Tổng hợp và mở rộng các dạng toán về phương trình bậc hai và định lý Viet

A.

KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1)

Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c =0 (a 0) với x là ẩn và a, b, c là

≠

∆ = b 2 − 4ac

các hệ số của phương trình. Ta có:
-

-

2)

Nếu
Nếu
Nếu

∆
∆

∆

<0 phương trình đã cho vô nghiệm
x1,2 = −

=0 phương trình có nghiệm kép

x1,2 =

>0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Định lý Viet: Nếu ax + bx + c =0 (a 0) có hai nghiệm phân biệt

thì:

-


−b +
∆ −b−
 x1 + x2 =
2a


−b +
∆
−b −

x
.
x
=
 1 2
4a


∆

)(

=

∆

)

x1, x2

−b
a
=

c
a

BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài toán liên quan tới nghiệm phương trình bậc 2 và hệ thức Viet.
Bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Phương trình có nghiệm khi

∆≥0

(hoặc

Phương trình có nghiệm phân biệt khi

∆' ≥ 0

∆>0

)

(hoặc

x − 2( m + 1) x + m − 3 = 0
2

∆' > 0

)

2

Cho phương trình :
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm.
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình có nghiệm kép.

Ví dụ 1.
a)
b)
c)

−b ± ∆
2a

≠

2

(

B.
•
1)

b
2a

(với m là tham số)


Giải

Ta có:

a = 1;

b = −2( m + 1) ⇒ b ' = −( m + 1);

c = m2 − 3

∆ ' =  − ( m + 1)  − (m 2 − 3)
= m 2 + 2m + 1 − m2 + 3
= 2m + 4

2

a.

Phương trình có nghiệm khi

∆' ≥

0:

⇔ 2m + 4 ≥ 0
⇔ 2m ≥ −4
⇔ m ≥ −2
⇒

Vậy phương trình có nghiệm khi m

≥

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi
b.

Tương tự như câu a thì ta được
⇒

c.

∆'

>0:

m > −2

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

Phương trình có nghiệm kép khi

∆'

Tương tự như trên thì ta thu được
⇒

2.

m > −2

=0:

m = −2

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

m = −2


Cho phương trình

Ví dụ 2.

mx 2 + (2m + 1) x + m − 2 = 0

(với m là tham số). Tìm

điều kiện để phương trình có nghiệm.
Giải

Ta có:
TH1:

a = m; b = 2m + 1;

a=0⇔m=0

x−2=0
⇔
x=2

⇒

c = m2 − 3

phương trình trở thành:

(1)

Vậy m=0 thì phương trình có nghiệm là x=2.

TH2:

a≠0⇔m≠0

∆ = ( 2m + 1)

2

− 4m ( m − 2 ) = 4m 2 + 4m + 1 − 4m 2 + 8m = 12m + 1

Xét
Phương trình trên có nghiệm khi
⇔m≥

−1
12

Kết hợp (1) và (2) ta được:
m≥

Vậy với

0

(2)
m≥

⇒

∆ ≥ ⇔ 12m + 1 ≥ 0

−1
12

−1
12

thì phương trình trên có nghiệm.


x 2 + (m + 2) x + m − 15 = 0

Ví dụ 3.
Cho phương trình:
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn
b) Tìm m để phương trình trên nhận x=9 là

(với m là tham số)
có 2 nghiệm phân biệt.
nghiệm.

Giải

a.

a = 1;

Ta có:

b = m + 2;

c = m − 15

∆ = (m + 2) 2 − 4.(m − 15) = m 2 + 4m + 4 − 4m + 60 = m2 + 64 > 0

Ta có

∆

luôn luôn lớn hơn 0 vì m2 là một số luôn dương. Suy ra m2 + 64 là

một số luôn dương.
⇒

Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt (đpcm).
b.

Theo yêu cầu đề bài thay x=-9 vào phương trình ta được:
( −9) 2 + ( m + 2)(−9) + m − 15 = 0
⇔
81 − 9m − 18 + m − 15 = 0
⇔
8m = 48
⇔
m=6

⇒

Vậy với m=6 thì phương trình nhận x=-9 là nghiệm .
2)
-

Tính toán các biểu thức liên quan tới nghiệm của phương trình bậc hai.

Khi gặp dạng toán này cần biến đổi các biểu thức đã cho về dạng tổng và tích
của hai nghiệm và sau đó tìm hướng để tiếp tục biến đổi.

-

Chú ý:

x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2
x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − 3x1 x2 ( x1 + x2 )


Ví dụ 4.
a) Giải
b)

Cho phương trình:
phương trình trên

x 2 − 5x + 1 = 0

Tính giá trị các biểu thức sau:

M = x12 + x22 − 3 x1 x2

N = x13 + x23 +

1 1
+
x1 x2

Giải
a.
b.

Bạn đọc tự giải.
Xét phương trình:

x 2 − 5x + 1 = 0

Ta có: a=1; b=-5;

Áp dụng định lý Viet ta được:

Vậy:

c=1
−b

x
+
x
=
=5
1
2


a

c


x1 .x2 =
=1

a


M = x12 + x22 − 3x1 x2 = ( x1 + x2 ) 2 − 5x1 x2 = 20

N = x13 + x23 +

1 1
+
x1 x2

= ( x1 + x2 )3 − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) +

x1 + x2
x1 x2

= 53 − 3.1.5 + 5
= 105

Ví dụ 5.

Cho phương trình:

x 2 − 2(m − 1) x − m − 3 = 0

(1)

Giải phương trình khi

a)

m = −3

Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức

b)

x12 + x22 = 10

Giải
Với

a.

m = −3

thay vào phương trình (1) ta được:

x 2 − 2( −3 − 1) x + 3 − 3 = 0
⇔ x2 + 8x

=0

⇔ x ( x + 8)

=0

x = 0
⇔ 
 x = −8

Ta có:

b.

a = 1;

b = −2(m − 1)

c = −(m + 3)

2

1  15

∆ = b − ac = − ( m − 1)  + (m + 3) = m − m + 4 =  m − ÷ +
2
4

'

2

'2

Dễ thấy

∆'

2

là biểu thức luôn lơn hơn 0

∀m

. Do đó phương trình luôn có hai nghiệm

phân biệt.

Theo định lý Viet ta có:

Mặt khác ta có:

 x1 + x2 = 2(m − 1)

 x1 x2 = −m − 3

x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = 10

Thay (1), (2) vào (3) ta được:

(1)
(2)

(3)

 2 ( m − 1)  + 2(m + 3) = 10
⇔ 4m 2 − 6m + 10
= 10
2

⇔ 4m 2 − 6m

=0

m = 0
⇔
m = 3

2

⇒

Khi m=0 và m=3/2 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biết phương trình:

Ví dụ 6.

x 2 + (m + 3) x + m − 1 = 0

(với m là tham số) có hai

nghiệm phân biệt x1, x2.

Chứng minh rằng:

M = x1 + x2 + x1 x2

tồn tại không phụ thuộc vào tham số m.

Giải
Ta có:

a = 1;

b = m + 3;

Theo định lý Viet ta được:

Do đó:

c = m −1

−b

x1 + x2 =
= −m − 3


a

c


x1.x2 =
= m −1

a


M = x1 + x2 + x1 x2 = − m − 3 + m − 1 = −4

(khôg phụ thuộc m)

⇒

Vậy M tồn tại không phụ thuộc vào tham số m.
3)
-

Bài toán thiết lập hệ thức giữa hai nhiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Tìm điều kiện để tồn tại hai nghiệm

x1 , x2

.


-

Sử dụng định lý Viet để tính

x1 + x2 , x1 x2

theo m

Từ một trong hai đẳng thức của hệ thức Viet tính m theo
x − 2mx + m + 2 + m = 0
2

Cho phương trình:

Ví dụ 7.

x1 , x2

.

2

(với m là tham số) hãy tìm m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt sau đó thiết lập biểu thức liên hệ
giữa hai nghiệm sao cho biểu thức ấy không phụ thuộc vào tham số m.
Giải

Ta có:

a = 1;

b = −2m ⇒ b ' = − m;

c = m2 + m + 2

∆ ' = (− m)2 − (m2 + m + 2) = − m − 2

Để phương trình có hai nghiệm khi

∆' > 0

⇔ −m − 2 > 0
⇔
m < −2

⇒

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

Khi đó theo định lý Viet ta có:

(1)
 x1 + x2 = 2m

= m 2 + m + 2 (2)
 x1 x2
m=

Từ (1) ta có:

x1 + x2
2

(1' )

m < −2


2

Từ (1’) thay vào (2) ta được:

x +x  x +x
x1 x2 =  1 2 ÷ + 1 2 + 2
2
 2 

2

⇒

Vậy

x +x  x +x
x1 x2 =  1 2 ÷ + 1 2 + 2
2
 2 

là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà nó

không phụ thuộc vào tham số m.
4)

Tìm điệu kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn một tính
chất cho trước.

-

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Sử dụng định lý Viet, rồi ép vào tính chất mà đề bài quan tâm để xá định
tham số m.

-

Sau khi tìm được m cần kiểm tra lại xem nó có thỏa mãn điều kiện để phương
trình có nghiệm hay không.

Ví dụ 8.

Cho phương trình sau:

x 2 − ( m + 4) x + 3m − 1 = 0

điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt
thỏa mãn hệ thức sau:

x12 + x22 − x1 x2 = 7

Giải
Ta có:

a = 1;

b = −(m + 4);

c = 3m − 1

x1 , x2

(với m là tham số). Tìm
sao cho hai nghiệm đó


∆ =  − ( m + 4 )  − 4(3m − 1)
2

= m 2 + 8m + 16 − 12m + 4
= m 2 − 4m + 16 + 4
= (m − 2) 2 + 16

Hiển nhiên

∆>0

vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Theo định lý Viet ta có:
 x1 + x2 = m + 4

 x1 x2 = 3m − 1

Xét hệ thức:

x12 + x22 − x1 x2 = 7

x12 + x22 − x1 x2

=7

⇔ ( x1 + x2 ) 2 − 3 x1 x2

=7

ta biến nó đổi như sau:

⇔ (m + 4) 2 − 3(3m − 1) = 7
⇔

m 2 − m + 12

=0

⇔

1  47

=0
m− ÷ +
2
4


2

2

Ta thấy phương trình
m để

Ví dụ 9.

x12 + x22 − x1 x2 = 7

1  47

=0
m − ÷ +
2
4


là vô nghiệm vậy nên không thể tồn tại

.

Xét phương trình :

x 2 − (m + 2) x + m − 3 = 0

(với m là tham số)


a)

b)

Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Tim m để

x1 x2
+
x2 x1

x1 , x2

.

là số nguyên.
Giải

a.

Ta có:

a = 1;

b = −(m + 2);

c = m−3

∆ =  − ( m + 2 )  − 4.1.( m − 3) = m 2 + 16 > 0
2

Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân
biệt.

b.

Theo định lý Viet:

 x1 + x2 = m + 2

= m−3
 x1 x2

Ta có:
x1
x
x 2 + x22
( x + x2 ) 2 − 2 x1 x2
+ 2 = 1
= 1
x2
x1
x1 x2
x1 x2
( m + 2) 2 − 2( m − 3)
m−3
m 2 + 2m + 10
=
m−3
2
m − 3m + 5m − 15 + 25
=
m−3
25

= m +5+
m−3
=


Để

Mà

x1 x2
+ ∈¢
x2 x1

25
∈¢
m−3

m+5+

thì

25
∈¢
m−3

m − 3∈

thì hiển nhiên

Ta có: Ư(25)

hay

25
∈¢
m−3

Ư(25)

= { ±1, ±5, ±25}

Xét bảng giá trị sau:

Vậy với

Ví dụ 10.

m-3

-25

-5

-1

1

5

25

m

-22

-2

2

4

8

28

m ∈ { −22, −2, 2, 4,8, 28}

Cho phương trình:

thì

x1 x2
+
x2 x1

là số nguyên.

x 2 − ( m − 1) x − m 2 + m − 4 = 0

(với m là tham số)

Chứng minh răng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
trị của m sao cho

T = x12 + x22 − x1 x2

nhận giá trị nhỏ nhất.

Giải

Ta có:

a = 1;

b = −(m − 1);

c = −a 2 + a − 4

x1 , x2

. Tìm giá


∆ =  − ( m − 1)  − 4.1.(−m 2 + m − 4)
= m 2 − 2m + 1 + 4m 2 − 4m + 16
2

= 5m 2 − 6m + 17
6
17

= 5( m 2 − m + )
5
5
2

2  76 
= 5  m − ÷ + 
5  25 


Hiển nhiên
⇒

∆

là biểu thức luôn lớn hơn 0.

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viet:
 x1 + x2 = m − 1

2
 x1 x2 = − m + m − 4

Nên:

T = ( x1 + x2 ) 2 − 3 x1 x2

= (m − 1) 2 − 3(−m 2 + m − 4)

= 4m 2 − 5m + 13
5 25 25
= (2m) 2 − 2.2m. + − + 13
4 16 16
2

5  183

=  2m − ÷ +
4  16

2

Vì:

5

 2m − ÷ ≥ 0
4


⇒T ≥

với mọi m

183
16

x1 , x2

với mọi giá trị của m.


2m −

Dấu “=” xảy ra khi
m=

Vậy với
5)

5
8

TMIN =

thì T đạt giá trị nhỏ nhất:

183
16

Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai.
ax 2 + bx + c = 0

-

5
5
=0⇔m=
4

8

(a ≠ 0)

Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Định lý Viet:
−b

S
=
x
+
x
=
1
2

a

P = x x = c
1 2

a
x1
•

x1
•

x1

•

x1
•

và
và
và
và

x2
x2
x2
x2

trái dấu thì

⇔

cùng dấu thì

⇔

cùng dương thì
cùng âmthì

P < 0 hay c/a < 0

⇔

P > 0 hay c/a > 0
⇔

P > 0 và S > 0

P > 0 và S < 0

x 2 + mx − m 2 − 5 = 0

Cho phương trinh sau đây:
(với m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó

Ví dụ 11.

luôn trái dấu nhau.
Giải

Ta có:

a = 1;

b = m;

c = −m 2 − 5


∆ = m 2 + 4(m 2 + 5) = 5m 2 + 20

Hiển nhiên

x1 , x2

∆

là một số không âm. Do đó phương trình luôn có hai nghiêm

phân biệt.

Theo định lý Viet ta có:
⇒

Vậy hai nghiệm

Ví dụ 12.
a) Tim

x1 , x2

P = x1.x2 = c / a = −m 2 − 5 < 0

( Với mọi m).

của phương trình luôn trái dấu nhau.
x 2 − 3x + m − 2 = 0

Cho phương trình:
(với m là tham số)
m để phương trình có hai nghiệm phân biệt luôn dương, khi đó hãy tính:

M = x1 + x2

b)

theo m.
Tìm m để hai nghiệm đã cho lớn hơn hoặc bằng 1.
Giải

a.

* Ta có:

a = 1;

b = −3;

c = m− 2

∆ = (−3) 2 − 4.( m − 2) = 17 − 4m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
m<

Vậy với

17
4

∆

17 − 4m > 0 ⇔ m <

>0 hay

thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. (1)

17
4


Theo định lý Viet ta có:

 S = x1 + x2 = 3

 P = x1 x2 = m − 2

Muốn có hai nghiệm cùng thì:
2
Kết hợp (1), (2) ta có

17
4

 P > 0 m − 2 > 0
⇔
⇔m>2

S > 0
3 > 0

thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân

biệt cùng dương.

* Tính

M = x1 + x2

M2 =

Xét:

(

x1 + x2

)

2

= x1 + 2. x1 x2 + x2 = 3 + 2 m − 2

⇒ M = M 2 = 3+ 2 m − 2

b.

(2)

2

với

17
4

 x1 ≥ 1
x −1 ≥ 0
⇔  1

 x2 ≥ 1
 x1 − 1 ≥ 0

≥0
( x1 − 1)( x2 − 1)
⇔ 
( x1 − 1) + ( x2 − 1) ≥ 0

 x x − ( x1 + x2 ) + 1 ≥ 0
⇔ 1 2
≥0
 x1 + x2 − 2

.


m − 2 − 3 + 1 ≥ 0
⇔
⇔m≥4
≥0
3 − 2

⇒

4≤m<

Vậy với

17
4

thì phương trình có hai nghiệm mà hai nghiệm đó

luôn lớn hơn hoặc bằng 1.

6)

-

Một số bài toán về phương trình bậc hai liên quan tới định lý Viet đảo.

Giả sử ta có

 x1 + x2 = S

 x1 x2 = P

thì khi đó

x1 , x2

là nghiệm của phương

x 2 − Sx + P = 0

-

trình
.
Ý nghĩa : Thiết lập một phương trình bậc 2 khi biết tổng và tích của hai
nghiệm.

Ví dụ 13.

Lập phương trình bậc 2 nhận

x1 = 1 + 3

và

x2 = 2 − 3

làm nghiệm.

Giải

Ta có:

 S = x1 + x2 = 1 + 3 + 2 − 3 = 3



 P = x1 x2 = 1 + 3 2 − 3 = ( 3 − 1)

(

)(

)

Theo định lý Viet đảo thì phương trình bậc 2 nhận hai nghiệm
x2 = 2 − 3

Ví dụ 14.

làm nghiệm là:

Xét phương trình:

x 2 − 3x +

x2 − 7 x + 3 = 0

3 −1 = 0

x1 = 1 + 3

và


a)

Chưng minh rang phương trình có hai nghiệm
y1 = 2 x1 − x2

trình bậc hai mới nhận
b)

Tính giá trị của biểu thức

và

x1 , x2

y2 = 2 x2 − x1

, từ đó lập một phương

làm nghiệm.

A = 2 x1 − x2 + 2 x2 − x1

Giải

a.

Ta có:

a = 1;

b = −7;

c=3

∆ = (−7) 2 − 4.1.3 = 37 > 0

⇒

Phương trình tồn tại hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viet ta có:

Do đó:
P


x + x2 =

 1

 xx =
1 2



x1 , x2

−b
=7
a
c
=3

a

S = y1 + y2 = 2 x1 − x2 + 2 x2 − x1 = x1 + x2 = 7

= y1 y2 =

( 2 x1

= 4 x1 x2 − 2 x

2
1

= 5 x1 x2 − 2( x

− x2 )

( 2 x2

− 2x

2
1

2
2

− x1 )

+ x1 x2

+ x )
2
2

= 5 x1 x2 − 2 ( x1 + x2 )


= 5.3 − 2  7 2 − 2.3


2

− 2 x1 x2 


= −71

⇒

Vậy phương trình bậc hai nhận

y1 , y2

là nghiệm là:

y 2 − 7 y − 71 = 0


b.

Ta có:

A = 2 x1 − x2 + 2 x2 − x1 = y1 + y2 ≥ 0

Xét phương trình:

Theo định lý Viet

y 2 − 7 y − 71 = 0
−b

y + y2 =
=7

 1
a

 y y = c = −71
1 2

a


A2 = ( y1 + y2 ) − 2 y1 y2 + 2 y1 . y2 = 7 2 − 2.(−71) + 2 −71 = 191
2

Vậy

⇒ A = A = 191

•
1)
-

Phương trình quy về phương trình bậc hai.
Phương trình trùng phương.
Là phương trình có dạng sau:

ax 4 + bx 2 + c = 0

( a ≠ 0)

⇔ a( x 2 ) 2 + bx 2 + c = 0
-

Với việc đặt
sau

t = x 2 (t ≥ 0)

at 2 + bt + c = 0

, ta được phương trình bậc 2 mới với ẩn là t như

từ đây bằng phương pháp giải phương trình bậc hai ta có

thể tìm t và suy ra x dễ dàng.
Ví dụ 1.

Giải phương trình sau:

2 x 4 + x 2 − 36 = 0

Giải

(1)


Đặt

t = x 2 (t ≥ 0)

, từ (1) ta được phương trình theo t như sau:

2t 2 + t − 36 = 0

Ta có:

a = 2;

b = 1;

c = −36

∆ = b 2 − 4ac = 1 − 4.2.( −36) = 289 = 17 2

∆>0

Vì

−b − ∆ −1 − 289 −9
=
=
2a
4
2

t1 =

Mà
⇒

phương trình có 2 nghiệm phân biệt như sau:

t = x2

, với

t2 =

(loại);

t = 4 ⇒ x 2 = 4 ⇔ x = ±2

Vậy phương trình trên có nghiệm là

−b + ∆ −1 + 289
=
=4

2a
4

.
x = ±2

.

( x + a)( x + b)( x + c)( x + d ) = m

2)
-

(1)
-

a+b = c+d

Phương trình có dạng:
với
Để giải phương trình dạng này ta tiến hành biến đổi như sau:

(1)

2
2
⇔ ( x + ax + bx + ba )( x + cx + dx + cd ) = m

Sau đó ta đặt

t = x 2 + ax + bx = x 2 + cx + dx

với cạch đặt trên ta sẽ đưa

được phương trình về dạng đơn giản và tiến hành giải như bình thường.
Ví dụ 2.

Giải phương trình sau:

( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 3) = 9

Giải


( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 7) = 9
⇔ ( x + 1)( x + 7)( x + 3)( x + 5) = 9
⇔ ( x 2 + x + 7 x + 7)( x 2 + 3 x + 5 x + 15) = 9
⇔ ( x 2 + 8 x + 16 − 9)( x 2 + 8 x + 16 − 1) = 9

Đặt

t = x 2 + 8 x + 16 = ( x + 4) 2

Ta được:

(t ≥ 0)

(t − 9).(t − 1) = 9

⇔ t 2 − 9t − t + 9

=9

⇔ t 2 − 10t

=0

⇔ t (t − 10)

=0

t = 0
⇔
t = 10
Với t=0

⇔ ( x + 4) 2 = 0 ⇔ x = −4

Với t=10
⇒

⇔ ( x + 4) 2 = 10 ⇔ x = ± 10 − 4

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt là:

x = −4 x = ± 10 − 4

;

2

3)

e d 
= ÷
a b

Phương trình bậc 4 hồi quy với
- Để giải phương trình bậc 4 hồi quy ta đi xét x=0 có phải là nghiệm của
phương trình hay không.


-

Nếu x=0 không phải là nghiệm của phương trình ta tiến hành chia 2 vế
x2

của phương trình cho
như sau:
4
3
2
ax + bx + cx + dx + e

=0

d
e
+ 2
=0

x x
e
d
⇔ ax 2 + 2 + bx + + e
=0
x
x
e 
d 


⇔ a  x2 +
+
b
x
+
÷

÷+ c = 0
2
a
x
bx




⇔ ax 2 + bx + c +

-

Đặt

d
t = x + ⇒ t2
bx

2

d 

=x+ ÷
 bx 

x2 +

( Ta sẽ tính được

Giải phương trình sau đây:

theo t )

x + 4 x + 5x − 4x + 1 = 0
4

Ví dụ 3.

e
ax 2

3

2

Giải
Xét x=0 thay vào phương trình trên ta được “1=0” là vô lý. Vậy x=0 không
phải là một nghiệm của phương trình. Nên ta biến đổi như sau:
x4 + 4 x3 + 5x2 − 4 x + 1 = 0
4 1
⇔ x2 + 4 x + 5 − + 2 = 0
x x
1
1

⇔ x 2 + 2 − 4  x + ÷+ 5 = 0
x
x

1

t =x+ ÷
x


Đặt

t 2 = x2 +

(1)

1
1
+ 2 ⇒ x2 + 2 = t 2 − 2
2
x
x

khi đó

Khi đó phương trình (1) trở thành:

t 2 − 4t + 3 = 0


Vì tổng các hệ số của phương trình

t 2 − 4t + 3 = 0

bằng 0 nên đễ thấy

t =1

hoặc

t =3
t =1⇔ x +

Với
t =3⇔ x+

Với

1
=1
x

1
= 3 ⇔ x 2 − 3x + 1 = 0
x

Phương trình (2) có
⇒

(phương trình này vô nghiệm)

∆=5>0

(2)

x=

và có hai nghiệm phân biệt là:
x=

Phương trình đã cho có nghiệm là

3± 5
2

3± 5

2

.

kx
hx
+ 2
=Z
ax + bx + c ax + dx + c
2

4)
-

Phương trình dạng:
Để giải phương trình dạng trên ta cũng tiến hành xét x=0 có phải là nghiệm

-

của phương trình hay không.
Nếu x=0 không phải là nghiệm của phương trình ta chia cả tử và mẩu của
k
ax + b +

phương trình cho x như sau:
t = ax +
-

Đặt

c
x

c
x

+

h
ax + d +

c
x

=Z

và tiếp tục biến đổi để đưa phương trình về dạng quen thuộc để

giải.
6x
x
− 2
=1
x + x +1 x − x +1
2

Ví dụ 4.

Giải phương trình sau đây:
Giải

Xét với x=0 ta có

0 0
− =1
1 1

(vô lý)

Chia cả tử và mẩu của phương trình cho x ta được:
6
1
x +1+
x

−

1
1
x −1+
x

t = x+

Đặt

1
x

=1

(1)

phương trình (1) trở thành:

6
1
−
=1
t +1
t −1
6(t − 1) − (t + 1)
⇔
=1
(t − 1)(t + 1)
⇔ 6(t − 1) − (t + 1)

= t 2 −1

⇔

t 2 − 5t + 6

=0

⇔

(t − 2)(t − 3)

=0

t = 2
⇔ 
t = 3

t =2⇔ x+

Với

1
= 2 ⇒ x =1
x

(t ≠ ±1)


t =3⇔ x+

Với

1
3± 5
= 3⇒ x =
x
2

x = 1, x =

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:

3± 5
2