cho x, y, z là các s th c th a mãn 5 x 5 y 5 z 1 . Ch ng minh r ng:
25x
25 y
25x
5x 5 y 5z
5 x 5 y z 5 y 5 z x 5 z 5 x y
4
Gi i
a 5x 0
a2
b2
c2
a bc
1 1 1
t b 5 y 0 , khi đó 1 và P
4
a bc b ca c ab
a b c
c 5 z 0
1 1 1
Cách 1: Ta có 1 ab bc ca abc
a b c
Khi đó b t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng:
a3
b3
c3
a bc
a3
b3
c3
a bc
2
2
2
a abc b abc c abc
4
(a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b)
4
(d đo n d u “=” x y ra khi a b c 3
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ
a3
a b a c
)
(a b)(a c)
8
8
c:
a3
a b a c 3
a3
4a b c
a
(a b)(a c)
8
8
4
(a b)(a c)
8
b3
4b c a
c3
4c a b
và
(b c)(b a )
8
(c a )(c b)
8
C ng v các b t đ ng th c trên ta đ c:
T
ng t ta có:
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 10 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
BDT- GTLN - NN
a3
b3
c3
4(a b c) 2(a b c) a b c
(đpcm)
(a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b)
8
4
Cách 2:
1 1 1
1 1 1
Ta có: a b c (a b c) 3 3 abc .3 3 . . 9
a b c
a b c
Bi n đ i
T
1 1
1
b c a 1
a (b c)
a2
a2
a
a2 a
1
bc
b c
a
bc
a
a 1
a bc a a (b c) 1 b c a b c 1
a 1
a 1
ng t ta có:
b2
b2 b
c2
c2 c
và
b ca a b c 1
c ab a b c 1
( a b c) 2
a 2 b 2 c 2 (a b c)
2
2
2
Suy ra P
. M t khác a b c
3
a b c 1
2
(a b c)
(a b c)
a bc 3
3
P
(a b c).
a b c 1
3(a b c 1)
1
1
2
2 a bc
(a b c)
( a b c)
4
3 3(a b c 1)
3 3.(9 1)
Hay P
a bc
. D u “=” x y ra khi a b c 3 x y z log5 3
4
t 2 3t t
có giá tr nh
Chú ý: Có th đ t t a b c 9 , r i dùng hàm s ch ng minh hàm f (t )
3(t 1) 4
nh t là 0 khi t 9 , khi đó ta đ
c đi u ph i ch ng minh.
Bài 21. Cho x, y, z là các s th c d
ng. Ch ng minh r ng:
x2 y2 z2
x3 y3 y3 z3 z3 x3
2
y3 x3 z3 y3 x3 z3
yz zx xy
Gi i
x3 x3
3x2
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: 3 3 1
y z
yz
y3 y3
3 y2
1
x3 z3
zx
z3 z3
3 z2
1
y3 x3
xy
x2 y2 z2
3
yz zx xy
C ng v v i v các b t đ ng th c trên và rút g n ta đ c đi u ph i ch ng minh.
D u “=” x y ra khi x y z .
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 11 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
Bài 22. Cho x, y, z là các s th c d
P
BDT- GTLN - NN
ng th a mãn x2 y2 z2 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
( x y z 1)2 1 1 1
x2 y y2 z z2 x x y z
Gi i
Ta có 3( x y z) ( x2 y2 z2 )( x y z)
( x3 xy2 ) ( y3 yz2 ) ( z3 zx2 ) ( x2 y y2 z z2 x)
2 x2 y 2 y2 z 2 z2 x ( x2 y y2 z z2 x) 3( x2 y y2 z z2 x)
x y z x2 y y2 z z2 x
M t khác
1 1 1
9
x y z x y z
Khi đó P
( x y z 1)2
9
10
x y z
2
x y z
x y z
x y z
Ta có ( x y z)2 3( x2 y2 z2 ) 9 0 x y z 3
Suy ra P x y z
9
1
9
1
13
2 2 ( x y z).
2
x y z x y z
x y z 3
3
Khi x y z 1 thì P
13
13
. V y giá tr nh nh t c a P là
.
3
3
Bài 23. Cho x, y, z là các s th c d
ng th a mãn x2 y2 z2 6 y . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
P
1
x y z
2
8
y 1
2
1
z 6
2
Gi i
Ta bi n đ i gi thi t thành x y 3 z 9 . Và v i d đoán d u “=” x y ra v i nh ng s đ p nên ta
2
2
x; y 3 ; z
2
s th
2; 2;1 và các t
ng v i b s
h p c a nó vào P. Ta th y giá tr nh nh t x y ra khi
x 1; y 5; z 2. T đây ta có l i gi i chi ti t nh sau:
x2 y z2 4 y 4 y 2 x 4 z 4 y
T đi u ki n, ta có: 6
y 25 y 25 5
5
5
5
Suy ra: x 2 y 2 z 15 . Khi đó áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ
P
1
x y z
2
4
y 11
2
4
y 11
2
1
z 6
2
c:
8
x y z y 11 y 11 z 6
64
x y 2 z 17
2
64
15 17
2
1
16
1
.
16
ng th a mãn x2 y2 x y. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :
D u “=” x y ra khi x 1, y 5, z 2. V y giá tr nh nh t c a P là
Bài 24. Cho x, y là các s th c d
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
- Trang | 12 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
P 3x 2 y
BDT- GTLN - NN
16
16
x 3y
3x 1
Gi i
16
16
16
16
P 3x 2 y
x 3y
3x 1
x y 1
x 3y
3x 1
x 3y
3x 1
T gi thi t ta suy ra 0 x y 2
M t khác áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có
16
8
8
x 3y
x 3y
12
x 3y
x 3y
x 3y
3x 1
16
8
8
3x 1
12
3x 1
3x 1 3x 1
Suy ra
16
16
x 3 y
3x 1
x y 1 24 2 1 21
x
3
1
x
y
3
V y giá tr nh nh t c a P 21 khi x y 1.
Giáo viên
Ngu n
Hocmai.vn – Ngôi tr
ng chung c a h c trò Vi t
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn
- Trang | 13 -
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N
Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.
4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI
Ch
ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.
CÁC CH
NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N
Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.
T ng đài t v n: 1900 58-58-12
Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.
Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .
Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.
-
