de thi thu thpt quoc gia mon toan lan 1 nam 2016 truong thpt thach thanh

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I

ĐỀ THI MÔN TOÁN_KHỐI 12 (lần 1)
Năm học: 2015-2016
Thời gian: 180 phút

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự y = x3 + 3x 2 − 4
biến thiên và vẽ đồ thị của hàm
số .
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá f ( x ) = ( x−− 12; 2) 2( x +
 2 
trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên đoạn .
Câu 3 (1,0 điểm).

2

)

2

sin 3 x + cos 2 x = 1 + 2sin x cos 2 x
4
2 log 8 ( 2 x ) + log 8 ( x 2 − 2 x + 1) =
m
3
( dAB
)y: =yA( =C,=xB3)+x 1−2 m
x −1
của

Câu 4 (1,0 điểm). Tìm
để đường thẳng cắt đồ thị
hàm số tại hai điểm sao cho
Câu 5 (1,0 điểm).

a) Giải phương trình
b) Giải phương trình

cot4 aa =+ 2cos 4 a
sin
P=
sin 2 a − cos 2 a

a) Cho . Tính giá trị của biểu
thức .
b) Một xí nghiệp có 50 công nhân, trong đó có 30 công nhân tay nghề loại
A, 15 công nhân tay nghề loại B, 5 công nhân tay nghề loại C. Lấy ngẫu
nhiên theo danh sách 3 công nhân. Tính xác suất để 3 người được lấy ra
có 1 người tay nghề loại A, 1 người tay nghề loại B, 1 người tay nghề loại
C.
aA
·AB
H
SABC
..SC
ABC
2a
ABC
H
C

=,=( .2SBC
a ,o )
)SA
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp ( SAB
CAB
30
có đường cao bằng , tam giác
vuông ở có . Gọi là hình chiếu vuông của trên Tính theo thể tích của khối
chóp . Tính cô-sin của góc giữa hai mặt phẳng .
Oxy
OA
BC
O
C
B
,1;
C
xx(B
+−+
yy2++)12==00
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt ( (dd21) )::A3OABC
phẳng với hệ tọa độ , cho hình
thang ( là gốc tọa độ) có diện tích bằng 6, song song với , đỉnh , đỉnh thuộc
đường thẳng , đỉnh thuộc đường thẳnguuu.r Tìm
tọa độ các đỉnh .
uuur
x + 2 y − 2M
AB
=ABC
Oxy

BC
0,
AC
22x) + y + 1 = 0
(DA,.1;DC
Câu 8 (1,0 điểm). Trong
DB
mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam
giác cân tại có phương trình lần
lượt là , điểm thuộc đoạn thẳng . Tìm tọa độ điểm sao cho tích vô hướng có
giá trị nhỏ nhất.
Câu 9 (1,0 điểm). Giải bất x 2 + x + 2 2
2
+x ≤
+1
phương trình trên tập số
x+3
x2 + 3
thực.
− 2)
Câu 10 (1,0 điểm). Cho A (=x x−3 4+) 2y+3 +( y3 x(−,xy4y) −2 1+) 2( xxy+≤y32
các số thực thỏa mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
-----------Hết----------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .............................................; Số báo danh..........................


Câu
1

ĐÁP ÁN TOÁN 12, lần 1, 2015-2016
Nội dung
D=¡
• Tập xác đinh: .
• Sự biến thiên:
2
y ' = 0y '⇔
= 3xx=
+0;6xx = −2
- Chiều biến thiên: ;
0;
−2;0
+∞
; −2)) )
Các khoảng đồng biến và ;
( (−∞
khoảng nghịch biến .
x = 0,
−2,yCT
yCD= =−40
- Cực trị: Hàm số đạt cực
đại tại ; đạt cực tiểu tại
y = −∞; lim y = +∞
- Giới hạn tại vô cực: xlim
→−∞
x →+∞
• Bảng biến thiên

Điểm

0,25

0,25

−∞
+∞
−0x2
+
0−
y'
+∞
0y

−∞
−4

• Đồ thị

0,25
0,25


f (x) = (x3+3 ⋅x2)-4

8

6

4

2

-15

-10

-5

-2

-4

-6

-8

2

f ( x ) = fx1(4 x−) 4x 2 + 4
 − 2 ;0 
f ' ( x ) = 4 x 3 − 8 x.
Với
 1 
x ∈  − ; 2  , f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0; x = 2
Ta có .
 1 2 1
f  − ÷ = 3 , f ( 0 ) = 4, f 2 = 0, f ( 2 ) = 4
2  trị nhỏ
16
Giá trị lớn nhất và giá

 f 1( x )  nhất của hàm số trên đoạn lần
 − 2 ;0 
lượt là 4 và 0.
sin 3 x + cos 2 x = 1 + 2 sin x cos 2 x ⇔ sin 3 x + cos 2 x = 1 − sin x + sin 3 x
⇔ cos 2 x = 1 − sin x

Ta có ; xác định và liên
tục trên đoạn ;

( )

3

a)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

AB = 3 2
x > 0, x ≠ 1

b) Điều kiện .
Với điều kiện đó, pt đã cho tương đương với :
log8 ( 2 x )

4

( x − 1) = ⇔  2 x ( x − 1) 
3
 2 x ( x − 1) = 4
⇔
⇔ x=2
 2 x ( x − 1) = −4
2

2

2

= 16

0,25
0,25


4

2
1
m +xx2=
Pt hoành độ giao x + 1⇔
= xx− −
m( ⇔
+) 1x=+(mx −
− 1m=) (0x − 1)
x

−
1
điểm (vì không là
nghiệm của pt) (1)
Pt (1) có 2 nghiệm x1 , x2 ⇔ ∆ = m 2 + 8 > 0 ⇔ ∀m ∈ ¡
phân biệt .
Khi đó .Theo hệ thức A ( x1 ; x1x−1 +mx) 2, =B (mx2+; 2x2 − m )

Viet ta có
 x1 x2 = m − 1

0,50

AB = 3 2 ⇔ AB = 18 ⇔ 2 ( x1 − x2 ) = 18 ⇔ ( x1 − x2 ) = 9 ⇔
2

2

2

⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 9 ⇔ ( m + 2 ) − 4 ( m − 1) = 9 ⇔ m = ±1
2

5

P=

2

4

4

4

4

4

a) .
Chia tử và mẫu cho ,
1 + cot 4sin
a 4 a1 + 24
17
P=
=
=−
4
4
ta được
1 − cot a 1 − 2
15
3
b) Số phần tử của không n ( Ω ) = C50 = 19600.
gian mẫu
1
1
45
Số kết quả thuận lợi cho Cp301=.C2250
15 .C5 ==2250

19600 392
biến cố “trong 3 người
được lấy ra, mỗi người thuộc 1 loại” là . Xác suất cần tính là .
6

0,50

sin a + cos a
sin a + cos a
sin a + cos a
=
=
2
2
2
2
2
2
sin a − cos a ( sin a − cos a ) ( sin a + cos a ) sin 4 a − cos 4 a
4

0,25
0,25
0,25
0,25

S

K

H
A

B

I
C

HI
SA
Trong mặt phẳng , kẻ song HI (⊥SAC
( ABC
) )
song với thì .
Ta có Do đó
CA = ABocos130o = a 3.
1
a2 3
o
S ABC = AB. AC .sin 30 = .2a.a 3.sin 30 =
.
2
2
2

0,25


HI HC HC.SC AC 2
AC 2

3a 2
3
6
=
=
=
= 2
= 2
= ⇒ HI = a
2
2
2
2
SA SC
SC
SC
SA + AC
4a + 3a
7
7

Ta có .
Vậy .
1
1 a2 3 6
a3 3
VH . ABC = S ABC .HI = . 1 . a =
(Cách khác: )
VH3. ABC = VB . AHC3= 2S AHC7.BC 7
⊥

SC
K
AH
⊥) CB
3AH
AHAH
⊥ (CB
SBC
⊥SB
SAC
⊥ SB
Gọi là hình chiếu
)A,( ⇒
vuông góc của lên . Ta
có (do ), suy ra .
· )⊥(, AHK
SB⊥HKA
, ))
SAB
SBC
Lại có: suy ra . Vậy góc
( SB
(AK
giữa giữa hai mặt phẳng là .
;
1
1
1
1
1

7
a.2 3
=
+
=
+
=
⇒
AH
=
2
2
2
2
2
2
.
AH1 =SA1 +AC1 =4a1 +3a1 =12a1 ⇒ AK = a 27
2
2
4aHKA
a2 ) ⊃
2aHK
Tam giác AK 2 SA2 AHAB⊥2 ( SBC
) H, ( 4SBC
vuông tại (vì ).
7

a.2 3
OA : 2 x + y = 0

.
AH
6
7
·
·
sin HKA
=BC :72 x += y + m⇒=cos
HKA
=
OA P=BC
⇒
0
m
≠
0
.
(
) 7
AK
a 2
7
Tọa độ điểm  x + y + 1 = 0
 x =B1 − m
⇔
⇒ B ( 1 − m; m − 2 )
là nghiệm của 2 x + y + m = 0  y = m − 2

hệ .
C− 2

Tọa độ điểm 3x + y + 2 = 0
x = m
⇔
⇒ C ( m − 2; 4 − 3m )

là nghiệm 2 x + y + m = 0  y = 4 − 3m
của hệ .

0,25

0,50

0,50

1

8

SOABC = ( OA + BCB) .d−2;1
,+(C
. Giải pt
) 12+ 3 7 )
7;−1(1m
m−
=53=7;1
−1 −m
( 2( =m71( )−O−, 3C), BC
))1;−⇔
2B ( 7; ⇔
này bằng 1

 ( −1) 2 + 22 + ( 2m − 3) 2 + ( 4m − 6 ) 2  . m
=6
cách chia 2 
 22 + 12
trường hợp
để phá dấu giá trị tuyệt đối
ta được
. Vậyr hoặc
ur
u
u
r 2 uu
2 ,ABC
AB
AC
BC
A
−,0n23 )( =
Gọi vec tơ pháp tuyến n1a( (1;x2−) a1, )n+2+(bb2;1
( ,y>)BC
a;0b )
của lần lượt là .Pt có
dạng , với . Tam giác cân tại nên
ur uu
r
uu
r uu
r
cos B = cos C ⇔ cos n1 , n3 = cos n2 , n3 ⇔

(

9

)

(

)

=Mb−b
a + 2b
2aa+BC
 a = −b
Với .
 2 1
b = −1 ⇒ a = 1 ⇒ BC
0 ⇒ B ( 0;1) , C  − ; ÷
= : x − y +1 = ⇔
2
2
2
2
Chọn ,
 3 3
a +b 5
a +b 5
a = b
không
thỏa mãn thuộc đoạn .

==b0 ⇒ B ( 4; −1) , C ( −4;7 )
3M
Với . Chọn , a = b = 1 ⇒ BC : x + y −aBC
thỏa mãn
thuộc đoạn .
I ⇒BC
I ( 0;3)
Gọi trung diểm của là .
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
r
u
u
u
r
uur
Ta có .
BC 2

BC 2
DB.DC = ( DI + IB ) ( DI + IC ) = DI 2 −
≥−
≡ I)
DD( 0;3
Dấu bằng
4
4
xảy ra khi .
Vậy
Điều kiện Bất pt đã cho tương x > −3. đương với

0,50

0,50

0,25

0,25
0,50


x2 + x + 2
2
−
+ x2 −1 ≤ 0 ⇔
2
x+3
x +3

(x
⇔

2

− 1) ( x 2 + x + 6 )

( x + 3) ( x 2 + 3 )

x +x+2
2
+
2
x+3
x +3
2

x2 + x + 2
4
− 2
x+3
x + 3 + x2 − 1 ≤ 0
2
x +x+2
2
+
2
x+3
x +3

+ x2 −1 ≤ 0







x2 + x + 6
2
⇔ ( x − 1) 
+ 1 ≤ 0
2
2  
 x + 3 x2 + 3  x + x + 2 +

÷ 
(
)
(
)

2

÷
x+3
x
+
3


 

3−]1 ≤ x ≤ 1
−−1;1
(Với thì biểu thức trong ⇔ x 2 − 1S≤x=0>[ ⇔
ngoặc vuông luôn dương).
Vậy tập nghiệm của bất pt là

10

( x − 4)

2

0,50

+ ( y − 4 ) + 2 xy ≤ 32 ⇔ ( x + y ) − 8 ( x + y ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x + y ≤ 8
2

2

Ta có

0,25
A = ( x + y ) − 3 ( x + y ) − 6 xy + 6 ≥ ( x + y ) −
3

3

3

2
( x + y ) − 3 ( x + y ) + 6.
2

3] 2
Xét hàm số: trên đoạn . f ( t ) = t 3[ −0;8
t − 3t + 6
2
Ta có hoặc (loại) '
1
−
5
1+ 5
f ( t ) = 3t 2 − 3t −t 3,
= f ' ( t) = 0 ⇔ t =
Ta có . Suy ra
 1 + 5 17 −17
25 −55 5
2
f ( 0 ) = 6, f  A ≥ ÷
=
Khi thì dấu bằng xảy ra.  2 17÷−A514+5 45 , f ( 8 ) = 398
x= y=
Vậy giá trị nhỏ nhất của là
4 4

Thạch Thành, ngày 23 tháng 10 năm 2015
Người ra đề và làm đáp án: Bùi Trí Tuấn

0,25

0,25
0,25