01 cac van de trong tam ve ham bac ba p1 BG(2016)

Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Các vấn đề trọng tâm về hàm số bậc ba – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1 [Video]: Cho hàm số: y = x3 − 3 x 2 + m + 3 ( C ) và đường thẳng d : y = mx + 1 .
a) Tìm m để hàm số ( C ) có cực đại tại A , cực tiểu tại B sao cho OA = 5OB .

b) Tìm m để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn OA2 + OB 2 + OC 2 = 31 .

c) Tìm m sao cho tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm ( 2; −1) vuông góc với đường thẳng x + 9 y − 3 = 0 .
d) Biện luận số nghiệm của PT : x3 − 3 x 2 + m + 3 = 0 theo tham số m.
Ví dụ 2 [Video]: Cho hàm số: y = x3 + 3 x 2 + 1 ( C ) .

a) Gọi A, B là 2 điểm cực trị của ( C ) . Tìm điểm C sao cho ∆ABC đều.
b) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt M , N , P trong đó xM = 1 và
NP = 2 10 .
c) Viết phương trình tiếp tuyến của

(C )

tại điểm x0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

3x + y − 5 = 0 .

d) Tìm m để phương trình x3 + 3 x 2 − m 2 − 3m = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 + 3mx 2 + 2 ( C ) và đường thẳng d : y = 3 ( mx + 1) .
a) Tìm m để hàm số ( C ) có 2 điểm cực trị tại M và N sao cho MN = 2 5

b) Tìm m để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt sao cho OB 2 + OC 2 = 14.OA trong đó A là điểm có hoành độ
không đổi.
c) Tìm m biết rằng tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ x = 1 đi qua điểm E ( 2; −3) .
d) Biện luận số ngiệm của phương trình sau: x3 + 3 x 2 + 2 = log 2 ( 2k + 1) theo giá trị của tham số k.
Lời giải:
x = 0
a) Ta có: y ' = 3 x 2 + 6mx = 0 ⇔ 
 x = −2m
Để hàm số có 2 điểm cực trị ⇔ m ≠ 0 . Khi đó 2 điểm cực trị M ( 0; 2 ) ; N ( −2m; 2 + 4m3 )
Lại có: MN 2 = 4m 2 + 16m6 = 20 ⇔ m 2 = 1 ⇔ m = ±1 ( t / m ) .

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( C ) là: x3 + 3mx 2 + 2 = 3 ( mx + 1)
 x = 1 ⇒ A (1;3 + 3m )
⇔ ( x − 1) ( x 2 + x + 1) + 3mx ( x − 1) = 0 ⇔ 
.
2
 g ( x ) = x + ( 3m + 1) x + 1 = 0
2
∆ = 9m + 6m − 3 > 0
Để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ 
 g (1) = 3m + 3 ≠ 0
 x1 + x2 = −3m − 1
Khi đó gọi B ( x1 ; −3mx1 + 1) ; C ( x2 ; −3mx2 + 1) ta có: 
 x1 x2 = 1
.
m = 1
2
2
2

2
2
2
Theo giả thiết ta có: OB + OC = x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 9m + 6m − 1 = 14 ⇔ 
5 (t / m ) .
m = −
3


Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

c) Ta có: x = 1 ⇒ y = 3m + 3 . PT tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là:

y = ( 3 + 6m )( x − 1) + 3m + 3 ( d1 )

Do tiếp tuyến đi qua điểm E ( 2; −3) nên −3 = ( 3 + 6m ) + 3m + 3 ⇔ m = −1 .

d) Đồ thị hàm số y = x3 + 3x 2 + 2 (1) có dạng như hình vẽ.

Số nghiệm của PT đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị y = x3 + 3x 2 + 2 (1) và đường thẳng

d1 : y = log 2 ( 2k + 1) . Dựa vào đồ thị trên ta có:

63


k > 2
log 2 ( 2k + 1) > 6
+) Với 
⇔
thì PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất.
k < 3
log 2 ( 2k + 1) < 2

2
63

k
=

log 2 ( 2k + 1) = 6
2
+) Với 
⇔
thì PT đã cho có 2 nghiệm .
3
log 2 ( 2k + 1) = 2
k =

2
3
63
thì PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
+) Với 2 < log 2 ( 2k + 1) < 6 ⇔ < k <
2
2

Ví dụ 4 [Tham khảo]: Cho hàm số: y = x3 − 3x + m + 1 ( C ) và đường thẳng d : y = ( m − 1) x .

a) Tìm m để hàm số ( C ) có 2 điểm cực trị tại M và N sao cho OM .ON = 4

b) Tìm m để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt có tung độ thoã mãn y12 + y22 + y32 = 8
c) Tìm m biết tiếp tuyến tại giao điểm của ( C ) với trục Oy đi qua điểm E ( 0; 2 ) .
d) Biện luận số nghiệm của PT : x3 − 3 x + m + 1 = 0 theo tham số m.
Lời giải:
x = 1
a) Ta có: y ' = 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ 
 x = −1

Khi đó 2 điểm cực trị M (1; m − 1) ; N ( −1; m + 3)

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

m = 2
Lại có: OM .ON = −1 + ( m − 1)( m + 3) = 4 ⇔ 
.
 m = −4
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( C ) là: x3 − 3x + m + 1 = ( m − 1) x
 x = 1 ⇒ A (1; m − 1)
⇔ x3 − 2 x + 1 − m ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + x − 1 − m ) = 0 ⇔ 
.
2

 g ( x ) = x + x − 1 − m = 0
∆ = 5 + 4m > 0
Để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ 
 g (1) = 1 − m ≠ 0

 x1 + x2 = −1
Khi đó gọi B ( x1 ; ( m − 1) x1 ) ; C ( x2 ; ( m − 1) x2 ) ta có: 
 x1 x2 = −1 − m
.
m = 2
2
2
2
Theo giả thiết ta có: ( m − 1) + ( m − 1) ( x12 + x22 ) = 8 ⇔ ( m − 1) ( 4 + 2m ) = 8 ⇔ 
(t / m) .
 m = −1
c) Ta có: x = 0 ⇒ y = m + 1 . PT tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 là: y = −3x + m + 1 ( d1 )
Do tiếp tuyến đi qua điểm E ( 0; 2 ) nên 2 = m + 1 ⇔ m = 1 .

d) Ta có: PT ⇔ x 3 − 3 x + 1 = − m

Số nghiệm của PT đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị y = x3 − 3x + 1 (1) và đường thẳng
d1 : − m . Dựa vào đồ thị trên ta có:

−m > 1
 m < −1
+) Với 
⇔
thì PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất.
 − m < −3

m > 3
−m = 1
 m = −1
+) Với 
⇔
thì PT đã cho có 2 nghiệm .
 − m = −3
 m = −3
+) Với −3 < − m < 1 ⇔ 3 > m > −1 thì PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 5 [Tham khảo]: Cho hàm số: y = x3 − 3x + 2 ( C ) và đường thẳng d : y = k ( x − 1) .
a) Tìm điểm E thuộc trục tung biết rằng E tạo với 2 điểm cực trị một tam giác có diện tích bằng 1.
b) Tìm k để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt A (1; 0 ) ; B; C sao cho diện tích tam giác OBC bằng

c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm x0 thoã mãn y '' ( x0 ) = 12 .

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

d) Tìm m để phương trình: x3 − 3 x = m 2 + 4m có 2 nghiệm phân biệt.
Lời giải:
x = 1
a) Ta có: y ' = 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ 
 x = −1
Khi đó 2 điểm cực trị M (1;0 ) ; N ( −1; 4 ) ⇒ MN : 2 x + y − 2 = 0 . Gọi E ( 0; t ) ∈ Oy ta có:
Lại có: S MNE =

t −2
t = 1
1
1
MN .d ( E ; MN ) = 2 5.
=1⇔ 
⇒ E ( 0;1) ∨ E ( 0;3) .
2
2
5
t = 3

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( C ) là: x3 − 3x + 2 = k ( x − 1)
 x = 1 ⇒ A (1; 0 )
⇔ ( x − 1) ( x 2 + x − 2 − k ) = 0 ⇔ 
.
2
 g ( x ) = x + x − 2 − k = 0
∆ = 9 + 4k > 0
Để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ 
 g (1) = − k ≠ 0
 x1 + x2 = −1
Khi đó gọi B ( x1 ; k ( x1 − 1) ) ; C ( x2 ; k ( x2 − 1) ) ta có: 
. Trong đó: BC : y = k ( x − 1)
 x1 x2 = −2 − k
Khi đó: BC =

(k

2

+ 1) ( x1 − x2 ) =

Theo giả thiết: SOBC =

2

(k

2

+ 1) ( 9 + 4k )

1
1
BC.d ( O; BC ) =
2
2

(k

k 2 ( 4k + 9 )
⇔
= 100 ⇔ k = 4 ( t / m ) .
4
.
c) Ta có: y '' ( x0 ) = 6 x0 = 12 ⇔ x0 = 2 ⇒ y0 = 4

2

+ 1) ( 9 + 4k ) .

k
k 2 +1

= 10

Do tiếp tuyến đi qua điểm tại điểm ( 2; 4 ) là : y = 9 ( x − 2 ) + 4 hay y = −9 x − 14 .

d) Ta có: PT ⇔ x 3 − 3 x + 2 = m 2 + 4m + 2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Số nghiệm của PT đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị y = x3 − 3x + 2 ( C ) và đường thẳng
d1 : m 2 + 4m + 2 . Dựa vào đồ thị trên ta có phương trình có 2 nghiệm

 m = −2 ± 6
 m 2 + 4m + 2 = 4
⇔ 2
⇔
là các giá trị cần tìm.
m
+
4
m

+
2
=
0
2
2
m
=
−
±



Ví dụ 6 [Tham khảo]: Cho hàm số y = 4 x 3 − 6mx 2 + 1 và đường thẳng d : y = − x + 1 . Tìm m để đồ thị cắt
đường thẳng tại ba điểm phân biệt A, B, C với A(0; 1) và thỏa mãn
a) OB.OC = −4
b) Độ dài BC ngắn nhất ?
Đ/s : a )m =

11
2
; b) m =
3
3

Ví dụ 7 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x 3 − (2 m − 3) x 2 + (2 − m ) x + m có đồ thị là (Cm).
Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
 x = −1

x3 − (2m − 3) x 2 + (2 − m) x + m = 0 ⇔ ( x + 1)[x 2 − 2(m − 1) x + m] = 0 ⇔  2
 x − 2(m − 1) x + m = 0
∆ ' > 0
1

0S < 0

3

⇔
Theo bài ta có điều kiện  P > 0
3− 5
1

 3 < m < 2
3m − 1 ≠ 0

Ví dụ 8 [Tham khảo]: Cho hàm số y = 2 x 3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 1 . Tìm m để đường thẳng y = 2 x + 1 cắt
đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn điểm C(0; 1) nằm giữa A và B đồng thời
AB = 30 .
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị (Cm) của hàm số: y = 2 x 3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 1 là nghiệm phương
x = 0 ⇒ y =1
trình 2 x 3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 1 = 2 x + 1 ⇔ x(2 x 2 − 3mx + m − 3) = 0 ⇔  2
 2 x − 3mx + m − 3 = 0 (*)
Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm A; C; B phân biệt và C nằm giữa A và B khi và chỉ khi PT (*)
có 2 nghiệm trái dấu, tức là 2.(m − 3) < 0 ⇔ m < 3
3m


 x A + xB = 2
 y = 2 xA + 1
Khi đó tọa độ A và B thỏa mãn 
và  A
( vì A và B thuộc (d))
 y B = 2 xB + 1
 x .x = m − 3
 A B
2
Ta có AB = 30 ⇔ ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 = 30
⇔ ( xB − x A ) 2 = 6 ⇔ ( xB + x A ) 2 − 4 xB . x A = 6 ⇔

Đối chiếu với đk ta được m = 0; m =

m = 0
9m 2
m−3
− 4.
= 6 ⇔ 9 m 2 − 8m = 0 ⇔ 
8
m =
4
2
9


8
là các giá trị cần tìm.
9

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Ví dụ 9 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 − ( m + 3) x 2 + ( 3m + 1) x − 3 , có đồ thị là ( C ) . Tìm m để ( C )
giao Ox tại 3 điểm phân biệt.
Lời giải :
Phương trình hoành đọ giao điểm
x = 3
x3 − ( m + 3) x 2 + ( 3m + 1) x − 3 = 0 ⇔ ( x − 3) ( x 2 − mx + 1) = 0 ⇔ 
2
 g ( x ) = x − mx + 1 = 0
Để ( C ) giao Ox tại 3 điểm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 3

m > 2, m < −2
m2 − 4 > 0
∆ > 0

⇔
⇔
⇔
10
10 − 3m ≠ 0
 g ( 3) ≠ 0
m ≠ 3
 10   10


Vậy m ∈ ( −∞; −2 ) ∪  2;  ∪  ; +∞ 
 3  3

Ví dụ 10 [Tham khảo]: Cho hàm số y = 2 x 3 − 5 x 2 − 2 ( 2m − 1) x + 6m − 1 , có đồ thị là ( C ) và đường

thẳng d : y = x − 4 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ
dương.
Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm
2 x 3 − 5 x 2 − 2 ( 2m − 1) x + 6m − 1 = x − 4 ⇔ 2 x 3 − 5 x 2 − ( 4m − 1) x + 6m + 3 = 0

3

x=

2
⇔ ( 2 x − 3 ) x − x − 2m − 1 = 0 ⇔

2
 g ( x ) = x − x − 2m − 1 = 0
3
Ta có x = > 0 nên để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ dương
2
3
thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm trái dấu khác
2
1

P < 0
m>−

−2m − 1 < 0




2
⇔  3
⇔ 1
⇔
g   ≠ 0
− 4 − 2m ≠ 0
m ≠ − 1
 2

8
 1 1  1

Vậy m ∈  − ; −  ∪  − ; +∞ 
 2 8  8

Ví dụ 11 [Tham khảo]: Cho hàm số y = 2 x3 − 6 x − 7 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng d : y = 2m − 5 .

(

2

)

Tìm m để ( C ) giao d tại 2 điểm phân biệt.

Lời giải :
Phương trình hoành độ giao điểm : 2 x − 6 x − 7 = 2m − 5 ⇔ g ( x ) = 2 x3 − 6 x − 2m − 2 = 0
3

 x = 1 ⇒ y = −2 m − 6
Ta có g ' ( x ) = 6 x 2 − 6; g ' ( x ) = 0 ⇔ 
 x = −1 ⇒ y = 2 − 2 m
Để ( C ) giao d tại 2 điểm phân biệt thì hàm số y = g ( x ) phải có cực trị và yCD . yCT = 0
 m = −3
⇔ ( −2m − 6 )( 2 − 2m ) = 0 ⇔ 
m = 1
Vậy m = 1 hoặc m = −3

Ví dụ 12 [Tham khảo]: Cho hàm số: y = ( x − 1) ( x 2 + mx + 1) ( C ) .
a) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất.

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

b) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoã mãn x12 + x22 + x32 = 10 .
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: ( x − 1) ( x 2 + mx + 1) = 0
x = 1
⇔
(1)
2

 g ( x ) = x + mx + 1 = 0
Đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất ⇔ (1) có nghiệm duy nhất là x = 1 .
TH1: PT : g ( x ) = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ g ( x ) = m 2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2 .

∆ g ( x ) = 0
m2 − 4 = 0
TH2: PT : g ( x ) = 0 có nghiệm kép x = 1 ⇔ 
⇔
⇔ m = −2 .
m
+
2
=
0
g
1
=
0
(
)


Kết luận: Vậy −2 ≤ m < 2 là giá trị cần tìm.
b) ) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: ( x − 1) ( x 2 + mx + 1) = 0
 x3 = 1
⇔
(1)
2
 g ( x ) = x + mx + 1 = 0
Đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân

2
∆
m2 > 4
 = m −4 > 0
.
biệt và 2 nghiệm đó khác 1 ⇔ 
⇔
m + 2 ≠ 0
 g (1) ≠ 0

 x1 + x2 = −m
Khi đó cho x3 = 1 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0 . Theo định lý Viet ta có: 
.
 x1 x2 = 1
Theo đề bài ta có: x12 + x22 + x32 = 10 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 9 ⇔ m 2 − 2 = 9 ⇔ m 2 = 11 ⇔ m = ± 11 ( tm )
2

Vậy m = ± 11 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 13 [Tham khảo]: Cho hàm số: y = ( x − 2 ) ( 2 x 2 + 2mx − m − 1) ( C ) .
a) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt.

b) Tìm m đề đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoã mãn :
A = x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 = 8

Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: ( x − 2 ) ( 2 x 2 + 2mx − m − 1) = 0 .
 x = 2
⇔
(1)

2
 g ( x ) = 2 x + 2mx − m − 1 = 0
Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt.
2
∆ ' = m + 2 ( m + 1) = 0
TH1: g ( x ) = 0 có 1 nghiệm duy nhất và nghiệm đó khác 2 ⇔ 
( vn ) .
 g ( 2 ) ≠ 0
2
∆
 ' = m + 2 ( m + 1) > 0
TH2: g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và 1 trong 2 nghiệm bằng 2 ⇔ 
 g ( 2 ) = 8 + 4m − m − 1 = 0
−7
⇔m=
là giá trị cần tìm.
3
b) Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt

∆ ' = m 2 + 2 ( m + 1) > 0
⇔
(*) . Khi đó gọi x3 = 2 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0 .
 g ( 2 ) = 7 + 3m ≠ 0
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

 x1 + x2 = − m

Theo Viet ta có : 
−m − 1
 x1 x2 = 2
Theo bài ra ta có: A = x12 + x22 + 4 + 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) + 4 = 8 ⇔ m 2 + 4 = 8 ⇔ m = ±2 ( tm ) .
2

Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 14 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 − 3 ( m 2 − 1) x 2 − ( 2m + 1) x + 3 , có đồ thị là ( C ) và đường
thẳng d : y = x + 3 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A ( 0;3) , B, C sao cho A là trung điểm

của BC .

Lời giải:
Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình
x3 − 3 ( m 2 − 1) x 2 − ( 2m + 1) x + 3 = x + 3 ⇔ x 3 − 3 ( m 2 − 1) x 2 − 2mx = 0

x = 0
⇔ x  x 2 − 3 ( m 2 − 1) x − 2m  = 0 ⇔  2
2
 x − 3 ( m − 1) x − 2m = 0

(1)

Với x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ A ( 0;3) ứng với đề bài đã cho.
Khi đó d và ( C ) cắt nhau tại A ( 0;3) , B, C phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
2
2

2

2
∆ = 9 ( m − 1) + 8m > 0
9 ( m − 1) + 8m > 0
⇔
⇔
( *) .
2
2
0
−
3
m
−
1
.0
−
2
m
≠
0
m
≠
0


(
)

Do B, C ∈ d nên ta gọi B ( x1 ; x1 + 3) , C ( x2 ; x2 + 3) .
 x1 + x2 = 3 ( m2 − 1)
Ta có x1 ; x2 là 2 nghiệm của (1). Theo Vi-et thì 
( 2)
 x1 x2 = 2m

 x1 + x2
 2 = x A = 0
Khi đó A là trung điểm của BC ⇔ 
⇔ x1 + x2 = 0.
 ( x1 + 3) + ( x2 + 3) = y = 3
A

2
Kết hợp với (2) ta được 3 ( m 2 − 1) = 0 ⇔ m = ±1. Đối chiếu với (*) ta được m = 1 thỏa mãn.

Ví dụ 15 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 + x 2 + 3 ( m − 2 ) x + 9m , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng
d : y = x + 3 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A, B, C , trong đó A là điểm cố định và độ dài
BC = 2 10 .

Lời giải:
Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình

x3 + x 2 + 3 ( m − 2 ) x + 9m = x + 3 ⇔ x3 + x 2 − 7 x − 3 + 3m ( x + 3) = 0

 x = −3
⇔ ( x + 3) ( x 2 − 2 x − 1) + 3m ( x + 3) = 0 ⇔ ( x + 3) ( x 2 − 2 x + 3m − 1) = 0 ⇔  2
 x − 2 x + 3m − 1 = 0
Với x = −3 ⇒ y = 0. Bài ra A là điểm cố định ⇒ A ( −3; 0 ) .

(1)

Khi đó d và ( C ) cắt nhau tại A, B, C phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác −3

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

2

∆ ' = 1 − ( 3m − 1) > 0
m < 3
⇔
⇔
( *) .
2
14
−
3
−
2.
−
3
+
3
m
−

1
≠
0
( )
m ≠ −
( )

3
Do B, C ∈ d nên ta gọi B ( x1 ; x1 + 3) , C ( x2 ; x2 + 3) ⇒ BC = ( x2 − x1 ; x2 − x1 )
⇒ BC 2 = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = 2 ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2 .
2

2

2

 x1 + x2 = 2
Ta có x1 ; x2 là 2 nghiệm của (1). Theo Vi-et thì 
⇒ BC 2 = 2.22 − 8 ( 3m − 1) = 16 − 24m.
 x1 x2 = 3m − 1

(

Bài ra BC = 2 10 ⇒ 16 − 24m = 2 10

Đ/s: m = −1 là giá trị cần tìm.

)

2

= 40 ⇔ m = −1. Đã thỏa mãn (*).

Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016