01 cac van de trong tam ve ham bac ba p2 BG(2016)

Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Các vấn đề trọng tâm về hàm số bậc ba – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1 [Video]: Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3 có đồ thị ( Cm ) , với m là tham số thực.
a) Tìm m để ( Cm ) có hai điểm cực trị A và B thỏa mãn OA2 + OB 2 = 20, trong đó O là gốc tọa độ.
b) Tìm m để d : y = ( m 2 − 3) x − m3 cắt ( Cm ) tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn xA2 + xB2 + xC2 = 5.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( Cm ) biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất và ( Cm ) qua E ( 0; −1) .
d) Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d : y = −3 x và đồ thị ( Cm ) .
Ví dụ 2 [Video]: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + mx − m + 2 có đồ thị ( Cm ) , với m là tham số thực.
a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x22 + x1 + 2 x2 = 5 − 2 x1 x2 .
b) Tìm m để d : y = x − 1 cắt ( Cm ) tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn C là điểm có hoành độ
không đổi, ở giữa A, B và AB = 2 2.

c) Khi m = 1, tìm hai điểm A và B thuộc đồ thị ( Cm ) sao cho tiếp tuyến tại A và B của ( Cm ) song
song với nhau và tích hoành độ của A và B bằng −3.

d) Tìm m để phương trình x3 − 3 x 2 + mx − m + 2 = 0 có duy nhất một nghiệm.
Ví dụ 3 [Video]: Cho hàm số y = x3 − 2mx 2 − ( m − 1) x có đồ thị ( Cm ) , với m là tham số thực.
a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1 ; x2 khi đó chứng minh rằng x1 ; x2 không đồng thời thời nguyên.
b) Tìm m để d : y = x cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn C là điểm có hoành độ không
đổi và M (1; −1) là trung điểm của AB.
c) Khi m = 0, tìm hai điểm A và B thuộc đồ thị ( Cm ) sao cho tiếp tuyến tại A và B của ( Cm ) song
song với nhau và AB = 2 5.

d) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 − 2mx 2 − ( m − 1) x = 0.
1 3

1
1
x − 2 x 2 + 3 x − . Tìm m để đường thẳng ∆ : y = mx − cắt đồ
3
3
3
thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho A cố định và diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích

Ví dụ 4 [Tham khảo]: Cho hàm số y =

tam giác OAB.

Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng ∆ : y = mx −

1
và (C) :
3


1

x = 0 ⇒ A  0; − 
1 3
1
1

2
2
3

x − 2 x + 3x − = mx − ⇔ x( x − 6 x + 9 − 3m) = 0 ⇔ 

3
3
3
 x 2 − 6 x + 9 − 3m = 0, (1)

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

1
Đường thẳng ∆ : y = mx − cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C khi phương trình (2) có hai nghiệm phân
3
∆, > 0
3m > 0
m > 0
biệt x1; x2 và khác 0 ⇔ 
⇔
⇔
m ≠ 3
m ≠ 3
9 − 3m ≠ 0

1 
1


Khi đó B  x1 ; mx1 −  , C  x2 ; mx2 −  .
3 
3

1
1
Ta có SOBC = 2 SOAB ⇔ d (O, ∆).BC = 2. d (O, ∆). AB ⇔ BC = 2 AB ⇔ BC 2 = 4 AB 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
⇔ ( x2 − x1 ) + m ( x2 − x1 ) = 4 x1 + m x2 ⇔ m2 + 1 ( x2 − x1 ) = 4 m2 + 1 x12 ⇔ ( x2 − x1 ) = 4 x12

(

) (

)

(

)

 x = 3x1
⇔ 2

⇒ x2 = 3x1
 x2 = − x1 , ( L)
 x1 + x2 = 6
3
Mà x1; x2 là nghiệm của phương trình (2) nên 

→m = .
4
 x1 x2 = 9 − 3m
Ví dụ 5 [Tham khảo]: Cho hàm số y = 2 x 3 − 2 x 2 + 5 , có đồ thị ( C ) . Tìm M ∈ ( C ) sao cho tiếp tuyến
với ( C ) tại M vuông góc với đường thẳng x + 2 y − 6 = 0 .

(

Lời giải:

)

Gọi M m; 2m − 2m + 5 .
3

2

y = 2 x − 2 x + 5 ⇒ y ' = 6 x 2 − 4 x ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = 6m 2 − 4m .
x
Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2 y − 6 = 0 hay y = − + 3 nên 6m 2 − 4m = 2
2
 m = 1 ⇒ M (1;5 )

2

⇔ 6 m − 4m − 2 = 0 ⇔ 
1
 −1 127 
m=− ⇒M ;


3
 3 27 
3

2

Ví dụ 6 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 4 x − m + 1 ( Cm ) . Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( Cm )
tại giao điểm của ( Cm ) với trục tung. Viết phương trình ∆ biết khoảng cách từ A ( 2; −1) đến ∆ bằng
34 .

Lời giải:
x = 0 ⇒ y = 1 − m suy ra B ( 0;1 − m ) là giao điểm của ( Cm ) với trục tung.

Ta có: y ' = 3x 2 − 6 x ( m + 1) + 4 ⇒ y ' ( 0 ) = 4 suy ra phương trình tiếp tuyến của ( Cm ) đi qua B là:

∆ : y − (1 − m ) = 4 ( x − 0 ) ⇔ 4 x − y + 1 − m = 0

⇒ d ( A; ∆ ) =

4. ( −2 ) − ( −1) + 1 − m
42 + ( −1)

2

 m = −6 + 17 2
= 34 ⇒ m + 6 = 17 2 ⇔ 
 m = −6 − 17 2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 4 x − y + 7 − 17 2 = 0 hoặc 4 x − y + 7 + 17 2 = 0 .

Ví dụ 7 [Tham khảo]: Cho hàm số: y = x3 + x 2 − x + 2 ( C ) .
a) Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và trục Ox.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại các giao điểm đó.
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: x3 + x 2 − x + 2 = 0

⇔ ( x + 2 ) ( x 2 − x + 1) = 0 ⇔ x = −2 . Vậy toạ độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là A ( −2;0 ) .

b) Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 .

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Trong đó ta có: x0 = −2; y0 = 0 . f ' ( x ) = 3x 2 + 2 x − 1 ⇒ f ' ( x0 ) = f ' ( −2 ) = 7 .
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 7 ( x − 2 ) .

2 3
x + ( m − 1) x 2 − 4m ( 3m − 1) x + 7 . Tìm m để hàm số có cực
3

2
2
đại, cực tiểu tại x1 , x2 sao cho x1 + x2 = 8

Ví dụ 8 [Tham khảo]: Cho hàm số y =

Lời giải:
Ta có: y ' = 2 x 2 + 2 ( m − 1) x − 4m ( 3m − 1) ; ∀x ∈ R
Đặt f ( x ) = x 2 + ( m − 1) x − 2m ( 3m − 1) .

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ f ( x ) = 0 có hai nghiệm
1
5
lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương

phân biệt ⇔ ∆ f ( x ) > 0 ⇔ ( m − 1) + 8m ( 3m − 1) > 0 ⇔ 25m 2 − 10m + 1 > 0 ⇔ ( 5m − 1) > 0 ⇔ m ≠
2

Khi đó gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 )

2

 x1 + x2 = 1 − m
trình f ( x ) = 0 suy ra 
 x1 x2 = 2m (1 − 3m )

( ∗)

Từ giả thiết, ta có x12 + x22 = 8 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 8 , kết hợp với ( ∗) ta được
2

m = 1
(1 − m ) − 4m (1 − 3m ) = 8 ⇔ m − 2m + 1 + 12m − 4m = 8 ⇔ 13m − 6m − 7 = 0 ⇔  −7
m=
13

1
−7
Đối chiếu với điều kiện m ≠ nên m = 1; m =
là giá trị cần tìm.
5
13
x2
Ví dụ 9 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 + ( m − 3) − 2 m2 − m x + 1 . Tìm m để hàm số có cực đại,
2
−16
cực tiểu sao cho x12 .x2 + x1.x22 =
.
9
Lời giải:
2
2
Ta có: y ' = 3 x + ( m − 3 ) x − 2 ( m − m ) ; ∀x ∈ R
2

2

2

2

(

)

Đặt f ( x ) = 3 x 2 + ( m − 3) x − 2 ( m 2 − m ) .

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ f ( x ) = 0 có hai nghiệm

(

)

5
3
lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương

phân biệt ⇔ ∆ f ( x ) > 0 ⇔ ( m − 3) + 24 m 2 − m = 25m 2 − 30m + 9 = ( 5m − 3) > 0 ⇔ m ≠
2

Khi đó gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 )

2

3− m
2m − 2 m 2
; x1 x2 =
( ∗)
3
3

−16
16
Từ giả thiết, ta có x12 .x2 + x1.x22 =
⇔ x1 x2 ( x1 + x2 ) +
= 0 . Kết hợp với ( ∗) ta được
9
9
2m − 2m 2 3 − m 16
.
+
= 0 ⇔ 2m − 2m2 ( 3 − m ) + 16 = 0
3
3
9
2
2
⇔ 6m − 2m − 6m + 2m3 + 16 = 0 ⇔ 2m3 − 8m2 + 6m + 16 = 0 ⇔ m = −1
trình f ( x ) = 0 suy ra x1 + x2 =

(

Đối chiếu với điều kiện m ≠

)

5
nên suy ra m = −1 là giá trị cần tìm.
3

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Ví dụ 10 [Tham khảo]: Cho hàm số y =

FB: LyHung95

−1 3
x2
x + ( 2m − 1) + m − m 2 x . Tìm m để hàm số có cực đại,
3
2

(

)

2
2
cực tiểu sao cho 3 xCT
+ xCD
<1.

Ta có: y ' = − x + ( 2m − 1) x + m − m ; ∀x ∈ R
2

Lời giải:

2

Đặt f ( x ) = x 2 − ( 2m − 1) x + m 2 − m .

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ f ( x ) = 0 có hai nghiệm

(

)

phân biệt ⇔ ∆ f ( x ) > 0 ⇔ ( 2m − 1) − 4 m2 − m = 1 > 0 ⇔ m ∈ R
2

Khi đó gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, ta có


−b + ∆ 2 m − 1 + 1
=
=m
 x1 =
2
a
2

⇒ x1 > x2 ( 0 > −1 ⇒ m > m − 1)

−b − ∆ 2 m − 1 − 1
=
= m −1
 x2 =
2a

2

−1
Mặt khác, vì hệ số của hàm số bậc ba a =
< 0 do đó suy ra x1 = xCT = m − 1; x2 = xCD = m
3
2
2
Từ giả thiết, ta có 3 xCT
+ xCD
< 1 . Kết hợp với ( ∗) ta được
3 ( m − 1) + m 2 < 1 ⇔ 4m 2 − 6m + 2 < 0 ⇔
2

( ∗)

1
< m <1
2

1
< m < 1 là giá trị cần tìm.
2
Ví dụ 11 [Tham khảo]: Cho hàm số: y = x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 5mx + 3 ( C ) và đường thẳng d : y = 2mx + 1 .

Đối chiếu với điều kiện m ∈ R nên suy ra

a) Tìm m để ( C ) có cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2 = 4 .

b) Tìm m để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt A (1; y A ) , B, C trong đó A nằm giữa B và C .

c) Tìm m để tiếp tuyến tại B và C của ( C ) song song với nhau.

d) Tìm m để phương trình x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 5mx + 3 = −3mx 2 + 5mx − m2 có duy nhất một nghiệm.
Lời giải:
a) y ' = 3 x 2 − 6 ( m + 1) x + 5m; y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6 ( m + 1) x + 5m = 0

( C ) có cực đại, cực tiểu

(1)

⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ∆ ' = 9 ( m + 1) − 15m > 0 ⇔ 3 ( m2 + 2m + 1) − 5m > 0
2

2

1
11

⇔ 3m 2 + m + 3 > 0 ⇔  m +  + 2m 2 + > 0 ⇔ m ∈ ℝ
2
4


(*)

 x1 + x2 = 2 ( m + 1)

Khi đó x1 ; x2 là 2 nghiệm của (1), theo Viet thì 

5m
 x1 x2 =
3

Do đó x1 − x2 = 4 ⇔ ( x1 − x2 ) = 16 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 16
2

2

⇔ 4 ( m + 1) −
2

(

20m
2
= 16 ⇔ 12 ( m + 1) − 20m = 48
3

)

⇔ 3 m 2 + 2m + 1 − 5m = 12 ⇔ 3m 2 + m − 9 = 0

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

⇔m=

Đ/s: m =

FB: LyHung95

−1 ± 109
thỏa mãn (*)
6

−1 ± 109
6

b) Hoành độ giao điểm của ( C ) và d là nghiệm của phương trình

x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 5mx + 3 = 2mx + 1

(

(1)

)

(
)
⇔ ( x − 1) ( x − 2 x − 2 ) − m ( x − 1)( 3 x − 2 ) = 0
⇔ ( x − 1) ( x − 2 x − 2 − 3mx + 2m ) = 0
⇔ x3 − 3x 2 + 2 − m 3x 2 − 5 x + 2 = 0
2

2

x = 1
⇔ 2
(2)
 x − ( 3m + 2 ) x + 2m − 2 = 0
( C ) và d cắt nhau tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔ ( 2 ) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

2
9m2 + 4m + 12 > 0
∆ = ( 3m + 2 ) − 4 ( 2m − 2 ) > 0
⇔
⇔
2
 m ≠ −3
1 − ( 3m + 2 ) .1 + 2m − 2 ≠ 0
( 2m + 1) 2 + 5m 2 + 11 > 0
⇔
⇔ m ≠ −3
(*)
m
≠
−
3

Với x = 1 ⇒ y = 0 ⇒ A (1; 0 ) ứng với đề bài cho.

 xB + xC = 3m + 2
Khi đó xB ; xC là 2 nghiệm phân biệt của (2), theo Viet có 
 xB xC = 2m − 2

Do B, C ∈ d ⇒ yB = 2mxB + 1; yC = 2mxC + 1.

(2)

Khi đó A (1;0 ) nằm giữa B và C ⇔ yB . yC < 0 ⇔ ( 2mxB + 1)( 2mxC + 1) < 0

⇔ 4m 2 xB xC + 2m ( xB + xC ) + 1 < 0 ⇔ 4m 2 ( 2m − 2 ) + 2m ( 3m + 2 ) + 1 < 0
⇔ 8m 3 − 2 m 2 + 4 m + 1 < 0

c) Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại B có dạng d1 : y = y ' ( xB ) . ( x − xB ) + yB
⇔ y = ( 3 xB2 − 6 ( m + 1) xB + 5m ) ( x − xB ) + 2mxB + 1

⇔ y = ( 3 xB2 − 6 ( m + 1) xB + 5m ) x − 3 xB3 + 6 ( m + 1) xB2 − 3mxB + 1.

Tương tự, phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại B có dạng

d 2 : y = ( 3 xC2 − 6 ( m + 1) xC + 5m ) x − 3 xC3 + 6 ( m + 1) xC2 − 3mxC + 1.

3 xB2 − 6 ( m + 1) xB + 5m = 3 xC2 − 6 ( m + 1) xC + 5m
Ta có d1 / / d 2 ⇔ 
3
2
3
2
−3 xB + 6 ( m + 1) xB − 3mxB + 1 ≠ −3 xC + 6 ( m + 1) xC − 3mxC + 1
 xB2 − xC2 − 6 ( m + 1)( xB − xC ) = 0
⇔ 3
2
3
2

 xB − 2 ( m + 1) xB + mxB ≠ xC − 2 ( m + 1) xC + mxC
( xB − xC )( xB + xC − 6m − 6 ) = 0
⇔
2
2
( xB − xC ) ( xB + xB xC + xC − 2 ( m + 1)( xB + xC ) + m ) ≠ 0

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

 x + x = 6m + 6
 B C
⇔  xB ≠ xC

2
( xB + xC ) − xB xC − 2 ( m + 1)( xB + xC ) + m = 0
3m + 2 = 6m + 6

4
Kết hợp với (2) ta được  xB ≠ xC
⇔ m = − thỏa mãn (*)
3

2
( 3m + 2 ) − ( 2m − 2 ) − 2 ( m + 1)( 3m + 2 ) + m ≠ 0
4

Đ/s: m = −
3

d) TXĐ: ℝ
YCBT ⇔ x3 − 3 x 2 + 3 = − m 2 có duy nhất một nghiệm
⇔ trên ℝ đồ thị hàm số y = x3 − 3 x 2 + 3 cắt đường thẳng y = − m 2 tại một điểm duy nhất.
x = 0
Xét hàm số y = x3 − 3 x 2 + 3, x ∈ ℝ có y ' = 3 x 2 − 6 x = 3 x ( x − 2 ) ; y ' = 0 ⇔ 
x = 2
Lập bảng biến thiên ta được y ( 2 ) < − m 2 < y ( 0 ) ⇔ −1 < −m 2 < 3 ⇔ m 2 < 1 ⇔ −1 < m < 1.

Đ/s: −1 < m < 1
Ví dụ 12 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 − 2(m + 1) x 2 + (5m − 2) x − 2m + 4 . Tìm m để đồ thị cắt Ox tại
3 điểm phân biệt A, B, C biết

a) A(2 ; 0) là trung điểm của BC.
b) B, C có hoành độ nhỏ hơn 1.
c) Độ dài BC ngắn nhất.
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của ( C ) và Ox là nghiệm của phương trình
x3 − 2(m + 1) x 2 + (5m − 2) x − 2m + 4 = 0

(1)

⇔ ( x 3 − 2 x 2 − 2 x + 4 ) − ( 2mx 2 − 5mx + 2m ) = 0
⇔ ( x − 2) ( x2 − 2) − m ( 2x2 − 5x + 2) = 0
⇔ ( x − 2 ) ( x 2 − 2 ) − m ( x − 2 )( 2 x − 1) = 0

x = 2
⇔ ( x − 2 ) ( x 2 − 2 − 2mx + m ) = 0 ⇔  2

 x − 2mx + m − 2 = 0

(2)

Đồ thị ( C ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt A, B, C ⇔ (1) có 3 nghiệm dương phân biệt

⇔ ( 2 ) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2

2

1 7
∆ ' = m2 − ( m − 2 ) > 0
 m −  + > 0

2 4

 x1 + x2 = 2m > 0

⇔
⇔ m > 0
⇔m>2
x
x
=
m
−
2
>
0
 1 2

m > 2
22 − 2m.2 + m − 2 ≠ 0


3m ≠ 2

(*)

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

a) x = 2 ⇒ y = 0 ⇒ A ( 2;0 ) ứng với đề bài cho.

 xB + xC = 2m
Khi đó xB ; xC là 2 nghiệm phân biệt của (2), theo Viet có 
 xB xC = m − 2
 xB + xC
 2m
=2
 2 = 2
 2
Ta có A(2 ; 0) là trung điểm của BC ⇔ 
⇔
⇔ m = 2, không thỏa mãn (*)
y
y

+
0
+
0
C
 B

=0
=0
 2
 2
Đ/s: m ∈ ∅
b) B, C có hoành độ nhỏ hơn 1 ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1.
Đặt x = t + 1 ( t < 0 ) thì (1) thành ( t + 1) − 2m ( t + 1) + m − 2 = 0 ⇔ t 2 − 2 ( m − 1) t − m − 1 = 0
2

(2)

YCBT ⇔ ( 2 ) có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 0
2
∆ ' = ( m − 1)2 − ( − m − 1) > 0
m 2 − m + 2 > 0

1 7


 m−  + > 0
⇔ t1 + t2 < 0
⇔ 2 ( m − 1) < 0 ⇔ 
⇔ m < −1.

2 4
t t > 0
−m − 1 > 0
 m < 1, m < −1


 1 2

Kết hợp với (*) ta được m ∈ ∅

Đ/s: m ∈ ∅
c) Ta có B ( xB ; 0 ) , C ( xC ; 0 ) ⇒ BC = ( xC − xB ; 0 ) ⇒ BC 2 = ( xC − xB )

2

⇒ BC 2 = ( xB + xC ) − 4 xB xC = ( 2m ) − 4 ( m − 2 ) = ( 2m − 1) + 7 ≥ 7
2

2

2

1
⇒ BC ≥ 7, dấu " = " xảy ra ⇔ m = , ko thỏa mãn (*)
2

Đ/s: m ∈ ∅
1
2
Ví dụ 13 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x 3 − mx 2 − x + m +

3
3
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ thỏa mãn x12 + x22 + x32 > 15

Lời giải:
Hoành độ giao điểm của ( C ) và trục hoành là nghiệm của phương trình
1 3
2
x − mx 2 − x + m + = 0 ⇔ x3 − 3mx 2 − 3 x + 3m + 2 = 0
3
3
3
⇔ x − 3 x + 2 − 3mx 2 − 3m = 0

(

(
⇔ ( x − 1) ( x

) (

)

)

⇔ ( x − 1) x 2 + x − 2 − 3m ( x − 1)( x + 1) = 0
2

)

+ x − 2 − 3mx − 3m = 0

(1)

x =1
⇔ 2
(2)
 x − ( 3m − 1) x − 3m − 2 = 0
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
2
∆ = ( 3m − 1) − 4 ( −3m − 2 ) > 0
⇔
2
1 − ( 3m − 1) .1 − 3m − 2 ≠ 0
3 ( m + 1)2 + 6m 2 + 6 > 0
9m 2 + 6m + 9 > 0
⇔
⇔
⇔m≠0
m ≠ 0
m ≠ 0
Không mất tính tổng quát, giả sử x3 = 1 khi đó x1 ; x2 là 2 nghiệm phân biệt.

FB: LyHung95

(*)

 x1 + x2 = 3m − 1
Theo viet có 
 x1 x2 = −3m − 2
Khi đó x12 + x22 + x32 > 15 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + 1 > 15
2

m > 1
2
⇔ ( 3m − 1) − 2 ( −3m − 2 ) > 14 ⇔ 9m 2 > 9 ⇔ m 2 > 1 ⇔ 
 m < −1
m > 1
Kết hợp với (*) ta được 
thỏa mãn.
 m < −1
Ví dụ 14 [Tham khảo]: Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + (3m − 1) x + 6m − 6
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ thỏa mãn x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 = 20

Lời giải:
Hoành độ giao điểm của ( C ) và trục hoành là nghiệm của phương trình
x3 − 3mx 2 + (3m − 1) x + 6m − 6 = 0.
Ta có x3 − 3mx 2 + (3m − 1) x + 6m − 6 = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )

 x1 + x2 + x3 = 3m

= x − x ( x1 + x2 + x3 ) + x ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) − x1 x2 x3 ⇒  x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 3m − 1
 x x x = 6 − 6m
 1 2 3
3

2

Khi đó x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 = 20 ⇔ ( x1 + x2 + x3 ) − 2 ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) + x1 x2 x3 = 20
2

m = 2
⇔ 9m − 2 ( 3m − 1) + 6 − 6m = 20 ⇔ 9m − 12m − 12 = 0 ⇔ 
m = − 2
3

2

Thử lại ta thấy m = 2 và m = −

2

2
ta thấy thỏa mãn.
3

Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016